精品解析：湖南省长沙市天心区长沙市雅礼外国语学校2021-2022学年七年级下学期数学竞赛班能力水平测试

雅礼外国语学校初一下学期竞赛班能力水平测试试题 满分：120分 时间：60分钟 一、填空题（每小题5分，共12小题，共60分） 1. 已知六个整数的积，、、、、、互不相等，则的值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据六个整数的积，可得，确定六个数后计算和即可． 【详解】解：∵六个整数的积，、、、、、互不相等， ∴， ∴符合条件的六个整数为， ∴． 2. 已知对任意有理数a、b，关于x、y的二元一次方程有一组公共解，则公共解为__________． 【答案】 【解析】 【分析】将方程化为，根据该方程对任意有理数、都成立，得到、的系数均为0，列出方程组进行求解即可. 【详解】解：将原方程展开整理，得， ∵该方程对任意有理数、都成立， ∴、的系数均为0， ∴ 解得，即公共解为. 3. 若关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定不等式的解集，求出的关系，再求新的不等式的解集即可. 【详解】解：∵， ∴， ∵不等式的解集为， ∴，且， ∴， 整理得， ∵， ∴， ∵， 将代入得， 移项得， ∵， ∴. 4. 计算__________． 【答案】 【解析】 【分析】先将其它三个数用和2014相关的数表示，再根据乘法结合律整理得出完全平方公式，然后根据算术平方根的性质开方，最后根据乘方法则计算得出答案． 【详解】解：原式， ． 5. 有若干个三角形，在所有的内角中，有个是直角，有个是钝角，个是锐角，则其中有_______个锐角三角形． 【答案】 【解析】 【分析】先计算三角形总个数，再根据三角形最多只能有一个直角或一个钝角，得到直角三角形和钝角三角形的个数，剩余即为锐角三角形的个数． 【详解】解：∵每个三角形有个内角， ∴三角形总个数为， ∵在所有的内角中，有个是直角，有个是钝角，一个三角形中最多只有个直角或个钝角， ∴共有个直角三角形，个钝角三角形， ∴锐角三角形的个数为． 6. 已知点在第二象限，且则点的坐标为_______________． 【答案】 【解析】 【分析】根据第二象限点的坐标特征求出m的取值范围，然后根据题意即可求出m的值，从而求出结论． 【详解】解：∵点在第二象限， ∴ 解得： ∵ ∴m=或（不符合m的取值，舍去） 将m=代入点P坐标中，可得 故答案为：． 【点睛】此题考查的是求点的坐标，掌握第二象限点的坐标特征、平方根的定义和解一元一次不等式组是解决此题的关键． 7. 一个自然数与13的和是5的倍数，与13的差是6的倍数，则满足条件的最小自然数是_________． 【答案】37 【解析】 【分析】 【详解】理由：由题意可知，其中m，n为正整数，则， 所以． 因此n最小可取4，则． 注：倍数无负倍数的概念，自然数7不是答案． 8. 已知实数、、、满足，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】将两个已知等式变形相加，利用绝对值与平方的非负性求出，，的值，再代入求出，最后计算所求式子的值． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ，，， ， ，    ，，， ，      ． 9. 如图，，若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出，根据三角形中线的性质可得出，进而求出，即可求解. 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴. 10. 如图，在平面直角坐标系中，点在y轴正半轴上，点在x轴负半轴上，且，点M坐标为，N点为线段上一动点，P为线段上一动点，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】当，，三点共线且时，取得最小值，即为点到直线的距离，利用三角形面积公式建立等量关系求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点，交于点 ，由垂线段最短知，此时最小，最小值为线段的长，连接， 点，点，点， ，，， ， ，且， ， ， ，解得， 的最小值为． 11. 如图，已知是一个长方形，其中顶点A，B的坐标分别为和，点E在上，且，点F在上，且，点G在上，且使的面积为20，的面积为16，则a的值为________． 【答案】 6 【解析】 【分析】先求出，进而得出，则，再设点，则，然后根据，可得①，同理可得②，最后解方程组得出答案． 【详解】解：∵点， ∴． ∵， ∴， 则． 设点，则， ∵， ∴，即， 整理，得①； 同理，得，即， 整理，得②， 解①②联立得出的方程组得． 12. 在平面直角坐标系中，对于点，我们把点叫做点P的伴随点，已知点的伴随点为，点的伴随点为，点的伴随点为，…，这样依次得到点．若点的坐标为，对于任意的正整数n，点均在x轴上方，则a应满足的条件为_______，b应满足的条件为_______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据伴随点定义依次推导坐标，可得坐标以个一组循环，只需保证前四个点的纵坐标都大于，解不等式组即可得到结果. 【详解】解：∵的坐标为， ∴， ，即， ，即， ，即， … ∴点的坐标以个一组循环， ∵对任意正整数，点均在轴上方，轴上方的点纵坐标大于， ∴， 解不等式组得，. 二、解答题（每小题15分，共4小题，共60分） 13. 已知关于，的方程组的解都为非负数，若，，求的最小值． 【答案】 【解析】 【分析】先解方程组得到，再根据方程组的解为非负数得到，则，再由已知条件得到，据此求解即可． 【详解】解：， 得：，解得， 把代入得：，解得， ∴方程组的解为， ∵关于，的方程组的解都为非负数， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴的最小值为． 14. 用长度相等的100根火柴，摆放成一个三角形，使最大边的长度是最小边长度的3倍，求满足此条件的每个三角形各边所用火柴的根数． 【答案】 满足条件的三角形各边所用火柴根数为15根、40根、45根或16根、36根、48根. 【解析】 【分析】设最小边用根火柴，用含的式子表示另外两边的长度，结合三角形边的大小关系与三边关系列不等式组，求解正整数解即可． 【详解】解：设最小边所用火柴根数为，则最大边所用火柴根数为，第三边所用火柴根数为， 根据题意，得， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 解不等式③，得， ∴不等式组的解集为， ∵为正整数， ∴或， 当时，，，三边长为15，40，45，符合题意； 当时，，，三边长为16，36，48，符合题意； 综上所述，满足条件的三角形各边所用火柴根数为15根、40根、45根或16根、36根、48根． 15. 关于的两个二元一次方程组，若方程组①的解与方程组②的解满足，则称方程组①是方程组②的“雅外方程组”．如方程组①的解为，方程组②的解为，因为，所以方程组①是方程组②的“雅外方程组”． （1）已知方程组①与方程组②则方程组①是方程组②的“雅外方程组”吗?请说明理由； （2）若方程组①的解为整数，且方程组①是方程组②的“雅外方程组”，求整数的值． （3）若方程组①，不是方程组②的“雅外方程组”，求的最小整数值． 【答案】（1）方程组①不是方程组②的“雅外方程组” （2）整数的值为，， （3）的最小整数值为 【解析】 【分析】（1）分别求出两个二元一次方程组的解，对照“雅外方程组”的定义，检验条件是否同时成立，完成判断； （2）先求出已知方程组的解，再解含参数的方程组，结合解为整数确定参数的候选值，再根据新定义的不等式条件筛选出符合题意的整数； （3）先用含的代数式表示两个方程组的解，根据“不是雅外方程组”得到对应的不等式，求出的取值范围，进而确定的最小整数值． 【小问1详解】 解：方程组①不是方程组②的“雅外方程组”，理由如下： 解方程组①： 将两式相加，得，解得， 将代入，解得， 方程组①的解为， 解方程组②： 由得， 代入，得， 整理得，解得， 将代入，得， 方程组②的解为， 根据“雅外方程组”的定义，需同时满足且， ，，，不满足， 方程组①不是方程组②的“雅外方程组”； 【小问2详解】 解：先解方程组②： 由得， 代入，得， 整理得，解得， 将代入，得， 方程组②的解为， 解方程组①： 由得， 代入，得， 整理得， 方程组①的解为整数，且为整数， 是的整数约数，即， 对应整数的可能值为：， 此时，， 方程组①是方程组②的“雅外方程组”， 需满足，对的可能值逐一验证： 若，则，，不符合； 若，则，不符合； 若，则，，符合； 若，则，不符合； 若，则，，符合； 若，则，不符合； 若，则，，符合； 若，则，不符合； 综上所述，整数的值为，，； 【小问3详解】 解：解方程组①： ，得，解得， 将代入③，得， 方程组①的解为， 解方程组②： ，得， 将代入⑤，得， 方程组②的解为， “雅外方程组”要求同时满足且， “不是雅外方程组”即：或， 分两种情况解不等式：若，则， 解得， 若，则， 解得， ∴满足条件的的范围是， 的最小整数值为． 16. 平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为且a，b，c满足 （1）请用含m的式子分别表示a，b，c； （2）如图1，已知线段与y轴相交，若，求实数m的值； （3）当实数m变化时，若线段与y轴相交，线段与线段交于点P，且，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用加减消元法求解即可； （2）先确定，过点分别作轴的垂线，垂足为，根据，表示出，根据，求出，再由建立方程求解； （3）连接，过点分别作轴的垂线，垂足为，由推导出，再分别表示和，然后建立不等式求解即可． 【小问1详解】 解： 由得，，解得， 将代入③得，，解得， 将，代入②得，，解得， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）可得， ∵线段与y轴相交 ∴ 解得， 过点分别作轴的垂线，垂足为 ∵ ∴ ； ∵ ∴， ∵ ∴ 解得； 【小问3详解】 解：连接，过点分别作轴的垂线，垂足为， ∵， ∴ ∴ ∴ ∵ ； ∴ 解得 由（2）知 ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 雅礼外国语学校初一下学期竞赛班能力水平测试试题 满分：120分 时间：60分钟 一、填空题（每小题5分，共12小题，共60分） 1. 已知六个整数的积，、、、、、互不相等，则的值是__________． 2. 已知对任意有理数a、b，关于x、y的二元一次方程有一组公共解，则公共解为__________． 3. 若关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为__________． 4. 计算__________． 5. 有若干个三角形，在所有的内角中，有个是直角，有个是钝角，个是锐角，则其中有_______个锐角三角形． 6. 已知点在第二象限，且则点的坐标为_______________． 7. 一个自然数与13的和是5的倍数，与13的差是6的倍数，则满足条件的最小自然数是_________． 8. 已知实数、、、满足，，则________． 9. 如图，，若，则________． 10. 如图，在平面直角坐标系中，点在y轴正半轴上，点在x轴负半轴上，且，点M坐标为，N点为线段上一动点，P为线段上一动点，则的最小值为______． 11. 如图，已知是一个长方形，其中顶点A，B的坐标分别为和，点E在上，且，点F在上，且，点G在上，且使的面积为20，的面积为16，则a的值为________． 12. 在平面直角坐标系中，对于点，我们把点叫做点P的伴随点，已知点的伴随点为，点的伴随点为，点的伴随点为，…，这样依次得到点．若点的坐标为，对于任意的正整数n，点均在x轴上方，则a应满足的条件为_______，b应满足的条件为_______． 二、解答题（每小题15分，共4小题，共60分） 13. 已知关于，的方程组的解都为非负数，若，，求的最小值． 14. 用长度相等的100根火柴，摆放成一个三角形，使最大边的长度是最小边长度的3倍，求满足此条件的每个三角形各边所用火柴的根数． 15. 关于的两个二元一次方程组，若方程组①的解与方程组②的解满足，则称方程组①是方程组②的“雅外方程组”．如方程组①的解为，方程组②的解为，因为，所以方程组①是方程组②的“雅外方程组”． （1）已知方程组①与方程组②则方程组①是方程组②的“雅外方程组”吗?请说明理由； （2）若方程组①的解为整数，且方程组①是方程组②的“雅外方程组”，求整数的值． （3）若方程组①，不是方程组②的“雅外方程组”，求的最小整数值． 16. 平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为且a，b，c满足 （1）请用含m的式子分别表示a，b，c； （2）如图1，已知线段与y轴相交，若，求实数m的值； （3）当实数m变化时，若线段与y轴相交，线段与线段交于点P，且，求实数m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $