2.2 相似三角形的判定（第2课时相似三角形的判定定理1）（教学课件）数学新教材青岛版九年级上册

该初中数学课件聚焦相似三角形判定定理1，通过回顾相似多边形定义、基本事实9及推论，类比全等三角形判定思路，引导学生从“两角分别相等”猜想三角形相似，搭建新旧知识衔接的学习支架。 其亮点在于通过测量验证、构造全等三角形推导定理，发展合情与演绎推理（数学思维），典例结合矩形折叠等实例，培养几何直观（数学眼光），提分笔记系统梳理射影定理等结论，帮助学生构建知识体系，教师可借助丰富例题提升教学效率。

【新教材】青岛版·九年级上册 第2章 图形的相似 2.2相似三角形的判定 第2课时 相似三角形的判定定理1 学 习 目 标 1 2 3 探索两个三角形相似的判定定理1，了解相似三角形判定定理1的证明过程。 通过基本事实9和相似三角形判定定理1的探索以及相似三角形判定定理1证明过程. 进一步感受几何研究的方法，体会几何证明的威力，发展合情推理和演绎推理能力。 知识回顾 1.相似多边形的定义： 两个 的多边形,如果一个多边形的各个角与另一个多边形的 , ,那么这两个多边形叫作相似多边形。相似多边形 叫作相似比。 边数相同 各个角对应相等 各边对应成比例 对应边的比 2.类比相似多边形的概念，你能给出相似三角形的概念吗？ 如果两个三角形的对应角相等、对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形. 几何语言： 在△ABC和△A′B′C′中，如果∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′， 且 即三角分别相等、三边成比例， 我们就说△ABC和△A′B′C′相似，k为相似比. 知识回顾 A B C E D 知识回顾 3.基本事实9：平行线分线段成比例 两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例。 4.推论 平行于三角形的一边,并且与其他两边相交的直线, 所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比。 几何语言： ∵ DE∥BC ∴ = = 这两个三角形相似吗？ 根据相似三角形的概念， ∵∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′， ∴△ABC ∽ △A′B′C′ 利用定义判定两个三角形相似需要6对元素，太复杂了。能否适当减少其中的某些条件，归纳出简便一些的判定方法呢? 新知导入 两个三角形共有6对元素,通过增减条件推出只需要3对元素符合下面的一种情况,就可以判定这两个三角形全等: 你还记的推导两个三角形全等的思路吗？ ①两角及其夹边分别相等; ②两角及其中一组等角的对边分别相等; ③两边及其夹角分别相等; ④三边分别相等。 在判定两个三角形全等①和②中都有三个条件:两角及其中某一边分别对应相等。由于相似三角形对应边的长可以不相等,如果把 “其中一边相等”的条件去掉,仅保留“两角分别相等”,那么能判定这两个三角形相似吗? 即两个角分别相等的两个三角形相似吗？。 如图，任意画△ABC,再作一个△A'B'C', 使∠A'=∠A, ∠B'=∠B。 这两个三角形相似吗? A B C A' B' C' △ABC∽△A'B'C' 怎样证明呢？ 如图，任意画△ABC,再作一个△A'B'C', 使∠A'=∠A, ∠B'=∠B。 这两个三角形相似吗? A B C A' B' C' △ABC∽△A'B'C' 因为∠A'=∠A,∠B'=∠B,所以∠C'=∠C 测量△A'B'C'和△ABC的三边,通过计算发现这两个三角形的三边成比例。 怎样才能得到三边对应成比例？ 如何证明若∠A'=∠A,∠B'=∠B,则△ABC∽△A'B'C'？ A B C A' B' C' 解析：由∠A'=∠A, ∠B'=∠B可以很容易得到∠C'=∠C。怎样才能得到 这两个三角形三边成比例？ 三角形中由截三角形两边平行线时会出现三边成比例。 如何证明若∠A'=∠A,∠B'=∠B,则△ABC∽△A'B'C'？ A B C A' B' C' 可以在△ABC 内构造△ADE,使它与△ABC相似又与△A'B'C' 全等,怎么构造出△ADE？ 把这两个三角形转化 成这种形状就好啦 A B C A' B' C' 证明:如图,在△ABC的边AB上截取AD=A'B',过点D作 DE∥BC交AC于点E,则∠ADE=∠B,∠AED=∠C。 E D ∵∠B=∠B', ∴∠ADE=∠B'。 ∴△ADE≌△A'B'C'。 ∴AE=A'C', DE=B'C' ∵AD=A'B',∠A=∠A', A B C A' B' C' E D ∵∠B=∠B',∠A=∠A', ∴△ABC∽△A'B'C'。 ∴∠C=∠C', ∴ = = ∵ DE∥BC ∴ = = 上述证明了若∠A'=∠A,∠B'=∠B,则△ABC∽△A'B'C'。 你能总结出判断两个三角形相似方法吗？ A B C A' B' C' A B C A' B' C' 两角分别相等的两个三角形相似。 相似三角形的判定定理1： 几何语言： ∵∠A'=∠A,∠B'=∠B, ∴ △ABC∽△A'B'C'。 例1.在△ABC 和△DEF 中,∠B=32°,∠C=78°, ∠D=70°,∠E=32°。△ABC与△DEF相似吗? 为什么? A B C D E F 解：△ABC与△DEF相似。 ∵ ∠B=32°,∠C=78°, ∠D=70°,∠E=32°。 ∴∠A=70°，∠F=78°. ∴∠A=∠D，∠B=∠E. ∴ △ABC∽△A'B'C'。 典例讲解 （1）如图，已知∠DAB=∠EAC，，若使△ABC∽△ADE 成立 1.填空： (2)如图,已知点D，E分别是△ABC的 边AB,AC上的点.添加一个适当的条件: 使△ADE与△ABC相似. A B C E D ∠D=∠B，或∠AED=∠C. ∠ADE=∠B，或∠ADE=∠C. 主要考察两角相等两三角形相似定理 跟踪练习 例2、如图,已知D,E 分别是∠ABC 的两边BA,BC 上的点, 连接CD,AE,相交于点F。如果∠1=∠2,那么图中有哪几对相似三角形? 请说明理由。 解:图中有两对相似三角形,分别是△ADF∽△CEF,△ABE∽△CBD。理由如下: 注意答题的规范格式 典例讲解 ①在△ADF 和△CEF 中, ∵∠1=∠2,∠AFD=∠CFE, ∴△ADF∽△CEF ∴∠C=∠A。 ② 在△ABE 和△CBD 中, ∵∠B=∠B,∠A=∠C, ∴△ABE∽△CBD。 注意证明三角形相似 答题的规范格式 典例讲解 2.如图，在△ABC 中,∠BAC=90°,AD⊥BC,垂 足为点D。 (1)△ABC与△DBA相似吗? 为什么? (2)图中还有哪几对相似三角形?说明理由。 解：(1)△ABC与△DBA相似。 ∵AD⊥BC, ∴∠BDA=90° ∵∠BAC=90° ∴∠BAC=∠BDA ∵∠B=∠B ∴△ABC∽△DBA。 跟踪练习 (2)图中还有△ABC∽△DAC，△ABD∽△CAD。 理由如下: 在△ABC与△DAC中， 在△ABD与△CAD。 ∵∠BAC=∠ADC,∠C=∠C, ∴△ABC∽△DAC。 ∵∠BDA=∠ADC,∠CAD=∠C, ∴△ABD∽△CAD。 跟踪练习 = = 在△RtABC 中,∠BAC=90°,AD⊥BC,垂 足为点D。 提分笔记 则△ABC∽△DBA。 △ABC∽△DAC。 △ABD∽△CAD。 你能写出比例式吗？ 你有什么发现？ = = = = AB2=BC•BD AC2=BC•CD AD2=BD•CD 例3、如图,在矩形ABCD中，AB=6,BC=8,BE⊥AC, 垂足为点E.求CE的长. E D C B A 解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC=90°. AC= ==10 ∵BE⊥AC, ∴∠BEC=90°. ∴∠ABC=∠BEC. 典例讲解 E D C B A ∵∠ACB=∠BCE. ∴△ABC∽△BEC。 ∴ = ∴BC2=AC•CE ∴82=10CE ∴CE=6.4 ∴CE的长是6.4. 典例讲解 3.如图，将矩形纸片ABCD沿着过点D的直线折叠，使点A落在BC边上，落点为F，折痕交AB边于点E， (1)求证：△EFB∽△DEC； (2)若AD=10,CD=6求EF的长； 证明：（1） ∵四边形是矩形， ∴， ∴ 根据折叠的性质得：， ∴ ∴ ∴ 跟踪练习 3.如图，将矩形纸片ABCD沿着过点D的直线折叠，使点A落在BC边上，落点为F，折痕交AB边于点E， (1)求证：△EFB∽△DEC； (2)若AD=10,CD=6求EF的长； （2）解：根据折叠的性质得：， ∵，∴， ∵四边形是矩形，∴BC=AD=10， ∴． 跟踪练习 如果两个三角形的对应角相等、对应边成比例的 两个三角形叫做相似三角形. 1.相似三角形的定义： 2.相似三角形的判定定理1： 两角分别相等的两个三角形相似。 A B C A' B' C' 几何语言： ∵∠A'=∠A,∠B'=∠B, ∴ △ABC∽△A'B'C'。 课堂小结 1. 在△ABC中，D是AB上的点，且∠ACD＝∠B， (1)证明：△ABC∽△ACD. (2)AD=4，AC=6，求AB. A B C D 解：(1)在△ABC和△ACD中 ∵ ∠A=∠A，∠ACD=∠B ∴ △ABC∽△ACD （2）∵△ABC∽△ACD ∴ = 则AB = 9 当堂检测 2．如图，DA⊥AB于A，EB⊥AB于B，C是AB上的动点，若∠DCE=90°．求证：△ACD∽△BEC. 证明：∵AD⊥AB，BE⊥AB， ∴∠DAC=90°=∠EBC， ∴∠D+∠ACD=90°，∠E+∠ECB=90°， ∵∠DCE=90°， ∴∠DCA+∠ECB=90°， ∴∠D=∠ECB， ∵∠DAC=90°=∠EBC， ∴△ACD∽△BEC． 当堂检测 【新教材】青岛版·九年级上册 感谢聆听! $