专题03 四边形相关几何证明压轴题分类训练（6种类型48道）【暑期培优】2026年八升九数学暑假培优计划（人教版，重庆专用）

### 基本信息 以6类特殊四边形及重要线段性质为脉络，48道压轴题分层设问，系统整合几何证明与动态探究，培养几何直观与推理能力。 ### 综合设计 |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |平行四边形|8道|含折叠、动点最值，3问分层（计算/证明/动态）|从平行四边形性质出发，结合等腰/直角三角形构造| |矩形|8道|涉及翻折、中点证明，融合勾股定理应用|以矩形直角特性为核心，延伸对角线与动点轨迹| |菱形|8道|含旋转、面积关系，突出轴对称性质|围绕菱形四边相等及对角线垂直，结合全等证明| |正方形|8道|结合等腰直角三角形、中点问题，强调旋转不变性|正方形性质综合，关联全等与相似，渗透动态最值| |中位线|8道|涉及中点构造、线段关系，结合等边三角形|中位线性质应用，连接三角形与四边形中点问题| |直角三角形斜边上中线|8道|含折叠、动点路径，突出斜边中线等于斜边一半|直角三角形性质延伸，整合几何变换与最值探究|

专题03四边形相关几何证明压轴题分类训练 (6种类型48道) 专题目录 【类型1平行四边形相关几何证明压轴题】.1 【类型2矩形相关几何证明压轴题】 24 【类型3菱形相关几何证明压轴题】 …47 【类型4正方形相关几何证明压轴题】 .71 【类型5中位线相关几何证明压轴题】 .97 【类型6直角三角形斜边上中线相关几何证明压轴题】 .129 【类型1平行四边形相关几何证明压轴题】 1.已知，在ABCD中，点M是BC边上一点，连接AM、DM,AM=DM且AM⊥DM,点E是DM 上一动点，连接AE. 图1 图2 图3 如图1，若点E是DM的中点， AE=55 ABCD ,求平行四边形 的面积： (2)如图2，当AE⊥AB时，连接CE,求证：AE-AB=CE; B物图3，以4E为直角边作等艇aEF,∠EF=90,连接PM,CM=5,CD=5,在点E的运 动过程中，请直接写出△AFM周长的最小值， 【答案】(1)100 (2)证明：如图，延长AM、DC交于点N, B :AM⊥DM, ∴.∠AE=∠DN=90°， 第1页共173页 ∴.∠EAM+∠AEM=90°， ,AE⊥AB ∴，∠EAM+∠BAM=90°， ∴.∠AEM=∠BAM, :四边形ABCD是平行四边形， 、ABIICD,ADI BC,AB=CD, .∠BAM=∠N, ∴.∠AEM=∠N, 在△AEM和△DNM中， [∠AEM=∠N ∠AME=∠DMN AM=DM △AEM≌△DNM(AAS) ·EM=NM,AE=DN, :AM=DM,AM⊥DM, ∴，△ADM是等腰直角三角形， ∴.∠MAD=∠MD4=45°， ADII BC ∴∠ADM=∠DC=45°， .∠C=∠DN-∠DC=45°=∠DC, 在△CME和aCMN中， EM=NM ∠CME=∠CMN CM=CM △CME≌ACMN(SAS) ..CE=CN, ..DN CD CN AB CE. 又，AE=DN, 第2页共173页 .AE=AB+CE, .AE-AB=CE 6+3 【详解】(1)解：，点E是DM的中点， 又，AM=DM, .EMAM. 1 在RtAAEM中，EM2+AM2=AE2, :传小+aw=6 解得AM=10, :×10×10=50, SA8D =25AAM=100 (2)略 (3)解：如图，作CG⊥DM于点G,过点A作AM的垂线，在垂线上截取线段AH=AM,延长AH至 点I,使得AH=HⅢ，连接FH、FI、MI, D B 由(2)可得，∠DMC=45°， ∴.△CGM是等腰直角三角形， ..CG GM, 在Rt△CGM中，CG2+GP=CP=2, ∴.CG=GM=1, 第3页共173页 在RIACDG中，DG=VCD-CG=5-P=2. .AM DM DG+G=3, ∴.AH=H=AM=3, .A1=6, ,△AEF为等腰直角三角形，且∠EAF=90°， .AE=AF, .'∠EAM+∠MAF=90°，∠FAH+∠MAF=90°， ∴.∠EAM=FAH, 在△AEM和△AFH中， (AE=AF ∠EAM=∠FAH AM=AH :△MEM≌AFH(SAS) ·∠AE=∠AF=90°， ∴.∠Af=∠IH=90°， 在△AHF和△IHF中， AH=HⅢ ∠AHF=∠IHF HF=HF △AHF≌△IHF(SAS) ∴AF=FI, ∴.△AFM的周长为AF+FM+AM=FH+FM+3≥M+3, ∴当I、F、M三点共线时，△AFM的周长取得最小值， 在RaMM中，M=VAM+AN2=V3+6=35 :.△MFM的周长的最小值为 V5+3 2.在平行四边形ABCD中，AC=BC,点E是AB边上一点，连接CE,以CE为边向外作等腰△CEF,使 第4页共173页 CE=CF,∠ECF=a&. 图1 图2 图3 (1)如图1，连接BF,若Q=∠ACB=90°，AB=6,AE=2,求△BEF的面积： (2)如图2，a=2∠ACB=120°，连接AF交BC于点G,求证：CD=2CG+AE; (3)如图3，在(2)的基础上，点P为BC边上一动点，连接EP,以EP为边向内作等边△EPM,连接CM, 若4E-8E=4,请百接写HCy的设小值。 【答案】(1)4 (2)证明：如图，在AC的延长线上取点K,使AC=CK,连接FK,过点F作FH∥AC交BC于点H, .AC=BC,AC=CK, ∴BC=CK, :a=2LACB=120°， :∠ACB=60° .∠BCK=∠ECF=120°， .∠ECB+∠BCF=∠KCF+∠BCF=120°， ∴∠ECB=∠KCF, 又，CE=CF, △ECB≌△FCK(SAS) ∠B=∠CKF,KF=BE, ,∠ACB=60°，AC=BC, 第5页共173页 :,△ABC为等边三角形， ·∠B=∠CKF=∠ACB=60°， .CG∥KF, :FH∥AC, ∴四边形CKFH是平行四边形， .'.CK=FH=AC, FH∥AC ∴.∠ACG=∠FHG,∠CAG=∠HFG, △ACG≌△FHG(ASA) ∴AG=FG, .CG是△AKF的中位线， :.CG-1KF 2 ,四边形ABCD是平行四边形， .CD=AB=AE+BE=AE+KF=AE+2CG, ∴CD=2CG+AE: B,23 【详解】(1)解：，AC=BC,∠ACB=90°. ∠CAB=∠CBA=45°， AB=6,AE=2, .BE=4, .∠ECF=90°， ∴.∠ACE+∠ECB=∠BCF+∠ECB=90° ∴.∠ACE=∠BCF, 又，CE=CF,AC=BC, ,△ACE≌△BCF(SAS) ∴.BF=AE=2,∠CBF=∠CAE=45°， .∠ABF=∠CBF+∠CBA=90° 第6页共173页 .△BEF为直角三角形， 1 :SBEr=×BE×BF=号×4x2=4, 2 2 (2)略； (3)解：如图，在BC上取点T,使BT=BE, B 1 :1B=3BE=4, .BE=BT=12, ∴AB=16, 由(2)可知，△ACB为等边三角形， .AB=BC=16,∠B=60°， .BT=BE=12, CT=4. ∴.△BET为等边三角形， :BE=ET,∠TEB=∠ETB=6O°， :△EPM是等边三角形， ∴.EM=EP,∠MEP=∠60°， ∴.∠MET+∠TEP=∠PEB+∠TEP=6O°， .∠MET=∠PEB, △EBP≌AETM(SAS) .∠ETM=∠EBP=60°， ∴.∠CTM=180°-∠ETM-∠ETB=60°. ∴点M在射线TM上运动，当CM⊥TM时，CM的值最小， 如图，过点C作CM'⊥TM于点M', 第7页共173页 B 在RtACTM'中，CT=4, .∠CTM=60°， .∠MCT=30°， &M7=)c7=2 2 CM'=VCT2-MT=23 .Cu W5 的最小值为 3.如图，在平行四边形ABCD中，点E是CD边上一点，连接AE、BE,∠AEB=90°，AE=BE，点 F是线段AE上一动点（点F可与A、E重合），连接BF· 图1 图2 图3 )如图1，若EF=AFBF=35 ABCD ，求平行四边形 的面积； (2)如图2，若BF⊥BC,连接DF,求证：BF=BC+DF: )如图3，将点「沿征方向平移2 5个单位得到点G,造接DG.若B=12,DE=3,当厂在线段 AE上运动过程中，请直接写出BF+FG+DG的最小值. 【答案】(1)36 (2)证明：如图，延长BE,AD交于点H, 第8页共173页 四边形 是平行四边形， ABCD .AD∥BC,AD=BC,AB/CD ∴.∠H=∠CBE, BF⊥BC, ∴.∠CBF=90 ∴∠CBE=90°-∠EBF=∠BFE .∠H=∠BFE. 又：AE=BE,∠AEH=∠BEF=90°， ,'△AEH≌aBEF(AAS) .AH=BF,EH=EF .ABIlCD ∴·∠HED=∠EBA,∠FED=∠EAB, AE=BE ∴.∠EBA=∠EAB. ∴.∠HED=∠FED, .ED=ED, ∴.△HED≌△FED(SAS) :DH DF, AD=BC, .BF=AH=AD+DH=BC+DF, :BF=BC+DF 137+2√2 (3)最小值为 【详解】(1)解：作EH⊥AB于点M, 第9页共173页 D M B 设AF=EF=a,那么BE=AE=2a, :∠AEB=90° :.RtABEF中，BF=NEF2+BE2=VF+(2a=V5a=3V5 a=3, .AE=BE=6, 54能=1E-BE6x6 =18 2 2 ·SE=ABEM ’S平行四边形ABCD=AB·EM, .S平行四边形BCD=2SABE=36 ； (2)略 (3)解：如图，过点D作DMI‖AE,延长BA交DM于点M,过点F作FNIDG交MD于点N,连接BN D E N :四边形ABCD是平行四边形， ABI∥CD ∴四边形DEAM是平行四边形， .AM=DE=3,MD=AE ∴.MB=AB+AM=12+3=15, 又：FNIDG,DM IAE ∴四边形DGFN是平行四边形， ND=FG=22,DG=FN 第10页共173页 又：BF+FG+DG=BF+PN+22≥BN+2N2 当BN1D 时，且F在BN上时，BF+FG+DG BN+2√2 取得最小值，最小值 又，△AEB中，∠AEB=90,AE=BE ∠EAB=45°，AE2+BE2=AB2=144 即AE2=BE2=72 :4E=BE=6N2 MD=AE=62 则W=65-2V2=4N2 过点N作NH⊥MB, DM II AE .∠NMB=∠EAB=45°， NH⊥MB ∴.△MHN是等腰直角三角形， .MH NH, MN2 =MH2+NH2 即(42)=MH+H ,16=MH2=NH2 .MH NH=4 ∴.HB=MB-MH=15-4=11 在RtAHNB中， BN=NH'+HB+11=137 BF+FG+DG 137+2W2 的最小值为 4.综合与实践 问题情境： 第11页共173页 在综合实践活动课上，同学们以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展数学活动.在平行四边形纸片 ABCD中，E为CD边上任意一点，将△ADE沿AE折叠，点D的对应点为D'. D'B B 图1 图2 图3 分析探究： (1)如图1，当∠ABC=60°，当点D恰好落在AB边上时，三角形AD'E的形状为一一· 问题解决： (2)如图2，当E,F为CD边的三等分点时，连接FD'并延长，交AB边于点G.试判断线段AG与BG 的数量关系，并说明理由. (3)如图3，当∠ABC=60°，∠DAE=45°时，连接DD'并延长，交BC边于点H.若ABCD的面积为 24,AD=4,请直接写出线段DH的长. 【答案】(1)等边三角形：(2)BG=24G,3)25 【详解】解：(I)四边形ABCD是平行四边形， .ABIICD，∠ABC=∠ADE=6O°，则∠D'AE=∠AED 由折叠可知：AD=AD',∠DAE=∠D'AE,∠ADE=∠AD'E=60°， .∠DAE=∠AED, .'AD =DE AD', ∴，四边形ADED'是平行四边形， 又：AD=AD', ∴.四边形ADED'是菱形， .D'E AD', .△AD'E是等边三角形， 故答案为：等边三角形： (2)BG=2AG,理由如下： ,四边形ABCD是平行四边形， 第12页共173页 .ABII CD,AB=CD, 又，E,F为CD边的三等分点， &DE=EF=CF=号DC 3 由折叠可知：ED=ED',∠AED=∠AED', 则ED=ED'=EF, ∴.∠ED'F=∠EFD', 由三角形外角可知：∠DED'=∠ED'F+∠EFD'=∠AED+∠AED', ∴.∠AED'=∠ED'F, .AE‖FG :四边形AEFG是平行四边形， .'.EF=AG, .EF=DC 1 3 AB=CD, &4G=写48，则8c-号， 3 .BG=2AG. (3)由折叠可知：∠DAE=∠DAE=45°，AD=AD', ∴∠DAD'=90°，则△DAD'为等腰直角三角形， ∴.∠ADH=∠AD'D=45°， 延长AD'交BC于M,则∠MD'H=∠AD'D=45 H D ,四边形ABCD是平行四边形， .ADl BC .∠DHM=∠ADH=45°=∠MD'H,∠AMH=∠DAD'=90°，即AM⊥AD, ∴.MD'=MH ABCD的面积为24，AD=4,即：AD·AM=24, 第13页共173页 .AM=6, MD'=AM-AD'=AM-AD=2, ,D'H=√MD2+MH2=22 5.在平行四边形ABCD中，点E在平行四边形ABCD内，连接EC,ED,EB,△ECD是等腰直角三角形， ∠ECD=90°，其中EB=EC. 7” 图1 图2 图3 (1)如图1，求∠DAE的度数； 2如图之，在BC上取点F使得4B=F,求证： 2AE+BF=AD )如图3.在2间的条件下，若8、E、D在同-直线上，当1B=5 时，求平行四边形 ABCD 的面积. 【答案】(1)45° (2) 证明：如图，在AD上截取DG=BF,连接EG,CG: G D B 图2 .·AD=BC ∴AD-DG=BC-BF,即AG=CF. .ADI BC, ∴.四边形AFCG是平行四边形， ∴.AF‖CG,AF=CG, ∴.∠GCB=∠AFB, :AB=AF, .AB=GC,∠ABC=∠AFB, .∠GCB=∠ABC, .BE=CE. 第14页共173页 .∠EBC=∠ECB, ∴∠ABC-∠EBC=∠GCB-∠ECB,即∠ABE=∠GCE, ,.△ABE≌aGCE(SAS) .AE=EG ∠GAE=∠AGE=45°， ∴△AEG是等腰直角三角形， .AG=2AE AD=CF+BF=AG+BF, .√2AE+BF=AD )3+25 【详解】(1)解：设∠ECB=x, ..EB=EC, ∴.∠EBC=∠ECB=x, ,△ECD为等腰直角三角形， ∠ECD=90°，∠CED=∠CDE=45°， ∴、∠BCD=90°+x,EC=CD, .EB=CD=AB. :四边形ABCD是平行四边形， ∠ADC=∠ABC=180°-∠BCD=180°-(90°+x)=90°-x ∠ABE=90°-x-x=90°-2x, AB=EB, 片∠B4B=180,∠4BE_180-90-2）-45+, 2 2 :∠BAD=∠BCD=90°+x, ∠DAE=∠BAD-∠BAE=(90°+x)-(45°+x)=45° (2)略 第15页共173页 (3)解：过点E作PO L AD交于点P,交BC于点O,过点B作BH⊥AE交AE于点H,AF交BD于点 K, P E 图3 ,∠CED=45°， .∠BEC=135°， .∠EBC=∠ECB=22.5°， .∠ABF=∠AFB=67.5°， 即∠BAF=45°， :∠ABF=∠ADC,∠CBD=∠ADB, .∠ABK=∠EDC=45, 即∠AKB=90°设AK=BK=x, 4B-BE-Vx .KE=(-1)x 在Rt△AKE中，AK2+KE2=AE2, AE= 产+(N2-2=(2解得r-2+2 2 :SmxB阴xE=4K×BE, ,BH=4K×BE-X5x==2+2 AE √2 2, :BH⊥AE,AB=EB, .∠EBH=∠ABH=22.5°， .∠EBQ=∠EBH, 又：E0⊥BC, 第16页共173页 ·.∠BQE=∠BHE=90°， 又，BE=BE, A△BHE≌aBOE(AMS) EO=EH=AE=2 BO=BH=+V2 2 BC=2BQ=2+√2 AE=2 ∴.PE=1, ÷PO=PE+0E=1+2 , 5.roxwe-( =3+2W2 6.己知，平行四边形ABCD中，连接BD,BD=BC,过点C作CE⊥BD,垂足为E,延长CE与AD相 交于点F 图1 图2 (1)如图1，若BE=4,DE=2,求线段AB的长： (2)如图2，若LCBD=45°，过点F作FG⊥AB于点G,连接BF、EG.求证： EG-(DE+CE) 2 AB=2√6 【答案】(1) (2)见解析 【详解】(1)BE=4,DE=2 ∴.BD=BE+DE=4+2=6 BD=BC ∴.BC=6 第17页共173页 CE⊥BD CE=BC2-BE=6-4=25 ∴CD=VDE2+CE=2+(25}=26 ,四边形ABCD是平行四边形 AB=CD=26 (2)如图所示，过点G作GH⊥GE交EB延长线于点H D H ,∠CBD=45°，BD=BC :∠BDC=∠BcD=080-∠CBD)=675” .·CE⊥BD ·.△BCE是等腰直角三角形 ∴∠ECB=45°，BE=CE ∴.∠DCE=∠DCB-∠ECB=22.5° :四边形ABCD是平行四边形 ADIBC ∴.∠FDE=∠EBC=45°，∠DFE=∠ECB=45° :,△FED是等腰直角三角形 ∴.EF=DE 又，∠FEB=∠DEC :aFEB≌aDEC(SAS) ∴.∠FBE=∠DCE=22.5° 第18页共173页 ABIICD ∴.∠ABD=∠CDB=67.5 ∴.∠ABF=∠ABE-∠FBE=45° FG⊥AB ∴.△GFB是等腰直角三角形 ∴.GF=GB .GH⊥GE ∴.∠HGE=∠BGF=90° ∴.∠HGE-∠BGE=∠BGF-∠BGE ∴.∠HGB=∠EGE ,FG⊥AB,CE⊥BD ∴.∠BGF+∠BEF=180° ∴.∠GBE+∠GFE=180° .:∠GBE+∠GBH=180° ∴.∠GBH=∠GFE △GBH≌△GFE(ASA) ..GH=GE,BH=FE GH⊥GE .△GHE是等腰直角三角形 .GE()(EFCF)(DE+CE) 【点睛】此题考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理，等边对等角性质，解题的 关键是掌握以上知识点 7.已知平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,AB=AC,AB⊥AC, 图1 图2 图3 (1)如图1，若AB=2,求BD的长： 第19页共173页 ELBD交BD于点F,交B1的延长线于点E,连结1，求证： EF+OF=2AF (2)如图2，过点C作 (3)如图3，若 AP=D0,当 B=5+1,点P是线段4上的动点，点是线段D上的动点，满 CP+CO取最小值时，请直接写出D№的值. 【答案】(1)25 (2)见解析 (3)1 分析】根据平行四边形的性质可符40=CO,BO=Do,则40=，4C=)B=L,进而在A 2 2 中，勾股定理求得BO,即可求解： 2,过右4作4GLF交D于AG,正男G2,4CF(s),建西E费G40eaFE(aS),得出 EF=GO EF+OF=GO+OF=GF=2AF ,则 ,即可得证； (3)延长DA至T,使得AT=CD,连接TC交AB于M,过M作MN L BC于点N,证明 △TAPCDC0SAS)得出7P-CO,则CP+C0=P+CP之TC,当PM重合时， CP+C0取最小值时， DO=AP=AM M,设MM=x,则BM=AB-1M=V2+1-X,进而证明7C是4CB TC 的角平分线，根据 MN=2BM,建立方程，解方程，即可求解。 【详解】(1)解：：平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O, ..AO=CO,BO=DO. .AB=2,AB=AC, :40-54C=)4B=1, 2 2 .AB LAC. ∴在R△AOB中，B0=VA0+AB=VP+2=V5 第20页共173页 BD=2B0=25 (2)证明：如图，过点A作AG1AF交BD于点G, 图2 AB⊥AC,AG⊥AF ∴.∠BAC=∠GAF=90° .∠BAG=∠CAF, ,AB LAC,CE⊥BD ∠E+∠FCA=90°，∠ABG+∠E=90° ∠ABG=∠ACF, 又，AB=AC :.a1BG≌aACF(ASA) .AG=AF ∴.∠AGF=∠AFG=45°，则GF=V2AF CE⊥BD .∠EFB=90° ∴.∠AFE=∠AG0=45 又，∠GAF=∠CAE=90° ∴.∠GAO=∠FAE △GAO≌△FAE(ASA) ∴.EF=GO EF+OF=GO+OF=GF=2AF 第21页共173页 EF+OF=2AF 即 (3)解：如图，延长DA至T,使得AT=CD,连接TC交AB于M,过M作MN⊥BC于点N, 0 图3 ,AB=AC,AB⊥AC, ∠ABC=45°， 4B=12+1 BC=2AB=2+2 ,四边形ABCD是平行四边形， .AD∥BC, 、.∠0DC=∠PAT=45°， ..AP=DO. ,△TAP≌ACDQ(SAS) TP=CO CP+CQ=TP+CP≥TC ∴当P,M重合时，CP+CQ取最小值时，D0=AP=AM 设M=天，则BM=B-AM=V2+1-x 又.∠ABC=45° .△BMN是等腰直角三角形， MN-BM. AT=CD=AB=AC .∠ATC=∠ACT 第22页共173页 又：AT∥BC ∴.∠ATC=∠TCB ∴.∠ACT=∠BCT :.TC是∠ACB的角平分线， .MA=MN=x 在RaBn中，N=2BM. 2 =21- 解得：x=1 即D2的值为1 【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的 性质与判定，角平分线的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键 8.己知，等腰Rt△ADM中，∠AMD=9O°，AM=MD,ABCD的边BC经过点M,点E是线段DM上 一动点，连接AE. 图1 图2 图3 (1如图1，若点E是DM的中点， AE=25,求MM的长： (2)如图2，连接CE,当AE⊥AB时，求证：CD+CE=AE; (3)如图3，等腰 u1F中∠FE=0,F=征，连接M,若CM=2,4B=0,当点E在运动过程 E 中，请直接写出△AFM周长的最小值， 【答案】(1)4 (2)见解析 e)3i0+3V2 11 【分析】(1)根据点E是DM的中点，得出EM2DM2AM,在RteAEM中，AM2+EM2=AE2, 第23页共173页 根据勾股定理建立方程，解方程，即可求解： (2)延长DC、AM,交于G,延长AE交CD于K,先证明∠GDM=∠EAM,证明 △MEM≌，DGM(ASA),进而正明△MCE2,MCG(SAS),得出CE=CG,进而即可得E, (3)过点C作CR⊥DM于R,作AG⊥AD,且AG=AD,连接FG,作点A关于FG的对称点H,AH 交FG于T,连接M交FG于F,勾殷定理求得RM=RC=2,DR=25.证明△1DE≌a4GF(SAS) 得出点F在与AG成45°的直线FG上运动，当H、F、M三点共线时，△AFM的周长最小，此时点F与 点F重合，最小值为W+35,进而证明1GT2a1DM(AAS),得出A=AM=35,进面勾股定理 求得HM,即可求解。 【详解】(1)解：：在等腰Rt△ADM中，∠AMD=90°，AM=MD, ∴.∠MAD=∠ADM=45°， :点E是DM的中点， 1 1 ∴EM2DM2AM: 在RtAEM中，AM2+EM2=AE2, AM2+5AM3=253, .AM=4: (2)证明：延长DC、AM,交于点G,延长AE交CD于K, G 四边形 是平行四边形， 图2 ABCD .AD∥BC,AB∥CD ∠DMC=∠ADM=45°， ∠GMC=∠MAD=45°， AE⊥AB,AB∥CD .AE⊥CD 第24页共173页 ∠DKE=∠AME=90°， :∠AEM=∠DEK, ∴.∠GDM=∠EAM, 在△AEM和△DGM中， 「∠EAM=∠GDM AM=DM ∠AME=∠DMG=90°' ∴.△AEM≌ADGM(ASA) ∴.EM=GM,AE=DG 在△MCE和△MCG中， EM=GM ∠CME=∠CMG MC=MC .AMCE≌AMCG(SAS) ∴CE=CG, .CD+CG=DG .CD+CE=AE:· (3)解：如图3，过点C作CR⊥DM于R,作AG⊥AD,且AG=AD,连接FG,作点A关于FG的对 称点H,AH交FG于T,连接HM交FG于F', 则RM=RC-2cM=2x5-2, 2 DR=CD2-CR2=Vo2-(2=22, D 图3 ..AM=DM=32 AD=6 第25页共173页 :AG⊥AD ∴.∠DAG=∠EAF=90°， ∠DAE=∠GAF, 在△ADE和△AGF中， AD=AG ∠DAE=∠GAF AE=AF ∴.△ADE≌△AGF(SAS) ∴.∠ADE=∠AGF=45° ∴点F在与AG成45°的直线FG上运动， :AF+FM+AM=HF+FM+3√2 当H、F、M 三点共线时， △AFM 的周长最小，此时点F与点F重合，最小值为 M+32 在△AGT和△ADM中， I∠ATG=∠AMD ∠AGT=∠ADM AG=AD .∴△AGT≌△ADM(AAS) ∠GAT=∠DAM=45°AT=AM=3√2 ∴.∠HAM=∠GAT+∠GAM=90°AH=2AT=6√2 HM=VAM2+AH2=V3N2+(6N2)'=31o. ∴.△AFM 3V10+3W2 周长的最小值为： 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、平行四边形的性质、矩形的判定与性质、含30度角的直 角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、轴对称的性质等知识，综合性强，难度较大，正 确作出辅助线，熟练运用相关知识是解题关键 第26页共173页 【类型2矩形相关几何证明压轴题】 9.在矩形ABCD中，∠BDC=60°，点E,F分别是AB,AD上一点，点G是对角线BD上一点，连接 EF,FG,EG,EF=FG,∠EFG=120° D F D D G G R 图1 图2 图3 (1)如图L,若EG‖AD,求证：BE=EF: (2)如图2，若点E是AB中点，求证：BG=3GD, (3)如图3，在(1)的条件下，直线AB上有一动点K,连接KF,过点F作FS1FK交直线BC于点S,连 AR+DR 接KS,取KS的中点R,请直接写出AB一的最小值. 【答案】(1)证明：：四边形ABCD是矩形， .ADIIBC,ABIICD,∠A=90°， :∠BDC=60°， .∠ABD=∠BDC=60°， :EGI‖AD .∠BEG=∠A=90°， ∴在RtABEG中，∠BGE=30°，BG=BE2+EG, a服=8G,甲BG-2Be EG-5BG 3 又：EF=FG,∠EFG=120°， ∠FEG=∠FGE=180°-∠EFG=30°. 过点F作FK⊥EG. 第27页共173页 D G 图1 则K-6,K= ，FK2+EK2=EF2, :K=5F, 2 EG=2EK =3EF -BG=3EF, ∴.BG=2EF, .BG=2BE, ∴.BE=EF; (2)证明：设AB=2a,∠DFG=B, 过点F作FH⊥BD,连接AH,EH, ,点E是AB中点， ∴AE=EB=a, ,在矩形ABCD中，∠BAD=∠ADC=90°，∠BDC=60° .∠BDA=30°， .BD=2AB=4a, 图2 :∠DFG=B，∠BDA=30°，∠EFG=120°， .∠FGH=B+30°，∠AFE=180°-∠EFG-∠DFG=60°-B, ∠GFH=180°-90°-（B+30°)=60°-B 第28页共173页 .∠GFH=∠AFE, 、.∠AFH=∠AFE+∠EFH=∠GFH+∠EFH=∠EFG=120°， ,∠FHG=∠FAE=90°，∠GFH=∠AFE,EF=FG, ,△FHG≌△FAE(AAS) ∴.HG=AE=a,AF=FH, 、∠FAH=∠FHA=30°， .∠BAH=∠BHA=60°， ∴，△BAH是等边三角形， .'BH=AB=2a. .DG=BD-BH-GH=a,BG=BH+GH=3a, ∴.BG=3GD; V39 (3)3 【分析】(1)根据矩形的性质和EG川AD,证明∠BEG=∠A=90°，在RtBEG中，根据勾股定理和直 角三角形的性质得出G=E,G-V3D 2BG,根据EF=FG'∠EFG=120,得出∠FEG=30,求出 EG=3E ,即可得BG=2EF,结合BG=2BE,即可证明BE=EF: (2)设AB=2a,∠DFG=P,过点F作FH⊥BD,连接AH,EH,得出AE=EB=a,BD=4a,证明 △F1G≌aF1E(11S）,得出HG=AE=a,AF=FH,证明△BAH是等边三角形，得出BH=AB=2a,则 DG=a,BG=3a,即可证BG=3GD: (3)设4B=3x,则CD=AB=3x,BD=6x,D=3V5x,根据（1)条件可得 AF =3x,DF=2V3x 即为D上距4点Br处的定点，8、F FR,BR 均为定点；如图，连接 ，根据直角三角形斜边中线等于 第29页共173页 斜边一半得出BR=FR=2KS,结合BE=EF,得点R的轨迹是线段BF的垂直平分线，作D关于直线1 的对称点D',由对称性质得DR=D'R,则AR+DR=AR+D'R≥AD',当且仅当A、R、D'三点共线时 取等号，AR+DR的最小值即为AD'的长度，当A、R、D'共线时，画图，求出AD'的长度即可解答： 【详解】：(1)略 (2)略 (3)解：设AB=3x,则CD=AB=3x, 在矩形ABCD中，∠BDC=60°，∠A=∠ADC=∠C=90°， ∴BD=2AB=6x, AD=BC=BD2-AB2=33x 如图1，根据(1)可知∠BEG=90°，∠FEG=30°，BE=EF, D G 图1 ∠AEF=180°-∠FEG-∠BEG=60° ∴.∠AFE=90°-∠AEF=30°， ∴.EF=2AE, AE=AB-BE AB-EF, EF=2(4B-EF) ER=号B=2 3 BE-EF-2x.AE-1EF-x 4F=VEF2-4E=3x.DF=3x-3x=2x V3x 即F为D上距1点V3x处的定点，B、F均为定点： 如图，连接FR,BR 第30页共173页 D B :FS⊥FK, ∴∠KFS=90° △KFS是直角三角形， 又∠KBS=90°，R是KS中点， BR-FR=IKS ∴对任意动点R,恒有BR=FR, ..BE =EF, .点R的轨迹是线段BF的垂直平分线I, 作D关于直线的对称点D',由对称性质得DR=D'R, ∴.AR+DR=AR+D'R≥AD', 当且仅当A、R、D'三点共线时取等号，AR+DR的最小值即为AD'的长度， 当A、R、D共线时，如图，过点D作DJ⊥AD于点J,令DJ与BD交于点W,直线与BD交于点P, 则四边形DCQJ是矩形， ..J0=CD=3x F( A O R B S 2p、 第31页共173页 根据轴对称可得DP=D'P,DW=D'W, :∠I=∠2，∠C=∠D'QP=90,DP=D'P, ,△DPC≌AD'PQ(AAS) .D'Q=CD=3x ..D'J=6x, :∠WJD=90°，∠JDW=30°，DW=D'W, ..DW =2JW, ..JW=D'J-D'W=6x-DW. ..JW=6x-2JW. ∴JW=2x, :DW=4x DJ=JDW:-WJ=23x ∴点J与点F重合， &AD=3x+(6x-39x, AR+DR39x39 AB 3x 3, AR+DR V39 即 AB 的最小值为3。 10.如图，在矩形ABCD中，E是BC上一动点，将△ABE沿AE折叠后得到△AEF,点F在矩形ABCD内 部，延长AF交CD于点G,AB=3,BC=4 图1 图2 图3 (1)如图1，当∠BAE=30°时，求BE的长； (2)如图2，当点E是BC的中点时，求线段GC的长： (3)如图3，点E在运动过程中，当△EFC的周长最小时，直接写出BE的长. 【答案】)5 第32页共173页 4 23 3 3)2 【分析】(1)先根据矩形的性质得到∠B=90°，在Rt△ABE中由∠BAE=30°推出AE=2BE,再利用勾股 定理建立关于BE的方程，解方程即可求出BE的长： (2)连接EG,由矩形性质得∠B=∠C=∠D=90°并求出AD、CD的长，由E是BC中点得BE=CE, 再根据折叠的性质得BE=EF、∠AFE=90°，从而推出EF=CE、∠EFG=90°，利用HL证明 RtAGFES≌RtGCE,得到GF=GC,设GC=x,用含x的式子表示出AG和DG,最后在RtADG中利用 勾股定理列方程，求解即可得到GC的长： (3)由EF=BE得出EF+CE=BC=4为定值，因此△EFC周长最小等价于CF最小，根据两点之间线段 最短，得出当A、F、C三点共线时CF最小，先在Rt△ABC中用勾股定理求出AC的长，结合折叠得 AF=AB算出CF的长，再设BE=a,用含a的式子表示出EF和CE,在RtACEF中利用勾股定理列方程， 求解即可得到BE的长. 【详解】(1)解：四边形ABCD是矩形， .∠B=90°， ,∠BAE=30° ∴AE=2BE, 在RIABE中，BE2+AB2=AE2,即BE+32=(2BE). 解得E=V5 (2)解：如图，连接EG, B E :四边形ABCD是矩形， ∠B=∠C=∠D=90°，CD=AB=3,AD=BC=4, ,点E是BC的中点 ∴BE=CE, 第33页共173页 由折叠得BE=EF,∠B=∠AFE=90°，AF=AB=3, 、.EF=CE,∠EFG=180°-∠AFE=90°， 在RtAGFE和RtAGCE中， EG=EG EF=EC, Rt△GFE≌Rt△GCE(HL) ..GF=GC 设GC=x,则GF=x,AG=AF+GF=3+x,DG=CD-GC=3-x, 在Rt△ADG中，AD+DG2=AG, 4+3-=(6+x 解得手 6c, (3)解：当△EFC的周长最小时，BE= : .EF =BE, ∴.EF+CE=BE+CE=BC=4. 当CF最小时，△CEF的周长最小， :CF≥AC-AF,当A、F、C三点共线时，CF最小， 如图， D E 在RtABC中，AC=VAB+BC=5, 由折叠得AF=AB=3,∠AFE=∠B=90° .∠CFE=180°-∠AFE=90°，CF=AC-AF=2, 第34页共173页 设BE=a,则EF=a,CE=BC-BE=4-a, 在RtACEF中，EF2+CF2=CE2, +2=(4-} 3 解得a 2, 即BE3 2 11.如图，点E是矩形ABCD的对角线BD上的一点，且BE=BC,AB=3,BC=4,点P为直线EC上 的一点，且PQLRC于点Q,PR⊥BD于点R:知图O,当点p为线段EC中点时，易证得PR+PQ=是 D E R R 图① 图② 图③ 如图②，当点P为线段EC上的任意一点（不与点区、点C重合）时，其他条件不变，则PR+PQ=号 是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由： (2)如图(3)，当点P为线段EC延长线上的任意一点时，其他条件不变，则PR与P之间又具有怎样的 数量关系？ 12 【答案】(1)结论PR+PO= 5仍成立，证明见解析 aR-P0-号 【详解1（解：结论R+P阳-号仍成立 证明：如图，连接BP,过点C作CK⊥BD于点K, 第35页共173页 :四边形ABCD为矩形， .∠BCD=90°， .CD=AB=3,BC=4 BD=VCD2+BC2=V32+42=5 S.ncp-BC.CD=1BD-CK 2 .3×4=5×CK, :CK=2 5, S.wc-1BE-CK.S.w-PR.BE.S.wc-PQBC 1 2 2 2 SBCE=S.BEP+S.BCP 且 IBE-CK-1PR-BE+1PQ-BC 2 2 .BE=BC, ..CK=PR+PO. x号 12 ∴PR+PQ= 5: (2)解：图(3)中的结论是PR-P0= 5.理由如下： 过C作CK⊥BD交BD于K,连接BP, 第36页共173页 D E B P 图3 SBPE-S.BCP-SBEC 即PRBE-P0-sc-EcK. BE=BC, :PR-PO=CK, 所以图3中的结论是PR-PQ=2 5· 12.在矩形ABCD中，点M是AB边上一动点（不与A、B点重合），连接DM,DM的延长线交CB的延长 线于点V D A D D M G B B B 图① 图② 图③ (1)如图①.当∠ADM=30°时，若AM=2,DC=6,求MN的长： (2)如图②，连接AC,与DM交于点G,当∠ADM=∠BAC时，有BM=BC,连接BG,求证： NG=AG+2BG (3)如图③， HD=25,CD=6,将△MDM沿直线DM折桑，得到△EDM.当射线C交线段1B于点F 时，连接DF,当DF最大时，直接写出AF的值. 【答案】(1)8 (2) 证明：如图②，过点B作BH⊥BG,交DN于点H,则∠HBG=90°， 第37页共173页 G H B C :∠NBM=∠HBG=90° ∴.∠ABG=∠NBH, '∠ADM=∠BAC,∠ADM=∠N. .∠BAC=∠N, 又：BM=BC,∠ABC=∠NBM=90°， △ABC≌△NBM(AAS) ∴.AB=NB △ABG≌ANBG(ASA) ∴.NH=AG,BH=BG, ∠GBH=90°， .△GBH是等腰直角三角形， ∴.GH=V2BG NG=NH+GH, NG=AG+2BG 8)6-2v6 【分析】(1)根据直角三角形含30°角的性质可得MN的长： (2)如图@，过点B作BH1BG,交DN于点H,则∠HBG=90°，证明△1BC≌aNBM(AAS)和 △ABG≌ANBG(ASA) 再根据等腰直角三角形的性质可得结论： (3)如图③，当F与M重合时，AF最大，此时DF最大，先由勾股定理可得CE的长，证明 第38页共173页 △MBC≌ACED(AAS) 从而可得结论 【详解】(1)解：“四边形ABCD是矩形， ∠DAB=∠ABC=90°，ADI‖BC,AB=CD=6, ∠NBM=90°， AM=2, ∴.BM=6-2=4. ADI‖BC,∠ADM=30°， ∠N=∠ADM=30°， .MN =2BM=8: (2)略 (3)解：如图③，当F与M重合时，AF最大，此时DF最大， D (F)M E B 图③ DE=AD=2N3∠DEM=∠A=90° 由折叠得： ∴.∠CED=90° .∴CE=V62-(23)2=V36-12=2√6 :AB∥CD ∴.∠BMC=∠DCE. :BC=AD=DE.∠CED=∠B=90°， △MBC≌aCED(AAS) BF=CE=26 :AB=6, 第39页共173页 .AF=6-2√6 小当DF最大时， AF 6-26 的值为 【点睛】本题主要考查了四边形综合题，涉及矩形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，三角形全 等的性质和判定等知识，第(3)问有难度，确定DF最大时点F的位置是解本题的关键 13.在矩形ABCD中，E是AD边上一点. 图1 图2 图3 (1)若∠ABE=60°，EC平分∠BED,且AB=1,求△EDC的面积： 2若H是E中点且E=BH,EFLBH于F点，求证： BF=AH+3EF (3)若∠ABE=60°，EF⊥AD于E点，连接AF并反向延长至G点使得AG=AF=3EF.点H在直线AD 上方，连接BH、HF,GB=BH,∠GBH+∠ABE=18O°，请探究并请直接写出AF与FH的数量关系. 5 1 【答案】(1)2 (2)见解析 (3)AF=3FH 【分析】(1)利用角平分线的性质，构造△CEF≌△CED,同时得到含30°角的特殊Rt△BCF,可求出 BC,进而求出ED,再求面积. (2)将BF分制为4H、VBEF 两段，过A点作BF的垂线，垂足恰好是分制点，分别证明. (3)从∠GBH+∠ABE=180°，∠ABE=60°两个条件可发现∠GBH=120°=2∠ABE,联想到可以构造手 拉手模型，再通过“8”字全等模型找到了HF与EF的数量关系，进而找到了HF与AF的数量关系. 【详解】(1)在矩形ABCD中CD=AB,AD=BC,∠A=∠ABC=∠D=90°， 过C作CF⊥BE于F,如图1 第40页共173页 图1 :∠CFE=∠D=9O°∠BEC=∠DEC CE=CE △BEC≌△DEC(AAS) ∴CF=CD=AB=1 :∠EBC=∠ABC-∠ABE=90°-60°=30°，∠BFC=90°， .FC=BC.即BC=2CF=2· ∠A=90°，∠ABE=60°， .∠AEB=30°， .BE =2AB=2 ..AE=BE2-AB2=22-1=3 :ED=AD-AE=BC-AE=2-3 .5ueED.e 2 (2)过A作AG⊥BF于G,过A作A1EF延长线于I,如图2. E D G B 图2 ∠AIE=90°=∠BAH ~∠ABH+∠AHB=90°，∠FEH+∠FHE=90°， ∴，∠ABH=∠FEH. 又AE=BH, aMBH≌△AIE(AAS) 第41页共173页 .AI=AH,AB=EI AI⊥EI,EF⊥BH,AG⊥BF, 四边形AGFI是矩形. :.AG=FI,GF=AI :∠AGH=∠EFH,∠AHG=∠EHF,AH=HE, .△AGH≌△EFH. ..EF=AG ∴.AB=IE=2AG 在RtAABG中， BG=AB2-AG=(2AG)-AG2=3AG=3EF ..BF =GF+BG=AH+3EF (3)作△EAB关于AB的对称△KAB,连接KG,EH,如图3. E B 图3 ·.AKAB≌AEAB .KA=EA,∠KBA=∠ABE=60° ∴.∠KBE=∠KBA+∠EBA=60°+60°=120° ∠GBH+∠ABE=180°， .∠GBH=180°-∠ABE=180°-60°=120° ∴.∠KBE=∠GBH ∴.∠KBE-∠KBH=∠GBH-∠KBH ∴.∠GBK=∠HBE 又GB=BH,KB=BE, ∴.△KGB≌△HBE(SAS) .KG=HE,∠GKB=∠HEB KA=EA,∠KAG=∠EAF,AG=AF, 第42页共173页 ,∴，AAKG≌△AEF(SAS) .KG=EF,∠AKG=∠AEF=90° ,KG∥AB .∠GKB=∠KBA=60° :∠BAE=90°，∠ABE=60° ∴.∠BEA=30° .∠HEF=∠BEF-∠HEB=∠BEA+∠AEF-∠HEB=30°+90°-60°=60° .△HEF为等边三角形， .FH=EF, .AF =3EF=3FH 【点睛】本题考查了矩形、全等三角形、等边三角形、勾股定理、平行线、角平分线等知识点，三问本质 上都是寻找线段之间的关系，层层递进：解决问题的核心都是利用现有的线段数量关系，尤其是等长线段 构造全等三角形 14.如图，在矩形ABCD中，E,F分别是BC,CD边上的点，AE⊥EF,将△ECF沿EF翻折，C点的对 应点为G G H A D G E (1) (2) (1)如图(1)，若点G正好落在AD上.求证：AG=EG: (2)如图(2)，若点G落在矩形ABCD的内部，且AE=EF,延长FG交AD于点H,求证：AH=FH: (3)在(1)的条件下，若AB=5,BC=9.请直接写出AG的长度. 【答案】(1)见解析 (2)见解析 B)1G-18±v6 3 【分析】(1)由矩形的性质可得∠EAG=∠BEA,再根据翻折的性质、垂直的定义、角平分线的定义、同 角的余角相等可得∠GEA=∠AEB,即LGEA=∠EAG,最后根据等角对等边即可解答： 第43页共173页 ABE≌△ECF(AAS) (2)先证明 ）可得BE=CF=FG,如图：过E作EM⊥AD,连接EH,4交EH手点 N,可得FG=AM先证明 Rte ANH≌RtAFNH(HL) 可得∠EGF=90°，EM1AD,再证明 RteMEH≌RtAGEH(HL) 可得MH=EH,最后根据线段的和差即可解答： (3)如图2，作AM⊥EG于M,由(1)知，∠GEA=∠AEB,则AE是∠BEG的平分线，则 AM=AB=5,证明 ABE≌RtAME(L）,则EM=BE,设AG=EG=EC=X,则EM=BE=9-X, GM=2x-9,由勾股定理得，AG2=4M2+GM2,即=+(2x-9,整理得，3x2-36x+106=0,计 算求解，然后作答即可 【详解】(1)解：：四边形ABCD是矩形， AD∥BC, ∠EAG=∠BEA, ,将△ECF沿EF翻折，C点的对应点为G、点G正好落在AD上， ∴.∠GEF=∠CEF, ,AE⊥EF, ∴.∠GEF+∠AEG=90°，∠CEF+∠AEB=90°， ∠GEA=∠AEB, ∴∠GEA=∠EAG, ∴.AG=EG (2)解：：将△ECF沿EF翻折，C点的对应点为G、点G落在矩形ABCD的内部， FC=FG,∠EGF=90°， :四边形ABCD是矩形， ∠B=∠C=90°， ,AE⊥EF, .∠BAE+∠AEB=90°，∠AEB+∠CEF=90°， .∠BAE=∠CEF, .AE=EF, 第44页共173页 △ABE≌△ECF(AAS) .BE=CF=FG. 如图1，过E作EM⊥AD,连接EH,AF交EH于点N, MH D B E 图1 ∴四边形ABEM是矩形， .BE=AM, .FG=AM, AE=EF, .EH⊥AF,AW=NF ..HN =HN, Rt ANH≌RteFNH(HL) ∴.∠AHE=∠FHE, :∠EGF=90°，EM⊥AD, ∴.EM=EG. HE =HE, RtAMEH≌RtAGEH(HL） ∴.MH=EH, AH AM+MH,HF=FG+HG .AH=FH. (3)解：如图2，作AM⊥EG于M, 第45页共173页 G D ④ 图2 由(1)知， ∠GEA=∠AEB AE是∠BEG的平分线， AB⊥BE,AM⊥EM, .AM=AB=5, AM=AB,AE=AE. Rt△ABE≌Rt△AME(HL) .EM=BE, 设AG=EG=EC=x,则EM=BE=9-x,GM=2x-9, 由勾股定理得，AG2=AM2+GM2,即=5+(2x-9y,整理得.3x2-36x+106=0, 解得，x=18±6 3 :AG=18±6 3 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、矩形的判定、折叠的性质、勾股定理，角平分线的性质定理，全等 三角形的判定与性质等知识，正确做出辅助线是解答本题的关键. 15.如图，在矩形ABCD中，点O是对角线AC的中点，点E是直线AB上一点，点F是直线BC上一点， 且∠EOF=90°，连接EF. 0 B B 图1 图2 图3 第46页共173页 (1)如图1，若点E在AB中点处，且AB=8,AD=6,求EF的长： (2)如图2，若点E在BA的延长线上，其他条件不变，求证：EF2-CF2=AE2: (3)如图3，若点E在AB的延长线上，且AE=AC,∠BAC=30,BC=1,请直接写出线段EF2的值. 【答案】(1)5 (2)见详解 B)20-8V5 【分折行】（④根新中位线的定义与性质，可正明OE少BC,0E-BC-3,再E明网边形OEBC为矩形， 即有BF=OE=3,在RtABEF中，由勾股定理计算EF的长即可： (2)延长FO,与AD延长线交于点M,连接EM,首先证明△AOM≌aCOF,由全等三角形的性质可知 AM=CF,OM=OF,结合∠EOF=90°，可得OE为FM的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可知 EF=EM,在RtAEAM中EM2-AM2=AE2,即可证明EF2-CF2=AE2: (3)延长FO,交DA延长线于点N,连接N,首先由矩形的性质以及含0度角的直角三角形的性质确 AC=2BC=2 定 再利用勾股定理计算出4B=5,则BE=E-AB=2-5 ，则 证明△ANO2aCFO 由全 等三角形的性质可知AN=CF，ON=OF,结合∠EOF=90°，可得OE为N的垂直平分线，根据垂直平 分线的性质可知EF=EW;设CF=x,则AN=CF=x,BF=1+x,在RtABEF和Rt△AEN中，由勾股定理 可得2-V5y+0+2=x2+2 ,求解即可确定线段EF的值。 【详解】(1)解：：四边形ABCD为矩形，且AB=8,AD=6, ∴∠B=90°，BC=AD=6, :点E为AB中点， 1 1 .BE=5AB=5x8=4 2 2 :点E为AB中点，点O为AC中点， OE BC,E-2BC=3 第47页共173页 ∠OEB=180°-∠B=90°， 又：∠B=90°，∠E0F=90°， ∴四边形OEBF为矩形， .BF=OE=3. :在RtABEF中，EF=VBE2+BF2=V4+32=5 (2)证明：延长FO,与AD延长线交于点M,连接EM,如下图， D =M 0 B :点O为AC中点， ..OA=OC, 四边形ABCD为矩形， ∴.AD∥BC,∠BAD=90°， .∠OAM=∠OCF, 又，∠AOM=∠COF, .△AOM≌aCOF(ASA) .AM=CF,OM=OF, ∠EOF=90°，即OE⊥OF, .EF EM, ∠BAD=90°， ∴.∠EAM=180°-∠BAD=90°. ∴在RtEAM中，EM2-AM=AE2, .'EF2-CF2=AE2: (3)解：延长FO,交DA延长线于点N,连接EN,如下图， 第48页共173页 D B :四边形ABCD为矩形， ∠ABC=90°，AD∥BC, ∠BAC=30°，BC=1, .AC=2BC=2, ÷1E=AC=2,AB=VAC2-BC2=V22-下=V5 BE=AE-AB=2-3 ,AD∥BC, ∴.∠ANO=∠CFO, 点O为AC中点， ..OA=OC. 又，∠AON=∠COF, ∴.△ANO≌aCFO(AAS). .AN=CF,ON=OF, :∠EOF=90°，即OE⊥OF, .'EF =EN 设CF=x,则AN=CF=x,BF=BC+CF=1+x, 则在RtABEF中， EF2=BE2+BF2=(2-V3)2+(1+x)2 在Rt△AEN中，EN2=AW2+AE2=x2+22, ..EF =EN. 第49页共173页 EF2=EN ,即2-v59+0+xP=x2+2 解得x2V3-2 EF2=EN2=(25-2)}2+22=20-8√5 【点睛】本题主要考查了矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、垂直平分线的性质、含30度角的 直角三角形的性质等知识，综合性强，正确作出辅助线，综合运用相关知识是解题关键 16.数学活动课上，同学们开展了以“矩形纸片折叠”为主题的探究活动，如图，四边形ABCD为矩形， AB>AD,AB上有一点E,连接CE,将△BCE沿CE折叠，点B的对应点为F. ‘B E E 图1 图2 CD (1)如图1.当点F正好落在对角线AC和BD的交点O处时，AD- (2)如图2，若点E是AB的中点，点F落在矩形ABCD内部时，延长CF交AD边于点G. ①探究AG,GF之间的数量关系，并说明理由； CD ②当G分AD边的比为1：2时，请直接写出AD的值. 【答案】)3 2526 (2)①AG=GF,理由见解析：②3或3 【分析】(1)由矩形的性质及折叠可得CB=CF=2AC,令CB的长为a,则AC的长为2a, 由勾股定理求得cDV5a ,从而可求出比值： (2)①连接EG,由图形的翻折可知，EF=EB,∠CFE=∠CBE=90°，证明Rt EFG=RtEAG,可得 FG=AG: ②分AG:DG=2:1与AG:DG-1:2两种情况讨论，通过设参令AD长为3x,CD长为y,再由折叠及勾 股定理先求出y:x,再进一步求出CD:AD即可. 第50页共173页 【详解】(1)解：，四边形ABCD是矩形， ∴.CO=2AC,AD=BC, 由折叠可知CB=CF2AC, 令CB的长为a,则AC的长为2a, 由勾股定理可知 CD=AC2-AD2 =V(2a)2-a =3a cD-3a-5, ADa 故答案为： (2)①AG=GF 理由如下：连接EG D B E 由图形的翻折可知，EF=EB,∠CFE=∠CBE=90° ∴.∠EFG=∠EAG=90° 点E是AB的中点， ∴AE=BE, ∴.EF=EA 又：EG=EG. ∴.RtAEFG兰RtAEAG, ..FG=AG 第51页共173页 2526 ②3或3· 理由如下：令AD长为3x,CD长为y, 由①知FG=AG,由折叠知CF=CB=AD=3x, 若AG:DG=1:2,则FG=AG=x,DG=2x, .∴.CG=CF+FG=4x. 在Rt△CDG中， ..CD2+DG2 =CG2, 广+22=(4w =25 :.x CDy23 AD 3x 3 若AG:DG=2:1,则FGAG=2x,DGx, ∴.CG=CF+FG=5x, 在Rt△CDG中， CD2+DG2 =CG2, y+=6 y=2W6 CDy26 AD3x3· 【类型3菱形相关几何证明压轴题】 17.在菱形ABCD中，∠DAB=45°，动点E在直线AB上，连接DE,CE. D G E B EB E B 图1 图2 图3 第52页共173页 如图1，若D=25,DE1A,求CE的长， CE (2)如图2，在BC上取点F,使得∠EDF=45°，且DF=DE,连接AF,点G是AF的中点，连接DG,求 证CE=2DG. (3)如图3，在同一平面上取一点P(点P与点A在DE的异侧)，使得DP⊥DE,且DP=DE,连接CP S。BEC 当CP取最小值时，直接写出s 【答案1)23 (2)证明：延长DG到点H,使得DG=GH,连接AH, E B 则DH=2DG. ,点G是AF的中点， ..AG=FG. AG=FG ∠AGH=∠FGD GH=GD △AGH≌AFGD(SAS) .DF =HA, DF =DE, .DE =HA, :△AGH≌aFGD(SAS) .∠H=∠GDF, .AH∥DF, 第53页共173页 .∠ADF+∠DAB+∠BAH=180°， :菱形ABCD中，∠DAB=45°， :AB‖CD,AB=BC=CD=DA, .∠ADC=180°-∠DAB=135°， ∠ADF+∠FDC=135°， ,∠ADF+∠BAH=135°， .∠BAH=∠FDC, ∠EDF=45°，∠DAB=45°， ∴∠BAH+∠DAB=∠FDC+∠EDF, ∴.∠DAH=∠CDE, CD=DA ∠CDE=∠DAH :DE=AH △DAH≌ACDE(SAS) ∴.DH=CE, .DH =2DG. ..CE=2DG 2-2 (3)2 【分析】(1)利用等腰直角三角形的判定，勾股定理解答即可： (2)延长DG到点H,使得DG=GH,连接AH,则DH=2DG,只需证 △AGH≌aFGD(SAS) △DAH≌ACDE(SAS) ,证明即可， （3)过点D作DQ1B于点Q,在DC上截取DM=D0,连接PM,△ED0≌，PDM(SAS),点P在过 点M且垂直于CD的定直线I上运动，根据垂线段最短，得当CP⊥I时，CP最小，此时点P与点M重合， 点E与点Q重合，根据菱形的性质，勾股定理，面积分割法计算解答即可. 【详解】(1)解：：∠DAB=45°，DE⊥AB, 第54页共173页 ∴，△ADE是等腰直角三角形， .'DE AE, AD=DE2+AE2=DE=2 .DE=2: 四边形ABCD是菱形， CD∥AB,CD=AD=2√2 .DE⊥CD,即∠CDE=90°， CE=CD+DE=23 (2)略 (3)解：过点D作DO L AB于点Q,在DC上截取DM=DO,连接PM,BD, D M A EO B ,菱形ABCD中，∠DAB=45°， .AB II CD,AB=BC=CD=DA. ,DQ⊥AB ∠D9A=90 :.∠CD0=∠D0A=90°，△AD0是等腰直角三角形， :.40=DO; DP⊥DE, .∠EDP=90°， .∠ED0=90°-∠PDQ=∠PDM, 第55页共173页 ED=PD ∠EDQ=∠PDM DO=DM △EDQ≌APDM(SAS) :.∠DQE=∠DMP=90°， ∴.点P在过点M且垂直于CD的定直线I上运动， 根据垂线段最短，得当CP⊥1时，CP最小，此时点P与点M重合，点E与点O重合， 此时了arc=Sec AB=BC=CD=DA=√2a 设 同理可得AQ=DQ=a, ..BO=AB-40=(-1)a S.BEC= 1B0D0 B0(2-2-2 S.ABD 2AB.DO AB√2a 2 【点睛】本题考查了菱形的性质，等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，一线三 直角全等模型的应用，垂线段最短，平行线的性质，熟练掌握性质是解题的关键， 18.在菱形ABCD中，∠D=60°，点H在平面内，点E为直线上一点 H E 图1 图2 (1)如图1，当H在AC上时，BE=HE，,若AB=4,CH=3AH,求CE的长； (2)如图2，当H在GA延长线上时，HB=HE,O为AC的中点，连接EO并延长交AD于点G,求证： AH=AG 第56页共173页 【答案】(4)5 (2)见解析 【分析】(1)过点H作HF⊥BC交BC于点F,根据菱形的性质及已知可得△ABC是等边三角形，由等 边三角形的性质可得4C=BC=4B=4:∠ACB=∠ABC=60,可得CH=3,CF2,设CE=r,则 HE=4-xEF=-2 根据勾股定理可得HF:=HE:-EF=HC:-CF2,即 4--- 求解即可： (2)过点E作EMI‖AB交AC于点M,证明△EMC是等边三角形，可得EM=EC,∠HME=∠BAH,由 HE=HB,继而得到∠EM=∠HBA,证明 HEM≌△BHA(AAS ,可得EM=HA,证明 △AGO≌ACEO(ASA) ,可得 AG=CE,即可得证. 【详解】(1)解：过点H作HF⊥BC交BC于点F, D FE .∠HFE=∠HFC=90°， :在菱形ABCD中，∠D=60°，BE=HE,AB=4,CH=3AH, ∴.∠ABC=∠D=60°，AB=BC, :.△ABC是等边三角形， .AC=BC=AB=4,∠ACB=∠ABC=60°， :CH=4C=2x4=3 4 4 第57页共173页 .CF= 3 设CE=x, 六HE=BE=4-x' EF-EC-PC--3 HF2 HE2-EF2=HC2-CF2 4--=- 7 解得：x=5, 7 CE的长为5： (2)证明：过点E作EMI‖AB交AC于点M, D .∠MEC=∠ABC. 由(1)知：△ABC是等边三角形， ·.∠BAC=∠ACB=∠ABC=60°， .∠MEC=∠MCE=60°，∠BAH=180°-∠BAC=180°-60°=120°， :△EMC是等边三角形， ∴.EM=EC,∠EMC=∠MCE=60°， .∠HME=180°-∠EMC=180°-60°=120°， .∠HME=∠BAH, .HE =HB, ∴.∠HEB=∠HBE, ∴.∠EHM+∠HCE=∠HBA+∠ABC,即∠EHM+60°=∠HBA+60°， .∠EHM=∠HBA, 第58页共173页 在△HEM和△BHA中， ∠HME=∠BAH ∠EHM=∠HBA HE=BH △HEM≌△BHA(AAS) ∴.EM=HA, ,四边形ABCD是菱形， AD∥BC, .∠GAO=∠ECO, :O为AC的中点， ∴A0=C0, 在△AG0和△CEO中， ∠GAO=∠ECO AO=CO ∠AOG=∠COE, △AGO≌ACEO(ASA) ∴.AG=CE, 又EM=CE,AH=EM, .AH=AG 19.己知，在口ABCD中. 图1 图2 (1)如图1，BE平分∠ABC交AD于点E,AF⊥BE于点O,交BC于点F,连接EF.求证：四边形 ABFE是菱形： (2)如图2，连接AC,AC=AD,过点D作DG⊥AC,垂足为G,延长DG与BC交于点H. 第59页共173页 ①若AG=2,CG=1,求AB的长 ②若∠CAD=45°，过点H作HM⊥AB于点M,连接AH、GM.请用等式表式线段DG、CG、GM之间 的数量关系（直接写出结果，不需证明）， 【答案】(1)见解析 2@V6②DG+CG=V21G 【分析】(1)平行结合角平分线，推出AB=AE,三线合一推出∠BAF=∠EAF,进而推出AB=BF,得 到AE=BF,得到四边形ABFE是平行四边形，再根据AF⊥BE,即可得出结论： (2)①线段的和差求出AC的长，进而得到AD的长，勾股定理求出DG的长，再利用勾股定理求出CD 的长，根据平行四边形的性质，得到AB=CD,即可： @易证A4GD为等腰直角三角形，得到1G=DG,D=24G,∠ADG=45°，正明aCGH为等题三角形， 进而得到CG=CH,推出AD=DH,等边对等角求出∠DAH,∠DHA的度数，证明AC=BC,求出 ∠ABC,∠CAB的度数，进而求出∠MAH=45°，得到AM=MH,作FM⊥MG,交DH的延长线于点F, 证明AAMG≌HMF MG=MF.,∠AGM=45° AG=MG AD=2MG 进而得到 ,求出 ,进而推出 ,得到 再根据线段的和差，等量代换即可得出结果 【详解】(1)证明：，ABCD, .AD‖BC, ·.∠CBE=∠AEB,∠EAF=∠BFA, BE平分∠ABC, ∴∠ABE=∠CBE, ∴∠ABE=∠AEB, .AB=AE, ,AF⊥BE, ∠BAF=∠EAF, 又：∠EAF=∠BFA, .∠BAF=∠BFA, .AB=BF, 第60页共173页 .'AE=BF, .AE l BF ∴四边形ABFE是平行四边形， 又，AF⊥BE, ∴四边形ABFE是菱形： (2)解：①：AG=2,CG=1, ∴.AC=AG+CG=3. ,AC=AD」 .AD=3, DG⊥AC, DG-VAD-AG-5 CD-DG+CG ABCD, 4B=CD=6 ②∠CAD=45°，DG⊥AG, :.∠DGA=∠DGC=∠CGH=∠AGH=90°， ∴，△AGD为等腰直角三角形， AG=DG,AD=V2AG∠ADG=45° ,平行四边形ABCD ADl BC,AD=BC, ∴.∠BCA=∠CAD=45°， ∴△CGH为等腰三角形， ..CG=CH, .AG+CG=DG+HG,即：AD=DH, ∠DHA=∠DAH=)80°-45)=675°， .∠HAG=90°-∠AHG=22.5°， 第61页共173页 .AC=AD, .AC=BC, C18=∠C4=080-459）=6759, .∠HAM=∠CAB-∠CAH=45°， ,HM⊥AB, :.∠HMA=90°，△HMA为等腰直角三角形， .AM=HM,∠MHA=45°， 作FM⊥MG,交DH的延长线于点F, B 则：∠FMG=90°=∠HMA, ∴.∠AMG=∠FMH=90°-∠HMG, ,∠MHF=180°-∠AHM-∠AHG=67.5°=∠MAG. 又：AM=MH, ∴.△AMG≌aHMF, .MG=MF, .∠F=∠MGF=45°， .∠AGM=90°-∠FGM=45° .∠AMG=180°-∠AGM-∠MAG=67.5°=∠MAG, ∴MG=AG, AD=V2AG=2MG AC=AG+CG=DG+CG=AD. DG+CG=2MG 第62页共173页 【点睛】本题考查平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，菱形的判定，勾股定理全等三角形的判 定和性质等知识点，熟练掌握相关知识点，合理添加辅助线构造特殊三角形和全等三角形，是解题的关键 20.如图，四边形ABCD和四边形DEFG均为菱形，其中点E在菱形ABCD的对角线AC上， ∠B=∠DEF=60° ☒1 图2 图3 CP ()如图1，若B为对角线AC的中点，EF交CD于点P,求DP的值. (2)如图2，连接AG交CD于点H,求证：AE+2DH=AD SADE (3)如图3，AB=1,E在线段AC上运动，直接写出S菱形DErG取最大值时，AF的值. 【答案】(1) (2)证明见解析 万 (3)2 【分析】(I)连接DF,可证明△ACD是等边三角形，△DEF是等边三角形，然后可得DP⊥EF,然后在 Ri△DEP中，DE=2PE,则DP=DE-PE=5PE,而∠CEP=30°，同理在Ri△PEC中， CP1 EP=V3CP,即可求解DP3: 2在CD上截取Cm=A,连接4P,证明△1DE2,CAW (SASY),通过全等三角形的性质求证即可： (3)过点A作MX1BC于点X,连接CF,GE,先证明 ADE≌ACDF(SAS) 然后得到点B,CF三点共 线，可得5r24DxAX SADE 为定值，故S菱形DErG取最大值时S菱形DEPG取最小值即可，设菱形DEFG边长为 第63页共173页 。期a-25g-,点当心制，y原数小值，当0F1Gr叶，DGR小，然后利 2 用勾股定理求解即可 【详解】(1)解：连接DF, 图1 ,四边形ABCD是菱形， ∠ADC=∠B=60°，AD=CD, ∴.△ACD是等边三角形， ∴.∠ACD=60°， ,点E是AC的中点， ÷EDLAC,∠CDE=∠ADE=)∠ADC=30. 同理可得，△DEF是等边三角形， .∠DEF=∠EDF=6O°，DE=DF ∴.∠PDF=60°-∠CDE=30°=∠CDE DP⊥EF, ∴∠CEP=90°-∠ACD=30, ∴在Rt△DEP中，DE=2PE, DP=DE:-PE=3PE ,∠CEP=30°， ∴同理在Rt△PEC由，EP=VBCP 中， ..DP=3CP, CP 1 .DP3: (2)证明：在CD上截取CW=AE,连接AW, 第64页共173页 图2 由(1)知△ACD是等边三角形， ∠DAE=∠ACW=60,AD=AC, △ADE≌ACAW(SAS) 、.DE=AW,LADE=∠CAW, ∴.∠ADE+∠DAW=∠CAW+∠DAW=∠CAD=60°， ∴.∠A0D=120° :菱形DEFG中，DG∥EF ∴.∠EDG=180°-∠DEF=120°， ∴.∠EDG=∠AOD. AWI‖DG, ·.∠WAH=∠DGH,∠AWH=∠GDH. 菱形DEFG中，DE=DG, .AW =DG △AWH≌AGDH(ASA) .WH DH, AD=CD=CW+WH+DH. ∴.AD=CW+2DH, 又：CW=AE, .AD=AE+2DH (3)解：过点A作AX⊥BC于点X,连接CF,GE, 第65页共173页 图3 由上知△ACD,△DEF是等边三角形， .DA=DC,DE=DF,∠ADC=∠EDF=∠DAC=6O°， .∠ADE=∠CDF △ADE≌ACDF(SAS) .∠DCF=∠DAE=60°， 同理△ABC为等边三角形， .∠ACB+∠ACD+∠DCF=60°×3=180°， 点B,C,F三点共线， 菱形ABCD中，AD BC, ∴.△ADF以AD为底的高与AX相等，且为定值， LAD×AX为定值， SADE ∴.S菱形DErc取最大值时，S菱形DEFc取最小值即可， ,菱形DEFG, ·DF⊥EG DI=二DF 2 设菱形DEFG边长为a, 由DF是等边三角形得DE=a,DIDF=了 20, .EI=DE-DE-3 4, Sewomo -25.nor-2x DFxElax 2 2 :当DF最小时， S复形DEFG取最小值， 第66页共173页 ∴当DF⊥CF时，DF最小， :AD‖BC, AD⊥DF,DF=AX, 在Rt△ABX中，∠B=60°， .∠BAX=30°， ÷由勾股定理得：1代= 2 ÷DF=K= 2 ,菱形ABCD中，AD=AB=1 4F=VAD+Dr= 2. 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，30°角直角三角 形的性质，勾股定理，正确添加辅助线，构造全等三角形是解题的关键 21.如图，在四边形ABCD中，AD‖BC,AB=BC,对角线AC、BD交于点O,BD平分∠ABC. (1)求证：四边形ABCD是菱形： 2过点D作DE1BC,交BC的延长线于点五，连接OE,若DC=254C=4,求OE的长. 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】(1)由平行线的性质和角平分线得出∠ADB=∠CBD,证出AD=AB,由AB=BC得出 AD=BC,即可得出结论； 由菱形的性质得AC L BD,.OB=OD,OA三OC=、AC=2,在RiOCD中，由勾股定理得OD 得BD=2OD=8,再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出答案. 第67页共173页 【详解】(1)证明：：AD‖BC, ∴.∠ADB=∠CBD BD平分∠ABC, ·∠ABD=∠CBD. ∠ADB=∠ABD, .'AD=AB, ..AB=BC, .AD=BC, .ADl BC, :四边形ABCD是平行四边形， 又AB=BC, ∴四边形ABCD是菱形： (2)解：：四边形ABCD是菱形， AC1BD,0B=0D,0A=0C-4C=2, 在RtAOCD中， 由勾股定理得：0D=VCD2-0C=25-22=4, .BD=2OD=8. DE⊥BC, .∠DEB=90°， .OB=OD. 0E=)BD=4 2 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、平行线的 性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线性质：熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键。 22.菱形ABCD中，F是对角线AC上一动点，E为射线AD上一动点，0°<∠BAD<90°. 第68页共173页 B ED 图1 图2 图3 (1)如图1，点E在点D右边，当 BAD=64,BF=EF时.Sar与S,的大小关系为} 时， SACDF∠BFE= 度、 2)如图2，若点B,B,P三点共线，且BEL1D于B,四边形CDEF和△BCF S S2 面积分别记为， DE=2,AE=8 S-S2 ,求 (3)如图3，若∠BAD=60°，AB=8,AF=DE,求当∠BED= 度时，BE+BF的最小，最小值是 【答案】(1)片，116 8 (2) 8v2 (3)75: 【分析】本题主要考查了菱形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判断和性质，勾股定理等知识点， 构造△ABF≌△GDE得到BF=GE是解题的关键. (1)根据菱形的性质得出△BCF和△CDF关于AC对称，便可得出两个三角形的面积关系：根据三角形 外角的性质得到2∠AFD=2∠FDE-2∠FAD,进而得 ∠BFD=(180°-∠DFE)-∠BAD ,然后由 ∠BFE=∠BFD+∠DFE通过等量代换即可解答. (2)先通过勾股定理求出BE的长，连接DF,对称性得到FB=DF,设设EF=x,则： DF=BF=BE-EF=6-t,在Rt△DEF 中，由勾股定理求 FE的长度，进而求出 ,再根据对称性 -S,=(SorE+S,cr）S.r=S.nE,即可解答. 得出 第69页共173页 (3)通过构造△ABF≌aGDE得到BF=GE,再由B、E、G三点共线时确定BE+BF最小时点E的位置， 然后由△BDG为等腰直角三角形求解即可， 【详解】(1)解：，菱形ABCD, .△BCF和△CDF关于AC对称， SABCF=SACDF∠BFA=∠DFA,∠BAF=∠DAF BF=DF .BF =EF, ∴DF=EF, ∴∠FDE=∠FED, ,∠AFD=∠FDE-∠FAD, :2∠AFD=2∠FDE-2∠FAD,即 BFD=(18O°-∠DFE)-∠BAD ∠BFE=∠BFD+∠DFE=(180°-∠DFE)-∠BAD+∠DFE=180°-∠BAD=116° 故答案为：=：116 (2)解：在Rt△ABE中，AB=AD=AE+DE=10,BE=VAB2-AE2=6 如图：连接FD, 由对称性可知：BF=DF, 设EF=x,则：DF=BF=BE-EF=6-x, 在Rt△DBF中，由勾股定理，得：+2=(6-， 8 解得：x= 3 ∴.S&DFE= E.DE-8 2 B ED 由(1)可知， SABCF-SACDF 第70页共173页 =(S.orr +S.cor )-S.ucr =S.or= (3)解：如图：过点D作DG∥AC,截取DG=AB,连接BG,EG,BD. B E G ,菱形ABCD ∴AB=AD, ∠BAD=60°， ∴△ABD为等边三角形，即BD=AB=8, ,菱形ABCD, ∴.AC垂直平分BD, 1 &∠BAF=∠DMF=2∠BAD=30° AC DG ∴.∠GDE=∠CAF=∠BAF 在△ABF和△GDE中， AB=DG ∠BAF=∠GDE AF=DE △ABF≌AGDE(SAS) .BF=GE 由于B、G两点为定点，E为动点，当点E在线段BG上时，BE+EG最小，即BE+BF最小. ∠ADB=60°， ∴.∠BDG=∠ADB+∠ADG=90°. 又BD=DG=8, 第71页共173页 .△BDG为等腰直角三角形， ∠DBG=45°，BG=V2DG=8V2 当BE+EG最小时，∠BED=180°-∠DBG-∠ADB=75°. 故答案为：75： 8V2 23.如图所示四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O,己知点OA=OC,OB=OD,BD平分LABC. B 图1 图2 (1)证明：四边形ABCD是菱形： (2)如图1，过四边形ABCD的顶点C作CF⊥BC,且BC=CF,线段CF交OD于点E,交AD于点H,交 BA的延长线于点尸，求证： DE=2(0A+0E) 3)如图2，在四边形ABCD中，若∠1BC=45°，△ABC 9√2 的面积为一，点P是直线AD上一动点，连接 BP.点M在线段AB的左侧，△BPM为等边三角形，连接AM,当线段AM最短时，求AP的值. 【答案】(1) 证明：OA=OC,OB=OD, 四边形ABCD是平行四边形， :AD∥BC .∠ADB=∠CBD :BD平分∠ABC ∴.∠ABD=∠CBD ∴.∠ABD=∠ADB ∴.AB=AD ∴四边形ABCD是菱形： (2) 证明：在OB上截取OG=OA,过点G作GN IIBC交OC于点N,连接AG、AE, 第72页共173页 B :CF⊥BC,且BC=CF, .:△BCF是等腰直角三角形， .∠ABC=45° :四边形ABCD是菱形 、∠ADC=∠ABC=45°，AD∥BC,∠ADB=∠CDB=22.5°，∠AOB=∠AOD=90°， .CF⊥AD 、∠CHD=90°， .∠ADC=∠DCH=45°， ·CH=DH, ∠EDH=ADc=2,s :∠ACH+∠CAD=90°，∠EDH+∠CAD=90° ∠EDH=∠ACH=22.5 ,∠DHE=∠CHA=90°， .△DHE≌aCHA(ASA) ∴.DE=CA=2OA, ,四边形ABCD是菱形 0AE=LOCE=22.5°，AD∥BC, ..GNII BC, ..GNII AD ∴.∠ADB=∠OGN=22.5° ∴.∠OAE=∠0GN=22.5° 在Rt△OAE与Rt△OGN中，OA=OG,∠OAE=∠OGN=22.5°，∠AOE=∠GON, .AOAE≌AOGN(ASA) ..OE =ON. 在△AGN中，∠AGN=∠ANG=67.5°， 第73页共173页 ..AG=AN. A20A=AN,即 04=2AN=2(04+ON) .DE=√2(OA+OE) )18-9v5 【分析】(1)先证明四边形ABCD是平行四边形，再证明AB=AD,即可得出结论： (2)在OB上截取OG=OA,过点G作GN IIBC交OC于点N,连接AG、AE,先证明 △DHE≌CHA(ASA）,得DE=CA=20A,再证明 OAE≌aOGN(ASA ,得到OE=ON,然后利用 204=AN 204=2AN=(04+ON) 即可得出结论： (3)在△ABC中，设AB=BC=a,过点A作AE L BC于E,利用三角形的面积公式求出AB=BC=a=6 以AB为边在下方作等边△ABO,连接P巴，证明△ABM≌△QBP,得到AM=QP,则当QP1AD于点P 时，QP最短，即AM最短，再在PO上取点S使∠PAS=60°，设AP=b,则AS=QS=2AP=2b, PS=AP=6,所T-(2+vb,根据P0+AP=A0,即可求解. 【详解】(1)略 (2)略 (3)解：在△ABC中，设AB=BC=a,过点A作AE⊥BC于E, M 图2 .·∠ABC=45°AE⊥BC ∴∠BAE=∠ABC=45°， 第74页共173页 .AE=BE, :AE= AB 2 2, 5w=8c4E=2。=9w5 2 4 ∴AB=BC=a=6」 以AB为边在下方作等边△ABQ,连接PQ, 、A0=AB=B0=6, ∠PBM=∠ABQ=60° ∴.∠ABM=∠PBO AB=BQBM=BP ,而 ∴.△ABM≌△QBP .AM=OP QP⊥AD OP AM 当 于点P时，最短，即最短， △AQP 在 4P0=0,P0=75,在P0上取点使 LS,∠PAS=60° 中， :.∠SAQ=∠AQP=15°，∠ASP=30° 设AP=b, AS=QS=2AP=2b PS=3AP=3b :7=(2+3)b P0+Ap2=40 (2+5B2+b=36,解得B=18-95, AP2 18-9V3 即此时的值 【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形 第75页共173页 的性质，直角三角形的性质，勾股定理，垂线段最短.此题属四边形综合题目，正确作出辅助线构造特殊 三角形是解题的关键， 24.已知四边形ABCD是平行四边形，点E是对角线BD上一点，点F是口ABCD外一点，连接ECCF和 DF,且CE=CF A E B 图1 图2 图3 【问题背景】(1)如图1，若∠BCD=∠ECF,∠ADB=∠CDF,求证：四边形ABCD是菱形： 【问题拓展】(2)如图2，在(1)的条件下，连接FE并延长和AB交于点P,FP和CD交于点Q,求证： PE=OF 【问题迁移】(3)如图3，连接AE和BF,点M是BF的中点，连接EM和CM,若 ∠ADE=∠CDE=30°，DF=CF,ED-ME=2,AE=5,求线段AB的长. 【答案】 (1)证明：如图1，四边形ABCD是平行四边形 A D E 图1 .AD∥BC ∴.∠ADB=∠CBD :∠ADB=∠CDF ∴∠CBD=∠CDF, :∠BCD=∠ECF, .∠BCE=∠DCF, ..CE=CF, .ABCE≌ADCF 第76页共173页 BC=CD」 ∴四边形ABCD是菱形： (2)证明：如图2，：四边形ABCD是菱形， ∴∠ABD=∠CBD=∠ADB=∠CDB=∠FDC-∠ABC-∠DC, .AB∥CD ∴.∠BPE=∠CQF 在CD上取一点T,连接FT,使∠FTD=∠FDT, .FT=FD, BE FD. ∴BE=FT :△BCE≌aDCF, ∴∠CBD=∠FDC, .∠PBE=∠QTF, ∴△PBE≌△QTF, :.PE=OF: A D 0 E D 图2 AB=4+3V3 (3) 【分析】(1)先由平行四边形的性质得到AD∥BC,推出∠CBD=∠CDF,由∠BCD=∠ECF,推出 ∠BCE=∠DCF,证明△BCE≌aDCF,得到BC=CD,即可证明四边形ABCD是菱形： (2由菱形的性质得到∠ABD=∠CBD=∠ADB=∠CDB=∠FDC=∠ABC=∠ADC,在CD上取-点 T,连接FT,使∠FTD=∠FDT,则FT=FD=BE,证明△PBE≌aQTF,即可证明PE=QF: (3)先证明四边形ABCD是菱形，再证明△ADE≌aCDE,得到AE=DF=EC=CF:连接AC,证明 △ADC是等边三角形，得到AC=CD,∠ACD=60°，进而证明△ACE≌aDCF,得到∠ACE=∠DCF,则可 得∠ECF=60°：延长FC到点N使CN=CE,连接BN.证明△BCN≌△DCE,得到 第77页共173页 BN=DE,∠NBC=∠EDC=30°：接着证明CM是△FBN中位线，得到CM=BN,CM IBN,推出 ∠MCD=90°，过点E作EH⊥CD,垂足为点H,证明四边形EMCH为矩形，设MC=EH=3a,则 ED=60,ME=60-2,4E=BC=5,在RiEMC中，由勾股定理得，到(6a-2+(6a=5，°解得 7 a=1或4，=-15（舍去）则MC=EH=3,ME=CH=4,求出ED=6,DH=35, AB=CD=4+33 【详解】(1)略 (2)略 (3)解：如图3，ABCD, .AD∥BC, ∠ADB=∠CBD=∠CDE=30°， ∴.BC=CD ∴四边形ABCD是菱形， AD=CD,∠ADE=∠CDE=30°，DE=DE, .AADE≌ACDE, .AE=CE. .DF=CF=CE .AE=DF =EC=CF, 连接AC, ∠ADC=60,AD=DC, ∴aADC是等边三角形， .AC=CD,∠ACD=60°， ∴.△ACE≌ADCF ∴∠ACE=∠DCF, ∠ACE+∠ECD=60°， .∠DCF+∠ECD=60°， 即∠ECF=60°， 第78页共173页 延长FC到点N使CN=CE,连接BN」 ∠BCD=∠ECN=120°， .∠BCN=∠DCE BC=CD ∴.ABCN≌ADCE ∴.BN=DE,∠NBC=∠EDC=30°， FM=BM,CF=CN, ·CM是△FBN中位线， A D E B 图3 .:.CM=BN,CM II BN 2 .∠NBC=∠BCM=30°， .∠MCD=90° 过点E作EH⊥CD,垂足为点H, ∴.EH MC 在RAD中EED. ..EH=CM “四边形EMCH为矩形， 设MC=EH=3a, 则ED=6a, .ED-ME=2, .ME=6a-2, :AE=EC=5, 在Rt△EMC中，由勾股定理得到ME2+MC2=EC2, :(6a-2y'+(3a2=52 第79页共173页 > 解得a=1或4=-15（舍去） .MC=EH=3,ME=CH=4, .ED=6,DH=33 ..AB=CD=4+33 【类型4正方形相关几何证明压轴题】 25.如图，设点B为正方形AEFH外一点，且∠ABE=90°，连接BE并延长至点C使得HC⊥BC,过点A 作AD⊥HC于点D,点O是正方形AEFH的中心，连接CF,己知MN分别为线段CE、CF的中点. B B D H 图1 图2 (1)证明：四边形ABCD为正方形： (2)求∠MON的大小： 7 3)如图2所示，若正方形AEFH的边长为5，点O到直线CF的距离为2，求DCE的面积. 【答案】(1)证明：四边形AEFH为正方形， .AE=AH,∠EAH=90° ∠ABE=90°，HC⊥BC,AD⊥HC, ∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠BAD=9O°， ∴四边形ABCD是矩形. ∠EAH=∠EAD+∠DAH=90°，∠BAD=∠BAE+∠EAD=90°， .∠BAE=∠DAH, 在△ABE和△ADH中： 第80页共173页 ∠ABE=∠ADH=90° ∠BAE=∠DAH AE=AH △ABE≌△ADH(AAS) .AB=AD ·四边形ABCD为正方形. (2)∠M0N=45° .21 (3)2 【分析】(1)由正方形AEFH得AE=AH,∠EAH=90°.由垂直条件得∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°， 四边形ABCD为矩形，证△ABE≌△ADH,得AB=AD,故四边形ABCD为正方形. (2)连接EH,OC,OF,由正方形中心性质得O为EH中点，OE=OF,OE⊥OF,由∠BCD=90°及O 为直角三角形边EH中点得0C-I=0E=0F,AM,N分别为CE.C中点，连接OM.ON,由等腰 角形三线合一得OM平分∠BOC,ON平分∠FOC,故∠M0N-<B0C+∠F0C))B0F=45° OC-EH-5 ON-1 CN=- (3)由(2)得 2 2, ,由勾股定理求 2,故CF=1.过F作FG⊥BC,由 ∠MCN=135得∠FCG=450:AFCG为等腰直角三角形，CG=FG=Y5 ,证。ABE≌AEGF,得 AB=EG· 设正方形ABCD边长为x,由勾股定理5=r+ 2 7√2 解得x= 2,则EC=32,即可求 出面积。 【详解】(1)略 (2)解：如图，连接EH,OC,OF 第81页共173页 B E M 点O是正方形 的中心， H AEFH ∴E,O,H O EH OE=OF,OE⊥OF 三点共线，且为“中点， :∠BCD=90°， :.OC=-EH=OE=OF 2 ,.AOEC,△OCF为等腰三角形， :M、N分别为线段CE、CF的中点， :∠M0C=2 ∠E0C,∠NOc=∠FOC. ∠EOF=∠EOC+∠FOC=90°， ∠MON=∠M0C+∠N0C=(∠B0c+∠F0C)=45。 (3)解：如图，连接EH,OC,OF,过F作FG⊥BC,交BC延长线于G, B G 由(2)得△OEC,a0CF为等腰三角形，∠MON=450, OC-EH, 2 :MN分别为线段CE、CF的中点， ∴.OM⊥CE,ON⊥CF .∠MCW=360°-∠MON-∠OMC-∠ONC=360°-45°-90°-90°=135° 第82页共173页 ·∠FCG=45°， :∴aFCG为等腰直角三角形， 点O到直线Cr的距离为7，即ON= > 2 正方形AEFH的边长为5， .cw-oc-o-)-- ∴.CF=2CN=1 在RtAFCG中，CG2+FG2=CF2,且CG=FG, CG,可得CG=G2, :∠AEB+∠FEG=180°-∠AEF=90°，∠AEB+∠EAB=90°， ∴.∠EAB=∠FEG 在△ABE和△EGF中： ∠ABE=∠EGF=90° ∠EAB=∠FEG AE=EF △ABE≌△EGF(AAS) .AB=EG 设正方形ABCD的边长为x, 在uaot:G:or-9测 解得x=子2，则BC=BG-CG=子5--35， aDCE的面积Sae号cDCE-*好2×反- 22 2 26.如图，正方形ABCD中，点E为边BC上一动点，作AF⊥DE交DE、DC分别于P、F点，连PC. 第83页共173页 B E (1)若点E为BC的中点，求证：F点为DC的中点： BC (2)若点E为的中点， PE=3PC=25,求PF 的长； (3)若正方形边长为2，直接写出PC的最小值 【答案】(1)证明：如图，四边形ABCD是正方形， D B ∴.AD=CD=BC∠ADC=∠C=90° :AF⊥DE, ∴.∠APD=∠DPF=90° ∠ADP+∠DAF=90°，∠ADP+∠EDC=90°， .∠DAF=∠EDC, 在△ADF和△DCE中， ∠DAF=∠EDC AD=CD ∠ADF=∠C .△ADF≌△DCE(ASA) ∴.DF=CE CE-1BC.BC-DC, oF-be ∴点F为DC的中点： (2)1 第84页共173页 分析14由4 DEADCE,推出DR=CE,由ECBC,aC=DC,推出DN,DC可 2 2 F点为DC的中点： (2)延长PE到N,使得EN=PF,连接CN,根据全等三角形的判定和性质以及等腰直角三角形的性质 即可解决问题 (3)取D的中点M连接PM,CM,由直角三角形的性质求出PM=l,由勾股定理求出 M=5 当C、P、M共线时，PC的值最小，则可求出答案. 【详解】(1)略 (2)解：延长PE到N,使得EN=PF,连接CN, B ,AF⊥DE,即∠DPF=90°， .∠PDF+∠DFP=90°， 又：∠DCE=90° ∴.∠CDE+∠DEC=90°， ,∠AFD=∠DEC, ∴.∠CEN=∠CFP, 又：E,F分别是BC,DC的中点， .'.CE=CF, 在△CEN和△CFP中， CE=CF ∠CEN=∠CFP EN=PF 第85页共173页 △CEN≌ACFP(SAS) .CN=CP,∠ECN=∠PCF, ,∠PCF+∠BCP=90°， .∠ECN+∠BCP=∠NCP=90°， ∴.△NCP是等腰直角三角形， PN=PE+NE=PE+PF-CP+CNE-CP PF=2PC-PE=4-3=1 (3)解：取AD的中点M,连接PM,CM, M D ∠APD=∠EPF=90°， &MP=MD=34D=-1, CM=JDM2+CD=+2=5 ,PM+PC≥CM 5-1 .C、P、M共线时， PC 的值最小，最小值为 27.己知正方形ABCD和等腰直角三角形AEF.连接CE、CF E E B 图1 图2 图3 第86页共173页 (1)点P为线段CF的中点，连接DP ①如图I所示，当点E、F分别在边AB、AD上时，请直接写出DP与CE之间的关系： ②将△AEF绕点A旋转到图2的位置，请写出∠PDC与∠ACE之间的数量关系并证明： (2)将△AEF绕点A旋转到图3的位置，作FG⊥CD于点G,设FC、EC的长分别为m、n,则DG·DC 的值是_（用含m,n的式子表示）. 【答案】(I)①DP⊥CE,DP=二CE 2 ②∠PDC=∠ACE+45° 证明：如图，过点A作AP⊥AC交CD的延长线于点M,连接MF, D M B A 图2 ∴∠CAM=∠EAF=90°， ∴.∠CAE=∠MAF :四边形ABCD是正方形， .∠ADC=90°，∠DAC=45°，DA=DC .∠DAM=45° .DA=DM ∴.DC=DM ∴AC=AM 又，AE=AF △ACE≌△AMF(SAS) ∴.∠ACE=∠AME :点P为线段CF的中点，DC=DM .DP∥FM ∴.∠PDC=∠FMC=∠AMF+∠AMC=∠ACE+45°，即∠PDC=∠ACE+45° 第87页共173页 【分析】(1)①证明 DCF≌ABCE(SAS),得出CF=CE,∠DCF=∠BCE,根据直角三角形中斜边上 的中线等于斜边的-半，得出PD=PC=CF.进而可有DP=CE:延长DP交EC于点M,设 2 ∠PCD=∠PDC=a,则∠DCF=∠BCE=a,得出∠ECD+∠CDM=90°，即可证明PD⊥CE: ②过点4作MPL4C交CD的延长线于点M,连接MF,证明△MCE≌1MF(SAS)得出∠ACE=乙AM 进而证明DP是△AFM的中位线，可得DP∥FM,根据平行线的性质，进而可得结论； (2)连接DF,BE,过点E作EH LAB于点H,证明 DAF≌△BAE(SAS) 得出∠FDA=∠EBA,DF=BE 进而证明 FGD≌aEB(AAS),得出GD=BH,FG=HE,设GD=BH=a,FG=HE=C,CG=b,进 而根据勾股定理表示出mn,得出a2+ab=心一m 4一，即可求解。 【详解】(1)解：①：四边形ABCD是正方形， ∴∠BAD=∠ADC=∠B=90°，AB=AD ,等腰直角三角形AEF .AE=AF ∴.BE=DF :.aDCF≌*BCE(SAS) ∴.CF=CE,∠DCF=∠BCE ,点P为线段CF的中点， PD=PC=-CF 2 DP=CE: 2 ·PC=PD ∴.∠PCD=∠PDC 如图，延长DP交EC于点M, 第88页共173页 P E 图1 设∠PCD=∠PDC=a,则∠DCF=∠BCE=a, .∠ECD=90°-∠BCE=90°-a, .∠ECD+∠CDM=90°， .PD⊥CE: ②略 (2)解：如图，连接DF,BE,过点E作EH⊥AB于点H, G 图3 ,四边形ABCD是正方形， AB=AD,∠BAD=90 又，等腰直角三角形AEF AE=AF,∠FAE=90° ∴.∠DAF=∠BAE=90°-∠FAB △DAF≌△BAE(SAS) ,∠FDA=∠EBA,DF=BE .90°-∠FDA=90°-∠EBA 即∠GDF=∠HBE 又：FG⊥CD,HE⊥BH 第89页共173页 ∴.∠FGD=∠EHB=90° △FGD≌△EHB(AAS) ∴GD=BH,FG=HE GD=BH=a,FG=HE=c,CG=b,CH=CB+BH=CD+BH=a+b+a=2a+b 在Rt△CGF中，CF2=FG2+CG,即m2=b2+c2 在Rt△CHE中，CE2=CH2+HE2,即r=(2a+b)°+c2=4a2+4ab+B2+c2=4a2+4ab+m' ..a'tab=n-m2 4 ..DG-DC=a(a+b)=a2+ab=-m 4 28. 探究不同情境，回答下面问题： D A M M e-----0 B N B B 图1 图2 图3 (1)【问题初探】请解答王老师提出的问题：数学活动课上，王老师出示了如下问题：如图1，在正方形 ABCD中，在AB上取点M,连接DM,过点A作AN⊥DM交BC于点N.求证：BM=CN. (2)【解决问题】在原有问题条件不变的基础上，王老师提出新问题，请你解答.如图2，点O为正方形 ABCD DM AN NO=MP .OPOP Q0 的对角线交点，P,Q分别在边， 上，满足 ，连接，， ①判断△OPQ的形状，并说明理由： ②若BM=AM=4,求PQ的最小值 (3)【深入研究】数学活动小组同学对上述问题进行特殊化研究之后发现，在(2)的条件下，如图3，连接 DO AP DO OP OH=DH AP=m PO=n ABCD 与交于点H,使 ，若 ，请求出正方形 的面积（用含 有l,n的式子表示). 【答案】(1)见解析 第90页共173页 W10 2)①△OP0是等腰直角三角形，理由见解析：②PQ的最小值为5 2m2+n2 3 【分析】(1)根据正方形的性质得到∠B=∠BAD=90,BA=AD=BC,进而得到∠BAN+∠BNA=90°，证 明△MNB2,DM1(AAS),得到4M=BN,根据B1=BC即可证明BM=CN, (2)①连接BD、AC,根据正方形的性质得到OA=OD,∠BAC=∠BDA=45°，∠AOB=∠AOD=90°，根 据△ANB≌aDMA得到.AN=DM,∠BAN=∠ADM,进而得到∠OA0=∠ODP,根据NO=MP得到 A0=D ,证明△1002D0PSAS),得到O0=0P,∠400=∠D0P,根据∠40P+∠D0P=90°得到 ∠AOP+∠AOQ=90°∠POQ=90° △OP9 ,即 ,可知 是等腰直角三角形： PO ②根据等腰三角形的定义及勾股定理得到 0=50P,则当P吧取得最小值时，OP最小，根据垂线段最短， 得：当OP⊥DM时，OP最小，根据BM=AM=4得到BA=AD=BC=8,根据勾股定理得到 OB=O4=OD=OC=42,连接oM,根据中位线定理得到OM=)BC三4=AM,OM/BC/D即 ∠AMO=∠ABC=90° 根据勾股定理求 DM=45,设MP=x,则DP=45- ，根据勾股定理得到 ，即wp-5 4-r=42-45-水，求出x85 ,根据勾股定理得到OP=4V5 ,即Op的最小 45 4W10 值为5，进而可知PQ的最小值为5； (3)连接BD、AC、BO,根据正方形的性质得到点O是BD的中点，进而得到OH是△BDQ的中位线， 得到OH∥BO,进而得到∠BQO=∠PO0=90°，根据△ANB≌aDMA得到AN=DM,∠BAN=∠ADM,即 第91页共173页 ∠BA0=∠HDP,根据O=MP得到40=DP,证明A △BAQ≌&ADP(SAS),得到B0=AP ,根据等腰三角 形的定义及勾服定理得到O0-P0,根据正方形的性质得到OB-8D-4D°，根据股定理得到 4 2 2P0)AD进而可求正方形1BCD颜 【详解】(1)证明：，四边形ABCD是正方形， ∠B=∠BAD=90°，BA=AD=BC, ∴.∠BAN+∠BNA=90°， .DM⊥AN ∴.∠BAN+∠DMA=90° ∴.∠BNA=∠DMA, ∴.△ANB≌△DMA(AAS) :AM=BN, BA=BC, .BA-AM=BC-BN, .BM=CN; (2)解：①△OP9是等腰直角三角形，理由如下 如图，连接BD、AC, D B ,点O为正方形ABCD的对角线交点， .OA=OD,∠BAC=∠BDA=45°，∠A0B=∠A0D=90°， 由(1)知：△ANB≌aDMA, ∴.AN=DM,∠BAN=∠ADM .∠BAC-∠BAN=∠BDA-∠ADM, 第92页共173页 即∠OAQ=∠ODP. NO=MP .AN-NO=DM-MP,=DP, ∴.△AOQ2△DOP(SAS) ∴.OQ=OP,∠AOQ=∠DOP :∠AOP+∠DOP=90°， .∠AOP+∠A00=90°， 即∠PO0=90° :.△OPO是等腰直角三角形： ②由①知△OP2是等腰直角三角形， :P№=V0p2+0g=v2op ∴.当PO取得最小值时，OP最小，根据垂线段最短，得：当OP⊥DM时，OP最小， BM=AM=4, .BA=AD=BC=8 .OB2+0A2=AB2,OB=OA=OD=OC, 0B=0A=0D=0C=4V2 如图，连接OM, p B ,点M、O分别是BA、AC的中点， ∴.MO是△ABC的中位线， 第93页共173页 ..OM=- c=4=M,oN∥8c∥AD .∠AMO=∠ABC=90°， 在Rt△MDM中，DM=VAD+AM=V82+4平=4V5 设MP=,则D DP=45-x .OM2-MP2 =OD2-DP2 =OP2. 4-2=(42j-(45-x, 8v5 解得：x= 5 Mp=&5 5, iOMP中，oP=VMo2-PM-,4 85245 在 5 5 45 即OP的最小值为5， PO=VOP-x4540 55 4W10 故PO的最小值为5： (3)解：如图，连接BD、AC、BO, D :点O为正方形ABCD的对角线交点， ∴点O是BD的中点， 第94页共173页 :点H是D0的中点， .OH是△BDO的中位线， ·OH∥B0, .∠BQ0=∠POQ=90° :△ANB≌ADMA ∴AN=DM,∠BAN=∠ADM,即∠BAQ=∠ADP, NO=MP .AN-N№=DM-MP,即Ag=DP, AB=AD .△BAQ≌△ADP(SAS) ..BO=AP :△OPp是等腰直角三角形， ∴Pg=2002,即00=2P0, ,四边形ABCD是正方形， ÷0B-6D2=54D 4 2 Rt△BO0BQ2+OQ=OB2 在 中， ABCD =AD2=2AP2+PQ2-2m2+n2 正方形 的面积 29.己知正方形ABCD,点F是对角线BD上一点. D D M F 图1 图2 图3 第95页共173页 (1)如图1，过点F作FE∥AB交BC于点E,连接AF,若AF=13,CE=12,求BC的长： (2)如图2，点P在AD边上，点G在AB边上，DP=2AG,连接FG,FP,DG,∠BFG=∠DFP.用等式表示 线段FG,FP,DG之间的数量关系，并证明： (3)如图3，点E在直线CB上运动，连接DE,取DE中点M,点N为正方形ABCD内部一动点，连接 DN2 AN,DN,MW,EN,当AN+DN+MN取得最小值时，直接写出EN的值. 【答案】(1)17 (2)DG=PF+FG,证明见解析 4+V3 3)13 【分析】(a)连接CF,证明△B1②BCF(SAS),可行CF=AF-13,由正方形的性质结合平行线的性 质得到∠CEF=90°，利用勾股定理求出EF=5,证明EF=BF,即可得出结果： (2)延长PF交BC于点e,过点e作OR1D于点R,证明 BFQ≌aBFG(ASA) 推出80=BG QF=FG,易证四边形CORD是矩形，再证明△ORP心aD1G(SAS),得到OP=DG,即可证明结论： (3)取CD的中点K,连接KM,将△DNA绕点A顺时针旋转6O°得到△D'N'A,连接NN',过点D'作 DH⊥KM交KM延长线于点H,设DH,AD交点为S,易证△ANN'是等边三角形，证明点M在CD的垂 直平分线上运动，当M,N,N',D'四点共线时，NN'+D'N'+MN有最小值，即AW+DN+MN取得最小值， 此时，点H,M重合，点B,E重合，设NS=x,则DN=2x,求出 EN2=B2+N=(23x-x+(V3x=(6-4W5)r,即可求解。 【详解】(1)解：连接CF, 第96页共173页 D B 正方形ABCD中，BC=AB,∠CBD=∠ABD=45°， BFBF, △BAF≌△BCF(SAS) .CF=AF=13, :正方形ABCD中，∠ABC=90°， 又FE∥AB, :.∠CEF=∠ABC=90°， EF=CF2-CE=5 .∠BEF=90°，∠CBD=45°， ∠EFB=45°， .'EF BF=5. ..BC=CE+BE=17: (2)解：DG=PF+FG」 证明：延长PF交BC于点O,过点O作OR⊥AD于点R, D Q外s-- R G ,∠BFG=∠DFP,∠BFQ=∠DFP, .∠BFQ=∠BFG :∠CBD=∠ABD=45°，BF=BF, :△BFO≌ABFG(ASA)） 第97页共173页 ..BO=BG.QF=FG. 、BC-BQ=AB-BG,即CQ=AG, ,∠C=∠ADC=∠DRQ=90°， ∴四边形CQRD是矩形， CQ=DR=AG,OR=CD」 DP=2AG.CD=AD .PR=DR=AG.OR=AD, OR=AD ∠A=∠QRP=90° ORP与ADAG 在 ， PR=AG △QRP≌ADAG(SAS) ..OP=DG .DG=OP=PF+OF=PF+FG. (3)解：取CD的中点K,连接KM,将△DNA绕点A顺时针旋转60°得到△D'N'A,连接NN',过点D' 作DH⊥KM交KM延长线于点H,设D'H,AD交点为S, K D E B 则∠NAN'=60°，AN=AN :△ANW'是等边三角形， .AN =NN', 由旋转得△DNA≌aD'N'A,即DN=D'N', ,点K是CD的中点，点M是DE的中点， :.MK是△CDE的中位线， .MK=CE,MK IICE, ∴.∠MKC=90°即MK垂直平分CD, 第98页共173页 ,点M在CD的垂直平分线上运动， 当M,N,N',D'四点共线时，NW'+D'N'+MN有最小值，即AN+DN+MN取得最小值， 此时，点H,M重合， 由旋转得∠DAD'=60°，AD=AD', HK I BC,AD II BC .HK I AD, :∠KHD'=90°， .∠DSD'=90°， .∠ASD'=90° ,由旋转有∠DAD'=60°， .∠AD'S=30°， 1 、4S=24D,即点S是AD的中点， ∴.D'H垂直平分AD, :∠KDS=∠DSH=∠KHS=90°. ∴.四边形KHSD是矩形， kI=Ds,即M6C, 点B,E重合， 如图，此时，点N,N',D都在AD的垂直平分线上， K M(HN/S N D B(E .DN=AN,∠ANS=∠DNS=60°， ,∠AND=∠ANS+∠DNS=120°，∠NDS=∠NAS, &∠NDS=)180°-∠AND)=30° 第99页共173页 设NS=x,则DN=2x, .DS=VDN-NS=3x ABCD DS=23x 正方形 的边长为 过点N作NL⊥AB于点L, ,∠NSA=∠NLA=∠LAS=90°， ∴四边形ASNL是矩形， LA=NS=x NL-AS=3x BL=AB-LA=23x-x EN2=B2+Nz2=(23x-x+(3x=(16-43)x2, DN2 4x2 64+16W34+V3 .EN16-45x 208 13 30.正方形ABCD中，点E、F在BCCD上，且BE=CF,AE与BF交于点G G B B E 图1 图2 (1)如图1，求证△ABE≌△BCF, (2)如图2，在GF上截取GM=GB,连接AM,∠MAD的平分线交CD于点H,交BF的延长线于点N,连 接CN, ①判断△AGN的形状，并证明： CN+AN=2BN ②求证： 【答案】(1)见解析 (2)①等腰直角三角形，理由见解析： 第100页共173页 专题03 四边形相关几何证明压轴题分类训练 （6种类型48道） 专题目录 【类型1 平行四边形相关几何证明压轴题】 1 【类型2 矩形相关几何证明压轴题】 4 【类型3 菱形相关几何证明压轴题】 7 【类型4 正方形相关几何证明压轴题】 10 【类型5 中位线相关几何证明压轴题】 13 【类型6 直角三角形斜边上中线相关几何证明压轴题】 16 【类型1 平行四边形相关几何证明压轴题】 1．已知，在中，点是边上一点，连接、，且，点是上一动点，连接． (1)如图1，若点是的中点，，求平行四边形的面积； (2)如图2，当时，连接，求证：； (3)如图3，以为直角边作等腰，，连接，，，在点的运动过程中，请直接写出周长的最小值． 2．在平行四边形中，，点是边上一点，连接，以为边向外作等腰，使，． (1)如图，连接，若，，，求的面积； (2)如图，，连接交于点，求证：； (3)如图，在（2）的基础上，点为边上一动点，连接，以为边向内作等边，连接，若，请直接写出的最小值． 3．如图，在平行四边形中，点是 边上一点，连接 、 ，，，点是线段 上一动点(点可与 、重合)，连接 ． (1)如图1，若，，求平行四边形的面积； (2)如图2，若，连接，求证：； (3)如图3，将点沿 方向平移个单位得到点，连接 ．若，，当在线段 上运动过程中，请直接写出的最小值． 4．综合与实践 问题情境： 在综合实践活动课上，同学们以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展数学活动．在平行四边形纸片中，E为边上任意一点，将沿折叠，点D的对应点为． 分析探究： （1）如图1，当，当点恰好落在边上时，三角形的形状为 ____ ． 问题解决： （2）如图2，当E，F为边的三等分点时，连接并延长，交边于点G．试判断线段与的数量关系，并说明理由． （3）如图3，当，时，连接并延长，交边于点H．若的面积为24，，请直接写出线段的长． 5．在平行四边形中，点在平行四边形内，连接，，，是等腰直角三角形，，其中． (1)如图，求的度数； (2)如图，在上取点使得，求证：； (3)如图，在问的条件下，若、、在同一直线上，当时，求平行四边形的面积． 6．已知，平行四边形中，连接，，过点C作，垂足为E，延长与相交于点F． (1)如图1，若，，求线段的长； (2)如图2，若，过点F作于点G，连接、．求证：． 7．已知平行四边形中，对角线、相交于点，，， (1)如图1，若，求的长； (2)如图2，过点C作交于点，交的延长线于点，连结，求证：； (3)如图3，若，点是线段上的动点，点是线段上的动点，满足，当取最小值时，请直接写出的值． 8．已知，等腰中，，，的边经过点，点是线段上一动点，连接． (1)如图1，若点是的中点，，求的长； (2)如图2，连接，当时，求证：； (3)如图3，等腰中，，连接，若，，当点在运动过程中，请直接写出周长的最小值． 【类型2 矩形相关几何证明压轴题】 9．在矩形中，，点，分别是，上一点，点是对角线上一点，连接，，，，． (1)如图，若，求证：； (2)如图，若点是中点，求证：； (3)如图，在（1）的条件下，直线上有一动点，连接，过点作交直线于点，连接，取的中点，请直接写出的最小值． 10．如图，在矩形中，是上一动点，将沿折叠后得到，点在矩形内部，延长交于点，，． (1)如图，当时，求的长； (2)如图，当点是的中点时，求线段的长； (3)如图，点在运动过程中，当的周长最小时，直接写出的长． 11．如图，点E是矩形的对角线上的一点，且，，，点P为直线上的一点，且于点于点．如图①，当点为线段中点时，易证得 (1)如图②，当点P为线段上的任意一点（不与点E、点C重合）时，其他条件不变，则是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由； (2)如图（3），当点P为线段延长线上的任意一点时，其他条件不变，则与之间又具有怎样的数量关系？ 12．在矩形中，点是边上一动点（不与点重合），连接的延长线交的延长线于点． (1)如图①．当时，若，求的长； (2)如图②，连接，与交于点，当时，有，连接，求证：． (3)如图③，，将沿直线折叠，得到．当射线交线段于点时，连接，当最大时，直接写出的值． 13．在矩形中，是边上一点．    (1)若，平分，且，求的面积； (2)若是中点且，于点，求证：； (3)若，于点，连接并反向延长至点使得．点在直线上方，连接、，，，请探究并请直接写出与的数量关系． 14．如图，在矩形中，E，F分别是边上的点，，将沿翻折，C点的对应点为G． (1)如图（1），若点G正好落在上．求证：； (2)如图（2），若点G落在矩形的内部，且，延长交于点H，求证：； (3)在（1）的条件下，若，．请直接写出的长度． 15．如图，在矩形ABCD中，点O是对角线AC的中点，点E是直线AB上一点，点F是直线BC上一点，且，连接EF． (1)如图1，若点E在AB中点处，且，求EF的长； (2)如图2，若点E在BA的延长线上，其他条件不变，求证：； (3)如图3，若点E在AB的延长线上，且，请直接写出线段的值． 16．数学活动课上，同学们开展了以“矩形纸片折叠”为主题的探究活动，如图，四边形ABCD为矩形，，AB上有一点E，连接CE，将沿CE折叠，点B的对应点为F． (1)如图1．当点F正好落在对角线AC和BD的交点O处时，______； (2)如图2，若点E是AB的中点，点F落在矩形ABCD内部时，延长CF交AD边于点G． ①探究AG，GF之间的数量关系，并说明理由； ②当G分AD边的比为时，请直接写出的值． 【类型3 菱形相关几何证明压轴题】 17．在菱形中，，动点在直线上，连接，． (1)如图1，若，，求的长； (2)如图2，在上取点，使得，且，连接，点是的中点，连接，求证； (3)如图3，在同一平面上取一点（点与点在的异侧），使得，且，连接．当取最小值时，直接写出． 18．在菱形中，，点H在平面内，点E为直线上一点． (1)如图1，当H在上时，，若，，求的长； (2)如图2，当H在延长线上时，，O为的中点，连接并延长交于点G，求证：． 19．已知，在中． (1)如图1，平分交于点，于点，交于点，连接．求证：四边形是菱形； (2)如图2，连接，，过点作，垂足为，延长与交于点． ①若，，求的长． ②若，过点作于点，连接、．请用等式表式线段之间的数量关系（直接写出结果，不需证明）． 20．如图，四边形和四边形均为菱形，其中点E在菱形的对角线上，． (1)如图1，若E为对角线的中点，交于点P，求的值． (2)如图2，连接交于点H，求证：． (3)如图3，，E在线段上运动，直接写出取最大值时，的值． 21．如图，在四边形中，，对角线交于点O，平分． (1)求证：四边形是菱形； (2)过点D作，交的延长线于点E，连接，若，求的长． 22．菱形中，F是对角线上一动点，E为射线上一动点，． (1)如图1，点E在点D右边，当时，与的大小关系为________；________度． (2)如图2，若点B，E，F三点共线，且于E，四边形和面积分别记为，，，求． (3)如图3，若，求当________度时，的最小，最小值是________． 23．如图所示四边形的对角线AC、BD交于点O，已知点，，BD平分． (1)证明：四边形是菱形； (2)如图1，过四边形的顶点C作，且，线段CF交OD于点E，交AD于点H，交BA的延长线于点F，求证：； (3)如图2，在四边形ABCD中，若，的面积为，点P是直线AD上一动点，连接BP．点M在线段AB的左侧，为等边三角形，连接AM，当线段AM最短时，求的值． 24．已知四边形是平行四边形，点是对角线上一点，点是外一点，连接和，且． 【问题背景】（1）如图1，若，求证：四边形是菱形； 【问题拓展】（2）如图2，在（1）的条件下，连接并延长和交于点和交于点，求证：； 【问题迁移】（3）如图3，连接和，点是的中点，连接和，若，求线段的长． 【类型4 正方形相关几何证明压轴题】 25．如图，设点B为正方形外一点，且，连接并延长至点C使得，过点A作于点D，点O是正方形的中心，连接，已知M、N分别为线段、的中点． (1)证明：四边形为正方形； (2)求的大小； (3)如图2所示，若正方形的边长为5，点O到直线的距离为，求的面积． 26．如图，正方形中，点为边上一动点，作交、分别于P、点，连． (1)若点E为的中点，求证：F点为的中点； (2)若点E为的中点，，，求的长； (3)若正方形边长为2，直接写出的最小值． 27．已知正方形和等腰直角三角形．连接、． (1)点P为线段的中点，连接 ① 如图所示，当点、分别在边、上时，请直接写出与之间的关系； ② 将绕点旋转到图的位置，请写出与之间的数量关系并证明； (2)将△绕点旋转到图的位置，作于点，设、的长分别为、，则的值是 （用含，的式子表示）． 28．探究不同情境，回答下面问题： (1)【问题初探】请解答王老师提出的问题：数学活动课上，王老师出示了如下问题：如图1，在正方形中，在上取点M，连接，过点A作交于点N．求证：． (2)【解决问题】在原有问题条件不变的基础上，王老师提出新问题，请你解答．如图2，点O为正方形的对角线交点，P，Q分别在边，上，满足，连接，，． ①判断的形状，并说明理由； ②若，求的最小值． (3)【深入研究】数学活动小组同学对上述问题进行特殊化研究之后发现，在（2）的条件下，如图3，连接，，与交于点H，使，若，，请求出正方形的面积（用含有m，n的式子表示）． 29．已知正方形，点是对角线上一点． (1)如图1，过点作交于点，连接，若，求的长； (2)如图2，点在边上，点在边上，，连接．用等式表示线段之间的数量关系，并证明； (3)如图3，点在直线上运动，连接，取中点，点为正方形内部一动点，连接，当取得最小值时，直接写出的值． 30．正方形中，点在上，且与交于点． (1)如图1，求证； (2)如图2，在上截取，连接，的平分线交于点，交的延长线于点，连接， ①判断的形状，并证明； ②求证：． 31．如图1，正方形中，E，F分别为，上的点，，垂足为H． (1)求证：； (2)如图2，连接，交于点M，O为的中点，交于点N，连接．求证：； (3)如图3，若正方形的边长为10，P，Q是上两动点，且，请直接写出的最小值． 32．在正方形中： (1)如图1，E为对角线上一点，连接，若，，求的面积； (2)如图2，E、G分别为、的中点，连接和交于点Q，连接，求证： (3)如图3，已知，E在边上运动，将沿翻折到同一平面内得到．点N为的中点，连接和，当的长度最小时，直接写出的值（用含a的式子表示）． 【类型5 中位线相关几何证明压轴题】 33．已知为等边三角形，点是边延长线上一点，连接，在边有一点，连接交于点，若． (1)如图1，若为中点，，求的长； (2)如图2，请猜想线段、、之间的数量关系，并证明； (3)如图3，在（1）的条件下，在外作，点、分别为边、上动点，过作于点，连接，，点为中点，连接，当最小时，以为边构等边，连接、，请直接写出的最小值． 34．在等边中，E为线段上一点，D为三角形外一点，连接、，F为上一点，连接，且． (1)如图1，若平分，，求的度数． (2)如图2，若N为中点，且，连接、，求证：． 35．已知，和分别位于边的两侧，且满足． (1)如图1，当时，在上取点E使得，连接并延长，交的延长线于点F，若，求的度数． (2)如图2，当时，在边上截取，使得，连接与相交于点，求证：点O是的中点． (3)如图3，当点D在的延长线上且时，以为直角边向右作等腰直角，，点P为上一点，满足，点Q为上的动点，连接、，当的长度取得最小值时，将沿直线翻折得到，请直接写出B，N两点之间的最小距离． 36．在等腰三角形中，，点D是线段的中点，点E是中垂线上的一点，连接、． (1)如图1，当点E在边上时，若，求的长度； (2)如图2，当点E在内部时，延长至点F，连接、，若平分，点G为的中点，求证：； (3)如图3，当点E在外（下方）时，与交点H，若为等腰直角三角形，，K为平面内一点，将沿翻折得到，射线交于点M，当最短时，请直接写出的值． 37．如图所示，中，，点是射线上一动点，在射线上截取，连接，取的中点，连接． (1)如图1，若点在边上，与相交于点，求的度数； (2)如图2，若点在边的延长线上，试猜想与的数量关系，并证明你猜想的结论； (3)若点在射线上运动，连接，当取最小值时，请直接写出的值． 38．在中，，点为上一点，连接． (1)如图1，过作于点，交延长线于点．若，，，求的长度． (2)如图2，以为斜边向外作，，点为中点，连接．若，试猜想线段，，之间的数量关系，并证明你的猜想； (3)如图3，点为中点，延长至点，连接，，，，若，，请直接写出面积的最大值． 39．如图，在等边中，为线段上一动点（不与、重合），连接． (1)如图1，若，，求线段的长； (2)如图2，为线段上一动点，满足，连接交于点，过点作平行且等于，连接，取中点，连接，求证：； (3)如图3，若，当取最小值时，将线段绕点顺时针旋转至线段，连接，请直接写出的最大值．（较容易） 40．在中，，，点是直线上一点． (1)如图1，点是线段上一点，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，，若，，求线段的长； (2)如图2，点是线段延长线上一点，将绕点顺时针旋转，交线段于点，点为线段上一点，过点作的垂线，垂足为点，过点作交延长线于点，连接．若平分，求证：； (3)如图3，在（1）问的条件下，在线段下方作，使得．点，分别为线段，上的动点，且，连接，当最小时，直接写出四边形的面积． 【类型6 直角三角形斜边上中线相关几何证明压轴题】 41．在中，对角线，相交于点O． (1)如图1，的周长为16，点E在上，，求的周长； (2)如图2，，，F为上一点，连接，以为直角边构造等腰，斜边交于点H，连接．若，求证：； (3)如图3，，，点M，N为直线上的动点（点M在点N的左侧），且，连接，，直接写出的最小值． 42．已知：四边形中，，，，，点E为的延长线上一动点，交于点F． (1)如图1，若平分，求证：； (2)如图2，于点H，交于点G，连接，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明你的结论； (3)如图3，在（2）的条件下，点P在上，点Q是线段的中点，若，，直接写出线段的最小值． 43．在三角形中，，，线段和交于点，且．点为的中点．过点作的垂线交于点． (1)如图1，连接，若，求的度数； (2)如图2，连接，且的角平分线交于点．求证：； (3)如图3，若，点为的中点，点是线段上一动点，满足，请直接写出的最小值． 44．如图，为等腰三角形，，延长到点，使得，连接，点、分别为、中点，连接． (1)如图1，若，请你求出的度数； (2)如图2，过点作于，延长、交于点，求证：； (3)如图3，若点、分别为直线、直线上的动点，点为中点，连接、、，在（1）问的条件下，若，请直接写出的最小值． 45．在中，． (1)如图1，，连接和交于点，，求的面积； (2)如图2，，点为上一点，连接，点为上一点，连接交于点，连接，若点为的中点，连接，且，猜想与的数量关系，并证明； (3)如图3，已知，，点与点分别为线段与上的动点，满足，连接和，当最小时，直接写出此时的面积． 46．如图，在等腰中，，点在线段上，点在直线上，把线段绕点顺时针旋转至，连接． (1)如图1，连接，若，点为中点，，，求的面积． (2)如图2，若，延长交于点，连接并延长至点，连接、，，，，且，求证：． (3)如图3，若，，，连接，，点、分别是、上的动点，且，连接、，直接写出的最小值． 47．如图，在中，，点为的中点． (1)如图1，若，点为外一点，且，连接，过点作的垂线交于，交于点，交的延长线于点． ①猜想的度数，并证明你的猜想； ②连接（自己连），求证：． (2)如图2，若，点、分别是、上的动点，且，连接、，当最小时，求的度数． 48．如图，在中，，点为线段的延长线上一点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，且 (1)如图1，当，，，求的长； (2)如图2，连接，过点作交延长线于点，猜想和的数量关系并证明； (3)如图3，在（1）的条件下，点为延长线上一点，把沿着翻折到同一平面得到，过点作的垂线交于点，垂足为点，直接写出的最小值． 第 1 页 共 112 页 学科网（北京）股份有限公司 $