10.2.1 空间的平行直线（题型专练）数学沪教版2020必修第三册

10.2.1空间的平行直线 题型一 概念辨析 1．判断正误，正确的填“正确”，错误的填“错误”， （1）若，则.( ) （2）若，则a，c无公共点，( ) （3）如果两个角相等，则它们的边互相平行，( ) 【答案】 正确 正确 错误 【详解】根据平行线的传递性可知：如果两条直线都与第三条直线相平行，那么这两条直线也是互相平行的， 对于（1），，正确； 对于（2），故无公共点，正确； 对于（3）根据平行直线判定定理可知：若两直线同位角相等或内错角相等，则两直线平行， 如果两个角相等，则他们的边不互相平行，如等腰三角形中位线与两腰所成角相等，但它们的边不平行，错误. 故答案为：正确；正确；错误. 2．已知三条不同的直线l，m，n，且，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】解：若，又，则，故充分性成立， 反之，若，又，则，故必要性成立. 故“”是“”的充要条件. 故选：C. 3．若，且，OA与的方向相同，则（　　） A．，且方向相同 B．，且方向不同 C．OB与不平行 D．OB与不一定平行 【答案】D 【分析】结合正方体以及空间角的知识确定正确选项. 【详解】在正方体中，如下图所示，则， 如下图所示，则与不平行， 综上所述，D选项符合. 故选：D 4．若两等角的一组对应边平行，则（    ） A．另一组对应边平行； B．另一组对应边不平行； C．另一组对应边也可能垂直； D．以上皆有可能． 【答案】D 【分析】举例分析判断即可. 【详解】在长方体中， ，两组对应边分别是平行， ，一组对应边平行，另一组对应边不平行，且垂直， 故选：D 5．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F，G分别为棱A1C1，B1C1，B1B的中点，则∠EFG与∠ABC1（　　） A．相等 B．互补 C．相等或互补 D．不确定 【答案】B 【分析】利用已知条件判断线段和，线段和的位置关系即可求解. 【详解】因为E，F，G分别为，，的中点，所以∥,∥,∥， 所以∠EFG与∠ABC1的两组对应边分别平行，一组对应边方向相同，另一组对应边方向相反，故∠EFG与∠ABC1互补. 故选：. 6．若空间中两个角的两边分别平行，则这两个角的大小关系是 ． 【答案】相等或互补 【分析】由空间等角定理判断 【详解】空间中两个角的两边分别平行，则这两个角的大小关系是相等或互补 故答案为：相等或互补 7．当角与角的两边分别平行，当角时，角 【答案】或 【分析】根据空间等角定理判断即可. 【详解】因为角与角的两边分别平行， 所以角与角相等或互补， 又，所以 或 . 故答案为：或 题型二 直线位置关系的判断 1．如图是一个正方体的平面展开图，则在正方体中与的位置关系是（    ） A．相交 B．平行 C．异面 D．垂直 【答案】B 【分析】将正方体的平面展开图，还原为正方体，即可得答案. 【详解】由题意可将展开图还原为如图的正方体，故. 故选：B 2．如图所示，在三棱锥中，，，，分别是棱，，，的中点，则与的位置关系是（    ）    A．平行 B．相交 C．异面 D．平行或异面 【答案】A 【分析】利用中位线定理与平行线的传递性即可得解. 【详解】因为，分别是棱，的中点，所以 因为，分别是棱，的中点，所以 所以. 故选：A. 3．如图，在长方体中，，，点为正方形的中心，点为的中点，点为的中点，则（    ）． A．四点共面，且与平行． B．四点共面，且与相交． C．四点共面，且与平行． D．四点不共面． 【答案】C 【分析】利用三角形中位线定理及平行公理即可判断. 【详解】如图，连接，则在上且为中点， 因为为分别为中点， 所以由三角形的中位线定理可知，， 所以四点共面且，故B、D错误，C正确， 因为，所以，故A错误. 故选：C． 4．如图，上海海关大楼的钟楼可以看作一个正四棱柱，且钟楼的四个侧面均有时钟悬挂，在0点到12点时针与分针的转动中（包括0点，但不包括12点），相邻两面时钟的时针相互平行的情况的次数为（    ）    A．0 B．2 C．4 D．12 【答案】B 【分析】根据空间中两直线的位置关系判断即可. 【详解】依题意可得时或时时针均与棱平行，所以此时两时针平行，   时或时时针均与棱垂直，所以此时两时针垂直， 其余时刻时针与棱成相同的角（不包括点），但是两时针不同在任何一个平面，故两时针不平行； ∴在点到点时针与分针的转动中（包括点，但不包括点），相邻两面时钟的时针两两相互平行的情况的次数为. 故选：B． 5．在正方体中，与AB共面且与共面的棱的条数为（    ） A．4 B．5 C．7 D．8 【答案】B 【分析】利用共面的推论，分类列举出满足要求的直线，从而得解. 【详解】 与不共面，因此没有同时与这两条直线平行的直线， 与平行且与相交的有， 与相交且与平行的有， 与相交也与相交的有， 所以满足的直线共有5条. 故选：B. 6．一个正方体纸盒展开后如图所示，在关于原正方体纸盒的下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由展开图还原立体图，可以判断相关线之间得关系． 【详解】如图所示，还原正方体，连结相关线段，可得： ∵∥AC,即ACMB为▱，则，A正确． ∵AB⊥EF，AB⊥DE，则AB⊥平面DEFN，∴AB与CN不垂直，B不正确． 从图形可以判断C、D 均不正确． 故选：A． 7．如图，将一张纸对折多次，所得折痕为，则与的位置关系为 ． 【答案】平行 【分析】根据给定条件，利用平行公理即可判断得解. 【详解】依题意，由，得，由，得， 所以，即与的位置关系为平行. 故答案为：平行 8．在正方体中． （1）与棱平行的棱有 ； （2）与棱平行的棱有 ． 【答案】 ，， ，， 【分析】利用正方体的结构特征判断与、平行的棱即可. 【详解】如下图，与平行的棱有，，； 与平行的棱有，，. 故答案为：、、；、、. 题型三 图形形状及其计算 1．如图，在三棱锥中，分别是边的中点，且，那么四边形是（   ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【答案】C 【分析】根据中位线定理和平行公里，利用平行关系转化，即可判断. 【详解】因为H，G分别是，的中点，所以，且， 同理，且 ，所以四边形是平行四边形， 同理，且，且，又， 所以，故四边形为菱形. 故选：C. 2．连接空间四边形四条边的中点，得到四边形，则是一个（　　） A．菱形 B．矩形 C．平行四边形 D．空间四边形 【答案】C 【分析】连接，利用是的中位线，是的中位线，得到，且，即可得证. 【详解】 如图所示，在空间四边形中，分别为的中点， 连接， 是的中位线，所以，且. 同理，且. ，且. 四边形是一个平行四边形. 故选：C 3．如图，设E，F，G，H依次是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上除端点外的点，，，则下列结论中不正确的是（    ）    A．当时，四边形EFGH是平行四边形 B．当时，四边形EFGH是梯形 C．当时，四边形EFGH一定不是平行四边形 D．当时，四边形EFGH是梯形 【答案】D 【分析】由线段对应成比例可得线线平行，由平行线的传递性即可结合长度关系求解. 【详解】连接BD．因为，，所以，且，，且． 若，则，四边形EFGH是平行四边形； 若，则，但，四边形EFGH是梯形． 故选:D．    4．如图，在四棱锥中，底面四边形为梯形，．设，，，的中点分别为，，，，则不正确的是（    ）    A． B． C．四点共面 D．四边形是梯形 【答案】A 【分析】根据中位线的性质，结合平行的性质逐一分析即可. 【详解】由题意知，且，所以，故错误； 又，，所以，又， 所以四点共面，且四边形是梯形．故正确． 故选：. 5．如图，A是△BCD所在平面外一点，E，F分别是BC，CD的中点，M，N分别是△ABC和△ACD的重心，若，则 ． 【答案】2 【分析】由中点得到中位线，从而求出，再由重心得到，得到，. 【详解】因为E，F分别是BC，CD的中点， 所以， 又因为M，N分别是△ABC和△ACD的重心， 所以 所以，且. 故答案为：2 题型一 证明直线平行 1．在正方体中，，分别是棱和上的点，，，那么正方体中过点，，的截面形状为（    ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【答案】B 【详解】在正方体中，取，， 连接，，，，，，如下图所示： 因为在正方体中，，分别是棱和上的点，，， 所以，且，则四边形为平行四边形，则，， 又因为，且，所以四边形为平行四边形， 则，， 所以，，所以为平行四边形， 则正方体中过点，，的截面形状为四边形. 故选：B 2．若顺次为空间四边形四条边的中点，且，，则 ． 【答案】50 【分析】根据条件，得到四边形为平行四边形，且，，，再利用余弦定理，即可求解. 【详解】如图连接， 因为顺次为空间四边形四条边的中点， 所以，，得到， 则四边形为平行四边形，且，， 在中，由余弦定理知①， 在中，由余弦定理知②， 又，由①②得到， 又，，得到， 故答案为：. 3．如图，在正方体中，、分别为、的中点．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】连接，由正方体的性质得到为平行四边形，从而得到，再由中位线的性质得到，最后由平行公理证明即可. 【详解】如图，连接， 在正方体中，易知且， 四边形为平行四边形， ， 又、分别为、的中点， ， ． 4．如图所示，已知三棱锥的点G，F，E，H分别是的中点，四边形是什么图形. 【答案】平行四边形 【分析】利用中位线，平行关系，即可判断四边形的形状； 【详解】因为点G，F，E，H分别是 的中点，， 所以，且， 所以四边形是平行四边形. 5．如图，正方体的棱长是，点分别是两条棱的中点． (1)求证：四边形（图中阴影部分）是一个梯形； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据三角形中位线定理和正方体性质即可得证； （2）根据梯形的面积公式即可求解. 【详解】（1）如图①所示，连接， 因为点、分别是、的中点， 所以， 又因为， 所以，， 所以四边形是一个梯形. （2）因为正方体的棱长为， 所以，，， 如图②所示，， 梯形的高， 所以梯形的面积为. 6．如图，在三棱锥中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点．    (1)求证：四边形EFGH是平行四边形 (2)当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是正方形． 【答案】(1)证明见解析 (2)当AC与BD垂直且相等时，四边形EFGH是正方形 【分析】（1）根据三角形中位线即可得线线平行，进而可证， （2）根据平行四边形结合正方形的性质即可求解. 【详解】（1）在中，E，F分别是边AB，BC的中点， 所以，且， 同理有，且， 所以且， 故四边形EFGH是平行四边形． （2）当AC与BD垂直且相等时，四边形EFGH是正方形，理由如下： 若，则有， 又因为四边形EFGH是平行四边形， 所以四边形EFGH是菱形． 若，则，所以菱形EFGH是正方形． 题型二 证明角相等 1．如图所示，在正方体中，分别是棱的中点．求证： ． 【答案】证明见解析 【分析】利用平行四边形的性质得与的两边分别对应平行，继而即可证明. 【详解】如图，连接EE1． ∵E1，E分别为A1D1，AD的中点， ∴,且， ∴四边形为平行四边形， ∴， 又，∴， ∴四边形是平行四边形． ∴,同理． 又与的两边分别对应平行， 且和均为锐角， ∴ ． 2．在梯形中，，，分别为和的中点，，与相交于．将平面沿翻折起来，使到的位置，，分别为和的中点，求证：    (1)四边形为平行四边形； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据梯形中位线的性质得到且，即可证明； （2）依题意折叠前，，即可得到折叠后，，根据空间等角定理即可证明. 【详解】（1）因为在梯形中，，，分别为，的中点， 所以且， 又，，所以． 因为，分别为，的中点， 所以且， 所以且，所以四边形为平行四边形． （2）折叠前，且，， 折叠后，， 所以与的对应边平行且方向相同， 所以． 3．如图，已知棱长为的正方体中，． (1)四边形是何图形？如何证明？ (2)与有何关系？ 【答案】(1)四边形是等腰梯形，证明见解析 (2)相等 【分析】（1）连接、、、、，证明出且，，可得出结论； （2）利用等角定理可得出结论. 【详解】（1）解：四边形是等腰梯形，证明如下： 连接、、、、， 因为，则，且， 在正方体中，且， 所以，四边形为平行四边形，所以，且， 所以，且， 又因为，同理可得，则， 所以，四边形为等腰梯形. （2）解：因为，，且与的方向相同， 因此，. 题型三 四点共面、面积问题 1．如图所示，△ABC和△A′B′C′的对应顶点的连线AA′，BB′，CC′交于同一点O，且，则 ． 【答案】 【分析】由等角定理得，，可得∽，继而即可求解. 【详解】因为，且＝＝， 所以，同理，， 因为，所以， 同理， 所以∽，且＝＝， 所以． 故答案为：. 2．如图，平面平面，四边形与四边形都是直角梯形，且且分别为的中点． (1)证明：四边形是平行四边形； (2)四点是否共面？为什么？ 【答案】(1)证明见解析 (2)四点共面，理由见解析 【分析】（1）运用中位线性质，结合平行四边形判定即可解； （2）运用中位线性质，结合平行线传递性，证明共面,进而得到四点共面. 【详解】（1）由题意知，由已知，可得． 又． 四边形为平行四边形． （2）四点共面．理由如下： 是的中点，， 则四边形为平行四边形,所以 由（Ⅰ）知，所以，故共面． 又点在直线上 所以四点共面． 1．如图，在正四棱柱中，，，E为的中点，是棱上一点，则不正确的是（    ）    A．的最小值为 B．存在点，使得 C．存在点，使得 D．存在点，使得 【答案】D 【分析】对A，由侧面展开图两点之间线段最短可得；对B，当为的中点时，；对C，构造中位线，利用平行传递性可得； 对D，假设存在，由余弦定理建立的方程无解推出矛盾. 【详解】对A，如图，将平面沿着轴展开到平面内， 则的最小值为，A正确．    对B，当为的中点时，，，， 则，从而，B正确．    对C，，且， 则四边形是平行四边形，故， 当为的中点时，，C正确．        对D，设， 则，，， 由余弦定理得， ． 若，则， 整理得， 解得或，不符合题意，D不正确．    故选：D. 2．如图，已知正方体的棱长为2，若K为棱的中点，过A，C，K三点作正方体的截面，则截面的周长为 ．    【答案】/ 【分析】取的中点，连接，作出截面，分别求出边长，进而求出截面的周长. 【详解】如图，取的中点，连接，则， 则在正方体中，， 所以四边形是平行四边形， 所以， 又，所以， 则四边形即为过A，C，K三点截面， 因为正方体的棱长为2， 所以，， ， 则其周长为.    故答案为：. 3．如图所示，在直四棱柱中，，，，P为棱上一点，且（为常数），直线与平面相交于点Q．则线段的长为 ． 【答案】 【分析】根据题意作辅助线，根据平行关系可得，取，根据平行关系可得//，进而可知点即为直线与平面的交点，即可得结果. 【详解】∵，所以， 分别过作，垂足分别为，分别过作，垂足分别为， 可得均为平行四边形，则， 过点作//，交直线于点，则， 可得，即， 在上取点，使得， ∵//，//，则//， 可知：//，，即为平行四边形， ∴//，， 又∵为平行四边形，则//，， 可得//，， 故为平行四边形，则//， 又∵//，则//， 即四点共面，故点即为直线与平面的交点， ∴. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：在处理截面问题时，常常转化为平行关系问题，根据线、面平行关系的判定定理以及性质定理分析判断. 4．如图，E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上的点，且，． (1)若，判断四边形EFGH的形状； (2)若，判断四边形EFGH的形状； (3)若且，求的值． 【答案】(1)平行四边形 (2)梯形 (3) 【分析】（1）根据平面几何知识，可证出平行且等于，即可得四边形EFGH是平行四边形； （2）由可知，可证四边形EFGH是梯形； （3）根据，由（1）可知四边形EFGH是平行四边形，所以四边形EFGH是菱形，进而得出结论. 【详解】（1）因为，所以，， ，，． ，， ，因此四边形EFGH是平行四边形； （2）当时，， 由（1）可知， 所以四边形EFGH是梯形； （3）因为，由（1）可知四边形EFGH是平行四边形， 又因为， 所以平行四边形EFGH是菱形，所以， 又因为，所以. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 10.2.1空间的平行直线 题型一 概念辨析 1．判断正误，正确的填“正确”，错误的填“错误”， （1）若，则.( ) （2）若，则a，c无公共点，( ) （3）如果两个角相等，则它们的边互相平行，( ) 2．已知三条不同的直线l，m，n，且，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．若，且，OA与的方向相同，则（　　） A．，且方向相同 B．，且方向不同 C．OB与不平行 D．OB与不一定平行 4．若两等角的一组对应边平行，则（    ） A．另一组对应边平行； B．另一组对应边不平行； C．另一组对应边也可能垂直； D．以上皆有可能． 5．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F，G分别为棱A1C1，B1C1，B1B的中点，则∠EFG与∠ABC1（　　） A．相等 B．互补 C．相等或互补 D．不确定 6．若空间中两个角的两边分别平行，则这两个角的大小关系是 ． 7．当角与角的两边分别平行，当角时，角 题型二 直线位置关系的判断 1．如图是一个正方体的平面展开图，则在正方体中与的位置关系是（    ） A．相交 B．平行 C．异面 D．垂直 2．如图所示，在三棱锥中，，，，分别是棱，，，的中点，则与的位置关系是（    ）    A．平行 B．相交 C．异面 D．平行或异面 3．如图，在长方体中，，，点为正方形的中心，点为的中点，点为的中点，则（    ）． A．四点共面，且与平行． B．四点共面，且与相交． C．四点共面，且与平行． D．四点不共面． 4．如图，上海海关大楼的钟楼可以看作一个正四棱柱，且钟楼的四个侧面均有时钟悬挂，在0点到12点时针与分针的转动中（包括0点，但不包括12点），相邻两面时钟的时针相互平行的情况的次数为（    ）    A．0 B．2 C．4 D．12 5．在正方体中，与AB共面且与共面的棱的条数为（    ） A．4 B．5 C．7 D．8 6．一个正方体纸盒展开后如图所示，在关于原正方体纸盒的下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 7．如图，将一张纸对折多次，所得折痕为，则与的位置关系为 ． 8．在正方体中． （1）与棱平行的棱有 ； （2）与棱平行的棱有 ． 题型三 图形形状及其计算 1．如图，在三棱锥中，分别是边的中点，且，那么四边形是（   ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 2．连接空间四边形四条边的中点，得到四边形，则是一个（　　） A．菱形 B．矩形 C．平行四边形 D．空间四边形 3．如图，设E，F，G，H依次是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上除端点外的点，，，则下列结论中不正确的是（    ）    A．当时，四边形EFGH是平行四边形 B．当时，四边形EFGH是梯形 C．当时，四边形EFGH一定不是平行四边形 D．当时，四边形EFGH是梯形 4．如图，在四棱锥中，底面四边形为梯形，．设，，，的中点分别为，，，，则不正确的是（    ）    A． B． C．四点共面 D．四边形是梯形 5．如图，A是△BCD所在平面外一点，E，F分别是BC，CD的中点，M，N分别是△ABC和△ACD的重心，若，则 ． 题型一 证明直线平行 1．在正方体中，，分别是棱和上的点，，，那么正方体中过点，，的截面形状为（    ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 2．若顺次为空间四边形四条边的中点，且，，则 ． 3．如图，在正方体中，、分别为、的中点．求证：． 4．如图所示，已知三棱锥的点G，F，E，H分别是的中点，四边形是什么图形. 5．如图，正方体的棱长是，点分别是两条棱的中点． (1)求证：四边形（图中阴影部分）是一个梯形； (2)求四边形的面积． 6．如图，在三棱锥中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点．    (1)求证：四边形EFGH是平行四边形 (2)当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是正方形． 题型二 证明角相等 1．如图所示，在正方体中，分别是棱的中点．求证： ． 2．在梯形中，，，分别为和的中点，，与相交于．将平面沿翻折起来，使到的位置，，分别为和的中点，求证：    (1)四边形为平行四边形； (2)． 3．如图，已知棱长为的正方体中，． (1)四边形是何图形？如何证明？ (2)与有何关系？ 题型三 四点共面、面积问题 1．如图所示，△ABC和△A′B′C′的对应顶点的连线AA′，BB′，CC′交于同一点O，且，则 ． 2．如图，平面平面，四边形与四边形都是直角梯形，且且分别为的中点． (1)证明：四边形是平行四边形； (2)四点是否共面？为什么？ 1．如图，在正四棱柱中，，，E为的中点，是棱上一点，则不正确的是（    ）    A．的最小值为 B．存在点，使得 C．存在点，使得 D．存在点，使得 2．如图，已知正方体的棱长为2，若K为棱的中点，过A，C，K三点作正方体的截面，则截面的周长为 ．    3．如图所示，在直四棱柱中，，，，P为棱上一点，且（为常数），直线与平面相交于点Q．则线段的长为 ． 4．如图，E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上的点，且，． (1)若，判断四边形EFGH的形状； (2)若，判断四边形EFGH的形状； (3)若且，求的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$