专题2.2 有理数的加减运算13大题型（高效培优讲义）数学新教材北师大版七年级上册

本讲义聚焦有理数加减运算核心知识点，系统梳理加法法则（同号、异号、与0相加）、加法运算律（交换律、结合律及简便技巧）、减法法则（转化为加法）及混合运算，构建从基础到综合的递进式学习支架。 资料亮点在于题型丰富（13类，含实际应用、数轴绝对值结合等），通过温度变化、行程问题等实例培养应用意识，运算技巧训练提升运算能力，助力课中教学与课后查漏补缺，发展数学思维与表达能力。

专题2.2 有理数的加减运算 教学目标 1.理解有理数加法与减法的法则； 2.能熟练进行有理数的加法与减法运算； 3.能运用有理数的加法与减法解决实际问题. 教学重难点 1.重点 （1）掌握有理数的加法和减法计算； （2）掌握有理数的加减法简便计算； （3）学会运用有理数的加减法解决问题。 2.难点 （1）有理数加减法与数轴、绝对值结合的问题； （2）有理数加减法的新定义计算。 知识点01 有理数加法法则 1. 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。 若则； 若则。 2.异号两数相加，绝对值相等时，和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。 绝对值相等：若且，则； 绝对值不相等： 1 若且，则； 2 若且，则。 3.一个数与0相加，仍得这个数。 4.有理数加法运算步骤： （1）看：看两个加数是同号还是异号； （2）定：确定和的符号； （3）求：根据有理数加法法则求和. 【即学即练】 1．（26-27七年级·浙江·暑假作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． （3）解：原式． （4）解∶原式． 2．（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的加法运算，掌握有理数的加法法则和交换律\结合律是解题的关键． （1）根据有理数加法的交换律和结合律等计算即可； （2）根据有理数加法的交换律和结合律等计算即可． 【详解】（1）解∶原式 ； （2）解∶原式 ． 知识点02 有理数加法运算律 1. 有理数相加，两个数相加，交换加数的位置，和不变； 加法交换律：a＋b＝b＋a 2. 有理数相加，三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变. 加法交换律：（a＋b）＋c＝a＋（b＋c） 在有理数加法运算中，常利用有理数加法运算律先把正数和负数分开计算，各自求和后再相加. 3. 有理数加法中的一些计算技巧： （1） 相反数结合法：互为相反数的两个数先相加； （2） 同号结合法：符号相同的数先相加； （3） 同分母结合法：分母相同的数先相加； （4） 凑整法：几个数相加能够得到整数的先相加. 【即学即练】 3．（26-27七年级·全国·暑假作业）计算： (1)； (2)； (3)； 【答案】(1)18 (2) (3) 【详解】（1）解：； ． （2）解： ． （3）解： ． 4．（26-27七年级·浙江·暑假作业）计算： (1)； (2)． (3)； 【答案】(1)3 (2) (3)18 (4) 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 知识点03 有理数减法法则 减去一个数，等于加上这个数的相反数， 1. 较大的数－较小的数＝正数，即若，则； 2. 较小的数－较大的数＝负数，即若，则； 3. 相等的两个数相减等于0，即若，则； 4. 0减去任何数都等于这个数的相反数，任何数减去0仍等于这个数. 【即学即练】 5．（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)19 (2)1 (3) (4) (5) (6)35 【分析】本题主要考查了有理数的减法运算． （1）去括号，把减法转化成加法计算即可． （2）去括号，把减法转化成加法计算即可． （3）直接进行运算即可． （4）直接进行运算即可． （5）直接进行运算即可． （6）去括号，把减法转化成加法计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： （5）解： （6）解： 6．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算． （1）先将减法转化为加法，再利用有理数的加法法则计算即可； （2）先将小数化为带分数，再所有的带分数进行拆分，紧接着将减法转化为加法，再利用加法交换律和结合律，将同分母分数结合进行简便计算即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 知识点04 有理数加减法混合运算 1. 利用减法运算法则，将有理数加减混合运算转化为有理数加法运算； 2. 去掉括号和括号前的加号（有绝对值的要先去掉绝对值后再计算）； 3. 利用加法法则和加法运算律进行计算. 【即学即练】 7．（25-26七年级上·江苏扬州·周测）计算： (1)； (2) ． 【答案】(1) (2)0 【分析】根据有理数的加减混合运算解答即可． 【详解】（1）解： （2） 8．（25-26七年级上·全国·寒假作业）计算 (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1)8 (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的加减运算及绝对值的性质，解题的关键是熟练掌握有理数加减运算法则，先化简符号或去绝对值再计算． （1）先将减法化为加法，再合并同类项计算；（2）先去绝对值，再合并同类项计算；（3）直接按顺序进行加减运算；（4）先化简符号，再利用加法结合律简便计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； 题型01 有理数的加法运算 1．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2)0 (3) (4) (5) (6) 【分析】本题主要考查有理数加法，熟练掌握有理数加法法则，是解题的关键． （1）运用有理数加法法则计算： （2）运用有理数加法法则计算： （3）运用有理数加法法则计算： （4）通分，运用有理数加法法则计算： （5）任何数与0相加还得原数： （6）通分，运用有理数加法法则计算． 【详解】（1）解：． （2）解：． （3）解：． （4）解：． （5）解：． （6）解：． 2．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)0 (3) (4) 【分析】本题主要考查了有理数的加法： （1）根据有理数的加法法则计算即可； （2）根据有理数的加法法则计算即可； （3）根据有理数的加法法则计算即可； （4）根据有理数的加法法则计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 3．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数的加法运算，能利用有理数加法的交换律和结合律简化运算是解题的关键． （1）利用有理数加法运算法则及加法运算律求解即可； （2）利用有理数加法运算法则及加法运算律求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 4．计算： (1)； (2)； (3)； 【答案】(1)18 (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了有理数的加减运算、有理数的加法运算律等知识点，灵活运用有理数加法运算律进行简便运算是解题的关键． （1）根据有理数的加法运算律进行简便运算即可； （2）根据有理数的加法运算律进行简便运算即可； （3）根据有理数的加法运算律进行简便运算即可； （4）根据有理数的加法运算律进行简便运算即可． 【详解】（1）解：； ． （2）解： ． （3）解： ． 题型02 有理数加法中的符号问题 5．把转化成几个有理数相加的形式，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算． 将每个减法转化为加法，并改变减数的符号即可． 【详解】解：第一个减号： 转化为 ； 第二个减号： 转化为 ； 因此，原式转化为： 故选 B． 6．把写成省略加号和括号的形式为________． 【答案】 【分析】把减法转化为加法，再省略加号和括号即可． 【详解】解：， 故答案为： 【点睛】此题考查了加减混合运算，熟练掌握省略加号和括号的形式是解题的关键． 7．计算： (1)，； (2)，． (3)___________． 【答案】(1)，5，， (2)，1，， (3)0 【分析】根据有理数的加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加，异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值，互为相反数的两个数相加的零． 【详解】（1）解：， ； （2）解：， ； （3）解：． 【点睛】本题考查了有理数的加法，熟练掌握有理数的加法法则是解题关键． 8．如果两数相加的和小于每一个加数，那么下列判断正确的是（   ） A．这两个加数一定有一个数是0 B．这两个加数一定都是负数 C．这两个加数一正一负 D．这两个加数的符号不能确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数加法中的符号问题， 根据负数的特点结合有理数加法法则即可得出答案． 【详解】解∶只有两个负数相加和才小于这两个加数． 故选：B． 题型03 有理数加法在生活中的应用 9．2025年10月，我国深地川科1井首次突破10000米．以水平地面为基准面，向上为正方向．若当时深度记为米，后续钻井又下探910米，则钻井最终下探深度可记为（    ）． A．米 B．米 C．米 D．10910米 【答案】A 【详解】解：． 10．盐果子是江西萍乡的特色零食，以本地新鲜蔬果为原料，经腌制、晾晒、烘干等多道工序制成．在制作过程中很有讲究，烘干环节的温度控制十分关键，需要保持均匀稳定，才能保证盐果子的口感与品质．夏夏同学在观摩制作过程时，记录了温度T（单位：）随时间t（单位：）变化的数据，如表： 时间 0 2 4 6 温度 14 32 50 68 若温度的变化是均匀的，则每分钟温度增加______． 【答案】9 【分析】根据表格数据，时间每增加2分钟，温度增加，因此每分钟温度增加，据此可推断． 【详解】解：由表可知，时间从到，温度从升至，增加； 时间从到，温度从升至，增加； 时间从到，温度从升至，增加. 由于温度变化均匀，每分钟温度增加量为． 11．手机支付给生活带来便捷，如图是王老师某日微信账单的收支明细（正数表示收入，负数表示支出，单位：元）王老师当天微信收支的最终结果是________． 微信红包—来自王某某： 某平台商户： 扫二维码付给某店： 【答案】收入元 【分析】本题考查了正数和负数，有理数的加减的应用，将所有收支数据相加，最后根据结果的符号和数值确定最终结果，正确列式计算是解此题的关键． 【详解】解：， 故王老师当天微信收支的最终结果是收入元， 故答案为：收入元． 12．足球比赛中，根据场上攻守形势，守门员会在门前来回跑动．如果以球门为基准，向前跑记作正数，返回则记作负数，一段时间内，某守门员的跑动情况记录如下（单位：）：，，，，，，，（假设开始计时时守门员正好在球门线上） (1)请通过计算说明守门员最后停在什么位置； (2)请通过计算说明守门员共跑了多少米？ 【答案】(1)守门员在球门前处 (2)守门员共跑了 【分析】本题考查了有理数的加减、绝对值，熟练掌握其运算法则是解题的关键． （1）将所有数字相加进行计算即可； （2）将所有数字的绝对值相加进行计算即可． 【详解】（1）解：， ∴守门员在球门前处； （2）解：， ∴守门员共跑了． 题型04 有理数加法运算律 13．对于可以如下计算： 解：原式 ___________ ___________ ___________ 上面这种方法叫拆项法． (1)请补全以上计算过程； (2)类比上面的方法计算： 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了有理数的加法计算，解题的关键是理解题意． （1）先把带分数化为整数加上真分数的形式，再把整数和整数相加，分数与分数相加，分别求和后，最后再求和即可得到答案； （2）先把带分数化为整数加上真分数的形式，再把整数和整数相加，分数与分数相加，分别求和后，最后再求和即可得到答案． 【详解】（1）解：原式 ， 故答案为：， （2） ， ， ． 14．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（）利用加法运算律计算即可； （）利用加法运算律计算即可； （）利用加法运算律计算即可； （）利用加法运算律计算即可； 本题考查了有理数的加法运算，掌握有理数的加法运算律和运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 15．计算 (1) (2) (3) (4) (5) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握加减运算法则以及加法的结合律与交换律是解题的关键； （1）根据有理数的加减混合运算进行计算即可求解； （2）将减法转化为加法进行计算即可求解； （3）先去括号，然后根据加减混合运算进行计算即可求解； （4）先去括号，然后根据加减混合运算进行计算即可求解； （5）先去括号，然后根据加减混合运算进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ． 16．计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2)40 【分析】本题主要考查了有理数加法的运算，熟练掌握有理数加法的计算方法是解题的关键． （1）先将化为，再运用加法的交换律和结合律进行计算即可得到答案． （2）利用有理数的加法结合律求解即可． 【详解】（1）解： ． （2） ． 题型05 有理数减法运算 17．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 【分析】本题主要考查了有理数的加减运算，解题的关键是掌握有理数的加减运算法则． （1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）利用有理数的减法法则进行计算即可； （8）利用有理数的加减法法则进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：； （6）解：； （7）解：； （8）解：． 18．计算： (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 【分析】本题考查了有理数的加、减法运算，掌握运算法则是解题的关键． （1）根据有理数的加法法则求解即可； （2）根据有理数的加法法则求解即可； （3）根据有理数的加法法则求解即可； （4）根据有理数的加法法则求解即可； （5）根据有理数的减法法则求解即可； （6）根据有理数的减法法则求解即可； （7）根据有理数的减法法则求解即可； （8）根据有理数的减法法则求解即可． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ； （6） ； （7） ； （8） ． 19．口算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2)19 (3) (4) (5) (6) 【分析】此题考查了有理数的加法和减法，熟练掌握有理数的加法和减法的法则是关键． （1）利用有理数的加法计算即可； （2）利用有理数的加法计算即可； （3）利用有理数的加法计算即可； （4）利用有理数的减法计算即可； （5）利用有理数的减法计算即可； （6）利用有理数的减法计算即可． 【详解】（1）解： （2） （3） （4） （5） （6） 20．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则． （1）根据有理数的加减混合运算法则计算即可； （2）根据有理数的减法运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型06 有理数减法的实际应用 21．吐鲁番盆地最低点海拔为，珠穆朗玛峰峰顶海拔为，两地相对高度是________． 【答案】 【详解】解： ∴两地相对高度为． 22．月球表面白天温度可达，夜间可降至，求月球表面的温差． 【答案】 【分析】理解题意，根据温差的定义列式计算，即可作答． 【详解】解：． 23．某儿童服装店用 360 元购买了 8 套儿童服装 ，准备以一定价格出售 ，8 套服装的售价不完全相同 ，若每套服装的售价以 50 元为标准 ，超出的记作正数 ，不足的记作负数 ，记录如下（单位 ：元） ：，，，，，，，． (1)该服装店卖完这 8 套儿童服装后 ，是盈利还是亏损 ？ (2)盈利（或亏损）了多少元 ？ 【答案】(1) 盈利 (2) 盈利了37元 【分析】本题考查正数和负数，有理数四则运算的实际应用，有理数加减混合运算的实际应用，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量． （1）所得的正负数相加，然后计算出总售价，再与进价相比较即可得到答案； （2）用总售价减去进价即可． 【详解】（1）解：∵， ∴总售价为：（元）， ∵， ∴该服装店卖完这 8 套儿童服装后 ，是盈利了； （2）解：由（1）可知总售价为397元，总进价为360元， ∴（元）， ∴盈利了37元． 24．外卖送餐为我们生活带来了许多便利，某学习小组调查了一名外卖小哥一周的送餐情况，规定每天送餐量超过单送一次外卖称为一单的部分记为“”，低于单的部分记为“”，如表是该外卖小哥一周的送餐量： 星期 一 二 三 四 五 六 日 送餐量单位：单 (1)该外卖小哥这一周送餐量最多的一天比最少的一天多多少单？ (2)若每送一单能获得元的酬劳，请计算外卖小哥这一周的收入． 【答案】(1)该外卖小哥这一周送餐量最多的一天比最少的一天多单； (2)外卖小哥这一周的收入为元． 【详解】（1）解：（单）， 答：该外卖小哥这一周送餐量最多的一天比最少的一天多单． （2）解：（单）， （元）． 答：外卖小哥这一周的收入为元． 题型07 有理数的加减混合运算 25．解答题： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4) 【分析】（1）先去括号将减法转化为加法，再利用加法结合律把正数与正数、负数与负数分别结合，简化计算； （2）先计算绝对值，再将小数化为分数，利用加法结合律把同分母分数结合，快速计算； （3）利用加法交换律和结合律，将互为相反数的项、同分母的项分别结合，通过抵消或合并简化运算； （4）先去括号转化为加法，再利用加法结合律把同分母的项分别结合，或通分后计算，简化运算过程． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． （4）解：原式 ． 26．计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算．先化简括号，再根据有理数的加减混合运算进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： 27．计算 (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1)8 (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的加减运算及绝对值的性质，解题的关键是熟练掌握有理数加减运算法则，先化简符号或去绝对值再计算． （1）先将减法化为加法，再合并同类项计算；（2）先去绝对值，再合并同类项计算；（3）直接按顺序进行加减运算；（4）先化简符号，再利用加法结合律简便计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； 28．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)2 (2)4 (3)3.5 (4) 【分析】本题主要考查有理数的加减运算，熟练掌握有理数的加减运算是解题的关键； （1）根据有理数的加减运算可进行求解； （2）根据有理数的加减运算可进行求解； （3）根据有理数的加减简便运算可进行求解； （4）根据有理数的加减运算可进行求解． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式． 题型08 有理数加减中的简便运算 29．计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算．利用有理数加法运算律计算即可． 【详解】解： 30．计算：． 【答案】 【分析】本题考查有理数的加减混合运算，关键是运用加法交换律和结合律，将同分母的数结合凑整，简化计算流程．首先根据去括号法则去掉原式中的括号，再将同分母的带分数与分数分组结合，最后分别计算各组结果并求和． 【详解】解：原式 ． 31．计算： (1) (2) 【答案】(1)8 (2) 【分析】本题考查了有理数加减中的简便运算，掌握有理数加法的交换律和结合律是解题的关键． （1）根据有理数加法的交换律和结合律等计算即可； （2）根据有理数加法的交换律和结合律等计算即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 32．计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算．先去括号，再将带分数拆分成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算． 【详解】解： ． 题型09 有理数加减混合运算的实际应用 33．某科技公司研发了一种新型智能机器人，为测试其稳定性，技术人员设置机器人从定点开始沿直线前进和后退，规定向前的路程记为正数，后退的路程记为负数．在一段时间内，机器人走过的各段路程依次为(单位：米)： ，，，，，，． (1)通过计算说明机器人最后是否回到了起点．若没有，请说明机器人此时是前进了还是后退了，前进了或后退了多少米？ (2)在机器人行走过程中，如果每走1米得分，则本次机器人一共得到多少分？ 【答案】(1)没有回到起点，前进了4米； (2)分 【分析】本题考查正负数的实际应用及有理数加减的运算，核心是理解正负数表示相反意义的量，以及绝对值在路程计算中的作用． （1）将机器人走过的各段路程的数值进行有理数的加减混合运算，根据运算结果判断是否回到起点，结果为0则回到起点，结果的正负表示前进或后退，绝对值表示距离起点的距离； （2）因为路程是实际行走的长度，与方向无关，所以先计算各段路程绝对值的和得到总路程，再乘以每米的得分即可求出总得分． 【详解】（1）解：计算机器人最终相对起点的位置： ． ∵结果为正， ∴机器人没有回到起点，前进了4米； （2）解：计算总路程：． 总得分：(分)； 答：本次机器人一共得到分． 34．近期，某校校运会盛大开幕，火炬传递仪式在开幕式上顺利举行，全体师生以青春姿态致敬全运精神，本次仪式共安排12名火炬手跑完全程，平均每人传递里程为50米．现以50米为基准，火炬手实际里程超过50米的米数记为正数，不足的记为负数，并将其称为里程波动值．如下表记录了部分火炬手的里程波动值． 棒次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 里程波动值 2 6 1 3 0 3 4 1 (1)第7棒火炬手的实际里程为___________米，第8棒火炬手的实际里程为___________米． (2)若第3棒火炬手的实际里程为55米，求第9棒火炬手的实际里程． 【答案】(1)50，45 (2)32米 【分析】本题考查正数和负数，有理数的加减运算，需要理解正负号在特定数学环境中的意义． （1）实际里程为基准值与波动值的和，据此作答即可； （2）根据题意，先求出第3棒火炬手的里程波动值，再求出其余人的波动值的和，然后结合所有波动值的和应该为0，据此可求得第9棒火炬手的里程波动值，从而求出其实际里程． 【详解】（1）解：第7棒火炬手的实际里程为（米）， 第8棒火炬手的实际里程为（米）， 故答案为：50，45； （2）解：∵第3棒火炬手的实际里程为55米， ∴第3棒火炬手的里程波动值为5， ， ∴第9棒火炬手的里程波动值为， ∴第9棒火炬手的实际里程为（米）， 答：第9棒火炬手的实际里程32米． 35．[热点情境·防近视]根据国家卫生健康委发布的《儿童青少年近视防控适宜技术指南》，建议中学生每天使用电子产品的时间不超过2小时，某校想了解该校学生每天使用电子产品的时间情况，特制作了调查表进行调查，如表是该校某学生某周每天使用电子产品的时间情况（标准使用时间为每天2小时，超过记为正、不足记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 (1)该生周三使用电子产品多少个小时？ (2)该生使用电子产品的时间最多的一天比时间最少的一天多多少小时？ (3)该生这一周使用电子产品共用了多少小时？ 【答案】(1)该生周三使用电子产品1小时 (2)该生使用电子产品的时间最多的一天比时间最少的一天多8小时 (3)该生这一周使用电子产品共用了23小时 【分析】本题考查了有理数的混合运算，正数和负数，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）根据题意可得：该生周三使用电子产品的时间，然后列式进行计算即可解答； （2）根据题意可得：使用电子产品时间最多的一天比时间最少的一天多的时间，然后列式进行计算即可解答； （3）先计算出一周的总增减时间，再加上7天的标准总时间，即可求得该生这一周使用电子产品的总时间． 【详解】（1）解：由题意得，（小时）． 答：该生周三使用电子产品1小时． （2）由题意，得（小时）． 答：该生使用电子产品的时间最多的一天比时间最少的一天多8小时． （3）由题意得：（小时）， ∴（小时）． 答：该生这一周使用电子产品共用了23小时． 36．某中学劳技课程布置了一项社会实践活动，通过参与家庭劳动、出售废弃或闲置物品获得一定收入，劳动所得可以自行安排支出．甲同学按照老师要求每周做一次收支记录，下表是他一个月的收支情况（收入“”，支出“”，单位：元）． 时间 第一周 第二周 第三周 第四周 收入 支出 (1)甲同学这个月劳动所得还有剩余吗？如果有剩余，剩余多少元？ (2)若规定：收入元，支出元，则经手金额为元（即经手金额为收入金额与支出金额的和，如收入元，支出元，则经手金额为元），则甲同学这个月经手总金额与元比较，超过或不足多少元？ 【答案】(1)有剩余，剩余元 (2)不足元 【分析】本题考查正负数的应用，有理数加减运算的应用，熟记有理数加减运算法则是解决问题的关键． （1）根据甲同学一个月的收支情况，由有理数加减运算法则计算即可得到答案； （2）根据题意，由有理数加减运算法则计算即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意可得， 答：甲同学这个月劳动所得还有剩余，剩余元； （2）解：由题意可得， ， 甲同学这个月经手总金额与元比较，不足元． 题型10 省略加法和括号的形式 37．不改变原式的值，省略算式中的括号和加号后，可以写成的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、， A错误； B、， B正确； C、， C错误； D、， D错误． 38．把写成省略加号的和的形式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数的加减法省略加号的和的形式．根据减去一个数等于加上这个数的相反数进行求解即可． 【详解】解：把写成省略加号的和的形式为， 故选：C． 39．将算式写成省略括号和加号的形式是____________． 【答案】 【分析】本题考查有理数的加减运算，根据去括号法则进行化简，省略加号和括号，熟练掌握有理数运算中的去括号法则是解题的关键． 根据有理数的加减法法则，省略加号和括号即可． 【详解】解：，，， 原式． 故答案为：． 40．请把下列各式写成省略加号的形式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了省略加号的和的形式，熟记省略加号的和的形式书写是解本题的关键． 直接写成省略加号的和的形式即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 题型11 有理数加减法与数轴结合 41．数轴是一个非常重要的数学工具，通过数轴可以把数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，是建立“数形结合思想”的基础．如图，以为1个单位长度，用直尺画数轴，数轴上从左到右依次有，，三点，且数轴上点、点和点刚好对着刻度尺上的刻度2、刻度8和刻度10． (1)若数轴上点和点这两点所表示的数互为相反数，则数轴上原点对着直尺上的刻度是，点在数轴上所表示的数是________． (2)若点在数轴上所表示的数是，分别求出点、点在数轴上所表示的数． (3)若数轴上，，三点在数轴上所表示的数分别为，，，当点到原点的距离为2026时，求的值． 【答案】(1)2 (2)，． (3)2020或 【分析】本题主要考查了表示数轴上的有理数、两点间的距离、代数式求值等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）先确定刻度6表示原点，然后确定点B表示的数即可； （2）刻度表示原点，然后确定点A、C表示的数即可； （3）由题意可得点表示的数为2026或，然后分点表示的数为2026和两种情况解答即可． 【详解】（1）解：∵数轴上点、点和点刚好对着刻度尺上的刻度2、刻度8和刻度10． ∴， ∵数轴上点和点这两点所表示的数互为相反数， ∴刻度6表示原点， ∴点在数轴上所表示的数是2． 故答案为：2． （2）解：∵点在数轴上所表示的数是， ∴刻度表示原点， ∴点、点在数轴上所表示的数分别为，． （3）解：∵当点到原点的距离为2026， ∴点表示的数为2026或， 当点表示的数为2026时，点B表示2024，点A表示的数为， ∴， ∴； 当点表示的数为时，点B表示，点A表示的数为， ∴， ∴． 综上：的值为2020或． 42．数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合．通过研究数轴，我们发现了许多重要的规律，比如：数轴上点和点表示的数为，，则，两点之间的距离，若，则可化简为．若点为数轴上一动点，点对应的数记为，请你利用数轴解决以下问题： (1)若点与表示有理数的点的距离是3个单位长度，则的值为 ； (2)表示数轴上点到有理数 所对应的点之间的距离，表示数轴上点到有理数 所对应的点之间的距离； (3)利用数轴，找出所有符合条件的整数，使得．则这样的整数有 ，共 个． (4)若数轴上比小2的数用表示，比大5的数用表示，则的最小值为 ． 【答案】(1)2或 (2)2， (3)，，，，，0，1，2；8 (4)14 【分析】此题考查了数轴，绝对值的几何意义，熟练掌握数轴上点的特征，两点间距离的求法，绝对值的意义是解题的关键． （1）根据数轴上两点间的距离求解即可； （2）根据数轴上两点间的距离和绝对值的几何意义求解即可； （3）根据数轴上两点间的距离和绝对值的几何意义求解即可； （4）根据题意得出，，从而得出，根据数轴上两点间的距离和绝对值的几何意义得出当有理数所对应的点在有理数4所对应的点和有理数所对应的点之间时，最小，最小值为，即可求出的最小值． 【详解】（1）解：∵点与表示有理数的点的距离是3个单位长度， ∴或， 故答案为：2或． （2）解：表示数轴上点到有理数2所对应的点之间的距离， 表示数轴上点到有理数所对应的点之间的距离， 故答案为：2，． （3）解：表示数轴上点到有理数2所对应的点之间的距离与数轴上点到有理数所对应的点之间的距离之和为7， ∵， ∴点在有理数2所对应的点和有理数所对应的点之间，包括2和， ∴这样的整数有，，，，，0，1，2，共8个． （4）解：∵数轴上比小2的数用表示，比大5的数用表示， ∴，， 则， 表示数轴上有理数所对应的点到有理数4所对应的点之间的距离与数轴上有理数所对应的点到有理数所对应的点之间的距离之和， 当有理数所对应的点在有理数4所对应的点和有理数所对应的点之间时，最小，最小值为， 则的最小值为14， 故答案为：14． 43．综合与实践：【问题情境】数学活动课上，王老师出示了一个问题：点A、B数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离，利用数形结合思想回答下列问题： （1）数轴上表示和两点之间的距离是______；数轴上表示和的两点之间的距离是______； 【独立思考】： （2）数轴上表示和的两点之间的距离表示为______； （3）试用数轴探究：当时，的值为______． 【实践探究】：利用绝对值的几何意义，结合数轴，探究： （4）利用数轴求出的最小值，并写出此时可取哪些整数值？ 【答案】（1）6，5；（2）；（3）或6；（4）最小值为4，此时x可取整数1，2，3，4，5 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离、绝对值的几何意义等知识，全面分类、数形结合是解题的关键； （1）根据数轴上两点间的距离解答即可； （2）根据数轴上两点间的距离解答即可； （3）表示数轴上数m与1之间的距离为5，再分当数m在1的左边和右边两种情况求解即可； （4）的意思是数轴上表示数x的点与表示数1和5的两点的距离之和，然后分数x在数1的左边、在数1和5之间、数5的右边三种情况，结合数轴即可解答． 【详解】解：（1）数轴上表示和两点之间的距离是；数轴上表示和的两点之间的距离是； 故答案为：6，5； （2）数轴上表示和的两点之间的距离表示为； 故答案为：； （3）表示数轴上数m与1之间的距离为5，则当数m在1的左边时，数，当数m在1的右边时，数， 综上，或6； 故答案为：或6； （4）的意思是数轴上表示数x的点与表示数1和5的两点的距离之和， 则当数x在数1的左边时，表示数x的点与表示数1和5的两点的距离之和大于4， 当数x在数1和5之间时，表示数x的点与表示数1和5的两点的距离之和等于4， 当数x在数5的右边时，表示数x的点与表示数1和5的两点的距离之和大于4， 综上：当数x在数1和5之间时，有最小值，且最小值为4，此时x可取整数1，2，3，4，5． 44．阅读理解：数轴上表示有理数的点到原点（有理数0表示的点）的距离，叫作这个有理数的绝对值．例如：，它表示数轴上表示有理数2的点到原点的距离，从数轴上容易发现，表示有理数2的点到原点的距离是2个单位长度，即（如图①）．同样的，数轴上表示有理数和表示有理数的两个点之间的距离可以用来表示．例如：数轴上表示的点到表示2的点的距离用表示，从数轴上容易发现，表示的点到表示2的点的距离是5个单位长度，即（如图②）． 以上这种借助直观的数轴来解决问题的方法就是研究数学问题常用的“数形结合”的方法．请你根据以上学到的方法完成下列任务． 【任务一】请根据以上阅读计算： 若点表示，点表示1，则两点的距离是 ． 【任务二】根据绝对值的意义求字母的值： 若，求所表示的有理数．根据绝对值的意义，“”指数轴上表示的点到表示3的点的距离是4个单位长度，表示的有理数是 ． 【任务三】设点在数轴上表示的有理数是，借助数轴如图探索： 的最小值是 ． 【答案】任务一：；任务二：或；任务三： 【分析】此题主要考查了数轴上两点间的距离计算，绝对值的几何意义，正确理解题意是解题的关键． 任务一：数轴上表示和表示的两个有理数之间的距离可以用表示，据此求解即可； 任务二：根据题意可得数轴上表示的点到表示3的点的距离是4个单位长度，那么可分x在3的左侧和x在3的右侧两种情况，结合数轴上两点间的距离计算公式求解即可； 任务三：表示数轴上表示的点到表示4的点与表示的点到表示的点的距离之和，那么当位于和4之间时，有最小值，据此求解即可． 【详解】解：任务一：由题意得两点的距离是， 故答案为：； 任务二：∵“”指数轴上表示的点到表示3的点的距离是4个单位长度， ∴由数轴可得或， 故答案为：或； 任务三：表示数轴上表示的点到表示4的点与表示的点到表示的点的距离之和， 故当位于和4之间时，有最小值，最小值为， 故答案为：5 ． 题型12 有理数加减法与绝对值结合 45．【课本再现】数学课本上给出了绝对值的概念：一个数的绝对值就是这个数所对应的点到原点的距离． 小明和小亮对这个概念进行探究得出：距离须用非负数表示，所以正数和零的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数．请根据以上知识解决下列问题： (1)下列结果正确的是______（填选项）； A．    B．    C． (2)计算：． 【答案】(1)C (2) 【分析】本题考查了绝对值的性质，解题的关键是根据绝对值的定义正确化简绝对值。 （1）依据绝对值的定义，分别判断每个选项中绝对值内式子的正负，进而化简绝对值并比较，确定正确选项。 （2）根据绝对值的性质，对每一项绝对值进行化简，然后通过去括号、抵消中间项，最终计算得出结果。 【详解】（1）A．，而，两者不相等，故该选项不符合题意； B．，而，两者不相等，故该选项不符合题意； C．因为，所以，故该选项符合题意； 故选：C． （2） ． 46．学习了绝对值的概念后，我们知道：一个非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，即当时，；当时，，对于含绝对值的算式，在有些情况下，可以不需要计算出结果就能将绝对值符号去掉，例如：；；，． (1)根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不用算出结果）； ①_________；②_________． (2)请利用你探究的结论计算：． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】本题考查绝对值的意义，有理数的加减运算，熟练掌握相关知识点，正确化简绝对值是解题的关键； （1）观察可知，去掉绝对值符号的形式为：较大的数减去较小的数，据此即可求解； （2）由观察所得结论去掉绝对值，然后根据数字的变化规律进行计算． 【详解】（1）解：根据题中规律可得两数相减的绝对值等于较大的数减去较小的数， ，． 故答案为：①；②． （2）解： ， ， ， ． 47．阅读下列材料： 经过有理数运算的学习，我们知道可以表示5与3之差的绝对值，同时也可以理解为5与3两个数在数轴上所对应的两点之间的距离，可以表示5与之差的绝对值 (1)表示数轴上 ___________与 ___________所对应的两点之间的距离． (2)表示数轴上有理数x所对应的点到 ___________所对应的点之间的距离；表示数轴上有理数x所对应的点到 ___________所对应的点之间的距离． (3)利用绝对值的几何意义，请找出所有符合条件的整数x，使得．这样的整数x有 ___________． (4)利用绝对值的几何意义，写出的最小值． 【答案】(1)4，1； (2)5，； (3)，，0，1，2，3，4，5； (4)5 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，绝对值的性质， （1）根据数轴上的两点距离可直接判断； （2）根据数轴上的两点距离可直接进行求解； （3）根据绝对值的几何意义，得出该式表示数轴上有理数x所对应的点到的距离和到5的距离的和为7，进而求解； （4）首先结合数轴判断出式子的几何意义，再结合数轴判断． 【详解】（1）由题意得：表示数轴上4与1所对应的两点之间的距离； 故答案为：4，1； （2）表示数轴上有理数x所对应的点到5所对应点之间的距离；表示数轴上有理数x到所对应点之间的距离． 故答案为：5，； （3）由题意得：表示数轴上有理数x所对应的数到数轴上与5的距离之和等于7， 又∵， ∴. 又∵x为整数， ∴x表示的数为：，，0，1，2，3，4，5． 故答案为：，，0，1，2，3，4，5． （4）由题意得：当时，有最小值，最小值为：． 48．阅读下列材料：经过有理数运算的学习，我们知道可以表示5与3之差的绝对值，同时也可以理解为5与3两个数在数轴上所对应的两点之间的距离，我们可以把这称之为绝对值的几何意义．同理，可以表示5与之差的绝对值，也可以表示5与两个数在数轴上所对应的两点之间的距离．试探究： (1)表示数轴上4与________所对应的两点之间的距离． (2)表示数轴上有理数所对应的点到________所对应的点之间的距离；表示数轴上有理数所对应的点到_________所对应的点之间的距离． (3)利用绝对值的几何意义，请找出所有符合条件的整数，使得．这样的整数有________个． (4)利用绝对值的几何意义，写出的最小值． 【答案】(1) (2)， (3) (4) 【分析】本题主要考查绝对值与数轴的综合应用， （1）根据数轴上的两点距离可直接进行求解； （2）根据数轴上的两点距离可直接进行求解； （3）根据绝对值的几何意义，得出该式表示数轴上有理数x所对应的点到−2的距离和到5的距离的和为7，继而求解； （4）首先结合数轴判断出式子的几何意义，再结合数轴判断． 【详解】（1）解：由题意得： 表示数轴上4与所对应的两点之间的距离． （2）表示数轴上有理数所对应的点到5所对应点之间的距离， 表示数轴上有理数到所对应点之间的距离． （3）由题意得： 表示数轴上有理数所对应的数到数轴上与5的距离之和等于7， 又， ， 又为整数， 表示的数为：，，0，1，2，3，4，5，所以有8个整数． （4）由题意得： 当时，有最小值， 令，代入可得，最小值为： ． 题型13 有理数加减法的新定义运算 49．甲同学说：“我定义了一种新的运算，叫*（加乘）运算．“然后他写出了一些按照*（加乘）运算的运算法则进行运算的算式：；；；；；．乙同学看了这些算式后说：“我知道你定义的*（加乘）—运算的运算法则了．”聪明的你也明白了吗？ (1)请你根据甲同学定义的*（加乘）运算的运算法则，计算下列式子： ______；______；______；______． (2)请你尝试归纳甲同学定义的*（加乘）运算的运算法则．两数进行*（加乘）运算时，同号得_____、异号得_____、并把_____相加．特别地，0和任何数进行*（加乘）运算，______． (3)我们知道有理数的加法有结合律，请判断这种新运算“*”是否具有结合律？并举一个例子验证你的结论． 【答案】(1)； (2)正；负；绝对值；等于这个数的绝对值； (3)新运算不具有结合律；见解析 【分析】本题考查的是新定义运算，同时考查的是有理数的加法运算，绝对值的含义，理解新定义，归纳总结运算法则是解本题的关键． （1）根据题干提供的运算特例的运算特点分别进行计算即可； （2）根据题意归纳可得加乘运算的运算法则即可； （3）对于加乘运算的结合律，可举例，进行运算后再判断即可． 【详解】（1）解：根据加乘运算的运算法则可得： ；；， ； 故答案为：； （2）解：两数进行*（加乘）运算时，同号得正，异号得负，并把绝对值相加． 特别地，0和任何数进行*（加乘）运算，等于这个数的绝对值． 故答案为：正；负；绝对值；等于这个数的绝对值； （3）解：新运算不具有结合律， 例如：， ， ∴ 故新运算不具有结合律． 50．对于有理数，定义运算：． (1)计算的值； (2)求的值； (3)计算和的值，并根据计算结果判断这种新定义是否满足交换律． 【答案】(1) (2) (3)不满足，理由见解析 【分析】本题考查有理数的加减混合运算、新定义； （1）根据，计算出所求式子的值； （2）根据，先计算可以计算出所求式子的值； （3）分别根据进行计算即可判断是否成立． 【详解】（1）解：∵ ∴ ； （2）解：∵ ∴ ； （3）解：这种新定义不满足交换律，理由如下， ∵ ∴ ， ∴ 51．【定义】定义一种新的运算“*”，规则如下： （1）同号两数运算，结果取正号，结果的绝对值为两数绝对值之和； （2）异号两数运算，结果取负号，结果的绝对值为两数绝对值之和； （3）0和任何数运算，结果等于另一个数的绝对值． 例：， 【计算】 ① ② ③ ④ 【探究一】是否存在两个有理数，使得？如果存在，请举出例子；如果不存在，请说明理由． 【探究二】小明在计算时，得到的结果是，求x的值． 【探究三】如果两个有理数的结果是负数，那么等式对任意非零有理数c是否成立，请说明理由． 【答案】【计算】①②③④【探究一】存在，【探究二】【探究三】成立，理由见解析 【分析】本题考查了定义新运算，有理数的加法以及绝对值的意义，理解新定义的运算法则是关键． 【计算】根据运算法则计算即可． 【探究一】按照运算法则确定． 【探究二】根据结果得正，两数同号，绝对值的和为15，由此利用和15减去另一加数得其x的绝对值，且x为负； 【探究三】根据题意a、b异号，，分情况求解即可． 【详解】解：【计算】①； ②； ③； ④； 【探究一】存在，当时，； 【探究二】∵在计算时，得到的结果是，根据定义可知：与同号，， ∴； 【探究三】成立， ∵两个有理数的结果是负数， ∴a、b异号，， ①当时，， 若，，， ∴； 设，，， ∴； ②当时，， 若，，， ∴； 设，，， ∴； 综上，等式对任意非零有理数c都成立． 52．阅读下列内容，并完成相关的问题． 小明说：“我定义了一种新的运算，叫（加乘）”，然后他写出了一些按照（加乘） 运算的运算法则进行了运算的算式：；； ；；；； 小亮看了这些算式后说：“我知道你定义的（加乘）运算的运算法则了”． 聪明的你也明白了吗？ (1)模仿计算：______；______ ；______； (2)拓展计算：；(括号的作用与它在有理数运算中的作用一致) (3)我们知道加法交换律和结合律，这两种运算律在有理数的 *（加乘）运算中还适用吗？请你选择加法结合律，判断它在（加乘）运算中是否适用，并举一个例子验证． 【答案】(1)；； (2) (3)加法的交换律仍然适用，结合律不适用，举例见解析 【分析】本题考查了有理数的运算，理解运算法则是解题的关键． （）根据运算法则计算即可； （）根据运算法则计算即可； （）根据运算法则进行判断即可； 【详解】（1）解：；；； 故答案为：；；； （2）解： ； （3）解：加法的交换律仍然适用，结合律不适用． 加法的交换律： 例如：，， ∴， ∴加法的交换律仍然适用； 结合律： 举例：，， ∴， ∴结合律不适用． 1．（2025·上海宝山·模拟预测）计算：（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：． 2．（25-26七年级上·四川宜宾·阶段检测）在同一数轴上，点表示的数是2，又知点与点相距3个单位长度，则点所表示的数是（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查数轴上两点间的距离，需分情况讨论点的位置，避免漏解． 【详解】解：点表示数，点与点相距个单位长度， ∴分两种情况讨论： 当点在点的右侧时， 点表示的数为； 当点在点的左侧时， 点表示的数为； 点表示的数是或． 3．（26-27七年级·全国·暑假作业）将统一为加法运算，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据有理数的加减法法则，即可求解． 【详解】解：把统一为加法运算为． 4．（2026·河南·模拟预测）如图为小明拍摄的家中冰箱温度的显示，上面的数字为冷藏室的温度，下面的数字为冷冻室的温度，可知冷藏室比冷冻室温度高（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：冷藏室比冷冻室温度高． 5．（2026·山西运城·二模）山西省内海拔最高点是被誉为“华北屋脊”的五台山叶斗峰，其海拔约为3061米，最低点是运城市垣曲县黄河口，其海拔约为180米．某兴趣小组将太原市的平均海拔800米记作0米，若五台山叶斗峰海拔记作米，则运城市垣曲县黄河口海拔可记作（     ） A．米 B．米 C．米 D．180米 【答案】C 【分析】本题考查正负数的实际意义，以800米为基准，高于基准记为正，低于基准记为负，计算黄河口海拔与基准的差值即可得到结果． 【详解】解：∵ 题目规定将太原市平均海拔800米记作0米，即基准为800米，高于基准记正，低于基准记负， 又∵ 运城市垣曲县黄河口实际海拔为180米， ∴ 米， 因此运城市垣曲县黄河口海拔可记作米． 6．（2026·安徽芜湖·三模）计算：_______ 【答案】 【详解】解：． 7．（2026·湖北·中考真题）数轴上表示数，的点如图所示，则_____0．（填“”“”或“”） 【答案】 【详解】解：由数轴可得， ∴． 8．（26-27六年级上·上海·开学考试）一种饮料瓶身标注的净含量是，经检测，第一瓶饮料的实际净含量是，检测员记作“”，第二瓶饮料检测员记的是“”，那么第二瓶饮料的实际净含量是________． 【答案】295 【详解】解：∵第一瓶饮料的实际净含量是，检测员记作“”， 第二瓶饮料检测员记的是“”， ∴第二瓶饮料实际净含量为：． 9．（25-26六年级下·黑龙江绥化·期中）已知点在数轴上所对应的数为3，点A、B之间的距离为5，则点在数轴上所对应的数是_______． 【答案】或8 【分析】点B的位置有两种情况，分别在点A的左侧和点A的右侧，根据数轴上两点间距离的定义列方程求解即可． 【详解】解：若点B在点A的右侧，则点B对应的数为， 若点B在点A的左侧，则点B对应的数为， 因此点B在数轴上对应的数是8或． 10．（25-26七年级上·全国·期末）数轴上有 A、B、C 三个点，点A在点B的左边相距2018个单位，且它们表示的数互为相反数，点A、C相距10个单位，则点 C 表示的数为______． 【答案】或 【分析】根据已知条件：点A在点B的左边相距2018个单位且它们表示的数互为相反数，就可求出点 A 的坐标，再根据点A、C的距离为10，分两种情况讨论：点C在点A的左边时；点C在点A的右边时，分别求出点C表示的数． 【详解】解：∵点A在点B的左边相距2018个单位且它们表示的数互为相反数， ∴点A表示的数为：， 当点C在点A 的左边时，且点A、C相距10个单位 ∴点C表示的数为：； 当点C在点A的右边时，且点A、C相距10个单位 ∴点C表示的数为：； ∴点C表示的数为：或． 11．（26-27七年级·全国·暑假作业）计算 【答案】0 【分析】运用交换律和结合律进行计算即可． 【详解】观察发现和可以凑成整数，两个可以凑成， 原式． 12．（26-27七年级·全国·暑假作业）计算：． 【答案】 【详解】解：原式 ． 13．（26-27七年级·浙江·暑假作业）某电业局要对某市区的电路进行巡检，某检修小组从A地出发，在东西向的马路上进行检修，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，检修车一天中八次行驶记录如下：（单位：千米）． (1)收工时该检修小组距离A地多远？ (2)该检修小组这一天行驶的总路程为多少千米？ 【答案】(1)收工时该检修小组在A地的东边，距离A地5千米 (2)该检修小组这一天行驶的总路程为千米 【详解】（1）解：（千米）， 答：收工时该检修小组在A地的东边，距离A地5千米； （2）解：（千米）， 答：该检修小组这一天行驶的总路程为千米． 14．（26-27七年级·全国·暑假作业）已知 ，求 的值． 【答案】 【详解】因为 ，，且它们的和为 ， 所以 且 ， 解得 ，， 所以 ． 15．（25-26七年级上·陕西西安·期末）当前，人们对健康愈加重视，跑步成了人们进行体育锻炼的首要选择．爸爸计划每天跑3千米，他记录了一周跑步路程变化的情况如下表：（正数表示比计划增加的路程，负数表示比计划减少的路程） 星期 一 二 三 四 五 六 日 路程/千米 (1)星期二爸爸的跑步路程是 千米； (2)爸爸跑步路程最多的一天是星期 ； (3)爸爸这七天一共跑步多少千米？ 【答案】(1)4 (2)五 (3)爸爸这七天一共跑步千米 【分析】本题考查有理数加法在实际生活中的应用，核心是正确理解表格中增减量的含义，即实际路程为计划路程与对应增减量的和． （1）直接通过计划路程加星期二的增减量计算实际路程； （2）根据表格找出比计划跑步路程多跑最远的一天即可； （3）用七天计划总路程加上所有增减量的总和来计算总路程． 【详解】（1）解：星期二爸爸的跑步路程为（千米）， 故答案为：4； （2）解：由表格可知，比计划增加的路程最多的一天多跑了2千米，即星期五， 所以爸爸跑步路程最多的一天是星期五， 故答案为：五； （3）解：七天计划跑步总路程为（千米）， 一周路程增减量的总和为（千米） 所以七天实际总路程为（千米）， 答：爸爸这七天一共跑步千米． 16．（25-26七年级下·广东广州·期末）北京市2026年5月1日的“日出、日中、日落时刻”如下表所示，则北京市2026年5月1日的白昼时长是（     ） 日出时刻 日中时刻 日落时刻 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】白昼时长为日落时刻减去日出时刻，根据时分秒的60进制计算即可得到结果． 【详解】解：． 17．（25-26七年级下·北京·期中）有50张同样的卡片，上面分别写有1，2，3，．．．，49，50．从中随机抽取五张，并将它们正面向下放置在桌上．如图，这五张卡片编号分别记为A，B，C，D，E，相邻两张卡片上的数的和如下表所示，则卡片上的数最大的编号记为（   ） 卡片编号 A，B B，C C，D D，E A，E 两数的和 71 48 54 66 59 A．D B．C C．B D．A 【答案】A 【分析】将五个相邻两数之和的等式相加，求出五个数的总和，再结合已知条件依次求出各数，比较大小即可． 【详解】解：由题意得：，，，，， 将以上五式相加得：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，，，， ∵，即， ∴卡片上的数最大的编号记为D． 18．（2025·江西赣州·模拟预测）一条数轴上有点、、，其中点、表示的数分别是，，现以点为折点，将数轴向右对折，若点落在射线上，并且，则点表示的数是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】分两种情况：点在线段上和点在的延长线上，根据和点B表示的数求出点表示的数，再根据折叠可得点C为的中点，据此讨论求解即可． 【详解】解：当点在线段上时，∵，且点B表示的数为10， ∴点表示的数为， ∵点A表示的数为， ∴点C表示的数为； 当点在的延长线上时，∵，且点B表示的数为10， ∴点表示的数为， ∵点A表示的数为， ∴点C表示的数为； 综上所述，点C表示的数为或． 19．（24-25七年级上·山西临汾·阶段检测）若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意分别求出的值，即可得到答案． 【详解】解：； ， ， ； ． 20．（25-26七年级上·湖南衡阳·期中）若，且，则的值为（   ） A．或 B．10或2 C．或2 D．10或 【答案】A 【分析】根据绝对值的性质得到m、n的所有可能取值，再结合筛选出符合条件的组合，最后分类计算的值即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， 当时，，，均不符合条件，舍去； 当时，，符合要求；，符合要求； 分两种情况计算： 当，时，； 当，时，； ∴的值为或，故A正确． 21．（24-25六年级上·山东烟台·阶段检测）若，且，那么的值是________． 【答案】或 【分析】根据绝对值的定义确定x和y的所有可能取值，再结合的条件筛选出符合的取值，最后计算的值即可. 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴或． 当时， ； 当时， ． 故答案为或． 22．（24-25七年级上·陕西西安·期中）小华探究“幻方”时，提出了一个问题：如图，将这五个数分别填在五个小正方形内，使横向三个数之和与纵向三个数之和相等，则填入中间位置的小正方形内的数可以是 _____________．（写出一个符合题意的数即可） 【答案】0（答案不唯一） 【分析】根据横向三个数之和与纵向三个数之和相等，进行填写即可得出结果． 【详解】解：根据题意可知， ，满足题意． 23．（25-26七年级上·江苏扬州·周测）如图所示，半径为1个单位长度的圆片上有一点A与数轴上的原点重合，线段是圆片的直径，将圆片沿数轴滚动，点B第二次到达数轴上点C的位置，点C表示的数是_________．（取） 【答案】或 【分析】根据圆的周长公式计算出圆的周长，分析点B接触数轴的规律，确定点B第二次到达数轴时圆滚动的距离，再根据滚动方向得出点C表示的数． 【详解】解：∵圆的半径为1， ∴圆的周长为， 由题意得，线段是圆片的直径，且初始时点A与原点重合， ∵点B在点A的正上方， ∴圆片向右滚动半周时，点B第一次到达数轴， 此时滚动的距离为， 当圆片再向右滚动一周时，点B第二次到达数轴，即为点C， 此时滚动的总距离为， 同理当圆片的滚动方向向左时，点C表示的数为， 综上所述，点C表示的数是或． 24．（25-26七年级上·江苏扬州·阶段检测）已知表示不超过x的最大整数．如：．现定义：，如，则______． 【答案】 【分析】本题考查新定义运算与有理数的减法运算，需先根据给定定义分别求出和的值，再利用有理数减法法则计算最终结果． 【详解】解：∵， ； ∵， ∴； ∴， 故答案为：． 25．（25-26七年级上·河南·期末）数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离．若代数式的最小值是3，则 ______． 【答案】或1/1或 【分析】本题考查数轴、绝对值，理解绝对值的定义，掌握数轴上两点距离的计算方法是正确解答的关键；利用绝对值的几何意义，将代数式转化为数轴上两点之间的距离问题，通过距离最小值的条件建立方程求解． 【详解】解：代数式表示数轴上点x到点2和点的距离之和，其最小值等于点2与点之间的距离，即． 已知最小值为3，因此， 即或， 解得或． 故答案为或1． 26．（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 27．（26-27七年级·全国·暑假作业）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 28．（26-27七年级·全国·暑假作业）足球比赛中，根据场上攻守形势，守门员会在门前来回跑动，如果以球门线为基准，向前跑记作正数，返回则记作负数，一段时间内，某守门员的跑动情况记录如下（单位： ）： ， ， ， ， ， ， ， ．（假定开始计时时，守门员正好在球门线上） (1)守门员最后是否回到球门线上？ (2)守门员离开球门线的最远距离达多少米？ (3)如果守门员离开球门线的距离超过 （不包括 ），则对方球员挑射极可能造成破门．问：在这一时间段内，对方球员有几次挑射破门的机会？简述理由． 【答案】(1)守门员最后回到了球门线上 (2)25米 (3)4次，理由如下： 由（2）可知守门员每次离开球门线的距离分别为：10米，8米，13米，25米，19米，10米，14米，0，则符合题意的有：13，25，19，14． ∴对方球员有4次挑射破门的机会． 【分析】（1）根据有理数加减法的规则进行计算，因为初始位置为球门线，对应数值0，所以只需将所有跑动记录的数值相加，判断和是否为0即可； （2）如果要找离开球门线的最远距离，那么需要依次计算每次跑动后守门员相对于球门线的位置，取最大值； （3）因为需要统计距离超过10m的次数，所以需逐一核对每次跑动后位置，统计其中大于10的次数即可． 【详解】（1）解：根据题意得： 米， ∴守门员最后回到了球门线上； （2）解：第一次跑距离开球门线10米 ； 第二次距离开球门线 （米）； 第三次距离开球门线 （米）； 第四次距离开球门线 （米）； 第五次距离开球门线 （米）； 第六次距离开球门线 （米）； 第七次距离开球门线 （米）； 第八次距离开球门线 （米）． ∴守门员离开球门线的最远距离为25米； （3）略． 29．（25-26七年级上·宁夏吴忠·期末）小李是一名外卖员，某天中午他骑电动车一直在南北方向的文化路上送外卖．如果向北行驶记作“+”，向南行驶记作“﹣”，这天中午他从集合点出发，行程记录如下（单位：千米）： ，，，，，． (1)小李将最后一份外卖送到目的地时，他在集合点的什么方向？距集合点多远？ (2)小李距集合点最远为______千米． (3)若小李在出发时电动车显示剩余电量还能行驶12千米，在中间不充电的情况下，他能否完成上面的行程？请说明理由． 【答案】(1)小李在集合点的南边，距集合点1千米 (2) (3)能，理由见解析 【分析】（1）将题中所记录的数据相加求和即可得出答案； （2）分别求出这6次行驶距离集合点的路程，比较即可； （3）分别求出这6个数的绝对值，相加求和，然后与12进行比较即可得出答案． 【详解】（1）解： （千米）， 答：小李将最后一份外卖送到目的地时，他在集合点的南边，距集合点1千米； （2）第一次距离集合点（千米）， 第二次距离集合点（千米）， 第三次距离集合点（千米）， 第四次距离集合点（千米）， 第五次距离集合点（千米）， 第六次距离集合点（千米）， 因为， 所以小李距集合点最远为2千米， 故答案为：2； （3）能，理由： （千米）千米， 所以在中间不充电的情况下，他能完成上面的行程． 30．（25-26七年级上·江苏扬州·阶段检测）已知、在数轴上分别表示、 (1)对照数轴填写下表： 6 2 4 0 4 、两点的距离 2 6 0 (2)若、两点间的距离记为，直接写出和、的数量关系______． (3)如果的和最小时，整数有______． (4)当为______时，代数式的最小值是7． (5)式子有最值(最大值或最小值)吗？如果有，写出这个值并指出它是最大值还是最小值； 【答案】(1)；； (2)； (3)； (4)或； (5)有最大值和最小值 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离公式、绝对值的几何意义、绝对值的化简以及利用分类讨论思想求解绝对值表达式的最值问题，关键是将绝对值表达式转化为数轴上点与点之间的距离问题，借助几何意义简化计算与分析． （1）根据数轴上两点间距离的计算方式，将给定的、值代入，通过求两数差的绝对值，直接计算出、两点的距离； （2）从（1）的具体计算实例中归纳规律，提炼出数轴上两点间的距离与表示两点的数、的数量关系； （3）的几何意义是数轴上表示的点到和3的点的距离之和，再根据几何特征确定当在和3之间(包括端点)时距离和最小，进而找出该范围内的整数即可； （4）先将转化为，明确其几何意义为数轴上表示的点到和3的点的距离之和，再结合几何性质得出该距离和的最小值为两点间的距离，结合最小值为7列方程求解的值； （5）先明确和的几何意义，再根据在数轴上的位置分左侧、与6之间、6右侧三类情况进行绝对值的化简，计算每类情况下表达式的值或取值范围，最终确定式子的最大值和最小值． 【详解】（1）解：当，时，、两点的距离为； 当，时，、两点的距离为； 故答案为：；； （2）解：由数轴上两点距离的定义，可得和、的数量关系为；故答案为：； （3）解：表示数轴上表示的点到表示和的点的距离之和，当在和之间(包括端点)时，距离之和最小，此时整数为；故答案为：； （4）解：，其几何意义是数轴上表示的点到表示和的点的距离之和， 当在这两点之间时，距离之和最小， 最小值为， 则或，解得或； 故答案为：或； （5）解：表示数轴上点到的距离，表示数轴上点到的距离． ①当点在的左侧， ，， ； ②当点在与之间（包含端点）， ，， ， 此时； ③当点在的右侧， ，， ． 综上，式子有最值，最大值为，最小值为． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.2 有理数的加减运算 教学目标 1.理解有理数加法与减法的法则； 2.能熟练进行有理数的加法与减法运算； 3.能运用有理数的加法与减法解决实际问题. 教学重难点 1.重点 （1）掌握有理数的加法和减法计算； （2）掌握有理数的加减法简便计算； （3）学会运用有理数的加减法解决问题。 2.难点 （1）有理数加减法与数轴、绝对值结合的问题； （2）有理数加减法的新定义计算。 知识点01 有理数加法法则 1. 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。 若则； 若则。 2.异号两数相加，绝对值相等时，和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。 绝对值相等：若且，则； 绝对值不相等： 1 若且，则； 2 若且，则。 3.一个数与0相加，仍得这个数。 4.有理数加法运算步骤： （1）看：看两个加数是同号还是异号； （2）定：确定和的符号； （3）求：根据有理数加法法则求和. 【即学即练】 1．（26-27七年级·浙江·暑假作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 2．（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 知识点02 有理数加法运算律 1. 有理数相加，两个数相加，交换加数的位置，和不变； 加法交换律：a＋b＝b＋a 2. 有理数相加，三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变. 加法交换律：（a＋b）＋c＝a＋（b＋c） 在有理数加法运算中，常利用有理数加法运算律先把正数和负数分开计算，各自求和后再相加. 3. 有理数加法中的一些计算技巧： （1） 相反数结合法：互为相反数的两个数先相加； （2） 同号结合法：符号相同的数先相加； （3） 同分母结合法：分母相同的数先相加； （4） 凑整法：几个数相加能够得到整数的先相加. 【即学即练】 3．（26-27七年级·全国·暑假作业）计算： (1)； (2)； (3)； 4．（26-27七年级·浙江·暑假作业）计算： (1)； (2)． (3)； 知识点03 有理数减法法则 减去一个数，等于加上这个数的相反数， 1. 较大的数－较小的数＝正数，即若，则； 2. 较小的数－较大的数＝负数，即若，则； 3. 相等的两个数相减等于0，即若，则； 4. 0减去任何数都等于这个数的相反数，任何数减去0仍等于这个数. 【即学即练】 5．（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 6．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）计算： (1)； (2)． 知识点04 有理数加减法混合运算 1. 利用减法运算法则，将有理数加减混合运算转化为有理数加法运算； 2. 去掉括号和括号前的加号（有绝对值的要先去掉绝对值后再计算）； 3. 利用加法法则和加法运算律进行计算. 【即学即练】 7．（25-26七年级上·江苏扬州·周测）计算： (1)； (2) ． 8．（25-26七年级上·全国·寒假作业）计算 (1)； (2)； (3)； (4) 题型01 有理数的加法运算 1．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 2．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 3．计算： (1)； (2)． 4．计算： (1)； (2)； (3)； 题型02 有理数加法中的符号问题 5．把转化成几个有理数相加的形式，正确的是（　　） A． B． C． D． 6．把写成省略加号和括号的形式为________． 7．计算： (1)，； (2)，． (3)___________． 8．如果两数相加的和小于每一个加数，那么下列判断正确的是（   ） A．这两个加数一定有一个数是0 B．这两个加数一定都是负数 C．这两个加数一正一负 D．这两个加数的符号不能确定 题型03 有理数加法在生活中的应用 9．2025年10月，我国深地川科1井首次突破10000米．以水平地面为基准面，向上为正方向．若当时深度记为米，后续钻井又下探910米，则钻井最终下探深度可记为（    ）． A．米 B．米 C．米 D．10910米 10．盐果子是江西萍乡的特色零食，以本地新鲜蔬果为原料，经腌制、晾晒、烘干等多道工序制成．在制作过程中很有讲究，烘干环节的温度控制十分关键，需要保持均匀稳定，才能保证盐果子的口感与品质．夏夏同学在观摩制作过程时，记录了温度T（单位：）随时间t（单位：）变化的数据，如表： 时间 0 2 4 6 温度 14 32 50 68 若温度的变化是均匀的，则每分钟温度增加______． 11．手机支付给生活带来便捷，如图是王老师某日微信账单的收支明细（正数表示收入，负数表示支出，单位：元）王老师当天微信收支的最终结果是________． 微信红包—来自王某某： 某平台商户： 扫二维码付给某店： 12．足球比赛中，根据场上攻守形势，守门员会在门前来回跑动．如果以球门为基准，向前跑记作正数，返回则记作负数，一段时间内，某守门员的跑动情况记录如下（单位：）：，，，，，，，（假设开始计时时守门员正好在球门线上） (1)请通过计算说明守门员最后停在什么位置； (2)请通过计算说明守门员共跑了多少米？ 题型04 有理数加法运算律 13．对于可以如下计算： 解：原式 ___________ ___________ ___________ 上面这种方法叫拆项法． (1)请补全以上计算过程； (2)类比上面的方法计算： 14．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 15．计算 (1) (2) (3) (4) (5) 16．计算： (1)． (2)． 题型05 有理数减法运算 17．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)． 18．计算： (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 19．口算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 20．计算： (1)； (2)． 题型06 有理数减法的实际应用 21．吐鲁番盆地最低点海拔为，珠穆朗玛峰峰顶海拔为，两地相对高度是________． 22．月球表面白天温度可达，夜间可降至，求月球表面的温差． 23．某儿童服装店用 360 元购买了 8 套儿童服装 ，准备以一定价格出售 ，8 套服装的售价不完全相同 ，若每套服装的售价以 50 元为标准 ，超出的记作正数 ，不足的记作负数 ，记录如下（单位 ：元） ：，，，，，，，． (1)该服装店卖完这 8 套儿童服装后 ，是盈利还是亏损 ？ (2)盈利（或亏损）了多少元 ？ 24．外卖送餐为我们生活带来了许多便利，某学习小组调查了一名外卖小哥一周的送餐情况，规定每天送餐量超过单送一次外卖称为一单的部分记为“”，低于单的部分记为“”，如表是该外卖小哥一周的送餐量： 星期 一 二 三 四 五 六 日 送餐量单位：单 (1)该外卖小哥这一周送餐量最多的一天比最少的一天多多少单？ (2)若每送一单能获得元的酬劳，请计算外卖小哥这一周的收入． 题型07 有理数的加减混合运算 25．解答题： (1)． (2)． (3)． (4)． 26．计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 27．计算 (1)； (2)； (3)； (4) 28．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型08 有理数加减中的简便运算 29．计算： 30．计算：． 31．计算： (1) (2) 32．计算： 题型09 有理数加减混合运算的实际应用 33．某科技公司研发了一种新型智能机器人，为测试其稳定性，技术人员设置机器人从定点开始沿直线前进和后退，规定向前的路程记为正数，后退的路程记为负数．在一段时间内，机器人走过的各段路程依次为(单位：米)： ，，，，，，． (1)通过计算说明机器人最后是否回到了起点．若没有，请说明机器人此时是前进了还是后退了，前进了或后退了多少米？ (2)在机器人行走过程中，如果每走1米得分，则本次机器人一共得到多少分？ 34．近期，某校校运会盛大开幕，火炬传递仪式在开幕式上顺利举行，全体师生以青春姿态致敬全运精神，本次仪式共安排12名火炬手跑完全程，平均每人传递里程为50米．现以50米为基准，火炬手实际里程超过50米的米数记为正数，不足的记为负数，并将其称为里程波动值．如下表记录了部分火炬手的里程波动值． 棒次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 里程波动值 2 6 1 3 0 3 4 1 (1)第7棒火炬手的实际里程为___________米，第8棒火炬手的实际里程为___________米． (2)若第3棒火炬手的实际里程为55米，求第9棒火炬手的实际里程． 35．[热点情境·防近视]根据国家卫生健康委发布的《儿童青少年近视防控适宜技术指南》，建议中学生每天使用电子产品的时间不超过2小时，某校想了解该校学生每天使用电子产品的时间情况，特制作了调查表进行调查，如表是该校某学生某周每天使用电子产品的时间情况（标准使用时间为每天2小时，超过记为正、不足记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 (1)该生周三使用电子产品多少个小时？ (2)该生使用电子产品的时间最多的一天比时间最少的一天多多少小时？ (3)该生这一周使用电子产品共用了多少小时？ 36．某中学劳技课程布置了一项社会实践活动，通过参与家庭劳动、出售废弃或闲置物品获得一定收入，劳动所得可以自行安排支出．甲同学按照老师要求每周做一次收支记录，下表是他一个月的收支情况（收入“”，支出“”，单位：元）． 时间 第一周 第二周 第三周 第四周 收入 支出 (1)甲同学这个月劳动所得还有剩余吗？如果有剩余，剩余多少元？ (2)若规定：收入元，支出元，则经手金额为元（即经手金额为收入金额与支出金额的和，如收入元，支出元，则经手金额为元），则甲同学这个月经手总金额与元比较，超过或不足多少元？ 题型10 省略加法和括号的形式 37．不改变原式的值，省略算式中的括号和加号后，可以写成的是（   ） A． B． C． D． 38．把写成省略加号的和的形式为（    ） A． B． C． D． 39．将算式写成省略括号和加号的形式是____________． 40．请把下列各式写成省略加号的形式： (1)； (2)． 题型11 有理数加减法与数轴结合 41．数轴是一个非常重要的数学工具，通过数轴可以把数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，是建立“数形结合思想”的基础．如图，以为1个单位长度，用直尺画数轴，数轴上从左到右依次有，，三点，且数轴上点、点和点刚好对着刻度尺上的刻度2、刻度8和刻度10． (1)若数轴上点和点这两点所表示的数互为相反数，则数轴上原点对着直尺上的刻度是，点在数轴上所表示的数是________． (2)若点在数轴上所表示的数是，分别求出点、点在数轴上所表示的数． (3)若数轴上，，三点在数轴上所表示的数分别为，，，当点到原点的距离为2026时，求的值． 42．数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合．通过研究数轴，我们发现了许多重要的规律，比如：数轴上点和点表示的数为，，则，两点之间的距离，若，则可化简为．若点为数轴上一动点，点对应的数记为，请你利用数轴解决以下问题： (1)若点与表示有理数的点的距离是3个单位长度，则的值为 ； (2)表示数轴上点到有理数 所对应的点之间的距离，表示数轴上点到有理数 所对应的点之间的距离； (3)利用数轴，找出所有符合条件的整数，使得．则这样的整数有 ，共 个． (4)若数轴上比小2的数用表示，比大5的数用表示，则的最小值为 ． 43．综合与实践：【问题情境】数学活动课上，王老师出示了一个问题：点A、B数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离，利用数形结合思想回答下列问题： （1）数轴上表示和两点之间的距离是______；数轴上表示和的两点之间的距离是______； 【独立思考】： （2）数轴上表示和的两点之间的距离表示为______； （3）试用数轴探究：当时，的值为______． 【实践探究】：利用绝对值的几何意义，结合数轴，探究： （4）利用数轴求出的最小值，并写出此时可取哪些整数值？ 44．阅读理解：数轴上表示有理数的点到原点（有理数0表示的点）的距离，叫作这个有理数的绝对值．例如：，它表示数轴上表示有理数2的点到原点的距离，从数轴上容易发现，表示有理数2的点到原点的距离是2个单位长度，即（如图①）．同样的，数轴上表示有理数和表示有理数的两个点之间的距离可以用来表示．例如：数轴上表示的点到表示2的点的距离用表示，从数轴上容易发现，表示的点到表示2的点的距离是5个单位长度，即（如图②）． 以上这种借助直观的数轴来解决问题的方法就是研究数学问题常用的“数形结合”的方法．请你根据以上学到的方法完成下列任务． 【任务一】请根据以上阅读计算： 若点表示，点表示1，则两点的距离是 ． 【任务二】根据绝对值的意义求字母的值： 若，求所表示的有理数．根据绝对值的意义，“”指数轴上表示的点到表示3的点的距离是4个单位长度，表示的有理数是 ． 【任务三】设点在数轴上表示的有理数是，借助数轴如图探索： 的最小值是 ． 题型12 有理数加减法与绝对值结合 45．【课本再现】数学课本上给出了绝对值的概念：一个数的绝对值就是这个数所对应的点到原点的距离． 小明和小亮对这个概念进行探究得出：距离须用非负数表示，所以正数和零的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数．请根据以上知识解决下列问题： (1)下列结果正确的是______（填选项）； A．    B．    C． (2)计算：． 46．学习了绝对值的概念后，我们知道：一个非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，即当时，；当时，，对于含绝对值的算式，在有些情况下，可以不需要计算出结果就能将绝对值符号去掉，例如：；；，． (1)根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不用算出结果）； ①_________；②_________． (2)请利用你探究的结论计算：． 47．阅读下列材料： 经过有理数运算的学习，我们知道可以表示5与3之差的绝对值，同时也可以理解为5与3两个数在数轴上所对应的两点之间的距离，可以表示5与之差的绝对值 (1)表示数轴上 ___________与 ___________所对应的两点之间的距离． (2)表示数轴上有理数x所对应的点到 ___________所对应的点之间的距离；表示数轴上有理数x所对应的点到 ___________所对应的点之间的距离． (3)利用绝对值的几何意义，请找出所有符合条件的整数x，使得．这样的整数x有 ___________． (4)利用绝对值的几何意义，写出的最小值． 48．阅读下列材料：经过有理数运算的学习，我们知道可以表示5与3之差的绝对值，同时也可以理解为5与3两个数在数轴上所对应的两点之间的距离，我们可以把这称之为绝对值的几何意义．同理，可以表示5与之差的绝对值，也可以表示5与两个数在数轴上所对应的两点之间的距离．试探究： (1)表示数轴上4与________所对应的两点之间的距离． (2)表示数轴上有理数所对应的点到________所对应的点之间的距离；表示数轴上有理数所对应的点到_________所对应的点之间的距离． (3)利用绝对值的几何意义，请找出所有符合条件的整数，使得．这样的整数有________个． (4)利用绝对值的几何意义，写出的最小值． 题型13 有理数加减法的新定义运算 49．甲同学说：“我定义了一种新的运算，叫*（加乘）运算．“然后他写出了一些按照*（加乘）运算的运算法则进行运算的算式：；；；；；．乙同学看了这些算式后说：“我知道你定义的*（加乘）—运算的运算法则了．”聪明的你也明白了吗？ (1)请你根据甲同学定义的*（加乘）运算的运算法则，计算下列式子： ______；______；______；______． (2)请你尝试归纳甲同学定义的*（加乘）运算的运算法则．两数进行*（加乘）运算时，同号得_____、异号得_____、并把_____相加．特别地，0和任何数进行*（加乘）运算，______． (3)我们知道有理数的加法有结合律，请判断这种新运算“*”是否具有结合律？并举一个例子验证你的结论． 50．对于有理数，定义运算：． (1)计算的值； (2)求的值； (3)计算和的值，并根据计算结果判断这种新定义是否满足交换律． 51．【定义】定义一种新的运算“*”，规则如下： （1）同号两数运算，结果取正号，结果的绝对值为两数绝对值之和； （2）异号两数运算，结果取负号，结果的绝对值为两数绝对值之和； （3）0和任何数运算，结果等于另一个数的绝对值． 例：， 【计算】 ① ② ③ ④ 【探究一】是否存在两个有理数，使得？如果存在，请举出例子；如果不存在，请说明理由． 【探究二】小明在计算时，得到的结果是，求x的值． 【探究三】如果两个有理数的结果是负数，那么等式对任意非零有理数c是否成立，请说明理由． 52．阅读下列内容，并完成相关的问题． 小明说：“我定义了一种新的运算，叫（加乘）”，然后他写出了一些按照（加乘） 运算的运算法则进行了运算的算式：；； ；；；； 小亮看了这些算式后说：“我知道你定义的（加乘）运算的运算法则了”． 聪明的你也明白了吗？ (1)模仿计算：______；______ ；______； (2)拓展计算：；(括号的作用与它在有理数运算中的作用一致) (3)我们知道加法交换律和结合律，这两种运算律在有理数的 *（加乘）运算中还适用吗？请你选择加法结合律，判断它在（加乘）运算中是否适用，并举一个例子验证． 1．（2025·上海宝山·模拟预测）计算：（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·四川宜宾·阶段检测）在同一数轴上，点表示的数是2，又知点与点相距3个单位长度，则点所表示的数是（     ） A． B． C．或 D．或 3．（26-27七年级·全国·暑假作业）将统一为加法运算，正确的是（     ） A． B． C． D． 4．（2026·河南·模拟预测）如图为小明拍摄的家中冰箱温度的显示，上面的数字为冷藏室的温度，下面的数字为冷冻室的温度，可知冷藏室比冷冻室温度高（     ） A． B． C． D． 5．（2026·山西运城·二模）山西省内海拔最高点是被誉为“华北屋脊”的五台山叶斗峰，其海拔约为3061米，最低点是运城市垣曲县黄河口，其海拔约为180米．某兴趣小组将太原市的平均海拔800米记作0米，若五台山叶斗峰海拔记作米，则运城市垣曲县黄河口海拔可记作（     ） A．米 B．米 C．米 D．180米 6．（2026·安徽芜湖·三模）计算：_______ 7．（2026·湖北·中考真题）数轴上表示数，的点如图所示，则_____0．（填“”“”或“”） 8．（26-27六年级上·上海·开学考试）一种饮料瓶身标注的净含量是，经检测，第一瓶饮料的实际净含量是，检测员记作“”，第二瓶饮料检测员记的是“”，那么第二瓶饮料的实际净含量是________． 9．（25-26六年级下·黑龙江绥化·期中）已知点在数轴上所对应的数为3，点A、B之间的距离为5，则点在数轴上所对应的数是_______． 10．（25-26七年级上·全国·期末）数轴上有 A、B、C 三个点，点A在点B的左边相距2018个单位，且它们表示的数互为相反数，点A、C相距10个单位，则点 C 表示的数为______． 11．（26-27七年级·全国·暑假作业）计算 12．（26-27七年级·全国·暑假作业）计算：． 13．（26-27七年级·浙江·暑假作业）某电业局要对某市区的电路进行巡检，某检修小组从A地出发，在东西向的马路上进行检修，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，检修车一天中八次行驶记录如下：（单位：千米）． (1)收工时该检修小组距离A地多远？ (2)该检修小组这一天行驶的总路程为多少千米？ 14．（26-27七年级·全国·暑假作业）已知 ，求 的值． 15．（25-26七年级上·陕西西安·期末）当前，人们对健康愈加重视，跑步成了人们进行体育锻炼的首要选择．爸爸计划每天跑3千米，他记录了一周跑步路程变化的情况如下表：（正数表示比计划增加的路程，负数表示比计划减少的路程） 星期 一 二 三 四 五 六 日 路程/千米 (1)星期二爸爸的跑步路程是 千米； (2)爸爸跑步路程最多的一天是星期 ； (3)爸爸这七天一共跑步多少千米？ 16．（25-26七年级下·广东广州·期末）北京市2026年5月1日的“日出、日中、日落时刻”如下表所示，则北京市2026年5月1日的白昼时长是（     ） 日出时刻 日中时刻 日落时刻 A． B． C． D． 17．（25-26七年级下·北京·期中）有50张同样的卡片，上面分别写有1，2，3，．．．，49，50．从中随机抽取五张，并将它们正面向下放置在桌上．如图，这五张卡片编号分别记为A，B，C，D，E，相邻两张卡片上的数的和如下表所示，则卡片上的数最大的编号记为（   ） 卡片编号 A，B B，C C，D D，E A，E 两数的和 71 48 54 66 59 A．D B．C C．B D．A 18．（2025·江西赣州·模拟预测）一条数轴上有点、、，其中点、表示的数分别是，，现以点为折点，将数轴向右对折，若点落在射线上，并且，则点表示的数是（    ） A． B． C．或 D．或 19．（24-25七年级上·山西临汾·阶段检测）若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 20．（25-26七年级上·湖南衡阳·期中）若，且，则的值为（   ） A．或 B．10或2 C．或2 D．10或 21．（24-25六年级上·山东烟台·阶段检测）若，且，那么的值是________． 22．（24-25七年级上·陕西西安·期中）小华探究“幻方”时，提出了一个问题：如图，将这五个数分别填在五个小正方形内，使横向三个数之和与纵向三个数之和相等，则填入中间位置的小正方形内的数可以是 _____________．（写出一个符合题意的数即可） 23．（25-26七年级上·江苏扬州·周测）如图所示，半径为1个单位长度的圆片上有一点A与数轴上的原点重合，线段是圆片的直径，将圆片沿数轴滚动，点B第二次到达数轴上点C的位置，点C表示的数是_________．（取） 24．（25-26七年级上·江苏扬州·阶段检测）已知表示不超过x的最大整数．如：．现定义：，如，则______． 25．（25-26七年级上·河南·期末）数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离．若代数式的最小值是3，则 ______． 26．（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)． 27．（26-27七年级·全国·暑假作业）计算： (1) (2) (3) (4) 28．（26-27七年级·全国·暑假作业）足球比赛中，根据场上攻守形势，守门员会在门前来回跑动，如果以球门线为基准，向前跑记作正数，返回则记作负数，一段时间内，某守门员的跑动情况记录如下（单位： ）： ， ， ， ， ， ， ， ．（假定开始计时时，守门员正好在球门线上） (1)守门员最后是否回到球门线上？ (2)守门员离开球门线的最远距离达多少米？ (3)如果守门员离开球门线的距离超过 （不包括 ），则对方球员挑射极可能造成破门．问：在这一时间段内，对方球员有几次挑射破门的机会？简述理由． 29．（25-26七年级上·宁夏吴忠·期末）小李是一名外卖员，某天中午他骑电动车一直在南北方向的文化路上送外卖．如果向北行驶记作“+”，向南行驶记作“﹣”，这天中午他从集合点出发，行程记录如下（单位：千米）： ，，，，，． (1)小李将最后一份外卖送到目的地时，他在集合点的什么方向？距集合点多远？ (2)小李距集合点最远为______千米． (3)若小李在出发时电动车显示剩余电量还能行驶12千米，在中间不充电的情况下，他能否完成上面的行程？请说明理由． 30．（25-26七年级上·江苏扬州·阶段检测）已知、在数轴上分别表示、 (1)对照数轴填写下表： 6 2 4 0 4 、两点的距离 2 6 0 (2)若、两点间的距离记为，直接写出和、的数量关系______． (3)如果的和最小时，整数有______． (4)当为______时，代数式的最小值是7． (5)式子有最值(最大值或最小值)吗？如果有，写出这个值并指出它是最大值还是最小值； 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $