10.1 平面及其基本性质（分层作业练题型）高二数学沪教版必修第三册

**基本信息** 分层设计清晰，A组巩固基础，B组能力提升，C组思维拔高，知识覆盖平面基本性质核心点，从概念到综合应用递进，适配新授课分层教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组|符号使用、空间画法、基本证明|单选+多选巩固概念，培养符号意识与几何直观| |B组|综合判断、多结论分析|填空+解答提升应用，发展推理能力| |C组|复杂空间情境证明|综合证明题培养逻辑推理与空间观念|

分层作业 10.1 平面及其基本性质 目 录 A组 巩固过关 2 题型01 符号的正确使用 2 题型02 空间位置的画法 2 题型03 证明点（线）共面问题 2 题型04 证明线共点问题 2 题型05 证明点共线问题 2 题型06 画直观图及直观图的还原 3 题型07 斜二测画法的计算问题 3 B组 能力进阶 3 C组 思维拔高 3 ( 题型0 1 )符号的正确使用 1．若直线在平面内，则符号表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对于A：直线在平面内是两个集合间的包含关系，符号表示为，A正确； 对于B：表示直线与平面平行，不符合题意，B错误； 对于C：是元素与集合的"属于"符号，仅用来表示点在直线/平面内，不能表示直线与平面的位置关系，C错误； 对于D：表示直线与平面相交于点，不符合题意，D错误. 2．（多选）下列关于点、线和面的关系表示正确的是（    ） A．点平面 B．直线平面 C．直线平面 D．平面平面 【答案】BCD 【详解】对于A：点与面的位置关系为：点平面，或点平面，故A错误； 对于BC：直线与平面的位置关系：直线平面，直线平面或直线平面，故BC正确； 对于D：平面与平面的位置关系：平面平面或平面平面，故D正确. 故选：BCD. 3．如图所示的点，线，面的位置关系，用符号语言表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】点和面、点和线的关系用“”或“”表示，故A错误； 线面关系用“”或“”表示，故BD错误； 根据图形有，C正确. 故选：C 4．根据图形用符号表示下列点、直线、平面之间的位置关系. (1)点与直线； (2)点与直线； (3)点与平面； (4)点与平面； 【答案】(1) (2) (3)平面 (4)平面 【详解】（1）点在直线上，所以 ； （2）点不在直线上，所以 ； （3）点在平面内，所以平面； （4）点不在平面内，所以平面. ( 题型0 2 )空间位置的画法 5．（多选）下图中图形的画法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】对于A：点在表示平面的平行四边形内部，表示点在面内，故A正确； 对于B：直线在平面外，则直线与平面平行（没有交点），或直线与平面相交（有一个交点，记为）， 则所对应的图形如下所示： 故B错误； 对于C：由B可知C正确，故C正确； 对于D：三个平面两两相交，有一条交线或者有三条交线， 三条交线可能交于同一点也可能互相平行，D中没有三线平行的情形， 故D错误. 故选：AC 6．下图中的两个相交平面，其中画法正确的是______． 【答案】④ 【详解】解：对于①，因被挡住的部分应画虚线，需要画出两相交平面的交线，故①错误； 对于②，因被挡住的部分应画虚线，故②错误； 对于③，因被挡住的部分应画虚线，不被挡住的画出实线，且两平面的交线需从平面的上边界画到平面的下边界，故③错误； 对于④，因被挡住的部分应画虚线，不被挡住的画出实线，且两平面的交线需从平面的上边界画到平面的下边界，故④正确. 故答案为：④. 7．用符号表示下列语句，并画出图形． 直线与平面交于点，平面经过直线，直线平行于平面． 【答案】答案见解析 【详解】，，． 8．请将以下四图中看得见的部分用实线描出. 【答案】图见解析 【详解】由题意可得： ( 题型0 3 )证明点（线）共面问题 9．下列命题中为真命题的是__________.（请写出全部真命题的序号） ①若空间四点共面，则其中必有三点共线； ②若空间四点中有三点共线，则此四点必共面； ③若空间四点中任何三点不共线，则此四点不共面； ④若空间四点不共面，则其中任意三点不共线. 【答案】②④ 【详解】①空间四点共面，如平面四边形，其中任何三点不共线，错误； ②空间四点中有三点共线，若第四个点在直线上，则必四点共面， 若第四个点不在直线上，由直线与其外一点确定一个平面，此四点也必共面，正确； ③空间四点中任何三点不共线，此四点可能共面，如平面四边形，错误； ④空间四点不共面，假设任意三点有共线的，同②分析此四个点必共面，与已知矛盾，正确. 10．如图正方体或四面体，分别是棱的中点，这四个点不共面的图是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，如图，是的中点， 连接，连接， 因为，所以，所以共面；      对于B，如图，因为是的中点， 取的中点，连接， 可得，所以，即四点共面， 因为，所以，即四点共面， 因为过的平面有且只有1个， 所以四点共面；      对于C，如图，三棱锥中连接， 因为是的中点， 则，，所以，即四点共面； 对于D，如图，连接， 平面，即四点不共面. 故选：D. 11．在正方体中，、分别为与的中点，求证：、、、四点共面 【答案】证明见解析 【详解】 连接， 因为，可知为平行四边形， 则， 因为、分别为与的中点，由中位线可知， 所以， 所以、、、四点共面. 12．已知是空间五个点，且线段和两两相交，求证这五个点在同一平面上. 【答案】证明见解析 【详解】如图，设，， ∵， ∴确定一个平面， ∵， ∴， 同理， ∴直线即直线， ∴，， ∴这五个点在同一平面上. ( 题型0 4 )证明线共点问题 13．如图，在正方体中，P，Q分别是棱，的中点，平面平面，则下列结论错误的是（    ） A．过点B B．不一定过点B C．的延长线与的延长线的交点在上 D．的延长线与的延长线的交点在上 【答案】B 【详解】连接，，如图， 因为P，Q分别是棱，的中点， 由勾股定理得， 所以四边形是菱形， 所以，P，B，Q四点共面，即平面. 又平面，所以，故A结论正确，B结论错误. 如图，延长与的延长线交于点F，延长与的延长线交于点E. 因为平面，所以平面， 因为平面，所以平面，所以， 同理，故C，D正确. 故选：B 14．在空间四边形的边、、、上分别取点E、F、G、H，若与相交于一点M，则M（    ） A．一定在直线上； B．一定在直线上； C．可能在直线上，也可能在直线上； D．不在直线上，也不在直线上． 【答案】A 【详解】由于是空间四边形，故，确定平面，，确定平面． ，，， 面，面， ， 面，面 面面 故选：A． 15．如图所示，在正方体中，分别为的中点．求证：三线交于一点．    【答案】证明见解析 【详解】连接，    因为为的中点，为的中点，所以且. 又因为且，所以且， 所以四点共面， 设.又平面平面， 所以点为平面与平面的公共点． 又因为平面平面， 所以根据基本事实3,得， 即三线交于一点． 16．如图所示，在空间四边形中，，分别为，的中点，，分别在，上，且，求证：    (1)，，，四点共面； (2)与的交点在直线上． 【详解】（1）：：：，， ，分别为，的中点，，， ，，，四点共面． （2）、不是、的中点， ，且， 与必相交，设交点为， 平面，平面， 平面，且平面， 平面平面，， 与的交点在直线上． ( 题型0 5 )证明点共线问题 17．如图，正方体中，O是中点，与截面交于P，那么、P、O三点共线，其理由是__________．    【答案】、P、O是平面和平面的公共点，所以它们共平面与平面的交线 【详解】O是中点，则O是中点，故平面， 与截面交于P，故，故平面，又平面， 故、、平面，又、、平面， 故、、在平面和平面的交线上. 故答案为：、P、O是平面和平面的公共点，所以它们共平面与平面的交线. 18．已知三边所在直线分别与平面α交于三点，求证：三点共线． 【答案】证明见解析 【详解】∵是不在同一直线上的三点 ∴过有一个平面 又,且，所以， 设，则 同理可证：， 所以三点共线    19．如图，已知的三个顶点都不在平面内，它的三边延长后分别交平面于点,求证：三点在同一条直线上． 【答案】证明见解析 【详解】证明：由已知的延长线交平面于点， 根据公理3，平面与平面必相交于一条直线，设为直线l， 因为直线，所以平面， 又因为，所以平面，所以是平面与平面的公共点． 因为平面，所以． 同理可得：且． 所以三点在同一条直线上． 20．如图，在空间四边形中，分别是的中点，分别在上，且 (1)求证：四点共面； (2)设与交于点，求证：三点共线. 【详解】（1）连接分别是的中点，.在中，.所以四点共面. （2），所以， 又平面平面， 同理：，平面平面， 为平面与平面的一个公共点. 又平面平面，即三点共线. ( 题型0 6 )画直观图及直观图的还原 21．如图所示，在中，边上的高，试用斜二测画法画出其直观图．    【答案】作图见解析 【详解】（1）在中建立如图①所示的平面直角坐标系， 再建立如图②所示的坐标系，使. (2)在坐标系中，在轴上截取； 在轴上截取，使. (3)连接，擦去辅助线，得到，即为的直观图(如图③所示).    22．用斜二测画法画出下列图形： (1)水平放置的边长为5cm的正方形； (2)水平放置的梯形和平行四边形； (3)长、宽、高分别为5cm，2cm，3cm的长方体． 【详解】（1）在已知正方形中，，取所在直线为轴（如图1（1））， 画出对应的，轴，使，，（如图1（2））， 即四边形即为正方形的直观图.    （2）仿照正方形的直观图的画法： 水平放置的梯形（如图2（1））的直观图（如图2（2）），    水平放置的平行四边形（如图3（1））的直观图（如图3（2）），      （3）先画出水平放置的长、宽分别为5cm，2cm的长方形的直观图，其中，， 再作垂直于平面，在轴上截取，进而补充出长方体即为直观图.    23．用斜二测画法画出如图所示水平放置的等腰梯形和正五边形的直观图. 【答案】答案见解析 【详解】（1）用斜二测画法画出水平放置的等腰梯形，如下图所示： 画出相应的轴、轴，使， 过点作轴，垂足为，过点作轴，垂足为， 在轴上取，， 过点作轴，使，过点作轴，使， 连结，则四边形就是等腰梯形的直观图. （2）用斜二测画法画出正五边形的直观图，如下图所示： 连接交于，画出相应的轴、轴，使， 在轴上取，，在轴上取，， 过点作轴，且，过点作轴，且， 连结，则五边形就是所求的直观图. 24．如图所示，梯形是一平面图形的直观图．若，，，．试画出原四边形． 【答案】图见解析. 【详解】解：如图，建立直角坐标系，在轴上截取，， ，在轴上截取，再过点与轴平行的直线上截取，连接，，便得到了原图形（如图）． ( 题型0 7 )斜二测画法的计算问题 25．已知正的边长为4，那么正的平面直观图的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图，平面直观图， 由题意可知，则， 过作于，则， 所以的面积为. 26．如图，是用斜二测画法画出的水平放置的的直观图，已知，，那么的面积为（   ） A． B． C．4 D．8 【答案】A 【详解】由直观图及题意，得为等腰直角三角形，所以， 所以，则， 则，，， . 27．如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，，则四边形的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据斜二测画法的性质，原图形面积与直观图面积满足关系：， 直观图为等腰梯形，上底，下底，腰长，， 故梯形的高为：， 则，则，D正确. 28．一水平放置的平面四边形的直观图如图所示，其中，轴，轴，轴，则四边形的面积为（ ） A． B．6 C． D． 【答案】D 【详解】由题意，，轴，轴，轴， 则，设轴与交点为D，则四边形为平行四边形， 则,，， 于是，四边形的面积为， 因为四边形面积是四边形的面积的倍， 所以四边形的面积为． 29．（多选）如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，则下列说法正确的是（ ） A． B．四边形的周长为 C． D．四边形的面积为 【答案】AD 【详解】如图过作， 由等腰梯形可得：是等腰直角三角形， 即，即C错误； 还原平面图为下图， 即，即A正确； 过作，由勾股定理得， 故四边形ABCD的周长为：，即B错误； 四边形ABCD的面积为：，即D正确. 一、单选题 1．命题四点共面，命题四点中有三点共线，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】当四个点共面时，不一定有三点共线，即充分性不成立； 空间四个点中，有三个点共线，根据“一条直线与直线外一点可以确定一个平面”得到这四个点共面，即必要性成立， 命题四点共面是命题四点中有三点共线的必要不充分条件． 2．在空间四边形ABCD中，点E，H分别是边AB，AD的中点，点F，G分别是边BC，CD上的点，且，以下四个结论中正确的为（   ） A．直线EF与直线GH平行 B．直线EF与直线GH异面 C．直线EF与直线GH的交点M在平面ABD上 D．直线EF与直线GH的交点M在直线AC上 【答案】D 【详解】连接，由分别为的中点，得，且， 在中，，则，且，因此且， 四边形为梯形，为梯形两腰，它们相交且共面，AB错误； 设，由平面，得平面；由平面，得平面， 而平面与平面的交线为，于是，即交点一定在直线上，且交点与点不重合， 因此交点不在平面上，C错误，D正确． 3．如图，在正方体中，是的中点，是的中点，是的中点，直线与平面相交于点，则下列结论不正确的是（   ） A．三点共线 B．四点共面 C．四点共面 D．四点共面 【答案】D 【详解】连接．因为平面， 所以平面．又因为平面， 所以点在平面与平面的交线上， 即三点共线，故A正确； 因为，所以四点共面，又因为三点共线， 所以四点共面，四点共面，故B，C正确； 因为平面，平面， 所以四点不共面，D错误． 4．在长方体中，直线与平面的交点为为线段的中点，则下列结论错误的是（    ） A．三点共线 B．四点异不共面 C．四点共面 D．四点共面 【答案】C 【详解】 因为 , 则四点共面. 因为 , 则 平面 , 又 平面 , 则点 在平面 与平面的交线上, 同理, 也在平面 与平面 的交线上, 所以三点共线; 从而 四点共面,都在平面 内， 而点B不在平面 内， 所以四点不共面，故选项B正确； 三点均在平面内， 而点A不在平面内， 所以直线AO与平面相交且点O是交点， 所以点M不在平面内， 即 四点不共面， 故选项C错误； ，且， 所以为平行四边形， 所以共面， 所以四点共面， 故选项D正确. 故选: C. 5．如图，矩形是水平放置的一个平面图形的直观图，其中，，则原图形是（    ） A．面积为12的矩形 B．面积为的菱形 C．面积为24的矩形 D．面积为的菱形 【答案】D 【详解】设直观图中，与轴交于； 在直观图中，，，故； 根据直观图中的图形，可还原为如图所示图形， 图中，；故面积为． 故原图为面积为的菱形． 二、多选题 6．如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．四边形的面积为 D．四边形的周长为 【答案】BC 【详解】对于A选项，过点作垂直于轴于点， 因为等腰梯形中，， 所以， 又，所以，故A错误； 对于B选项，由斜二测法可知，故B正确； 对于C选项，作出原图形，可知，，，， 故四边形的面积为，故C正确； 对于D选项，过点作于点， 则， 由勾股定理得， 四边形的周长为，故D错误． 7．如图所示，在空间四边形中，点分别是边的中点，点分别是边上的三等分点，且，则下列说法正确的是（    ） A．四点共面 B．与异面 C．与的交点可能在直线上，也可能不在直线上 D．与的交点一定在直线上 【答案】AD 【详解】在空间四边形ABCD中，点E，H分别是边AB，AD的中点，则，且， 点F，G分别是边BC，CD上的点，且，则，且， 因此，点E，F，G，H四点共面，故A正确，B错误； ，，即四边形是梯形，则EF与GH必相交，交点为M， 点M在EF上，而EF在平面ACB上，则点M在平面ACB上，同理点M在平面ACD上， 则点M是平面ACB与平面ACD的公共点，而AC是平面ACB与平面ACD的交线， 所以点M一定在直线AC上，故C错误，D正确. 故选：AD. 三、填空题 8．3个不同的平面最多将空间分成部分，最少将空间分成部分，则__． 【答案】 【详解】当三个不同的平面互相平行时，最少将空间分成4部分，即， 当三个平面三维放置时，最多将空间分成8部分，即， 所以． 故答案为： 【点睛】方法点睛：对平面分空间为几个部分问题，要有画图的意识，结合空间想象能力全方位、多角度地去考虑问题，作出判断． 9．已知的平面直观图是边长为的正三角形，则原的面积为________． 【答案】 【详解】建立如图所示的坐标系，的顶点在轴上，边在轴上，为的高， 把轴绕原点逆时针旋转得轴，则点变为点，且，点即为点，长度不变． 已知，在中， 由正弦定理得，所以， 所以原的高，所以． 四、解答题 10．在正方体中，E，F分别为，的中点，，，如图． (1)求证：D，B，E，F四点共面； (2)作出直线与平面的交点R的位置． 【答案】(1)证明见解析 (2)答案见解析 【分析】 【详解】（1）由于和在同一个平面内且不平行，故必相交． 如图，设交点为O，因为F为的中点，所以且，即是的中位线，则． 同理直线与也相交，设交点为，则，故与O重合． 由此可证得，故D，B，F，E四点共面． （2）设平面为．由于， 所以，A，C，四点共面（设为）． 因为，，所以． 又，，所以， 所以． 同理可证得，从而有． 连接，交于点R，因为， 所以与平面的交点就是与的交点． 所以与的交点R就是所求的交点． 11．如图，在正方体中，E，F分别是上的点，且.    (1)证明：四点共面； (2)设，证明：A，O，D三点共线. 【答案】(1)证明见祥解 (2)证明见祥解 【分析】 【详解】（1）证明：如图，连接.    在正方体中，，所以， 又，且， 所以四边形是平行四边形，所以， ，所以四点共面； （2）证明：由，，又平面，平面， 同理平面ABCD，又平面平面， ，即A，O，D三点共线. 12．如图所示，的各顶点都在平面外，且直线AB、BC、AC分别与平面交于P、Q、R，试找出Q点的位置．（保留作图痕迹） 【答案】答案见解析. 【详解】因为面，， 所以落在面与面的交线上， 因为面，面，所以面， 因为，，所以， 所以面，故， 又，所以， 由此作出点的位置，如图， 13．（8.2立体图形的直观图C卷）如图，已知点，，,用斜二测画法作出该水平放置的四边形的直观图，并求出面积.    【答案】图见解析， 【详解】由斜二测画法可知，在直观图中，，，，，，，，，， 所以 .    1．在长方体中，直线与平面的交点为，与平面的交点为为线段的中点，则下列结论错误的是（    ） A．三点共线 B．四点共面 C．为线段的四等分点 D．线段的中点在平面上 【答案】C 【详解】连接，如图，因为，所以四点共面， 因为所以平面，又平面，所以点在平面与平面的交线上，同理也在平面与平面的交线上，所以三点共线，故A正确. 由直线与平面的交点为，所以点，由A选项得点四点共面，所以点平面，由A选项得点也在平面，所以四点共面，故B正确. 在矩形中，点是的中点，并且 所以,即点为线段的三等分点，根据对称性得为线段的三等分点，故为线段的三等分点，所以C不正确. 连接则面，再连接， 则平面易得为的中点，而四边形是矩形，直线是其两条对角线，则的中点也是的中点，即为的中点，又由C可得为线段的三等分点，所以也为的中点，故D正确. 故选：C 2．如图，在正方体中，、、、分别是顶点或所在棱的中点，则、、、四点共面的图形有____（填上所有正确答案的序号）． 【答案】①③④ 【解析】推导出可判断①；判断出平面，可判断②；推导出可判断③；推导出可判断④；判断出平面，可判断⑤. 【详解】对于①，连接、，取的中点，连接、， 在正方体中，四边形为正方形，则且， 、分别为、的中点，则且， 所以，四边形为平行四边形，可得， 同理可证四边形为平行四边形，所以，，则， 此时，、、、四点共面； 对于②，如下图所示： 平面，此时，、、、四点不共面； 对于③，连接、、， 在正方体中，且， 则四边形为平行四边形，可得， 、分别为、的中点，则，， 此时，、、、四点共面； 对于④，连接、、、， 在正方体中，且， 则四边形为平行四边形，所以，， 、分别为、的中点，则，同理可证，， 此时，、、、四点共面； 对于⑤，由题图可知，平面，此时，、、、四点不共面. 故答案为：①③④. 【点睛】关键点点睛：判断、、、四点共面，关键是判断直线、相交或平行，其中证明平行的较多，一般利用平行四边形对边平行、中位线平行以及平行线的传递性来证明线线平行. 3．一水平放置的平面四边形的直观图如图所示，其中，轴，轴，轴，则四边形的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设轴与交点为，因为轴，轴，所以∥， 因为轴，所以四边形为平行四边形， 故， 又， 轴，得， 则原四边形中，， ∴， ，. 所以四边形的周长为． 4．如图，在长方体中，、分别是和的中点． (1)证明：、、、四点共面； (2)对角线与平面交于点，交于点，求证：点共线； (3)证明：、、三线共点． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3)证明见解析. 【分析】 【详解】（1）连接 在长方体中 、分别是和的中点 、、、四点共面 （2） 确定一个平面 面 面 对角线与平面交于点 面 在面与面的交线上 面且面 面 面 即点共线. （3）延长交于 面 面 面 面 面 面 、、三线共点. 5．在四面体中，、分别是、的中点，点、分别是、边上的点，且．    (1)求证：、、、四点共面； (2)若四面体为棱长为6的正四面体，求四边形的周长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）如图，连接，    因为、分别是、的中点，所以，又， 所以，所以， 所以、、、四点共面； （2）因为四面体为棱长为6的正四面体，又，则， ∴， 因为、分别是、的中点，则， ∴ ， ∴ . 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 分层作业 10.1平面及其基本性质 参考答案 ● A组 巩固过关 瓶孔型01 符号的正确使用 1.A 2.BCD 3.C 4.【详解】(1)点P在直线AB上，所以P∈AB; (2)点C不在直线AB上，所以CEAB: (3)点M在平面AC内，所以M∈平面AC: (4)点A不在平面AC内，所以A平面AC, 颗型2 空间位置的画法 5.AC 6.④ 7.【详解】BC∩a=C,ACca,BD/1a, D B/ 8.【详解】由题意可得： 1/12 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1) (3) (4) 题型03 证明点（线）共面问题 9.②④10.D 11.【详解】 A D E B D B 。 连接EF,BD,BD 因为BB,//DD,BB=DD,可知BBDD为平行四边形， 则BD∥BD, 因为E、F分别为AB与AD的中点，由中位线可知EF∥BD, 所以EF∥BD, 2112 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 所以E、F、B、D四点共面 l2.【详解】如图，设CA∩BD=M,CE∩BD=N, .CA∩CE=C, ∴.CACE确定一个平面， .M∈CE, ..Mea, 同理N∈a, ∴.直线MN即直线BDca, .B∈a,D∈a, .A、B、C、D、E这五个点在同一平面上 C M B D A E 题型04 证明线共点问题 13.B14.A 15.【详解】连接EF,DC,AB A B F D 因为E为AB的中点，F为AA的中点，所以EPAB且EF-AB. 又因为AB1/D,C且AB=DC,所以EF11DC且EF= 所以E,F,D,C四点共面， 设D,F∩CE=P.又D,Fc平面4D,DA,CEc平面ABCD, 3/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 所以点P为平面ADDA与平面ABCD的公共点， 又因为平面ADDAO平面ABCD=DA, 所以根据基本事实3，得P∈DA, 即CE,DF,DA三线交于一点. 16.【详解】(1)BG:GC=DH:HC=1:2,GH11BD, E,F分别为AB,AD的中点，EF//BD,∴EF /GH, E,F,G,H四点共面 (2)G、H不是BC、CD的中点， ∴.EF /GH,且EF≠GH, .EG与FH必相交，设交点为M, :EGC平面ABC,HFc平面ACD, ∴.M∈平面ABC,且M∈平面ACD, 平面ABC∩平面ACD=AC,∴M∈AC, ∴.EG与HF的交点在直线AC上. 题型05 证明点共线问题 17.C、P、O是平面A4CC和平面BDC的公共点，所以它们共平面AACC与平面BDC的交线 18.【详解】：A,B,C是不在同一直线上的三点 ∴过A,B,C有一个平面B 又'ABnC=P,且ABcB,所以P∈a,P∈B, 设anB=l,则Pel. 同理可证：Qel,Rel」 所以P,Q,R三点共线 19. 【详解】证明：由已知AB的延长线交平面于点P, 根据公理3，平面ABC与平面C必相交于一条直线，设为直线I, 因为P∈直线AB,所以P∈平面ABC, 4/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 又因为AB∩a=P,所以P∈平面a,所以P是平面ABC与平面a的公共点. 因为平面ABC∩a=I,所以P∈l 同理可得：Qel且Re1. 所以P,Q,R三点在同一条直线上 20.【详解】(1)连接AC,:E,F分别是AB,BC的中点，∴EF11AC在△ADC中， CG AH GD HD GH/AC,EF1/HG.所以E,F,G,H四点共面 H B“F (2)EH∩FG=P,所以P∈EH, 又：EHC平面ABD,.P∈平面ABD, 同理：P∈FG,FGc平面BCD∴.P∈平面BCD, .P为平面ABD与平面BCD的一个公共点： 又平面ABDA平面BCD=BD,P∈BD,即P,B,D三点共线 题型06 画直观图及直观图的还原 21.【详解】(1)在△ABC中建立如图①所示的平面直角坐标系O少， 再建立如图②所示的坐标系Oy,使∠x0y=45° (②)在坐标系xOy中，在x'轴上截取0B=0B,0'C=0C: 在y轴上酸取o,使0A=)o1 (3)连接AB,CA'，,擦去辅助线，得到△A'B'C'，即为△ABC的直观图如图③所示)， B O(D) CB9yDC' B 图③ 图① 图② 22.【详解】(1)在己知正方形OABC中，OA=0C=5cm,取OA,0C所在直线为x,y轴（如图1 5/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)), 画出对应的x,y轴，使∠Oy=45°，0A=5cm,0'C'=2.5cm(如图1(2))， 即四边形OAB'C'即为正方形OABC的直观图， C B B O A” (1) (2) 图1 (2)仿照正方形的直观图的画法： 水平放置的梯形（如图2(1）)的直观图（如图2(2）)， D D'EY B末A6B (1) (2) 图2 水平放置的平行四边形（如图3(1）)的直观图（如图3(2）)， B D' B O E (1) (2) 图3 (3)先画出水平放置的长、宽分别为5cm,2cm的长方形OABC的直观图，其中OC=5cm,OA=lcm, 再作Oz'垂直于平面xOW',在Oz轴上截取OD'=3cm,进而补充出长方体OABC-D'AB'C'即为直观图， Z'A D 23.【详解】(1)用斜二测画法画出水平放置的等腰梯形，如下图所示： 画出相应的x'轴、y轴，使∠rAy'=45°。 6/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 过点D作DF⊥x轴，垂足为F,过点C作CE⊥x轴，垂足为E, 在x'轴上取AB=AB,AF'=AF,AE'=AE 过点E作EC镇，使EC=EC,过点p作FDy轴，使DF=DF, 2 连结AD,D'C,CB',则四边形AB'C'D就是等腰梯形的直观图， Y D D A E B E'B (2)用斜二测画法画出正五边形的直观图，如下图所示： A 有≥D BOC文 连接AD交OE于F,画出相应的x'轴、y轴，使xOy=45° 在x轴上取oC=0C,0B=OB,在y轴上取0E=0E,0P'=0F, 过点F作FD'Ix'轴，且FD'=AF,过点F'作F'A'Ix'轴，且F'A=AF, 连结AB,AE,ED,DC,则五边形AB'C'DE就是所求的直观图， 24.【详解】解：如图，建立直角坐标系xO,在x轴上截取OD=0D=1,0C=O'C=2,OB=V2 在y轴上截取OB=2√2，再过点B与x轴平行的直线上截取AB=AB=2,连接BC,AD,便得到了原 图形（如图）· 22 题型07 斜二测画法的计算问题 25.B26.A27.D28.D29.AD 7112 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B组 能力进阶 1.B 2.D 3.D 4.C 5.D 6.BC 7.AD 8.-4 9. 10.【详解】(1)由于CC和BF在同一个平面内且不平行，故必相交. 如图，设交点为O,因为P为BC的中点，所以FC1CB且FC-BC,即FC是。BCO的中位线，则 OC=CC. 0(0) D E C 7 B C 同理直线DE与CC也相交，设交点为0'，则OC=CC,故O'与O重合. 由此可证得DE∩BF=O,故D,B,F,E四点共面. (2)设平面DBFE为a.由于A4I1CC, 所以A,A,C,C四点共面（设为B). 因为P∈BD,BDca,所以P∈a. 又P∈AC,ACcP,所以P∈B, 所以Pe(a∩B) 同理可证得e(a∩B),从而有anB=Pg, 连接4C,交PO于点R,因为ACcB, 所以AC与平面a的交点就是AC与P0的交点. 所以AC与PO的交点R就是所求的交点. 8/12 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 0(0) D E C A R 、R 11.【详解】(1)证明：如图，连接EF,AB,DC, D C B A D B 在正方体ABCD-4B,CD中，AF=2FA,BE=2AE,所以EF∥AB, 又BC∥AD,且BC=AD, 所以四边形BCDA是平行四边形，所以AB∥D,C, ∴.EF∥DC,所以E,C,D,F四点共面： (2)证明：由DFOCE=0,OeDF,又DFc平面ADD4,Oe平面ADDA, 同理O∈平面ABCD,又平面ADDA∩平面ABCD=AD, ∴O∈AD,即A,O,D三点共线 12.【详解】因为QEBCc面ABC,Q∈a, 所以Q落在面ABC与面a的交线上， 因为P∈ABc面ABC,R∈ACC面ABC,所以PRC面ABC, 因为P∈a,R∈a,所以PRCa, 所以面ABC∩a=PR,故QePR, 又O∈BC,所以PROBC=O, 由此作出Q点的位置，如图， 9/12 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B Q R 18.【详解】由斜二测画法可知，在直观图中，40=1，OA,=1,C0-3,BG=2,44 2 且A-,CC=A4/BR/CGAA0=∠aaG=4s, 1 所以S4BG0=S46品，A+ScG,44-S440-S0C,G _(44+BB,)4,B,sin4s°(CC,+BB)C,B,sin45°_44，：40'sin45°CC2·C,0'sin45° 2 2 ×2-2 3x 2-2 02=35】 2 2 2 2 y B A A, 0 B, C2 x C组 思维拔高 1.C2.①③④3.D 4.【详解】(1)连接EF,BD,B,D D A B 在长方体 中 D为 B ABCD-ABCD 10/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.BD //BD E、F分别是B,C和CD的中点 :EF //B D .EF //BD .E、F、D、B四点共面 (2)A4/1CC ·A,4,C,C确定一个平面A4CC D 面 A B O∈AC,AC AACC ∴0∈面A4CC 对角线A,C与平面BDC交于点O ∴O∈面BDC O在面A4CC与面BDC的交线上 .ACOBD=M :M∈面AACC且M∈面BDC .面AACCO面BDC=C,M ∴OeCM 即点C,O,M共线， (3)延长DF,BE交于G G D 面 A B B ·.·DGC DCG 11/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.G∈DG .Ge面DCG :BEC面BCG ∴.GeBE .G∈面BCG 面DCGO面BCG=CC ∴G∈CC ,BE、DF、CC三线共点， 5.【详解】(1)如图，连接EF,HG, E D BF_BE=k(0<k<1), 因为HG分别是ADCD的中点，所以ACIIHG,又BC=BA 所以AC/EF,所以EFI/HG, 所以E、F、G、H四点共面： (2)因为四面体ABCD为棱长为6的正四面体，又BC=BA BF_BE=k(0<k<1),BE=BF=6k' .'EF=6k,AE=FC=6-6k 因为H、G分别是AD、CD的中点，则AH=CG=HD=DG=3, ∴.EH=FG=VAE2+AH2-2×AE×AH×cos60° =6-64+32-2x(6-6)x3×2 =V36k2-72k+36+9-18+18k=V36k2-54k+27, ∴.f(k)=EF+EH+HG+FG=6k+V36k2-54k+27+3+V36k2-54k+27 =6N4K2-6k+3+6k+3(0<k<1) 12/12 分层作业 10.1 平面及其基本性质 目 录 A组 巩固过关 2 题型01 符号的正确使用 2 题型02 空间位置的画法 2 题型03 证明点（线）共面问题 2 题型04 证明线共点问题 2 题型05 证明点共线问题 2 题型06 画直观图及直观图的还原 3 题型07 斜二测画法的计算问题 3 B组 能力进阶 3 C组 思维拔高 3 ( 题型0 1 )符号的正确使用 1．若直线在平面内，则符号表示正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（多选）下列关于点、线和面的关系表示正确的是（    ） A．点平面 B．直线平面 C．直线平面 D．平面平面 3．如图所示的点，线，面的位置关系，用符号语言表示正确的是（    ） A． B． C． D． 4．根据图形用符号表示下列点、直线、平面之间的位置关系. (1)点与直线； (2)点与直线； (3)点与平面； (4)点与平面； ( 题型0 2 )空间位置的画法 5．（多选）下图中图形的画法正确的是（    ） A． B． C． D． 6．下图中的两个相交平面，其中画法正确的是______． 7．用符号表示下列语句，并画出图形． 直线与平面交于点，平面经过直线，直线平行于平面． 8．请将以下四图中看得见的部分用实线描出. ( 题型0 3 )证明点（线）共面问题 9．下列命题中为真命题的是__________.（请写出全部真命题的序号） ①若空间四点共面，则其中必有三点共线； ②若空间四点中有三点共线，则此四点必共面； ③若空间四点中任何三点不共线，则此四点不共面； ④若空间四点不共面，则其中任意三点不共线. 10．如图正方体或四面体，分别是棱的中点，这四个点不共面的图是（ ） A． B． C． D． 11．在正方体中，、分别为与的中点，求证：、、、四点共面 12．已知是空间五个点，且线段和两两相交，求证这五个点在同一平面上. ( 题型0 4 )证明线共点问题 13．如图，在正方体中，P，Q分别是棱，的中点，平面平面，则下列结论错误的是（    ） A．过点B B．不一定过点B C．的延长线与的延长线的交点在上 D．的延长线与的延长线的交点在上 14．在空间四边形的边、、、上分别取点E、F、G、H，若与相交于一点M，则M（    ） A．一定在直线上； B．一定在直线上； C．可能在直线上，也可能在直线上； D．不在直线上，也不在直线上． 15．如图所示，在正方体中，分别为的中点．求证：三线交于一点．    16．如图所示，在空间四边形中，，分别为，的中点，，分别在，上，且，求证：    (1)，，，四点共面； (2)与的交点在直线上． ( 题型0 5 )证明点共线问题 17．如图，正方体中，O是中点，与截面交于P，那么、P、O三点共线，其理由是__________．    18．已知三边所在直线分别与平面α交于三点，求证：三点共线． 19．如图，已知的三个顶点都不在平面内，它的三边延长后分别交平面于点,求证：三点在同一条直线上． 20．如图，在空间四边形中，分别是的中点，分别在上，且 (1)求证：四点共面； (2)设与交于点，求证：三点共线. ( 题型0 6 )画直观图及直观图的还原 21．如图所示，在中，边上的高，试用斜二测画法画出其直观图．    22．用斜二测画法画出下列图形： (1)水平放置的边长为5cm的正方形； (2)水平放置的梯形和平行四边形； (3)长、宽、高分别为5cm，2cm，3cm的长方体． 23．用斜二测画法画出如图所示水平放置的等腰梯形和正五边形的直观图. 24．如图所示，梯形是一平面图形的直观图．若，，，．试画出原四边形． ( 题型0 7 )斜二测画法的计算问题 25．已知正的边长为4，那么正的平面直观图的面积是（     ） A． B． C． D． 26．如图，是用斜二测画法画出的水平放置的的直观图，已知，，那么的面积为（   ） A． B． C．4 D．8 27．如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，，则四边形的面积为（     ） A． B． C． D． 28．一水平放置的平面四边形的直观图如图所示，其中，轴，轴，轴，则四边形的面积为（ ） A． B．6 C． D． 29．（多选）如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，则下列说法正确的是（ ） A． B．四边形的周长为 C． D．四边形的面积为 一、单选题 1．命题四点共面，命题四点中有三点共线，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．在空间四边形ABCD中，点E，H分别是边AB，AD的中点，点F，G分别是边BC，CD上的点，且，以下四个结论中正确的为（   ） A．直线EF与直线GH平行 B．直线EF与直线GH异面 C．直线EF与直线GH的交点M在平面ABD上 D．直线EF与直线GH的交点M在直线AC上 3．如图，在正方体中，是的中点，是的中点，是的中点，直线与平面相交于点，则下列结论不正确的是（   ） A．三点共线 B．四点共面 C．四点共面 D．四点共面 4．在长方体中，直线与平面的交点为为线段的中点，则下列结论错误的是（    ） A．三点共线 B．四点异不共面 C．四点共面 D．四点共面 5．如图，矩形是水平放置的一个平面图形的直观图，其中，，则原图形是（    ） A．面积为12的矩形 B．面积为的菱形 C．面积为24的矩形 D．面积为的菱形 二、多选题 6．如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．四边形的面积为 D．四边形的周长为 7．如图所示，在空间四边形中，点分别是边的中点，点分别是边上的三等分点，且，则下列说法正确的是（    ） A．四点共面 B．与异面 C．与的交点可能在直线上，也可能不在直线上 D．与的交点一定在直线上 三、填空题 8．3个不同的平面最多将空间分成部分，最少将空间分成部分，则__． 9．已知的平面直观图是边长为的正三角形，则原的面积为________． 四、解答题 10．在正方体中，E，F分别为，的中点，，，如图． (1)求证：D，B，E，F四点共面； (2)作出直线与平面的交点R的位置． 11．如图，在正方体中，E，F分别是上的点，且.    (1)证明：四点共面； (2)设，证明：A，O，D三点共线. 12．如图所示，的各顶点都在平面外，且直线AB、BC、AC分别与平面交于P、Q、R，试找出Q点的位置．（保留作图痕迹） 1．在长方体中，直线与平面的交点为，与平面的交点为为线段的中点，则下列结论错误的是（    ） A．三点共线 B．四点共面 C．为线段的四等分点 D．线段的中点在平面上 2．如图，在正方体中，、、、分别是顶点或所在棱的中点，则、、、四点共面的图形有____（填上所有正确答案的序号）． 3．一水平放置的平面四边形的直观图如图所示，其中，轴，轴，轴，则四边形的周长为（    ） A． B． C． D． 4．如图，在长方体中，、分别是和的中点． (1)证明：、、、四点共面； (2)对角线与平面交于点，交于点，求证：点共线； (3)证明：、、三线共点． 5．在四面体中，、分别是、的中点，点、分别是、边上的点，且．    (1)求证：、、、四点共面； (2)若四面体为棱长为6的正四面体，求四边形的周长． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $