专题01 可能性与概率（题型专练）数学新教材浙教版九年级上册

**基本信息** 以“概念辨析-量化比较-概率计算-逆向应用”为逻辑主线，通过7类题型系统构建可能性与概率的解题方法体系，突出数学抽象与推理能力培养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |事件类型判断|1典例+3变式|三类事件定义+确定性与不确定性区分|从基础概念出发，建立事件分类标准| |可能性大小比较|1典例+3变式|概率量化刻画+等可能实验比较法则|衔接事件概念，实现可能性的量化过渡| |改变事件可能性|1典例+2变式|数量调整法+可能性相等条件|深化对概率影响因素的理解| |概率意义理解|1典例+3变式|概率取值范围+频率与概率关系|构建概率本质认知，纠正常见误区| |列举法求概率|1典例+3变式|列表/树状图列举+不重不漏原则|掌握基本计数方法，为公式应用奠基| |概率公式应用|1典例+4变式|等可能事件概率公式+对立事件转化|直接应用公式解决实际问题| |已知概率求数量|1典例+4变式|方程思想+概率公式逆向建模|实现概率计算的逆向迁移，培养模型意识|

专题01 可能性与概率 （题型突破·举一反三） 题型01 事件类型的判断 题型02 可能性大小的比较 题型03 改变事件发生的可能性 题型04 概率意义的理解 题型05 用列举法求概率 题型06 用概率公式求概率 题型07 已知概率求数量 ▌题型01 事件类型的判断 1．三类事件：在一定条件下必然发生的是必然事件，必然不发生的是不可能事件，可能发生也可能不发生的是随机事件。 2．判断方法：必然事件与不可能事件统称确定事件，结果唯一确定；随机事件的结果具有不确定性，可能发生也可能不发生。 3．易错提醒：判断事件类型要依据给定条件，不能凭主观感觉；"很可能发生"或"几乎不发生"仍属随机事件。 【典例1】下列事件中，属于必然事件的是（     ） A．勇士队球星库里在一场比赛中投篮1次，投进篮筐 B．水中捞月 C．开车时，连续三个路口都遇到绿灯 D．任意画一个正多边形，它是轴对称图形 【变式1-1】将一个能自由转动的转盘平均分为六个扇形，每个扇形区域分别标有1到6的数字．转动转盘两次，下列事件是不可能事件的是（     ） A．两次转出的数字和大于1 B．两次转出的数字和等于6 C．两次转出的数字差等于0 D．两次转出的数字差等于6 【变式1-2】（25-26九年级上·浙江宁波·期末）下列事件中，属于随机事件的是（） A．抛一枚均匀的硬币，恰好正面朝上． B．两张扑克牌，1张黑桃、1张红桃，从中随机抽取1张扑克牌是方块． C．是实数，则． D．任意画一个三角形，其内角和是． 【变式1-3】（25-26九年级上·浙江宁波·期末）下列事件中，属于不确定事件的是（    ） A．任意抛一枚均匀的硬币，正面朝上 B．三角形内角和为 C．太阳从东边升起 D．在一个装满红球的袋中，摸出黑球 ▌题型02 可能性大小的比较 1．可能性的量化：随机事件发生的可能性有大有小，可以用概率 来刻画，取值范围是 。 2．比较方法：在等可能实验中，某事件包含的可能结果数越多，其可能性越大；如袋中某色球越多，摸到它的可能性越大。 3．易错提醒：比较可能性大小要在同一实验、同一条件下进行；可能性大只是发生的把握大，并不代表一定发生。 【典例2】把下面7张数字卡片放入纸袋，随意摸出一张． 下面描述正确的是（     ） A．一定能摸出3 B．不可能摸出5 C．摸出3的可能性最小 D．摸出1的可能性最大 【变式2-1】（25-26九年级上·浙江温州·期末）一个不透明的盒子内装有个红球，个白球，它们除颜色外其余均相同．从中随机摸出一个球，下列说法正确的是（   ）． A．一定摸到红球 B．一定摸到白球 C．摸到白球比摸到红球的可能性大 D．摸到红球比摸到白球的可能性大 【变式2-2】（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）若气象部门预报明天下雨的概率是，下列说法正确的是（   ） A．明天一定不会下雨 B．明天下雨的可能性比较小 C．明天下雨的可能性比较大 D．明天一定会下雨 【变式2-3】（25-26九年级上·浙江丽水·期中）不透明的盒中装有红球、黄球和白球共10个，每个球除颜色外都相同，每次随机摸1个球，然后放回；摇匀后，再摸第2次、第3次……．以下是小莲和小明的对话： (1)小莲的判断正确吗？为什么？ (2)小明的说法对吗？请说明理由． ▌题型03 改变事件发生的可能性 1．改变条件：通过增加或减少某类对象的数量，可以改变相应事件发生的可能性大小。 2．使可能性相等：要使摸到两类球的可能性相同，需让两类球数量相等，即令 。 3．易错提醒：改变条件后总数也随之改变，列方程时要用变化后的总数作分母，不能仍用原总数。 【典例3】（25-26九年级上·江苏泰州·期中）一个不透明的袋子中有大小相同的5个红球和8个黄球，如果要使两种颜色的球摸到的可能性相等，那么需要再往袋中放入红球的个数是（　） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式3-1】袋中有红球4个，白球若干个，它们只有颜色上的区别．从袋中随机地取出一个球，如果取到白球的概率较大，那么袋中白球的个数可能是（    ）． A．2 B．3 C．4 D．5 【变式3-2】一只不透明的袋子中有个红球、个绿球和个白球，这些球除颜色外都相同，将球搅匀，从中任意摸出个球． （1）会出现哪些可能的结果？ （2）能够事先确定摸到的一定是红球吗？ （3）你认为摸到哪种颜色的球的可能性最大？哪种颜色的球的可能性最小？ （4）怎样改变袋子中红球、绿球、白球的个数，使摸到这三种颜色的球的概率相同？ ▌题型04 概率意义的理解 1．概率的意义：概率 表示随机事件 发生的可能性大小，取值范围是 。 2．特殊值：必然事件的概率为 ，不可能事件的概率为 ；概率为 一定发生，概率为 一定不发生。 3．易错提醒：概率大只是发生的可能性大，不代表一定发生；概率是大量重复实验下呈现的规律，不能用于单次实验的断言。 【典例4】（24-25九年级上·浙江杭州·阶段检测）某品牌吹风机抽样检查的合格率为99%，则下列说法中正确的是（     ） A．购买100个该品牌的吹风机，一定有99个合格 B．购买1000个该品牌的吹风机，一定有10个不合格 C．购买10个该品牌的吹风机，一定都合格 D．即使购买1个该品牌的吹风机，也可能不合格 【变式4-1】（25-26九年级上·全国·课前预习）甲种商品出现次品的可能性是，乙种商品出现次品的可能性是，则正确的说法是（   ） A．甲种商品的次品比乙种商品的次品多一些 B．甲种商品的次品比乙种商品的次品少一些 C．甲乙两种商品的次品一样多 D．甲乙两种商品的次品数不能确定 【变式4-2】（24-25九年级上·山西吕梁·期末）下列说法中正确的是（    ） A．种植一种花卉成活率是，则种100株这种花一定会有95株成活 B．天气预报“明天降水概率是”是指明天有的时间会下雨 C．某位体育老师参加贾家庄半程马拉松比赛一定能获得大奖 D．连续掷一枚质地均匀的骰子，若3次都掷出“1”，则第4次仍然可能掷出“1” 【变式4-3】（24-25九年级上·山东青岛·期中）小颖从一定高度随机掷一枚质地均匀的硬币，她已经掷了三次硬币，结果都是“反面朝上”．那么，小颖第四次掷硬币时，“正面朝上”与“反面朝上”的可能性的大小为（    ） A．“正面朝上”的可能性大 B．“反面朝上”的可能性大 C．两者的可能性相同 D．无法确定 ▌题型05 用列举法求概率 1．列举法：当一次实验的所有可能结果有限且等可能时，把结果不重不漏地全部列举出来，再数出事件包含的结果数。 2．概率公式：，其中 是所有等可能结果的总数， 是事件 包含的结果数。 3．易错提醒：列举要做到不重复、不遗漏；两步实验可借助列表或树状图来列举，避免漏算。 【典例5】（25-26九年级上·山西晋城·期末）如图，若随机闭合开关，，中的两个，则能让灯泡发光的概率为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】浙教版九年级上册课本第41页中的一道题如图所示，请你仔细阅读后认真解答．笼子里关着一只小松鼠（如图），笼子的主人决定把小松鼠放归大自然，将笼子所有的门都打开，松鼠要先经过第一道门（A，B，或C），再经过第二道门（D或E）才能出去，问松鼠走出笼子的路线（经过的两道门）有多少种不同的可能？你的答案是（    ） A．12 B．6 C．5 D．2 【变式5-2】把10个苹果分给3个小朋友，要求每个小朋友都有苹果，且分得苹果的数量各不相同，一共有______种不同的分法． 【变式5-3】如图，转盘被分成六个相同的部分，并在上面依次写上数字：1，2，3，4，5，6．指针的位置固定，转动转盘后任其自由停止（若指针指向边界处则重新转动）． (1)当转盘停止时，写出指针指向奇数区域的所有可能； (2)当转盘停止时，指针指向的数小于或等于4的概率是多少？ ▌题型06 用概率公式求概率 1．公式应用：在等可能实验中直接用 计算，关键是准确数出 与 。 2．计数方法： 为所有等可能结果总数， 为满足条件的结果数，复杂计数可结合列表法、树状图。 3．易错提醒：分母 必须是全部等可能结果的总数，不能漏算；"至少""至多"类问题可用 减去对立事件的概率。 【典例6】学校需要从甲、乙、丙、丁、戊五位优秀的班干部中随机选取3人担任某一次升旗仪式的旗手，则同时选中丁、戊的概率为（     ） A． B． C． D． 【变式6-1】某校九年级有300名学生，体育测试中某项目的成绩分布如下：成绩优秀的有90人，良好的有120人，及格的有75人，不及格的有15人．从中任意抽取一名学生，该生成绩及格或良好的概率是（     ） A． B． C． D． 【变式6-2】为打造活力校园，某校在大课间开展了丰富多彩的活动，现有羽毛球，乒乓球，花样跳绳，踢毽子这4种体育类活动供学生选择，若小嵊在这4种体育活动中随机选择，则选中“乒乓球”的概率是（     ） A． B． C． D． 【变式6-3】在一个不透明的袋子中装有4个红球和2个白球，它们除颜色外都相同，从袋中随机摸出一个球是白球的概率是______． 【变式6-4】若从，，1，2，3这五个数中随机抽取一个数，作为一次函数中系数k的值，则使该函数图象不经过第二象限的概率为__________． ▌题型07 已知概率求数量 1．逆向应用：已知某事件的概率与实验条件，利用 列方程求未知数量。 2．列方程：设未知量为 ，用含 的式子表示 与 ，由已知概率建立方程 求解。 3．易错提醒：解方程后代回检验结果是否符合实际意义（数量须为正整数）以及是否落在概率范围内。 【典例7】桌面上放有六张卡片，卡片上分别写着0，1，2中的一个数字，这些卡片除数字外无其他差别，若随机翻开写着数字“1”的卡片的概率是，写着数字“2”的卡片的概率是，则写着数字“0”的卡片有（     ）张 A．4 B．3 C．2 D．1 【变式7-1】（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）一个密码箱的密码，每个数位上的数都是从0到9的自然数．若要使不知道密码的人一次就拨对密码的概率小于，则密码的位数至少需要设（   ） A．五位 B．四位 C．三位 D．二位 【变式7-2】（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）书架上有a本经济类书，7本数学书，5本体育类书．现某人随意从架子上抽取一本书，若取到数学书的机会为，则a的值为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【变式7-3】（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）从长度为3，5，7，m（其中m为整数）的四条线段中任取三条，使它们首尾顺次相接能组成三角形的概率为，则m的值应为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式7-4】（24-25七年级下·陕西·期中）乒乓球馆有20盒白色乒乓球，但在整理过程中，发现其中混入了若干黄色乒乓球．经过统计后，发现每盒白色乒乓球中最多混入了2个黄色乒乓球，具体数据见下表： 黄色乒乓球数 0 1 2 盒数 8 m n (1)事件“从20盒白色乒乓球中任意抽取1盒，盒中没有黄色乒乓球”是__________事件（填“必然”“不可能”或“随机”）； (2)从20盒白色乒乓球中任意抽取1盒，求所抽取的盒中有黄色乒乓球的概率； (3)从20盒白色乒乓球中任意抽取1盒，若所抽取的盒中有1个黄色乒乓球的概率为，求m和n的值． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 可能性与概率 （题型突破·举一反三） 题型01 事件类型的判断 题型02 可能性大小的比较 题型03 改变事件发生的可能性 题型04 概率意义的理解 题型05 用列举法求概率 题型06 用概率公式求概率 题型07 已知概率求数量 ▌题型01 事件类型的判断 1．三类事件：在一定条件下必然发生的是必然事件，必然不发生的是不可能事件，可能发生也可能不发生的是随机事件。 2．判断方法：必然事件与不可能事件统称确定事件，结果唯一确定；随机事件的结果具有不确定性，可能发生也可能不发生。 3．易错提醒：判断事件类型要依据给定条件，不能凭主观感觉；"很可能发生"或"几乎不发生"仍属随机事件。 【典例1】下列事件中，属于必然事件的是（     ） A．勇士队球星库里在一场比赛中投篮1次，投进篮筐 B．水中捞月 C．开车时，连续三个路口都遇到绿灯 D．任意画一个正多边形，它是轴对称图形 【答案】D 【分析】根据必然事件的定义逐一判断各选项的事件类型即可． 【详解】解：A选项中，投篮1次投进可能发生也可能不发生，属于随机事件，不符合题意； B选项中，水中捞月一定不会发生，属于不可能事件，不符合题意； C选项中，连续三个路口都遇到绿灯可能发生也可能不发生，属于随机事件，不符合题意； D选项中，任意正多边形一定是轴对称图形，该事件一定发生，属于必然事件，符合题意． 【变式1-1】将一个能自由转动的转盘平均分为六个扇形，每个扇形区域分别标有1到6的数字．转动转盘两次，下列事件是不可能事件的是（     ） A．两次转出的数字和大于1 B．两次转出的数字和等于6 C．两次转出的数字差等于0 D．两次转出的数字差等于6 【答案】D 【详解】解：∵每次转出的数字都大于或等于1， ∴两次转出的数字和大于1是必然事件； 两次转出的数字和等于6是随机事件； 两次转出的数字差等于0是随机事件； 最大数字为6，最小数字为1，差的绝对值最大为5， 两次转出的数字差等于6是不可能事件，故D选项符合题意． 【变式1-2】（25-26九年级上·浙江宁波·期末）下列事件中，属于随机事件的是（） A．抛一枚均匀的硬币，恰好正面朝上． B．两张扑克牌，1张黑桃、1张红桃，从中随机抽取1张扑克牌是方块． C．是实数，则． D．任意画一个三角形，其内角和是． 【答案】A 【分析】本题依据随机事件、必然事件、不可能事件的定义，对各选项事件类型进行判断，从而选出随机事件．随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，必然事件是一定会发生的事件，不可能事件是一定不会发生的事件． 【详解】解：A选项：抛一枚均匀的硬币，可能正面朝上也可能反面朝上，属于随机事件 B选项：仅有黑桃和红桃的两张牌，不可能抽到方块，属于不可能事件 C选项：任意实数的绝对值都大于等于0，一定会发生，属于必然事件 D选项：任意三角形的内角和都是，一定会发生，属于必然事件 故选：A． 【变式1-3】（25-26九年级上·浙江宁波·期末）下列事件中，属于不确定事件的是（    ） A．任意抛一枚均匀的硬币，正面朝上 B．三角形内角和为 C．太阳从东边升起 D．在一个装满红球的袋中，摸出黑球 【答案】A 【分析】本题考查事件的分类，正确理解必然事件、不可能事件、不确定事件（随机事件）的定义是关键．根据必然事件、不可能事件、不确定事件（随机事件）的定义逐一分析各选项事件的类型即可判断． 【详解】解：∵必然事件是一定发生的事件，不可能事件是一定不发生的事件，不确定事件是可能发生也可能不发生的事件 A选项，任意抛一枚均匀的硬币，正面朝上，可能发生也可能不发生，属于不确定事件，符合题意； B选项，三角形内角和为，是必然会发生的，属于必然事件，不符合题意； C选项，太阳从东边升起，是必然会发生的，属于必然事件，不符合题意； D选项，在装满红球的袋中摸出黑球，一定不会发生，属于不可能事件，不符合题意． 故选：A． ▌题型02 可能性大小的比较 1．可能性的量化：随机事件发生的可能性有大有小，可以用概率 来刻画，取值范围是 。 2．比较方法：在等可能实验中，某事件包含的可能结果数越多，其可能性越大；如袋中某色球越多，摸到它的可能性越大。 3．易错提醒：比较可能性大小要在同一实验、同一条件下进行；可能性大只是发生的把握大，并不代表一定发生。 【典例2】把下面7张数字卡片放入纸袋，随意摸出一张． 下面描述正确的是（     ） A．一定能摸出3 B．不可能摸出5 C．摸出3的可能性最小 D．摸出1的可能性最大 【答案】D 【详解】解：A、可能摸出3，也可能摸不出3，原说法错误； B、可能摸出5，也可能摸不出5，原说法错误； C、5的数量最少，摸出5的可能性最小，原说法错误； D、1的数量最多，摸出1的可能性最大，原说法正确. 【变式2-1】（25-26九年级上·浙江温州·期末）一个不透明的盒子内装有个红球，个白球，它们除颜色外其余均相同．从中随机摸出一个球，下列说法正确的是（   ）． A．一定摸到红球 B．一定摸到白球 C．摸到白球比摸到红球的可能性大 D．摸到红球比摸到白球的可能性大 【答案】C 【分析】本题考查事件的分类以及判断事件发生的可能性大小．熟练掌握事件的分类是解题的关键．根据事件的分类以及事件发生的可能性大小逐一进行判断即可． 【详解】解：A，因为盒子内装有个红球，个白球，不一定摸到红球，故不符合题意； B，因为盒子内装有个红球，个白球，不一定摸到白球，故不符合题意； C，因为摸到红球的概率是，摸到白球的概率是，所以摸到白球比摸到红球的可能性大，故符合题意； D，因为摸到红球的概率是，摸到白球的概率是，所以摸到白球比摸到红球的可能性大，故不符合题意； 故选：C． 【变式2-2】（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）若气象部门预报明天下雨的概率是，下列说法正确的是（   ） A．明天一定不会下雨 B．明天下雨的可能性比较小 C．明天下雨的可能性比较大 D．明天一定会下雨 【答案】C 【分析】本题主要考查随机事件，熟练掌握随机事件的定义是解题的关键；因此此题可根据题意直接进行求解． 【详解】解：若气象部门预报明天下雨的概率是，说明明天下雨的可能性比较大； 故选C． 【变式2-3】（25-26九年级上·浙江丽水·期中）不透明的盒中装有红球、黄球和白球共10个，每个球除颜色外都相同，每次随机摸1个球，然后放回；摇匀后，再摸第2次、第3次……．以下是小莲和小明的对话： (1)小莲的判断正确吗？为什么？ (2)小明的说法对吗？请说明理由． 【答案】(1)不正确，理由见详解 (2)错误，理由见详解 【分析】本题考查了随机事件可能性，正确理解随机事件事件发生的可能性是解题的关键． （1）根据事件发生的可能性进行判断即可； （2）根据事件发生的可能性进行判断即可； 【详解】（1）解：不正确，理由如下： 小莲同学摸球次，没有摸到红球，便断定“摸到红球”是不可能的， 这种判断不正确， 因为此事件是随机事件，不能因为事件发生的可能性小就认为它是不可能事件； （2）解：错误，理由如下; 小明同学没有去摸球，就认为摸到红球、黄球、白球的可能性大小是一样的，这种说法不对， 因为只知道不透明的盒中装有红球、黄球和白球共10个，且红球数、黄球数及白球数不可能相等，那么他们的可能性就不一样． ▌题型03 改变事件发生的可能性 1．改变条件：通过增加或减少某类对象的数量，可以改变相应事件发生的可能性大小。 2．使可能性相等：要使摸到两类球的可能性相同，需让两类球数量相等，即令 。 3．易错提醒：改变条件后总数也随之改变，列方程时要用变化后的总数作分母，不能仍用原总数。 【典例3】（25-26九年级上·江苏泰州·期中）一个不透明的袋子中有大小相同的5个红球和8个黄球，如果要使两种颜色的球摸到的可能性相等，那么需要再往袋中放入红球的个数是（　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】此题考查一元一次方程的应用，事件的可能性，要使摸到红球和黄球的可能性相等，需使红球与黄球的数量相等。 【详解】设需要再放入x个红球， 放入后，红球有个，黄球有8个， ∵摸到两种球的可能性相等， ∴， 解得 ∴需要放入3个红球， 故选：C 【变式3-1】袋中有红球4个，白球若干个，它们只有颜色上的区别．从袋中随机地取出一个球，如果取到白球的概率较大，那么袋中白球的个数可能是（    ）． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】根据概率公式求出白球的取值范围即可得出结论． 【详解】解：若要使取到白球的概率较大，则白球的个数＞红球的个数 由各选项可知，只有D选项符合 故选D． 【点睛】此题考查的是比较概率的大小，掌握概率公式是解决此题的关键． 【变式3-2】一只不透明的袋子中有个红球、个绿球和个白球，这些球除颜色外都相同，将球搅匀，从中任意摸出个球． （1）会出现哪些可能的结果？ （2）能够事先确定摸到的一定是红球吗？ （3）你认为摸到哪种颜色的球的可能性最大？哪种颜色的球的可能性最小？ （4）怎样改变袋子中红球、绿球、白球的个数，使摸到这三种颜色的球的概率相同？ 【答案】（1）从中任意摸出个球可能是红球，也可能是绿球或白球；（2）不能事先确定摸到的一定是红球；（3）摸到白球的可能性最大，摸到红球的可能性最小；（4）只要袋子中红球、绿球和白球的数量相等即可． 【分析】（1）根据事情发生的可能性，即可进行判断； （2）根据红球的多少判断，只能确定有可能出现； （3）根据白球的数量最多，摸出的可能性就最大，红球的数量最少，摸出的可能性就最小； （4）根据概率相等就是出现的可能性一样大，可让数量相等即可． 【详解】解：（1）从中任意摸出1个球可能是红球，也可能是绿球或白球； （2）不能事先确定摸到的一定是红球； （3）摸到白球的可能性最大，摸到红球的可能性最小； （4）只要袋子中红球、绿球和白球的数量相等即可． 【点睛】此题主要考查了事件发生的可能性，关键是根据事件发生的可能大小和概率判断即可，比较简单的中考常考题． ▌题型04 概率意义的理解 1．概率的意义：概率 表示随机事件 发生的可能性大小，取值范围是 。 2．特殊值：必然事件的概率为 ，不可能事件的概率为 ；概率为 一定发生，概率为 一定不发生。 3．易错提醒：概率大只是发生的可能性大，不代表一定发生；概率是大量重复实验下呈现的规律，不能用于单次实验的断言。 【典例4】（24-25九年级上·浙江杭州·阶段检测）某品牌吹风机抽样检查的合格率为99%，则下列说法中正确的是（     ） A．购买100个该品牌的吹风机，一定有99个合格 B．购买1000个该品牌的吹风机，一定有10个不合格 C．购买10个该品牌的吹风机，一定都合格 D．即使购买1个该品牌的吹风机，也可能不合格 【答案】D 【分析】本题考查了对概率意义的理解，合格率表示在大量抽样中合格品的概率为，但每次抽样结果具有随机性，不能保证绝对数量，依此判断每个选项的说法选出正确的选项即可． 【详解】解：A项：购买100个吹风机，合格数不一定恰好99个．合格率是统计结果，实际数量可能波动，故A错误； B项：购买1000个吹风机，不合格数不一定为10个，虽然，但实际可能存在偏差，故B错误； C项：购买10个吹风机，每个均有的不合格概率，可能存在至少1个不合格，故C错误； D项：购买1个吹风机时，仍有的概率不合格，符合概率的基本意义，故D正确． 故选：D． 【变式4-1】（25-26九年级上·全国·课前预习）甲种商品出现次品的可能性是，乙种商品出现次品的可能性是，则正确的说法是（   ） A．甲种商品的次品比乙种商品的次品多一些 B．甲种商品的次品比乙种商品的次品少一些 C．甲乙两种商品的次品一样多 D．甲乙两种商品的次品数不能确定 【答案】D 【分析】本题考查概率的意义，理解事件发生概率的意义是解题的关键．根据概率的意义即可解答． 【详解】解：甲、乙两种商品的总数目不确定，则次品数就不能确定． 故选：D． 【变式4-2】（24-25九年级上·山西吕梁·期末）下列说法中正确的是（    ） A．种植一种花卉成活率是，则种100株这种花一定会有95株成活 B．天气预报“明天降水概率是”是指明天有的时间会下雨 C．某位体育老师参加贾家庄半程马拉松比赛一定能获得大奖 D．连续掷一枚质地均匀的骰子，若3次都掷出“1”，则第4次仍然可能掷出“1” 【答案】D 【分析】本题考查的是概率的意义，熟知概率只是表示某事件发生的可能性是解答此题的关键．根据概率的意义对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、种植一种花卉成活率是95%，则种100株这种花不一定会有95株成活，故A说法错误，不符合题意； B、天气预报“明天降水概率是”，是指明天有的概率会下雨，故B说法错误，不符合题意； C、某位体育老师参加贾家庄半程马拉松比赛不一定能获得大奖，故C说法错误，不符合题意；； D、连续掷一枚质地均匀的骰子，若3次都掷出“1”，则第4次仍然可能掷出“1”, 故D说法正确，符合题意； 故选：D． 【变式4-3】（24-25九年级上·山东青岛·期中）小颖从一定高度随机掷一枚质地均匀的硬币，她已经掷了三次硬币，结果都是“反面朝上”．那么，小颖第四次掷硬币时，“正面朝上”与“反面朝上”的可能性的大小为（    ） A．“正面朝上”的可能性大 B．“反面朝上”的可能性大 C．两者的可能性相同 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查的是概率的意义，正确理解概率的意义和概率的计算公式是解题的关键．根据概率的意义和概率的计算公式计算即可． 【详解】解：由于硬币质地均匀， 所以小颖第四次掷硬币时，“正面朝上”与“反面朝上”的可能性相同，都是． 故选:C． ▌题型05 用列举法求概率 1．列举法：当一次实验的所有可能结果有限且等可能时，把结果不重不漏地全部列举出来，再数出事件包含的结果数。 2．概率公式：，其中 是所有等可能结果的总数， 是事件 包含的结果数。 3．易错提醒：列举要做到不重复、不遗漏；两步实验可借助列表或树状图来列举，避免漏算。 【典例5】（25-26九年级上·山西晋城·期末）如图，若随机闭合开关，，中的两个，则能让灯泡发光的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查等可能事件概率的计算与电路通路的判断，关键是先确定所有闭合两个开关的等可能情况，再筛选出能使发光的情况，最后利用概率公式计算． 【详解】解：随机闭合开关，，中的两个，所有等可能的情况为：、、，共3种，其中能让灯泡发光的情况只有， ∴能让灯泡发光的概率为． 故选：A． 【变式5-1】浙教版九年级上册课本第41页中的一道题如图所示，请你仔细阅读后认真解答．笼子里关着一只小松鼠（如图），笼子的主人决定把小松鼠放归大自然，将笼子所有的门都打开，松鼠要先经过第一道门（A，B，或C），再经过第二道门（D或E）才能出去，问松鼠走出笼子的路线（经过的两道门）有多少种不同的可能？你的答案是（    ） A．12 B．6 C．5 D．2 【答案】B 【分析】分析两道门各自的可能性情况，再进行组合即可得解． 【详解】解：∵第一道门有A、B、C三个出口， ∴出第一道门有三种选择， 又∵第二道门有两个出口， 故出第二道门有D、E两种选择， ∴小松鼠走出笼子的路线有6种选择， 分别为AD、AE、BD、BE、CD、CE， 故选B． 【点睛】本题考查了概率的知识，解题的关键是通过列举法列出所有可能性的路径． 【变式5-2】把10个苹果分给3个小朋友，要求每个小朋友都有苹果，且分得苹果的数量各不相同，一共有______种不同的分法． 【答案】4 【分析】首先把10拆成3个数，因为每个小朋友都有苹果，且分得苹果的数量各不相同，一一列举即可． 【详解】解：首先把10拆成3个数，，，，， 共有4种分法， 故答案为：4． 【点睛】本题考查数的组成，把10拆成3个数以及正确理解题意是关键． 【变式5-3】如图，转盘被分成六个相同的部分，并在上面依次写上数字：1，2，3，4，5，6．指针的位置固定，转动转盘后任其自由停止（若指针指向边界处则重新转动）． (1)当转盘停止时，写出指针指向奇数区域的所有可能； (2)当转盘停止时，指针指向的数小于或等于4的概率是多少？ 【答案】(1)三种：1，3，5 (2) 【分析】（1）当转盘停止转动时，指针指向数字区域1，2，3，4，5，6的机会是均等的，故共有6种均等的结果，其中指针指向奇数区域1，3，5有3种结果． （2）当转盘停止转动时，指针指向数字区域1，2，3，4，5，6的机会是均等的，故共有6种均等的结果，其中指针指向的数小于或等于4区域1，2，3，4有4种结果，根据概率公式求解即可． 【详解】（1）解：当转盘停止转动时，指针指向数字区域1，2，3，4，5，6的机会是均等的，故共有6种均等的结果，其中指针指向奇数区域1，3，5有3种结果； （2）解：当转盘停止转动时，指针指向数字区域1，2，3，4，5，6的机会是均等的，故共有6种均等的结果，其中指针指向的数小于或等于4区域1，2，3，4有4种结果， 所以指针指向的数小于或等于4的概率是． 【点睛】本题考查了用列举法求概率，解题的关键是熟练掌握概率公式，一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率为且． ▌题型06 用概率公式求概率 1．公式应用：在等可能实验中直接用 计算，关键是准确数出 与 。 2．计数方法： 为所有等可能结果总数， 为满足条件的结果数，复杂计数可结合列表法、树状图。 3．易错提醒：分母 必须是全部等可能结果的总数，不能漏算；"至少""至多"类问题可用 减去对立事件的概率。 【典例6】学校需要从甲、乙、丙、丁、戊五位优秀的班干部中随机选取3人担任某一次升旗仪式的旗手，则同时选中丁、戊的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出从5人中选3人的所有等可能结果数，再求出同时选中丁、戊的结果数，最后根据概率公式计算即可． 【详解】解：从5人中选3人的选法为： （甲、乙、丙）、（甲、乙、丁）、（甲、乙、戊）、（甲、丙、丁）、（甲、丙、戊）、（甲、丁、戊）、（乙、丙、丁）、（乙、丙、戊）、（乙、丁、戊）、（丙、丁、戊）， 总共有10种等可能的结果，同时选中丁、戊有3种结果， 则其概率为． 【变式6-1】某校九年级有300名学生，体育测试中某项目的成绩分布如下：成绩优秀的有90人，良好的有120人，及格的有75人，不及格的有15人．从中任意抽取一名学生，该生成绩及格或良好的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出符合条件“成绩及格或良好”的总人数，再用概率公式计算即可． 【详解】解：∵总学生数为，成绩良好的有人，及格的有人， ∴成绩及格或良好的总人数为 ， ∴任意抽取1名学生，该生成绩及格或良好的概率为 ． 【变式6-2】为打造活力校园，某校在大课间开展了丰富多彩的活动，现有羽毛球，乒乓球，花样跳绳，踢毽子这4种体育类活动供学生选择，若小嵊在这4种体育活动中随机选择，则选中“乒乓球”的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】用符合要求的结果数除以所有等可能的总结果数即可求解． 【详解】解：∵总共有种等可能的选择结果，选中“乒乓球”的结果只有种， ∴根据概率公式，选中“乒乓球”的概率为． 【变式6-3】在一个不透明的袋子中装有4个红球和2个白球，它们除颜色外都相同，从袋中随机摸出一个球是白球的概率是______． 【答案】 【分析】本题考查简单概率的计算，解题关键是掌握概率公式，确定所有等可能结果的总数和符合条件的结果数，代入公式计算即可． 【详解】袋子中球的总个数为，其中白球的个数为，根据概率公式，可得从袋中随机摸出一个球是白球的概率为． 【变式6-4】若从，，1，2，3这五个数中随机抽取一个数，作为一次函数中系数k的值，则使该函数图象不经过第二象限的概率为__________． 【答案】/0.6 【分析】先确定所有等可能的结果总数，再根据一次函数的性质，找出使一次函数图象不经过第二象限的符合条件的结果数，最后根据概率公式计算概率． 【详解】解：由题意可知，从5个数中随机抽取一个数，共有5种等可能的结果， 对于一次函数，其与轴的交点为，交点在轴负半轴，若函数图象不经过第二象限，则需满足， 在，，1，2，3这五个数中，满足的数为1，2，3，共3种符合条件的结果， 则所求概率为． ▌题型07 已知概率求数量 1．逆向应用：已知某事件的概率与实验条件，利用 列方程求未知数量。 2．列方程：设未知量为 ，用含 的式子表示 与 ，由已知概率建立方程 求解。 3．易错提醒：解方程后代回检验结果是否符合实际意义（数量须为正整数）以及是否落在概率范围内。 【典例7】桌面上放有六张卡片，卡片上分别写着0，1，2中的一个数字，这些卡片除数字外无其他差别，若随机翻开写着数字“1”的卡片的概率是，写着数字“2”的卡片的概率是，则写着数字“0”的卡片有（     ）张 A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】先求出数字1和数字2的卡片张数，再用总卡片数减去二者的张数，即可得到数字0的卡片张数． 【详解】解：∵共有6张卡片，随机翻开数字“1”卡片的概率为， ∴数字“1”的卡片张数为； ∵随机翻开数字“2”卡片的概率为， ∴数字“2”的卡片张数为； ∴数字“0”的卡片张数为． 【变式7-1】（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）一个密码箱的密码，每个数位上的数都是从0到9的自然数．若要使不知道密码的人一次就拨对密码的概率小于，则密码的位数至少需要设（   ） A．五位 B．四位 C．三位 D．二位 【答案】B 【分析】本题考查了概率．概率计算基于总可能结果数，每位有10种选择，位密码总可能数为 一次拨对密码的概率为，需满足，即 【详解】解：∵每个数位上的数都是从0到9的自然数．要使不知道密码的人一次就拨对密码的概率小于， 则，， ∴密码位数至少需要4位， 故选：B 【变式7-2】（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）书架上有a本经济类书，7本数学书，5本体育类书．现某人随意从架子上抽取一本书，若取到数学书的机会为，则a的值为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】本题考查已知概率求数量．根据概率公式列方程求解即可求出a的值． 【详解】解：∵有a本经济类书，7本数学书，5本体育类书，取到数学书的机会为， ∴，解得：， 经检验，是该方程的解， 故选：D． 【变式7-3】（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）从长度为3，5，7，m（其中m为整数）的四条线段中任取三条，使它们首尾顺次相接能组成三角形的概率为，则m的值应为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】本题考查了概率公式和三角形三边关系，根据三角形三边关系正确列出不等式是解题的关键． 根据题意可得满足条件任取三条能组成三角形的情况只有种，再根据三角形三边关系进行逐一判断即可． 【详解】解：∵四条线段任取三条所有的情况为4种， ∴当能组成三角形的概率为时， ∴满足条件任取三条能组成三角形的情况为种， ∴有①；②；③；④， ∵， ∴能组成三角形，①能组成三角形； A、当时，对于②有， ∴②能组成三角形， 对于③，， ∴③不能组成三角形， 对于④，， ∴④能组成三角形， ∵满足条件任取三条能组成三角形的情况只有种， ∴A选项符合题意； B、当时，对于②有， ∴②能组成三角形， 对于③，， ∴③能组成三角形， 对于④，， ∴④能组成三角形， ∴B选项不符合题意； C、当时，对于②有， ∴②能组成三角形， 对于③，， ∴③能组成三角形， 对于④，， ∴④能组成三角形， ∴C选项不符合题意； D、当时，对于②有， ∴②能组成三角形， 对于③，， ∴③能组成三角形， 对于④，， ∴④能组成三角形， ∴D选项不符合题意． 故选A． 【变式7-4】（24-25七年级下·陕西·期中）乒乓球馆有20盒白色乒乓球，但在整理过程中，发现其中混入了若干黄色乒乓球．经过统计后，发现每盒白色乒乓球中最多混入了2个黄色乒乓球，具体数据见下表： 黄色乒乓球数 0 1 2 盒数 8 m n (1)事件“从20盒白色乒乓球中任意抽取1盒，盒中没有黄色乒乓球”是__________事件（填“必然”“不可能”或“随机”）； (2)从20盒白色乒乓球中任意抽取1盒，求所抽取的盒中有黄色乒乓球的概率； (3)从20盒白色乒乓球中任意抽取1盒，若所抽取的盒中有1个黄色乒乓球的概率为，求m和n的值． 【答案】(1)随机 (2) (3)， 【分析】本题主要考查了随机事件的定义、概率公式的应用，熟练掌握随机事件的概念和概率公式（，其中是总情况数，是事件发生的情况数 ）是解题的关键． （1）根据必然事件、不可能事件、随机事件的定义，判断“从20盒中任意取1盒，盒中没有黄色乒乓球”这一事件的类型，看其是否确定会发生或不发生． （2）先求出有黄色乒乓球的盒数，再根据概率公式“概率 所求情况数总情况数”计算抽取到有黄色乒乓球的概率． （3）利用“盒中有1个黄色乒乓球的概率为”，结合概率公式列出关于的方程，求出后，再根据总盒数为20，算出的值 ． 【详解】（1）解：因为20盒白色乒乓球中，有的盒有黄色乒乓球，有的盒没有，所以“从20盒白色乒乓球中任意抽取1盒，盒中没有黄色乒乓球”这件事可能发生，也可能不发生，根据随机事件的定义，该事件是随机事件． 故答案为：随机． （2）解：“盒中有黄色乒乓球”的盒数为（盒）， 所以所抽取的盒中有黄色乒乓球的概率为． （3）解：因为“盒中有1个黄色乒乓球”的概率为，所以， 即，所以． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $