第19章实数19.2实数专题训练2026-2027学年沪教版五四制八年级数学上册

苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 西危先乡笔 2026-2027学年沪教版五四制八年级数学上册 第19章实数 19.2实数专题训练 学校： 姓名： 班级： 考号： 【题型1无理数】 1.下列各数中，属于无理数的是() A. B.4 C.3.14 D.3 2.公元前500年，古希腊毕达哥拉斯学派的弟子希伯索斯发现了边长为1的正方形的对角 线长不能用有理数表示.为了纪念他，人们把这些数取名为无理数.请你写出一个无理数_ 3.公元前500年，古希腊毕达哥拉斯学派的希伯索斯发现了边长为1的正方形的对角线长 不能用有理数表示，为了纪念他，人们把这些数取名为无理数.下列各数中，属于无理数 的是() 23 A.-0.34 B.阿 C. 7 D.1.44 4下列关子 的说法中，不正确的是() 是一个无理数 B.7的平方根为万 √7 可以表示面积为7的正方形的边长D. 可以用数轴上的一个点表示 【题型2实数的概念理解】 5.把下列各实数的序号填在相应的大括号内. ①2，②4，③0，④3.2121121112…（相邻两个2之间依次增加一个1），⑤9， 22 ⑥--3，⑦7，⑧3.i 整数{ 试卷第1页，共28页 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 西危先乡笔 分数{ 无理数{ 6.下列说法正确的是() A.两个无理数的和还是无理数 B.任何实数都有立方根 C.实数分为正实数和负实数 D.若一个数的平方根等于它本身，则这个数是0或1 7.下列说法正确的有 ①实数不是有理数就是无理数：②2W 是有理数；③不带根号的数都是有理数；@”是有 理数：回数轴上任一点都对应个有理数：© 的相反数是V5 -√6 8.实数 的相反数是 【题型3无理数的估算】 9.已知 M=V5+1N=V15-1 1,下列M与N的大小关系中，正确的是() A.M<N B.M=N C.M>N D,以上都不对 10,请写出一个比5大且比团 小的整数」 1.若<36< a,b ，且是两个连续的整数，则4+b 的值为. 12.实数，b.cd」 1-V3 “在数轴上的位置如图所示，则能表示 的是() b c d -2 -101 2 A.d B.c C.b D.a 【题型4实数的性质】 13.下列等式成立的是() A.49=7B.V-7=-7C.27-3 D.（=-7 试卷第2页，共28页 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 西危先乡装 14.π的相反数是() A.3.14 B.-3.14 C.-3.1415 D.-π 15.下列关于V 的说法错误的是() A. 的馅对值是V厅 B.V 的相反数是V万 C.-V万的倒数是7 D.-√万是有理数 16计算2-=() A.2+⑤ B.3-2 c2-5 D.-2-V5 【题型5实数与数轴】 17.如图，实数在数轴上的对应点可能是点 AB CD E 5432102345 18.如图，面积为6的正方形ABCD的顶点A在数轴上，且表示的数为1；若点E在数轴上 (点E在点A的右侧)且AB=AE,则E点所表示的数为() D E 5-4-3-202345 A v6 B.V6+1 C.v6-1 D.1-6 19.如图，数轴上的点P表示的无理数可能是() P -101 2 A.π B V3 C.V3 D.v5 20.实数a在数轴上的位置如图所示，则化简V(a-1旷为() 102→ 试卷第3页，共28页 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 西危先乡装 A,1-a B.a-1 C.a+1 D.-a-1 【题型6实数的大小比较】 21.若0=7.b=5,c=2,则a,b,c的大小关系为《) A.b≤c<aB.b<a<c C.a<c<b D.a<b<c 2.已如<开（是整数），则*的所有可能值中，最大值是 23.若0<x<1,则、x、G、派 这四个数中(). 派最大，最小 B.x最大， 诉最小C.最大， 〔袁小 D.x最大，x最小 24,实数么C在数轴上对应的点的位配如图所示.化简F+a+b1+c- c o a 【题型7实数的混合运算】 25.计算： -27+5-2-V3 26计算：（)+4+8+5- 27.已知30+1的平方根是4,3a+h-9的立方根是2，C是47 的整数部分. (1)求a,b,c的值： (2)求a+2b-c的算术平方根， 28.在一次“冒险活动”中，玩家小明和小美正在共同探索神秘“宝藏”，他们一路披荆 斩棘，终于来到了“宝藏”所在的“神秘洞穴”，然而，他们遇到了一个难题，“宝藏” 的位置由实数x决定，且满足方程K-3到=5 小明兴奇地说：“我觉得x的值应该是3+5， 试卷第4页，共28页 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 西危先乡装 小美思考片刻后说道：“不对，我觉得还有可能是另一个值.” 那么小美所说的另一个值是() A.3-V5 B.-3+V5 c.-3-5 D,以上都不对 【题型8程序设计与实数运算】 29 一个数值转换器，如图所示： 是无理数 输入x 取算术平方根 输出y 是有理数 其中为非负有理数。例如当输入的为3或9时，输出的'的值都是5. .若输入有理数 x的值后，始终输不出y的值，则x的值可能是 (请写出所有可能的结 果) 30.小吴是一个编程爱好者，他设计了一个如图所示的程序运算，如果输入的值是8，那 √2 64 么输出的结果是 当输入“的值是时，输出 的值是() 否 输入x 是有理数 取立方根 取算术平方根 是 →<是否为无理数 输出y A B.2 D V 31.在如图所示的运算程序中，输入x的值是64时，输出的y值是() 是有理数 是有理数 是无理数 输入x值 取算术 取立方根 输出y 平方根 是无理数 试卷第5页，共28页 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 西危先乡装 迈 A B V2 C.2 D.8 32.按照如下程序操作，规定：从“输入一个值x”到“结果是否大于1T为一次程序操作. 如果结果得到的数小于或等于17，则用得到的这个数进行下一次操作. 输入 -1 ×4 停止 否 (1)若x=3时，程序进行了 次操作就停止了： (2)若=4V2 时，则输出的数为 (3)若程序操作进行了两次才停止，则输入的x的取值范围是 【题型9新定义下的实数运算】 33.一个各数位均不为0的三位自然数 c,若a=+C,则称N为“方加数”，例 N=abc N N+ab 如：三位数723,7=2+3，·723是“方加数”.若一个方加数N是奇数，且3是 整数，则满足条件的N的值不可能是() A.521 B.723 C.817 D.925 34.定义关于任意正整数m,”的一种新运算，(m+川）=f儿m/0.若规定②)9， 则f4)=() A.3 B.6 C.18 D.81 35,如果用符号冈表示有理数的整数部分，用符号冈表示有理数的小数部分，例如： [1.3]=1{1.3}=0.31.3=[1.3]+{1.3 ;下列说法中正确的有()个 o2]2,@5]-5,③若1<k2,且=04 ,则x=1.4或x=-1.4: A.1 B.2 C.3 D.0 1 36.我们把-a称为有理数a(a≠)的差倒数，如：2的差倒数是-2-1,2的差倒数是 试卷第6页，共28页 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 图危光令装 11 1-(-2)3.如果4=-3,4是4的差倒数，a是a的差倒数，a4是a的差倒数， 依此类推，那么 1-a2+a3-a4+…+a2023-02024+a202s 的值是() 13 11 23 A. 12 -3 C. D. 12 【题型10无理数整数部分的有关计算】 37.满足 V5<n<V15 的整数“的值是 38.如图，将长为8，宽为4的长方形纸片分割成3个三角形后，恰好拼成一个正方形，则 正方形边长最接近的整数是() A.4 B.5 C.6 D.7 39.(数学文化)司南是中国古人利用磁铁制作的一种指南工具.如图，司南的形状像一 26-1 把汤匙，它的长度与最大宽度之比为 1介于两个连续整数n和”+1之间， 则n的值是() A.3 B.4 C.5 D.6 40.阅读材料：一个实数的整数部分为不大于这个数的最大整数，小数部分为这个数与它 的整数部分的差的绝对值.例如：1.4的整数部分为1，小数部分为 .4-1=0.45 的整数 试卷第7页，共28页 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 西危先乡装 部分为1，小数部分为N5-:再如，38的整数部分为4，小数部分为3.8-(（4川=02 由此得到：若5=+y,其中x是整数，且0<y<1,则X=y=V5- 根据材料，回答下列问题： 四若7=m+n ,其中m是整数，且 0<n<1 n= ②若4+v26=p+9,其中p是整数，且0 a0<9<1 <1,求P-9的值. 3)若8-a=b+v17 其中a是整数，且0<b<1,求 b-a+(b+1) 的值： 【题型11实数运算的实际应用】 41.陕北剪纸是国家非物质文化遗产，是扎根黄土高原、流传千年的经典民间传统艺术. 它历史悠久，多在春节、婚嫁等民俗活动中用作窗花、喜花装饰.风格粗犷古朴、造型简 练夸张、大红喜庆，题材涵盖花鸟瑞兽、民俗生活、吉祥纹样，承载着陕北人民对美好生 活的祝愿，是黄土地独有的文化瑰宝，现有一张长方形红色宣纸，长、宽之比为4：3，宣 纸面积为588cm2. (1)求宣纸的周长： (2)剪纸匠人想利用这张宣纸裁出一张面积为291cm的完整圆形纸胚来创作花鸟图，她能够 裁出来吗？请说明理由.（π取3） 42.有一块面积为64平方米的正方形工料，李师傅准备用它沿着边的方向裁剪出一块面积 为40平方米的长方形工件，且要求长宽之比为5：4，问李师傅能办到吗？若能，求出长方 形的长和宽：若不能，请说明理由！ 43.如图，按照国际标准，A系列纸的长与宽的比例均符合 2:1 ；其中，纸的面积为 1m'；将纸沿两条长边中点的连线裁切，就得两张纸：再将纸沿两条长边中点的连 线裁切得两张4纸…依此类推，得4，，4等等的纸张（如图所示）.若设4纸张的宽为 试卷第8页，共28页 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 西危先乡装 m,则下列列式正确的是() 円Ag A As A2 A Ao A A.√2x=1 B.x2=1 cr-号 D.2x'= 16 ,=1S2=2 44.如图，长方形内有两个相邻的正方形.若两个正方形的面积分别为 和 ,则 图中阴影部分的面积为() S2 S A.1 B.V2-1 c.2+1 D.2+2 【题型12与实数运算相关的规律题】 45.观察下列等式，并回答问题： 第1个-2=2-1 第2个小2-=5-5 第3个小5-4=4-5 第4个小4-=5-4 ①化简：5-一这是第一个等式. (2)第n个等式是一.（用含n的式子表示） 试卷第9页，共28页 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 西危先乡装 V24-1 (3)比较4与1的大小. 46.我们规定一个新数“1”，使其满足 =i,2=-1 ,并进一步规定：一切有理数可以与 新数进行四则运算，且原有的运算律和运算法则仍然成立，于是有 =i,2=-1,=i2.i=-i,4=i2.2=-1×(-1)=1,… 那么”= +2+i2+…+i2026+i2027= 表示在数轴上点处，记右侧 A 47.如图，通过画边长为1的正方形，就能准确的把 B B. 最近的整数点为，以点”为圆心， A只为半径画半圆，交数轴于点4，记有侧最近的 整数点为品，以点品为园心，4品为半径画半园，交数轴于点，如此维铁。 A A B A2 B2 A3 B (1)点表示的数是一 A,B,= (2) 48,对于实数R,我们规定：用WPD表示不小于D的最小整数，例如：④=2， {5}=2 现在对72进行如下操作： 72多万-9立人5}=3}=2，即对2只需进行3次操作后变 为2.类比上述操作：对36只需进行 次操作后变为2；如果只需进行3次操作后 变为2的所有正整数中最大的数为， 试卷第10页，共28页苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 · 2026-2027学年沪教版五四制八年级数学上册 · 第19章实数 · 19.2实数专题训练 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 【题型1   无理数】 1．下列各数中，属于无理数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】有理数的定义、无理数 【分析】本题考查无理数和有理数的定义，根据定义判断各选项即可，无理数是无限不循环小数，有理数是整数与分数的统称，有限小数和无限循环小数都属于有理数． 【详解】解：A、是无限不循环小数，属于无理数． B、，是整数，属于有理数． C、是有限小数，属于有理数． D、是分数，属于有理数． 2．公元前500年，古希腊毕达哥拉斯学派的弟子希伯索斯发现了边长为1的正方形的对角线长不能用有理数表示．为了纪念他，人们把这些数取名为无理数．请你写出一个无理数______． 【答案】π（答案不唯一） 【知识点】无理数 【分析】根据无理数的定义，即可写出答案． 【详解】解：由题意可得，π是无理数． 故答案为：π(答案不唯一)． 【点睛】此题考查了无理数的定义，关键是掌握无理数的三种形式，①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，比较简单． 3．公元前年，古希腊毕达哥拉斯学派的希伯索斯发现了边长为的正方形的对角线长不能用有理数表示，为了纪念他，人们把这些数取名为无理数．下列各数中，属于无理数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】无理数、实数的分类 【分析】根据无理数的定义，判断每个选项是否符合无限不循环小数的特征即可解答．本题考查了无理数的定义，理解无理数的定义是解题的关键． 【详解】解：∵是有限小数， ∴是有理数， ∴项不符合题意； ∵是无限不循环小数， ∴是无理数， ∴项符合题意； ∵是分数，属于有理数，不是无理数， ∴项不符合题意； ∵，属于有理数，不是无理数， ∴是有理数， ∴项不符合题意； 故选． 4．下列关于的说法中，不正确的是（   ） A．是一个无理数 B．7的平方根为 C．可以表示面积为7的正方形的边长 D．可以用数轴上的一个点表示 【答案】B 【知识点】求一个数的平方根、无理数、实数与数轴 【分析】本题考查了实数、实数与数轴、平方根，熟练掌握这些知识点是解题的关键．根据实数的定义、平方根的定义以及实数与数轴的关系判断即可． 【详解】解：A、是一个无理数，故该选项说法正确，不符合题意； B、7的平方根为，故该选项说法不正确，符合题意； C、可以表示面积为7的正方形的边长，故该选项说法正确，不符合题意； D、可以用数轴上的一个点表示，故该选项说法正确，不符合题意； 故选：B． 【题型2   实数的概念理解】  5．把下列各实数的序号填在相应的大括号内． ①，②，③0，④3.2121121112…… （相邻两个2之间依次增加一个1），⑤，⑥，⑦，⑧． 整数   {         ．．．}； 分数   {         ．．．}； 无理数 {         ．．．}． 【答案】②，③，⑥；⑦，⑧；①， ④，⑤ 【知识点】实数的分类 【分析】本题考查了实数的分类，熟练掌握实数的分类是解答本题的关键．实数分为有理数和无理数，有理数分为整数和分数，无理数分为正无理数和负无理数．根据实数的分类解答即可． 【详解】解：，， 整数   { ② ， ③， ⑥，．．．}； 分数   { ⑦，⑧，．．．}； 无理数 { ①， ④ ， ⑤ ， ．．．} 故答案为：②，③，⑥；⑦，⑧；①， ④，⑤． 6．下列说法正确的是（   ） A．两个无理数的和还是无理数 B．任何实数都有立方根 C．实数分为正实数和负实数 D．若一个数的平方根等于它本身，则这个数是0或1 【答案】B 【知识点】平方根概念理解、立方根概念理解、实数的分类 【分析】本题考查了实数的加法，立方根和平方根的定义等，根据实数加法法则，立方根和平方根的定义逐一判断即可，掌握相关概念是解题的关键． 【详解】解：、两个无理数的和可能是有理数，如，故不符合题意； 、任何实数都有立方根，原选项说法正确，符合题意； 、实数分为正实数，和负实数，原选项说法不正确，不符合题意； 、若一个数的平方根等于它本身，则这个数是，原选项说法不正确，不符合题意； 故选：． 7．下列说法正确的有________． ①实数不是有理数就是无理数；②是有理数；③不带根号的数都是有理数；④是有理数；⑤数轴上任一点都对应一个有理数；⑥的相反数是． 【答案】①⑥/⑥① 【知识点】相反数的定义、无理数、实数概念理解、实数的分类 【分析】根据实数的概念与分类，无理数，有理数的概念，相反数的含义逐一分析即可得到答案． 【详解】解：实数不是有理数就是无理数，描述正确，故①符合题意； 是无理数，故②不符合题意； 不带根号的数都是有理数，描述错误，如，故③不符合题意； 是无理数；故④不符合题意； 数轴上任一点都对应一个实数，故⑤不符合题意； 的相反数是，故⑥符合题意； 故答案为：①⑥． 【点睛】本题考查的是实数的概念，实数的分类，无理数的含义，相反数的含义，熟记基本概念是解本题的关键． 8．实数的相反数是________． 【答案】 【知识点】相反数的定义、实数的性质 【详解】解：的相反数为：． 【题型3   无理数的估算】  9．已知，，下列与的大小关系中，正确的是（     ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】C 【知识点】无理数的大小估算 【分析】利用夹逼法求得与的大小范围即可解答． 【详解】解：， ，即， ，即， ， ，即， ，即， ． 10．请写出一个比大且比小的整数______． 【答案】2（答案不唯一） 【知识点】无理数的大小估算 【分析】先估算和的取值范围，再找出两个数之间的整数，任选一个作答即可． 【详解】解： ， 又， ，即 因此比大且比小的整数为，，，任选一个即可． 11．若，且是两个连续的整数，则的值为______________． 【答案】7 【知识点】求一个数的立方根、无理数的大小估算 【分析】先估算出的取值范围，确定和的值，即可计算得到的值． 【详解】解：，，且， ，即， 又，且，是两个连续的整数， ，， ． 12．实数，，，在数轴上的位置如图所示，则能表示的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】实数与数轴、无理数的大小估算 【分析】本题主要考查了无理数的估算，实数与数轴，先估算出，根据数轴得到，即可得到答案． 【详解】解：， ， ， ， 根据数轴可知，， 则能表示的是， 故选：C． 【题型4   实数的性质】 13．下列等式成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的立方根、实数的性质 【分析】根据算术平方根和立方根的定义分别计算各选项即可得出正确结果. 【详解】解：依次判断各选项：对于选项A，表示49的算术平方根，结果为非负数，∵，∴，A错误； 对于选项B，∵，∴，B错误； 对于选项C，∵，∴，C正确； 对于选项D，∵，∴D错误. 14．的相反数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】相反数的定义、实数的性质 【详解】解：∵ 只有符号不同的两个数互为相反数， ∴的相反数是. 15．下列关于的说法错误的是（     ） A．的绝对值是 B．的相反数是 C．的倒数是 D．是有理数 【答案】D 【知识点】相反数的定义、求一个数的绝对值、倒数、无理数、实数的性质 【分析】根据绝对值，相反数，倒数，有理数和无理数的定义逐一判断选项，找出错误说法. 【详解】解：∵ 负数的绝对值是它的相反数，，A选项说法正确； ∵ 只有符号不同的两个数互为相反数，的相反数是，B选项说法正确； ∵ 乘积为的两个数互为倒数，，的倒数是，C选项说法正确； ∵ 是开方开不尽的数，属于无理数，是无理数，不是有理数，D选项说法错误. 16．计算（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】实数的性质、实数的大小比较 【分析】判断绝对值内代数式的正负，再根据绝对值的性质化简得到结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 【题型5   实数与数轴】 17．如图，实数在数轴上的对应点可能是点________． 【答案】D 【知识点】实数与数轴、无理数的大小估算 【分析】估算出，可得在2和3的对应点之间，即可求解． 【详解】解：， ，即在2和3的对应点之间， 实数在数轴上的对应点可能是D点． 18．如图，面积为的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为；若点在数轴上（点在点的右侧）且，则点所表示的数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】算术平方根的实际应用、实数与数轴 【分析】根据正方形的边长是面积的算术平方根得，结合点A所表示的数及两点间距离可得点E所表示的数． 【详解】解：∵正方形的面积为， ∴边长， ∵， ∴， ∵顶点在数轴上，且表示的数为， ∴点所表示的数为． 19．如图，数轴上的点P表示的无理数可能是（     ） A．π B． C． D． 【答案】B 【知识点】实数与数轴、无理数的大小估算 【分析】根据数轴确定点P的取值范围，再估算各选项数值的大小即可判断． 【详解】解：由图可知，点P在1和2之间，即， A、，故本选项不合题意； B、由可得，故本选项符合题意； C、，故本选项不合题意； D、由得，故本选项不合题意． 20．实数在数轴上的位置如图所示，则化简为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、带有字母的绝对值化简问题、求一个数的算术平方根、实数与数轴 【分析】根据数轴可得，得到，进而化简式子． 【详解】解：根据算术平方根的性质：， 原式可转化为：， 由数轴可知，实数的取值范围是，因此， ， 化简结果为． 【题型6   实数的大小比较】 21．若，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】实数的大小比较、无理数的大小估算 【分析】本题考查实数的大小比较，先利用夹逼法估算a，b的值，再比较大小即可． 【详解】解：∵，， ∴，， 即，， ∴，， 又， ∴， 故选：C． 22．已知（是整数），则的所有可能值中，最大值是______． 【答案】 【知识点】绝对值的几何意义、实数的大小比较、无理数的大小估算 【分析】先根据绝对值的性质求出的取值范围，再结合是整数确定所有符合条件的，最后找出其中的最大值即可． 【详解】解：∵， ∴数轴上，数对应的点到原点的距离小于， ∴， 又∵为整数， ∴的所有可能值为，，，，，，， ∴的所有可能值中，最大值为． 23．若，则、、、这四个数中（    ）． A．最大，最小 B．x最大，最小 C．最大，最小 D．x最大，最小 【答案】A 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的立方根 【分析】可取进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴可取， ∴，，， ∵， ∴， 故选A． 【点睛】本题主要考查了算术平方根和立方根，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 24．实数在数轴上对应的点的位置如图所示．化简 【答案】 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、算术平方根和立方根的综合应用、实数与数轴 【分析】本题主要考查了二次根式的性质以及绝对值与数轴，正确化简各式是解题关键，直接利用数轴得出各式的符号，进而化简得出答案． 【详解】解：由数轴可知：，且， ，， ． 【题型7   实数的混合运算】  25．计算：； 【答案】 【知识点】实数的混合运算 【详解】解： ． 26．计算： 【答案】 【知识点】实数的混合运算 【详解】解： ． 27．已知的平方根是，的立方根是，是的整数部分． (1)求，，的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1)，， (2) 【知识点】求一个数的算术平方根、已知一个数的平方根，求这个数、已知一个数的立方根，求这个数、无理数整数部分的有关计算 【分析】（1）根据平方根和立方根的定义列出等式求出，的值，再估算的范围得到整数部分； （2）把，，的值代入中计算，再解得它的算术平方根． 【详解】（1）解：由题意可知，，， ∴， 解得， 检验，当时，，符合题意； 由题意可知，， ∴， 将代入上式，解得； ∵，即， ∴的整数部分； （2）解：由（1）可知，，，， ∴， ∴的算术平方根． 28．在一次“冒险活动”中，玩家小明和小美正在共同探索神秘“宝藏”．他们一路披荆斩棘，终于来到了“宝藏”所在的“神秘洞穴”．然而，他们遇到了一个难题，“宝藏”的位置由实数x决定，且满足方程． 小明兴奋地说：“我觉得x的值应该是；” 小美思考片刻后说道：“不对，我觉得还有可能是另一个值．” 那么小美所说的另一个值是（    ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】A 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、实数运算的实际应用 【分析】此题考查了实数的运算，化简绝对值，根据绝对值的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， ∴小美所说的另一个值是． 故选：A． 【题型8   程序设计与实数运算】 29．一个数值转换器，如图所示： 其中为非负有理数．例如当输入的为3或9时，输出的的值都是．若输入有理数的值后，始终输不出的值，则的值可能是______________（请写出所有可能的结果）． 【答案】0或1 【知识点】带“非”字的有理数、求一个数的算术平方根、程序设计与实数运算 【分析】根据数值转换器的规则，分析始终输不出值的情况即可得解． 【详解】解：在非负有理数中，当时，，无论开多少次平方，结果始终是， 故始终输不出的值． 当时，，同样无论开多少次平方，结果始终是， 也始终输不出的值． 综上，的值可能是0或1． 30．小吴是一个编程爱好者，他设计了一个如图所示的程序运算，如果输入的值是，那么输出的结果是，当输入的值是时，输出的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的立方根、无理数、程序设计与实数运算 【分析】根据立方根和算术平方根的定义，并结合流程图计算即可得出结果． 【详解】解：当输入的值是时，，为有理数，再取立方根为，为无理数， 故输出的值是． 31．在如图所示的运算程序中，输入x的值是64时，输出的y值是（     ） A． B． C．2 D．8 【答案】B 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的立方根、无理数、程序设计与实数运算 【分析】根据算术平方根，立方根，无理数等内容，按照程序框图求解即可． 【详解】解：输入x的值是64时，取算术平方根可得，， 是有理数，则取立方根，可得， 是有理数，则取算术平方根，可得， 为无理数，则输出， 即． 32．按照如下程序操作，规定：从“输入一个值x”到“结果是否大于17”为一次程序操作．如果结果得到的数小于或等于17，则用得到的这个数进行下一次操作． （1）若时，程序进行了_________次操作就停止了； （2）若时，则输出的数为_________； （3）若程序操作进行了两次才停止，则输入的x的取值范围是_________． 【答案】 2 【知识点】程序设计与实数运算、程序流程图与代数式求值、一元一次不等式组的其他应用 【分析】（1）根据流程图计算即可得解； （2）根据流程图计算即可得解； （3）由题意得出一元一次不等式组，解不等式组即可得解． 【详解】解：（1）第一次操作：， ∵， ∴需要进行下一次操作， 第二次操作：， ∵， ∴输出的数为，即程序进行次操作就停止了； （2）∵， ∴第一次操作：， ∵， ∴输出的数为； （3）由题意可得：， 解得：， 故若程序操作进行了两次才停止，则输入的x的取值范围是． 【题型9   新定义下的实数运算】 33．一个各数位均不为0的三位自然数，若，则称为“方加数”．例如：三位数723，，∴723是“方加数”．若一个方加数是奇数，且是整数，则满足条件的的值不可能是（     ） A．521 B．723 C．817 D．925 【答案】C 【知识点】新定义下的实数运算 【分析】根据方加数定义，N为奇数，为整数这三个条件，逐一验证各选项，找出不满足所有条件的选项即可． 【详解】解：已知各数位不为0，，N为三位数，N为奇数，因此个位为奇数， A选项，即， ，满足方加数定义， 又，是整数，N是奇数，符合条件，A可能； B选项，即， ，满足方加数定义， 又，是整数，N是奇数，符合条件，B可能； C选项，即， ，满足方加数定义，N是奇数， 但，不是整数，不满足条件，C不可能； D选项，即， ，满足方加数定义， 又，是整数，N是奇数，符合条件，D可能． 34．定义关于任意正整数的一种新运算：．若规定，则（   ） A．3 B．6 C．18 D．81 【答案】D 【知识点】新定义下的实数运算 【分析】根据给定的运算规则，将变形为两个的乘积，代入已知条件计算即可． 【详解】解：∵对任意正整数，满足，且已知， 又∵， ∴． 35．如果用符号表示有理数的整数部分，用符号表示有理数的小数部分，例如：，，；下列说法中正确的有（ ）个 ①；②；③若，且，则或； A．1 B．2 C．3 D．0 【答案】A 【知识点】新定义下的实数运算 【分析】本题主要考查新定义，不等式的性质，有理数的运算等知识点，理解新定义成为解题的关键． 根据新定义、有理数的整数部分可判断①和②；根据，且，求出或即可判断③． 【详解】解：由题意得，，故①是正确的，符合题意； ，故②是错误的，不符合题意； ， 或， 当时，，； 当时，，． 故③是错误的，不符合题意． 综上所述，说法正确的只有①，故选：A． 36．我们把称为有理数的差倒数，如：2的差倒数是，-2的差倒数是．如果，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，…，依此类推，那么的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】新定义下的实数运算 【分析】根据差倒数的定义，计算前几项发现数列呈现周期性循环，周期为3。进一步分析符号交替规律，确定每三个项的和交替为和，总项数为2025，可整除周期3，得到总和的表达式． 本题考查了新定义，有理数的混合计算，循环节，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：1. 计算数列前几项： ，，， 由此可知，循环节为3：． 2. 分析符号交替规律： 表达式为，符号按交替。每三个项为一组，符号模式依次为和，对应的和分别为： 第一组：， 第二组：， 每两组（6项）的和为，但总项数2025为奇数个周期（675组），最后一组为奇数组，和为． 3. 计算总和： 总组数组，奇数组（338组）和为，偶数组（337组）和为，总和为： 故选：D． 【题型10 无理数整数部分的有关计算】 37．满足的整数的值是________． 【答案】 【知识点】无理数的大小估算 【分析】先估算出和的取值范围，再根据是整数确定的值． 【详解】解：，，且， ， 又，，且， ， ，且为整数， ． 38．如图，将长为8，宽为4的长方形纸片分割成3个三角形后，恰好拼成一个正方形，则正方形边长最接近的整数是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【知识点】实数的大小比较、无理数的大小估算 【分析】本题考查了无理数的估算、实数的大小比较法则，先利用正方形的面积公式求出大正方形的边长，再利用无理数的估算、实数的大小比较法则即可得，熟练掌握实数的大小比较法则是解题的关键． 【详解】解：由题意得，正方形的面积为， ∴边长为， ∵， ∴， ∴正方形边长最接近的整数是6， 故选：C． 39．（数学文化）司南是中国古人利用磁铁制作的一种指南工具．如图，司南的形状像一把汤匙，它的长度与最大宽度之比为．若介于两个连续整数n和之间，则n的值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【知识点】无理数的大小估算 【分析】本题考查了无理数的估算，先估算出，即可得到，即可解答． 【详解】解：， ，即， ， 无理数的值介于两个连续整数和之间， ， 故选：B． 40．阅读材料：一个实数的整数部分为不大于这个数的最大整数，小数部分为这个数与它的整数部分的差的绝对值．例如：1.4的整数部分为1，小数部分为；的整数部分为1，小数部分为；再如，的整数部分为，小数部分为．由此得到：若，其中x是整数，且，则． 根据材料，回答下列问题： (1)若，其中m是整数，且，则　　 ，　　 ； (2)若，其中p是整数，且，求的值． (3)若，其中a是整数，且，求的值； 【答案】(1)2， (2) (3)4 【知识点】求算术平方根的整数部分和小数部分、实数的混合运算 【分析】本题主要考查算术平方根及实数的运算，熟练掌握算术平方根及实数的运算是解题的关键； （1）由题意易得，然后问题可求解； （2）由题意易得，则有的整数部分为9，小数部分为，然后问题可求解； （3）由题意易得的整数部分为3，小数部分为，则有，，进而问题可求解． 【详解】（1）解：∵，即， ∴的整数部分为2，小数部分为， 又∵，其中m是整数，且， ∴，， 故答案为：2，； （2）解：∵，即， ∴， 即的整数部分为9，小数部分为， 又∵，其中p是整数，且， ∴，， ∴； （3）解：∵，即， ∴， ∴， 即的整数部分为3，小数部分为， 又∵，即，其中a是整数，且， ∴，， ∴． 【题型11 实数运算的实际应用】  41．陕北剪纸是国家非物质文化遗产，是扎根黄土高原、流传千年的经典民间传统艺术．它历史悠久，多在春节、婚嫁等民俗活动中用作窗花、喜花装饰．风格粗犷古朴、造型简练夸张、大红喜庆，题材涵盖花鸟瑞兽、民俗生活、吉祥纹样，承载着陕北人民对美好生活的祝愿，是黄土地独有的文化瑰宝．现有一张长方形红色宣纸，长、宽之比为，宣纸面积为． (1)求宣纸的周长； (2)剪纸匠人想利用这张宣纸裁出一张面积为的完整圆形纸胚来创作花鸟图，她能够裁出来吗？请说明理由．（取3） 【答案】(1) (2)能够裁出来，理由如下： 设圆形纸胚的半径为， 由题意得：， 解得：， ∵圆形纸胚的直径为，宣纸的宽为，且， ∴， ∴能够裁出来 【知识点】算术平方根的实际应用、实数运算的实际应用 【分析】（1）设这张宣纸的长为，宽为，由题意易得，然后进行求解即可； （2）设圆形纸胚的半径为，由题意易得，然后问题可求解． 【详解】（1）解：设这张宣纸的长为，宽为，由题意得： ， 解得：（负根舍去）， ∴这张宣纸的长为，宽为， ∴这张宣纸的周长为； 答：宣纸的周长为 （2）略 42．有一块面积为平方米的正方形工料，李师傅准备用它沿着边的方向裁剪出一块面积为平方米的长方形工件，且要求长宽之比为，问李师傅能办到吗？若能，求出长方形的长和宽；若不能，请说明理由． 【答案】能办到；长方形的长和宽分别为米和米 【知识点】算术平方根的实际应用、无理数的大小估算、实数运算的实际应用 【分析】先求得长方形的长为，正方形的边长为，比较大小，即可求解． 【详解】解：设长方形的长为米，则宽为米， 则由题意得，解得（取正值）， 所以长为米，宽为米， 因为面积为平方米的正方形的边长为， 因为，所以， 所以李师傅能办到，长方形的长和宽分别为米和米． 43．如图，按照国际标准，系列纸的长与宽的比例均符合；其中，纸的面积为；将纸沿两条长边中点的连线裁切，就得两张纸；再将纸沿两条长边中点的连线裁切得两张纸…依此类推，得等等的纸张（如图所示）．若设纸张的宽为，则下列列式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】实数运算的实际应用 【分析】由纸张的宽为，表示出纸的宽和长，根据纸面积为求解． 【详解】解：由图得，当纸张的宽为时，纸的宽为， ∵纸张长与宽的比为， ∴纸的长为， ∵纸面积为， ∴， ∴． 44．如图，长方形内有两个相邻的正方形．若两个正方形的面积分别为和，则图中阴影部分的面积为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【知识点】求一个数的算术平方根、实数运算的实际应用 【分析】根据正方形的面积公式求出两个正方形的边长，再根据长方形的面积公式求解即可． 【详解】解：设面积为1的正方形的边长为a，面积为2的正方形的边长为b， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【题型12 与实数运算相关的规律题】     45．观察下列等式，并回答问题： 第1个； 第2个； 第3个； 第4个； …… (1)化简：_____；这是第_____个等式． (2)第个等式是_____．（用含的式子表示） (3)比较与1的大小． 【答案】(1)， (2) (3) 【知识点】实数的大小比较、数字类规律探索 【分析】本题属于探究规律类试题，主要考查绝对值的性质、实数大小比较，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题的关键． （1）根据已知等式的规律可以得到，可以根据规律得到结果． （2）由前4个等式可以猜想第n个等式为． （3）利用作差法比较大小． 【详解】（1）解：根据前4个式子可得：， 这是第个等式． （2）解：由前4个等式可得第n个等式为． （3）解：∵， ∴． 46．我们规定一个新数“”，使其满足，并进一步规定：一切有理数可以与新数进行四则运算，且原有的运算律和运算法则仍然成立，于是有 那么___________，___________． 【答案】 【知识点】新定义下的实数运算、数字类规律探索 【分析】本题考查了新定义下实数运算，数字变化规律， ①根据题中给出的运算法则将变形为，再代入计算即可； ②先找到规律，发现每四个数为一个周期，相加和为，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：， ， 故答案为：①；②． 47．如图，通过画边长为1的正方形，就能准确的把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续． （1）点表示的数是______． （2）______． 【答案】 / 【知识点】实数与数轴、无理数的大小估算、与实数运算相关的规律题 【分析】本题考查实数与数轴、估算无理数大小以及探索规律，通过估算无理数的大小，找到图形变化规律是解决本题关键． （1）利用，右侧最近的整数点为求解即可； （2）根据实数与数轴的关系，逐一计算各点对应的数，再计算、、……，得出规律即可解决． 【详解】解：（1）根据题意得：表示在数轴上点处， ∵右侧最近的整数点为， ∴点表示的数为2； 故答案为：； （2）∵点表示的数为，点表示的数为2 ∴ ∴ ∴ ∴点表示的数为 ∵ ∴ ∴ ∴点表示的数为3， 同理可得，，，……， 以此类推可得，当n为奇数时，；当n为偶数时，； ． 故答案为：． 48．对于实数P，我们规定：用表示不小于的最小整数．例如：，，现在对72进行如下操作： ，即对72只需进行3次操作后变为2．类比上述操作：对36只需进行________次操作后变为2；如果只需进行3次操作后变为2的所有正整数中最大的数为________． 【答案】 3 256 【知识点】无理数的大小估算、新定义下的实数运算、整数问题的综合应用 【分析】仿照题目已知的例题即可解答． 【详解】解：由题意得： 现在对36进行如下操作： 36{}＝6{}＝3{}＝2， ∴对36只需进行3次操作后变为2； 现在对256进行如下操作： 256{}＝16{}＝4{}＝2， 如果只需进行3次操作后变为2的所有正整数中最大的数为：256； 故答案为：3，256． 【点睛】本题考查了估算无理数的大小，实数的运算，理解已知条件的规定：用{}表示不小于的最小整数，是解题的关键． 试卷第28页，共28页 试卷第27页，共28页 学科网（北京）股份有限公司 $