第二章 有理数及其运算（复习课件）数学新教材北师大版七年级上册

该初中数学单元复习课件系统梳理了有理数的概念（正负数、数轴、相反数、绝对值等）与运算（加减乘除、乘方、混合运算）及科学记数法、近似数等内容，通过知识图谱将概念辨析、工具掌握、深化理解、思想应用四大模块串联，构建完整知识网络。 其亮点在于采用分层目标设计（基础达标、能力提升、素养目标），结合数形结合（数轴比较大小）、分类讨论（绝对值化简）等思想，设计如温度变化、出租车行程等实际应用题，培养抽象能力、运算能力和应用意识。针对训练分基础与综合题，助力学生巩固知识，教师可精准把握学情提升复习效率。

第二章 有理数及其运算 复习课件 北师大版·七年级数学上册（新教材） 复习内容导览 1 复习目标 2 重点难点 3 知识图谱 4 考点串讲 5 题型全解 6 针对训练 7 课堂总结 复习内容导览 单元复习目标 01 熟练区分正数、负数、0，清晰掌握数轴、相反数、绝对值、乘方、近似数、准确数等核心概念；能准确辨别有理数、非负数、负整数等数的分类，分清乘方中底数与指数的含义。 02 工具掌握 熟练运用有理数加减乘除、乘方运算法则规范计算；掌握科学计算器按键操作，能利用计算器完成乘方、混合运算；掌握四舍五入取近似值的方法，按要求精确到指定数位 深化理解 理解有理数运算顺序、运算律的意义，明晰乘方的符号规律；能区分-a^n与(-a)^n的运算差异，借助数轴数形结合比较数的大小、化简绝对值，建立数感。 思想与应用 握数形结合、分类讨论、转化思想；能结合测量、对折、估算等生活实际场景，运用有理数运算、近似数知识解决实际问题，规范书写解题过程。 概念识别 03 04 基础达标 能力提升 素养目标 3 单元重点难点 重 点 重点 4. 工具实操：科学计算器完成乘方、混合运算；按要求对结果取近似值。 5. 实际应用：利用有理数运算、近似数解决测量、对折、求值类生活应用题。 1. 基础概念：正负数、数轴、相反数、绝对值、乘方、近似数的定义与辨析；有理数的分类。 2. 四则与乘方运算：有理数加、减、乘、除、乘方运算法则，符号判断是核心；加法、乘法运算律简便计算。 3. 混合运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号内。 4 单元重点难点 难 点 重点 4. 近似数规范：区分精确数与近似数，按指定精度（0.1、个位等）取舍数值。 5. 数形结合解题：结合数轴分析绝对值、距离问题，学生难以建立数与图形的关联。 6. 计算器对应算式：看懂计算器按键顺序，转化为标准有理数乘方算式。 1. 绝对值综合运用：含字母绝对值化简、利用数轴比较大小，分类讨论思想容易遗漏情况。 2. 乘方符号区分：区分 (-a)n 和 -an的计算结果，偶数次、奇数次乘方符号规律混淆。 3. 运算符号易错：减法变加法、除法变乘法时符号处理失误；多重括号混合运算步骤混乱。 5 知识图谱 有理数及其运算 有理数 正、负数 相反意义的量 有理数的分类 相反数 只有符号不同的两个数，a 的相反数是 -a 任何数都有相反数 绝对值 1.代数定义 2. 几何定义 1.非负性2.互为相反数的两个数的绝对值相等 数轴 1.定义 2.三要素：原点、正方向、单位长度 有理数及其运算 加法 法则 减法 减一个数，等于加这个数的 相反数 乘法 两数相乘，同号得正，异号得负， 并把绝对值相乘 除法 除以一个数等于乘这个数的 倒数 乘方 求n个相同因数的积的运算 科学记数法 混合运算 6 考点串讲 ——1：正数与负数、有理数分类 生活中存在大量具有相反意义的量，我们用正数、负数区分，0既不是正数也不是负数；整数和分数统称为有理数。要会用正负数表示相反意义的量，能准确对有理数分类，区分正整数、负整数、正分数、负分数，理清非正数、非负数的范围。 专题解读 D 1-1 下列叙述正确的有(　　) ①零是整数中最小的数；②有理数中没有最大的数；③正数的绝对值是负数；④正数的相反数是负数． A．3个 B．4个 C．1个 D．2个 7 1-2.［2024宁夏中考］某水库警戒水位为29.8 m ，取警戒水位作为0点。如果水库水位为31.4 m记作+1.6 m，那么水库水位为28 m 记作______m 。 考点串讲 ——1：正数与负数、有理数分类 1-3.［2024广州中考］四个数， ，0，10中，最小的数是( ) A A. B. C.0 D.10 考点串讲 ——2：相反数 只有符号不同的两个数互为相反数，数a的相反数是-a；0的相反数是0。任意有理数都存在相反数，互为相反数的两个数在数轴上到原点距离相等，会求任意数、代数式的相反数。 专题解读 2-1.将一个数在数轴上对应的点向左移动6个单位长度后，得到它的相反 数对应的点，则这个数是 ⁠. 3　 2-2.若一个数的相反数等于它本身，则这个数是( ) C A.正数 B.负数 C.0 D.非负数 9 考点串讲 ——3：绝对值 绝对值包含代数定义与几何定义，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做a的绝对值。绝对值具有非负性，互为相反数的两个数绝对值相等；能根据数的正负化简绝对值，利用绝对值比较两个负数的大小。 专题解读 3-1.求下列各数的绝对值： 21，，0，， 。 解：,,,, 。 3-2.［2025陕西师大附中月考］ 的绝对值是( ) A.2 025 B. C. D. A 考点串讲 ——4：数轴 专题解读 规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴，三要素缺一不可。所有有理数都可以在数轴上表示，数轴上右边的数总比左边的数大；借助数轴完成数的大小比较、距离计算、绝对值化简等数形结合题型。 解：如图，将a，－a，b，－b表示在数轴上， 所以b＜－a＜a＜－b. [解析] 由a＞0，b＜0，可知a为正数，－a为负数，b为负数，－b为正数．又由|a|＜| b |可知，b的绝对值大于a的绝对值 例3 设a＞0，b＜0，且|a|＜|b|，用“＜”号把a,-a,b,-b连接起来. 考点串讲 ——5：有理数加法 掌握有理数加法法则：同号相加取相同符号，绝对值相加；异号两数相加，取绝对值较大数的符号，用大绝对值减小绝对值；互为相反数相加得0，一个数加0仍得本身。灵活运用加法交换律、结合律简便运算。 专题解读 D 5-1.小磊解题时，将式子 先变形为 ，再计算结果，小磊运用了( ) A.加法交换律 B.加法交换律和加法结合律 C.加法结合律 D.以上均不正确 12 考点串讲 ——5：有理数加法 5-2.［教材P39“例3”变式］计算： （1） ； 解：27 （2） ； 0 （4） 。 0。 （3） 。 13 考点串讲 ——6：有理数减法 有理数减法统一转化为加法计算，法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。运算核心是“变减号为加号、减数变相反数”，熟练处理多重符号化简，解决含减法的混合运算。 专题解读 6-1. ［教材P39观察·思考变式］下列说法正确的是( ) A.两数相减，被减数一定大于减数 B.零减去一个数仍得这个数 C.互为相反数的两数差为0 D.减去一个正数，差一定小于被减数 D 14 考点串讲 —— 6-2.［2025西安长安区模拟］表示，， 三个数的点在数轴上的位置如 图，则下列结论中错误的是( ) C A. B. C. D. 6-3.［2025西工大附中月考］已知，，且 ， 则 的值为( ) C A.10 B. C.10或4 D.或 6：有理数减法 15 考点串讲 ——7：有理数乘法 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与0相乘结果为0。多个有理数相乘时，根据负因数个数判断积的符号，灵活使用乘法交换律、结合律、分配律简化计算。 专题解读 7-1.计算（1） ； 解：原式 ； （2） 。 原式 。 16 考点串讲 ——7：有理数乘法 7-2.若,互为倒数，且满足，则 的值为( ) A. B. C.2 D.4 7-3.［教材P57第10题变式］3个有理数相乘，积为负数，则其中负因数 有( ) D A.1个 B.2个 C.3个 D.1个或3个 C 17 考点串讲 ——8：有理数除法 除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数；两数相除，同号得正，异号得负，绝对值相除；0不能作除数，0除以任意非0数结果为0。会求整数、分数的倒数，完成除法与乘法的转化运算。 专题解读 8-1.计算 时，将除法转化为乘法正确的是( ) B A. B. C. D. 8-2.如果两个有理数的商是负数，和为0，那么这两个有理数( ) D A.一个为0，另一个为正数 B.都为负数 C.一个为0，另一个为负数 D.互为相反数，且均不为0 返回 18 考点串讲 ——8：有理数乘法 8-3.有理数,, 在数轴上对应的点的位置如图所示，则下列结论： ；；； ； ，其中正确的是________。（填序号） ①③⑤ 19 考点串讲 ——9：有理数乘方 求n个相同因数积的运算叫做乘方，an中a是底数，n是指数。重点区分(-a)n与-an的运算顺序与结果符号，掌握正数、负数、0乘方的符号规律，能进行简单乘方计算。 专题解读 9-1.下列关于 的说法中，错误的是( ) A A.表示3个相加 B.底数是 C.表示3个 相乘 D.指数是3 9-2.［2025宝鸡月考］下列各组式子中，运算结果相等的是( ) A A.与 B.与 C.与 D.与 返回 20 考点串讲 ——9：有理数乘方 9-3.我国古代典籍《庄子·天下》中曾有：“一尺之棰，日取其半，万世不 竭”。现有一根长为1尺的木杆，第1次截取其长度的一半，第2次截取其 第1次剩下长度的一半，第3次截取其第2次剩下长度的一半， ，以此 规律，则第100次截取后，此木杆剩下的长度为( ) B A.尺 B.尺 C.尺 D. 尺 21 考点串讲 ——10：有理数混合运算 运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内，多重括号从里向外计算。计算过程中合理运用运算律简化步骤，规范书写步骤，减少符号、计算失误。 专题解读 10-1.［2025咸阳期末］下面计算中，正确的是( ) B A. B. C. D. 10-2.下列各组运算中，其结果最小的是( ) A A. B. C. D. 返回 22 考点串讲 ——10：有理数混合运算 10-3 .已知,互为倒数，,互为相反数，且 是最大的负整数，求 的值。 解：由题意可知，，， ，所以原式 。 23 考点串讲 ——11：科学记数法、近似数 会把大数写成a×10^n（1≤|a|<10）的科学记数法形式；理解准确数与近似数，能按指定精度（个位、0.1等）对计算结果四舍五入取近似值，结合实际测量问题应用。 专题解读 11-1.用四舍五入法，分别按要求取 的近似值，下列四个结果中错 误的是( ) A.（精确到） B.（精确到 ） C.（精确到） D.（精确到 ） C 24 考点串讲 ——2：截一个几何体 有理数的分类（正负数、整数、分数、非负 / 非正数区分）； 数轴、相反数、绝对值、倒数定义与绝对值几何意义； 有理数大小比较（数轴法、绝对值比较负数）。 专题解读 题型全解 题型01 有理数相关概念辨析 例1-1.下列各组中的两个数互为相反数 的是( ) B A.和 B.和 C.3和 D.和 解析： 选项 A -(-3)=3，|-3|=3 两数都是3，相等，不是相反数 选项 B -(-3)=3，-|+3|=-3 。3与-3只有符号不同，符合相反数定义；满足条件 选项 C 3和乘积为1，二者互为倒数，不是相反数。 选项 D-(+3)=-3，-|-3|=-3 两数都是-3，相等，不是相反数。 25 考点串讲 ——2：截一个几何体 题型全解 题型01 有理数相关概念辨析 例1-2.［教材P31“习题2.1”第8题变式］在如图所示的数轴上表示下 列各数，并用“ ”把它们连接起来。 3，，，， 。 解：在数轴上表示各数如图。 。 解析 1.先化简所有数 化简后为3， 1, -0.5, -2, - 2.数轴上越靠左的数，数值越小；越靠右，数值越大。 3.从小到大排序 判断、辨析有理数概念的通用解题步骤 ① 熟记定义：先熟记核心概念边界 —— 整数和分数统称有理数；0 既不是正数也不是负数；绝对值是数轴上点到原点距离。 ② 举反例：判断命题对错时，优先用 0、负分数、负整数举例验证。 ③ 数形结合：比较大小、求绝对值、找相反数，借助数轴直观判断。 ④ 分类验算：多空填空题，分正数、0、负数三类分别讨论，避免漏解。 考点串讲 ——2：截一个几何体 题型全解 题型01 有理数相关概念辨析 考点串讲 ——2：截一个几何体 （1）单一加减乘除、乘方基础运算； （2）混合运算（含括号、乘方、绝对值，先定运算顺序再计算）； 核心考点：符号判定、运算顺序、运算律简便计算。 专题解读 题型全解 题型02 有理数基础计算 例2-1计算： （1） ； 解：0； （2） ； 解： ； 28 考点串讲 ——2：截一个几何体 题型全解 题型02 有理数基础计算 （3） ； 解： ； （4） ； 解： ； （5） ； 解： ； 考点串讲 ——2：截一个几何体 题型全解 题型02 有理数基础计算 有理数加减混合运算的技巧 1.归类——将同类数（符号相同、分母相同）归类计算 2.凑整——将和为整数的数结合计算 3.组合——将易通分的分数组合计算 4.拆项——将一个数拆分成两个数的和的形式 5.对消——将相加得零的数结合计算 考点串讲 ——2：截一个几何体 题型全解 题型02 有理数基础计算 例2-2 计算： 。 解：原式 。 (2) 。 解：原式 。 考点串讲 ——2：截一个几何体 题型全解 题型02 有理数基础计算 （3） ; 解：原式 。 （4） 。 解：原式 。 。 解：因为 ....... 所以原式 。 考点串讲 ——2：截一个几何体 题型全解 题型02 有理数基础计算 有理数的混合运算技巧 技巧1 运用运算律改变运算顺序 技巧2 拆项法 多个分数相加，分子相同、分母为两个连续 / 差固定整数乘积； 带分数加减混合运算，可把整数、分数分开拆分简化计算。 技巧3 倒数法 被除数是加减混合算式，除数为单一分数，直接计算繁琐，先求 倒数简化运算。 考点串讲 ——2：截一个几何体 （1）实际应用：水位、温度、收支、路程正负记数； （2）分类讨论最值题：已知绝对值 / 数轴距离，求代数式最大、最小值； 常考：结合两个条件，判断结果所有可能取值、统计答案种类。 专题解读 题型全解 题型03 有理数综合应用 例3-1 若，， ， 则有( ) A A.，，的绝对值较大 B.，， 的绝对值较大 C.，，的绝对值较大 D.，， 的绝对值较大 解析： 1. 由 xy < 0 可知：x 和 y 异号，一个正数，一个负数。 2. 由 x > y 可知：正数大于负数，所以 x > 0，y < 0。 3. 由 x + y > 0 可知：正数与负数相加结果为正，说明正数的绝对值更大，也就是 |x| > |y|。 综上，x > 0，y < 0，且x的绝对值较大 34 考点串讲 ——2：截一个几何体 题型全解 题型03 有理数综合应用 例3-2［教材P56“习题2.3”第8题变式］某地的气象观测资料表明， 高度每增加，气温大约下降，该地地面温度为 。 （1）求距地面高度 处的温度； 解： 。 所以距地面高度处的温度约为 。 （2）若高空某处气温为 ，求此处距地面的高度。 。 所以此处距地面的高度约为 。 考点串讲 ——2：截一个几何体 题型全解 题型03 有理数综合应用 例3-3 已知电子蚂蚁的位置在数轴上表示的数为－2，现有一粒谷物，其位 置在数轴上表示的数为4，若电子蚂蚁以每秒2个单位长度的速度沿数轴向 右爬行，经过多少秒后电子蚂蚁与谷物的距离为2个单位长度？ 解：因为谷物在数轴上表示的数为4， 所以与谷物距离为2个单位长度的点表示的数为2或6， 分情况讨论：①当电子蚂蚁到达的点为表示2的点时，经过的时间为[2－ (－2)]÷2＝2(秒)； ②当电子蚂蚁到达的点为表示6的点时，经过的时间为[6－(－2)]÷2＝ 4(秒)， 综上所述，经过2秒或4秒后电子蚂蚁与谷物的距离为2个单位长度. 针对训练 1. 中国是最早采用正负数表示相反意义的量的国家，我们通常将水结冰 的温度记为0 ℃，而比水结冰时的温度低7 ℃记为－7 ℃，则比水结冰时 的温度高5 ℃应记为(　A　) A. 5 ℃ B. －5 ℃ C. 12 ℃ D. －12 ℃ 2. 下列说法：①－2的相反数是2；②－ 的倒数是－2；③0没有相反数； ④－2的绝对值是2；⑤倒数等于本身的数有0，1，其中正确的有 ⁠(填写序号) A ①②④ 针对训练 3.在如图所示的三阶幻方中，每个格填写了数或汉字（其中每个汉字都 表示一个数）。若处于每行、每列及每条对角线上的3个数之和都相等， 则“中”“国”“梦”这三个字表示的数之和是___。 中 国 航 天 梦 0 1 针对训练 解析 1. 求幻和 主对角线（-2，-1，0）的和：-2 + (-1) + 0 = -3 即所有行、列、对角线的和都是-3。 2. 求“国” 副对角线（国，-1，-5）的和为-3：国 + (-1) + (-5) = -3 解得：国 = 3 3. 求“中” 第一行（-2，中，国）的和为-3：-2 + 中 + 3 = -3 解得：中 = -4 4. 求“梦” 第二列（中，-1，梦）的和为-3：-4 + (-1) + 梦 = -3 解得：梦 = 2 5. 求和 中 + 国 + 梦 = -4 + 3 + 2 = 1 针对训练 4. 甲、乙两人用简便方法进行计算.甲：11＋（－14）＋19－（－6）＝ 11＋19＋[（－14）＋（－6）]＝10.乙： － ＋ ＝ ［ ＋ ］＋ ＝－ .下列判断正确的是（　D　） A. 甲、乙都正确 B. 甲、乙都不正确 C. 只有甲正确 D. 只有乙正确 D 针对训练 5.小林在计算“40÷□×（－2）”时，误将“÷”看成“＋”，结果得50，则40÷□×（－2）的值为（　B　） A. 10 B. 16 C. －12 D. －18 B 针对训练 6.［教材P71“复习题”第7题变式］［2025西安高新一中期末］计算： （1） ； 解：原式 ； （2） ； 原式 ； （3） 。 原式 。 针对训练 7.［2025西安铁一中期末］计算： （1） ； 解：原式 ； （2） 。 原式 。 针对训练 8.［2025西工大附中模拟］某校四年级原有两个班，现在要重 新编为三个班，将原一班人数的与原二班人数的 组成新一班，将原一 班人数的与原二班人数的 组成新二班，余下的30人组成新三班，如果 新一班的人数比新二班的人数多 ，那么原一班有多少人？ 针对训练 解：原来两班总人数为 （人）， 新一班与新二班人数之和是 （人）， 新二班人数为 （人）， 新一班人数为 （人）， 新一班比新二班多 （人）， 即原一班人数的比原二班人数的 多2人。 所以原一班人数与原二班人数之差为 （人）， 所以原一班的人数为人 。 针对训练 9.某出租车驾驶员从公司出发，在南北向的人民路上连续接 送5批客人，行驶路程记录如下（规定向南为正，向北为负） 第1批 第2批 第3批 第4批 第5批 （1）接送完第5批客人后，该驾驶员在公司的什么方向，距离公司多少 千米？ 解： 。 所以接送完第5批客人后，该驾驶员在公司南边 处。 针对训练 （2）若该出租车每千米耗电 ，那么在这过程中共耗电多少千瓦时？ 解： （千瓦时）。 所以在这过程中共耗电4.8千瓦时。 （3）若该出租车的计价标准为：行驶路程不超过 收费10元，超过 的部分按每千米1.8元收费，在这过程中该驾驶员共收到车费多少元? （元）。所以在这过程中该驾驶员共收到车费68元。 针对训练 10.如图，数轴上点A，B到表示－2的点的距离都为6.若C，D 两点分别从原点、点B同时向点A运动，且点C的运动速度为每秒2个单 位长度，点D的运动速度为每秒3个单位长度. （1） 点A表示的数为 ，点B表示的数为 ⁠； （2） 当运动时间为1秒时，求点C与点D之间的距离. 解：当运动时间为1秒时，点C表示的数为0－2×1＝－2，点D表示的 数为4－3×1＝1.所以点C与点D之间的距离为1－（－2）＝3 ​　－8　 ​　4　 针对训练 11. 如图，已知数轴上两点A，B对应的数分别为a，b， 点A到原点的距离是点B到原点距离的2倍，且AB＝24，P为数轴上一动 点，其对应的数为p. (1)填空：a＝ ，b＝ ⁠； 解析 由题图可知A，B两点位于原点两侧， 因为点A到原点的距离是点B到原点距离的2倍， 设bx，则a＝－2x，所以AB＝x－(－2x)＝24 解得x＝8，所以－2x＝－16，所以a＝16，b＝8. ， －16 8 针对训练 (2)若点P是线段AB的中点，求p的值； 解：(2)因为点P是线段AB的中点， 所以PB＝ AB＝12，且点P在点B左边， 所以8－p＝12，解得p＝－4， 所以p的值为－4； 例题图 针对训练 (3)若点P在移动的过程中，其到点A和点B的距离之和为30，求此时p 的值； 解：(3)因为PA＝｜p－(－16)｜，PB＝｜p－8｜， 且PA＋PB＝30， 所以PA＋PB＝｜p－(－16)｜＋｜p－8｜＝30， 根据题意得，AB＝24＜30，所以点P不在AB之间， 所以－p－16＋8－p＝30或p＋16＋p－8＝30， 解得p＝－19或p＝11. 综上所述，p的值为－19或11； 针对训练 (4)若点P在线段AB上运动，点M是AP的中点，点N是BP的中点，点P 在运动的过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由； 若不变，请求出线段MN的长； 解：(4)MN的长度不变， 设点M对应的数为m，点N对应的数为n， 因为点M是AP的中点，点N是BP的中点， 所以m＝ ，n＝ ， 所以MN＝｜n－m｜＝｜ － ｜＝｜ ｜＝12， 所以在点P运动的过程中，MN的长度不会发生变化，长度始终为12； 课堂小结 知识与技能 1. 理解正负数、有理数概念，能够对有理数正确分类；掌握数轴、相反数、绝对值的定义与性质，会借助数轴比较有理数大小，熟练进行多重符号化简。 2. 熟练掌握有理数加、减、乘、除、乘方运算法则；理解减法转化为加法、除法转化为乘法的统一思想，灵活运用运算律简化计算。 3. 掌握有理数混合运算顺序；了解科学记数法表示大数，能按要求对有理数结果取近似数，区分准确数与近似数 课堂小结 思想方法 1. 在有理数运算中体会转化思想：减法→加法、除法→乘法，将新运算转化为已学运算，降低计算难度。 2. 利用数形结合思想，借助数轴理解相反数、绝对值、有理数大小关系，直观分析正负两数和差符号问题。 3. 运用分类讨论思想处理绝对值化简、乘方符号判断等问题；运算过程中养成有序演算习惯，提升严谨性。 4. 通过正负数刻画相反意义的量，感受数学建模思想，学会用有理数解决实际生活问题。 ·绝对值与数轴易错 容易忽略绝对值非负性；化简含字母绝对值时不分类讨论；比较负数大小，混淆“绝对值大的数反而小”。 技巧：数轴上右边的数大于左边；去绝对值先判定内部式子正负。 ·有理数运算符号易错 异号加减、多个有理数相乘时符号判断出错；混淆(-a)^n与-a^n的运算顺序与符号。 技巧：先定符号，再算绝对值；乘方优先算底数，看清括号范围。 易错复盘 课堂小结 55 ·运算顺序与运算律易错 混合运算跳步骤、颠倒运算顺序；使用分配律漏乘括号内项；除法误用分配律。 技巧：牢记顺序：乘方→乘除→加减；有括号先算括号内；除法没有分配律。 ·科学记数法与近似数易错 科学记数法写错n的值；近似数分不清精确数位；分不清精确到数位与精确到0.1、0.01。 技巧：1≤|a|<10；近似数看清精确位置，不要直接末尾四舍五入。 易错复盘 课堂小结 56 北师大版·七年级数学上册（新教材） 谢谢聆听 $