1.1.3 集合之间的关系（分层作业练题型）高一数学沪教版必修第一册

**基本信息** 本同步练习以“集合之间的关系”为核心，通过A、B、C组及高考拓展的分层设计，实现从概念辨析到综合应用再到创新思维的递进，培养数学抽象与逻辑推理素养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组巩固过关|集合包含关系、子集（真子集）、空集性质等基础概念|以选择、填空为主，如判断集合关系、求非空真子集个数，强化基础认知| |B组能力进阶|集合相等求参数、包含关系求参数等综合应用|增加解答题，如根据集合关系求参数范围，提升逻辑推理能力| |C组思维拔高|三元子集、新定义运算等创新问题|结合抽象情境，如“好集”定义、子集元素之和，发展创新意识| |拓展链接高考|高考真题再现|选取近年高考题，如集合包含关系求参数，衔接升学要求|

分层作业 1.1.3 集合之间的关系 目 录 A组 巩固过关 题型01 判断两个集合的包含关系 题型02 求集合中子案（真子集） 题型03 空集的性质及应用 题型04 根据两个集合相等求参数 题型05 根据集合的包含关系求参数 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接高考 ( 题型0 1 )判断两个集合的包含关系 1．下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 2．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．已知集合，则（    ） A． B． C． D．⫋ 4．已知集合，试判断之间满足的关系是（    ） A． B． C． D． ( 题型0 2 )求集合中子案（真子集） 5．已知集合，则A的非空真子集共有（   ） A．5个 B．8个 C．7个 D．6个 6．已知集合，且集合的所有非空真子集的元素之和为6，则______． 7．若，则集合B的子集的个数为___________； 8．已知集合. (1)求集合； (2)写出集合的所有子集. ( 题型0 3 )空集的性质及应用 9．有下列关系式：①；②；③；④；⑤；⑥其中不正确的是（   ） A．①③ B．③④⑤ C．①②⑤⑥ D．③④ 10．下列四个关系式中正确的个数是（    ） （1）；（2）；（3）；（4）． A．1 B．2 C．3 D．4 11．已知集合，则实数k的取值范围是__________. 12．已知空集，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． ( 题型0 4 )根据两个集合相等求参数 13．已知集合，若，则__________. 14．设a，，集合，，若，则__________. 15．若集合，则实数a的取值范围为________________． 16．设，集合，，若，则的值为______. ( 题型0 5 )根据集合的包含关系求参数 17．集合，，若，则实数m的取值范围（ ） A． B． C． D． 18．设集合，若，则中各元素之和为（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 19．已知集合，若，则实数的取值集合为（   ） A． B． C． D． 20．已知， ，若，，求实数a组成的集合C的真子集． 一、单选题 1．已知集合，，若，则实数的值为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 2．当集合是的子集且的元素个数有限，称的所有元素之和为的“厚度”.集合 的全部非空子集的厚度之和为（    ） A．3200 B．1600 C．1550 D．800 3．已知集合，，，则M、N、P的关系满足（    ） A． B． C． D． 4．已知集合，，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．已知集合，若为的真子集，则的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 二、多选题 6．已知集合，，若，则实数的所有可能取值为（） A．2 B． C． D．0 7．已知集合，非空集合，下列条件能够使得的是（    ） A． B． C． D．且 三、填空题 8．方程的解集有且仅有两个子集，则实数的值为__________. 9．定义集合的运算：已知集合，则．若集合，，则集合的真子集个数的取值集合是______． 10．已知集合恰有两个子集，则实数取值集合为__________. 四、解答题 11．已知集合，，且.若，求实数的值. 12．已知关于的方程的两根均在集合内． (1)求实数的取值集合； (2)设，满足时，求实数的取值范围． 1．三元子集指包含恰好三个元素的子集．设集合，若A的所有三元子集的三个元素之和组成的集合为，则集合（   ） A． B． C． D． 2．设，A是M的子集，且满足条件：当时，，则A中元素个数的最大值为（   ） A．1862 B．1866 C．1868 D．1870 3．设集合，S的所有非空子集的元素之和为128，则______． 4．已知集合,集合,其中要么,要么,则符合条件的集合有__________个. 5．设，若，则称集合为集合的元“好集”. (1)写出实数集上的一个二元“好集”； (2)是否存在正整数集的二元“好集”？说明理由. 1．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）设集合，，若，则（    ）． A．2 B．1 C． D． 2．（2026·上海·高考真题）已知集合，，若，则____________. 3．（2023·上海·高考真题）已知集合，且，则_____________． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 1.1.3 集合之间的关系 参考答案 ( 题型0 1 )判断两个集合的包含关系 1．【答案】B 【详解】对于A，是集合，空集不是集合的元素，错误； 对于B，，正确； 对于C，与没有包含关系，错误； 对于D，为无理数，所以，错误. 2．【答案】C 【详解】因为，所以，可知 对于A，是集合不是集合的元素，故错误，A错误； 对于B，，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，因为，不满足，D错误； 故选：C. 3．【答案】C 【详解】， ， 则，故. 故选：C. 4．【答案】A 【详解】， ， ， 当时，比较，与， 可知与表示的数完全相同，∴， 只相当于中当为偶数时的情形，∴. 综上可知. 故选：A ( 题型0 2 )求集合中子案（真子集） 5．【答案】D 【详解】， 则A的非空真子集共有个. 故选：D. 6．【答案】 【详解】集合的所有非空真子集为，所以元素之和为， 故. 故答案为： 7．【答案】 【详解】因为， 所以， 则集合B的子集为，所以子集的个数为； 故答案为：. 8．【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】 【详解】（1）当都为正数时，； 当都为负数时，； 当中有一个是正数，另外两个是负数时，； 当中有一个是负数，另外两个是正数时，. 综上所述，. （2）集合的所有子集为： . ( 题型0 3 )空集的性质及应用 9．【答案】D 【详解】由集合的性质及关系知，、，①②对； 由空集的性质知，、、，③④错，⑤对； 由元素与集合关系知，，⑥对. 故选：D 10．【答案】B 【详解】解：对于（1），由于空集是任何非空集合的真子集，故（1）正确； 对于（2），表示有一个元素0的单元素集合，所以（2）错误； 对于（3），，所以错误； 对于（4），由于空集是任何集合的子集，故正确． 所以正确的有：（1），（4）共2个． 故选：B． 11．【答案】 【详解】∵，∴， 解得，因此实数k的取值范围是. 故答案为：. 12．【答案】D 【详解】由题意，二次方程无解，故，解得. 故选：D ( 题型0 4 )根据两个集合相等求参数 13．【答案】0 【详解】由，得，解得或. 当时，，与集合中元素的互异性矛盾，经检验可知符合题意. 故答案为：0. 14．【答案】 【详解】因为集合，所以0是集合的一个元素， 因为，所以， 此时，所以，解得. 所以. 故答案为： 15．【答案】 【详解】令，则， 化简得，即， 而集合， 可得，解得. 故答案为： 16．【答案】 【详解】因为集合，，， 所以，根据集合元素的互异性可知， 所以或. 当时，解得，由于，故，此时，，所以，即； 当时，，，则有，即，解得，与矛盾. 所以，， 所以. 故答案为： ( 题型0 5 )根据集合的包含关系求参数 17．【答案】D 【详解】已知，集合，，可得. 所以的取值范围是. 18．【答案】B 【详解】由可知，于是只能， 故中各元素之和为． 19．【答案】C 【详解】由，得或， 得或， 经检验，不合题意，故实数的取值集合为， 故选：C 20．【答案】，， 【详解】因为，所以，解得或， 当时，则，，此时满足， 当时，则，，此时满足， 从而实数a组成的集合为，C的真子集为，，． 一、单选题 1．【答案】C 【详解】由，得或， 若，则，，满足， 若，则或， 时，，，满足， 时，，不满足集合元素的互异性， 综上，或． 2．【答案】B 【详解】根据题意,任意一个元素在非空子集中的出现次数为:. 集合的元素之和为. 所以集合的全部非空子集的厚度之和为:. 3．【答案】A 【详解】依题意，， ， 所以对任意，存在使， 令，则且，所以. 同理，对任意，存在使， 令，则且，所以，综上，. ，则， 所以的关系满足. 故选：A 4．【答案】B 【详解】集合，， 因为，所以，解得. 故选：B. 5．【答案】D 【详解】当时，满足为的真子集，此时，解得. 当时，则第二个与第三个不等式等号不能同时取到， 或第二个与第三个不等式等号不能同时取到， 解得. 综上，或，即m的取值范围是. 故选：D. 二、多选题 6．【答案】BCD 【详解】当时，不成立，，满足． 当时，， 当时，；当时，； 综上得，的所有可能取值为． 故选：． 7．【答案】ACD 【详解】对于选项A，方程，因式分解得， 解得，所以，满足，所以选项A正确； 对于选项B，方程，因式分解得， 解得或，所以，不满足，所以选项B错误； 对于选项C，方程，因式分解得， 解得，所以，满足，所以选项C正确； 对于选项D，因为，所以是方程的解， 所以方程变形为， 因为，所以方程无解， 所以方程有唯一解， 所以，满足，所以选项D正确； 故选：ACD. 三、填空题 8．【答案】 【详解】因为方程的解集有且仅有两个子集， 所以方程有两个相等实数解， 所以，即，解得，即. 故答案为： 9．【答案】 【详解】由集合中元素的互异性可得且． 当时，，所以， 此时集合的真子集个数为． 因为集合A中有个元素，则集合A有个子集，有个真子集， 当且时，，此时集合的真子集个数为． 故答案为： 10．【答案】 【详解】由题意可知：方程有且仅有一解， 等价于有一个不等于3的实数解， 1.当时，解为，满足题意； 2.当时，只有一解时， 则，解得， 若，则，解得，符合题意； 3.当时，且有两解但3是方程的解， 故，解得； 综上所述，实数取值集合为. 故答案为：. 四、解答题 11．【答案】 【详解】因为 所以 解得或， 所以， 因为且， 所以或或， 当时，，方程无解； 当时，； 当时，，方程无解； 综上所述：. 12．【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）由， 或 . （2）集合， 由题，： 当时，，解得：；满足题意， 当时，或， 解得：. 综上所述：. 1．【答案】B 【详解】不妨设， 则A的所有三元子集为，，，， 由题意可得，解得． 因此集合． 故选：B． 2．【答案】D 【详解】由题意知，， 由，知当集合中的元素最多时， ，共个； 又，所以当集合中的元素最多时， ，共8个， 综上，集合中的元素最多为个. 故选：D 3．【答案】8 【详解】依题意集合的所有非空子集中含有元素的子集有： ； 共16个； 同理集合的所有非空子集中含有元素的子集都各有16个； 依题意可知，， 所以. 故答案为：8 4．【答案】211 【详解】由集合的互异性可知，,因此集合真包含于集合或集合真包含于集合. 由集合的无序性可知，只需求解真包含于的情况即可. 因此，真包含于,包含于. 根据集合的元素个数进行分类讨论，其中代表符合条件的集合的数量. ①若为空集，此时是集合的非空子集，则; ②若包含集合中的任意一个元素，将该元素记为,此时集合的可能情况数可认为是集合去掉元素后的新集合的非空子集数，因此; 以下情形的计数原理与情形②相同，不再赘述. ③若包含集合中的任意两个元素，则; ④若包含集合中的任意三个元素，则. ⑤若包含集合中的任意四个元素，此时因此. 综上，. 故答案为：211. 5．【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 【分析】 【详解】（1）因为， 所以是实数集的一个二元“好集”. （2）假设是正整数集上的一个二元“好集”，则，不妨设， 则有，故，得， 因为，所以，而，显然不成立，矛盾， 所以假设不成立，故正整数集上不存在二元“好集”. 1．【答案】B 【详解】因为，则有： 若，解得，此时，，不符合题意； 若，解得，此时，，符合题意； 综上所述：. 故选：B. 2．【答案】 【详解】，，， 集合中所有的元素都在集合中， 集合中的元素在集合中， . 故答案为：. 3．【答案】2 【详解】因为且， 所以集合中元素相同， 所以， 故答案为：2 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 1.1.3 集合之间的关系 目 录 A组 巩固过关 题型01 判断两个集合的包含关系 题型02 求集合中子案（真子集） 题型03 空集的性质及应用 题型04 根据两个集合相等求参数 题型05 根据集合的包含关系求参数 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接高考 ( 题型0 1 )判断两个集合的包含关系 1．下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A，是集合，空集不是集合的元素，错误； 对于B，，正确； 对于C，与没有包含关系，错误； 对于D，为无理数，所以，错误. 2．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以，可知 对于A，是集合不是集合的元素，故错误，A错误； 对于B，，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，因为，不满足，D错误； 故选：C. 3．已知集合，则（    ） A． B． C． D．⫋ 【答案】C 【详解】， ， 则，故. 故选：C. 4．已知集合，试判断之间满足的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】， ， ， 当时，比较，与， 可知与表示的数完全相同，∴， 只相当于中当为偶数时的情形，∴. 综上可知. 故选：A ( 题型0 2 )求集合中子案（真子集） 5．已知集合，则A的非空真子集共有（   ） A．5个 B．8个 C．7个 D．6个 【答案】D 【详解】， 则A的非空真子集共有个. 故选：D. 6．已知集合，且集合的所有非空真子集的元素之和为6，则______． 【答案】 【详解】集合的所有非空真子集为，所以元素之和为， 故. 故答案为： 7．若，则集合B的子集的个数为___________； 【答案】 【详解】因为， 所以， 则集合B的子集为，所以子集的个数为； 故答案为：. 8．已知集合. (1)求集合； (2)写出集合的所有子集. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】 【详解】（1）当都为正数时，； 当都为负数时，； 当中有一个是正数，另外两个是负数时，； 当中有一个是负数，另外两个是正数时，. 综上所述，. （2）集合的所有子集为： . ( 题型0 3 )空集的性质及应用 9．有下列关系式：①；②；③；④；⑤；⑥其中不正确的是（   ） A．①③ B．③④⑤ C．①②⑤⑥ D．③④ 【答案】D 【详解】由集合的性质及关系知，、，①②对； 由空集的性质知，、、，③④错，⑤对； 由元素与集合关系知，，⑥对. 故选：D 10．下列四个关系式中正确的个数是（    ） （1）；（2）；（3）；（4）． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】解：对于（1），由于空集是任何非空集合的真子集，故（1）正确； 对于（2），表示有一个元素0的单元素集合，所以（2）错误； 对于（3），，所以错误； 对于（4），由于空集是任何集合的子集，故正确． 所以正确的有：（1），（4）共2个． 故选：B． 11．已知集合，则实数k的取值范围是__________. 【答案】 【详解】∵，∴， 解得，因此实数k的取值范围是. 故答案为：. 12．已知空集，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意，二次方程无解，故，解得. 故选：D ( 题型0 4 )根据两个集合相等求参数 13．已知集合，若，则__________. 【答案】0 【详解】由，得，解得或. 当时，，与集合中元素的互异性矛盾，经检验可知符合题意. 故答案为：0. 14．设a，，集合，，若，则__________. 【答案】 【详解】因为集合，所以0是集合的一个元素， 因为，所以， 此时，所以，解得. 所以. 故答案为： 15．若集合，则实数a的取值范围为________________． 【答案】 【详解】令，则， 化简得，即， 而集合， 可得，解得. 故答案为： 16．设，集合，，若，则的值为______. 【答案】 【详解】因为集合，，， 所以，根据集合元素的互异性可知， 所以或. 当时，解得，由于，故，此时，，所以，即； 当时，，，则有，即，解得，与矛盾. 所以，， 所以. 故答案为： ( 题型0 5 )根据集合的包含关系求参数 17．集合，，若，则实数m的取值范围（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】已知，集合，，可得. 所以的取值范围是. 18．设集合，若，则中各元素之和为（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】B 【详解】由可知，于是只能， 故中各元素之和为． 19．已知集合，若，则实数的取值集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，得或， 得或， 经检验，不合题意，故实数的取值集合为， 故选：C 20．已知， ，若，，求实数a组成的集合C的真子集． 【答案】，， 【详解】因为，所以，解得或， 当时，则，，此时满足， 当时，则，，此时满足， 从而实数a组成的集合为，C的真子集为，，． 一、单选题 1．已知集合，，若，则实数的值为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【详解】由，得或， 若，则，，满足， 若，则或， 时，，，满足， 时，，不满足集合元素的互异性， 综上，或． 2．当集合是的子集且的元素个数有限，称的所有元素之和为的“厚度”.集合 的全部非空子集的厚度之和为（    ） A．3200 B．1600 C．1550 D．800 【答案】B 【详解】根据题意,任意一个元素在非空子集中的出现次数为:. 集合的元素之和为. 所以集合的全部非空子集的厚度之和为:. 3．已知集合，，，则M、N、P的关系满足（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】依题意，， ， 所以对任意，存在使， 令，则且，所以. 同理，对任意，存在使， 令，则且，所以，综上，. ，则， 所以的关系满足. 故选：A 4．已知集合，，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】集合，， 因为，所以，解得. 故选：B. 5．已知集合，若为的真子集，则的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【详解】当时，满足为的真子集，此时，解得. 当时，则第二个与第三个不等式等号不能同时取到， 或第二个与第三个不等式等号不能同时取到， 解得. 综上，或，即m的取值范围是. 故选：D. 二、多选题 6．已知集合，，若，则实数的所有可能取值为（） A．2 B． C． D．0 【答案】BCD 【详解】当时，不成立，，满足． 当时，， 当时，；当时，； 综上得，的所有可能取值为． 故选：． 7．已知集合，非空集合，下列条件能够使得的是（    ） A． B． C． D．且 【答案】ACD 【详解】对于选项A，方程，因式分解得， 解得，所以，满足，所以选项A正确； 对于选项B，方程，因式分解得， 解得或，所以，不满足，所以选项B错误； 对于选项C，方程，因式分解得， 解得，所以，满足，所以选项C正确； 对于选项D，因为，所以是方程的解， 所以方程变形为， 因为，所以方程无解， 所以方程有唯一解， 所以，满足，所以选项D正确； 故选：ACD. 三、填空题 8．方程的解集有且仅有两个子集，则实数的值为__________. 【答案】 【详解】因为方程的解集有且仅有两个子集， 所以方程有两个相等实数解， 所以，即，解得，即. 故答案为： 9．定义集合的运算：已知集合，则．若集合，，则集合的真子集个数的取值集合是______． 【答案】 【详解】由集合中元素的互异性可得且． 当时，，所以， 此时集合的真子集个数为． 因为集合A中有个元素，则集合A有个子集，有个真子集， 当且时，，此时集合的真子集个数为． 故答案为： 10．已知集合恰有两个子集，则实数取值集合为__________. 【答案】 【详解】由题意可知：方程有且仅有一解， 等价于有一个不等于3的实数解， 1.当时，解为，满足题意； 2.当时，只有一解时， 则，解得， 若，则，解得，符合题意； 3.当时，且有两解但3是方程的解， 故，解得； 综上所述，实数取值集合为. 故答案为：. 四、解答题 11．已知集合，，且.若，求实数的值. 【答案】 【详解】因为 所以 解得或， 所以， 因为且， 所以或或， 当时，，方程无解； 当时，； 当时，，方程无解； 综上所述：. 12．已知关于的方程的两根均在集合内． (1)求实数的取值集合； (2)设，满足时，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）由， 或 . （2）集合， 由题，： 当时，，解得：；满足题意， 当时，或， 解得：. 综上所述：. 1．三元子集指包含恰好三个元素的子集．设集合，若A的所有三元子集的三个元素之和组成的集合为，则集合（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】不妨设， 则A的所有三元子集为，，，， 由题意可得，解得． 因此集合． 故选：B． 2．设，A是M的子集，且满足条件：当时，，则A中元素个数的最大值为（   ） A．1862 B．1866 C．1868 D．1870 【答案】D 【详解】由题意知，， 由，知当集合中的元素最多时， ，共个； 又，所以当集合中的元素最多时， ，共8个， 综上，集合中的元素最多为个. 故选：D 3．设集合，S的所有非空子集的元素之和为128，则______． 【答案】8 【详解】依题意集合的所有非空子集中含有元素的子集有： ； 共16个； 同理集合的所有非空子集中含有元素的子集都各有16个； 依题意可知，， 所以. 故答案为：8 4．已知集合,集合,其中要么,要么,则符合条件的集合有__________个. 【答案】211 【详解】由集合的互异性可知，,因此集合真包含于集合或集合真包含于集合. 由集合的无序性可知，只需求解真包含于的情况即可. 因此，真包含于,包含于. 根据集合的元素个数进行分类讨论，其中代表符合条件的集合的数量. ①若为空集，此时是集合的非空子集，则; ②若包含集合中的任意一个元素，将该元素记为,此时集合的可能情况数可认为是集合去掉元素后的新集合的非空子集数，因此; 以下情形的计数原理与情形②相同，不再赘述. ③若包含集合中的任意两个元素，则; ④若包含集合中的任意三个元素，则. ⑤若包含集合中的任意四个元素，此时因此. 综上，. 故答案为：211. 5．设，若，则称集合为集合的元“好集”. (1)写出实数集上的一个二元“好集”； (2)是否存在正整数集的二元“好集”？说明理由. 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 【分析】 【详解】（1）因为， 所以是实数集的一个二元“好集”. （2）假设是正整数集上的一个二元“好集”，则，不妨设， 则有，故，得， 因为，所以，而，显然不成立，矛盾， 所以假设不成立，故正整数集上不存在二元“好集”. 1．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）设集合，，若，则（    ）． A．2 B．1 C． D． 【答案】B 【详解】因为，则有： 若，解得，此时，，不符合题意； 若，解得，此时，，符合题意； 综上所述：. 故选：B. 2．（2026·上海·高考真题）已知集合，，若，则____________. 【答案】 【详解】，，， 集合中所有的元素都在集合中， 集合中的元素在集合中， . 故答案为：. 3．（2023·上海·高考真题）已知集合，且，则_____________． 【答案】2 【详解】因为且， 所以集合中元素相同， 所以， 故答案为：2 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $