专题02 实数（8题型突破·举一反三）（题型专练）数学新教材沪教版五四制八年级上册

专题02 实数（8题型突破·举一反三） 题型01 无理数识别与实数分类（基础必考题） 题型02 无理数整数、小数部分求解（期中培优高频） 题型03 实数大小比较（选择压轴常考） 题型04 实数绝对值化简（数轴综合难点） 题型05 数轴中点与翻折、对称问题（解答压轴） 题型06 实数基础化简运算 题型07 实数概念正误辨析 题型08 循环小数化分数（教材拓展考点） ▌题型01 无理数识别与实数分类（基础必考题） 一、无理数四大必考类型（选择填空高频） ① 开方开不尽的数： 等； ② 含圆周率的数： 等； ③ 构造型无限不循环小数：（相邻1之间依次多1个0）； ④ 特殊无理式：化简后仍含无限不循环结构的式子。 易错绝杀点：带根号的数不一定是无理数，能完全化简为整数、有限小数的是有理数，例：。 二、实数的定义与分类 有理数：有限小数或无限循环小数，均可写为分数形式 （ 为整数，）。 无理数：无限不循环小数，无法写成分数形式。 实数：有理数和无理数的统称。 分类1：按定义划分 分类2：按正负划分 关键结论：0是有理数，既不是正数，也不是负数。 三、解题步骤 第一步：彻底化简所有根式、小数、立方数； 第二步：剔除整数、分数、有限小数、无限循环小数； 第三步：剩余无限不循环小数即为无理数。 易错警示： 是有限小数（有理数）， 是无限不循环小数（无理数），切勿混淆。 【典例1-1】（25-26八年级上·上海闵行·期末）在下列各数中，是无理数的是（    ） A． B． C． D． 【典例1-2】（25-26八年级上·上海·阶段检测）在 ，， （每两个6之间依次多1个1），，0，中，有理数有______个． 【典例1-3】观察一列无理数：，根据排列规律，知是这列无理数中的第_________数． 【变式1-1】（25-26八年级上·上海浦东新·期末）在4、、、这四个实数中，是无理数为（   ） A．4 B． C． D． 【变式1-2】（25-26八年级上·上海松江·期末）实数，，，，（“27”依次不断出现）中，其中无理数是______． 【变式1-3】（25-26八年级上·上海奉贤·期中）写出一个介于3和4之间的一个无理数：_____．（只需写出一个） 【变式1-4】（25-26八年级上·上海宝山·阶段检测）观察一列无理数：，根据排列规律，知是这列无理数中的第_____数． ▌题型02 无理数整数、小数部分求解（期中培优高频） 万能公式（必背） 若 （为整数），则： 整数部分，小数部分 核心：小数部分取值范围固定为 ，永远为正。 【典例2-1】若的小数部分为a，的小数部分为b，则的值为（   ） A．0 B．1 C． D．2 【典例2-2】（25-26八年级上·上海·期中）已知是的小数部分，是不大于的最大整数，那么与的和是______． 【典例2-3】（25-26八年级上·上海闵行·期中）已知某正数的两个不同的平方根分别是和，的立方根等于本身，且，的整数部分为，求的算术平方根． 【典例2-4】我们用表示不大于的最大整数．的值称为数的小数部分，如，的小数部分为． (1)＝ ，＝ ； (2)设的小数部分为a，则＝ ； (3)已知：，其中是整数，且，求的值的相反数． 【变式2-1】若的整数部分和小数部分分别是和，则（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】已知的整数部分为a，小数部分为b，则______，______． 【变式2-3】已知小数部分是m， 小数部分是n，且，则_________． 【变式2-4】（25-26八年级上·上海·阶段检测）是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，而，于是可以用来表示的小数部分． (1)的小数部分是____________ (2)已知，其中x是整数，且，求的平方根． 【变式2-5】（1）已知的立方根是3，的算术平方根是4，c是的整数部分，求的平方根． （2）一个正数x的平方根分别是和，求正数x． 【变式2-6】小李同学探索的近似值的过程如下： 面积为86的正方形的边长是，且， 设，其中，画出示意图，如图所示． 根据示意图，可得图中正方形的面积， 又， ． 当时，可忽略，得，解得， ． (1)填空：的整数部分的值为________； (2)仿照上述方法，探究的近似值（结果精确到0.01）（答题要求：画出示意图，标明数据，并写出求解过程） ▌题型03 实数大小比较（选择压轴常考） 实数大小比较万能方法 ① 数轴法：右大左小，直观通用； ② 正负法：正数＞0＞负数； ③ 负数比较法：两个负数，绝对值越大，数值越小； ④ 夹逼估算法：多用于无理数范围判断； ⑤ 平方比较法（仅正数）：若 ，则 。 【典例3-1】在实数0、（﹣）0、、|﹣2|，最大的是（　　） A．0 B．（﹣）0 C． D．|﹣2| 【典例3-2】若是实数，且，则下列关系式成立的是（     ） A． B． C． D． 【典例3-3】不等式的解集是______． 【典例3-4】数学课上，老师出了一道题：比较与的大小． 小华的方法：因为，所以　　　　，所以　　　(填“”或“”)； 小英的方法：，因为，所以 0，所以　　　　0，所以 　　　　 (填“”或“”)． (1)将上述材料补充完整； (2)请从小华和小英的方法中选择一种比较与的大小． 【变式3-1】（25-26八年级上·上海浦东新·期末）比较大小：_____（填“”“ ”或“”）． 【变式3-2】（25-26八年级上·上海虹口·期中）比较大小：___________9． 【变式3-3】已知，是的小数部分，比较大小: _____ (填“>”、“<”或“=”) 【变式3-4】（25-26八年级上·上海金山·阶段检测）观察下列等式，并回答问题： 第1个； 第2个； 第3个； 第4个； …… (1)化简：_____；这是第_____个等式． (2)第个等式是_____．（用含的式子表示） (3)比较与1的大小． ▌题型04 实数绝对值化简（数轴综合难点） 解题核心：先判正负，再去绝对值；正数直接去符号，负数变相反数。 【典例4-1】（24-25八年级上·陕西西安·期中）实数在数轴上的位置如图所示，化简：． 【典例4-2】若实数在数轴上的对应点如图所示，试化简：． 【典例4-3】阅读材料，完成任务． 材料一 数形结合是重要的数学思想．按照图①所示将两个边长为1的小正方形进行剪拼（无缝隙不重叠的拼接）成一个大的正方形，可以得到无理数；按照图②和图③所示的两种剪拼方法将一个边长为1的正方形和一个边长为2的正方形剪拼出一个大正方形，可以得到无理数． 材料二 实数与数轴上的点一一对应．要在数轴上找到表示的点，关键是在数轴上构造线段．如图④，正方形的边长为1个单位长度，以原点为圆心，对角线长为半径画弧与数轴上分别交于点，，则点对应的数为，点对应的数为．类似的，我们可以在数轴上找到表示任意无理数的点． 任务 （1）材料1中，无理数是________； （2）如图⑤，改变图④中正方形的位置，用类似的方法作图，图⑤中点表示的数为________，点表示的数为________； （3）若，，求代数式的值，并在图⑥的数轴上作出表示这个代数式的值对应的点．（不写作法，保留作图痕迹，标明字母） 【典例4-4】（25-26八年级上·上海宝山·阶段检测）正方形和正方形在数轴上位置如图①所示，其中A、B在数轴上表示的数分别为a、b，且满足；点E、F在正半轴上，在数轴上表示的数分别为m、n，且m是64的算术平方根，． (1) _____， _____，线段的长为____； (2)若正方形以6个单位/秒的速度水平向右匀速运动，正方形以2个单位/秒的速度水平向左匀速运动．两者同时出发，设运动时间为t． ①如图2，当正方形在正方形内部（即重叠部分面积等于正方形面积）时，求t的取值范围； ②当正方形运动到点E在正方形的左侧某位置时，，求此时t的值． 【变式4-1】已知：实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：． 【变式4-2】（1）已知一个正数的平方根分别是和，的立方根为，求的算术平方根． （2）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：． 【变式4-3】阅读下面的解题过程体会如何发现隐含条件并回答下面的问题 化简：． 解：隐含条件，解得：，． 原式． 【启发应用】 （1）按照上面的解法，试化简：； 【类比迁移】 （2）实数，在数轴上的位置如图所示，化简：； （3）已知，，为的三边长．化简：． 【变式4-4】（25-26八年级上·上海·阶段检测）如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m． (1)实数m的值是____________ (2)求的值 (3)在数轴上还有C、D两点分别表示实数c、d，且实数c满足，实数d表示面积为27的正方形的边长，小蚂蚁从点C出发，爬到点D后，就沿着数轴向左爬行，小蚂蚁的爬行速度为每秒3个单位长度，请判断第2秒结束时，小蚂蚁在点B的左侧还是右侧？并写出判断过程． 【变式4-5】阅读理解题 在六年级时，我们已经学过绝对值的概念，一个数在数轴上所对应的点与原点的距离，叫做这个数的绝对值．表示数轴上表示x的点A到原点的距离，即， 如图1． 在七年级时，我们进一步学习了绝对值，知道了在数轴上表示实数a和b的两点A、B两点之间的距离，即．如图2 下面让我们一起利用绝对值的几何意义来探究最小值问题． 例如：求代数式的最小值． 解：表示数轴上表示实数x和的两点A、B之间的距离，表示数轴上表示实数x和2的两点A、C之间的距离，那么表示它们的距离之和，即． 当时，即点A在点B的左边时，，如图3： 当时，即点A在点B和点C之间（包括点B、C）时，，如图4； 当时，即点A在点C的右边时，，如图5； 由此可知，当时，有最小值3． 问题：请你模仿上述研究方法： (1)求当代数式取最小值时，相应的x的取值范围． (2)求代数式的最小值是________． ▌题型05 数轴中点与翻折、对称问题（解答压轴） 核心公式：数轴两点 ，中点 对称性质：两点关于某点对称，该点即为两点中点。 【典例5-1】（25-26八年级上·上海·期中）数学活动课上，同学们将数轴进行折叠、旋转等几何变换．请阅读下列素材，完成各题． [素材1]灵动小组绘制了一条“灵动数轴”（如图），其中点A表示的数为a，点B表示的数为b，点C表示的数为c．已知a、b、c满足 (1)在“灵动数轴”中，________，________，________． (2)折叠“灵动数轴”，使点B与点C重合，求此时与点A重合的点所表示的数． 【典例5-2】如图1，由5个边长为1的小正方形组成的长方形，通过剪拼可以拼成一个正方形． (1)求正方形的边长，并求出的长在哪两个连续整数之间； (2)如图2，纸片上有数轴，把图1中的正方形放到数轴上，使得点A与重合，求点D在数轴上表示的数； (3)在（2）的基础上以数1对应的点为折点，将数轴向右对折，则点D与数________对应的点重合． 【变式5-1】（25-26八年级上·上海·阶段检测）已知点A、B、C、D在数轴上，其中A、B分别表示数和．点C向左平移4个单位长度后与点B重合． (1)线段的长= ． (2)点C表示的数是 ． (3)对于数轴上三点，若其中两点关于另一点对称，则称这三点为“优美关系”，如果点A、点B、点D为优美关系，那么点D对应的实数为 ． 【变式5-2】（25-26八年级上·上海奉贤·期中）小李同学在学习无理数时，将边长为1的两个正方形沿着他们的一条对角线剪开，得到四个形状、大小都相等的等腰直角三角形，再把这四个等腰直角三角形拼成了一个面积为2的正方形，由此得到了无理数．他受此启发：将一个由5个边长为的小正方形组成的长方形，通过剪拼组成了一个大的正方形（没有重叠和空隙）． (1)图中大正方形的边长___________，边长介于两个连续整数_________和_________之间． (2)如图是一个数轴，把图中大正方形旋转使得边落到数轴上，且点与重合，则点在数轴上表示的数为________________； (3)在（2）的基础上，点在点的右侧，点表示数1，将数轴沿着点所在的某条直线翻折使得点恰好落在数轴上的点处，此时点所表示的数为____________． 【变式5-3】（25-26八年级上·上海浦东新·期中）如图1，由5个边长为1的小正方形组成的长方形，通过剪拼可以拼成一个大正方形．       (1)则大正方形的边长为______； (2)将图1中的正方形放到数轴上，如图2，点表示的数为－1，若正方形从当前状态沿数轴正方向翻滚，把点翻滚到数轴上时，记为第一次翻滚；点翻滚到数轴上时记为第二次翻滚，经过三次翻滚，点滚到数轴上的点时，点表示的数为_________； (3)是否存在正整数，使得该正方形经过次翻滚后，其顶点、、、中某个点与数轴上的2025重合？答：_________（填“存在”或“不存在”）； (4)在（2）的基础上以数2对应的点为折点，将数轴向右对折，则点与数_______对应的点重合． ▌题型06 实数基础化简运算 1. 交换律、结合律、分配律所有运算律在实数范围内全部成立； 2. 运算顺序：先开方、乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内； 3. 运算结果保留最简根式，无要求不近似取小数。 解题规范：含无理数运算，结果保留最简根式，不随意取近似值。 【典例6-1】根据下图中的程序，当输入为36时，输出的值是____________． 【典例6-2】（25-26八年级上·上海·阶段检测）已知实数、互为倒数，实数、互为相反数，实数的绝对值为，求的值． 【典例6-3】我们知道：任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零．由此可得：如果，其中a，b为有理数，x为无理数，那么且．运用上述知识，解决下列问题： (1)如果，其中a，b为有理数，那么 ， ． (2)如果，其中a，b为有理数，求的值． 【变式6-1】（25-26八年级上·上海闵行·期中）如图是一个数值转换器（），其工作原理如图所示． 若输出的值是，则负整数的值为____________________． 【变式6-2】（25-26八年级上·上海·阶段检测）已知x，y是有理数，并且x，y满足等式，求的值． 【变式6-3】哪吒在镇压妖兽时，用“混天绫”围成一个面积为 的正方形“封妖阵”，后因妖兽反噬，须将“封妖阵”调整为面积为的长方形，且长与宽之比为． (1)“混天绫”的总长度是多少米？ (2)哪吒的“混天绫”长度是否足够完成新阵法？请通过计算说明理由． ▌题型07 实数概念正误辨析 1. 无限小数都是无理数（×，无限循环小数为有理数） 2. 无理数都是无限小数（√） 3. 带根号的数都是无理数（×，可化简为整数的根式是有理数） 4. 实数分为正实数、负实数（×，遗漏0） 5. 数轴上的点都表示有理数（×，包含无理数） 6. 实数与数轴上的点一一对应（√） 【典例7-1】（25-26八年级上·上海·期末）下列说法中，正确的是（   ） A．有限小数一定是有理数 B．无限小数一定是无理数 C．实数可以分为正实数和负实数两类 D．数轴上的所有点都对应有理数 【典例7-2】（25-26八年级上·上海·期末）下列说法中，正确的是（    ） A．有理数与无理数的积是无理数 B．没有平方根 C．数轴上的每个点都有一个有理数与之对应 D．一个数的立方根与平方根相等，那么这个数只能是0 【典例7-3】（25-26八年级上·上海·期末）下列说法中，正确的是（    ） A．任何实数都有倒数 B．任何实数不是有理数就是无理数 C．任何实数都有平方根 D．任何实数不是正实数就是负实数 【变式7-1】（25-26八年级上·上海·阶段检测）下列说法正确的是（   ） A．任何数都有平方根 B．两个无理数的和一定是无理数 C．任何实数不是正实数就是负实数 D．实数与数轴上的点一一对应 【变式7-2】（25-26八年级上·上海静安·期末）下列四个说法中，正确的有（    ）． （1）无限小数都是无理数；（2）无理数都是无限小数； （3）正实数包括正有理数和正无理数；（4）实数可以分为正实数和负实数两类． A．1个； B．2个； C．3个； D．4个． 【变式7-3】下列说法正确的有________． ①实数不是有理数就是无理数；②是有理数；③不带根号的数都是有理数；④是有理数；⑤数轴上任一点都对应一个有理数；⑥的相反数是． ▌题型08 循环小数化分数（教材拓展考点） 【典例8-1】（25-26八年级上·上海闵行·期中）将循环小数化成分数是_______． 【典例8-2】（25-26八年级上·上海闵行·期中）用最简分数表示循环小数：____________________． 【典例8-3】将下列循环小数化为分数． (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式8-1】循环小数化分数∶ _____． 【变式8-2】（25-26八年级上·上海·阶段检测）把循环小数写成分数形式为：______． 【变式8-3】（1）探索下列分数化为循环小数的规律： ① ； ② ； ③ ； （2）利用上面的规律，把下列循环小数化成分数： ； ； ； （3）尝试计算： / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 实数（8题型突破·举一反三） 题型01 无理数识别与实数分类（基础必考题） 题型02 无理数整数、小数部分求解（期中培优高频） 题型03 实数大小比较（选择压轴常考） 题型04 实数绝对值化简（数轴综合难点） 题型05 数轴中点与翻折、对称问题（解答压轴） 题型06 实数基础化简运算 题型07 实数概念正误辨析 题型08 循环小数化分数（教材拓展考点） ▌题型01 无理数识别与实数分类（基础必考题） 一、无理数四大必考类型（选择填空高频） ① 开方开不尽的数： 等； ② 含圆周率的数： 等； ③ 构造型无限不循环小数：（相邻1之间依次多1个0）； ④ 特殊无理式：化简后仍含无限不循环结构的式子。 易错绝杀点：带根号的数不一定是无理数，能完全化简为整数、有限小数的是有理数，例：。 二、实数的定义与分类 有理数：有限小数或无限循环小数，均可写为分数形式 （ 为整数，）。 无理数：无限不循环小数，无法写成分数形式。 实数：有理数和无理数的统称。 分类1：按定义划分 分类2：按正负划分 关键结论：0是有理数，既不是正数，也不是负数。 三、解题步骤 第一步：彻底化简所有根式、小数、立方数； 第二步：剔除整数、分数、有限小数、无限循环小数； 第三步：剩余无限不循环小数即为无理数。 易错警示： 是有限小数（有理数）， 是无限不循环小数（无理数），切勿混淆。 【典例1-1】（25-26八年级上·上海闵行·期末）在下列各数中，是无理数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，2是整数，属于有理数； 是无限不循环小数，属于无理数； 是分数，属于有理数； 是无限循环小数，属于有理数； ∴是无理数的是． 故选：B． 【典例1-2】（25-26八年级上·上海·阶段检测）在 ，， （每两个6之间依次多1个1），，0，中，有理数有______个． 【答案】3 【详解】解： 是有限小数，属于分数，是有理数； 是分数，是有理数； （每两个之间依次多 个 ）是无限不循环小数，是无理数； 中 是无限不循环小数，故是无理数； 是整数，是有理数； 开方开不尽，是无理数； 综上，有理数共有 个． 【典例1-3】观察一列无理数：，根据排列规律，知是这列无理数中的第_________数． 【答案】1979 【详解】解：新建一列数：，共有2022个数， ，， 该列数中包括有理数：，个数为：， ， 无理数列中，是这列无理数中的第1979个数， 故答案为：1979． 【变式1-1】（25-26八年级上·上海浦东新·期末）在4、、、这四个实数中，是无理数为（   ） A．4 B． C． D． 【答案】C 【详解】解：4是整数，属于有理数；，是分数，属于有理数；是有限小数，属于有理数；，而是无理数，是无理数． 所以无理数是， 故选：C． 【变式1-2】（25-26八年级上·上海松江·期末）实数，，，，（“27”依次不断出现）中，其中无理数是______． 【答案】 【详解】解：，其中是无理数，因此是无理数； 是有限小数，是有理数； ，是整数，是有理数． 是有限小数，是有理数． 是无限循环小数，是有理数． 综上所述，无理数是． 故答案为：． 【变式1-3】（25-26八年级上·上海奉贤·期中）写出一个介于3和4之间的一个无理数：_____．（只需写出一个） 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：无理数是无限不循环小数．由于，，因此、、、、、都是介于3和4之间的无理数． 故答案为：（答案不唯一）． 【变式1-4】（25-26八年级上·上海宝山·阶段检测）观察一列无理数：，根据排列规律，知是这列无理数中的第_____数． 【答案】 【详解】解：新建一列数：，共有2025个数， ， 该列数中包括有理数：，个数为：， ， 无理数列中，是这列无理数中的第个数， 故答案为：． ▌题型02 无理数整数、小数部分求解（期中培优高频） 万能公式（必背） 若 （为整数），则： 整数部分，小数部分 核心：小数部分取值范围固定为 ，永远为正。 【典例2-1】若的小数部分为a，的小数部分为b，则的值为（   ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】A 【详解】解：∵， ∴，即， ∴，， ∵的小数部分为a，的小数部分为b， ∴，， ∴， 故选：A． 【典例2-2】（25-26八年级上·上海·期中）已知是的小数部分，是不大于的最大整数，那么与的和是______． 【答案】 【详解】解：， 的整数部分为， ． 又 ， 不大于 的最大整数为 ， 即 ． ． 故答案为：． 【典例2-3】（25-26八年级上·上海闵行·期中）已知某正数的两个不同的平方根分别是和，的立方根等于本身，且，的整数部分为，求的算术平方根． 【答案】 【详解】解：∵某正数的两个不同的平方根分别是和， ∴， ∴， ∵的立方根等于本身，且， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴， 即 ， ∵的整数部分为 ， ∴， ∴ 18的算术平方根为． 【典例2-4】我们用表示不大于的最大整数．的值称为数的小数部分，如，的小数部分为． (1)＝ ，＝ ； (2)设的小数部分为a，则＝ ； (3)已知：，其中是整数，且，求的值的相反数． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴ ∴， ∴； 故答案为：，； （2）解：∵， ∴， ∴的整数部分为2， ∴的小数部分为：， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （3）解：∵， ∴， ∵，是整数，且， ∴，， ∵， ∴， ∴的相反数为：． 【变式2-1】若的整数部分和小数部分分别是和，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：， ， ， ， 即， 则整数部分，小数部分， ． 故选：． 【变式2-2】已知的整数部分为a，小数部分为b，则______，______． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴ ∴的整数部分为，小数部分为， 故答案为：，. 【变式2-3】已知小数部分是m， 小数部分是n，且，则_________． 【答案】2或0 【详解】解：∵， ∴的小数部分是，的小数部分是， ∴，， ∴， ∴， ∴或0， 故答案为：2或0． 【变式2-4】（25-26八年级上·上海·阶段检测）是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，而，于是可以用来表示的小数部分． (1)的小数部分是____________ (2)已知，其中x是整数，且，求的平方根． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴的小数部分为：． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵，其中x是整数，且， ∴，， ∴， ∴的平方根是． 【变式2-5】（1）已知的立方根是3，的算术平方根是4，c是的整数部分，求的平方根． （2）一个正数x的平方根分别是和，求正数x． 【详解】解：（1）∵的立方根是3， ∴， 解得， 又∵的算术平方根是4， ∴， ∵， 解得：， ∵c是的整数部分，而， ∴， ∴， ∴的平方根是； （2）∵正数x的平方根分别是和， ∴， 解得：， ∴正数． 【变式2-6】小李同学探索的近似值的过程如下： 面积为86的正方形的边长是，且， 设，其中，画出示意图，如图所示． 根据示意图，可得图中正方形的面积， 又， ． 当时，可忽略，得，解得， ． (1)填空：的整数部分的值为________； (2)仿照上述方法，探究的近似值（结果精确到0.01）（答题要求：画出示意图，标明数据，并写出求解过程） 【详解】（1）解：∵， ∴， 即， ∴的整数部分的值为12， 故答案为：12； （2）解：面积为149的正方形的边长是，且， 设，其中，画出示意图，如图所示． 根据示意图，可得图中正方形的面积， 又， ． 当时，可忽略，得，解得， ． ▌题型03 实数大小比较（选择压轴常考） 实数大小比较万能方法 ① 数轴法：右大左小，直观通用； ② 正负法：正数＞0＞负数； ③ 负数比较法：两个负数，绝对值越大，数值越小； ④ 夹逼估算法：多用于无理数范围判断； ⑤ 平方比较法（仅正数）：若 ，则 。 【典例3-1】在实数0、（﹣）0、、|﹣2|，最大的是（　　） A．0 B．（﹣）0 C． D．|﹣2| 【答案】C 【详解】解：，，， ， ∴最大的是． 故选：C 【典例3-2】若是实数，且，则下列关系式成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵是实数，且， A. 当时，，故该选项不正确，不符合题意； B. 当时，，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项正确，符合题意； D. 当时，，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 【典例3-3】不等式的解集是______． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 【典例3-4】数学课上，老师出了一道题：比较与的大小． 小华的方法：因为，所以　　　　，所以　　　(填“”或“”)； 小英的方法：，因为，所以 0，所以　　　　0，所以 　　　　 (填“”或“”)． (1)将上述材料补充完整； (2)请从小华和小英的方法中选择一种比较与的大小． 【详解】（1）解：小华的方法：因为，所以，所以； 小英的方法：，因为，所以，所以，所以； （2）解：小华的方法：因为，所以，所以； 小英的方法：，因为，所以，所以，所以． 【变式3-1】（25-26八年级上·上海浦东新·期末）比较大小：_____（填“”“ ”或“”）． 【答案】 【详解】解：∵，，， ∴． 故答案为：． 【变式3-2】（25-26八年级上·上海虹口·期中）比较大小：___________9． 【答案】 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 【变式3-3】已知，是的小数部分，比较大小: _____ (填“>”、“<”或“=”) 【答案】 【详解】解：∵， ∴的小数部分为， ，的倒数为7， ， ， ∵， ∴，则， 即， 又∵， ∴ ∴， 故答案为：． 【变式3-4】（25-26八年级上·上海金山·阶段检测）观察下列等式，并回答问题： 第1个； 第2个； 第3个； 第4个； …… (1)化简：_____；这是第_____个等式． (2)第个等式是_____．（用含的式子表示） (3)比较与1的大小． 【详解】（1）解：根据前4个式子可得：， 这是第个等式． （2）解：由前4个等式可得第n个等式为． （3）解：∵， ∴． ▌题型04 实数绝对值化简（数轴综合难点） 解题核心：先判正负，再去绝对值；正数直接去符号，负数变相反数。 【典例4-1】（24-25八年级上·陕西西安·期中）实数在数轴上的位置如图所示，化简：． 【答案】 【详解】解：由图可知，，， ∴，， ∴ ． 【典例4-2】若实数在数轴上的对应点如图所示，试化简：． 【答案】 【解答】解：观察数轴可知：， ∵， ∴ ． 【典例4-3】阅读材料，完成任务． 材料一 数形结合是重要的数学思想．按照图①所示将两个边长为1的小正方形进行剪拼（无缝隙不重叠的拼接）成一个大的正方形，可以得到无理数；按照图②和图③所示的两种剪拼方法将一个边长为1的正方形和一个边长为2的正方形剪拼出一个大正方形，可以得到无理数． 材料二 实数与数轴上的点一一对应．要在数轴上找到表示的点，关键是在数轴上构造线段．如图④，正方形的边长为1个单位长度，以原点为圆心，对角线长为半径画弧与数轴上分别交于点，，则点对应的数为，点对应的数为．类似的，我们可以在数轴上找到表示任意无理数的点． 任务 （1）材料1中，无理数是________； （2）如图⑤，改变图④中正方形的位置，用类似的方法作图，图⑤中点表示的数为________，点表示的数为________； （3）若，，求代数式的值，并在图⑥的数轴上作出表示这个代数式的值对应的点．（不写作法，保留作图痕迹，标明字母） 【详解】解：（1）材料一中，， ∴，（负值舍去） 故答案为：； （2）根据点在数轴上的位置及范例计算方法可得：点表示的数是，表示的数是 ， 故答案为：，； （3）由（1）可知， ∴，， ， 在数轴上表示为点，如图所示： 【典例4-4】（25-26八年级上·上海宝山·阶段检测）正方形和正方形在数轴上位置如图①所示，其中A、B在数轴上表示的数分别为a、b，且满足；点E、F在正半轴上，在数轴上表示的数分别为m、n，且m是64的算术平方根，． (1) _____， _____，线段的长为____； (2)若正方形以6个单位/秒的速度水平向右匀速运动，正方形以2个单位/秒的速度水平向左匀速运动．两者同时出发，设运动时间为t． ①如图2，当正方形在正方形内部（即重叠部分面积等于正方形面积）时，求t的取值范围； ②当正方形运动到点E在正方形的左侧某位置时，，求此时t的值． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵m是64的算术平方根， ∴，， ， 故答案为：，，； （2）解：①当点B与F重合时，则， 解得； 当点与点重合时，则， 解得， ∴t的取值范围为； ②∵， ∴， ∴， ∴ 解得． 【变式4-1】已知：实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：． 【答案】 【详解】解：观察数轴得：， ∴， ∴ ． 【变式4-2】（1）已知一个正数的平方根分别是和，的立方根为，求的算术平方根． （2）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：． 【详解】解：（1）由题意得， ∴， ∵的立方根为， ∴， ； ∴； （2）由数轴可知：， ∴，， ． 【变式4-3】阅读下面的解题过程体会如何发现隐含条件并回答下面的问题 化简：． 解：隐含条件，解得：，． 原式． 【启发应用】 （1）按照上面的解法，试化简：； 【类比迁移】 （2）实数，在数轴上的位置如图所示，化简：； （3）已知，，为的三边长．化简：． 【详解】解：（1）∵有意义， ∴，即， ∴ ； （2）由题意得，，， ∴， ∴ ； （3）∵，，为的三边长， ∴， ∴ ． 【变式4-4】（25-26八年级上·上海·阶段检测）如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m． (1)实数m的值是____________ (2)求的值 (3)在数轴上还有C、D两点分别表示实数c、d，且实数c满足，实数d表示面积为27的正方形的边长，小蚂蚁从点C出发，爬到点D后，就沿着数轴向左爬行，小蚂蚁的爬行速度为每秒3个单位长度，请判断第2秒结束时，小蚂蚁在点B的左侧还是右侧？并写出判断过程． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：∵， 则，， ∴ （3）在点B的右侧， 理由：∵， ∴， 解得， ∴， ∴，， ∴， 解得， ∵实数d表示面积为27的正方形的边长， ∴， ∵小蚂蚁的爬行速度为每秒3个单位长度，爬行时间为2秒， ∴小蚂蚁爬行的路程为个单位长度， ∵点C表示的数为，点D表示的数为， ∴， ∴此时小蚂蚁的位置表示的数为， ∵，且， ∴， ∴小蚂蚁在原点右侧， 则， ∵，， ∴ ∴在点B的右侧． 【变式4-5】阅读理解题 在六年级时，我们已经学过绝对值的概念，一个数在数轴上所对应的点与原点的距离，叫做这个数的绝对值．表示数轴上表示x的点A到原点的距离，即， 如图1． 在七年级时，我们进一步学习了绝对值，知道了在数轴上表示实数a和b的两点A、B两点之间的距离，即．如图2 下面让我们一起利用绝对值的几何意义来探究最小值问题． 例如：求代数式的最小值． 解：表示数轴上表示实数x和的两点A、B之间的距离，表示数轴上表示实数x和2的两点A、C之间的距离，那么表示它们的距离之和，即． 当时，即点A在点B的左边时，，如图3： 当时，即点A在点B和点C之间（包括点B、C）时，，如图4； 当时，即点A在点C的右边时，，如图5； 由此可知，当时，有最小值3． 问题：请你模仿上述研究方法： (1)求当代数式取最小值时，相应的x的取值范围． (2)求代数式的最小值是________． 【详解】（1）解：如图，对应的数为，对应的数为， ∵表示数轴上表示实数x的点和表示，的两点之间的距离和， ∴当时，； 当时，如图， ∴， 当时，如图， ∴， 综上：当代数式取最小值时，相应的x的取值范围为：． （2）如图，对应的数为，对应的数为，对应的数为，对应的数为， ∴表示数轴上表示实数x的点和表示，，的三点之间的距离和， 当重合时，即时， ∴， 当时，如图， ， 当时，如图， ∴， 当时，如图， ∴， 当时，如图， ∴， 综上：当时，的最小值为． ▌题型05 数轴中点与翻折、对称问题（解答压轴） 核心公式：数轴两点 ，中点 对称性质：两点关于某点对称，该点即为两点中点。 【典例5-1】（25-26八年级上·上海·期中）数学活动课上，同学们将数轴进行折叠、旋转等几何变换．请阅读下列素材，完成各题． [素材1]灵动小组绘制了一条“灵动数轴”（如图），其中点A表示的数为a，点B表示的数为b，点C表示的数为c．已知a、b、c满足 (1)在“灵动数轴”中，________，________，________． (2)折叠“灵动数轴”，使点B与点C重合，求此时与点A重合的点所表示的数． 【详解】（1）解：∵， ， ， ， 故答案为：； （2）解：∵点与点重合， ∴折痕处对应的数为， ∴与点重合的点所表示的数为． 【典例5-2】如图1，由5个边长为1的小正方形组成的长方形，通过剪拼可以拼成一个正方形． (1)求正方形的边长，并求出的长在哪两个连续整数之间； (2)如图2，纸片上有数轴，把图1中的正方形放到数轴上，使得点A与重合，求点D在数轴上表示的数； (3)在（2）的基础上以数1对应的点为折点，将数轴向右对折，则点D与数________对应的点重合． 【详解】（1）解：由题意得，正方形的面积为：， ∴边长为：， ∵， ∴， ∴的长在2和3之间； （2）解：把图1中的正方形放到数轴上，使得点A与重合，则点D在数轴上表示的数为：； （3）解：设点D与数对应的点重合， 由题意得：， 解得：， ∴点D与数对应的点重合． 【变式5-1】（25-26八年级上·上海·阶段检测）已知点A、B、C、D在数轴上，其中A、B分别表示数和．点C向左平移4个单位长度后与点B重合． (1)线段的长= ． (2)点C表示的数是 ． (3)对于数轴上三点，若其中两点关于另一点对称，则称这三点为“优美关系”，如果点A、点B、点D为优美关系，那么点D对应的实数为 ． 【详解】（1）解：、B分别表示数和， 故答案为：； （2）解：点C向左平移4个单位后与点B重合， 点C表示的数是 故答案为：； （3）解：设点D表示的数为， 点A、点B、点D为优美关系，且点A、B分别表示数和． 当点B和点D关于点A对称时，则， 即， 解得； 当点B和点A关于点D对称时，则， 即， 解得； 当点A和点D关于点B对称时，则， 即， 解得； 点D对应的实数为或1或 故答案为：或1或 【变式5-2】（25-26八年级上·上海奉贤·期中）小李同学在学习无理数时，将边长为1的两个正方形沿着他们的一条对角线剪开，得到四个形状、大小都相等的等腰直角三角形，再把这四个等腰直角三角形拼成了一个面积为2的正方形，由此得到了无理数．他受此启发：将一个由5个边长为的小正方形组成的长方形，通过剪拼组成了一个大的正方形（没有重叠和空隙）． (1)图中大正方形的边长___________，边长介于两个连续整数_________和_________之间． (2)如图是一个数轴，把图中大正方形旋转使得边落到数轴上，且点与重合，则点在数轴上表示的数为________________； (3)在（2）的基础上，点在点的右侧，点表示数1，将数轴沿着点所在的某条直线翻折使得点恰好落在数轴上的点处，此时点所表示的数为____________． 【详解】（1）解：∵将一个由5个边长为的小正方形组成的长方形，通过剪拼组成了一个大的正方形， ∴大的正方形的面积为 ∴大的正方形的边长为， 即 ∵， ∴， 即边长介于两个连续整数2和3之间； （2）解：由（1）得， 把图中大正方形旋转使得边落到数轴上，且点与重合， 则点在数轴上表示的数为或； （3）解：在（2）的基础上，点在点的右侧，，点与重合， ∴点在数轴上表示的数为， ∵点表示数1，将数轴沿着点所在的某条直线翻折使得点恰好落在数轴上的点处， 设点所表示的数为， ∴， ∴， 解得， 即点所表示的数为． 【变式5-3】（25-26八年级上·上海浦东新·期中）如图1，由5个边长为1的小正方形组成的长方形，通过剪拼可以拼成一个大正方形．       (1)则大正方形的边长为______； (2)将图1中的正方形放到数轴上，如图2，点表示的数为－1，若正方形从当前状态沿数轴正方向翻滚，把点翻滚到数轴上时，记为第一次翻滚；点翻滚到数轴上时记为第二次翻滚，经过三次翻滚，点滚到数轴上的点时，点表示的数为_________； (3)是否存在正整数，使得该正方形经过次翻滚后，其顶点、、、中某个点与数轴上的2025重合？答：_________（填“存在”或“不存在”）； (4)在（2）的基础上以数2对应的点为折点，将数轴向右对折，则点与数_______对应的点重合． 【详解】（1）解：由题意得，正方形的面积为：， ∴边长为：； 故答案为：； （2）∵点A表示的数为，正方形的边长为， ∴第一次翻滚后B表示的数为， 第二次翻滚后C表示的数为， 第三次翻滚后D表示的数为， ∵经过三次翻滚，点D滚到数轴上的点P， ∴点P表示的数为； 故答案为：； （3）设存在正整数n，则， ∴， ∵n为正整数， ∴为有理数，而为无理数， ∴上述等式不成立，即不存在正整数n； 故答案为：不存在； （4）设点D与数x对应的点重合， 由题意得：， 解得：， ∴点D与数对应的点重合． 故答案为：． ▌题型06 实数基础化简运算 1. 交换律、结合律、分配律所有运算律在实数范围内全部成立； 2. 运算顺序：先开方、乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内； 3. 运算结果保留最简根式，无要求不近似取小数。 解题规范：含无理数运算，结果保留最简根式，不随意取近似值。 【典例6-1】根据下图中的程序，当输入为36时，输出的值是____________． 【答案】 【详解】解：当输入x为36时，， 是有理数，， 是无理数， ∴当输入的为36时，输出的值是． 故答案为：． 【典例6-2】（25-26八年级上·上海·阶段检测）已知实数、互为倒数，实数、互为相反数，实数的绝对值为，求的值． 【详解】解：∵实数、互为倒数，实数、互为相反数，实数的绝对值为， ∴， ∴， ∴． 【典例6-3】我们知道：任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零．由此可得：如果，其中a，b为有理数，x为无理数，那么且．运用上述知识，解决下列问题： (1)如果，其中a，b为有理数，那么 ， ． (2)如果，其中a，b为有理数，求的值． 【详解】（1）解：∵为有理数， ∴为有理数， ∵， ∴， 解得， 故答案为：2，． （2）解：∵， ∴， ∴， ∵为有理数， ∴， 解得， ∴． 【变式6-1】（25-26八年级上·上海闵行·期中）如图是一个数值转换器（），其工作原理如图所示． 若输出的值是，则负整数的值为____________________． 【答案】或 【详解】解：∵输出的值是， ∴， ∴或， 解得或， ∵为负整数， ∴， 或， 则或， 解得或 ∵， ∴， 故答案为：或． 【变式6-2】（25-26八年级上·上海·阶段检测）已知x，y是有理数，并且x，y满足等式，求的值． 【答案】或1 【详解】解：∵x、y是有理数，并且x、y满足等式， ∴，， 解得：，， 则或． 综上所述：的值为或1． 【变式6-3】哪吒在镇压妖兽时，用“混天绫”围成一个面积为 的正方形“封妖阵”，后因妖兽反噬，须将“封妖阵”调整为面积为的长方形，且长与宽之比为． (1)“混天绫”的总长度是多少米？ (2)哪吒的“混天绫”长度是否足够完成新阵法？请通过计算说明理由． 【详解】（1）解： “混天绫”围成一个面积为 的正方形， 正方形的边长为， “混天绫”的总长度． 答：“混天绫”的总长度． (2)能；理由如下： 设长方形的长为米，宽为米， 依题意得 ， 解得或， ， ， 长方形的长为米，宽为米， 长方形的周长为， ， ， 能够完成新阵法． ▌题型07 实数概念正误辨析 1. 无限小数都是无理数（×，无限循环小数为有理数） 2. 无理数都是无限小数（√） 3. 带根号的数都是无理数（×，可化简为整数的根式是有理数） 4. 实数分为正实数、负实数（×，遗漏0） 5. 数轴上的点都表示有理数（×，包含无理数） 6. 实数与数轴上的点一一对应（√） 【典例7-1】（25-26八年级上·上海·期末）下列说法中，正确的是（   ） A．有限小数一定是有理数 B．无限小数一定是无理数 C．实数可以分为正实数和负实数两类 D．数轴上的所有点都对应有理数 【答案】A 【详解】解：A、有限小数一定是有理数，故本选项说法正确，符合题意； B、无限不循环小数一定是无理数，原说法错误，故本选项不符合题意； C、实数可以分为正实数和负实数和0，原说法错误，故本选项不符合题意； D、数轴上的所有点都对应实数，原说法错误，故本选项不符合题意； 故选：A． 【典例7-2】（25-26八年级上·上海·期末）下列说法中，正确的是（    ） A．有理数与无理数的积是无理数 B．没有平方根 C．数轴上的每个点都有一个有理数与之对应 D．一个数的立方根与平方根相等，那么这个数只能是0 【答案】D 【详解】解：选项A，有理数0与无理数的积为0，是有理数，不符合题意； 选项B，若，则，有平方根，不符合题意； 选项C，数轴上存在无理数点，不与有理数对应，不符合题意； 选项D，若，平方根有两个值，立方根只有一个值，不可能相等；若，平方根不存在，立方根存在；只有时，平方根和立方根均为0，符合题意； 故选D． 【典例7-3】（25-26八年级上·上海·期末）下列说法中，正确的是（    ） A．任何实数都有倒数 B．任何实数不是有理数就是无理数 C．任何实数都有平方根 D．任何实数不是正实数就是负实数 【答案】B 【详解】解：A、0没有倒数，故A错误； B、实数由有理数和无理数组成，故B正确； C、负数没有平方根，故C错误； D、0既不是正实数也不是负实数，故D错误， 故选：B． 【变式7-1】（25-26八年级上·上海·阶段检测）下列说法正确的是（   ） A．任何数都有平方根 B．两个无理数的和一定是无理数 C．任何实数不是正实数就是负实数 D．实数与数轴上的点一一对应 【答案】D 【详解】解：∵ 负数没有平方根， ∴ A错误； ∵两个无理数的和不一定是无理数，如， ∴ B错误； ∵ 0是实数，但既不是正实数也不是负实数， ∴ C错误； ∵ 实数与数轴上的点一一对应， ∴ D正确， 故选：D. 【变式7-2】（25-26八年级上·上海静安·期末）下列四个说法中，正确的有（    ）． （1）无限小数都是无理数；（2）无理数都是无限小数； （3）正实数包括正有理数和正无理数；（4）实数可以分为正实数和负实数两类． A．1个； B．2个； C．3个； D．4个． 【答案】B 【详解】解：（1）无限小数包括无限循环小数和无限不循环小数，无限循环小数是有理数，无限不循环小数是无理数，故（1）的说法错误； （2）无理数是指无限不循环小数，都是无限小数，故（2）的说法正确； （3）正实数包括正有理数和正无理数，故（3）的说法正确； （4）实数包括正实数、负实数和零，故（4）的说法错误． 综上，正确的说法有（2）和（3），共2个． 故选：B． 【变式7-3】下列说法正确的有________． ①实数不是有理数就是无理数；②是有理数；③不带根号的数都是有理数；④是有理数；⑤数轴上任一点都对应一个有理数；⑥的相反数是． 【答案】①⑥/⑥① 【知识点】相反数的定义、实数与数轴、实数的分类 【分析】本题考查的是实数的概念，实数与数轴，实数的分类，无理数的含义，相反数的含义，熟记基本概念是解本题的关键． 根据实数的概念与分类，无理数，有理数的概念，相反数的含义逐一分析即可得到答案． 【详解】解：实数不是有理数就是无理数，描述正确，故①符合题意； 是无理数，故②不符合题意； 不带根号的数都是有理数，描述错误，如，故③不符合题意； 是无理数；故④不符合题意； 数轴上任一点都对应一个实数，故⑤不符合题意； 的相反数是，故⑥符合题意； 故答案为：①⑥． ▌题型08 循环小数化分数（教材拓展考点） 【典例8-1】（25-26八年级上·上海闵行·期中）将循环小数化成分数是_______． 【答案】 【详解】解：设， ∴ ， ∴两式相减得：， ∴． 故答案为：． 【典例8-2】（25-26八年级上·上海闵行·期中）用最简分数表示循环小数：____________________． 【答案】 【详解】设，则， 由， 得：， 解得：， 由于124和99互质（最大公约数为1），故为最简分数． 故答案为：． 【典例8-3】将下列循环小数化为分数． (1)； (2)； (3)； (4)． 【详解】（1） （2） （3） （4） 【变式8-1】循环小数化分数∶ _____． 【答案】 【详解】解：设， 则①， ②， 则由得，， 即， ， 故答案为：． 【变式8-2】（25-26八年级上·上海·阶段检测）把循环小数写成分数形式为：______． 【答案】 【详解】解：设循环小数为m，设， 两边同时乘以100，得， ∴， ， 解得：． 故答案为：． 【变式8-3】（1）探索下列分数化为循环小数的规律： ① ； ② ； ③ ； （2）利用上面的规律，把下列循环小数化成分数： ； ； ； （3）尝试计算： 【详解】解：（1）根据题中规律可知：①，②，③； 故答案为：①；②；③； （2）根据题中规律可知：，，； 故答案为：；；； （3）原式 ． / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $