1.1.3 集合之间的关系（题型专练）数学沪教版2020必修第一册

1.1.3集合之间的关系 题型一 集合关系的判断 1．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意知，， 所以. 故选：B. 2．下列各式中，正确的个数是（    ）． ①；②；③；④；⑤；⑥． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】①，集合与集合的关系不能用“”，所以①错误. ②，的元素完全相同，所以，所以②正确. ③，空集是任何集合的子集，所以正确. ④，空集是没有元素，有一个元素，所以④错误. ⑤，中有个元素，有一个元素，所以⑤错误. ⑥，元素与集合的关系是属于或不属于，所以⑥错误. 所以正确的有个. 故选：B 3．下列结论正确的是（　　） A．任何一个集合至少有两个子集 B．空集是任何集合的真子集 C．若且，则 D．若且，则 【答案】C 【详解】解：A．空集只有一个子集，是它本身，故错误，不符合题意； B．空集是任何非空集合的真子集，故错误，不符合题意； C．若且，则，正确，符合题意； D．若且，则不一定相等，故错误，不符合题意； 故选：C． 4．下列Venn图能正确表示集合和关系的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【详解】，又， 所以，选项B符合， 故选：B. 5．已知集合，，则下列命题是真命题的数量有（  ） ① ②③ A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【详解】对①，判断是否成立，令，当时，，因为，所以，此命题为假命题. 对②，判断是否成立，因为. 假设，，则，. 要使，则与要么同为奇数，要么同为偶数. ，将分解因数后发现无法写成的形式（其中），所以，此命题为假命题. 对③，判断是否成立，对于集合中的任意元素，. 令，，则. 所以对于任意的，都有，但是，但.此命题为真命题. 故真命题的数量为1个. 故选：B. 6．已知集合，，则A，B之间最适合的关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由集合可得: 集合中的元素包含：,即得中的元素是2的整数倍； 由集合,可得集合中的元素包含：, 显然比较可得B是A的子集，即. 故选：C. 7．已知集合，，，则、、的关系满足（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】,故, 由于，故， 由于为任意整数，故 ，因此, ,故， 故， 所以， 故选：B． 8．若方程的解集为M，则以下结论一定正确的是（    ） （1）      （2） （3）      （4） A．（1）（4） B．（2）（4） C．（3）（4） D．（1）（3）（4） 【答案】C 【详解】设,, ,,故(1),(2)错误; 根据集合的基本关系可以知道,,(3),(4)正确. 故选 :C. 9．设高一（5）班全体学生的集合为（中有名男生，名女生），高一（5）班全体女生的集合为，则 . 【答案】真包含 【详解】由题意，根据真子集的定义，得到真包含. 故答案为：真包含. 10．用符号“”、“＝”或“”填空： （1） ； （2） ； （3） ． 【答案】 【详解】（1）； （2）矩形属于平行四边形，则； （3）表示奇数，也表示奇数． 则． 故答案为：；；. 11．用符号“”“”或“”连接集合A与B： (1)； (2)是8的正约数． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为， 所以. （2）因为是8的正约数， 所以. 12．设 (1)证明： (2)证明 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【详解】（1）令，则， 即B为被3整除余2的整数构成的集合， 而，即C中元素都可以表示为的形式，其中， 所以C中任意元素都属于集合B, 又B中存在不属于C的元素，例如, 所以. （2）由（1）知， 又， 所以. 题型二 写出子集、真子集 1．写出下列各集合的一个子集 (1)三角形； (2)； (3)． 【答案】(1)直角三角形（答案不唯一） (2)或 (3)（答案不唯一） 【详解】（1）集合三角形的一个子集为直角三角形（答案不唯一）； （2）集合的子集为或； （3）集合的一个子集为（答案不唯一）. 2．已知求． 【答案】或 【详解】，则，则或． 题型一 子集、真子集个数 1．设集合，则A的非空子集的个数为 . 【答案】15 【详解】集合，则A的子集的个数为， 所以A的非空子集的个数为. 故答案为：15. 2．已知集合，且满足：“若，则”，则满足条件的集合的个数为 ． 【答案】4 【详解】由集合，可得的可能情况有： ，，，，，，，， 其中，满足“若，则”的集合有：，，，， 故满足条件的集合的个数为4． 故答案为：4． 3．满足的集合M的个数为 个. 【答案】3 【详解】由题意可知：可以是： ，，共3个， 故答案为：3. 4．已知集合，集合，若集合M满足，则这样的集合M共有 个. 【答案】3 【详解】因为集合，所以集合M中包含2，3，5，8且至少包含13，21中的一个元素， 所以或或， 所以满足条件的M个数为3. 故答案为：3. 5．若集合，且中至少含有两个奇数，则满足条件的集合的个数是 . 【答案】175 【详解】考虑反面的两种情况， 若中不含有奇数，则集合的个数等价于集合的子集的个数，即个， 若中只含有1个奇数，集合中共有4个奇数，故有4种可能， 集合的个数等价于集合的子集的个数的4倍，即， 的真子集个数共有， 所以中至少含有两个奇数时，满足条件的集合个数为. 故答案为：175 6．已知点的集合，，若有且仅有个子集，则的值是 【答案】 【详解】因为，又有且仅有个子集， 所以有两个元素，则， 若时，，此时满足题意， 若，则，此时违反互异性， 所以， 故答案为： 7．定义集合运算:且．若集合，则集合的子集个数为 ． 【答案】 【详解】由题设中新集合的定义可得： ，，故， 故其子集个数为， 故答案为：. 题型二 由集合的关系求参数 1．已知集合，，且，则实数的值为 . 【答案】 【详解】由题意可知， 解得：， 故答案为： 2．已知集合，，且，则实数 【答案】 【详解】由，若，此时，故集合不满足元素的互异性； 若，由上知不满足要求， 当时，，满足题设. 所以. 故答案为： 3．若集合，且则的所有可能的值组成的集合为 . 【答案】 【详解】， ①若； ②； ③. 故答案为：. 4．.设，，若，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【详解】由在上是增函数，得， 即． 作出的图像，该函数定义域右端点有三种不同情况，如图所示： ①当时，，即， 要使，必须且只需，得，与矛盾． ②当时，，即， 要使，由图可知：必须且只需解得． ③当时，，即， 要使，必须且只需解得． ④当时，，此时，则成立． 综上所述，的取值范围是． 故答案为： 5．已知，. (1)若，求； (2)若且，求的值. 【答案】(1)； (2)1或2. 【详解】（1）当时，对任意实数，恒有，因此， 所以. （2）当时，，由，得或，解得或， 所以的值1或2. 6．已知集合. (1)若只有一个元素，试求实数的值，并用列举法表示集合； (2)若至少有两个子集，试求实数的取值范围. 【答案】(1)或，或 (2) 【详解】（1）时，解得符合题意； 时令解得， 此时， 解得符合题意， 故或，或 （2）若至少有两个子集，则至少有一个元素. 由（1）知或时符合题意. 由题意可知时若也符合题意. 即解得且. 综上. 7．已知集合A＝{x|﹣2≤x≤5}． (1)若B⊆A，B＝{x|m+1≤x≤2m﹣1}，求实数m的取值范围； (2)若A⊆B，B＝{x|m﹣6≤x≤2m﹣1}，求实数m的取值范围； (3)若A＝B，B＝{x|m﹣6≤x≤2m﹣1}，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）集合A＝{x|﹣2≤x≤5}，B＝{x|m+1≤x≤2m﹣1}， 由B⊆A得或， 即或m+1＞2m﹣1， 解得2≤m≤3或m＜2， 所以实数m的取值范围是； （2）集合A＝{x|﹣2≤x≤5}，B＝{x|m﹣6≤x≤2m﹣1}， 由A⊆B得， 解得3≤m≤4， 所以实数m的取值范围是[3，4]； （3）集合A＝{x|﹣2≤x≤5}，B＝{x|m﹣6≤x≤2m﹣1}， 由A＝B得，无解， 所以实数． 8．已知，. (1)若是的子集，求实数的值； (2)若是的子集，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）因为， 若是的子集，则， 所以，解得. （2）若是的子集，则. ①若为空集，则，解得； ②若为单元素集合，则，解得. 将代入方程，得，解得，所以，符合要求； ③若为双元素集合，，则. 综上所述，或. 9．设集合，. （1）当时，求A的非空真子集的个数； （2）若，求m的取值范围； （3）若，求m的取值范围. 【答案】（1）254个；（2）；（3）或. 【详解】化简集合，集合. （1），即A中含有8个元素， 故A的非空真子集数为个. （2）由，则，得， 得. （3）①时，； ②当时，， 所以，因此，要， 则只要，所以的值不存在； ③当时，，因此，要， 则只要. 综上所述，知的取值范围是或. 10．已知集合，设是的至少含有两个元素的子集，对于的任意两个不同的元素，若都不能整除，则称集合是的“好子集”. (1)判断数集与是否是集合的“好子集”，并说明理由； (2)证明：若是的“好子集”，则对于中的任意两个不同的元素，都有； (3)求集合的“好子集”所含元素个数的最大值，并写出取到元素个数最大值时的. 【答案】(1)不是，是，理由见解析 (2)证明过程见解析. (3)334， 【详解】（1）不是，是，理由如下： 中，令，则， 由于，故不是集合的“好子集”， 中，当时，，此时都不能整除， 当时，，此时都不能整除， 当时，，此时都不能整除， 综上：是集合的“好子集”； （2）假设原命题为假命题， 即若是的“好子集”，则对于中的任意两个不同的元素，都有， 显然，且均为正整数， 当时，由于1能整除任何正整数，故能整除，不合要求， 当时，则是两个奇数，或是两个偶数，此时为偶数， 故故能整除，所以不合要求， 故假设不成立， 又由（1）知，当时，满足是的“好子集”，且， 综上：若是的“好子集”，则对于中的任意两个不同的元素，都有 （3）由（2）知，集合的“好子集”所含两个不同的元素，满足， 要想所含元素个数最大，则要尽可能小，故需使得的最小值为3， 故可取，通过验证，此时满足不能整除， 故集合的“好子集”所含元素个数的最大值为， . 1．设集合，现对的任一非空子集：令为中最大数与最小数之和，则所有这样的的平均值为 ． 【答案】9 【详解】集合M的非空子集共有个， 其中，最小值为1的子集可视为的子集与集合的并集，共有个， 同上可知，最小值为2的子集共有个，最小值为3的子集共有个，...，最小值为8的子集共有个. 最大值为8的子集可视为的子集与集合的并集，共有个， 同上可知，最大值为7的子集共有个，最大值为6的子集共有个，...，最大值为1的子集共有个. 所以，M的所有非空子集中的最小值之和为 ， 最大值之和为， 所以 故答案为：9 2．已知集合，集合是集合的三元子集，叫，中的元素a，b，c满足，则符合要求的集合有 个. 【答案】1008 【详解】因为，且，所以， 即，整理得，所以， 故或（舍去），则，， 令，得， 又，，所以符合要求的集合的个数为. 故答案为：1008. 3．已知集合，若集合有15个真子集，则实数的取值范围为 . 【答案】 【详解】若集合有15个真子集，则中有4个元素，又，可知，即，且区间中有4个整数， 当时，的区间长度为，此时中不可能有4个整数； 当时，，其中含有共4个整数，符合题意； 当时，的区间长度大于3， 若的区间长度，即， 若是整数，则区间中含有4个整数， 根据可知，则， 此时，其中含有四个整数，符合题意； 若不是整数，则区间中含有四个整数， 则必须有且，解得； 若时，，其中含有五个整数，不符合题意； 若时，的区间长度， 此时中有这四个整数，故，即， 结合，得； 综上所述，或或， 即实数的取值范围是. 故答案为： 4．设集合，若集合中所有三个元素的子集中的三个元素之和组成的集合为，则集合 . 【答案】 【详解】集合中所有三个元素的子集中，每个元素均出现3次， 所以，故， 所以不妨设，，，， 所以，，， ，所以集合. 故答案为：. 5．已知全集，非空集合. 若在平面直角坐标系中，对中的任意点，与关于轴、轴以及直线对称的点也均在中，则以下命题： ①若，则； ②若，则S中至少有8个元素； ③若，则S中元素的个数可以为奇数； ④若，则. 其中正确命题的序号为 ． 【答案】①④ 【详解】中的点在平面直角坐标系内形成的图形关于轴、轴和直线均对称. 所以当，则有，，， 进而有：，，，， ①若，则，故①正确； ②若，则，，，能确定4个元素，故②不正确； ③根据题意可知，，若，能确定4个元素， 当，也能确定个，当，也能确定8个所以， 则中元素的个数一定为偶数，故③错误； ④若，由中的点在平面直角坐标系内形成的图形关于轴、轴和直线均对称可知， 则，，，即， 即，故④正确， 综上：①④正确. 故答案为：①④. 6．已知集合，对于的一个子集，若存在不大于的正整数，使得对中的任意一对元素，都有，则称具有性质． (1)当时，试判断集合和是否具有性质？并说明理由； (2)当时，若集合具有性质， ①判断集合是否一定具有性质？并说明理由； ②求集合中元素个数的最大值． 【答案】(1)不具有性质，具有性质，理由见解析 (2)①具有性质，理由见解析 ；② 【详解】（1）当时，集合， 不具有性质， 因为对任意不大于的正整数，都可以找到该集合中的两个元素与，使得成立， 集合具有性质， 因为可取，对于该集合中任一元素， 都有； （2）当时，则， ①若集合具有性质，那么集合一定具有性质， 首先因为，任取，其中， 因为，所以， 从而，即，所以， 由具有性质，可得存在不大于的正整数， 使得对中任意一对元素，都有， 对于上述正整数，从集合中任取一对元素，其中，则有， 所以集合具有性质； ②设集合有个元素，由①得，若集合具有性质，那么集合一定具有性质， 任取一个元素，则与中必有一个不超过， 所以集合与集合中必有一个至少存在一半元素不超过， 不妨设中有个元素不超过，分别记为， 由集合具有性质，得存在正整数，使得对中任意两个元素 ，都有，所以都不是中的元素， 又，故都是中的元素， 即集合中至少有个元素不在子集中， 因此，所以，解得， 当时，取， 易得集合中的任意两个元素，都有， 即集合具有性质，此时集合中有个元素， 因此集合中元素个数的最大值为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.1.3集合之间的关系 题型一 集合关系的判断 1．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 2．下列各式中，正确的个数是（    ）． ①；②；③；④；⑤；⑥． A． B． C． D． 3．下列结论正确的是（　　） A．任何一个集合至少有两个子集 B．空集是任何集合的真子集 C．若且，则 D．若且，则 4．下列Venn图能正确表示集合和关系的是（    ） A．   B．   C．   D．   5．已知集合，，则下列命题是真命题的数量有（  ） ① ②③ A．0 B．1 C．2 D．3 6．已知集合，，则A，B之间最适合的关系为（   ） A． B． C． D． 7．已知集合，，，则、、的关系满足（   ） A． B． C． D． 8．若方程的解集为M，则以下结论一定正确的是（    ） （1）      （2） （3）      （4） A．（1）（4） B．（2）（4） C．（3）（4） D．（1）（3）（4） 9．设高一（5）班全体学生的集合为（中有名男生，名女生），高一（5）班全体女生的集合为，则 . 10．用符号“”、“＝”或“”填空： （1） ； （2） ； （3） ． 11．用符号“”“”或“”连接集合A与B： (1)； (2)是8的正约数． 12．设 (1)证明： (2)证明 题型二 写出子集、真子集 1．写出下列各集合的一个子集 (1)三角形； (2)； (3)． 2．已知求． 题型一 子集、真子集个数 1．设集合，则A的非空子集的个数为 . 2．已知集合，且满足：“若，则”，则满足条件的集合的个数为 ． 3．满足的集合M的个数为 个. 4．已知集合，集合，若集合M满足，则这样的集合M共有 个. 5．若集合，且中至少含有两个奇数，则满足条件的集合的个数是 . 6．已知点的集合，，若有且仅有个子集，则的值是 7．定义集合运算:且．若集合，则集合的子集个数为 ． 题型二 由集合的关系求参数 1．已知集合，，且，则实数的值为 . 2．已知集合，，且，则实数 3．若集合，且则的所有可能的值组成的集合为 . 4．.设，，若，则实数的取值范围为 ． 5．已知，. (1)若，求； (2)若且，求的值. 6．已知集合. (1)若只有一个元素，试求实数的值，并用列举法表示集合； (2)若至少有两个子集，试求实数的取值范围. 7．已知集合A＝{x|﹣2≤x≤5}． (1)若B⊆A，B＝{x|m+1≤x≤2m﹣1}，求实数m的取值范围； (2)若A⊆B，B＝{x|m﹣6≤x≤2m﹣1}，求实数m的取值范围； (3)若A＝B，B＝{x|m﹣6≤x≤2m﹣1}，求实数m的取值范围． 8．已知，. (1)若是的子集，求实数的值； (2)若是的子集，求实数的取值范围. 9．设集合，. （1）当时，求A的非空真子集的个数； （2）若，求m的取值范围； （3）若，求m的取值范围. 10．已知集合，设是的至少含有两个元素的子集，对于的任意两个不同的元素，若都不能整除，则称集合是的“好子集”. (1)判断数集与是否是集合的“好子集”，并说明理由； (2)证明：若是的“好子集”，则对于中的任意两个不同的元素，都有； (3)求集合的“好子集”所含元素个数的最大值，并写出取到元素个数最大值时的. 1．设集合，现对的任一非空子集：令为中最大数与最小数之和，则所有这样的的平均值为 ． 2．已知集合，集合是集合的三元子集，叫，中的元素a，b，c满足，则符合要求的集合有 个. 3．已知集合，若集合有15个真子集，则实数的取值范围为 . 4．设集合，若集合中所有三个元素的子集中的三个元素之和组成的集合为，则集合 . 5．已知全集，非空集合. 若在平面直角坐标系中，对中的任意点，与关于轴、轴以及直线对称的点也均在中，则以下命题： ①若，则； ②若，则S中至少有8个元素； ③若，则S中元素的个数可以为奇数； ④若，则. 其中正确命题的序号为 ． 6．已知集合，对于的一个子集，若存在不大于的正整数，使得对中的任意一对元素，都有，则称具有性质． (1)当时，试判断集合和是否具有性质？并说明理由； (2)当时，若集合具有性质， ①判断集合是否一定具有性质？并说明理由； ②求集合中元素个数的最大值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$