27.1 反比例函数的图像 讲义 -2026-2027学年人教版九年级数学上册

本讲义聚焦反比例函数的图像这一核心知识点，系统梳理反比例函数的概念（定义、形式及k的意义）、表达式确定（待定系数法四步骤）、图像绘制（描点法）与性质（k的符号对象限分布及增减性的影响），构建从概念到应用的完整知识支架。 该资料亮点在于题型系统归纳（9类题型含例题及变式），结合表格与图示直观呈现图像性质培养几何直观，通过图像共存、方程不等式求解等题型提升推理意识。课中辅助教师分层教学，课后随堂检测助力学生查漏补缺，强化知识应用能力。

27.1 反比例函数的图像（知识解读） 【新教材人教版】 题型归纳 【题型1 反比例函数定义】 2 【题型2 反比例函数的图象】 3 【题型3 图象共存问题】 3 【题型4 反比例函数的对称性】 4 【题型5 求反比例函数的解析式】 5 【题型6 反比例函数的增减性】 6 【题型7 双曲线分布的象限】 6 【题型8 利用图象求方程（组）的解】 6 【题型9 利用图象求不等式（组）的解】..............................................................................................................7 【随堂检测】..................................................................................................................................................................9 知识点1 反比例函数的概念 1. 定义：一般地，如果两个变量x，y之间的对应关系可以表示成（k为常数，）的形式，那么称y是x的反比例函数． 2. 自变量取值范围：，因变量取值范围：． 3. 反比例函数的形式：①；②；③． 4. k称为这个反比例函数的比例系数，无论反比例函数形式如何，k始终为常数且． 知识点2 求反比例函数的表达式 利用待定系数法确定反比例函数表达式的一般步骤 步骤 设 代 解 写 设反比例函数表达式为 把已知条件（自变量与函数的对应值）代入所设函数表达式，得到关于k的方程 解方程，求出待定系数k的值 写出函数表达式 知识点3 反比例函数的图像与性质 1.描点法做图 步骤 解读 图示 ①列表 自变量通常取原点附近的相反数，如±1，±2，±3等，然后求出对应的y值 ②描点 以表中的各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系内描出相应的点 ③连线 用光滑的曲线顺次连接各点并延伸，逐渐靠近坐标轴，但永不与坐标轴相交 2.反比例函数的性质 反比例函数 x，y的取值范围 0，0（与坐标轴无交点） k的符号 k＞0 k＜0 图像 图像的位置 两支曲线分别位于第一、三象限 两支曲线分别位于第二、四象限 性质 在每一象限内，y的值随x值的增大而减小 在每一象限内，y的值随x值的增大而增大 【题型1 反比例函数定义】 【例1】下列函数中，一定是反比例函数的是（     ） A． B． C． D． 【变式1-1】下列关系式中，y是x的反比例函数的是（  ） A． B． C． D． 【变式1-2】已知点在反比例函数的图象上，则的值为_________． 【变式1-3】若函数是反比例函数，则m的值是（） A．2 B． C． D．0 【题型2 反比例函数的图象】 【例2】反比例函数的大致图象是（    ） A．B． C． D． 【变式1-1】反比例函数的图象大致是（    ） A．  B．   C．   D．   【变式1-2】表示关系式；；的图象依次是（   ） A．①②③ B．③①② C．②③① D．②①③ 【变式1-3】函数的图象大致是（    ） A．B．C． D． 【题型3 图象共存问题】 【例3】函数和在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（　　） A．B．C．D． 【变式3-1】在同一直角坐标系内，函数和的图象大致是（    ） A．B．C．D． 【变式3-2】反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A．B．C．D． 【变式3-3】函数与函数在同一平面直角坐标系中的图像大致是（   ） A．B．C．D． 【题型4 反比例函数的对称性】 【例4】如图，反比例函数的图象与经过原点的直线相交于、两点，点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】如图，若直线与双曲线的一个交点坐标为，则其另一个交点坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于A，B两点．若点A的坐标为，则点B的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】已知正比例函数与反比例函数的图象交于点，则这个函数图象的另一个交点为（    ） A． B． C． D． 【题型5 求反比例函数的解析式】 【例5】若点在反比例函数的图象上，则________． 【变式5-1】反比例函数的图象过，则的值为______． 【变式5-2】某三角形的面积为，它的一边长为，且此边上高为，则与之间的函数表达式为____． 【变式5-3】已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．则用电阻R表示电流I的函数表达式为 ________． 【题型6 反比例函数的增减性】 【例6】若反比例函数的图象在其所在的每个象限内，y随x的增大而增大，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】若反比例函数在每个象限内，y随x的增大而减小，那么k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】已知点与点在反比例函数的图象上，若，则的取值范围是__________． 【变式6-3】若反比例函数，当时，随的增大而增大，则的取值范围是________． 【题型7 双曲线分布的象限】 【例7】反比例函数 的图像所在象限为（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第一、三象限 D．第二、四象限 【变式7-1】反比例函数的图象位于（    ） A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第一、三象限 D．第二、四象限 【变式7-2】反比例函数的图象经过（   ） A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第二、三象限 【变式7-3】已知函数的图象过点，则该函数的图象在（   ） A．第二、三象限 B．第二、四象限 C．第一、三象限 D．第三、四象限 【题型8 利用图象求方程（组）的解】 【例8】如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，，则关于的方程的解为___________． 【变式8-1】如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于M、N两点，已知点M的坐标为（1，3），点N的纵坐标为-1．根据图象信息可得关于的方程的解为（    ） A．或1 B．或3 C．或1 D．或1 【变式8-2】如图，一次函数（、为常数，且）的图象与反比例函数（为常数，且）的图象交于、两点．则关于的方程的解为___________． 【题型9 利用图象求不等式（组）的解】 【例9】如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于M、N两点，观察图象知，不等式的解集为_______． 【变式9-1】如图，直线与双曲线相交于点和点，则不等式的解集为_________． 【变式9-2】一次函数和反比例函数的图象如图所示，若，则的取值范围是（     ） A．或 B． C．或 D．或 【变式9-3】函数和的图象如图所示，当时，x的取值范围是（     ） A．或 B． C．或 D．或 随堂检测 【随堂检测】 1．下列函数中，反比例函数的是（     ） A． B． C． D． 2．反比例函数的图象一定经过的点是（     ） A． B． C． D． 3．下表是反比例函数的y与x的几组对应值，其中a的值为（    ） x a 1 y 1 2 4 A． B． C． D． 4．反比例函数经过点，则下列说法正确的是（    ） A． B．函数图象分布在第一、三象限 C．当时，随的增大而增大 D．函数图象经过点 5．一名司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以的平均速度用了到达目的地．当他按原路匀速返回时，汽车的速度v（单位：）与时间t（单位：h）之间的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 6．若函数的图象经过点，则________． 7．若点与点都在反比例函数的图象上，则_____． 8．已知点，都在反比例函数的图象上，比较与的大小：__________． 9．反比例函数的图象在第一、三象限，则的取值范围是___________． 10．如图，直线与双曲线交于点和点，则不等式的解集是______． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 27.1 反比例函数的图像（知识解读） 【新教材人教版】 题型归纳 【题型1 反比例函数定义】 2 【题型2 反比例函数的图象】 4 【题型3 图象共存问题】 6 【题型4 反比例函数的对称性】 9 【题型5 求反比例函数的解析式】 11 【题型6 反比例函数的增减性】 12 【题型7 双曲线分布的象限】 14 【题型8 利用图象求方程（组）的解】 15 【题型9 利用图象求不等式（组）的解】..............................................................................................................17 【随堂检测】.................................................................................................................................................................19 知识点1 反比例函数的概念 1. 定义：一般地，如果两个变量x，y之间的对应关系可以表示成（k为常数，）的形式，那么称y是x的反比例函数． 2. 自变量取值范围：，因变量取值范围：． 3. 反比例函数的形式：①；②；③． 4. k称为这个反比例函数的比例系数，无论反比例函数形式如何，k始终为常数且． 知识点2 求反比例函数的表达式 利用待定系数法确定反比例函数表达式的一般步骤 步骤 设 代 解 写 设反比例函数表达式为 把已知条件（自变量与函数的对应值）代入所设函数表达式，得到关于k的方程 解方程，求出待定系数k的值 写出函数表达式 知识点3 反比例函数的图像与性质 1.描点法做图 步骤 解读 图示 ①列表 自变量通常取原点附近的相反数，如±1，±2，±3等，然后求出对应的y值 ②描点 以表中的各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系内描出相应的点 ③连线 用光滑的曲线顺次连接各点并延伸，逐渐靠近坐标轴，但永不与坐标轴相交 2.反比例函数的性质 反比例函数 x，y的取值范围 0，0（与坐标轴无交点） k的符号 k＞0 k＜0 图像 图像的位置 两支曲线分别位于第一、三象限 两支曲线分别位于第二、四象限 性质 在每一象限内，y的值随x值的增大而减小 在每一象限内，y的值随x值的增大而增大 【题型1 反比例函数定义】 【例1】下列函数中，一定是反比例函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据反比例函数的定义逐一判断选项即可，反比例函数的定义为：形如，其中为常数且的函数是反比例函数． 【详解】解：选项A、是正比例函数，不符合反比例函数定义，故A错误； 选项B、符合反比例函数定义，常数，故B正确； 选项C、是正比例函数，不符合反比例函数定义，故C错误； 选项D、未说明，当时不是反比例函数，故D错误． 【变式1-1】下列关系式中，y是x的反比例函数的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据反比例函数的定义，判断各选项的函数类型即可得到答案，反比例函数的定义为：形如（为常数且）的函数是关于的反比例函数． 【详解】解：∵选项A中是正比例函数，不符合反比例函数定义； 选项C中是一次函数，不符合反比例函数定义； 选项D中是二次函数，不符合反比例函数定义； 选项B中符合反比例函数的定义． 【变式1-2】已知点在反比例函数的图象上，则的值为_________． 【答案】4 【分析】若点在反比例函数图象上，则点的坐标满足反比例函数解析式，将点坐标代入解析式即可求出的值． 【详解】解：点在反比例函数的图象上， 将，代入得：， 则． 【变式1-3】若函数是反比例函数，则m的值是（） A．2 B． C． D．0 【答案】A 【分析】根据反比例函数的定义求解，反比例函数要求x的次数为，且比例系数不为0，据此列条件求解即可． 【详解】解：∵反比例函数的一般形式为，函数是反比例函数， ∴， 解得，即且， ∴． 【题型2 反比例函数的图象】 【例2】反比例函数的大致图象是（    ） A．B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数图象的性质，熟练掌握反比例函数的比例系数包括前面的符号是解题的关键．根据反比例函数图象的性质并结合其比例系数解答即可． 【详解】解：， 此函数图象在二、四象限， 故选：A． 【变式1-1】反比例函数的图象大致是（    ） A．  B．   C．   D．   【答案】C 【分析】本题主要考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键．根据题意可直接进行求解． 【详解】解：∵反比例函数中， ∴图象分布在第二、四象限，即：    故选：C． 【变式1-2】表示关系式；；的图象依次是（   ） A．①②③ B．③①② C．②③① D．②①③ 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的图象，根据反比例函数的图象与性质逐项判断即可得出答案，熟练掌握反比例函数的图象与性质，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：中，，图象在二、四象限，②符合； 中，，图象在一、三象限，①符合； 中，，图象在一、二象限，③符合； 综上所述，表示关系式；；的图象依次是②①③， 故选：D． 【变式1-3】函数的图象大致是（    ） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】根据反比例函数图象的特点，以原点为对称中心的中心对称的两条曲线，因为，即可得出结论． 【详解】∵是反比例函数，其中， ∴函数图象是双曲线，位于第一、第三象限， 只有B选项符合题意， 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象特点，正确掌握图象的特点是解题的关键． 【题型3 图象共存问题】 【例3】函数和在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（　　） A．B．C．D． 【答案】A 【分析】根据题目中的函数解析式，利用分类讨论的方法可以判断各个选项中的函数图象是否正确，从而可得答案． 【详解】解：对于，当时，，观察图象可排除B和D； ∵反比例函数和一次函数 ∴当时，函数在第一、三象限，一次函数经过二、三、四象限； 当时，函数在第二、四象限，一次函数经过一、三、四象限， 观察A、C选项，选项A符合题意． 【变式3-1】在同一直角坐标系内，函数和的图象大致是（    ） A．B．C．D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的图象和一次函数的图象，熟悉两函数的性质是解题的关键．根据函数解析式分别讨论正比例函数与反比例函数图象所经过的象限即可解答． 【详解】解：函数中，，则函数图象经过一、三象限， 函数中，，则函数图象经过二、四象限， 可见，符合条件的只有A． 故选：A． 【变式3-2】反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A．B．C．D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了反比例函数和一次函数的综合，熟练掌握反比例函数和一次函数的图象性质，直线的方向以及与y轴交点、双曲线的位置决定系数k的符号．是解题的关键． 由图象结合性质判断反比例函数中的k和一次函数中的k的值是否一致即可判断． 【详解】 解：A、， 反比例函数图象在第一、三象限， 则， 一次函数图象经过一、三、四象限，与y轴交于负半轴， 则，，即， k的取值相同，故此选项正确； B、 反比例函数图象在第二、四象限， 则， 一次函数图象经过二、三、四象限，与y轴交于负半轴， 则，，即， k的取值不同，故此选项错误； C、 反比例函数图象在第二、四象限， 则， 一次函数图象经过一、三、四象限，与y轴交于负半轴， 则，，即， k的取值不同，故此选项不正确； D、 反比例函数图象在第一、三象限， 则， 一次函数图象经过一、三象限，过原点， 则，， k的取值不同，故此选项错误． 故选：A． 【变式3-3】函数与函数在同一平面直角坐标系中的图像大致是（   ） A．B．C．D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，根据一次函数和反比例函数的特点，，所以分和两种情况讨论．当两函数系数k取相同符号值，两函数图象共存于同一坐标系内的即为正确答案． 【详解】解：分两种情况讨论： ①当时，与y轴的交点在正半轴，过一、二、三象限，反比例函数的图象在第一三象限；D选项不符合； ②当时，与y轴的交点在正半轴，过一、二、四象限，反比例函数的图象在第二四象限．B、C选项不符合；A选项符合． 故选：A． 【题型4 反比例函数的对称性】 【例4】如图，反比例函数的图象与经过原点的直线相交于、两点，点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查反比例函数图象的中心对称性，反比例函数的图象是中心对称图形，则经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称，由此可解． 【详解】解：反比例函数的图象与经过原点的直线相交于、两点， 、两点关于原点对称， 点的坐标为， 点的坐标为． 故选D． 【变式4-1】如图，若直线与双曲线的一个交点坐标为，则其另一个交点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，根据反比例函数及一次函数图象的对称性即可解决问题． 【详解】解：由题意知， ∵反比例函数与一次函数的图象都关于坐标原点成中心对称， ∴两个函数图象的交点关于坐标原点成中心对称， ∵直线与双曲线的一个交点坐标为， ∴另一个交点的坐标为， 故选：D． 【变式4-2】如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于A，B两点．若点A的坐标为，则点B的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数与一次函数交点问题，利用反比例函数对称性求点坐标等．根据题意可知点A，B关于原点中心对称，继而求出本题答案． 【详解】解：∵正比例函数与反比例函数的图象相交于A，B两点，点A的坐标为， ∴A，B两点关于原点中心对称， ∴点B的坐标为， 故选：B． 【变式4-3】已知正比例函数与反比例函数的图象交于点，则这个函数图象的另一个交点为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用正比例函数与反比例函数的图象都关于原点对称，即可求解． 【详解】解：∵正比例函数与反比例函数的图象都关于原点对称，两函数图象交于点， ∴这个函数图象的另一个交点为， 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数与正比例函数图象的性质，掌握反比例函数与正比例函数图象的性质是解题的关键． 【题型5 求反比例函数的解析式】 【例5】若点在反比例函数的图象上，则________． 【答案】 【分析】反比例函数图象上的点的坐标满足反比例函数解析式，将点A的坐标代入解析式即可求解k的值. 【详解】解：将点代入中， 得. 【变式5-1】反比例函数的图象过，则的值为______． 【答案】21 【分析】此题考查的是用待定系数法求反比例函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 把点代入反比例函数，即可求出k的值． 【详解】解：∵反比例函数的图象过， ∴ 解得． 故答案为：21． 【变式5-2】某三角形的面积为，它的一边长为，且此边上高为，则与之间的函数表达式为____． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，理清题中的数量关系是得出函数关系式的关键． 根据三角形面积公式列式即可． 【详解】解：由题意可得， ∴． 故答案为：． 【变式5-3】已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．则用电阻R表示电流I的函数表达式为 ________． 【答案】 【分析】本题考查了求反比例函数的解析式，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键．设函数解析式为I（），把代入函数解析式求得值即可． 【详解】解：设函数解析式为I（）， 把代入函数解析式得， ， ． 故答案为：． 【题型6 反比例函数的增减性】 【例6】若反比例函数的图象在其所在的每个象限内，y随x的增大而增大，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，利用反比例函数的性质解答即可． 本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握函数的增减性是解题的关键． 【详解】解：反比例函数的图象在其所在的每个象限内，y随x的增大而增大， ． 解得， 故选：B． 【变式6-1】若反比例函数在每个象限内，y随x的增大而减小，那么k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的图象是双曲线，当时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小是解答此题的关键． 根据反比例函数的性质得出关于k的不等式，求出k的取值范围即可． 【详解】解：∵反比例函数在每个象限内，y随x的增大而减小， ∴， ∴． 故选：D 【变式6-2】已知点与点在反比例函数的图象上，若，则的取值范围是__________． 【答案】 【分析】首先判断出函数图象位于第一、三象限，且每个象限内随的增大而减小，然后结合求解． 【详解】解：反比例函数中， 函数图象分布在第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小， 点在第一象限，，， ∴． 【变式6-3】若反比例函数，当时，随的增大而增大，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象的性质，解不等式，掌握反比例函数图形的增减性是解题的关键． 【详解】解：∵当时，随的增大而增大， ∴反比例函数图象在第二、四象限， ∴， 解得，， 故答案为： ． 【题型7 双曲线分布的象限】 【例7】反比例函数 的图像所在象限为（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第一、三象限 D．第二、四象限 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的图像，反比例函数的图像位置由系数k的符号决定，时图像在第一、三象限，时图像在第二、四象限． 根据作答即可． 【详解】解：∵反比例函数中， ∴其图像在第一、三象限． 故选：C． 【变式7-1】反比例函数的图象位于（    ） A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第一、三象限 D．第二、四象限 【答案】C 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和性质．利用反比例函数的图象和性质进行判断即可． 【详解】解：∵反比例函数，， ∴图象位于第一、三象限， 故选：C． 【变式7-2】反比例函数的图象经过（   ） A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第二、三象限 【答案】C 【分析】此题主要考查了反比例函数的性质，以及反比例函数图象上点的坐标特点，关键是掌握反比例函数的性质（1）当，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；（2）当，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大． 根据反比例函数的性质：当，双曲线的两支分别位于第二、四象限． 【详解】解：反比例函数中，，根据反比例函数的性质，该函数的图象位于第二、四象限． 故选：C． 【变式7-3】已知函数的图象过点，则该函数的图象在（   ） A．第二、三象限 B．第二、四象限 C．第一、三象限 D．第三、四象限 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，先求出函数的解析式，再根据反比例函数的性质即可判断． 【详解】解：∵函数的图象过点， ∴， ∴函数的图象在二、四象限， 故选：B． 【题型8 利用图象求方程（组）的解】 【例8】如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，，则关于的方程的解为___________． 【答案】或 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，解题得到关键是数形结合．先根据点求出，得到反比例函数的解析式，进而求出点的坐标，即可求解． 【详解】解：将点代入反比例函数中， 得：， 反比例函数的解析式为， 将代入得：， 解得：， ， 一次函数与反比例函数的图象交于点，， 关于的方程的解为或， 故答案为：或． 【变式8-1】如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于M、N两点，已知点M的坐标为（1，3），点N的纵坐标为-1．根据图象信息可得关于的方程的解为（    ） A．或1 B．或3 C．或1 D．或1 【答案】A 【分析】首先将点M的坐标（1，3）代入反比例函数求出m，然后将点N的纵坐标代入反比例函数求出点N的横坐标即可得到关于的方程的解． 【详解】解：∵点M的坐标为（1，3）， ∴代入得：m=3， 即 ， 当y=-1时，x=-3， 即N（-3，-1）， ∵由图象可知：反比例函数的图象与一次函数y=kx-b的图象交点M，N，且M的坐标为（1，3），N的坐标是（-3，-1）， ∴关于x的方程的解为x=1和-3， 故该方程的解为：1，-3． 故选A． 【点睛】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，解题的关键是代入点M的坐标求出反比例函数的表达式． 【变式8-2】如图，一次函数（、为常数，且）的图象与反比例函数（为常数，且）的图象交于、两点．则关于的方程的解为___________． 【答案】和 【分析】本题考查了反比例函数和一次函数的图像和性质，熟练掌握反比例函数和一次函数的图像和性质是解题的关键； 根据反比例函数和一次函数的图像和性质求解即可； 【详解】解：观察函数图象可知：点A的横坐标为，点的横坐标为， ∴关于的方程的解为和． 故答案为：和． 【题型9 利用图象求不等式（组）的解】 【例9】如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于M、N两点，观察图象知，不等式的解集为_______． 【答案】或 【分析】此题主要考查函数与不等式之间的关系，解题的关键是正确理解函数图象和性质． 先求得n的值，然后观察函数图象即可求解． 【详解】解：由题意可得， 解得， ∴， 观察图像可得，当或时，一次函数的图象位于反比例函数图象的下方， ∴不等式的解集为或， 故答案为：或． 【变式9-1】如图，直线与双曲线相交于点和点，则不等式的解集为_________． 【答案】或 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，掌握数形结合思想成为解题的关键． 观察函数图象得到当或时，一次函数图象在反比例函数图象上方，即的解集． 【详解】解：∵直线与双曲线相交于点和点， ∴由函数图象可得，当或时，一次函数图象在反比例函数图象上方， ∴不等式的解集或． 故答案为：或． 【变式9-2】一次函数和反比例函数的图象如图所示，若，则的取值范围是（     ） A．或 B． C．或 D．或 【答案】D 【详解】解：由函数图象可知，当或时，一次函数的图象在反比例函数的图象上方， 则时，的取值范围是或． 【变式9-3】函数和的图象如图所示，当时，x的取值范围是（     ） A．或 B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】根据图象即可求解． 【详解】解：观察图像可知，当时，x的取值范围是或． 随堂检测 【随堂检测】 1．下列函数中，反比例函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】一般地，形如（其中k为常数，且）的函数叫做反比例函数，据此可得答案． 【详解】解：由反比例函数的定义可知，四个选项中，只有C选项中的函数是反比例函数． 2．反比例函数的图象一定经过的点是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，将各点横坐标代入反比例函数解析式，计算得到的纵坐标与点的纵坐标一致，即为函数图象经过的点． 【详解】解：选项A：当时，，则点不在函数图象上； 选项B：当时，，则点不在函数图象上； 选项C：当时，，与点的纵坐标相等，则点在函数图象上； 选项D：当时，，则点不在函数图象上． 3．下表是反比例函数的y与x的几组对应值，其中a的值为（    ） x a 1 y 1 2 4 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先利用待定系数法求出，然后将，代入求解． 【详解】解：将，代入得， 解得 ∴反比例函数 将，代入得， 解得． 4．反比例函数经过点，则下列说法正确的是（    ） A． B．函数图象分布在第一、三象限 C．当时，随的增大而增大 D．函数图象经过点 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，以及反比例函数图象上点的坐标特征，先根据已知点求出k的值，再结合性质逐一判断选项即可． 【详解】解：∵反比例函数经过点， ∴，故A选项不符合题意； ∵， ∴函数图象分布在第二、四象限，故B选项不符合题意 ∵， ∴当时，随的增大而增大，故C选项符合题意； ∵， ∴函数图象不经过点，故D选项不符合题意， 5．一名司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以的平均速度用了到达目的地．当他按原路匀速返回时，汽车的速度v（单位：）与时间t（单位：h）之间的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，掌握路程、速度、时间的数量关系是解题的关键． 本题是根据去程的速度和时间求出路程，返回时路程不变，速度与时间成反比关系． 【详解】解：∵ 去程速度 ，时间 ， ∴ 路程 ， 返回时，路程不变，且匀速返回， ∴ ， ∴ ， 故：函数关系式为 ． 故选：A． 6．若函数的图象经过点，则________． 【答案】 【分析】函数图象上的点的坐标满足函数解析式，将点代入反比例函数解析式，即可求出的值． 【详解】解：函数的图象经过点， 将，代入得：． 7．若点与点都在反比例函数的图象上，则_____． 【答案】4 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题关键． 将点与代入反比例函数可得一个关于k的一元一次方程求解即可． 【详解】解；将点与代入反比例函数可得： ，解得：． 故答案为：4． 8．已知点，都在反比例函数的图象上，比较与的大小：__________． 【答案】 【分析】根据反比例函数的比例系数判断函数图象经过的象限，以及在每个象限内的函数增减性，结合两点的横坐标比较纵坐标的大小即可． 【详解】解：∵在反比例函数 中，， ∴反比例函数的图象分布在第一、三象限，且在每个象限内随的增大而减小， ∵点，的横坐标都为正， ∴这两点都在第一象限， 又∵ ， ∴． 9．反比例函数的图象在第一、三象限，则的取值范围是___________． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数图象及性质．根据题意可知，继而得到本题答案． 【详解】解：∵反比例函数的图象在第一、三象限， ∴，即：， 故答案为：． 10．如图，直线与双曲线交于点和点，则不等式的解集是______． 【答案】或 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，掌握数形结合思想成为解题的关键． 观察函数图象得到当或时，一次函数图象在反比例函数图象上方或重合，即的解集． 【详解】解：∵直线与双曲线交于点和点， ∴， ∴， ∴由函数图象可得，当或时，一次函数图象在反比例函数图象上方或重合， ∴不等式的解集为或． 故答案为：或． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $