23.3一次函数与方程（组）、不等式暑期专项练习2025-2026学年人教版八年级数学下册

**基本信息** 聚焦一次函数与方程（组）、不等式的数形结合，通过分层训练构建“概念-原理-应用”逻辑链，提炼图像解析、分类讨论等可迁移方法。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础认知|单选1-7题|交点坐标对应方程解、图像位置判断不等式解集|从一次函数图像性质出发，关联方程解与交点、不等式解集与图像高低| |综合应用|填空11-14题、解答16-18题|三线位置关系分类（平行/共点）、联立方程求交点|整合函数图像与代数关系，强化几何直观与推理意识| |拓展迁移|解答19-20题|翻折图像分析、动点面积模型构建|通过复杂情境应用模型意识，提升综合问题解决能力|

23.3 一次函数与方程（组）、不等式 暑期专项练习2025-2026学年人教版八年级数学下册 一、单选题 1．如图，直线y＝x+5和直线y＝ax+b相交于点P，观察其图象可知方程x+5＝ax+b的解（　　） A．x＝15 B．x＝25 C．x＝10 D．x＝20 2．已知直线与直线的交点坐标为，则方程组的解为（     ） A． B． C． D． 3．如图，一次函数的图象经过点，则关于x的不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 4．若一次函数（）的图象如图所示，则不等式的解集是（     ） A． B． C．≥ D．≤ 5．如图所示，一次函数的图象经过点P，则方程的解是（   ） A． B． C． D．无法确定 6．若关于x的方程的解为，则直线一定经过点（   ） A． B． C． D． 7．如图，直线过点和，则方程的解是（     ）． A． B． C． D． 8．函数的图象如图所示，下列说法正确的是（   ） A． B．函数图象过第一、二、四象限 C．若点和点在直线上，则 D．若的图象与坐标轴围成的三角形面积为2，则 9．已知点在直线：上，点在直线：上．下列结论正确的是（    ） A．若时，，则 B．若时，，则 C．若时，，则 D．若时，，则 10．如图，已知点，点，经过点的直线（）交x轴于点B，将直线l在x轴下方的部分沿x轴向上翻折，得到“V”字形图象，当“V”字形图象与线段有交点时，k的值可能是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 11．已知直线：分别与轴、轴交于，两点，直线：与交于点，一次函数的图像为，且，，不能围成三角形则的值为________． 12．如图所示是函数和的图象，若，则的取值范围为___________． 13．一次函数与的图象如图所示，则下列结论：①；②，；③当时，；④不等式的解集是，其中正确的结论有__________．（只填序号） 14．一次函数与（a、b、c、d均为常数，，）的图象如图所示，若，则__________ 15．各数位数字分别为a，b，c，d的四位自然数，如果A满足，则称A为“均衡数”，则最小的“均衡数”的各数位数字之和为______；现在将“均衡数”A拆分成两个两位数和，若对于两个一次函数和的图像有且只有一个交点坐标，则使得且为偶数的A共有________个． 三、解答题 16．（1）； （2）如图，先观察图形，然后填空： ①当　　　时，； ②当　　　时，； ③当　　　时，且． 17．小亮借鉴研究一次函数时积累的经验和方法，对新函数展开探究，过程如下． (1)根据函数表达式列表如下，则表中___________； ．．． -5 -4 -3 -2 -1 0 1 ．．． ．．． 3 1 0 1 2 3 ．．． (2)在给出的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象； (3)方程的解为___________ 18．已知：如图，一次函数与的图象相交于点A． (1)求点A的坐标； (2)若一次函数与的图象与x轴分别相交于点B、C，求的面积； (3)结合图象，直接写出时，x的取值范围． 19．在一次函数的学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质的过程．以下是我们研究函数性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题． (1)如表是与的对应值： … … … … ①求； ②若点、都在该函数图象上，则 ． (2)在给出的平面直角坐标系中，画出该函数图象． (3)已知函数的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出关于x的不等式的解集为 20．已知函数的图象与轴、轴分别交于点、，函数的图象与轴、轴分别交于点、，且两个函数图象交于点． (1)求直线的函数表达式； (2)若点在射线上，使得的面积为，过线段中点，作直线轴，点为轴上一动点，作直线于点，连接、，求的最小值； (3)若为直线上的动点，，写出点的坐标并选择一种情况写出解答过程． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B B B B A C D C B 1．D 【分析】两直线的交点坐标为两直线解析式所组成的方程组的解． 【详解】解：∵直线y＝x+5和直线y＝ax+b相交于点P（20，25）， ∴方程x+5＝ax+b的解为x＝20． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了一次函数与一元一次方程，关键是掌握一元一次方程与一次函数的关系，从图象上看，一元一次方程的解，相当于已知两条直线交点的横坐标的值． 2．B 【详解】∵直线与直线的交点坐标为， ∴方程组的解就是交点的横纵坐标，即． 3．B 【分析】先确定当时对应的的值，再结合图象得到答案． 【详解】解：∵一次函数的图象经过点， ∴当时，， 观察图象知，当时，． 4．B 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 【详解】解：由图象可得：当时，， ∴不等式的解集为， 5．B 【分析】根据一次函数与一元一次方程的联系，以及点P坐标，可直接得出方程的解． 理解一次函数与一元一次方程的联系是解题关键． 【详解】解：由图知，一次函数的图象经过点P， 方程的解是． 6．A 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系，掌握一次函数与一元一次方程的关系式解题的关键．根据方程可知时，，即直线过点． 【详解】解：∵关于的方程的解为， ∴直线一定经过某点的坐标为， 故选A． 7．C 【分析】一次函数的图像与轴交点的横坐标即为的解． 【详解】解：∵过点， ∴方程的解是． 8．D 【分析】根据函数图象即可判断经过的象限以及的符号，再由增减性判断的大小，最后由直线与坐标轴的交点求解即可． 【详解】解：由直线经过第一、二、三象限可得，，故A、B错误； 由得，随的增大而增大， ， ，故C错误； 对于，当时，， 由图象与坐标轴围成的三角形面积为2，得：， 解得，故D正确． 9．C 【分析】先根据点在直线上求出和的化简表达式，再分和两种情况，根据给出的不等关系解不等式组，得到的取值范围，进而判断正确选项． 【详解】解：∵点在直线上，点在直线上 ∴， 若，，可得不等式组： ∵，不等式两边同除以，不等号方向不变 ∴化简得，即 选项A，B均不完整，因此A，B错误． 若，，可得不等式组： ∵，不等式两边同除以，不等号方向改变 ∴化简得： 解得： ∴，符合选项C，因此C正确，D错误． 10．B 【分析】先求得翻折后的直线的解析式为，得到“V”字形图象由两部分组成和，根据题意求解即可． 【详解】解：∵直线经过点， ∴， 令，则，解得， ∴点， ∵将直线l在x轴下方的部分沿x轴向上翻折， ∴翻折后的直线经过点，， 设翻折后的直线的解析式为，将代入得，解得， ∴翻折后的直线的解析式为， ∴“V”字形图象由两部分组成和， ∵“V”字形图象与线段有交点时，且点，点， ∴“V”字形图象上存在点且， 对于直线， 令，则，解得，即， ∴原直线与线段无交点； 对于翻折后的直线， 令，则，解得，即， ∵， ∴或， 解得或，即， 观察四个选项，只有符合题意，即选项B符合题意． 11．或或 【分析】三条直线不能围成三角形分三种情况：平行于，平行于，经过与的交点，分类计算得到的值即可． 【详解】解：联立与的解析式， ， 解得：， ∴． 分三种情况讨论： 1． 若，可得，此时，与不重合，符合题意． 2． 若，可得，此时，与不重合，符合题意． 3． 若经过交点，三条直线共点，不能围成三角形， 将代入得： ， 解得，符合题意． 综上，的值为或或． 12． 【分析】结合函数图象求解即可． 【详解】解：根据函数图象可知：当时， 函数的图象在函数的图象上方， 即． 13． ②③④ 【分析】仔细观察图象，①k的正负看函数图象从左向右呈何趋势即可；②a,b看,与y轴的交点坐标；③看两函数图象的交点横坐标；④以两条直线的交点为分界，哪个函数图象在上面,则哪个函数值大． 【详解】解:① 的图象从左向右呈下降趋势， ，故①错误； ② 与y轴的交点在负半轴上， ，另一条直线与y轴交于正半轴，所以，故②正确； ③两函数图象的交点横坐标为3， 当时， ，故③正确； ④当时，，即，故④正确； 故正确的结论是②③④． 14．/ 【分析】由图象可得，再进行整理即可得解． 【详解】解：由图象可知，当时，两个函数对应的函数值相等， ， ， ， ， ． 15． 【分析】第一空要得到最小的四位“均衡数”，需从高位到低位依次取最小数字，再计算各数位数字和；第二空先根据一次函数交点性质和已知条件推导得，，再结合为偶数的条件得与同奇偶且，分类计数得到总个数． 【详解】解：第一空：四位自然数中，千位数字，要使最小，依次令最小取，最小取，由得，再令最小取，得， 因此最小的均衡数为，各数位数字和为． 第二空：联立两个一次函数， 两图像有且只有一个交点， ， 令，解得， 是均衡数， ，即， 代入得， ， ， 将代入得，即， 又， ，即． ，， ， 为偶数， 为偶数，即与同奇偶，且． ，， ， 又， ，且为整数，其中奇数共个，偶数共个， ，， ， 又， ，且为整数，其中奇数共个，偶数共个． 当为奇数时，每个对应符合条件的有个，共个； 当为偶数时，每个对应符合条件的有个，共个； 总个数为． 16．（1）；（2）①；②；③且 【分析】本题考查实数的混合运算及一次函数的交点问题，解题的关键是正确计算、能看懂函数图象，用数形结合的思想解答问题． （1）按实数的运算法则计算即可； （2）根据函数图象可以解答本题． 【详解】解：（1） ； （2）根据函数图象可得， 当时，； 当时，； 当，时，x的取值范围是． 故答案为： 且． 17．(1) (2)图见解析 (3)或 【分析】本题考查绝对值函数的列表、图像绘制，以及利用函数图像解方程，解题关键是掌握绝对值的计算方法、函数图像的画法，以及利用函数交点求解方程的思想． （1）利用函数表达式，将代入计算对应的值，得到； （2）根据列表中与的对应值，在平面直角坐标系中描点并连线，画出函数的图象； （3）解绝对值方程，需分和两种情况讨论，分别求解后检验解是否满足对应范围，从而确定方程的解． 【详解】（1）解：已知函数为，当时，将代入函数表达式： ，因此； 故答案为：； （2）如图所示： （3）解绝对值方程需分情况讨论： 情况一：当即时， 此时，原方程化为：   ，解得：，   检验：，满足该情况的前提条件，因此是方程的一个解； 情况二：当即时， 此时，原方程化为：   ，解得：， 检验：，满足该情况的前提条件，因此是方程的一个解； 综上，方程的解为或． 故答案为：或． 18．(1) (2) (3) 【分析】（1）联立两个函数的解析式，即可求出交点坐标； （2）分别求出点和点的坐标，再求出的面积即可； （3）根据的图象不高于的图象部分的自变量取值求解即可． 【详解】（1）解：联立一次函数与， 则，解得：， 点A的坐标为； （2）解：将代入，得，解得：， ， 将代入，得，解得：， ， 的面积； （3）解：由图象可知，在点以及点的左侧，的图象不高于的图象， ∴当时，的取值范围为． 19．(1)①，② (2) (3) 【分析】（1）①根据题意可知将代入即可； ②由表格可知，当时，或3；当时，或2；当时，或4；即可知； （2）根据描点连线画图即可； （3）根据图像位置关系即可． 【详解】（1）解：①根据题意可知； ②由表格可知，当时，或3；当时，或2；当时，或4； 则； （2）略 （3）解：由图像可知，当时，成立． 20．(1) (2)12 (3)解：① 当点在点的右侧时，如图 过点作于点，过点作轴于点，过点作的延长线于点， ， ， ， 是等腰直角三角形，且， ， ， ， ， ， ， 解得 设直线的解析式为， 将、分别代入，得 解得 直线的解析式为， 联立， 解得 ； ② 当点在点的左侧时，如图 过点作于点，过点作轴于点，过点作的延长线于点， 由①同理可得 ， ，． 由①同理可得：，，，． 解得 ． 由①同理可得，直线的解析式为， 联立， 解得， ， 综上所述，或． 【分析】（1）先求出，再将代入，求出，即可解答； （2）先求出，，，得到，，根据三角形的面积公式，求出，设，由求出，得到，过点作，且，连接推导出四边形是平行四边形，得到，继而推导出当点，，三点共线时，取得最小值，为，即也取得最小值，进而求出，即可求出也取得最小值为． （3）①当点在点的右侧时，过点作于点，过点作轴于点，过点作的延长线于点，推导出，得到，，，求出，进而求出直线的解析式为，联立，求出即可；② 当点在点的左侧时，同①的解题思路进行求解即可． 【详解】（1）解：将代入，得 ， ∴， 将代入，得 ， 解得， ∴直线的函数表达式为； （2）解：当时，， ， 当时， 解得， ， 当时，， 解得， ∴， ，， ， 设，则 ， ， ， 过点作，且，如图，连接 四边形是平行四边形， ，， 、，点是的中点， ， 轴，， ，轴， ，即 ， 当点，，三点共线时，如图 ，此时取得最小值，为，即也取得最小值， ， 的最小值为10， 此时也取得最小值，为． （3）略 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $