1.2 一元二次方程的解法（第2课时配方法）（教学课件）数学新教材青岛版九年级上册

该初中数学课件聚焦配方法解一元二次方程，通过回顾直接开平方法及完全平方式，以方程x²+8x+13=0无法直接求解为切入点，引导学生探究将一般方程转化为(mx+n)²=p的形式，搭建从旧知到新知的学习支架。 其亮点在于以“观察-变形-配方-开方”探究过程培养推理能力，通过二次项系数化1、整体思想等步骤训练数学语言表达，结合求代数式最值等拓展内容发展创新意识。实例丰富如解2x²-5x+2=0及整体配方，助力学生理解转化思想，教师可高效落实核心素养教学。

【新教材】青岛版·九年级上册 第1章 一元二次方程 1.2一元二次方程的解法 第2课时 配方法 学 习 目 标 1 2 3 理解配方法，会用配方法将数字系数的一元二次方程转化为(x+m)2=n(n≥0)的形式，然后求解。 经历“观察方程、 变形化简、配方凑形、开方求解”的探究过程，归纳配方法，提升归纳和推理能力。 通过用配方法解一元二次方程和利用降次把一元二次方程化为一元一次方程的过程，体会转化的数学思想。 1.上节课我们学习了一元二次方程的解法，你还记得直接开平方法吗?适用什么类型的方程？ 知识回顾 利用平方根的意义直接开平方求一元二次方程的根的方法叫直接开平方法. 适用类型有：x2=k；（mx+n)²=p(p≥0)； (ax+b)²=(mx+n)²。 2.直接开平方法的基本思路是什么？ 知识回顾 一元二次方程 两个一元一次方程 降次 直接开平方法 3. 解下列方程： (1)2x²=8 ； (2)(x+4)2=3； (3)x²+8x+13=0。 知识回顾 解：（1）x1=2, x2=-2。 （2）x1=-4+, x2=-4-。 (3)x²+8x+13=0。不是（mx+n)²=p类型，不能用直接 开平方法解。怎么办？ 导入新课 如果能把x²+8x+13=0转化成（mx+n)²=p类型就能解啦。 如何才能把一般的一元二次方程转化为（mx+n)²=p呢？ 今天就研究用配方法解一元二次方程。 导入新课 因式分解的完全平方式，你还记得吗? a2+2ab+b2= ( )2 a2-2ab+b2= ( )2 a+b a- b x2 +mx+9是完全平方式，m =_________. 4x2 +12x+a是完全平方式，a =_________. ±6 9 思考 完成下面的填空，并观察每个等式的左边，一次项系数和 常数项之间有什么关系？由此你能得出关于完全平方式的 什么猜想？与同伴交流. (1)x2+4x+ =(x + )2; (2)x2-10x+ =(x - )2; (3)x2+3x + =(x + )2; (4)x2-x + =(x - )2 22 知识点1 二次三项式的配方 2 52 5 ( )2 ( )2 二次项系数为1的完全平方式，常数项等于一次项系数一半的平方. x2+bx+(__ ___ )2=(x+ ___ )2 议一议 知识点1 二次三项式的配方 ( )2 归纳： 二次项系数为1的完全平方式，常数项等于 一次项系数一半的平方，这种变形叫作配方。 知识点2 配方法解二次项系数为1的一元二次方程 (1)观察下面两个一元二次方程它们之间有什么联系？ (x+4)2=3, ① x2+8x+13=0。 ② 将方程①去掉括号，将右边的常数项移到左边, 合并同类项得到方程②。 将方程②左边的常数项移到右边,再将方程的左边配成完全平方式就可以转化成方程①了。 x2+8x+13=0 ② (x+4)2=3 ① 化简整理 怎样配方 (1)观察下面两个一元二次方程它们之间有什么联系？ (x+4)2=3, ① x2+8x+13=0。 ② 知识点2 配方法解二次项系数为1的一元二次方程 x2 + 8x + 13=0 移项， 得 x2 + 8x = -13 配方时与常数项无关 两边加 上42 得 x2+8x+42=-13+42 左边写成 完全平方，得 (x+4)2=3 两边开平方,得 x+4=±, (2)如何将一般的一元二次方程转化为(x+m)2=n形式呢? 例如 知识点2 配方法解二次项系数为1的一元二次方程 配一次项系数一半的平方 降次 (直接开平方法) 二次项系数是1 (3)如何用上面的方法求出方程x2-4x-1=0的根? 知识点2 配方法解二次项系数为1的一元二次方程 x2-4x-1=0 移项，得 x2-4x=1 方程两边同时加上（ ）,得 22 x2-4x+（ ）=1+（ ） 22 22 写成完全平方式,得 (x-2)2=5 两边开平方,得 x-2=±, 所以方程的两个根为x1=2+,x2=2-。 在方程两边都加上一次项系数一半的平方. 注意是在二次项系数为1的前提下进行的. 方程配方的方法： 知识点2 配方法解二次项系数为1的一元二次方程 配方法解形如 x2+bx+c=0的一元二次方程： 当一元二次方程的二次项系数为1时, 可先把常数项移到方程的右边,然后在方程的两边同时加上一次项系数一半的平方,把方程的左边配成一个完全平方式,再由平方根的意义求解方程。这种解一元二次方程的方法叫作配方法。 基本思路：将一般式 ax²+bx+c=0 (a≠0) 转化为(x+n)2 = p 的形式，再通过直接开平方法(降次)，转化为一元一次方程求解． 核心思想：配方是为了降次，把一个一元二次方程转化成两个一元一次方程. 知识点2 配方法解二次项系数为1的一元二次方程 （1）移项:把常数项移到方程的右边； 配方法解一元二次方程的一般步骤： （2）配方:方程的两边同时加上一次项系数一半的平方; （3）变形:把方程的左边写成一个完全平方式； （4）开平方：得一元一次方程并解之； （5）写：写出原方程的解. 16 典例讲解 B 例1、（1）把方程x2-12x=-13左边化成含有x的完全 平方式，其中正确的是（ ） A.x2-12x+(-6)2=28 B.x2-12x+(-6)2=23 C.x2-12x+6=-7 D.x2-12x+62=49 （2）下列用配方法解方程 的四个步骤中，出现错误的是 ( ) A.① B.② C.③ D.④ D 典例讲解 1.用配方法解一元二次方程x2-6x+8 = 0配方后得到的方程 是( ) A. (x + 6)2 = 28 B. (x - 6)2 = 28 C. (x + 3)2 = 1 D. (x - 3)2 = 1 D 跟踪练习 例2、解方程: (1)x2+6x-16=0; （2）x2–3x+2=0。 典例讲解 解:(1)移项,得 x2+6x=16 配方,得 x2+6x+ 32 = 16+ 32 即 (x+3)2=25。 开平方,得 x+3=±5。 ∴方程的两个根为 x1=2,x2=-8。 常数项移到“＝”右边注意变号 两边同时加上一次项系数一半的平方 例2、解方程: (1)x2+6x-16=0; （2）x2–3x+2=0。 典例讲解 (2)移项,得 x2-3x=-2 配方,得 x2-3x+（- ）2=-2+（- ）2 即 (x- )2=。 开平方,得 x-=± 。 ∴方程的两个根为 x1=2, x2=1。 跟踪练习 解：(1)整理，得 x2-5x=-3 配方,得 x2-5x+（- ）2=-3+（- ）2 即 (x- )2=。 开平方,得 x-=± 。 ∴方程的两个根为 x1=+ ， x2=-。 2.用配方法解下列方程: (1)x2=5x-3; （2）y2 -99=-2y. 跟踪练习 解：(2)整理，得 y2+2y=99 配方,得 x2+2x+12=99+12 即 (x+1)2=100。 开平方,得 x+1=±10。 ∴方程的两个根为 x1=9 ， x2=-11。 2.用配方法解下列方程: (1)x2=5x-3; （2）y2 -99=-2y. 例3、解方程: (1)2x2-5x+2=0; （2）3x2–18x-5=0。 这些方程与前面的方程有什么不同？怎么解？ 分析： 例2中方程的二次项系数为1，直接运用配方法． 这两个方程的二次项系数不是1，为了便于配方，需将二次项系数化为1，方程两边都除以二次项系数后再配方. 典例讲解 解：(1) 移项，得 2x2-5x=-2; 二次项系数化为1，得x2-x=-1; (1)2x2-5x+2=0; （2）3x2–18x-5=0。 例3、解方程: 即 (x-)2= 开方,得 x-=± ； 配方，得x2- x +（-）2=-1+（- ）2; ∴方程的两个根为 x1=2, x2=； 常数项移到“＝”右边 两边同时除以2 两边同时加上一次项系数一半的平方 典例讲解 解：(2) 移项，得 3x2–18x=5。 二次项系数化为1，得 x2- 6x= 。 (1)2x2-5x+2=0; （2）3x2–18x-5=0。 例3、解方程: 即 (x-3)2= 8。 开方,得 x-3 =±2。 配方，得x2-6x +（-3）2=-1+（-3）2。 ∴方程的两个根为 x1=3+2, x2=3-2 两边同时除以3 典例讲解 解：(1) 移项，得 2x2-3x=-1; 二次项系数化为1，得x2-x=-; (1)2x2＋1＝3x; （2）3x2－6x＋4＝0.。 3、解方程: 即 (x-)2= 开方,得 x-=± ； 配方，得x2- x +（-）2=- +（- ）2; ∴方程的两个根为 x1=1, x2=-； 跟踪练习 解：(2) 移项，得 3x2-6x=-4。 二次项系数化为1，得x2-2x=-。 (1)2x2＋1＝3x; （2）3x2－6x＋4＝0。 3、解方程: 即 (x-1)2=- 配方，得x2-2x +（-1）2=- +（-1）2。 因为实数的平方不会是负数，所以 x取任何实数时， (x－1)2 都是非负数，上式都不成立，即原方程无实数根． 跟踪练习 例4、解下列方程: （1）(x-1)2 -2(x-1)-3=0 （2）(2x+3)2 +2(2x+3)=8 这些方程与前面的方程有什么不同？怎么解？ 分析：前面的方程把二次项系数化为1，直接运用配方法． 这两个方程的未知数都在括号里，为了便于配方，可将含未知数的多项式看作整体，配方后降次解. 整体思想 典例讲解 解：（1）(x-3)2 -2(x-3)-8=0 把(x-1)作整体 移项，得 (x-3)2 -2(x-3)=8; 配方，得(x-3)2 -2(x-3)+（-1）2=8+（-1）2; 即 ［(x-3)-1］2= 9 开方,得 x-3=±3。 ∴方程的两个根为 x1=6, x2=0。 典例讲解 解：（2）(3x+2)2 +2(3x+2)-15=0 把(3x+2)作整体 移项，得 (3x+2)2 +2(3x+2)=15; 配方，得(3x+2)2 +2(3x+2)+（-1）2=15+（-1）2; 即 ［(3x+2)+1］2= 16 开方,得 3x+2=±4。 ∴方程的两个根为 x1=, x2=-2。 典例讲解 4.关于x的二次方程4x2+4kx+k2=1的一个根是-2， 求k的值和另一个根。 跟踪练习 解：∵二次方程4x2+4kx+k2=1的一个根是-2 ∴4×22+4×2k+k2=1 ∴k2+8k=-15 ∴k2+8k+42=-15+42 即 (k+4)2= 1。 k+4=±1 ∴k1=-3, x2=-5。 当k=3时，4x2+12x+9=1，得x1=-1, x2=-2; 由上可得，k的值为3，另一个根为-1或k的值为5，另一个根为-3. 当k=5时，4x2+20x+25=1，得x3=-3, x4=-2; 跟踪练习 【阅读理解】配方法不仅可以用来解一元二次方程，还可以用来解决很多问题.因为3a2≥0，所以3a2 +1 就有最小值1，即3a2 +1≥1，只有当a=0 时，才能得到这个式子的最小值1.同样，因为-3a2≤0，所以-3a2 +1 有最大值1，即3a2 +1≤1，只有当a=0 时，才能得到这个式子的最大值1. 拓展延伸 (1) 当x=___时，代数式2(x-1)2+3 取得最____（填“大” 或“小”）值，为____； (2) 当x=___时，代数式-2x2+4x+10 取得最____（填“大” 或“小”）值，为____； 解： ， ，， 当，即 时，代数式取得最大值，为12. 1 小 3 1 大 12 拓展延伸 例5.已知代数式x2-5x+7. (1)说明:不论x取何值，代数式x2-5x+7的值总大于0. (2)当x取何值时，x2-5x+7的值最小?最小值是多少? 解析：把代数式x2-5x+7转化为(x+m)2+n形式，根据(x+m)2非负性，确定x2-5x+7的值的符号。 拓展延伸 解:(1)x2-5x+7 =x2-5x+7+(-)2+7-(- )2 =(x-）2+. ∵(x- ）2≥0, ∴(x- ）2+＞0, 即不论x取何值，代数式x2-5x+7的值总大于0. (2)∵x2-5x+7 =(x-）2+. ∴当x时 x2-5x+7的值最小是。 拓展延伸 变式1：应用配方法求最值： (1) 2x2 - 4x+5的最小值； (2) -3x2 + 9x -7的最大值. 拓展延伸 解：(1) 2x2 - 4x+5 =2（x2-2x+12）-2+5 =2(x-1）2+3； ∴当x=1时 2x2 -4x+5的最小值是3。 (2) -3x2 + 9x -7 =-3﹝x2-3x+（-）2﹞+-7 ∴当x=时 -3x2 + 9x -7的最大值是- . =-3(x- ）2-； 变式2.用配方法证明，无论x取何实数，代数式 2x2-8x+18的值不小于10。 解:(1)2x2-8x+18 =2（x2-4x+22）-8+18 =2(x-2）2+10. ∵2(x- 2）2≥0, ∴2(x-2）2+10＞0, ∴代数式2x2-8x+18的值不小于10。 跟踪练习 1、一元二次方程的解法---配方法 课堂小结 当二次项系数为1时，可先把常数项移到方程的右边，然后在方程的两边都加上一次项系数的一半的平方，就把方程的左边配成了一个完全平方式，在利用直接开平方法来解一元二次方程的方法叫做配方法. 当方程的二次项系数不是“1”时,也能用配方法来解。 2.配方法解一元二次方程的一般步骤： （1）移项:把常数项移到方程的右边，并把二次项系数化1； （2）配方:方程的两边同时加上一次项系数一半的平方; （3）变形:把方程的左边写成一个完全平方式； （4）开平方：得一元一次方程并解之； （5）写：写出原方程的解. 课堂小结 (1) x2 - 4x + 3 = - 1； (2)x2 - x + 1 = 25 1.解下列方程： 解：（1）x2 - 4x + 4 = 0 (x - 2)2 = 0 x1 = x2 = 2 课后检测 （2）x2-x=24 (x - )2 = x2-x+（ ）2=24+（ ）2 解得，x1=4, x2=-3。 （3）4x2-6x-3=0； （4） 3x2+6x-9=0. （3）移项，二次项系数化为1得， x2-x= 配方得， (x - )2 = 解得，x1=, x2=。 （4）移项，二次项系数化为1得， x2+2x=3， (x + 1)2 = 4 解得，x1=-3, x2=1。 课后检测 课后检测 2.试用配方法说明：不论k取何实数，多项式k2－4k＋5 的值必定大于零. 解：k2－4k＋5=k2－4k＋4＋1 =(k－2)2＋1 因为(k－2)2≥0，所以(k－2)2＋1≥1. 所以k2－4k＋5的值必定大于零. 【新教材】青岛版·九年级上册 感谢聆听! $