精品解析：江苏省泗阳中学2026届高三上学期期初考试数学测试卷

江苏省泗阳中学2026届高三上学期期初考试数学测试卷 一、单项选择题（每小题5分，共8小题，计40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设．若函数为指数函数，且，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 且 3. 记，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数，下列函数是奇函数的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知实数x，y满足，且，则的最小值为（ ） A. B. 8 C. D. 6. 下图是一个圆台的侧面展开图，已知，且，则该圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 7. 函数在上单调递增，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 若定义在上的奇函数在上单调递增，且，则满足的的取值范围是（） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知，，，下列结论正确的是（ ） A. 的最小值为9 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 10. 下列说法正确的是（ ） A. 命题，，则命题的否定为， B. “”是“”成立的充要条件 C. 函数的最小值是 D. “”是“函数的零点个数为2”成立的充要条件 11. 下列说法正确的是（ ） A. 若幂函数的图象过点，则 B. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 C. 若函数在上只有一个零点，则实数a的范围为 D. 函数的单调增区间为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若，则__________. 13. 已知函数，则满足的实数m的取值范围是______． 14. 已知，若，则的最大值为__________. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. （1）已知命题，使得是真命题，求实数的取值范围； （2）已知，，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 16. 四棱锥中，是等边三角形，为直角三角形，且，，为的中点． （1）为的中点，为的中点，证明：平面； （2）若平面，，求平面与平面所成角的余弦值． 17. 已知函数． （1）判断并证明的奇偶性； （2）若对任意，，不等式恒成立，求实数a的取值范围． 18. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）是否存在a，b，使得曲线关于直线对称，若存在，求的值，若不存在，说明理由. 19. 已知函数． （1）求函数的单调区间； （2）求的零点个数． （3）在区间上有两个零点，求m的范围？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省泗阳中学2026届高三上学期期初考试数学测试卷 一、单项选择题（每小题5分，共8小题，计40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用对数函数的性质解集合A，再由交集的概念计算即可. 【详解】由，即. 故选：C 2. 设．若函数为指数函数，且，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 且 【答案】A 【解析】 【分析】借助指数函数性质分类讨论即可得. 【详解】由函数为指数函数，故且， 当时，函数单调递增，有，不符合题意，故舍去； 当时，函数单调递减，有，符合题意，故正确. 故选：A. 3. 记，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对于可化成同指的两个指数再利用幂函数单调性比较大小，对于和的大小关系利用中间值法即可. 【详解】因为，幂函数在上单调递增， 又，所以， 所以， 又对数函数在上单调递减，所以， 故. 故选：D. 4. 已知函数，下列函数是奇函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别求出每个选项中的函数的表达式，确定其定义域，结合奇函数的定义判断，即可得答案. 【详解】由于，定义域为 故，定义域为， ， 即不是奇函数，A错误； ，定义域为，不关于原点对称， 即不是奇函数，B错误； ，定义域为，不关于原点对称， 即不是奇函数，C错误； ，定义域为， ， 即为奇函数，D正确， 故选：D 5. 已知实数x，y满足，且，则的最小值为（ ） A. B. 8 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意得，进一步表示出，结合基本不等式即可求解. 【详解】因为，且，所以， 从而，等号成立当且仅当， 所以的最小值为. 故选：A. 6. 下图是一个圆台的侧面展开图，已知，且，则该圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，求出圆台的上下底面圆的半径，再求出圆台的高并结合圆台的体积公式求解作答. 【详解】设圆台上底面圆半径为，下底面圆半径为，母线长为，高为， 依题意，， 解得，， 而圆台的母线长， 因此圆台的高， 所以圆台的体积. 故选：D. 7. 函数在上单调递增，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用导数分别求解和时的单调性，再结合在上递增，可得，即可求解. 【详解】当时，，， 由题意可得在恒成立，即在恒成立，则； 当时，，， 由题意可得在上恒成立，即在上恒成立，则，即； 又由在上递增，则，解得. 综上可得，的取值范围是. 故选：C. 8. 若定义在上的奇函数在上单调递增，且，则满足的的取值范围是（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】作出图象分类讨论即可. 【详解】由题意作出的图象如图所示： 由，即无解， 或，即， 故选：D. 二、多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知，，，下列结论正确的是（ ） A. 的最小值为9 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】AD 【解析】 【分析】根据基本不等式、二次函数的性质和对数运算性质判断各选项即可. 【详解】因为，，， 所以， 当且仅当，即时取等号，取得最小值9，故A正确； ， 根据二次函数的性质可知，当，时，取得最小值，故B错误； 因为，即， 当且仅当，即时取等号， 所以，即最大值，故C错误； ，当且仅当，即时取等号，此时取得最小值，故D正确． 故选：AD． 10. 下列说法正确的是（ ） A. 命题，，则命题的否定为， B. “”是“”成立的充要条件 C. 函数的最小值是 D. “”是“函数的零点个数为2”成立的充要条件 【答案】AC 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题判断A，根据必要条件的定义和不等式的性质判断B， 设，结合对勾函数性质求函数的最小值，判断C，根据零点的定义，结合指数函数和对数函数图象判断D. 【详解】对于A，，，故A正确； 对于B，若，，则， 所以“”不是“”成立必要条件，故B错误； 对于C，设，则，， 设，， 由对勾函数的性质可得，函数在上单调递增， 所以，当且仅当时取等号， 所以当时，取最小值，最小值为，故C正确； 对于D，令，则， 当时，作出函数，的图象， 由图可知函数的图象有两个交点， 所以当时，函数的零点个数为2； 当时，作出函数，的图象， 由图可知函数，的图象有1个或2个或3个交点， 所以当时，函数的零点个数为1或2或3， 所以“”是“函数的零点个数为2”成立的充分不必要条件， 故D错误. 故选：AC. 11. 下列说法正确的是（ ） A. 若幂函数的图象过点，则 B. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 C. 若函数在上只有一个零点，则实数a的范围为 D. 函数的单调增区间为 【答案】AC 【解析】 【分析】求出幂函数的解析式，进而求出函数值判断A；利用抽象函数的定义域列式求解判断B；利用一元二次方程实根分布求解判断C；利用导数求出单调递增区间判断D. 【详解】对于A，令，则，解得，，因此，A正确； 对于B，函数中，则，即函数的定义域为， 由，得，因此函数的定义域为，B错误； 对于C，由函数在上只有一个零点，得，无解， 或，解得，因此实数a的范围为，C正确； 对于D，由，得，而，解得， 因此函数的单调增区间为，D错误. 故选：AC 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用指数，对数的运算进行化简求值即可. 【详解】因为， 所以. 故答案为：. 13. 已知函数，则满足的实数m的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】令函数并确定函数的奇偶性，再利用导数确定函数的单调性，进而求解不等式即可. 【详解】函数的定义域为R，令函数， 则，即函数是R上的奇函数， 又，当且仅当时取等号， 因此函数在R上单调递增， 所以不等式， 则，解得，所以实数m的取值范围是. 故答案为： 14. 已知，若，则的最大值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据余弦函数的对称性，可知，利用函数值相等有，转化成一个变量的函数，利用导数求解出函数的最值，即可求解. 【详解】设，则的图象如图所示， 即的图象与的图象有3个交点，横坐标依次为，且 由余弦函数图象的性质可知，， 又，所以， 令， 则，令，解得或， 当时，在单调递增， 当时，在单调递减， 当时，在单调递增， 又因为， 所以， 所以， 故答案为：. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. （1）已知命题，使得是真命题，求实数的取值范围； （2）已知，，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）因为对全体实数x，使得是真命题，即可得到，求出的范围； （2）分别求出命题 中 的范围，再根据是的必要不充分条件，即可得到关于的不等式，求出的范围. 【详解】（1）因为命题，使得是真命题，那么 ， 即 ，那么实数的取值范围为 ； （2），即 ； 中，，因为 ，解得 ，是的必要不充分条件， 所以 ，故实数的取值范围为. 16. 四棱锥中，是等边三角形，为直角三角形，且，，为的中点． （1）为的中点，为的中点，证明：平面； （2）若平面，，求平面与平面所成角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由线面平行的判定定理可知只需将问题转化为即可，进而转化为证明四边形为平行四边形即可； （2）依题建系，写出相关点的坐标，求出平面和平面的法向量，由空间向量的夹角公式计算即得. 【小问1详解】 取的中点，的中点，连接、， 因，，不妨设，则， ∵、、分别为、、的中点， ∴，，， ∵，，∴，∴，∴四边形为平行四边形， ∴，∵平面，平面，∴平面. 【小问2详解】 ∵平面，平面，∴，，又， 故可以为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系． 设，则 ∴，， 设平面的一个法向量为 ∴，∴， 取，∴，∴， ∵，，平面，且， ∴平面，则平面的法向量可取为， 设平面与平面成的角为θ， 则， 即平面与平面成角的余弦值为． 17. 已知函数． （1）判断并证明的奇偶性； （2）若对任意，，不等式恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】（1） 为奇函数，证明如下： 由解析式易知，函数定义域为， 而，故为奇函数. （2）. 【解析】 【分析】（1）利用奇偶性定义证明判断即可； （2）根据对数复合函数单调性确定在上最小值，把问题化为在上恒成立，即可求结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由在上为减函数，而在定义域上为增函数， 所以在上为减函数，故， 要使任意，，不等式恒成立， 只需在上恒成立，即在上恒成立， 由开口向上，则， 综上，. 18. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）是否存在a，b，使得曲线关于直线对称，若存在，求的值，若不存在，说明理由. 【答案】（1） （2）存在，，理由见解析 【解析】 【分析】（1）由题意首先求得导函数的解析式，然后由导数的几何意义确定切线的斜率和切点坐标，最后求解切线方程即可； （2）首先求得函数的定义域，由函数的定义域可确定实数的值，进一步结合函数的对称性利用特殊值法可得关于实数的方程，解方程可得实数的值，最后检验所得的是否正确即可； 【小问1详解】 当时，， 则， 据此可得， 函数在处的切线方程为， 即. 【小问2详解】 存在a，b，使得曲线关于直线对称， 理由：令， 函数的定义域满足，即函数的定义域为， 定义域关于直线对称，由题意可得， 由对称性可知， 取可得， 即，则，解得， 经检验满足题意，故. 即存在满足题意. 19. 已知函数． （1）求函数的单调区间； （2）求的零点个数． （3）在区间上有两个零点，求m的范围？ 【答案】（1）的单调减区间为；单调增区间为， （2）1个 （3） 【解析】 【分析】（1）对函数求导，利用导数正负与原函数的关系求解即可； （2）结合(1)问的单调性，求出函数的值域，结合零点存在定理即可求解. （3）将零点问题转化为函数交点问题，求出在区间上的值域然后数形结合即可求解. 【小问1详解】 由题可得， 令，解得或， 令，解得， 令，解得或， 所以的单调减区间为；单调增区间为，. 【小问2详解】 因为的单调减区间为，单调增区间为，， 由于，则在上无零点； 由于，则在上无零点； 由于，则在上存在唯一零点； 综上，函数在上存在唯一零点. 【小问3详解】 若在区间上有两个零点， 则函数与在区间上有两个交点； 由(1)知，在上单调递增，上单调递减； ，，， 所以函数与在区间上有两个交点，则， 即在区间上有两个零点，则的范围为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $