新生预习手册24 《第6章平面图形的初步认识第4节平行线（二）》预习讲义 2026年暑假苏科版七年级数学上册

数学臻选·2026年暑假苏科版七年级数学上新生预习手册24 《第6章平面图形的初步认识第4节平行线（二）》预习讲义 一．预习目标 ( 1.认识三线八角中的同位角、内错角、同旁内角，准确识别三类角的图形特征；掌握3种平行线判定方法，能规范书写几何推理语言。 2.通过木条转动、尺规作图等动手探究，理解 “ 由角的数量关系推直线平行 ” 的逻辑；能结合图形选择合适判定方法证明两直线平行，初步形成几何说理能力。 3.区分平行线判定与定义的不同用法，体会数形结合思想，养成规范标注图形、书写推理步骤的预习习惯。 ) 二．重点难点 ( （一） 重点 1.同位角、内错角、同旁内角的识别（F型、Z型、U型特征）； 2.三大平行线判定定理：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行； 3.简单几何推理的规范书写格式。 （二） 难点 1.在复杂图形中找准截线、被截直线，正确定位三类角； 2.区分判定逻辑：角的关系 → 直线平行，不与平行线性质混淆； 3.综合图形中灵活选用判定方法完成证明说理。 ) 三．自主探究 （一）认识三线八角 1.同位角（F字形） 如图，两条直线a，b被第三条直线c所截，形成八个角具有∠1和∠2这种位置关系的一对角叫作同位角(correspondingangles). 图中∠1和∠2，∠3和∠4，∠5和∠6，∠7和∠8分别是同位角。同位角是“F”形状 。 【讨论】：如图，∠1和∠2，∠1和∠3，∠1和∠4 分别是同位角吗? 【解析】要判断是不是同位角，需要先明确同位角的定义：两条直线被第三条直线所截，在截线的同旁，且在被截两直线的同一侧的角，叫做同位角。∠1和∠2：它们在直线b的同侧，且都在直线a、c的上方，符合同位角的位置特征，所以是同位角。∠1和∠3：它们的边所在的直线不是“两条被截直线+一条截线”的结构，位置也不满足“截线同旁、被截线同侧”，所以不是同位角。∠1和∠4：它们在截线的两侧，不满足“截线同旁”的要求，所以不是同位角。 2.内错角（Z字形） 如图，两条直线 a,b 被第三条直线c所截形成八个角，除了同位角，还有哪些角可以用于判断a//b? 观察∠4与∠5的位置，两条直线被第三条直线所截，在两条直线的之间，在第三条直线的两侧的两个角叫做内错角。内错角是“Z ”形状。 3.同旁内角（U字形） 如图，两条直线 a,b 被第三条直线c所截形成八个角，除了同位角，还有哪些角可以用于判断a//b? 观察∠2与∠5的位置 两条直线被第三条直线所截，在两条直线线之间，在第三条直线同侧的两个角叫做同旁内角。同旁内角是“U”形状。 【归纳】 1、基本概念 （1）截线：同时与两条直线相交的直线 （2）被截线：被截线所截的两条直线 2.三类角的识别关键：先找截线，再看角在截线的哪一侧、被截线的哪一方 类型 位置特征 图形特征 示例 同位角 在截线的同侧，且在两条被截线的同一方 呈“F”型（正F、倒F、斜F都算） ∠1与∠2都在截线右侧、被截线上方 内错角 在截线的两侧，且在两条被截线之间 呈“Z”型（正Z、反Z都算） ∠3与∠4在截线两侧、被截线中间 同旁内角 在截线的同侧，且在两条被截线之间 呈“U”型（正U、倒U都算） ∠5与∠6在截线同侧、被截线中间 3.数量规律 两条直线被第三条直线所截，同位角有4对，内错角有2对，同旁内角有2对。 4.易错点提醒 （1）同位角、内错角、同旁内角只和位置有关，和大小无关，不一定相等或互补。 （2）必须是“两条被截线+一条截线”的结构，否则不是这三类角。 （3）复杂图形中，可通过描出角的两边来判断截线和被截线，再对照特征识别。 （二）平行线判定方法 1.木条实验，初识判定依据 实验器材：三根木条a、b、c（c固定为截线，a固定，b可转动）。如图，将细木条a，b钉在细木条c上，在细木条a，b转动的过程中，什么时候它们所在的直线平行? 可以观察到，当∠1=∠2时，细木条a，b所在的直线平行。 通过实践，人们总结出平行线基本事实2:两条直线衩被第三条直线所裁，如果同位角相等，那直线平行(简单说成:同位角相等，两直线平行.)。如图，如果∠1=∠2,那么a//b。 如图，两条直线a，b被第问三条直线c所澈形成八个角，除了同位角，还有哪些角可以于刻断a//b？ ∠4和∠5是一对内错角.从“同位角相等，两直线平行”这个基本事实出发，可以得到平行线的判定定理: 内错角相等，两直线平行. ∠2和∠5是一对同旁内角.从“同位角相等，两直线平行”这个基本事实出发，可以得到平行线的判定定理: 同旁内角互补，两直线平行. 【归纳】平行线的判定 （1）同位角相等 ⇒ 两直线平行 （2）内错角相等 ⇒ 两直线平行 （3）同旁内角互补 ⇒ 两直线平行 四．经典例题 例1.如图,直线a,b被直线c所截,下列各组角是同位角的是(　　) A.∠1与∠2　　　B.∠1与∠3　　　C.∠2与∠3　　　D.∠3与∠4 【答案】B　 【解析】∠1和∠2是对顶角,故A错误;∠1和∠3是同位角,故B正确;∠2和∠3是内错角,故C错误;∠3和∠4是邻补角,故D错误.故选B. 例2.如图,∠1的内错角是(　　) A.∠2　　　B.∠3　　　C.∠4　　　D.∠5 【答案】B　 【解析】两条直线被第三条直线所截形成的角中,若两个角都在两直线之间,并且在第三条直线(截线)的两旁,则这样一对角叫做内错角,由此即可判断. 例3.如图,直线a、b被直线c所截,∠1=55°,下列条件中能判定a∥b的是(　　) A.∠2=35°　　　B.∠2=45° C.∠2=55°　　　D.∠2=65° 【答案】C　 【解析】如图,若∠2=55°,则∠3=55°,所以∠1=∠3,所以a∥b.故选C. 例4.如图,点D,E,F分别在△ABC的边BC,AB,AC上,连接DE,DF,在下列给出的条件中,不能判定AB∥DF的是(　　) A.∠A+∠2=180°　　　B.∠1=∠4 C.∠1=∠A　　 　D.∠A=∠3 【答案】C　 【解析】A.若∠A+∠2=180°,则AB∥DF(同旁内角互补,两直线平行);B.若∠1=∠4,则AB∥DF(内错角相等,两直线平行);C.若∠1=∠A,则ED∥AC(同位角相等,两直线平行),无法得到AB∥DF;D.若∠A=∠3,则AB∥DF(同位角相等,两直线平行).故选C. 例5.如图,在下列给出的条件中,可以判定AB∥CD的有　　　　(填写序号).  ①∠1=∠3; ②∠2=∠4; ③∠DAB+∠ABC=180°; ④∠BAD+∠ADC=180°. 【答案】　①②④ 【解析】　①因为∠1=∠3,所以AB∥CD(内错角相等,两直线平行);②因为∠2=∠4,所以AB∥CD(内错角相等,两直线平行);③由∠DAB+∠ABC=180°不能得出AB∥CD;④因为∠BAD+∠ADC=180°,所以AB∥CD(同旁内角互补,两直线平行).故答案是①②④. 例6.小丽学习了“三线八角”后,写了一个如图所示的“4”.图中有a对同位角,b对内错角,c对同旁内角,则abc=　　　　.  【答案】　1 【解析】　同位角:∠B与∠3,共1对,则a=1;内错角:∠B与∠1,共1对,则b=1;同旁内角:∠B与∠2,共1对,则c=1.所以abc=1. 例7.如图,过直线外一点画已知直线的平行线的方法叫“推平行线”法,其依据是　　　　　　　　　.  → → 【答案】　同位角相等,两直线平行 【解析】　根据题图可知∠1=∠2,故可判断a∥b,其依据是:同位角相等,两直线平行. 例8.结合下图,用符号语言表达定理“同旁内角互补,两直线平行”的推理形式:∵　　　　　　,∴a∥b.  　 【答案】　∠1+∠3=180° 【解析】　∵∠1+∠3=180°,∴a∥b(同旁内角互补,两直线平行). 例9.小明同学研究发现“在同一平面内,如果两条直线都垂直于同一条直线,那么这两条直线平行.”你认为小明同学的发现正确吗?为什么? 解：我认为小明同学的发现正确.理由如下:如图: 因为a⊥c,a⊥b,所以∠1=∠2=90°,所以b∥c(同位角相等,两直线平行),所以在同一平面内,如果两条直线都垂直于同一条直线,那么这两条直线平行. 例10.如图,已知E,B,C三点共线,BE平分∠DBF,∠1=∠ACB,试说明:BF∥AC. 解：因为BE平分∠DBF(已知),所以∠1=∠2(角平分线的定义).又因为∠1=∠ACB(已知), 所以∠2=∠ACB(等量代换),所以BF∥AC(同位角相等,两直线平行). 五．夯实基础 （一）选择题 1.如图,下列图形中的∠1和∠2不是同位角的是(　　) A　　 B C 　　D 【答案】C　 【解析】选项A中的∠1与∠2,是直线AB、BC被直线EF所截的同位角,因此选项A不符合题意;选项B中的∠1与∠2,是直线AB、MG被直线EM所截的同位角,因此选项B不符合题意;选项C中的∠1与∠2,没有公共的截线,因此不是同位角,所以选项C符合题意;选项D中的∠1与∠2,是直线CD、EF被直线AB所截的同位角,因此选项D不符合题意.故选C. 2.如图,不是∠1的同旁内角的是(　　) A.∠2　　　B.∠3　　　C.∠4　　　D.∠5 【答案】C　 【解析】两条直线被第三条直线所截形成的角中,若两个角都在两直线之间,并且在第三条直线(截线)的同旁,则这样一对角叫做同旁内角,由此即可判断. 3.如图,已知∠1=90°,为保证两条铁轨平行,添加的下列条件中,正确的是(　　) A.∠2=90°　　　B.∠3=90°　　　C.∠4=90°　　　D.∠5=90° 【答案】C　 【解析】当∠4=90°时,可得∠1=∠4,根据“同位角相等,两直线平行”可判定两铁轨平行.故选C. 4.如图,下列结论中错误的是(　　) A.∠1与∠2是同旁内角 B.∠1与∠6是内错角 C.∠2与∠5是内错角 D.∠3与∠5是同位角 【答案】C　 【解析】根据同位角、内错角、同旁内角的定义判断即可. 5.如图，直线a，b被直线c所截，∠1与∠2的位置关系是（　　） A．同位角 B．内错角 C．同旁内角 D．对顶角 【答案】B 【解析】直线a，b被直线c所截，∠1与∠2是内错角．故选B． 6.如图，与∠1是同旁内角的是（　　） A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠5 【答案】D 【解析】A、∠1和∠2是对顶角，不是同旁内角，故本选项错误；B、∠1和∠3是同位角，不是同旁内角，故本选项错误；C、∠1和∠4是内错角，不是同旁内角，故本选项错误；D、∠1和∠5是同旁内角，故本选项正确；故选D． 7.如图，直线a、b被直线c所截，下列条件能使a∥b的是（　　） A．∠1=∠6 B．∠2=∠6 C．∠1=∠3 D．∠5=∠7 【答案】B 【解析】∵∠2=∠6（已知），∴a∥b（同位角相等，两直线平行），则能使a∥b的条件是∠2=∠6，故选B 8.如图，工人师傅在工程施工中，需在同一平面内弯制一个变形管道ABCD，使其拐角∠ABC=150°，∠BCD=30°，则（　　） A．AB∥BC B．BC∥CD C．AB∥DC D．AB与CD相交 【答案】C 【解析】∵∠ABC=150°，∠BCD=30°，∴∠ABC+∠BCD=180°，∴AB∥DC．故选：C． （二）填空题 9.（2026扬州邗江一模）同一平面内，若直线a⊥c，直线b⊥c，则a____b。 【答案】：∥ 【解析】：判定推论：同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行。 10.（2026盐城亭湖一模）若a∥m，b∥m，根据________，可得a\parallel b。 【答案】：平行于同一条直线的两条直线互相平行 【解析】：平行公理推论，是平行线判定常用方法。 11.（2025南通如皋期末）已知∠A与∠B互补，若∠A、∠B为同旁内角，则两直线位置关系为________。 【答案】：互相平行 【解析】：同旁内角互补，两直线平行。 12．如图，点E在AC的延长线上，对于给出的四个条件：（1）∠3=∠4；（2）∠1=∠2；（3）∠A=∠DCE；（4）∠D+∠ABD=180°．能判断AB∥CD的有　　个． 【答案】3 【解析】（1）如果∠3=∠4，那么AC∥BD，故（1）错误；（2）∠1=∠2，那么AB∥CD；内错角相等，两直线平行，故（2）正确；（3）∠A=∠DCE，那么AB∥CD；同位角相等，两直线平行，故（3）正确；（4）∠D+∠ABD=180°，那么AB∥CD；同旁内角互补，两直线平行，故（4）正确．即正确的有（2）（3）（4）．故答案为：3． 13．如图，∠2的同旁内角是　　． 【答案】∠4 【解析】∠2的同旁内角是∠4，故答案为：∠4． 14．如图，EF⊥AB于点F，CD⊥AB于点D，E是AC上一点，∠1=∠2，则图中互相平行的直线有　　对． 【答案】2 【解析】∵EF⊥AB，CD⊥AB，∴∠EFA=∠CDA=90°，∴EF∥CD，∴∠1=∠EDC，∵∠1=∠2， ∴∠EDC=∠2，∴DE∥BC，即图中互相平行的直线有2对，故答案为：2． 15．如图，已知∠B=∠D，要使BE∥DF，还需补充一个条件，你认为这个条件应该是　　．（填一个条件即可） 【答案】∠B=∠COE 【解析】添加：∠B=∠COE，∵∠B=∠D，∠B=∠COE，∴∠COE=∠D，∴BE∥DF，故答案为：∠B=∠COE． 16.工人师傅需要把一截V形材料加工成U形零件.如图,工人师傅先把材料弯成了一个40°的锐角,然后准备沿BA在A处进行第二次加工,要保证弯过来的部分与BC平行,则第二次加工需要弯成　　　　度的角.  【答案】140 【解析】　如图,当∠A+∠B=180°,即∠A=140°时,AD∥BC(同旁内角互补,两直线平行). （三）解答题 17.如图,已知∠1=72°,∠2=72°,∠3=108°.试说明:AB∥EF,DE∥BC. 解：因为∠1=72°,∠2=72°(已知),所以∠1=∠2(等量代换),所以DE∥BC(内错角相等,两直线平行).因为∠3=108°(已知),∠3+∠DGB=180°(邻补角的定义),所以∠DGB=180°-108°=72°,所以∠DGB=∠2,所以AB∥EF(同位角相等,两直线平行). 18.如图,已知∠1=∠2,AC平分∠DAB,试说明DC∥AB. 解：因为AC平分∠DAB(已知),所以∠1=∠CAB(角平分线的定义).又因为∠1=∠2(已知), 所以∠CAB=∠2(等量代换).所以DC∥AB(内错角相等,两直线平行). 18.如图,∠ABC=∠ADC,BF,DE分别是∠ABC,∠ADC的平分线,∠1=∠2,求证:DC∥AB. 证明：　因为BF,DE分别是∠ABC,∠ADC的平分线,所以∠3=∠ADC,∠2=∠ABC. 因为∠ABC=∠ADC,所以∠3=∠2.因为∠1=∠2,所以∠1=∠3,所以DC∥AB. 19.如图,三角形ABC和三角形DEF叠放在一起,点D在线段AC上,BC和EF在同一条直线上,AB交DE于点G,DF平分∠CDE,已知∠A=∠AGD,试说明:AB∥DF. 解：因为DF平分∠CDE,所以∠CDE=2∠CDF.因为∠A+∠AGD=180°-∠ADG=∠CDE,∠A=∠AGD, 所以∠CDE=2∠A.所以∠CDF=∠A,所以AB∥DF(同位角相等,两直线平行). 20.我们知道,光线从空气中射入水中会发生折射现象,光线从水中射入空气中,同样会发生折射现象.如图所示的是光线从空气中射入水中,再从水中射入空气中的示意图.已知∠1=∠4,∠2=∠3.请你用所学知识来判断光线c与d是否平行,并说明理由. 解：c∥d.理由:如图,因为∠2+∠5=∠3+∠6,∠2=∠3,所以∠5=∠6,因为∠1=∠4,所以∠1+∠5=∠4+∠6,所以c∥d(内错角相等,两直线平行). 六．巩固训练 （一）选择题 1.如图，的同位角可以是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】根据题意可得，的同位角可以是故选： 2.如图所示，如果，那么(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】，同位角相等两直线平行故选： 3.如图，下列说法正确的是(    ) A. 和不是同位角 B. 和是同位角 C. 和是同位角 D. 和是同位角 【答案】C  【解析】A、和是同位角，故选项不符合题意；B、和不符合同位角定义，故选项不符合题意；C、和符合同位角的定义，是同位角，故选项符合题意；D、和不符合同位角的定义，不是同位角，故选项不符合题意．故选： 4.如图，直线a，b被直线c所截，下列条件能判定的是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】与为对顶角，，但是不能得出，故选项A不符合题意，不选；内错角相等，两直线平行，，故选项B符合题意，选；与为相邻互补角，，但是不能得出，故选项C不符合题意，不选； 与为同旁内角，并不能得出，故选项D不符合题意，不选；故选： 5.如图，下列说法正确的是(    ) A. 因为，所以 B. 因为，所以 C. 因为，所以 D. 因为，所以 【答案】B  【解析】A、，无法推出，故此选项不符合题意；B、因为，所以，故此选项符合题意；C、，无法推出，故此选项不符合题意；D、因为，所以，无法推出，故此选项不符合题意．故选： 6．如图，在下列条件中，不能判定直线a与b平行的是（　　） A．∠1=∠2 B．∠2=∠3 C．∠3=∠5 D．∠3+∠4=180° 【答案】C  【解析】A、∵∠1与∠2是直线a，b被c所截的一组同位角，∴∠1=∠2，可以得到a∥b，∴不符合题意，B、∵∠2与∠3是直线a，b被c所截的一组内错角，∴∠2=∠3，可以得到a∥b，∴不符合题意，C、∵∠3与∠5既不是直线a，b被任何一条直线所截的一组同位角，内错角，∴∠3=∠5，不能得到a∥b，∴符合题意，D、∵∠3与∠4是直线a，b被c所截的一组同旁内角，∴∠3+∠4=180°，可以得到a∥b，∴不符合题意，故选C 7.下列图形中，∠1与∠2是同位角的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据同位角的定义，可知A是同位角．故选：A． 8．如图，下列条件中不能判定AB∥CD的是（　　） A．∠3=∠4 B．∠1=∠5 C．∠1+∠4=180° D．∠3=∠5 【答案】D  【解析】∠3=∠5是同旁内角相等，但不一定互补，所以不能判定AB∥CD．故选D． 9．如图，能判定EC∥AB的条件是（　　） A．∠B=∠ACE B．∠A=∠ECD C．∠B=∠ACB D．∠A=∠ACE 【答案】D  【解析】A、两个角不是同位角、也不是内错角，故选项错误；B、两个角不是同位角、也不是内错角，故选项错误；C、不是EC和AB形成的同位角、也不是内错角，故选项错误； D、正确．故选D． 10．如图，四边形纸片ABCD，以下测量方法，能判定AD∥BC的是（　　） A．∠B=∠C=90° B．∠B=∠D=90° C．AC=BD D．点A，D到BC的距离相等 【答案】D  【解析】A、∵∠B=∠C=90°，∴∠B+∠C=180°，∴AB∥CD，A不可以；B、∠B=∠D=90°，无法得出边平行的情况，B不可以；C、AC=BD，无法得出边平行的情况，C不可以；D、∵点A，D到BC的距离相等，且A、D在直线BC的同侧，∴AD∥BC，D可以．故选D． （二）填空题 11.（2024无锡滨湖期末）过直线外一点，有________条直线与已知直线平行。 【答案】：且只有一 【解析】：平行公理原文。 12.（2024南通海安期末）直线a、b、c，a∥c，b∥c，则a与b________。 【答案】：互相平行 【解析】：平行公理推论，平行于同一条直线的两条直线互相平行。 13.（2024扬州宝应期末）同一平面内，不重合的两条直线位置关系只有________。 【答案】：相交和平行 【解析】：平面内两条直线基础位置分类，无第三种情况。 14.（2026常州新北一模）已知∠1和∠2是内错角，且∠1=∠2，则截线所截两条直线____。 【答案】：互相平行 【解析】：平行线判定定理：内错角相等，两直线平行。 15.（2025淮安洪泽期末）若两条直线被第三条直线所截，同旁内角之比2:3，和为180°，则两直线位置关系为________。 【答案】：互相平行 【解析】：同旁内角和为180°，满足互补条件，因此两直线平行。 16.如图，，，，，，中，同旁内角共有______对. 【答案】5  【解析】图中同旁内角有：和，和，和，和，和，共5对．故答案为： 17.如图，直线a、b被直线c所截，，则当______时， 【答案】  【解析】如图，当时，，，故答案为： 18．如图，在四边形ABCD中，若∠1=∠2，则AD∥BC，理由是______________________. 【答案】内错角相等，两直线平行 【解析】∵∠1与∠2是内错角，∴若∠1=∠2，则AD∥BC． 19.如图,将木条a,b与c钉在一起,∠1=85°,∠2=50°,要使木条a与b平行,木条a旋转的度数至少是(　　) A.15°　　　B.25°　　　C.35°　　　D.50° 【答案】 C　 【解析】如图,因为∠AOC=∠2=50°时,OA∥b,所以要使木条a与b平行,木条a旋转的度数至少是85°-50°=35°.故选C. 20.一副三角尺(∠C=60°,∠OAB=45°)按图K-2-11所示方式叠放在一起,其中点B,D重合,若固定三角尺AOB,改变三角尺ACD的位置(其中点A的位置始终不变),当∠BAD=　　　　　　时,CD∥AB.  【答案】 150°或30° 【解析】如图①所示当∠BAD=∠D=30°时,CD∥AB;如图②所示当∠C=∠BAC=60°时,AB∥CD, 所以∠BAD=60°+90°=150°.综上所述,当∠BAD=150°或30°时,CD∥AB.故答案为150°或30°. （三）解答题 21.如图,CE⊥DG,垂足为C,∠BAF=50°,∠ACE=140°.CD与AB平行吗?为什么? 解：结论:AB∥CD.理由如下:因为CE⊥DG,所以∠ECG=90°.因为∠ACE=140°,所以∠ACG=50°.因为∠BAF=50°,所以∠BAF=∠ACG,所以AB∥CD. 22.如图,直线AB和CD被直线MN所截. (1)如图①,EG平分∠BEF,FH平分∠DFE(平分的是一对同旁内角),则∠1与∠2满足　　　　　　时,AB∥CD.  (2)如图②,EG平分∠MEB,FH平分∠DFE(平分的是一对同位角),则∠1与∠2满足　　　　时,AB∥CD.  (3)如图③,EG平分∠AEF,FH平分∠DFE(平分的是一对内错角),则∠1与∠2满足什么条件时,AB∥CD?为什么? 解：(1)∠1+∠2=90°.(2)∠1=∠2.(3)当∠1=∠2时,AB∥CD. 理由:∵EG平分∠AEF,FH平分∠DFE,∴∠AEF=2∠1,∠DFE=2∠2, ∵∠1=∠2,∴∠AEF=∠DFE,∴AB∥CD. 23．如图：E在线段CD上，EA、EB分别平分∠DAB和∠CBA，∠AEB=90°，设AD=x，BC=y，且（x﹣3）2+|y﹣4|=0 （1）求AD和BC的长； （2）你认为AD和BC还有什么关系？并验证你的结论． 解：（1）∵（x﹣3）2+|y﹣4|=0，∴x﹣3=0，y﹣4=0，解得：x=3，y=4，∴AD=3，BC=4； （2）AD∥BC．理由：∵EA、EB分别平分∠DAB和∠CBA，∴∠DAE=∠EAB，∠CBE=∠EBA， ∵∠AEB=90°，∴∠EAB+∠EBA=90°，∴∠DAE+∠EBC=90°，∴∠EAB+∠EBA+∠DAE+∠EBC=90°+90°=180°，∴AD∥BC． 24.一副三角尺按图K-2-16①所示的方式拼接,固定三角尺ADC,将三角尺ABC按顺时针方向旋转一个大小为α(0°<α<180°)的角得到三角形AB'C',示意图如图②所示. (1)当α为多少度时,能使图②中的AB'∥CD?请说明理由; (2)当α分别为多少度时,能使B'C'∥AD,AC'∥CD?(不必说明理由) 解:(1)当α为15°时,能使图②中的AB'∥CD. 理由如下:因为∠BAC=45°,∠ACD=30°,而三角尺ABC按顺时针方向旋转一个大小为α的角得到三角形AB'C',所以∠B'AC'=45°.当∠B'AC=∠ACD=30°时,AB'∥CD, 此时∠CAC'=45°-30°=15°,即当α为15°时,能使图②中的AB'∥CD. (2)当α=45°时,B'C'∥AD; 当α=150°时,AC'∥CD. 25．如图，已知点E、F在直线AB上，点G在线段CD上，ED与FG交于点H，∠C=∠EFG，∠CED=∠GHD． （1）求证：CE∥GF； （2）试判断∠AED与∠D之间的数量关系，并说明理由； （3）若∠EHF=100°，∠D=30°，求∠AEM的度数． 解：（1）证明：∵∠CED=∠GHD，∴CE∥GF； （2）∵CE∥GF，∴∠C=∠FGD，∵∠C=∠EFG，∴∠FGD=∠EFG，∴AB∥CD，∴∠AED+∠D=180°； （3）∵∠DHG=∠EHF=100°，∠D=30°，∴∠CGF=100°+30°=130°，∵CE∥GF， ∴∠C=180°﹣130°=50°，∵AB∥CD，∴∠AEC=50°，∴∠AEM=180°﹣50°=130°． 26．已知直线l1∥l2，A是l1上一点，B是l2上一点，直线l3和直线l1，l2交于点C和D，在直线CD上有一点P. (1)如果P点在C，D之间运动时，问∠PAC，∠APB，∠PBD有怎样的数量关系？请说明理由； (2)若点P在C，D两点的外侧运动时(P点与点C，D不重合)，试探索∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系又是如何？ 解：(1)∠PAC＋∠PBD＝∠APB.过点P作PE∥l1，∵PE∥l1，l1∥l2，∴PE∥l1∥l2，∴∠PAC＝∠APE，∠PBD＝∠BPE，∵∠APB＝∠APE＋∠BPE，∴∠PAC＋∠PBD＝∠APB　 (2)过点P作PE∥l1，当点P在直线l1上方时，如图1所示．∵PE∥l1，l1∥l2，∴PE∥l1∥l2，∴∠PAC＝∠APE，∠PBD＝∠BPE，∵∠APB＝∠BPE－∠APE，∴∠PBD－∠PAC＝∠APB； 当点P在直线l2下方时，如图2所示．∵PE∥l1，l1∥l2，∴PE∥l1∥l2，∴∠PAC＝∠APE，∠PBD＝∠BPE，∵∠APB＝∠APE－∠BPE，∴∠PAC－∠PBD＝∠APB 27．将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图方式叠放在一起（其中，∠A=60°，∠D=30°；∠E=∠B=45°）： （1）①若∠DCE=45°，则∠ACB的度数为　　； ②若∠ACB=140°，求∠DCE的度数； （2）由（1）猜想∠ACB与∠DCE的数量关系，并说明理由． （3）当∠ACE＜180°且点E在直线AC的上方时，这两块三角尺是否存在一组边互相平行？若存在，请直接写出∠ACE角度所有可能的值（不必说明理由）；若不存在，请说明理由． 解：（1）①∵∠ECB=90°，∠DCE=45°，∴∠DCB=90°﹣45°=45°，∴∠ACB=∠ACD+∠DCB=90°+45°=135°，故答案为：135°；②∵∠ACB=140°，∠ACD=90°，∴∠DCB=140°﹣90°=50°，∴∠DCE=90°﹣50°=40°； （2）∠ACB+∠DCE=180°，∵∠ACB=∠ACD+∠DCB=90°+∠DCB，∴∠ACB+∠DCE=90°+∠DCB+∠DCE=90°+90°=180°； （3）存在，当∠ACE=30°时，AD∥BC，当∠ACE=∠E=45°时，AC∥BE，当∠ACE=120°时，AD∥CE，当∠ACE=135°时，BE∥CD，当∠ACE=165°时，BE∥AD． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学臻选·2026年暑假苏科版七年级数学上新生预习手册24 《第6章平面图形的初步认识第4节平行线（二）》预习讲义 一．预习目标 ( 1.认识三线八角中的同位角、内错角、同旁内角，准确识别三类角的图形特征；掌握3种平行线判定方法，能规范书写几何推理语言。 2.通过木条转动、尺规作图等动手探究，理解 “ 由角的数量关系推直线平行 ” 的逻辑；能结合图形选择合适判定方法证明两直线平行，初步形成几何说理能力。 3.区分平行线判定与定义的不同用法，体会数形结合思想，养成规范标注图形、书写推理步骤的预习习惯。 ) 二．重点难点 ( （一） 重点 1.同位角、内错角、同旁内角的识别（F型、Z型、U型特征）； 2.三大平行线判定定理：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行； 3.简单几何推理的规范书写格式。 （二） 难点 1.在复杂图形中找准截线、被截直线，正确定位三类角； 2.区分判定逻辑：角的关系 → 直线平行，不与平行线性质混淆； 3.综合图形中灵活选用判定方法完成证明说理。 ) 三．自主探究 （一）认识三线八角 1.同位角（F字形） 如图，两条直线a，b被第三条直线c所截，形成八个角具有∠1和∠2这种位置关系的一对角叫作同位角(correspondingangles). 图中∠1和∠2，∠3和∠4，∠5和∠6，∠7和∠8分别是同位角。同位角是“F”形状 。 【讨论】：如图，∠1和∠2，∠1和∠3，∠1和∠4 分别是同位角吗? 2.内错角（Z字形） 如图，两条直线 a,b 被第三条直线c所截形成八个角，除了同位角，还有哪些角可以用于判断a//b? 观察∠4与∠5的位置，两条直线被第三条直线所截，在两条直线的之间，在第三条直线的两侧的两个角叫做内错角。内错角是“Z ”形状。 3.同旁内角（U字形） 如图，两条直线 a,b 被第三条直线c所截形成八个角，除了同位角，还有哪些角可以用于判断a//b? 观察∠2与∠5的位置 两条直线被第三条直线所截，在两条直线线之间，在第三条直线同侧的两个角叫做同旁内角。同旁内角是“U”形状。 【归纳】 1、基本概念 （1）截线：同时与两条直线相交的直线 （2）被截线：被截线所截的两条直线 2.三类角的识别关键：先找截线，再看角在截线的哪一侧、被截线的哪一方 类型 位置特征 图形特征 示例 同位角 在截线的同侧，且在两条被截线的同一方 呈“F”型（正F、倒F、斜F都算） ∠1与∠2都在截线右侧、被截线上方 内错角 在截线的两侧，且在两条被截线之间 呈“Z”型（正Z、反Z都算） ∠3与∠4在截线两侧、被截线中间 同旁内角 在截线的同侧，且在两条被截线之间 呈“U”型（正U、倒U都算） ∠5与∠6在截线同侧、被截线中间 3.数量规律 两条直线被第三条直线所截，同位角有4对，内错角有2对，同旁内角有2对。 4.易错点提醒 （1）同位角、内错角、同旁内角只和位置有关，和大小无关，不一定相等或互补。 （2）必须是“两条被截线+一条截线”的结构，否则不是这三类角。 （3）复杂图形中，可通过描出角的两边来判断截线和被截线，再对照特征识别。 （二）平行线判定方法 1.木条实验，初识判定依据 实验器材：三根木条a、b、c（c固定为截线，a固定，b可转动）。如图，将细木条a，b钉在细木条c上，在细木条a，b转动的过程中，什么时候它们所在的直线平行? 可以观察到，当∠1=∠2时，细木条a，b所在的直线平行。 通过实践，人们总结出平行线基本事实2:两条直线衩被第三条直线所裁，如果同位角相等，那直线平行(简单说成:同位角相等，两直线平行.)。如图，如果∠1=∠2,那么a//b。 如图，两条直线a，b被第问三条直线c所澈形成八个角，除了同位角，还有哪些角可以于刻断a//b？ ∠4和∠5是一对内错角.从“同位角相等，两直线平行”这个基本事实出发，可以得到平行线的判定定理: 内错角相等，两直线平行. ∠2和∠5是一对同旁内角.从“同位角相等，两直线平行”这个基本事实出发，可以得到平行线的判定定理: 同旁内角互补，两直线平行. 【归纳】平行线的判定 （1）同位角相等 ⇒ 两直线平行 （2）内错角相等 ⇒ 两直线平行 （3）同旁内角互补 ⇒ 两直线平行 四．经典例题 例1.如图,直线a,b被直线c所截,下列各组角是同位角的是(　　) A.∠1与∠2　　　B.∠1与∠3　　　C.∠2与∠3　　　D.∠3与∠4 例2.如图,∠1的内错角是(　　) A.∠2　　　B.∠3　　　C.∠4　　　D.∠5 例3.如图,直线a、b被直线c所截,∠1=55°,下列条件中能判定a∥b的是(　　) A.∠2=35°　　　B.∠2=45° C.∠2=55°　　　D.∠2=65° 例4.如图,点D,E,F分别在△ABC的边BC,AB,AC上,连接DE,DF,在下列给出的条件中,不能判定AB∥DF的是(　　) A.∠A+∠2=180°　　　B.∠1=∠4 C.∠1=∠A　　 　D.∠A=∠3 例5.如图,在下列给出的条件中,可以判定AB∥CD的有　　　　(填写序号).  ①∠1=∠3; ②∠2=∠4; ③∠DAB+∠ABC=180°; ④∠BAD+∠ADC=180°. 例6.小丽学习了“三线八角”后,写了一个如图所示的“4”.图中有a对同位角,b对内错角,c对同旁内角,则abc=　　　　.  例7.如图,过直线外一点画已知直线的平行线的方法叫“推平行线”法,其依据是　　　　　　　　　.  → → 例8.结合下图,用符号语言表达定理“同旁内角互补,两直线平行”的推理形式:∵　　　　　　,∴a∥b.  　 例9.小明同学研究发现“在同一平面内,如果两条直线都垂直于同一条直线,那么这两条直线平行.”你认为小明同学的发现正确吗?为什么? 例10.如图,已知E,B,C三点共线,BE平分∠DBF,∠1=∠ACB,试说明:BF∥AC. 五．夯实基础 （一）选择题 1.如图,下列图形中的∠1和∠2不是同位角的是(　　) A　　 B C 　　D 2.如图,不是∠1的同旁内角的是(　　) A.∠2　　　B.∠3　　　C.∠4　　　D.∠5 3.如图,已知∠1=90°,为保证两条铁轨平行,添加的下列条件中,正确的是(　　) A.∠2=90°　　　B.∠3=90°　　　C.∠4=90°　　　D.∠5=90° 4.如图,下列结论中错误的是(　　) A.∠1与∠2是同旁内角 B.∠1与∠6是内错角 C.∠2与∠5是内错角 D.∠3与∠5是同位角 5.如图，直线a，b被直线c所截，∠1与∠2的位置关系是（　　） A．同位角 B．内错角 C．同旁内角 D．对顶角 【解析】直线a，b被直线c所截，∠1与∠2是内错角．故选B． 6.如图，与∠1是同旁内角的是（　　） A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠5 7.如图，直线a、b被直线c所截，下列条件能使a∥b的是（　　） A．∠1=∠6 B．∠2=∠6 C．∠1=∠3 D．∠5=∠7 8.如图，工人师傅在工程施工中，需在同一平面内弯制一个变形管道ABCD，使其拐角∠ABC=150°，∠BCD=30°，则（　　） A．AB∥BC B．BC∥CD C．AB∥DC D．AB与CD相交 （二）填空题 9.（2026扬州邗江一模）同一平面内，若直线a⊥c，直线b⊥c，则a____b。 10.（2026盐城亭湖一模）若a∥m，b∥m，根据________，可得a\parallel b。 11.（2025南通如皋期末）已知∠A与∠B互补，若∠A、∠B为同旁内角，则两直线位置关系为________。 12．如图，点E在AC的延长线上，对于给出的四个条件：（1）∠3=∠4；（2）∠1=∠2；（3）∠A=∠DCE；（4）∠D+∠ABD=180°．能判断AB∥CD的有　　个． 13．如图，∠2的同旁内角是　　． 14．如图，EF⊥AB于点F，CD⊥AB于点D，E是AC上一点，∠1=∠2，则图中互相平行的直线有　　对． 15．如图，已知∠B=∠D，要使BE∥DF，还需补充一个条件，你认为这个条件应该是　　．（填一个条件即可） 16.工人师傅需要把一截V形材料加工成U形零件.如图,工人师傅先把材料弯成了一个40°的锐角,然后准备沿BA在A处进行第二次加工,要保证弯过来的部分与BC平行,则第二次加工需要弯成　　　　度的角.  （三）解答题 17.如图,已知∠1=72°,∠2=72°,∠3=108°.试说明:AB∥EF,DE∥BC. 18.如图,已知∠1=∠2,AC平分∠DAB,试说明DC∥AB. 18.如图,∠ABC=∠ADC,BF,DE分别是∠ABC,∠ADC的平分线,∠1=∠2,求证:DC∥AB. 19.如图,三角形ABC和三角形DEF叠放在一起,点D在线段AC上,BC和EF在同一条直线上,AB交DE于点G,DF平分∠CDE,已知∠A=∠AGD,试说明:AB∥DF. 20.我们知道,光线从空气中射入水中会发生折射现象,光线从水中射入空气中,同样会发生折射现象.如图所示的是光线从空气中射入水中,再从水中射入空气中的示意图.已知∠1=∠4,∠2=∠3.请你用所学知识来判断光线c与d是否平行,并说明理由. 六．巩固训练 （一）选择题 1.如图，的同位角可以是(    ) A. B. C. D. 2.如图所示，如果，那么(    ) A. B. C. D. 3.如图，下列说法正确的是(    ) A. 和不是同位角 B. 和是同位角 C. 和是同位角 D. 和是同位角 4.如图，直线a，b被直线c所截，下列条件能判定的是(    ) A. B. C. D. 5.如图，下列说法正确的是(    ) A. 因为，所以 B. 因为，所以 C. 因为，所以 D. 因为，所以 6．如图，在下列条件中，不能判定直线a与b平行的是（　　） A．∠1=∠2 B．∠2=∠3 C．∠3=∠5 D．∠3+∠4=180° 7.下列图形中，∠1与∠2是同位角的是（　　） A． B． C． D． 8．如图，下列条件中不能判定AB∥CD的是（　　） A．∠3=∠4 B．∠1=∠5 C．∠1+∠4=180° D．∠3=∠5 9．如图，能判定EC∥AB的条件是（　　） A．∠B=∠ACE B．∠A=∠ECD C．∠B=∠ACB D．∠A=∠ACE 10．如图，四边形纸片ABCD，以下测量方法，能判定AD∥BC的是（　　） A．∠B=∠C=90° B．∠B=∠D=90° C．AC=BD D．点A，D到BC的距离相等 （二）填空题 11.（2024无锡滨湖期末）过直线外一点，有________条直线与已知直线平行。 12.（2024南通海安期末）直线a、b、c，a∥c，b∥c，则a与b________。 13.（2024扬州宝应期末）同一平面内，不重合的两条直线位置关系只有________。 14.（2026常州新北一模）已知∠1和∠2是内错角，且∠1=∠2，则截线所截两条直线____。 15.（2025淮安洪泽期末）若两条直线被第三条直线所截，同旁内角之比2:3，和为180°，则两直线位置关系为________。 16.如图，，，，，，中，同旁内角共有______对. 17.如图，直线a、b被直线c所截，，则当______时， 18．如图，在四边形ABCD中，若∠1=∠2，则AD∥BC，理由是______________________. 19.如图,将木条a,b与c钉在一起,∠1=85°,∠2=50°,要使木条a与b平行,木条a旋转的度数至少是(　　) A.15°　　　B.25°　　　C.35°　　　D.50° 20.一副三角尺(∠C=60°,∠OAB=45°)按图K-2-11所示方式叠放在一起,其中点B,D重合,若固定三角尺AOB,改变三角尺ACD的位置(其中点A的位置始终不变),当∠BAD=　　　　　　时,CD∥AB.  （三）解答题 21.如图,CE⊥DG,垂足为C,∠BAF=50°,∠ACE=140°.CD与AB平行吗?为什么? 22.如图,直线AB和CD被直线MN所截. (1)如图①,EG平分∠BEF,FH平分∠DFE(平分的是一对同旁内角),则∠1与∠2满足　　　　　　时,AB∥CD.  (2)如图②,EG平分∠MEB,FH平分∠DFE(平分的是一对同位角),则∠1与∠2满足　　　　时,AB∥CD.  (3)如图③,EG平分∠AEF,FH平分∠DFE(平分的是一对内错角),则∠1与∠2满足什么条件时,AB∥CD?为什么? 23．如图：E在线段CD上，EA、EB分别平分∠DAB和∠CBA，∠AEB=90°，设AD=x，BC=y，且（x﹣3）2+|y﹣4|=0 （1）求AD和BC的长； （2）你认为AD和BC还有什么关系？并验证你的结论． 24.一副三角尺按图K-2-16①所示的方式拼接,固定三角尺ADC,将三角尺ABC按顺时针方向旋转一个大小为α(0°<α<180°)的角得到三角形AB'C',示意图如图②所示. (1)当α为多少度时,能使图②中的AB'∥CD?请说明理由; (2)当α分别为多少度时,能使B'C'∥AD,AC'∥CD?(不必说明理由) 25．如图，已知点E、F在直线AB上，点G在线段CD上，ED与FG交于点H，∠C=∠EFG，∠CED=∠GHD． （1）求证：CE∥GF； （2）试判断∠AED与∠D之间的数量关系，并说明理由； （3）若∠EHF=100°，∠D=30°，求∠AEM的度数． 26．已知直线l1∥l2，A是l1上一点，B是l2上一点，直线l3和直线l1，l2交于点C和D，在直线CD上有一点P. (1)如果P点在C，D之间运动时，问∠PAC，∠APB，∠PBD有怎样的数量关系？请说明理由； (2)若点P在C，D两点的外侧运动时(P点与点C，D不重合)，试探索∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系又是如何？ 27．将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图方式叠放在一起（其中，∠A=60°，∠D=30°；∠E=∠B=45°）： （1）①若∠DCE=45°，则∠ACB的度数为　　； ②若∠ACB=140°，求∠DCE的度数； （2）由（1）猜想∠ACB与∠DCE的数量关系，并说明理由． （3）当∠ACE＜180°且点E在直线AC的上方时，这两块三角尺是否存在一组边互相平行？若存在，请直接写出∠ACE角度所有可能的值（不必说明理由）；若不存在，请说明理由． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $