专题09 一次函数相关存在性问题 【暑期培优】 2026年八升九数学暑假培优计划（人教版八年级数学下册，重庆专用）

**基本信息** 聚焦一次函数存在性问题，按面积、三角形、四边形、角度四大类型系统编排32道题，以题载法构建函数与几何综合应用逻辑链，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |面积相关|8道|结合函数交点求面积、探究面积倍数关系|一次函数解析式求解→坐标与面积转化→存在性条件代数化| |三角形相关|8道|等腰三角形、直角三角形存在性判定|函数图象与坐标轴交点→三角形边/角关系→分类讨论坐标| |四边形相关|8道|平行四边形、菱形、矩形存在性探究|函数与几何图形性质结合→四边形对边/对角线关系→动态点坐标计算| |角度相关|8道|特定角度（如等角、直角）存在性分析|函数斜率与角度关系→角相等条件转化→方程求解验证|

专题09 一次函数相关存在性问题（4种类型32道） 专题目录 【类型1 面积相关存在性问题】 1 【类型2 三角形相关存在性问题】 16 【类型3 四边形相关存在性问题】 33 【类型4 角度相关存在性问题】 55 【类型1 面积相关存在性问题】 1．如图，一次函数的图象与轴交于点，一次函数的图象与轴交于点，点为两函数图象的交点，且点的横坐标为2． (1)求点坐标及一次函数的函数解析式； (2)求的面积； (3)判断直线上是否存在点，使的面积是面积的2倍．若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)8 (3)或 【详解】（1）解：把代入，得， ， 设， 把，代入得 解得， ； （2）解：在中，当时，， ， ∵， ， ； （3）解：由（2）得，， ∵的面积是面积的2倍， ∴的面积是16， ∴， ∴， ∴， 在中，当时，， 在中，当时，， ∴点的坐标为或． 2．如图，已知直线与轴交于点、与轴交于点，经过原点的直线与直线相交于点． (1)求点坐标； (2)求的面积； (3)在直线上是否存在点，使的面积是的面积相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)12 (3)的坐标为或． 【分析】（1）根据直线的解析式即可求得的坐标； （2）根据题意得出的横坐标，从而求得三角形的面积． （3）根据已知求得的横坐标为为或，通过直线的解析式即可求得的坐标． 【详解】（1）解：由直线可知：令，则， ∴； （2）解：， ∴点与轴的距离是4， ∵， 的面积； （3）解：存在； ∵直线， ∴，， ， ， ， 当点在延长线上时设， ，   ， ， 的横坐标为或10(舍去）， 代入直线得，， 的坐标为， 当点在线段延长线上时，设， ， ， ， 的横坐标为（舍去）或2， 代入直线得，， 的坐标为． 综上所述：的坐标为或． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，直线与坐标轴的交点以及三角形的面积等，关键是熟练地运用性质进行推理和计算，通过做此题培养了学生的综合分析能力，用了分类讨论思想和方程思想． 3．如图，在平面直角坐标系中，直线：与直线相交于点． (1)求直线的解析式． (2)求的面积． (3)点为轴上一动点，当最小时，求点的坐标． (4)在直线上是否存在点，使的面积是的面积的？若存在求出此时点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3) (4)存在，点的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法，将点代入直线的表达式，得到关于的方程，解方程求出的值，即可得到直线的解析式； （2）先求点的坐标，进而确定的底的长度，再确定的高，最后代入三角形面积公式计算； （3）先求出点的坐标，作关于轴的对称点，利用“轴对称性质”得，将转化为，当、、共线时，最小，求出直线的解析式，令，得到的值即为点的纵坐标； （4）先确定目标面积，设点的坐标，以为的底，点到轴的距离为高，代入面积公式列方程，解方程得的值，再代入直线解析式得到的纵坐标，进而确定的坐标． 【详解】（1）解：直线为，且位于直线上， ，解得， 直线的解析式为． 答：． （2）解：直线的解析式为， 当，，即直线与轴交点为， ， 点坐标为， 点到轴的距离为， ． 答：． （3）解：直线的解析式为， 令，则， 点的坐标为， 如图，作点关于轴对称点，连接，与轴交于点， ，， ， ， 可知当、、位于同一条直线上时，取得最小值， 设直线的解析式为，将，代入， 可得： ， 解得： ， 直线的解析式为， 令，则， 故的坐标为． 答：． （4）解：设存在点， 根据题意可知， 得，即， 解得， 则点的坐标为或． 答：存在，点的坐标为或． 【点睛】本题考查一次函数的解析式求解，平面直角坐标系中图形的面积计算，轴对称的应用，一次函数与图形面积的综合应用，通过作对称点，将“折线线段和”转化为“直线线段”是解题关键． 4．如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点，动点在线段和射线上运动． (1)求直线的解析式； (2)求的面积； (3)是否存在点，使的面积是的面积的？若存在求出此时点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)直线的解析式是： (2) (3)存在，的坐标是：或或 【分析】本题考查了一次函数的几何应用，待定系数法求解析式，三角形的面积； （1）根据点，的坐标，利用待定系数法即可得； （2）令，求出点的坐标，再根据三角形的面积公式即可得； （3）先利用待定系数法求出直线的解析式，再分①点在线段上，②点在射线上两种情况，分别根据三角形的面积关系建立方程，解方程即可得． 【详解】（1）解：设直线的解析式是，代入， 根据题意得： 解得： 则直线的解析式是：； （2）在中，令，解得：， ∴，则， ； （3）设的解析式是，则， 解得：， 则直线的解析式是：， ∵当的面积是的面积的时， ∴当的横坐标是， 在中，当时，，则的坐标是； 在中，，则，则的坐标是． 则的坐标是：或， 当的横坐标是：，则在上， 当时，，则的坐标是； 综上所述：的坐标是：或或． 5．如图，已知平面直角坐标系中，点在轴上，点在轴上，，，，点的坐标是 (1)求三个顶点的坐标； (2)当点在直线上方时，连接，并用含字母的式子表示的面积； (3)在（2）问的条件下，是否存在点，使的面积等于的面积？如果存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】本题考查了坐标与图形性质，利用点的坐标计算相应线段的长和判断线段与坐标轴的位置关系；掌握三角形面积公式． （1）根据三角形面积公式求出，得到，即可得到答案； （2）先求出直线的解析为，得到，作轴于点，得到； （3）存在点，使的面积等于的面积，得到，解得，即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ； （2）解： 设直线的解析为， 将代入得， 解得， 直线的解析为， 令，则 点在直线上方时，， ， 如图，作轴于点， ，，， ， ； （3）解：存在点，使的面积等于的面积， ， ， 解得， 点的坐标为． 6．如图，直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴交于两点，正比例函数图象与交于点． (1)求的值和点的坐标； (2)求的表达式； (3)在上是否存在一点使得的面积是的面积的倍．若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)或． 【分析】（）将点代入直线的解析式求出，再令中，求出与轴的交点； （）设正比例函数的解析式为，将点代入求出，得到的表达式为； （）先求出与轴交点，算出，进而得到；分析可知点D在上方或点D在下方，然后分情况讨论，即可获得答案． 【详解】（1）解：∵ 点在直线上， 将代入得：， 解得， ∵是与轴的交点， 将代入，得：，解得， ∴； （2）解：∵是正比例函数，设解析式为， 将代入得：，解得， ∴的表达式为； （3）解：∵是与轴交点， 令得，即， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴点D在上方或点D在下方， ∵在上，可设， 当点D在上方时，， 即，解得， ∴， 当点D在下方时，， 即，解得或（舍去）， ∴， 综上，存在符合条件的点，坐标为或． 7．在平面直角坐标系中，点，且m，n满足，． (1)直接写出m，n的值； (2)求三角形的面积； (3)点P以每秒3个单位的速度从点A出发在射线上运动（点P不与点A和点B重合），同时，点Q从点O出发，以每秒2个单位的速度沿x轴负半轴运动，连接，是否存在某一时刻t，使三角形的面积是三角形的面积的2倍．若存在，请求出t值，并写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)t的值是或，点Q的坐标是或 【分析】对于（1），根据绝对值和完全平方式的非负性可得答案； 对于（2），结合图形，根据点A，B的坐标可得答案； 对于（3），过点O作于点F，根据三角形面积公式求出的长，分点P在线段上和的延长线上两种情况，根据点P，点Q的速度用t的代数式表示的长，最后根据列出方程求出t的值即可. 【详解】（1）解：， ∵， ∴， 解得； （2）过点B作交x轴于点H， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图所示，过点O作于点F， ∵， ∴， 解得. 当点P在线段上 ∵点P的运动速度是3个单位长度，点Q的运动速度是2个单位长度， ∴. ∵点， ∴. ∵， ∴， 解得, ∴. ∵点Q在x轴上， ∴点Q的坐标是； 如图，当点P在的延长线上时， ∵点P的运动速度是3个单位长度，点Q的运动速度是2个单位长度， ∴， ∴. ∵， ∴， 解得, ∴， ∴点Q的坐标是. 综上所述，存在某一时刻t，使得的面积是面积的2倍，t的值是或，点Q的坐标是或. 【点睛】本题主要考查了绝对值结合完全平方公式的非负性，一次函数与坐标轴围成的三角形的面积，一元一次方程的应用，解决此题的关键是运用分类讨论的思想进行求解. 8．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，B，D的坐标分别为，，，直线l的表达式为． (1)当直线l经过原点O时，求它的表达式； (2)通过计算说明：不论k为何值，直线l总经过点C； (3)在（1）的条件下，直线l上是否存在点M使的面积等于矩形的面积的一半？若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)说明见解析 (3)存在；或 【分析】（1）将原点坐标代入解析式可k的值，即可求解； （2）由题意可得点，当时，，则可得不论k为何值，直线l总经过点C； （3）由的面积等于矩形的面积的一半，即，即可求解． 【详解】（1）解：∵直线l经过原点， ∴把点代入， 得：， 解得， ∴一次函数的解析式为：； （2）由题意可知，点C的坐标为， 当时，， ∴不论k为何值，直线l总经过点C； （3）存在，理由： 设点，由点A、B、C、D的坐标知，，，， ∵的面积等于矩形的面积的一半，即， 即，则， 则点或． 【类型2 三角形相关存在性问题】 9．如图，的图象与x轴、y轴交于点A、B，以线段为边在第一象限内作等边三角形． (1)求的面积； (2)在x轴上，是否存在点M，使为等腰三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，、、或 【分析】（1）先求出、，根据勾股定理得到，根据等边三角形的性质得到，根据勾股定理得到，即可求出的面积； （2）设，根据等腰三角形的定义分三种情况结合勾股定理计算即可． 【详解】（1）解：令，得，即； 令，得，即． 在中，由勾股定理得：． 如图，作交于点D， ∵等边三角形， ∴， ∴， ； （2）解：设， 当时：， 解得或， 即或； 当时：， 解得（舍去）或， 即； 当时：， 解得， 即； 综上，点的坐标为：、、或． 10．如图，一次函数的图象分别与轴，轴交于、两点． (1)求一次函数的解析式； (2)求的面积； (3)在轴上是否存在点，使得是以为一腰的等腰三角形，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)1 (3)或或 【分析】（1）利用待定系数法计算即可得出结果； （2）利用三角形的面积公式计算即可得出结果； （3）求出，设点的坐标为，分两种情况：当时，当时，分别计算即可得出结果． 【详解】（1）解：设一次函数的解析式为， 将点和点代入得， 解得， ∴一次函数的解析式为． （2）解：，， ，， ∴； （3）解：，， ，， ∴， 设点的坐标为， ∵是以为一腰的等腰三角形， ∴当时，则， ∴或， ∴此时点的坐标为或； 当时，则， 解得或（此时与点重合，不符合题意）， ∴此时点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或或． 11．如图，在平面直角坐标系中，直线：与轴交于点与轴交于点． (1)求直线的表达式； (2)在轴上是否存在点，使以，，三点为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点的坐标为或或或 【分析】（1）利用待定系数法求解，即可解题； （2）设点的坐标为，根据等腰三角形定义，分三种情况：当时，当时，当时，分别进行讨论计算即可． 【详解】（1）解：与轴交于点， ， 解得， 直线的表达式为； （2）解：存在，理由： ，以，，三点为顶点的三角形是等腰三角形， 当时， ∵， 点的坐标为或； 当时， ∵， ∴， ∴点的坐标为； 当时， 设点的坐标为， 则， 解得， 点的坐标为， 综上所述，点的坐标为或或或． 12．已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B． (1)点A的坐标为_________，点B的坐标为__________； (2)直线上是否存在一点C（C与B不重合），使的面积等于的面积？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由； (3)x轴上是否存在一点D，使为等腰三角形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存，在请说明理由． 【答案】(1)， (2)存在， (3)存在，或或或 【分析】本题考查了一次函数性质，掌握用取特殊值的方法求定点坐标，设C点坐标根据面积相等求出未知数是解题关键． （1）令，，列出一元一次方程，解出即可； （2）先求出，设点C的坐标为，再根据的面积等于的面积，列方程求解即可； （3）设点，则，，，在根据，，分别列方程求解即可． 【详解】（1）解：令，则，解得， 令，则， ∴A点的坐标为，B点的坐标为． 故答案为：，； （2）解：存在，理由： ∵A点的坐标为，B点的坐标为， ∴，， ∴， ∵直线上一点C， ∴设点C的坐标为， ∵的面积等于的面积， ∴， 解得，（与点B重合，舍去）， ∴点C的坐标为； （3）解：存在，理由： 设点， ∵A点的坐标为，B点的坐标为， ∴，，， 当时，即，则，解得：，此时点或； 当时，即，则，解得：，此时点； 当时，即，则，解得：，时与重合，此时点； 综上，或或或． 13．如图，直线与x，y轴分别交于点A，C，过点A，C分别作x，y轴的垂线，交于点B，点D为的中点．点P从点A出发，以每秒1个单位的速度，沿边的方向运动，运动时间为t（秒） (1)求点B的坐标； (2)设的面积为S，求S关于t的函数解析式； (3)在点P的运动过程中，是否存在点P，使是等腰三角形，若存在，请求出运动时间t的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，t的值为3或21或或或 【分析】（1）根据函数解析式求出点的坐标，根据垂直即可求出点坐标； （2）根据点的坐标求出相关线段的长度，然后分段表示函数； （3）根据点的坐标求出相关线段的长，分五种情况进行讨论，利用等腰三角形的性质以及一次函数的性质等进行求解． 【详解】（1）解：当时，， ∴； 当时，， 解得， ∴； ∵过点A，C分别作x，y轴的垂线，交于点B， ∴； （2）解：由和得，， 当时，； 当时，； ∴； （3）解：存在，t的值为3或21或或或， ∵，， ∴， ∵点D为的中点， ∴， ①当，且点在线段上时，是等腰三角形， ∴； ②如图所示，当，且点在线段上时，是等腰三角形， ∴， 由勾股定理得， ∴， ∴； ③如图所示，当，且点在线段上时，是等腰三角形， 过点作于点， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴； ④如图所示，当，且点在线段上时，是等腰三角形， 过点作于点， ∴， ∴， ∴点的纵坐标为， 当时，， 解得， ∴点的横坐标为， ∴， 由勾股定理得， ∴， ∴； ⑤如图所示，当，且点在线段上时，是等腰三角形， 假设， ∵， ∴由勾股定理得， 解得或（舍去）， 当时，， 即， 由勾股定理得， ∴； 综上，t的值为3或21或或或． 14．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴轴分别交于两点，与正比例函数的图象交于点． (1)求，的值； (2)求点到直线的距离； (3)在轴上是否存在一点，使是以为直角边的直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】（1）点代入得出，则，代入得出； （2）分别求得的坐标，根据勾股定理求得的长，进而根据等面积法，即可求解； （3）设轴上点坐标为，分求得，进而根据为直角边，分类讨论，根据勾股定理建立方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵点在正比例函数上，代入得：， 解得，即． 又∵在一次函数上，代入得：， 解得． （2）由（1）得直线的解析式为， 令得，即， ∴； 令得，即， ∴． 在中，． 设到直线的距离为，由三角形面积公式：， 代入得， 解得． 即点到直线的距离为． （3）存在满足条件的点，设轴上点坐标为， ∴，，． ∵以为直角边的直角三角形， 分两种情况：①直角顶点为：满足， 代入整理得， 解得， 得； ②直角顶点为：满足， 代入整理得， 解得， 得． 综上，存在点，坐标为或． 15．如图，A，B是直线与两坐标轴的交点，直线过点A，与x轴交于点C． (1)求A，B，C三点的坐标； (2)点D是折线上一动点． ①如图（1），当点是线段的中点时，在y轴上找一点E，使最小；并求出点的坐标和的最小值； ②在第一象限内是否存在点D，使为直角三角形，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)①点的坐标为，的最小值是；②存在， 【分析】本题考查了一次函数的应用、轴对称的性质、两点之间的距离公式、等腰三角形的判定与性质等知识，熟练掌握一次函数的应用是解题关键． （1）将代入直线可得的值，即可得点的坐标；将代入直线可得的值，即可得点的坐标；利用待定系数法可得直线的解析式，将代入求出的值，即可得点的坐标； （2）①作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，连接，则点即为所求，的最小值为，利用两点之间的距离公式即可得的值，再利用待定系数法求出直线的解析式，由此即可得； ②先判断只存在一种情况：，使得为直角三角形，设与轴交于点，再求出点的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，然后与直线的解析式联立，解方程组即可得． 【详解】（1）解：将代入直线得：， ∴， 将代入直线得：，解得， ∴， 将代入直线得：， ∴直线的解析式为， 将代入直线得：，解得， ∴． （2）解：①如图，作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，连接， ∴， ∴， 由两点之间线段最短可知，此时点即为所求，的最小值为，即的最小值为， ∵点是线段的中点，，， ∴，即， ∴的最小值为， 设直线的解析式为， 将点，代入得：，解得， ∴直线的解析式为， 将代入得：， ∴， 综上，点的坐标为，的最小值为． ②存在，求解过程如下： ∵轴轴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴只存在一种情况：，使得为直角三角形， 如图，设与轴交于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将点，代入得：，解得， ∴直线的解析式为， 联立，解得， ∴点的坐标为． 16．如图，已知函数的图象与轴交于点，一次函数的图象经过点，与轴以及的图象分别交于点、． (1)求一次函数的表达式 (2)求四边形的面积； (3)在x轴上是否存在点，使得以点，，为顶点的三角形是直角三角形？若存在求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)一次函数的表达式为 (2)四边形的面积为 (3)点P的坐标为或 【分析】（1）首先根据在直线上求解得到点D的坐标，进而将点B，D的坐标代入一次函数中即可求解一次函数的表达式； （2）将四边形的面积分为，进而构造高线，求解即可； （3）首先发现以点，，为顶点的三角形是直角三角形有两种情况，进而分为和进行计算，设出，表示出，，，即可解方程得到点P的坐标． 【详解】（1）解：∵在直线上， ∴，即， 将，代入一次函数中，得， 解得：， ∴一次函数的表达式为； （2）解：如图，过点D作轴于点E， ∵与y轴交于点A， ∴，即， ∵与x轴交于点C， ∴，即， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴； （3）解：设， ∴，，， ①：当时，， ∴，解得：， ∴； ②：当时，， ∴，解得：， ∴； ∴点P的坐标为或． 【点睛】本题主要考查一次函数的综合题、梯形的面积计算、直角三角形的判定和勾股定理，分类讨论直角三角形的存在情况是解题的关键． 【类型3 四边形相关存在性问题】 17．如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，A，C两点的坐标分别为，．将平行四边形先向右平移4个单位后，再向下平移1个单位，得到平行四边形． (1)请求出直线的解析式； (2)平行四边形与平行四边形的重叠部分的形状是___________，重叠部分的面积是__________________； (3)点E是x轴上一动点，在直线上是否存在点D，使得以O，N，D，E为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出满足条件的所有点D、点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)平行四边形， (3)当或或时，以O，N，D，E为顶点的四边形为平行四边形． 【分析】（1）由平移的性质可得，进一步求解即可； （2）先根据平行四边形的性质和平移的性质可证明，由此即可证明四边形是平行四边形，即平行四边形与平行四边形的重叠部分的形状是平行四边形；再求出直线的解析式为，进而求出，则，则，即平行四边形与平行四边形的重叠部分的面积为； （3）分为边和为对角线两种情况利用平行四边形的性质进行求解即可． 【详解】（1）解：∵将平行四边形先向右平移4个单位后，再向下平移1个单位，得到平行四边形， ∴点C、点O分别向右平移4个单位后，再向下平移1个单位，得到点M、点N， ∵， ∴； 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为． （2）解：如图所示，设与x轴交于E，与交于F，过点M作轴于G， ∵四边形是平行四边形， ∴， 由平移的性质可得， ∴，即， ∴四边形是平行四边形， ∴平行四边形与平行四边形的重叠部分的形状是平行四边形； 在中，当，， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形与平行四边形的重叠部分的面积为． （3）解：∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 同理可得直线的解析式为， 设， 当为对角线时，由平行四边形对角线中点坐标相同可得： ， 解得， ∴； 当为边时，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或； 综上所述，当或或时，以O，N，D，E为顶点的四边形为平行四边形． 18．如图，在平面直角坐标系中，，，点在轴正半轴上，且四边形是平行四边形，． (1)点的坐标是 ；平行四边形的面积是 ； (2)平面内有一点，求经过点且平分平行四边形面积的直线解析式； (3)点是直线上一动点，在轴上是否存在点，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由； 【答案】(1)，20 (2) (3)存在，点的坐标为或 【分析】（1）由平行四边形的性质可得点D的坐标，平行四边形的面积等于底乘高； （2）平行四边形是中心对称图形，对称中心为对角线交点，平分其面积的直线必经过对称中心； （3）先求出直线的解析式，分三种情况：为对角线时，为边且点N在x轴的负半轴时，为边且点N在x轴的正半轴时，根据对角线中点重合列方程组，即可求解． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形，，点在轴正半轴上，，， ，，， 点D的纵坐标与点A相同，横坐标为， 点的坐标是， 平行四边形的面积； （2）解：，， 对角线，的交点坐标为，即， ∵平行四边形是中心对称图形， ∴经过对角线交点的直线平分平行四边形的面积 设经过点且平分平行四边形面积的直线解析式为， 将，代入，得：， 解得， 所求直线的解析式为； （3）解：，点在轴正半轴上，， ，即， 设直线的解析式为， 将，代入，得：， 解得， 直线的解析式为， 设，， 以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，存在三种情况： 当为对角线时，如图： 则与的中点重合， ， 解得， 点的坐标为，即； 当为边，点N在x轴的负半轴时，如图所示： 则与的中点重合， ， 解得， 点的坐标为，即； 当为边，点N在x轴的正半轴时，如图所示： 则与的中点重合， ， 解得， 点的坐标为，即， 综上可得，存在，点的坐标为或． 19．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的边在轴上，已知点，点，连接，直线交轴于点，且 (1)求点的坐标； (2)动点从点出发，沿折线方向以2个单位/秒的速度向终点做匀速运动，若的面积为，点的运动时间为秒．求与之间的函数关系式，并写出的取值范围． (3)在（2）的条件下，当时，在平面内是否存在点Q，使得以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由，点，根据勾股定理得，则，因为轴，，所以，于是得到问题的答案； （2）当时，点P在边上，先用待定系数法求得直线的解析式为，则，所以；当时，作交的延长线于点F，由，求得，则； （3）分为边和为对角线两种情况，结合平行四边形的性质，即可求解． 【详解】（1）解：，，点， ，， ， ， ∵四边形是平行四边形，边在轴上， 轴，， ， （2）解：如图1，设直线的解析式为， ∵直线经过点，， ， 解得， ∴直线的解析式为， ，， ，， ， ， ； 当时，如图2，作交的延长线于点 且， ， 解得：， ， ； （3）解：∵， ∴ 设直线的解析式为 代入，得， 解得： ∴直线的解析式为 ∵， ∴的纵坐标为 代入 解得：； ∴ ∴ 当为边时，， ∵ ∴或， 当为对角线时，则的中点为 设， ∴ 解得： ∴ 综上所述，的坐标为： 20．直线AB的解析式为：，如图所示，其图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，点P在线段上由点A向点B以每秒2个单位的速度运动，点C在线段上由点O向点B以每秒1个单位的速度运动（其中任意一点先到达终点则两点都停止运动），过点P作与x轴垂直的直线交直线于点Q．设运动的时间为t秒． (1)直接写出：A点的坐标是 ， 度； (2)用含t的代数式分别表示： ， ； (3)是否存在t的值，使四边形为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由； (4)是否存在t的值，使四边形为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由，并探究如何改变点C的速度（匀速运动），使四边形在某一时刻为菱形，求点C的速度和时间t． 【答案】(1)，30 (2)，t (3)，四边形是平行四边形 (4)当点C的速度变为每秒个单位时，秒时四边形是菱形 【分析】（1）把代入，求出x的值，即可得出点A的坐标，求出点B的坐标，得出，勾股定理求出，即可求出； （2）由运动知，，，则，根据含角直角三角形的特征，得出； （3）根据题意得出，根据平行四边形的判定定理可知，当时，该四边形是平行四边形，列出方程求解即可； （4）由（3）知，时，四边形是平行四边形，求出，，即可得出该四边形不是菱形；若四边形构成菱形，则，且时成立．得出，求出t的值，进而得出，，最后根据，即可求出点C的速度． 【详解】（1）解：把代入得：， ∴， ∴， 把代入得：， 解得：， ∴， ∴，， 在中，， ∴， 故答案为：，30； （2）解：由运动知，，， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 故答案为：，t； （3）解：∵， ∴当时，， ∴时，四边形是平行四边形． （4）解：由（3）知，时，四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴四边形不能构成菱形． 若四边形构成菱形，则， 且时成立． 则有， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴当点C的速度变为每秒个单位时，秒时四边形是菱形． 【点睛】本题主要考查了一次函数与坐标轴交点，含角直角三角形的特征，平行四边形的判定，菱形的判定，解题的关键是掌握求一次函数与坐标轴交点坐标的方法，含角直角三角形，角所对边是斜边的一半；有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；有一组邻边相等的平行四边形是菱形． 21．如图①，直线分别与轴、轴交于、两点，与直线交于点． (1)求、两点坐标及、的值； (2)若点在轴上一点，当时，求点的坐标； (3)若点为轴上一点，则在坐标系中是否存在一点，使得、、、四个点能构成一个菱形，若存在，求出所有符合条件的点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，， (2)或 (3)存在，的坐标为：或或或 【分析】（1）待定系数法求函数解析式；将代入，，解方程即可，在中，令，解方程即可得点坐标； （2）根据勾股定理求得，根据，且点在轴上，即可求解． （3）以、、、四个点为顶点构成一个菱形，分两种情况：①当以为边，由，即可求得相应的点和坐标，②当以为对角线，根据菱形对角线互相垂直及勾股定理建立方程求解． 【详解】（1）解：将分别代入，， 得：，， 解得，， 直线，直线， 在中，令，得， ， 令，得，解得， ； （2）解：，， ， ， 又点在轴上， 或， （3）解：存在．如图， ①当以为边时， 由（2）可得或， ，，， 或， 当与关于原点对称时，也满足条件， ②当以为对角线时， 设对角线的交点为，则， 因此设，则， 在中，， 解得， ，则， 综上所述，符合条件的的坐标为：或或或． 22．如图，矩形的边的长分别是方程的两个根（），折叠矩形，使边落在x轴上，点B与点E重合． (1)求折痕所在直线解析式． (2)将直线沿x轴负方向以每秒1个单位长度的速度平移，直接写出直线扫过矩形的面积S与运动的时间t（）的关系式． (3)点P是直线上一点，在平面内是否存在一点M，使得以A、B、P、M为顶点的四边形是正方形？若存在，直接写出点M的坐标．若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或 【分析】（1）求出，，再用待定系数法求函数的解析式即可； （2）当时，直线扫过矩形的区域为等腰直角三角形；当时，直线扫过矩形的区域为一个等腰直角三角形加平行四边形；当时，直线扫过矩形的区域面积为矩形的面积减去底部未扫过三角形的面积； （3）分两种情况讨论：当时，此时，；当时，此时，． 【详解】（1）解：， 解得，， ∵的长分别是方程的两个根（）， ∴，， 由折叠可知，， ∴，， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为； （2）当时，直线扫过矩形的区域为等腰直角三角形，故； 当时，直线扫过矩形的区域为一个等腰直角三角形加平行四边形，故； 当时，直线扫过矩形的区域面积为矩形的面积减去底部未扫过三角形的面积，即； 综上，直线扫过矩形的面积S与运动的时间t的关系式为； （3）当时，，此时， ∴； 当时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴M点与P点关于对称， ∴； 综上所述：或． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，矩形的性质，动点引出的几何图形面积与函数问题，两点间距离公式，一元二次方程，正方形的判定，等腰三角形的判定，掌握以上内容是解题关键． 23．如图，在平面直角坐标系中，有两条直线分别为：与：，直线与轴交于点，与轴交于点，点为坐标原点． (1)直接写出点和点的坐标； (2)如图（1），以为一条边在的下方作一个面积为的矩形，若直线与所作的矩形有公共点，求的取值范围； (3)如图（2），当时，在，上是否分别存在点和点，使得以点，，，为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出相应的点和点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)，或，或，． 【分析】（1）分别将，代入，求出点、的坐标即可； （2）在的右下方作矩形，设直线交轴于点，容易判断和都是等腰直角三角形，由勾股定理可计算出，结合矩形的面积可得，因此，从而得到点．根据题意，要在直线与直线之间，因此； （3）分三类讨论，当为菱形的对角线时，连接交于点，容易判断是等腰直角三角形，则，从而求出点和点的坐标；当为菱形的对角线时，延长交轴于点，容易判断是等腰直角三角形，则，从而求出点和点的坐标；当为菱形的对角线时，设交轴于点，同样的方法计算即可． 【详解】（1）解：将代入，得， ∴点的坐标为， 将代入，得， ∴点的坐标为； （2）解：如图，在的右下方作矩形，设直线交轴于点， 在中，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 由勾股定理可得，， ∵矩形的面积为24， ∴， 又∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 由勾股定理可得，， ∴点的坐标为， ∵直线与矩形有公共点， ∴直线要在直线与直线之间， ∴； （3）解：假设存在点和点，使得以点，，，为顶点的四边形为菱形， ①当为菱形的对角线时，如图，连接交于点， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴， 由（2）可知，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴点的坐标为，点的坐标为； ②当为菱形的对角线时，如图，延长交轴于点， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴，轴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 由勾股定理可得，， ∴， ∴点的坐标为，点的坐标为； ③当为菱形的对角线时，设交轴于点， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴，轴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 由勾股定理可得，， ∴， ∴， ∴点的坐标为，点的坐标为； 综上所述，假设成立，，或，或，． 24．如图，平面直角坐标系中，矩形的顶点A，C分别在x轴，y轴上，且．点D为的中点，连接为的平分线，交于点E． (1)求点B和点E的坐标； (2)点P为射线上一动点，点Q为平面内任意一点， ①连接，若请求出点P的坐标； ②是否存在P，Q两点，使得四边形为矩形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)①；②． 【分析】本题主要考查了一次函数上点的坐标特征，矩形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握相关知识是解决问题的关键． （1）根据矩形的性质可得从而得到的坐标，再由角平分线和平行线的性质可以证出，进而得到点的坐标； （2）①利用割补法将的面积表示出来，再转化为坐标之间的关系求解即可； ②要使四边形是矩形，则为直角三角形，，设出点的坐标，利用两点距离公式和勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形为矩形， ， ，，， ， ，， ，， ∴， ∵为的平分线， ， ， ， ∵为中点， ， ∴， 由勾股定理可得， ， ∴． （2）解：①∵四边形为矩形，点为的中点， ， ， 延长，交轴于点，如图： 设直线的解析式为，把代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ， ∴， ， ， ， ， 把代入得：， ； ②存在，如图： ∵点是射线上的动点， ∴设， ∵， ， ， ， 要使四边形是矩形，则为直角三角形，， ，即， 解得：， ． 【类型4 角度相关存在性问题】 25．如图1，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于点，点为轴负半轴上一点，且满足． (1)求直线的解析式； (2)如图2，点是线段的中点，点，分别是线段，上的两个动点．连接，，，当时，求点的坐标和周长的最小值； (3)若点是轴上一动点，当时，请直接写出所有满足条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1) (2)， (3)或 【详解】（1）解：∵直线分别与轴，轴交于点， ∴令，即； ∴令，即； ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点在轴的负半轴， ∴， 设直线的解析式为 把，分别代入， 得， 解得， ∴； （2）解：由（1）得，，， ∴， ∴， ∵点是线段的动点，且线段的解析式为， ∴设， 连接，如图所示： ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∴， 即， 点是线段的中点，， ∴， ∴， 过点E作轴的对称点，记为， 即， 连接交轴于一点，连接， ∴， 此时周长最小，且周长最小 ∵，， ∴， ∵ ∴ 则周长最小； （3）解：由（1）得，， ∴， ∵， ∴， 即， 在x轴上取点，连接，过点C作轴， ∵，且， ∴， ∵轴， ∴，， 作的角平分线交x轴于点P， 则， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∴， 则， ∴， ∴， 作点P关于y轴的对称点，此时， ∴点P坐标为或． 26．如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点在轴上，点在轴正半轴上，且．点是直线与线段的交点． (1)求直线的解析式： (2)若为直线上一动点，连接，，当时，求点的坐标； (3)如图2，连接，并将直线沿轴向下平移7个单位长度得直线，在直线上是否存在动点，使得，若存在，直接写出点的坐标，若不存在．请说明理由． 【答案】(1) (2)或； (3)存在，或 【详解】（1）解：直线与轴交于点，与轴交点， ∴当时，，当时，， ∴，， ∴，则， ∵点是直线与线段的交点， ∴当时，， ∴， 设直线的表达式为：， ∴代入点，，得，解得：， ∴直线的表达式为：； （2）解：由（1）可知直线的表达式为：， ∴当时，，则， 又∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∵点为直线上一动点，且直线的表达式为， ∴设， 当点在直线下方时，此时，如图所示，连接，，， ∴， ， ， ， 当时，，此时，解得，， ∴， 当时，此时，解得，（不合题意，舍去）， 当点在直线上时，点与点重合，不存在，不符合题意， 当点（）在直线上方时，如图所示，连接，，， ， ， 当时，，，解得：，（不合题意，舍去）， 当时，，，解得：， ， 综上所述，点的坐标或； （3）解：存在， 设直线的表达式为：， 代入点、得，解得：， ∴直线的表达式为：， ∴直线沿轴向下平移个单位后，直线的表达式为， 如图，过点作交轴于点，过点作交的延长线于点，直线和直线交于点，直线和直线分别交直线于点和，在直线上截取，连接， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴，同理可证， ∵， ∴， ∴， ∴点即为所求， ∵， ∴设直线的表达式为：， 代入点到直线的表达式，得：，解得：， ∴直线的表达式为：， ∴联立直线和直线的表达式，得：，解得：， ∴点， ∵,， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 又∵， ∴直线垂直平分， ∴， ∴， ∴联立直线和直线的表达式，得：，解得：， ∴点， ∵，， ∴点的横坐标为：， ∴点的纵坐标为：， ∴点， 综上所述，满足条件的点的坐标为或. 27．如图1，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线与x轴交于点C，与y轴交于点D，与直线交于点E，． (1)求直线的解析式； (2)如图2，点P为直线上一点，且在点E的右侧，满足的面积为，点Q为直线上一动点，请求出的最大值； (3)如图3，将直线向下平移4个单位得到直线，直线与x轴交于点F，连接，若点M为平面内一动点，是否存在点M，使得，若存在，请直接写出直线与y轴交点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 【详解】（1）解：∵直线， ∴当时，， ∴，即， ∵直线， ∴当时，， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 将代入得，， 解得， ∴直线的解析式为； （2）解：∵直线， 当时，， 解得， ∴， ∴， 联立直线和直线得，， 解得， ∴， ∴， ∵点P为直线上一点，设， ∵的面积为， ∴， ∴， 解得， ∴， 如图，连接， ∵， ∴轴，且 ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵轴， ∴， ∴， 如图，取的中点，连接，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴当点在线段的延长线上时，取得最大值，即的长度， ∴， ∴的最大值为； （3）解：∵将直线向下平移4个单位得到直线， ∴直线的表达式为， ∴当时，， 解得， ∴， 如图，当点M在右边时，过点F作且，过点G作轴于点N，连接，取中点H，作直线， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∵点H是的中点， ∴， ∴，符合题意， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵点H是的中点， ∴，即， 设直线的表达式为， 将，代入得，， 解得， ∴直线的表达式为， ∴当时，， ∴直线与y轴交点的坐标为； 如图，当点M在左边时，过点F作且，过点G作于点N，过点B作于点I，连接，取中点H，作直线， 同理可证，， ∴，， ∴点G的横坐标为， ∴， ∵点H是的中点， ∴，即， 同理可得，直线的表达式为， ∴当时，， ∴直线与y轴交点的坐标为； 综上所述，直线与y轴交点的坐标为或． 28．如图1，一次函数的图象与正比例函数的图象交于点，与x轴交于点． (1)求a的值和一次函数的表达式； (2)如图2，若y轴的正半轴上有一点C，使得的面积是的面积的2倍，在x轴有一动点M，求的最小值； (3)如图3，试探究在y轴上是否存在点M，使得，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)存在，点M的坐标为或． 【分析】（1）将点代入正比例函数中可求解a的值，再将点A与点B代入一次函数中，由此可求； （2）先求出的面积，设出点C的坐标，由面积之间的关系可求解点C的坐标，再由“三点共线”即可求解最小值； （3）当点在轴的正半轴时，过作轴于，轴于，连接，四边形是正方形，在轴上取，连接，则，，分别求出，，再由，求出即可求点的坐标为；当点轴负半轴上时，作关于直线的对称点，由对称性可知点在轴上，则，直线的解析式为，直线与轴的交点为． 【详解】（1）解：∵点在正比例函数上， ∴，即， ∴点， ∵点与点在一次函数上， ∴，解得， ∴； （2）解：∵点，点， ∴，点A的纵坐标为4， ∴， 设点， ∵， ∵的面积是的面积的2倍， ∴, ∴， 即， ∴， 解得， ∴点， 作点关于x轴的对称点， 过点A作轴交y轴于点D，连接交x轴于点M，如图， 当点A，点M，点三点共线时，最小，即， ∵，， 在中，， ∴的最小值为； （3）解：存在， 当点在轴的正半轴时，过作轴于，轴于，连接， ， 点在直线上， ， 四边形是正方形， ， 在轴上取，连接， 则， ，， ， ， ， ， ， ， 点， ， ， ， ， ， ， ， 点的坐标为； 当点轴负半轴上时，作关于直线的对称点， ， ， 点在轴上， ， ， 设直线的解析式为， ，解得， 直线的解析式为， 令，得， 直线与轴的交点为； 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了一次函数与几何的综合运用，包括一次函数表达式的求解，一次函数的图象与性质，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是利用一次函数的性质与全等三角形的性质找到边与角的关系，在根据边与角的关系求出点的坐标． 29．如图1，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线与x轴交于点C，与y轴交于点D，直线、交于点E．且E点的纵坐标为4． (1)求直线的解析式和点A的坐标； (2)若P为直线上一点，连接、，当时，求点P的坐标； (3)如图2，将直线向上平移2个单位长度得到直线，直线与y轴相交于点Q，连接、，在x轴上是否存在点M，使得，若存在，请直接写出点M的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)或 (3)或 【分析】（1）先算出点E坐标，代入，算出b后，再得出点A的坐标； （2）过点P作x轴的平行线，交于点F，设点P坐标为，容易得出．用a的代数式表示出和的面积，解出a的值即可； （3）分两类讨论，点M在点C左侧时，由可得，从而得到是等腰直角三角形，因此，求得点M的坐标；点M在点C右侧时，设，过点C分别作和的垂线，垂足为G、H，容易证明，结合全等三角形的性质与勾股定理可以构建出关于的方程，解方程即可． 【详解】（1）解：将代入得， ，解得，， ∴点E坐标为， 将代入得， ，解得，， ∴， 将代入得， ，解得，， ∴点A坐标为． （2）解：将代入，得， ∴点C坐标为， ∴， ， ∴， 将代入，得， ∴点D坐标为， 如图，过点P作x轴的平行线，交于点F，设点P坐标为， ∵轴， ∴， 将代入得， ，解得，， ∴点F坐标为， ∴， 点D到的距离，点C到的距离， ， ∴，即， 解得，或， ∴点P坐标为或． （3）解：假设存在， ①当点M在点C左侧时，如图， 由平移的性质可得，， 将代入，得， ∴点B坐标为，， 将代入，得， ∴点Q坐标为，， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴点坐标为； ②当点M在点C右侧时，如图，过点C分别作和的垂线，垂足为G、H，设， ∵，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在，， ∴， ∴， 由勾股定理得，， ∴， 在直角中，， ∴， 在直角中，， ∴， 展开，得， 初步化简，得， 两边平方，得， 再次化简，得， 因式分解，得， 解得，或， ∵， ∴， ∴点坐标为； 综上所述，假设成立，点坐标为或． 【点睛】本题考查一次函数的图象与性质，平行线的性质，平移的性质，等腰直角三角形的判定与性质，以及勾股定理，熟练掌握一次函数的性质和等腰直角三角形的性质是解题关键． 30．如图1，直线交轴，轴于点和点，直线过点，交轴负半轴于点，直线和直线交于点，已知． (1)求直线的解析式； (2)如图2，已知直线，点是直线上一动点，且点在直线的下方，连接，，点是轴上一动点，将点向上平移2个单位长度至点，接，．当的面积为时，求的最大值； (3)如图3，令直线交直线于点，交轴于点，将直线向下平移3个单位长度得到直线，直线交直线于点，交直线于点．点是轴上的一点，是否存在点使得？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，， 【分析】（1）根据题意，求得,结合直线过点，待定系数法求解即可； （2）根据面积求得，将向上平移2个单位长度，得到，连接，则四边形是矩形，得到，的最大值就转化为，连接，并延长交x轴于点T，，当S，P，E三点共线时，取得最大值，且最大值为，求解即可； （3）根据题意，得一种情况是直线的解析式为，令，得，；另一种情况，作线段的垂直平分线，交于点X，得直线的解析式为，令，得，故； 【详解】（1）解：∵直线交轴，轴于点和点， 当时，，解得， ∴； 当时，， ∴；， ∵， ∴， 解得， ∵点C在x轴的负半轴， 故, ∵直线过点，交轴负半轴于点， ∴，，解得， ∴直线． （2）解：根据题意，得， 解得， 故， ∵点P在直线上， 不妨设，过点P作轴，交于点W， 则， ∴， ∵的面积为， ∴ ∴， 解得， 故， 将向上平移2个单位长度，得到，连接，则四边形是矩形， ∴， ∴的最大值就转化为， 连接，并延长交x轴于点T， ∵， ∴当S，P，E三点共线时，取得最大值，且最大值为， 故当点E与点T重合时，取得最大值， 故； （3）解：∵，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 设与x轴的交点为U， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 且， ∴， ∴， ∴设直线的解析式为， 根据题意，得， 故， 解得， 故， 故， 解得 故直线的解析式为， 令，得， 故； 根据题意，得， 解得， 故， 作线段的垂直平分线，交于点X， 则， 设， 故 故， 解得， 故， 故， 设直线的解析式为， 根据题意，得， 解得， 故直线的解析式为， 令，得， 故； 综上所述，或； 31．如图1，在平面直角坐标系中，直线分别交轴、轴于点、点，直线与直线交于点，与轴交于点，且． (1)求直线的解析式； (2)如图2，若点是线段上的一动点，连接、，点、分别是轴和轴上的两个动点，连接、、，当，求点的坐标及周长的最小值； (3)如图3，将直线向右平移个单位长度得到直线，直线与轴交于点，连接，在轴是否存在动点，使得，若不存在，请说明理由；若存在，请求出点的坐标（写出其中一种情况的求解过程） 【答案】(1) (2)周长的最小值为 (3)或 【分析】对于（1），先求出点的坐标，再求出点的坐标，根据可得点，然后根据待定系数法求出直线的关系式； 对于（2），先连接，说明是的中线，是的中线，可得，再求出，然后根据求出，即可求出点P的坐标，接下来根据轴对称说明，此时达到最小值，最小值为的长度，最后根据勾股定理求出答案； 对于（3），先求出直线的关系式，可得点，进而求出直线的关系式， 第一种情况：作交x轴于点，即可求出直线的关系式，当求出点的坐标； 第二种情况：由上述可知，，作关于的对称直线交x轴于点M，可得平分，再作，，此时，接下来说明是等腰直角三角形，根据勾股定理求出，然后设，那么，根据勾股定理表示出，最后根据可得方程，求出答案即可． 【详解】（1）解：∵直线经过点， ∴， ∴点． 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴点． 设直线的关系式为，代入， ∴， 解得， ∴直线的关系式为； （2）解：连接，如图所示， 将代入直线得， ∴． ∵， ∴D点为的中点， ∴是的中线，是的中线， ∴． ∵， ∴． ∵点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 解得或． ∵点P是线段上一动点， ∴． 将代入直线，得， 解得， ∴点． 作点关于x，y轴的对称点，连接，交y轴于点E，交x轴于点F， ∴， ∴，此时达到最小值，最小值为的长度， 过点作x轴的平行线，过点作y轴的平行线，两线交于点Q，如图所示， ∴点， ∴， ∴， ∴的最小值为． 综上，，的最小值为； （3）解：存在，或，理由如下： ∵将直线向右平移个单位长度得到直线， ∴直线：， 当时，， ∴点， 设直线为，代入点， ∴， ∴， ∴直线为． 第一种情况：过点B作交x轴于点，如图所示， ∵， ∴， 设直线为，代入， ∴， ∴直线为， 当代入，得， ∴； 第二种情况：由第一种情况可知，,此时，作关于的对称直线交x轴于点M， ∴平分， 过点C作，交的延长线于点W，过点C作于点V，如图所示， ∴． ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴． ∵点， ∴， ∴， ∴． 设，那么， ∵， ∴． ∵， ∴， 解得（舍）或， ∴点． 综上所述，存在，点或． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数关系式，轴对称求线段和最小，勾股定理，平行线的性质，角平分线的性质定理，等腰三角形的性质，作出辅助线是解题的关键． 32．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数与轴交于点，与轴交于点，点为线段的中点，过点作轴，垂足为． (1)求、两点的坐标； (2)若点为轴负半轴上一点，连接交轴于点，且，在直线上有一点，使得最小，求点坐标； (3)如图2，直线上是否存在点使得，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)点、的坐标分别为、 (2) (3)或 【分析】 本题考查了一次函数的性质、点的对称性、全等三角形的判定和性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）对于一次函数，令和，即可求解； （2）作点关于直线的对称点，连接交于点，进而求解； （3）当点在上方时，证明≌，得到的坐标为，进而求解；当点在下方时，同理可解． 【详解】（1） 解：令，解得：， 令，则， 故点、的坐标分别为、； （2） 解：∵点为线段的中点，则点， 如图1，过点作轴于点， ∵，故是的中位线， 即点是的中点，则点， 作点关于直线的对称点，连接交于点， 此时为最小，则点为所求点； 设直线的表达式为：， 则， 解得， 故直线的表达式为：， 当时，， 故点的坐标为； （3） 解：存在，理由如下： 当点在上方时，如图2， 过点作交于点，过点作轴于点， ∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴≌， ∴，， 故点的坐标为， 设直线的表达式为：， 则有：， 解得：， ∴直线的表达式为：， 当时，， 故点的坐标为； 当点在下方时， 过点作交于点，则点、关于点对称， 设，由中点坐标公式得， ， 解得：，∴， 设直线的表达式为：， 则有：， 解得： ∴直线的表达式为：， 当时，， 故点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或． 第 1 页 共 112 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 一次函数相关存在性问题（4种类型32道） 专题目录 【类型1 面积相关存在性问题】 1 【类型2 三角形相关存在性问题】 4 【类型3 四边形相关存在性问题】 7 【类型4 角度相关存在性问题】 10 【类型1 面积相关存在性问题】 1．如图，一次函数的图象与轴交于点，一次函数的图象与轴交于点，点为两函数图象的交点，且点的横坐标为2． (1)求点坐标及一次函数的函数解析式； (2)求的面积； (3)判断直线上是否存在点，使的面积是面积的2倍．若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图，已知直线与轴交于点、与轴交于点，经过原点的直线与直线相交于点． (1)求点坐标； (2)求的面积； (3)在直线上是否存在点，使的面积是的面积相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 3．如图，在平面直角坐标系中，直线：与直线相交于点． (1)求直线的解析式． (2)求的面积． (3)点为轴上一动点，当最小时，求点的坐标． (4)在直线上是否存在点，使的面积是的面积的？若存在求出此时点的坐标；若不存在，说明理由． 4．如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点，动点在线段和射线上运动． (1)求直线的解析式； (2)求的面积； (3)是否存在点，使的面积是的面积的？若存在求出此时点的坐标；若不存在，说明理由． 5．如图，已知平面直角坐标系中，点在轴上，点在轴上，，，，点的坐标是 (1)求三个顶点的坐标； (2)当点在直线上方时，连接，并用含字母的式子表示的面积； (3)在（2）问的条件下，是否存在点，使的面积等于的面积？如果存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 6．如图，直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴交于两点，正比例函数图象与交于点． (1)求的值和点的坐标； (2)求的表达式； (3)在上是否存在一点使得的面积是的面积的倍．若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 7．在平面直角坐标系中，点，且m，n满足，． (1)直接写出m，n的值； (2)求三角形的面积； (3)点P以每秒3个单位的速度从点A出发在射线上运动（点P不与点A和点B重合），同时，点Q从点O出发，以每秒2个单位的速度沿x轴负半轴运动，连接，是否存在某一时刻t，使三角形的面积是三角形的面积的2倍．若存在，请求出t值，并写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 8．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，B，D的坐标分别为，，，直线l的表达式为． (1)当直线l经过原点O时，求它的表达式； (2)通过计算说明：不论k为何值，直线l总经过点C； (3)在（1）的条件下，直线l上是否存在点M使的面积等于矩形的面积的一半？若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由． 【类型2 三角形相关存在性问题】 9．如图，的图象与x轴、y轴交于点A、B，以线段为边在第一象限内作等边三角形． (1)求的面积； (2)在x轴上，是否存在点M，使为等腰三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 10．如图，一次函数的图象分别与轴，轴交于、两点． (1)求一次函数的解析式； (2)求的面积； (3)在轴上是否存在点，使得是以为一腰的等腰三角形，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 11．如图，在平面直角坐标系中，直线：与轴交于点与轴交于点． (1)求直线的表达式； (2)在轴上是否存在点，使以，，三点为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 12．已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B． (1)点A的坐标为_________，点B的坐标为__________； (2)直线上是否存在一点C（C与B不重合），使的面积等于的面积？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由； (3)x轴上是否存在一点D，使为等腰三角形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存，在请说明理由． 13．如图，直线与x，y轴分别交于点A，C，过点A，C分别作x，y轴的垂线，交于点B，点D为的中点．点P从点A出发，以每秒1个单位的速度，沿边的方向运动，运动时间为t（秒） (1)求点B的坐标； (2)设的面积为S，求S关于t的函数解析式； (3)在点P的运动过程中，是否存在点P，使是等腰三角形，若存在，请求出运动时间t的值，若不存在，请说明理由． 14．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴轴分别交于两点，与正比例函数的图象交于点． (1)求，的值； (2)求点到直线的距离； (3)在轴上是否存在一点，使是以为直角边的直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 15．如图，A，B是直线与两坐标轴的交点，直线过点A，与x轴交于点C． (1)求A，B，C三点的坐标； (2)点D是折线上一动点． ①如图（1），当点是线段的中点时，在y轴上找一点E，使最小；并求出点的坐标和的最小值； ②在第一象限内是否存在点D，使为直角三角形，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 16．如图，已知函数的图象与轴交于点，一次函数的图象经过点，与轴以及的图象分别交于点、． (1)求一次函数的表达式 (2)求四边形的面积； (3)在x轴上是否存在点，使得以点，，为顶点的三角形是直角三角形？若存在求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【类型3 四边形相关存在性问题】 17．如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，A，C两点的坐标分别为，．将平行四边形先向右平移4个单位后，再向下平移1个单位，得到平行四边形． (1)请求出直线的解析式； (2)平行四边形与平行四边形的重叠部分的形状是___________，重叠部分的面积是__________________； (3)点E是x轴上一动点，在直线上是否存在点D，使得以O，N，D，E为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出满足条件的所有点D、点E的坐标；若不存在，请说明理由． 18．如图，在平面直角坐标系中，，，点在轴正半轴上，且四边形是平行四边形，． (1)点的坐标是 ；平行四边形的面积是 ； (2)平面内有一点，求经过点且平分平行四边形面积的直线解析式； (3)点是直线上一动点，在轴上是否存在点，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由； 19．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的边在轴上，已知点，点，连接，直线交轴于点，且 (1)求点的坐标； (2)动点从点出发，沿折线方向以2个单位/秒的速度向终点做匀速运动，若的面积为，点的运动时间为秒．求与之间的函数关系式，并写出的取值范围． (3)在（2）的条件下，当时，在平面内是否存在点Q，使得以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出Q的坐标；若不存在，请说明理由． 20．直线AB的解析式为：，如图所示，其图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，点P在线段上由点A向点B以每秒2个单位的速度运动，点C在线段上由点O向点B以每秒1个单位的速度运动（其中任意一点先到达终点则两点都停止运动），过点P作与x轴垂直的直线交直线于点Q．设运动的时间为t秒． (1)直接写出：A点的坐标是 ， 度； (2)用含t的代数式分别表示： ， ； (3)是否存在t的值，使四边形为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由； (4)是否存在t的值，使四边形为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由，并探究如何改变点C的速度（匀速运动），使四边形在某一时刻为菱形，求点C的速度和时间t． 21．如图①，直线分别与轴、轴交于、两点，与直线交于点． (1)求、两点坐标及、的值； (2)若点在轴上一点，当时，求点的坐标； (3)若点为轴上一点，则在坐标系中是否存在一点，使得、、、四个点能构成一个菱形，若存在，求出所有符合条件的点坐标；若不存在，请说明理由． 22．如图，矩形的边的长分别是方程的两个根（），折叠矩形，使边落在x轴上，点B与点E重合． (1)求折痕所在直线解析式． (2)将直线沿x轴负方向以每秒1个单位长度的速度平移，直接写出直线扫过矩形的面积S与运动的时间t（）的关系式． (3)点P是直线上一点，在平面内是否存在一点M，使得以A、B、P、M为顶点的四边形是正方形？若存在，直接写出点M的坐标．若不存在，说明理由． 23．如图，在平面直角坐标系中，有两条直线分别为：与：，直线与轴交于点，与轴交于点，点为坐标原点． (1)直接写出点和点的坐标； (2)如图（1），以为一条边在的下方作一个面积为的矩形，若直线与所作的矩形有公共点，求的取值范围； (3)如图（2），当时，在，上是否分别存在点和点，使得以点，，，为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出相应的点和点的坐标；若不存在，请说明理由． 24．如图，平面直角坐标系中，矩形的顶点A，C分别在x轴，y轴上，且．点D为的中点，连接为的平分线，交于点E． (1)求点B和点E的坐标； (2)点P为射线上一动点，点Q为平面内任意一点， ①连接，若请求出点P的坐标； ②是否存在P，Q两点，使得四边形为矩形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【类型4 角度相关存在性问题】 25．如图1，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于点，点为轴负半轴上一点，且满足． (1)求直线的解析式； (2)如图2，点是线段的中点，点，分别是线段，上的两个动点．连接，，，当时，求点的坐标和周长的最小值； (3)若点是轴上一动点，当时，请直接写出所有满足条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 26．如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点在轴上，点在轴正半轴上，且．点是直线与线段的交点． (1)求直线的解析式： (2)若为直线上一动点，连接，，当时，求点的坐标； (3)如图2，连接，并将直线沿轴向下平移7个单位长度得直线，在直线上是否存在动点，使得，若存在，直接写出点的坐标，若不存在．请说明理由． 27．如图1，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线与x轴交于点C，与y轴交于点D，与直线交于点E，． (1)求直线的解析式； (2)如图2，点P为直线上一点，且在点E的右侧，满足的面积为，点Q为直线上一动点，请求出的最大值； (3)如图3，将直线向下平移4个单位得到直线，直线与x轴交于点F，连接，若点M为平面内一动点，是否存在点M，使得，若存在，请直接写出直线与y轴交点的坐标，若不存在，请说明理由． 28．如图1，一次函数的图象与正比例函数的图象交于点，与x轴交于点． (1)求a的值和一次函数的表达式； (2)如图2，若y轴的正半轴上有一点C，使得的面积是的面积的2倍，在x轴有一动点M，求的最小值； (3)如图3，试探究在y轴上是否存在点M，使得，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 29．如图1，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线与x轴交于点C，与y轴交于点D，直线、交于点E．且E点的纵坐标为4． (1)求直线的解析式和点A的坐标； (2)若P为直线上一点，连接、，当时，求点P的坐标； (3)如图2，将直线向上平移2个单位长度得到直线，直线与y轴相交于点Q，连接、，在x轴上是否存在点M，使得，若存在，请直接写出点M的坐标，若不存在，请说明理由． 30．如图1，直线交轴，轴于点和点，直线过点，交轴负半轴于点，直线和直线交于点，已知． (1)求直线的解析式； (2)如图2，已知直线，点是直线上一动点，且点在直线的下方，连接，，点是轴上一动点，将点向上平移2个单位长度至点，接，．当的面积为时，求的最大值； (3)如图3，令直线交直线于点，交轴于点，将直线向下平移3个单位长度得到直线，直线交直线于点，交直线于点．点是轴上的一点，是否存在点使得？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 31．如图1，在平面直角坐标系中，直线分别交轴、轴于点、点，直线与直线交于点，与轴交于点，且． (1)求直线的解析式； (2)如图2，若点是线段上的一动点，连接、，点、分别是轴和轴上的两个动点，连接、、，当，求点的坐标及周长的最小值； (3)如图3，将直线向右平移个单位长度得到直线，直线与轴交于点，连接，在轴是否存在动点，使得，若不存在，请说明理由；若存在，请求出点的坐标（写出其中一种情况的求解过程） 32．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数与轴交于点，与轴交于点，点为线段的中点，过点作轴，垂足为． (1)求、两点的坐标； (2)若点为轴负半轴上一点，连接交轴于点，且，在直线上有一点，使得最小，求点坐标； (3)如图2，直线上是否存在点使得，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 第 1 页 共 112 页 学科网（北京）股份有限公司 $