专题2.1 认识有理数12大题型（绝对值与相反数）（高效培优讲义）数学新教材北师大版七年级上册

本讲义聚焦有理数中的绝对值与相反数核心知识点，系统梳理绝对值的几何意义、性质（含非负性），相反数的定义、几何意义，以及多重符号化简、有理数大小比较，通过知识点细化与即学即练构建学习支架，衔接有理数基础概念。 资料以数形结合为特色，用数轴阐释绝对值几何意义培养几何直观（数学眼光），通过绝对值非负性应用与动点问题发展推理能力（数学思维），题型从基础到实际应用（如数轴距离问题），助力课中教学与课后查漏补缺。

专题2.1 认识有理数（绝对值与相反数） 教学目标 1.理解绝对值的概念与性质，能求一个数的绝对值； 2.理解相反数的概念，能求一个数的相反数； 3.能利用绝对值与相反数的知识解决简单问题。 教学重难点 1.重点 （1）掌握绝对值、相反数的概念； （2）学会比较有理数的大小； 2.难点 （1）学会运用绝对值的非负性，并能解决相关问题； （2）绝对值与数轴结合的动点问题。 知识点01 绝对值的几何意义 在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值. 数a的绝对值记作，读作“a的绝对值”. 1.因为距离不可能为负，所以一个数的绝对值都是非负数； 2.数轴上表示一个数的点离原点越远，这个数的绝对值就越大，反之，数轴上表示一个数的点离原点越近，这个数的绝对值就越小； 3.数轴上表示0的点到原点的距离为0，所以. 绝对值图示： 【即学即练】 1．（24-25七年级下·黑龙江绥化·阶段检测）在和之间的负整数有______个，绝对值不大于5的整数有______个，绝对值小于5的所有整数的积______． 2．（26-27七年级·浙江·暑假作业）我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义，进一步地，数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离，利用此结论，回答以下问题： (1)数轴上表示数的点和表示数3的点之间的距离可用绝对值表示为 ，结果是 ； (2)数轴上点A用数a表示，则表示 ；若，则 ； (3)数轴上点A用数a表示，则表示 ；若，则 ； 知识点02 绝对值的性质 1.绝对值的性质 正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值还是0，即 2.绝对值的非负性 对于任何一个有理数a，我们都有. （1）若几个非负数的和为0，则每个加数分别为0； （2）绝对值是某个正数的数有两个，且它们互为相反数. 【即学即练】 3．（25-26七年级上·全国·期中）已知，求的值． 4．（25-26七年级上·海南海口·期中）已知，求： (1)，，的值； (2)的值． 知识点03 相反数的意义 1.相反数的定义：符号不同，绝对值相同的两个数互为相反数，其中一个数叫做另一个数的相反数. （1）0的相反数是0； （2）相反数是成对出现的，单独的一个数不能说是相反数（类似倒数）. 2.相反数的几何意义：在数轴上位于原点两侧且到原点的距离相等的两个点所表示的数互为相反数. （1）数轴上表示互为相反数的两个点到原点的距离相等； （2）数轴上与原点距离是a（a是一个正数）的点有两个，分别在原点的左右两边，它们表示的数互为相反数. 3相反数的性质 任何数都有相反数，且仅有一个．正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，0的相反数是0． 4.相反数的特征 若a与b互为相反数，则a＝－b，反之，若a＝－b，则a与b互为相反数. （1）求一个数或一个字母的相反数，只要在它的前面添上“－”号即可； （2）求一个式子的相反数，要在这个式子整体前面添上“－”，如a－b的相反数为－（a－b），括号不要忘记了！ 【即学即练】 5．（2026·湖南邵阳·一模）2026的相反数是（     ） A． B．2 C． D． 6．（25-26九年级下·四川南充·阶段检测）下列各组数中，互为相反数的是（    ）． A．与 B．与 C．与 D．与 知识点04 多重符号化简 1.相反数的定义是多重符号化简的依据，如－（－1）表示－1的相反数，所以－（－1）＝1； 2.由相反数的性质由内向外化简，当最前面的符号是“＋”时，可省略，当最前面的符号是“－”时，去掉“－”号，写出括号内的相反数； 3.先省略所有的“＋”号，用“－”号的个数去掉结果的符号，当“－”号的个数是偶数时，化简的结果为正数；当“－”号的个数是奇数时，化简的结果为负数. 4.多重符号化简后，最终的结果符号是由“－”号的个数决定的，与“＋”号的个数无关. 【即学即练】 7．（26-27七年级·全国·暑假作业）（1）______；（2）______；（3）______． 8．（24-25七年级上·河南开封·阶段检测）化简下列各式： (1) (2) 知识点05 比较有理数的大小 在上个专题中，讲解了用数轴比较有理数的大小，这个专题中我们将学习利用绝对值比较有理数的大小. 先将有理数进行分类，然后分别比较大小. 1.正数比较大小，绝对值大的正数大； 2.负数比较大小，绝对值大的负数小； 3.正数要大于负数； 4.正数大于0，负数小于0. 【即学即练】 9．（25-26七年级上·陕西西安·期中）在图所示的数轴上表示下列各数，并用“”把它们连接起来． ． 用“”把它们连接如下： ． 10．（25-26七年级上·四川达州·开学考试）比较下列各组数的大小： (1)与； (2)与； (3)与． 题型01 相反数的定义 1．（2026·安徽合肥·二模）下列各数中，相反数等于本身的数是（    ） A． B．1 C．0 D．2026 2．（2026·河南周口·模拟预测）若a的相反数是6，则a的值是（     ）． A． B． C．6 D． 3．（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）下列各组数中互为相反数的是（    ） A． 和 B．和 C．和 D．和 4．（26-27七年级·江苏·小升初衔接）填空： （1）2.5的相反数是___________； （2）___________是的相反数； （3）是___________的相反数；   （4）___________的相反数是； （5）8.2和___________互为相反数． （6）a和___________互为相反数． （7）___________的相反数比它本身大，___________的相反数等于它本身． 题型02 相反数的应用 5．（25-26七年级上·湖南岳阳·阶段检测）若代数式与代数式的值互为相反数，则_____． 6．（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）用“”，“”定义新运算：对于任意有理数，都有和．例如，，，则______． 7．（24-25七年级上·陕西商洛·阶段检测）有理数a，b在数轴上的位置如图所示： (1)在数轴上分别用A，B两点表示，； (2)若数b与表示的点相距20个单位长度，则b与表示的数分别是什么？ (3)在（2）的条件下，若数a表示的点与数b表示的点相距15个单位，则a与表示的数是多少？ 8．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图所示的数轴的单位长度为．请回答下列问题：    (1)如果点、表示的数互为相反数，那么点表示的数是多少? (2)如果点、表示的数互为相反数，那么点、表示的数分别是多少? 题型03 求一个数的绝对值 9．（25-26六年级下·山东泰安·期末）在，，，，中，负数有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．（25-26六年级上·上海·期中）绝对值小于3的整数有（     ） A．5个 B．6个 C．7个 D．无数个 11．（26-27七年级·浙江·暑假作业）若，则 __________． 12．（25-26七年级上·广东汕头·期中）数a、b是，1，，4，这5个数中的一个，其中a是相反数最大的数，b是绝对值最小的数． (1)填空： ， ； (2)若，求的值． 题型04 化简多重符号 13．（25-26七年级上·河南周口·期中）下列各组数中，互为相反数的有（   ） ①与；②与；③与； ④与；⑤与． A．2组 B．3组 C．4组 D．5组 14．（25-26七年级上·山东临沂·阶段检测）下列各对数中，互为相反数的有(    ) 与 ，与，与，与，与． A．6对 B．5对 C．4对 D．3对 15．（25-26七年级上·宁夏吴忠·阶段检测）的值是_______． 16．（25-26七年级上·全国·随堂练习）比较下列各组数的大小： (1)3和； (2)和； (3)和； (4)和； (5)和； (6)和． 题型05 有理数的大小比较 17．（25-26七年级上·湖北武汉·阶段检测）比较下列各组数的大小，正确的是（   ） A． B． C． D． 18．（24-25七年级上·福建莆田·阶段检测）下列有理数大小关系判断正确的是（   ） A． B． C． D． 19．（25-26七年级上·吉林·阶段检测）下列四组有理数的比较大小；①，②，③，④．正确的序号是____． 20．（25-26六年级上·山东泰安·阶段检测）计算： (1)在数轴上表示下列各数，，，，并用“”把它们连接起来． (2)比较下列各对数的大小： ①______     ②______     ③______ 题型06 有理数大小比较的实际应用 21．（25-26七年级上·江苏南京·期末）下列关于代数式的值的结论：的值可能是正数；的值一定比大；③的值一定比小；的值随着的增大而减小．其中所有正确结论的序号是_____． 22．（25-26七年级下·福建福州·期末）小丽在4张同样的卡片上各写了一个正整数，从中随机抽取2张，并将它们上面的数相加．重复这样做，每次所得的和都是6，8，10，12中的一个数，并且这四个数都能取到．在下列四个结论中： ①卡片上的数最小可以是1； ②卡片上的数最大可以是10； ③卡片上的数可以是4个连续的整数； ④卡片上的数有且仅有2个数相等． 其中所有正确结论的序号是______． 23．（25-26七年级上·四川内江·阶段检测）根据条件分别解答下列问题： (1)已知，求的值； (2)若a是最大的负整数，b是最小的正整数，c的相反数是它本身，求的值． 24．（25-26七年级上·河南洛阳·期中）请阅读材料，并解决问题． 在比较与的大小时，若利用绝对值法比较，则需要进行分数的通分，因为分母较大，所以比较繁琐．我们也可以使用如下的方法比较大小： 因为，，所以，所以． (1)填空：上述方法是先通过找中间量______来比较正数与的大小，再根据两个负数比较大小的结论“______大的负数反而小”进行判断． (2)利用上述方法比较与的大小． 题型07 绝对值的几何意义 25．（25-26七年级上·黑龙江佳木斯·期中）若，则满足条件的整数x的值有____个． 26．（25-26七年级上·陕西渭南·期中）若，且，求的值． 27．（25-26七年级上·湖南郴州·期中）若为有理数，已知，则的最小值为___________． 28．（25-26七年级上·四川达州·期中）阅读与理解： 数形结合就是把“数”与“形”结合起来进行相互转换，充分发挥各自优势解决问题．同学们都知道，表示与2的差的绝对值，可理解为与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理，可理解为在数轴上对应的点分别到1和所对应的点的距离之和． 【举一反三】 （1）可理解为 与 在数轴上所对应的两点之间的距离； 【问题解决】 （2）请你结合数轴探究：求当满足什么条件时？有最小值，并求其最小值； （3）若，求的值． 题型08 绝对值的非负性 29．（25-26七年级上·广东惠州·期中）已知． (1)求x，y的值； (2)已知，求z的值． 30．（25-26七年级上·四川泸州·期中）计算： (1)已知 ，且，求的值． (2)若与互为相反数，求的值． 31．（25-26七年级上·四川成都·阶段检测）（1）已知且，求的值． （2）已知，求的值． 32．（25-26七年级上·湖北武汉·阶段检测）（1）已知，则___________ （2）已知与互为相反数，则___________； （3）已知，则___________ （4）已知，当__________，有最小值为___________； 题型09 绝对值的实际应用 33．（25-26七年级上·山东临沂·期中）舟岱跨海大桥建成于2021年，全长26千米，桥梁主跨径创外海桥梁世界之最．舟岱跨海大桥上三座索塔可以抽象为A，B，C三个点，A与B，B与C之间的距离均为千米，如图所示．若以点B为原点，向右为正方向，取1千米为单位长度画数轴，那么请解决以下问题： (1)A、C两点在数轴上所表示的数分别是________、________，它们互为（   ）； A．倒数  B．相反数 (2)道路养护车甲从A点出发，沿着数轴向左行驶，速度为50千米/小时．同时，道路养护车乙从C点出发，向右行驶，速度为60千米/小时． ①当行驶t小时时，甲车和乙车在数轴上表示的数分别是多少？试用代数式表示； ②当分钟时，甲、乙两车同时停止，试求出两车的距离． (3)在（2）②的条件下，将甲、乙两车停止时的位置标上记号，分别用P、Q表示．养护车丙进行协助工作，沿着数轴方向，自左向右行驶．若养护车丙在数轴上所表示的数为x，问：x与P、Q两点距离之和最小时，对应的x应满足的条件为________． 34．（25-26七年级上·安徽淮北·期中）数轴是初中数学的一个重要工具，任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示，它是“数形结合”的基础． 【知识呈现】 我们规定：点，在数轴上分别表示数，，则，两点的距离可表示为：，如式子，它在数轴上的意义是表示6的点与表示3的点之间的距离． 【初步理解】 （1）数轴上表示和的两点之间的距离是_____；数轴上表示和的两点之间的距离是_____；数轴上表示和的两点之间的距离是_____； （2）已知数轴上的点表示，点与点之间的距离是，则数轴上点所表示的数是______； 【深入探究】 （3）结合数轴，利用新定义求式子的最小值，并求此时的值；（简单说理） 【实际应用】 （4）某市一条东西走向的大道一侧有四个小区分别是兴园小区，梦园小区，竹园小区，名园小区，如图（每个小区看作一个点），每相邻两个小区之间相距米，为方便各小区居民出行，公交公司想在某一个小区处建一个公交站台，使所建公交站台到四个小区的距离之和最小，问这个公交站台应建在哪个小区？所建公交站台到四个小区距离之和的最小值是多少？（不用说理） 35．（25-26七年级上·甘肃临夏·期中）在学习绝对值后，我们知道，表示数a在数轴上的对应点与原点的距离．例如：如图1，5表示5在数轴上的对应点到原点的距离，而，即也可理解为5，0在数轴上对应的两点之间的距离．类似地，表示5与3之差的绝对值，也可理解为5与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离．又如的几何意义是数轴上表示数的点与表示有理数3的点之间的距离．一般地，点在数轴上分别表示数，那么之间的距离可表示为． 请根据绝对值的意义并结合数轴解答下列问题： (1)数轴上表示2和3的两点之间的距离是___________，数轴上表示和的两点之间的距离是___________； (2)数轴上点表示的数是2，，两点间的距离为3，则点表示的数是___________； (3)的几何意义是数轴上表示x的点与表示有理数___________的点之间的距离； (4)如图2，A，B分别为数轴上的两点，点A表示的数为，点B表示的数为100．现有一只电子蚂蚁M从点B出发，以6个单位长度/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁N恰好从点出发，以4个单位长度/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的点C相遇，请求出点C所对应的数． 36．（25-26七年级上·江苏宿迁·阶段检测）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以探索与发现几何，通过研究数轴，我们发现了许多重要的规律，比如：数轴上点A和点B表示的数为a，b，则A，B两点之间的距离，若，则可简化为；若，则可简化为． 请你利用数轴解决以下问题：（如图1） (1)已知点P为数轴上任意一点，点P对应的数记为m，若点P与表示整数的点的距离是2.5个单位长度，则m的值为 ； (2)已知点P为数轴上任意一点，点P对应的数记为m，若数轴上点P表示的数小于的点与表示2的点之间，则 ； (3)已知点A，B，C，D在数轴上分别表示数a，b，c，d，四个点在数轴上的位置如图2所示，若，，，则等于 ； (4)已知点A，B，C，D，E在数轴上分别对应数分别为：，一动点Q从原点O出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度来回移动，其移动方式是先向右移动1个单位长度，再向左移动2个单位长度，又向右移动3个单位长度，再向左移动4个单位长度，又向右移动5个单位长度，求Q点运动多少秒钟后所处的位置到点A，B，C，D，E各点距离之和最短？ 题型10 绝对值的其他应用 37．（25-26七年级上·陕西西安·期末）某校将举办中学生天文知识竞赛，由学生会承办此次活动．该校教学楼共5层，若从1层到5层每层学生志愿者人数分别是10，9，7，5，6．要使所有学生志愿者到会议地点爬楼的距离之和最短，会议地点应设在第____层． 38．（24-25七年级上·全国·期末）阅读：已知点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为． 理解：（1）数轴上表示2和的两点之间的距离是________； （2）数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是________； （3）当代数式取最小值时，相应的x的取值范围是________，最小值是________． 应用：某环形道路上顺次排列有四家快递公司：A、B、C、D，它们顺次有快递车16辆，8辆，4辆，12辆，为使各快递公司的车辆数相同，允许一些快递公司向相邻公司调出，问共有________种调配方案，使调动的车辆数最少． 39．（25-26七年级上·陕西榆林·阶段检测）若x、y都是不为0的有理数，则代数式的最大值和最小值的和为______． 40．（25-26七年级上·湖南岳阳·期中）【信息提取】学习了绝对值的概念后，我们知道：一个非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，即当时，；当时，，对于含绝对值的算式，在有些情况下，可以不需要计算出结果就能将绝对值符号去掉，例如：；；，． (1)根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不用写出计算结果）： ①_________；②_________． 【拓广应用】 (2)用合适的方法计算：_________________． (3)请利用你探究的结论计算： 题型11 绝对值中的最值问题 41．（25-26七年级上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于．如，那么______．请你结合数轴与绝对值的知识求得的最小值为______． 故答案为：或，． 42．（25-26七年级上·全国·阶段检测）材料阅读：在学习绝对值时，我们知道了绝对值的几何含义，如表示在数轴上对应的两点之间的距离；所以表示、在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示在数轴上对应的点到原点的距离．综上，数轴上两点对应的数分别为，且两点之间的距离可以表示为，则（或）． (1)求___________；若，则___________； (2)的最小值是___________；当___________时的最小值是___________． 43．（25-26七年级上·甘肃平凉·期中）【定义】数轴上表示数的点之间的距离． 【应用】如图，在数轴上；点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，动点表示的数为． (1)求点之间的距离； (2)点之间的距离为_____，点之间的距离为_____；（用含的代数式表示） (3)求的最小值． 44．（25-26七年级上·江苏连云港·期中）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法． 【知识储备】同学们都知道，表示5与2的差的绝对值，实际上也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离（如图）． 请你利用数形结合的思想探究下列问题： 【探究规律】 (1)求代数式的最小值； (2)代数式的最小值为_____________； (3)代数式的最小值为_____________． 题型12 绝对值与数轴结合（动点问题） 45．（2025七年级上·全国·专题练习）阅读下列材料并解决问题： 数轴是一种非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与形之间的联系，两个有理数在数轴上对应的点之间的距离，可以用这两个数的差的绝对值表示，这也体现了绝对值的几何意义．若在数轴上有理数对应的点为，有理数对应的点为，则，两点之间的距离可表示为或，记为．如式子的几何意义是数轴上表示有理数3的点与表示有理数的点之间的距离． 根据上述材料，回答下列问题： (1)与3的距离是_________； (2)式子的最小值是多少？ (3)应用：某一直线沿街有2014户居民（相邻两户居民间隔相同）：，，，，，，某餐饮公司想为这2014户居民提供早餐，决定在路旁建立一个快餐店，点选在_________，才能使这2014户居民到点的距离总和最小． 46．（25-26七年级上·福建福州·期中）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式的几何意义是数轴上所对应的点与2所对应的点之间的距离．因为，所以的几何意义就是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离．回答下列问题： (1)①数轴上表示和2的两点和之间的距离是____________； ②在①的情况下，如果，那么为____________； (2)探究问题：代数式的最小值是多少？ 如图，点A、B、P分别表示数， 的几何意义是线段与的长度之和， ∴当点在线段上时，； 当点在点的左侧或点的右侧时，， 的最小值是3． 请你根据上述自学材料，探究解决下列问题： ①直接写出式子的最小值是____________； ②工厂加工车间工作流水线上依次间隔2米排着5个工作台，一只配件箱应该放在工作____________处，能使工作台上的工作人员取配件所走的路程最短，最短路程是____________米； (3)若在数轴上点A、B表示的数分别是．动点从点出发，沿数轴以每秒3个单位长度的速度向终点匀速运动；同时，点从点出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向终点匀速运动，设点的运动时间为秒．当点与点之间的距离为9个单位长度时，求的值． 47．（25-26七年级上·江苏镇江·期中）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．我们知道，表示数a在数轴上的对应点与原点的距离．如图，表示5在数轴上的对应点到原点的距离，而，即也可理解为5与0两数在数轴上对应的两点之间的距离 类似的，表示5与3之差的绝对值，也可理解为5与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离、如的几何意义是数轴上表示3 的点与表示x的点之间的距离．一般地，点A、B在数轴上分别表示数a、b，那么A、B之间的距离可表示为 【学以致用】 （1）计算： ， 若， 则 （2）若， 则 ； （3）的最小值为 ； 【拓展延伸】 如果数轴上有三个点且其中一个点与另外两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“二倍点”． 例如， 数轴上点M， N， P 所表示的数分别为2， 4， 5， 此时， 因此点 N 是 M、P的“二倍点”． （4）若点C表示的数是，点D 表示的数是6，直接写出点C，D的“二倍点”所对应的数值． 48．（25-26七年级上·福建漳州·期中）数形结合是解决数学问题的重要思想方法． 材料分析：如图1，已知数轴上两点，．则两点距离为两数差的绝对值，即 如：1到3的距离为两数差的绝对值，即；到3的距离为两数差的绝对值，即． 根据以上思想，完成下题 问题探究：参考阅读材料，解答下列问题． （1）如图2，数轴上表示和6的数的两点之间的距离是______； （2）若数轴上表示数的点位于与5之间，求的值是______； （3）当取最小值时，相应的数的取值范围是______； 实际应用： （4）已知数轴上点，表示的数分别为8和，动点，分别从，两点，同时出发，点以每秒1个单位长度沿数轴向左匀速运动，点以点速度的2倍，沿数轴向右匀速运动，设运动时间为秒．问当为多少秒时？，之间的距离为3． 拓展提升： （5）若数，满足，求的最小值． 1．（25-26七年级上·河北·阶段检测）有理数的相反数是（     ） A．2 B． C． D． 2．（25-26八年级下·湖南株洲·期末）在数轴上，点表示2026，点表示2026的相反数，则点与点的距离是（     ） A．2026 B． C．4052 D． 3．（2026·广东东莞·二模）我国几个城市某年1月份的平均气温如下表所示，其中最低气温是（     ） 城市 北京 广州 重庆 哈尔滨 平均气温/ A． B． C． D． 4．（25-26七年级·全国·暑假作业）若一个数的绝对值等于它的相反数，则这个数一定是（   ） A．负数或0 B．正数或0 C．负数 D．正数 5．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）如果a是负数，且，那么数轴上表示数a，的点的位置关系是（   ） A．a在左侧 B．a在右侧 C．a与重合 D．无法确定 6．（2026·湖北·三模）在物理学中，规定在标准大气压下冰水混合物的温度为，绝对零度约为．写出一个比绝对零度高且比冰水混合物温度低的温度值（单位：）是________． 7．（24-25七年级上·山东青岛·开学考试）绝对值不大于1的整数有____________． 8．（26-27七年级·浙江·暑假作业）（1）若，则______， _______． （2）若，则_____， _____． 9．（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）若，则的值为________． 10．（24-25七年级上·宁夏吴忠·阶段检测）化简符号：___________． 11．（26-27七年级·全国·暑假作业）求下列各式的值： (1)； (2)； (3)． 12．（26-27七年级·全国·小升初衔接）化简下列各数： (1)    ； (2)． 13．（25-26七年级上·吉林延边·期末）已知代数式与是互为相反数，求的值． 14．（25-26七年级上·山西朔州·阶段检测）阅读下列材料： 当时，如，则，此时的绝对值是它本身； 当时，，此时的绝对值是0； 当时，如，则，此时的绝对值是它的相反数． 综上可得， 这种分析方法体现了数学中常用的分类讨论思想．请解答下列问题： (1)比较大小：_____5， _____；（填“”“”或“”） (2)请仿照上述分类讨论的方法，分析与的大小关系． 15．（24-25七年级上·湖南湘潭·阶段检测）阅读下列材料，回答问题． 经过有理数运算的学习，我们知道可以表示5与3之差的绝对值，同时也可以理解为5与3两个数在数轴上所对应的两点之间的距离，我们可以把这称之为绝对值的几何意义．同理，可以表示5与之差的绝对值，也可以表示5与两个数在数轴上所对应的两点之间的距离．试探究： (1) 表示数轴上 与 所对应的两点之间的距离． (2)表示数轴上有理数x所对应的点与 所对应的两点之间的距离；表示数轴上有理数x所对应的点与 所对应的两点之间的距离． (3)利用绝对值的几何意义，请找出所有符合条件的整数x，使得． 16．（2026·河南周口·二模）数轴上点P表示的数为，则与点P关于原点对称的点表示的数是（    ） A．2028 B． C． D． 17．（26-27七年级·浙江·暑假作业）若m，n为有理数，，，且，那么m，n，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 18．（25-26七年级上·陕西榆林·期末）已知的绝对值为，的绝对值为，且，则的值为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 19．（25-26七年级上·福建泉州·期中）适合的整数的值有（   ） A．4个 B．3个 C．7个 D．9个 20．（25-26七年级上·河南郑州·期中）已知，且，则的值是（   ） A．6或 B．6或 C．10或 D．6或10 21．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，四个有理数分别在数轴上用点M、N、P、Q表示，若N，Q表示的有理数互为相反数，则图中表示绝对值最小的数是点________． 22．（26-27七年级·江苏·小升初衔接）在数轴上，点A、B分别表示数a、b，且，，若点A在点B的左侧，则的值为______． 23．（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）数轴上点A表示的数是x，点B表示的数是2，表示A，B两点间的距离，则的最小值为________． 24．（25-26六年级上·上海普陀·期末）如图，已知线段，，线段在射线上运动（点在点的左侧，点在点的左侧），且；已知点是线段延长线上任意一点，当点与点重合时，，那么的值是_____． 25．（25-26七年级上·河南安阳·期中）若，则______． 26．（26-27七年级·浙江·暑假作业）比较下列每组数的大小 (1) (2) (3) (4)． 27．（25-26七年级上·黑龙江七台河·期中）（1）数轴上点A，B对应的数分别是a，b，则，若点A在数轴上表示3，点B在数轴上表示1，那么 ； （2）在数轴上表示x的点与的距离是3，那么 ； （3）在数轴上表示a的点位于和3之间（包含两端），求的值； （4）对于任意有理数x，则的最小值是 ． 28．（25-26七年级上·陕西咸阳·期中）已知，． (1)若，求的值； (2)若，求的值． 29．（25-26七年级上·内蒙古包头·期末）数轴是初中数学的一个重要工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础． 【定义】 一个点（不是原点）在数轴上运动，第一次跳到的位置（点与点表示的数互为相反数），点称为点的一次跳跃点，紧接着从跳到的位置（点与点位于点的两侧，且），则点称为点关于点的二次跳跃点． 【初步理解】 （1）如图1，若点表示的数是，点表示的数是5，则点的一次跳跃点表示的数是___________________，点关于点的二次跳跃点表示的数是_____________，线段的长度为_______________． 【深入探究】 （2）如图2，若点是数轴正半轴上的一个点，点是数轴负半轴上的一个点，点为点关于点的二次跳跃点．若点，点表示的数分别是，，当变化时，探究线段的值是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由． 【归纳总结】 （3）若在数轴上点分别表示有理数（其中），点为点关于点的二次跳跃点，直接写出线段的长度． 30．（25-26七年级上·新疆乌鲁木齐·期末）阅读下面材料： 点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离表示为． 当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图1，； 当A、B两点都不在原点时，如图2，点A、B都在原点的右边， ； 如图3，当点A、B都在原点的左边，； 如图4，当点A、B在原点的两边，． 回答下列问题： (1)数轴上表示1和6的两点之间的距离是_______数轴上表示2和的两点之间的距离是________． (2)数轴上若点A表示的数是，点B表示的数是，则点A和B之间的距离是_____，若，那么x为______． (3)当x是________时，代数式． 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.1 认识有理数（绝对值与相反数） 教学目标 1.理解绝对值的概念与性质，能求一个数的绝对值； 2.理解相反数的概念，能求一个数的相反数； 3.能利用绝对值与相反数的知识解决简单问题。 教学重难点 1.重点 （1）掌握绝对值、相反数的概念； （2）学会比较有理数的大小； 2.难点 （1）学会运用绝对值的非负性，并能解决相关问题； （2）绝对值与数轴结合的动点问题。 知识点01 绝对值的几何意义 在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值. 数a的绝对值记作，读作“a的绝对值”. 1.因为距离不可能为负，所以一个数的绝对值都是非负数； 2.数轴上表示一个数的点离原点越远，这个数的绝对值就越大，反之，数轴上表示一个数的点离原点越近，这个数的绝对值就越小； 3.数轴上表示0的点到原点的距离为0，所以. 绝对值图示： 【即学即练】 1．（24-25七年级下·黑龙江绥化·阶段检测）在和之间的负整数有______个，绝对值不大于5的整数有______个，绝对值小于5的所有整数的积______． 【答案】 2 11 0 【详解】解：① 和之间的负整数有，，共个， ② 绝对值不大于的整数为，共个， ③ 绝对值小于的整数为， ∴， 故答案为：①，②，③． 2．（26-27七年级·浙江·暑假作业）我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义，进一步地，数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离，利用此结论，回答以下问题： (1)数轴上表示数的点和表示数3的点之间的距离可用绝对值表示为 ，结果是 ； (2)数轴上点A用数a表示，则表示 ；若，则 ； (3)数轴上点A用数a表示，则表示 ；若，则 ； 【答案】(1)， (2)在数轴上表示数a的点和表示数3的点之间的距离，5或1 (3)在数轴上表示数a的点和表示数的点之间的距离，或 【分析】根据数轴上两点之间的距离公式直接计算或者列方程，结合绝对值的几何意义解方程即可． 【详解】（1）解：数轴上表示数的点和表示数3的点之间的距离可用绝对值表示为或，或，故结果是8； （2）解：表示：在数轴上表示数a的点和表示数3的点之间的距离， 若，则或； （3）解：表示：在数轴上表示数a的点和表示数的点之间的距离，若，则或． 知识点02 绝对值的性质 1.绝对值的性质 正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值还是0，即 2.绝对值的非负性 对于任何一个有理数a，我们都有. （1）若几个非负数的和为0，则每个加数分别为0； （2）绝对值是某个正数的数有两个，且它们互为相反数. 【即学即练】 3．（25-26七年级上·全国·期中）已知，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的非负性，熟练掌握绝对值的非负性是解题的关键．根据绝对值的非负性可得，，，从而求出、、的值，然后代入计算解答即可． 【详解】解：，，，且， ，，， ，，， ． 4．（25-26七年级上·海南海口·期中）已知，求： (1)，，的值； (2)的值． 【答案】(1)，，； (2) 【分析】（1）根据绝对值的非负性即可求出、、的值； （2）将（1）中的、、的值代入计算即可． 本题考查绝对值的非负性，代数式求值，理解绝对值的非负性是正确解答的关键． 【详解】（1）， ，，， 解得，，； （2）当，，时， ． 知识点03 相反数的意义 1.相反数的定义：符号不同，绝对值相同的两个数互为相反数，其中一个数叫做另一个数的相反数. （1）0的相反数是0； （2）相反数是成对出现的，单独的一个数不能说是相反数（类似倒数）. 2.相反数的几何意义：在数轴上位于原点两侧且到原点的距离相等的两个点所表示的数互为相反数. （1）数轴上表示互为相反数的两个点到原点的距离相等； （2）数轴上与原点距离是a（a是一个正数）的点有两个，分别在原点的左右两边，它们表示的数互为相反数. 3相反数的性质 任何数都有相反数，且仅有一个．正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，0的相反数是0． 4.相反数的特征 若a与b互为相反数，则a＝－b，反之，若a＝－b，则a与b互为相反数. （1）求一个数或一个字母的相反数，只要在它的前面添上“－”号即可； （2）求一个式子的相反数，要在这个式子整体前面添上“－”，如a－b的相反数为－（a－b），括号不要忘记了！ 【即学即练】 5．（2026·湖南邵阳·一模）2026的相反数是（     ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】根据相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数，直接求解即可． 【详解】解：∵ 求一个数的相反数只需改变这个数的符号， ∴ 的相反数是 ． 6．（25-26九年级下·四川南充·阶段检测）下列各组数中，互为相反数的是（    ）． A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【详解】解：选项A：，，两个数相等，不互为相反数，不符合题意； 选项B：，，与绝对值相等，符号相反，互为相反数，符合题意； 选项C：，两个数相等，不互为相反数，不符合题意； 选项D：，两个数相等，不互为相反数，不符合题意． 知识点04 多重符号化简 1.相反数的定义是多重符号化简的依据，如－（－1）表示－1的相反数，所以－（－1）＝1； 2.由相反数的性质由内向外化简，当最前面的符号是“＋”时，可省略，当最前面的符号是“－”时，去掉“－”号，写出括号内的相反数； 3.先省略所有的“＋”号，用“－”号的个数去掉结果的符号，当“－”号的个数是偶数时，化简的结果为正数；当“－”号的个数是奇数时，化简的结果为负数. 4.多重符号化简后，最终的结果符号是由“－”号的个数决定的，与“＋”号的个数无关. 【即学即练】 7．（26-27七年级·全国·暑假作业）（1）______；（2）______；（3）______． 【答案】 【详解】解：； ； ． 8．（24-25七年级上·河南开封·阶段检测）化简下列各式： (1) (2) 【答案】(1)1.2 (2) 【分析】本题主要考查了化简多重符号、绝对值等知识， （1）根据化简多重符号法则“负负得正，负正得负，正正得正”，即可获得答案； （2）先化简绝对值内部分，然后根据绝对值定义，即可获得答案． 【详解】（1）解：； （2）解：． 知识点05 比较有理数的大小 在上个专题中，讲解了用数轴比较有理数的大小，这个专题中我们将学习利用绝对值比较有理数的大小. 先将有理数进行分类，然后分别比较大小. 1.正数比较大小，绝对值大的正数大； 2.负数比较大小，绝对值大的负数小； 3.正数要大于负数； 4.正数大于0，负数小于0. 【即学即练】 9．（25-26七年级上·陕西西安·期中）在图所示的数轴上表示下列各数，并用“”把它们连接起来． ． 【答案】 ，在数轴上表示如下： 用“”把它们连接如下： ． 【分析】本题考查了数轴，用数轴上的点表示有理数，用数轴比较大小，求一个数的绝对值，理解数轴表示数的规律是解题的关键．规定和原点、正方向和单位长度的直线叫数轴，原点表示的数是0，原点向右每隔1个单位长度的点表示的数分别为；原点向左每隔1个单位长度的点表示的数分别是．数轴上右边的数总比左边大，据此判定有理数在数轴上的位置即可． 【详解】略 10．（25-26七年级上·四川达州·开学考试）比较下列各组数的大小： (1)与； (2)与； (3)与． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查有理数大小的比较，熟知有理数大小比较规则是解答的关键． （1）先求绝对值，再根据正数大于负数求解即可； （2）根据负数比较大小，绝对值大的反而小求解即可； （3）先化简各数，再根据负数比较大小，绝对值大的反而小求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵，，， ∴； （3）解：，， ∵，，， ∴． 题型01 相反数的定义 1．（2026·安徽合肥·二模）下列各数中，相反数等于本身的数是（    ） A． B．1 C．0 D．2026 【答案】C 【分析】根据只有符号不同的数为相反数，0的相反数是0，解答即可． 【详解】解：相反数等于本身的数是0． 2．（2026·河南周口·模拟预测）若a的相反数是6，则a的值是（     ）． A． B． C．6 D． 【答案】A 【详解】∵ 互为相反数的两个数符号相反，绝对值相等，且的相反数是， ∴ 3．（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）下列各组数中互为相反数的是（    ） A． 和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】化简各选项中的数后，根据“只有符号不同的两个数互为相反数”判断即可． 【详解】解：选项A中，，两个数相等，不满足相反数定义，A不符合要求； 选项B中，和绝对值不相等，不满足相反数定义，B不符合要求； 选项C中，，和只有符号不同，满足相反数的定义，C符合要求； 选项D中，和符号相同，不满足相反数定义，D不符合要求． 4．（26-27七年级·江苏·小升初衔接）填空： （1）2.5的相反数是___________； （2）___________是的相反数； （3）是___________的相反数；   （4）___________的相反数是； （5）8.2和___________互为相反数． （6）a和___________互为相反数． （7）___________的相反数比它本身大，___________的相反数等于它本身． 【答案】 100 1.1 负数 0 【分析】只有符号不同的两个数互为相反数． 【详解】解：（1）2.5的相反数是 （2）是的相反数； （3）是的相反数；   （4）的相反数是； （5）8.2和互为相反数． （6）a和互为相反数． （7）负数的相反数比它本身大，0的相反数等于它本身． 题型02 相反数的应用 5．（25-26七年级上·湖南岳阳·阶段检测）若代数式与代数式的值互为相反数，则_____． 【答案】 【分析】本题主要考查相反数的定义，整式的加减以及解一元一次方程，根据题意可知，求解即可． 【详解】因为代数式与的值互为相反数，可得 ． 解得 ． 故答案为： 6．（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）用“”，“”定义新运算：对于任意有理数，都有和．例如，，，则______． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的新定义运算，相反数的定义，根据新定义可得，，进而即可求解，理解新定义是解题的关键． 【详解】解：由题意得，，， ∴， 故答案为：． 7．（24-25七年级上·陕西商洛·阶段检测）有理数a，b在数轴上的位置如图所示： (1)在数轴上分别用A，B两点表示，； (2)若数b与表示的点相距20个单位长度，则b与表示的数分别是什么？ (3)在（2）的条件下，若数a表示的点与数b表示的点相距15个单位，则a与表示的数是多少？ 【答案】(1)见解析 (2)b表示的数是，表示的数是10 (3)a表示的数是5，则表示的数是 【分析】本题考查数轴、相反数的几何意义、数轴上两点间的距离，属于基础题，理解相反数的几何意义：数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的两侧，且到原点的距离相等是解答的关键． （1）根据相反数的几何意义求解即可； （2）根据相反数的几何意义可求得b和对应的点到原点的距离为10求解即可； （3）根据数轴上a、b的位置可求得a表示的数，进而可得表示的数． 【详解】（1）解：如图， （2）解：∵数b与表示的点相距20个单位长度， ∴b和对应的点到原点的距离为10， ∴b表示的数是，表示的数是10； （3）解：∵数a表示的点与数b表示的点相距15个单位，b表示的数是， ∴a表示的数是5，则表示的数是． 8．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图所示的数轴的单位长度为．请回答下列问题：    (1)如果点、表示的数互为相反数，那么点表示的数是多少? (2)如果点、表示的数互为相反数，那么点、表示的数分别是多少? 【答案】(1) (2)点表示的数是，点表示的数是 【分析】本题考查是数轴与有理数； （1）根据数轴上点的位置以及相反数的性质确定原点的位置，进而即可求解； （2）根据数轴上点的位置以及相反数的性质确定原点的位置，进而即可求解． 【详解】（1）解：如图，点为原点，点表示的数是．    （2）如图，点为原点，点表示的数是，点D表示的数是．    题型03 求一个数的绝对值 9．（25-26六年级下·山东泰安·期末）在，，，，中，负数有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：，是正数； ，是负数； ，是负数； ，是正数； ，是负数； 综上，负数共有个． 10．（25-26六年级上·上海·期中）绝对值小于3的整数有（     ） A．5个 B．6个 C．7个 D．无数个 【答案】A 【详解】解：设满足条件的整数为， ∵是整数，且， ∴， ∴绝对值小于3的整数有，共5个． 11．（26-27七年级·浙江·暑假作业）若，则 __________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴． 12．（25-26七年级上·广东汕头·期中）数a、b是，1，，4，这5个数中的一个，其中a是相反数最大的数，b是绝对值最小的数． (1)填空： ， ； (2)若，求的值． 【答案】(1)，1 (2)3 【分析】本题考查了相反数、绝对值、代数式求值，解题的关键是掌握以上知识点． （1）计算各数的相反数和绝对值，确定为相反数最大的数，为绝对值最小的数； （2）利用绝对值的非负性求出和的值，然后代入表达式计算． 【详解】（1）解：数，1，，4，的相反数分别为5，，3，，2， 其中最大点相反数为5， ∴； 绝对值分别为5，1，3，4，2，其中最小的绝对值为1， ∴． （2）解：由，且，， ∴，， 代入，， 得，， ∴，． ∴． 题型04 化简多重符号 13．（25-26七年级上·河南周口·期中）下列各组数中，互为相反数的有（   ） ①与；②与；③与； ④与；⑤与． A．2组 B．3组 C．4组 D．5组 【答案】C 【分析】本题考查了相反数的定义，化简多重符号，掌握相关知识是解题的关键．判断每组数是否互为相反数，需化简表达式后比较符号是否相反、绝对值相等． 【详解】解：① ∵，与符号相反、绝对值相等， ∴与互为相反数，故①符合题意； ② ∵，与符号相反、绝对值相等， ∴与互为相反数，故②符合题意； ③ ∵，与符号相反、绝对值相等， ∴与互为相反数，故③符合题意； ④ ∵，，与1符号相反、绝对值相等， ∴与互为相反数，故④符合题意； ⑤ ∵，与两者相等， ∴与不是相反数，故⑤不符合题意， 综上，互为相反数的有4组， 故选：C． 14．（25-26七年级上·山东临沂·阶段检测）下列各对数中，互为相反数的有(    ) 与 ，与，与，与，与． A．6对 B．5对 C．4对 D．3对 【答案】C 【分析】本题考查了相反数的定义，化简多重符号，根据只有符号不同的两个数叫做互为相反数对各选项分析判断即可求解． 【详解】解：与 ，互为相反数 与互为相反数， 与，互为相反数 与，互为相反数 与，相等，不互为相反数． 综上所述，共有4对数，互为相反数， 故选：C． 15．（25-26七年级上·宁夏吴忠·阶段检测）的值是_______． 【答案】 【分析】本题主要考查化简多重符号，根据多重符号的计算顺序去括号即可． 【详解】解：原式， 故答案为：． 16．（25-26七年级上·全国·随堂练习）比较下列各组数的大小： (1)3和； (2)和； (3)和； (4)和； (5)和； (6)和． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题考查了有理数的大小比较，化简多重符号，化简绝对值，熟练掌握有理数大小比较的原则为解题关键． （1）根据正负大于负数进行比较即可； （2）根据两个负数中绝对值大的反而小进行比较即可； （3）先化简绝对值，再根据两个负数中绝对值大的反而小进行比较即可； （4）根据两个负数中绝对值大的反而小进行比较即可； （5）先去括号，再根据正负大于负数进行比较即可； （6）先去括号，化简绝对值，再进行比较即可． 【详解】（1）解：， ； （2），，， ； （3）， ， ； （4），，， ； （5），， ； （6），， ， ． 题型05 有理数的大小比较 17．（25-26七年级上·湖北武汉·阶段检测）比较下列各组数的大小，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查化简多重符号，绝对值，比较有理数的大小．先化简多重符号、绝对值，再根据“正数大于0，0大于负数，两个负数比较时绝对值大的反而小”比较大小即可． 【详解】解：A．，错误，不合题意； B．，错误，不合题意； C．，错误，不合题意； dD．，即，正确，符合题意； 故选：D． 18．（24-25七年级上·福建莆田·阶段检测）下列有理数大小关系判断正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了有理数的大小比较，根据有理数比较大小的法则对各组数进行逐一比较即可，掌握好正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数；两个负数相比较，绝对值大的反而小是本题的关键． 【详解】解：A.∵，，∴ ，原判断错误，故此选项不符合题意；     B. ∵，∴，原判断错误，故此选项不符合题意； C. ∵，，∴，原判断错误，故此选项不符合题意；     D. ∵，∴，原判断正确，故此选项符合题意； 故选：D． 19．（25-26七年级上·吉林·阶段检测）下列四组有理数的比较大小；①，②，③，④．正确的序号是____． 【答案】③ 【分析】本题主要考查了有理数大小的比较：正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数；两个负数相比，绝对值大的反而小．根据有理数大小比较法则，两两比较，然后逐一判断即可． 【详解】解：①∵，∴，故原比较错误； ②∵，， ∴，故原比较错误； ③∵，，， ∴，故原比较正确； ④∵，，， ∴，故原比较错误； 故答案为：③． 20．（25-26六年级上·山东泰安·阶段检测）计算： (1)在数轴上表示下列各数，，，，并用“”把它们连接起来． (2)比较下列各对数的大小： ①______     ②______     ③______ 【答案】(1)数轴见解析， (2)①，②，③ 【分析】本题考查了有理数的大小比较、绝对值，相反数，数轴，注意：在数轴上表示的数，右边的数总比左边的数大． （1）先化简各数，在数轴上表示出各个数，再比较即可； （2）先根据相反数和绝对值的定义化简各数，再根据有理数比较大小的方法比较大小即可． 【详解】（1）解：，， 数轴上表示各数如下： ； （2）①， ， 故答案为：； ② ，，且， ， 故答案为：； ③， ， 故答案为：． 题型06 有理数大小比较的实际应用 21．（25-26七年级上·江苏南京·期末）下列关于代数式的值的结论：的值可能是正数；的值一定比大；③的值一定比小；的值随着的增大而减小．其中所有正确结论的序号是_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了代数式求值，利用特殊值判断；利用作差法判断；根据越大，越小，越小判断，利用特殊值和作差法判断两数大小是解题的关键． 【详解】解：当时，，故符合题意； ∵， ∴，故符合题意； 当时，，故不符合题意； 越大，越小，越小，故符合题意； 故答案为：． 22．（25-26七年级下·福建福州·期末）小丽在4张同样的卡片上各写了一个正整数，从中随机抽取2张，并将它们上面的数相加．重复这样做，每次所得的和都是6，8，10，12中的一个数，并且这四个数都能取到．在下列四个结论中： ①卡片上的数最小可以是1； ②卡片上的数最大可以是10； ③卡片上的数可以是4个连续的整数； ④卡片上的数有且仅有2个数相等． 其中所有正确结论的序号是______． 【答案】①④/④① 【分析】本题考查有理数的应用，解题关键是利用分类讨论求解． 分别列出两数相加为6，8，10，12的所有可能性，设这四个数分别为，其中，分析得出较小的两数之和为6，较大的两数之和为12，可得，分类讨论即可． 【详解】解：相加得6的两个整数可能为：1，5或2，4或3，3． 相加得8的两个整数可能为：1，7或2，6或3，5或4，4． 相加得10的两个整数可能为：1，9或2，8或3，7或4，6或5，5． 相加得12的两个整数可能为：1，11或2，10或3，9或4，8或5，7或6，6． 设这四个数分别为，其中，每次所得的和都是6，8，10，12中的一个数，并且这4个数都能取到， ，， （1）当时，， 此时，符合每次所得的和都是6，8，10，12中的一个数，并且这4个数都能取到； 或，不符合每次所得的和都是6，8，10，12中的一个数，并且这4个数都能取到； （2）当时，， 此时，符合每次所得的和都是6，8，10，12中的一个数，并且这4个数都能取到； 或，不符合每次所得的和都是6，8，10，12中的一个数，并且这4个数都能取到； 或，符合每次所得的和都是6，8，10，12中的一个数，并且这4个数都能取到； （3）当时，， 此时，符合每次所得的和都是6，8，10，12中的一个数，不符合这4个数都能取到； 或，不符合每次所得的和都是6，8，10，12中的一个数，并且这4个数都能取到； 或，符合每次所得的和都是6，8，10，12中的一个数，不符合这4个数都能取到； 或，不符合每次所得的和都是6，8，10，12中的一个数，并且这4个数都能取到； 故这四个数为：或或， ∴卡片上的数最小可以是1，①正确； 卡片上的数最大是可以是8，②错误； 卡片上的数不可以是4个连续的整数，③错误； 卡片上的数有且仅有2个数相等，④正确； 故答案为：①④． 23．（25-26七年级上·四川内江·阶段检测）根据条件分别解答下列问题： (1)已知，求的值； (2)若a是最大的负整数，b是最小的正整数，c的相反数是它本身，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了绝对值，有理数的相关概念，代数式求值，熟练掌握这些知识点是解题的关键． （1）根据绝对值的非负性，列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可； （2）根据题意得到的值，再代入计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∴； （2）解：∵a是最大的负整数，b是最小的正整数，c的相反数是它本身， ∴，，， ∴． 24．（25-26七年级上·河南洛阳·期中）请阅读材料，并解决问题． 在比较与的大小时，若利用绝对值法比较，则需要进行分数的通分，因为分母较大，所以比较繁琐．我们也可以使用如下的方法比较大小： 因为，，所以，所以． (1)填空：上述方法是先通过找中间量______来比较正数与的大小，再根据两个负数比较大小的结论“______大的负数反而小”进行判断． (2)利用上述方法比较与的大小． 【答案】(1)；绝对值 (2) 【分析】本题主要考查有理数大小比较，根据阅读材料得出两个分数大小比较方法是解答本题的关键． （1）根据计算过程和有理数大小比较法则得出答案即可； （2）找出中间量是，再比较大小即可． 【详解】（1）解：上述方法是先通过找中间量来比较正数与的大小，再根据两个负数比较大小的结论“绝对值大的负数反而小”进行判断； 故答案为：；绝对值； （2）解：∵，， ∴， ∴． 题型07 绝对值的几何意义 25．（25-26七年级上·黑龙江佳木斯·期中）若，则满足条件的整数x的值有____个． 【答案】6 【分析】本题考查了绝对值的几何意义，解题的关键是利用数轴上点的距离关系分析方程． 根据绝对值的几何意义，确定的取值范围为，再找出该范围内的整数个数． 【详解】解： 表示数轴上点到点 和点2的距离之和． 在 和2之间（包括端点）时， 即 ， 距离之和恰好为 ，与方程右边的5相等． 整数有：，共 6个． 故答案为：6 26．（25-26七年级上·陕西渭南·期中）若，且，求的值． 【答案】或 【分析】本题考查了绝对值的意义，代数式求值，由绝对值的意义得，，进而由得到，或，，再代入代数式计算即可求解，掌握绝对值的意义是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴，或，， 当，时，； 当，时，； ∴的值为或． 27．（25-26七年级上·湖南郴州·期中）若为有理数，已知，则的最小值为___________． 【答案】5 【分析】本题考查了绝对值的几何意义，数轴上两点之间的距离，解题的关键是熟练掌握绝对值的几何意义． 该问题理解为在数轴上表示数的点到表示数和的点的距离之和的最小值，再由绝对值的几何意义分类讨论求解即可． 【详解】解：，则可理解为在数轴上表示数的点到表示数和的点的距离之和， ∴的最小值即为在数轴上表示数的点到表示数和的点的距离之和的最小值， 当时，则； 当时，则； 当时，， ∴的最小值为， 故答案为：5． 28．（25-26七年级上·四川达州·期中）阅读与理解： 数形结合就是把“数”与“形”结合起来进行相互转换，充分发挥各自优势解决问题．同学们都知道，表示与2的差的绝对值，可理解为与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理，可理解为在数轴上对应的点分别到1和所对应的点的距离之和． 【举一反三】 （1）可理解为 与 在数轴上所对应的两点之间的距离； 【问题解决】 （2）请你结合数轴探究：求当满足什么条件时？有最小值，并求其最小值； （3）若，求的值． 【答案】（1），；（2）当时，有最小值，最小值为6；（3）或5 【分析】本题考查数轴上两点间的距离、绝对值的意义以及分类讨论的思想，有一定的难度，理解题意是解决问题的关键． （1）由可知表示数x与两点间的距离； （2）根据数轴上的两点距离及绝对值的几何意义可进行求解； （3）由（2）知当或时有，化简解方程即可． 【详解】解：（1）由可知表示数x与两点间的距离； 故答案为，； （2）由可知：数轴上表示x的数到表示和的距离之和， 根据绝对值的几何意义可知：当表示x的数在和之间时，的值最小， 即当时，有最小值； （3）由（2）知当时，， ∴若时，则或， 当时，， 解得：； 当时，， 解得：， 综上所述：当或5时，． 题型08 绝对值的非负性 29．（25-26七年级上·广东惠州·期中）已知． (1)求x，y的值； (2)已知，求z的值． 【答案】(1)， (2)或 【分析】本题主要考查了绝对值非负性、解一元一次方程、代数式求值等知识点，熟练掌握绝对值的性质是解题的关键． （1）根据绝对值的非负性即可求出x、y的值； （2）先根据绝对值的性质得出，再结合（1）中的结果即可求出z的值． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， ∴，， ∴，． （2）解：∵， ∴ 由（1）知， ∴， ∴． 30．（25-26七年级上·四川泸州·期中）计算： (1)已知 ，且，求的值． (2)若与互为相反数，求的值． 【答案】(1) 或 (2) 8 【分析】本题主要考查绝对值的计算，非负性，相反数的计算，掌握绝对值的性质是关键． （1）根据绝对值的性质化简计算即可； （2）根绝对值，平方数的非负性，相反数的定义，列式求解即可． 【详解】（1）解：∵ ， ∴， ∵， ∴当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 综上所述，的值为或； （2）解：∵与互为相反数， ∴， ∵， ∴， 解得，， ∴． 31．（25-26七年级上·四川成都·阶段检测）（1）已知且，求的值． （2）已知，求的值． 【答案】（1）或；（2）． 【分析】本题主要考查了绝对值、绝对值的非负性、代数式求值等知识点，掌握绝对值的非负性是解题的关键． （1）先根据绝对值可得，再根据以及绝对值的非负性可得，即或；然后分两种情况解答即可； （2）先根据绝对值的非负性求得，然后代入求解即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵， ∴， ∴或， 当时，； 当时，． 综上，的值为或． （2）∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 32．（25-26七年级上·湖北武汉·阶段检测）（1）已知，则___________ （2）已知与互为相反数，则___________； （3）已知，则___________ （4）已知，当__________，有最小值为___________； 【答案】（1）（2）2（3）5（4）；5 【分析】本题主要考查了绝对值的意义，绝对值的性质，以及相反数的定义等知识． （1）根据绝对值的意义求解即可． （2）根据相反数的定义得出，解一元一次方程即可得出答案． （3）根据绝对值为非负性质求解得出x，y的值，再求出的值即可． （4）根据绝对值为非负性质求解即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， （2）∵与互为相反数， ∴ 解得：， （3）∵， ∴，， ∴，， ∴ （4）∵ ∴当时，有最小值，最小值为0， ∴当时，取得最小值为5． 题型09 绝对值的实际应用 33．（25-26七年级上·山东临沂·期中）舟岱跨海大桥建成于2021年，全长26千米，桥梁主跨径创外海桥梁世界之最．舟岱跨海大桥上三座索塔可以抽象为A，B，C三个点，A与B，B与C之间的距离均为千米，如图所示．若以点B为原点，向右为正方向，取1千米为单位长度画数轴，那么请解决以下问题： (1)A、C两点在数轴上所表示的数分别是________、________，它们互为（   ）； A．倒数  B．相反数 (2)道路养护车甲从A点出发，沿着数轴向左行驶，速度为50千米/小时．同时，道路养护车乙从C点出发，向右行驶，速度为60千米/小时． ①当行驶t小时时，甲车和乙车在数轴上表示的数分别是多少？试用代数式表示； ②当分钟时，甲、乙两车同时停止，试求出两车的距离． (3)在（2）②的条件下，将甲、乙两车停止时的位置标上记号，分别用P、Q表示．养护车丙进行协助工作，沿着数轴方向，自左向右行驶．若养护车丙在数轴上所表示的数为x，问：x与P、Q两点距离之和最小时，对应的x应满足的条件为________． 【答案】(1)，，B (2)①甲车表示的数为：，乙车表示的数为：；②千米 (3) 【分析】本题考查了绝对值的意义，数轴上两点间的距离公式，相反数的定义，解题的关键是掌握相关知识． （1）根据A与B，B与C之间的距离均为千米，即可求解； （2）①根 据 数 轴 上 两点间的距离公式，即可求解；②将分钟代入①中 的 式 子，分 别 求 出甲车、乙车在数轴上表示的数，最后根据数轴上两点间的距离公式，即可求解； （3）根据绝对值的意义即可求解． 【详解】（1）解：以点B为原点，向右为正方向，取1千米为单位长度画数轴， 所表示的数分别是、，它们是一对相反数， 故答案为：、，B； （2）①甲车表示的数为：, 乙车表示的数为：； ②当分钟时， 甲表示的数为：， 乙表示的数为：， （千米）； （3）甲车在数轴上表示的数为：，乙车在数轴上表示的数为：， 之和最小时，对应的x应满足的条件为， 故答案为：． 34．（25-26七年级上·安徽淮北·期中）数轴是初中数学的一个重要工具，任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示，它是“数形结合”的基础． 【知识呈现】 我们规定：点，在数轴上分别表示数，，则，两点的距离可表示为：，如式子，它在数轴上的意义是表示6的点与表示3的点之间的距离． 【初步理解】 （1）数轴上表示和的两点之间的距离是_____；数轴上表示和的两点之间的距离是_____；数轴上表示和的两点之间的距离是_____； （2）已知数轴上的点表示，点与点之间的距离是，则数轴上点所表示的数是______； 【深入探究】 （3）结合数轴，利用新定义求式子的最小值，并求此时的值；（简单说理） 【实际应用】 （4）某市一条东西走向的大道一侧有四个小区分别是兴园小区，梦园小区，竹园小区，名园小区，如图（每个小区看作一个点），每相邻两个小区之间相距米，为方便各小区居民出行，公交公司想在某一个小区处建一个公交站台，使所建公交站台到四个小区的距离之和最小，问这个公交站台应建在哪个小区？所建公交站台到四个小区距离之和的最小值是多少？（不用说理） 【答案】 （1），，；（2）或；（3）最小值为，；（4）应建在梦园小区或竹园小区，所建公交站台到四个小区距离之和的最小值为米 【分析】本题考查了绝对值的应用，数轴上两点之间的距离，利用数轴求多点之间的距离和或差的最值是解题的关键． （1）利用两点距离公式计算即可； （2）利用两点距离公式计算即可； （3）结合数轴可知式子表示数轴上一点到的距离和，根据数轴即可求解； （4）由上一问可知，公交站应在兴园小区和名园小区之间的两个小区时距离之和最小，答案可得. 【详解】解：（1）由题可知，和两点的距离可表示为， 和两点的距离可表示为， 和的两点的距离可表示为， 故答案为，，； （2）到表示的点的距离为6的点所表示的数分别为和， 所以数轴上点所表示的数为或， 故答案为或； （3）根据新定义可知，表示数轴上表示的点到表示的点之间的距离， 表示数轴上表示的点到表示的点之间的距离， 表示数轴上表示的点到表示4的点之间的距离， 如图，代数式存在最小值，即存在最小值， 所以当点与点重合，即时，有最小值，此时最小值为， 所以当时，式子有最小值为； （4）为使所建公交站台到四个小区的距离之和最小，公交站台应建在梦园小区或竹园小区，所建公交站台到四个小区距离之和的最小值为3200米． 35．（25-26七年级上·甘肃临夏·期中）在学习绝对值后，我们知道，表示数a在数轴上的对应点与原点的距离．例如：如图1，5表示5在数轴上的对应点到原点的距离，而，即也可理解为5，0在数轴上对应的两点之间的距离．类似地，表示5与3之差的绝对值，也可理解为5与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离．又如的几何意义是数轴上表示数的点与表示有理数3的点之间的距离．一般地，点在数轴上分别表示数，那么之间的距离可表示为． 请根据绝对值的意义并结合数轴解答下列问题： (1)数轴上表示2和3的两点之间的距离是___________，数轴上表示和的两点之间的距离是___________； (2)数轴上点表示的数是2，，两点间的距离为3，则点表示的数是___________； (3)的几何意义是数轴上表示x的点与表示有理数___________的点之间的距离； (4)如图2，A，B分别为数轴上的两点，点A表示的数为，点B表示的数为100．现有一只电子蚂蚁M从点B出发，以6个单位长度/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁N恰好从点出发，以4个单位长度/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的点C相遇，请求出点C所对应的数． 【答案】(1)1 ； (2)5或 (3) (4)28 【分析】（1）直接根据数轴上两点之间的距离计算即可； （2）分点在点左边和点在点右边两种情况列式计算； （3）根据绝对值的几何意义分析即可； （4）先求出相遇所需的时间，再求出点Q走的路程，根据左减右加的原则，可求出向右运动到相遇地点所对应的数． 【详解】（1）解：数轴上表示2和3的两点之间的距离是； 数轴上表示和的两点之间的距离是； （2）∵数轴上点表示的数是2，、两点的距离为3， ∴当点在点左边时，； 当点在点右边时，； 即点表示的数是或5； （3）表示x的点与表示有理数的点之间的距离； （4）A，B之间的距离为， 依题意有：秒，即12秒后相遇， 即相同时间N点运动路程为：（个单位）， 则从数向右运动48个单位到数， 故C点对应的数是28． 【点睛】此题考查的是绝对值的意义，数轴上两点之间的距离，数轴上点的运动，还有相遇问题与追及问题．注意用到了路程=速度×时间． 36．（25-26七年级上·江苏宿迁·阶段检测）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以探索与发现几何，通过研究数轴，我们发现了许多重要的规律，比如：数轴上点A和点B表示的数为a，b，则A，B两点之间的距离，若，则可简化为；若，则可简化为． 请你利用数轴解决以下问题：（如图1） (1)已知点P为数轴上任意一点，点P对应的数记为m，若点P与表示整数的点的距离是2.5个单位长度，则m的值为 ； (2)已知点P为数轴上任意一点，点P对应的数记为m，若数轴上点P表示的数小于的点与表示2的点之间，则 ； (3)已知点A，B，C，D在数轴上分别表示数a，b，c，d，四个点在数轴上的位置如图2所示，若，，，则等于 ； (4)已知点A，B，C，D，E在数轴上分别对应数分别为：，一动点Q从原点O出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度来回移动，其移动方式是先向右移动1个单位长度，再向左移动2个单位长度，又向右移动3个单位长度，再向左移动4个单位长度，又向右移动5个单位长度，求Q点运动多少秒钟后所处的位置到点A，B，C，D，E各点距离之和最短？ 【答案】(1)0.5或 (2)7 (3)4 (4)Q点运动10.5秒钟后所处的位置到点A、B、C、D、E各点距离之和最短 【分析】本题主要考查了整式的加减计算，数轴上两点距离计算，一元一次方程的应用，熟练掌握以上知识点是关键． （1）由题意易得，然后求解即可； （2）由点P位于表示的点与表示2的点之间，据此直接化简绝对值求解即可； （3）由题意得到，进而根据线段的和差关系得到，则，进而问题可求解； （4）根据两点间距离和线段的和差关系可确定点Q运动到时，到点A、B、C、D、E各点距离之和最短，然后求出运动的路程，然后求出时间即可． 【详解】（1）解：由条件可知， ∴或， 解得或， 故答案为：0.5或； （2）解：由条件可知：； 故答案为：7； （3）解：∵，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：4． （4）解：设点Q表示的数为x， 由条件可知：，，，，， ∴， 当时，则， 当时，则， 当时，则， ∴当时，有最小值41， 同理可得当时，有最小值13， ∵， ∴当时，有最小值0， 综上所述，当时，，，三者能同时取得最小值， ∴当时，取得最小值， ∴当点Q运动到时，到点A、B、C、D、E各点距离之和最短， 根据题意可知，从第一次运动开始，点Q每运动两次向左移动一个单位长度， ∴点Q从原点出发需要运动次才能到， ∴点Q运动的距离为：， ∴运动时间为：（秒）， 即Q点运动10.5秒钟后所处的位置到点A、B、C、D、E各点距离之和最短． 题型10 绝对值的其他应用 37．（25-26七年级上·陕西西安·期末）某校将举办中学生天文知识竞赛，由学生会承办此次活动．该校教学楼共5层，若从1层到5层每层学生志愿者人数分别是10，9，7，5，6．要使所有学生志愿者到会议地点爬楼的距离之和最短，会议地点应设在第____层． 【答案】2 【分析】本题考查了绝对值的应用和求最小值问题． 会议地点应设在使所有志愿者爬楼距离之和最小的楼层，通过计算每层作为会议地点时的总距离，比较即可． 【详解】解：设会议地点在第层， 则总距离， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 可知当时，总距离最短， 故会议地点应设在第2层． 故答案为：2． 38．（24-25七年级上·全国·期末）阅读：已知点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为． 理解：（1）数轴上表示2和的两点之间的距离是________； （2）数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是________； （3）当代数式取最小值时，相应的x的取值范围是________，最小值是________． 应用：某环形道路上顺次排列有四家快递公司：A、B、C、D，它们顺次有快递车16辆，8辆，4辆，12辆，为使各快递公司的车辆数相同，允许一些快递公司向相邻公司调出，问共有________种调配方案，使调动的车辆数最少． 【答案】 5 / 4 5 【分析】本题考查了数轴与绝对值，掌握绝对值的意义和性质是解题的关键． 理解：（1）根据两点之间的距离即可求解； （2）根据两点之间的距离即可求解； （3）由可得代数式表示到和的距离之和，据此即可求解； 应用：根据题意画出图形，再根据图形即可求解； 【详解】解：理解：（1）由题意得，数轴上表示数和的两点之间的距离是， 故答案为：； （2）数轴上表示数和的两点之间的距离是， 故答案为：； （3）∵， ∴代数式表示到和的距离之和，当在和之间，即时，和最小，最小值为， 故答案为：，； 应用：根据题意，画图如下，共有种调配方案： 故答案为：． 39．（25-26七年级上·陕西榆林·阶段检测）若x、y都是不为0的有理数，则代数式的最大值和最小值的和为______． 【答案】 【分析】此题要分三种情况进行讨论：①当x，y都为正数；②当x，y中有一负一正；③当x，y都为负数；分别进行计算即可． 【详解】解：①当x，y都为正数， ； ②当x，y中有一负一正，不妨令y为负， ； ③当x，y都为负数， ； ∴代数式的最大值是1，最小值为， ∴代数式的最大值和最小值的和是． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了绝对值的意义，有理数的运算，解题的关键是熟练掌握绝对值的意义，注意进行分类讨论． 40．（25-26七年级上·湖南岳阳·期中）【信息提取】学习了绝对值的概念后，我们知道：一个非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，即当时，；当时，，对于含绝对值的算式，在有些情况下，可以不需要计算出结果就能将绝对值符号去掉，例如：；；，． (1)根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不用写出计算结果）： ①_________；②_________． 【拓广应用】 (2)用合适的方法计算：_________________． (3)请利用你探究的结论计算： 【答案】(1)①；②； (2) (3) 【分析】本题考查了绝对值的化简，熟悉掌握运算法则是解题的关键． （1）根据绝对值的化简方法解答即可； （2）根据绝对值的化简方法运算即可； （3）根据绝对值的化简方法运算即可． 【详解】（1）解：，， 故答案为：①；②； （2）解：， 故答案为：； （3）解： 原式 ． 题型11 绝对值中的最值问题 41．（25-26七年级上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于．如，那么______．请你结合数轴与绝对值的知识求得的最小值为______． 【答案】 1或 4 【分析】本题考查了数轴上两点间距离，绝对值的意义，根据绝对值的意义解答①，由表示到的距离与到的距离的和，可知，当时，距离之和最小，据此即可解答②， 运用数形结合思想解答是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， ∵，表示到的距离与到的距离的和， 可知，当时，距离之和最小，最小值为， 故答案为：或，． 42．（25-26七年级上·全国·阶段检测）材料阅读：在学习绝对值时，我们知道了绝对值的几何含义，如表示在数轴上对应的两点之间的距离；所以表示、在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示在数轴上对应的点到原点的距离．综上，数轴上两点对应的数分别为，且两点之间的距离可以表示为，则（或）． (1)求___________；若，则___________； (2)的最小值是___________；当___________时的最小值是___________． 【答案】(1)5，1或； (2)4，2，5 【分析】本题考查绝对值的几何含义，数轴上两点间的距离，有理数的计算，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）根据阅读材料，利用绝对值的几何意义进行解答计算即可； （2）根据绝对值的几何意义，表示求所对应的点到1和所对应的点的距离和， 表示求所对应的点到和4所对应的点的距离和，利用数轴进行求解即可． 【详解】（1）解：表示所对应的点之间的距离， ∴， 表示所对应的点之间的距离为3， 或， 故答案为：5，1或； （2）解：可以看作对应的点到1和对应的点的距离之和， 当点在与1之间的线段上，即时，距离和最小为； 有最小值，最小值为4； 可以看作对应的点到和4所对应的点的距离和， 当时，距离和最小为； 当时，的最小值为5， 故答案为：4，2，5； 43．（25-26七年级上·甘肃平凉·期中）【定义】数轴上表示数的点之间的距离． 【应用】如图，在数轴上；点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，动点表示的数为． (1)求点之间的距离； (2)点之间的距离为_____，点之间的距离为_____；（用含的代数式表示） (3)求的最小值． 【答案】(1) (2)； (3) 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，涉及绝对值的应用，解题的关键是理解绝对值的几何意义和两点间的距离公式． （）根据两点距离公式可得答案； （）由两点距离公式可得答案； （）由()可知表示的意义是点到点的距离之和，即可求解． 【详解】（1）解：∵点表示的数为，点表示的数为， ∴点之间的距离； （2）∵点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，动点表示的数为， ∴点之间的距离为， 点之间的距离为； 故答案为：；； （3）由（）可知表示的意义是点到点的距离之和， 当在数轴上表示的点在表示和(包括和)的点之间时， 取得最小值，最小值为． 44．（25-26七年级上·江苏连云港·期中）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法． 【知识储备】同学们都知道，表示5与2的差的绝对值，实际上也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离（如图）． 请你利用数形结合的思想探究下列问题： 【探究规律】 (1)求代数式的最小值； (2)代数式的最小值为_____________； (3)代数式的最小值为_____________． 【答案】(1)1 (2)2 (3)2024 【分析】此题考查了运用数形结合思想进行实数运算的能力． （1）根据题目中的几何意义进行求解． （2）根据题目中的几何意义进行求解． （3）根据题目中的几何意义进行求解． 【详解】（1）解：表示在数轴上表示数x的点到表示1的点与表示2的点的距离之和， ∴当时，代数式的值最小，最小值为； （2）解：表示在数轴上表示数x的点到表示1的点，表示2的点，表示3的点的距离之和， ∴当时，代数式的值最小，最小值为； 故答案为：2 （3）解：表示在数轴上表示数x的点到表示1的点，表示2的点，表示3的点，……，表示2025的点的距离之和， ∴当时，代数式的值最小，最小值为． 故答案为：2024 题型12 绝对值与数轴结合（动点问题） 45．（2025七年级上·全国·专题练习）阅读下列材料并解决问题： 数轴是一种非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与形之间的联系，两个有理数在数轴上对应的点之间的距离，可以用这两个数的差的绝对值表示，这也体现了绝对值的几何意义．若在数轴上有理数对应的点为，有理数对应的点为，则，两点之间的距离可表示为或，记为．如式子的几何意义是数轴上表示有理数3的点与表示有理数的点之间的距离． 根据上述材料，回答下列问题： (1)与3的距离是_________； (2)式子的最小值是多少？ (3)应用：某一直线沿街有2014户居民（相邻两户居民间隔相同）：，，，，，，某餐饮公司想为这2014户居民提供早餐，决定在路旁建立一个快餐店，点选在_________，才能使这2014户居民到点的距离总和最小． 【答案】(1)5 (2)5 (3)到之间（包括，两点） 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离、绝对值的几何意义，解题的关键是采用数形结合的思想． （1）根据题意，直接列式计算即可； （2）根据的几何意义是数轴上表示有理数x的点到及到3的距离之和，即可得到答案； （3）当有两户居民，时，可知，点P选在，之间（包括，这两个点）时，才能使这2户居民到点P的距离总和最小．当有四户居民，，，时，点P选在，之间（包括，这两个点）时，才能使这4户居民到点P的距离总和最小．依次类推，即可得出答案． 【详解】（1）解：， 故答案为：5． （2）解：∵的几何意义是数轴上表示有理数x的点到及到3的距离之和， 数轴如下， ∴当时，式子取得最小值，最小值为． （3）解：当有两户居民，时，可知，点P选在，之间（包括，这两个点）时，才能使这2户居民到点P的距离总和最小． 当有四户居民，，，时，点P选在，之间（包括，这两个点）时，才能使这4户居民到点P的距离总和最小． 那么由题意可知，2014户居民，，，，，中， 点P选在到之间（包括，两点），才能使这2014户居民到点P的距离总和最小． 故答案为：到之间（包括，两点）． 46．（25-26七年级上·福建福州·期中）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式的几何意义是数轴上所对应的点与2所对应的点之间的距离．因为，所以的几何意义就是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离．回答下列问题： (1)①数轴上表示和2的两点和之间的距离是____________； ②在①的情况下，如果，那么为____________； (2)探究问题：代数式的最小值是多少？ 如图，点A、B、P分别表示数， 的几何意义是线段与的长度之和， ∴当点在线段上时，； 当点在点的左侧或点的右侧时，， 的最小值是3． 请你根据上述自学材料，探究解决下列问题： ①直接写出式子的最小值是____________； ②工厂加工车间工作流水线上依次间隔2米排着5个工作台，一只配件箱应该放在工作____________处，能使工作台上的工作人员取配件所走的路程最短，最短路程是____________米； (3)若在数轴上点A、B表示的数分别是．动点从点出发，沿数轴以每秒3个单位长度的速度向终点匀速运动；同时，点从点出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向终点匀速运动，设点的运动时间为秒．当点与点之间的距离为9个单位长度时，求的值． 【答案】(1)①；②5或； (2)①2；②C，12； (3)1或4.6． 【分析】本题主要考查了数轴，数轴上两点之间的距离： （1）①根据两点间距离公式可得结论； ②数轴上表示和2的两点间相差3个单位长度，即或，即可求解； （2）①根据两点间的距离公式，仿照材料上的分析即可求得最小值； ②以C点为原点，2米为一个单位长度，A、B、C、D、E依次在数轴上排列，点P表示配件箱的位置，表示数x，根据绝对值的意义，几何数轴上点的特点可知当时，有最小值12； （3）表示出P、Q两点表示的数，根据两点间的距离公式表示，代入计算可得答案． 【详解】（1）解：①， 故答案为：； ②由于，则， 即或， 解得：或， 故答案为：5或； （2）解：①如图，设N、M点表示数1、2，点P表示数x，O表示原点， 则， 当点P与点N重合时，，则， 当点P在线段上且不与N重合时，， 则； 当点P在线段上且不与N重合时，， 则； 当点P在点M的右边或在点O的左边时，或， 则， ∴的最小值为2； 故答案为：2； ②如图，以C点为原点，2米为一个单位长度，A、B、C、D、E依次在数轴上排列，点P表示配件箱的位置，表示数x， 根据绝对值的意义，， 根据数轴上点的特点可知当点P与点C重合，即时，，，，此时取得最小值； 当点P在线段上（不与点C重合）时，， 则， 即； 同理，当点P在或（不与点C重合）或上或在点E的右边或在点A的左边时，均有； 综上，当点P与点C重合，即时，有最小值12； 故答案为：C；12； （3）解：由题意知，点P表示的数为，点Q表示的数为， ∵， ∴， 即或， 解得：或， 故t的值为1或4.6． 47．（25-26七年级上·江苏镇江·期中）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．我们知道，表示数a在数轴上的对应点与原点的距离．如图，表示5在数轴上的对应点到原点的距离，而，即也可理解为5与0两数在数轴上对应的两点之间的距离 类似的，表示5与3之差的绝对值，也可理解为5与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离、如的几何意义是数轴上表示3 的点与表示x的点之间的距离．一般地，点A、B在数轴上分别表示数a、b，那么A、B之间的距离可表示为 【学以致用】 （1）计算： ， 若， 则 （2）若， 则 ； （3）的最小值为 ； 【拓展延伸】 如果数轴上有三个点且其中一个点与另外两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“二倍点”． 例如， 数轴上点M， N， P 所表示的数分别为2， 4， 5， 此时， 因此点 N 是 M、P的“二倍点”． （4）若点C表示的数是，点D 表示的数是6，直接写出点C，D的“二倍点”所对应的数值． 【答案】（1）4；2或；（2）或6；（3）6；（4），，或． 【分析】本题考查绝对值的几何意义，数轴上两点间的距离，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）根据绝对值的几何意义进行求解即可； （2）分和两种情况，进行讨论求解即可； （3）根据绝对值的几何意义，得到当时，的值最小，为数轴上到的距离； （4）设点为点C，D的“二倍点”，点表示的数为，根据新定义，分2种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：（1）； ，即数轴上到数的距离为3，所表示的数， ∴或； （2）当时，， 解得； 当时，， 解得； 综上：或； （3）表示数到和2的距离和， 故当时，的值最小，为数轴上到的距离， ∴的最小值为； （4）设点为点C，D的“二倍点”，点表示的数为， 则：或， 当时，即，解得或； 当时，即，解得或； 综上，点C，D的“二倍点”所对应的数值为，，或． 48．（25-26七年级上·福建漳州·期中）数形结合是解决数学问题的重要思想方法． 材料分析：如图1，已知数轴上两点，．则两点距离为两数差的绝对值，即 如：1到3的距离为两数差的绝对值，即；到3的距离为两数差的绝对值，即． 根据以上思想，完成下题 问题探究：参考阅读材料，解答下列问题． （1）如图2，数轴上表示和6的数的两点之间的距离是______； （2）若数轴上表示数的点位于与5之间，求的值是______； （3）当取最小值时，相应的数的取值范围是______； 实际应用： （4）已知数轴上点，表示的数分别为8和，动点，分别从，两点，同时出发，点以每秒1个单位长度沿数轴向左匀速运动，点以点速度的2倍，沿数轴向右匀速运动，设运动时间为秒．问当为多少秒时？，之间的距离为3． 拓展提升： （5）若数，满足，求的最小值． 【答案】（1）8   （2）8   （3） （4）7或9秒   （5） 【分析】本题考查了一元一次方程的应用及数轴、绝对值，掌握两点之间的距离公式是解题的关键． （1）根据两点之间距离的定义求解； （2）根据绝对值的性质求解； （3）根据两点之间距离的定义及当在两点之间时距离和最小求解； （4）设经过秒时，，之间的距离为3，此时点表示的数是，点表示的数是，据此列方程求解即可； （5）根据绝对值几何意义分别求和的最小值，即可求解． 【详解】（1）解：数轴上表示和6的两点之间的距离为：， 故答案为：8； （2）解：数轴上表示数的点位于与5之间， ， ， 故答案为：8； （3）解：表示数到点1与3的距离之和， 当时，取最小值， 故答案为：； （4）解：设经过秒时，，之间的距离为3， 此时点表示的数是，点表示的数是， 则， 整理得， 解得或， 故当为7或9秒时，，之间的距离为3； （5）解：表示数到点1与3的距离之和， 当时，取得最小值； 表示数到点4与的距离之和， 当时，取得最小值， 此时， 的最小值为1，的最小值为， 的最小值为：， 故答案为：． 1．（25-26七年级上·河北·阶段检测）有理数的相反数是（     ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【详解】解：的相反数是． 2．（25-26八年级下·湖南株洲·期末）在数轴上，点表示2026，点表示2026的相反数，则点与点的距离是（     ） A．2026 B． C．4052 D． 【答案】C 【分析】先根据相反数的定义得到点表示的数，再利用数轴上两点间距离的计算方法求解即可． 【详解】解：∵点表示的数为，的相反数为 ∴点表示的数为 ∵数轴上两点间的距离等于两点表示数的差的绝对值 ∴点与点的距离为． 3．（2026·广东东莞·二模）我国几个城市某年1月份的平均气温如下表所示，其中最低气温是（     ） 城市 北京 广州 重庆 哈尔滨 平均气温/ A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数的大小比较，利用有理数比较大小的规则即可找出最低气温； 【详解】解：四个城市的平均气温分别为，，，. ∵ 正数大于一切负数， ∴ 和都大于两个负数，只需比较两个负数的大小. ∵ ，，且， ∴ 根据两个负数比较大小，绝对值大的数反而小，可得. ∴ 最低气温是； 4．（25-26七年级·全国·暑假作业）若一个数的绝对值等于它的相反数，则这个数一定是（   ） A．负数或0 B．正数或0 C．负数 D．正数 【答案】A 【分析】本题考查绝对值与相反数的定义，根据绝对值的性质分情况讨论，即可判断符合条件的数． 【详解】解：设这个数为，根据题意得． ∵当时，，不满足； 当时，，的相反数是，满足； 当时，，满足条件； ∴这个数是负数或． 5．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）如果a是负数，且，那么数轴上表示数a，的点的位置关系是（   ） A．a在左侧 B．a在右侧 C．a与重合 D．无法确定 【答案】B 【分析】先根据绝对值的性质求出负数a的取值范围，再结合数轴上数的大小与位置的关系，判断a和的位置关系． 【详解】解：∵， 又∵，且a是负数， ∴， ∴表示数a的点在表示的点的右侧，故B正确． 6．（2026·湖北·三模）在物理学中，规定在标准大气压下冰水混合物的温度为，绝对零度约为．写出一个比绝对零度高且比冰水混合物温度低的温度值（单位：）是________． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：设所求温度为， 根据题意可得， 则在该取值范围内任取一个数即可，例如取． 7．（24-25七年级上·山东青岛·开学考试）绝对值不大于1的整数有____________． 【答案】 【分析】根据绝对值的意义，明确绝对值不大于1即为绝对值小于或等于1，找出该范围内的所有整数即可． 【详解】解：设这个整数为，根据题意可得： ， 去绝对值得， 又因为是整数，因此满足条件的整数为． 8．（26-27七年级·浙江·暑假作业）（1）若，则______， _______． （2）若，则_____， _____． 【答案】 0 0 6 0 【详解】解：（1）∵，，， ∴， ∴； （2）∵，，， ∴， ∴ ∴． 9．（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）若，则的值为________． 【答案】 【分析】根据绝对值的非负性和平方数的非负性，几个非负数的和为，则每个非负数都为，据此求出和的值，再代入代数式计算即可． 【详解】解：，，， ，， 得 ，， 解得 ，， 将，代入， 得： ． 10．（24-25七年级上·宁夏吴忠·阶段检测）化简符号：___________． 【答案】 【详解】解：． 11．（26-27七年级·全国·暑假作业）求下列各式的值： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】根据绝对值的代数定义，是负数，绝对值为，是正数，绝对值为，的绝对值为． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 12．（26-27七年级·全国·小升初衔接）化简下列各数： (1)    ； (2)． 【答案】(1)8 (2) 【分析】多重符号化简依据：可从内向外逐层去括号，括号前为正号时直接去掉括号和正号，括号前为负号时去掉括号和负号后，括号内项符号改变． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 13．（25-26七年级上·吉林延边·期末）已知代数式与是互为相反数，求的值． 【答案】 【分析】本题考查相反数的性质，掌握相反数的性质是解题关键． 根据互为相反数的两个数之和为0，列式求解即可． 【详解】解：由题意，得， 解得． 14．（25-26七年级上·山西朔州·阶段检测）阅读下列材料： 当时，如，则，此时的绝对值是它本身； 当时，，此时的绝对值是0； 当时，如，则，此时的绝对值是它的相反数． 综上可得， 这种分析方法体现了数学中常用的分类讨论思想．请解答下列问题： (1)比较大小：_____5， _____；（填“”“”或“”） (2)请仿照上述分类讨论的方法，分析与的大小关系． 【答案】(1)， (2)当时，；当时， 【分析】本题主要考查了求一个数的绝对值，有理数比较大小，利用分类讨论的思想求解是解题的关键。 （1）直接根据去绝对值的方法及有理数的大小比较即可得出答案； （2）根据绝对值的三种情况，进行分析求解即可． 【详解】（1）解：，， 故答案为：，； （2）解：当时，， 当时，， 当时，， 综上，当时，；当时，． 15．（24-25七年级上·湖南湘潭·阶段检测）阅读下列材料，回答问题． 经过有理数运算的学习，我们知道可以表示5与3之差的绝对值，同时也可以理解为5与3两个数在数轴上所对应的两点之间的距离，我们可以把这称之为绝对值的几何意义．同理，可以表示5与之差的绝对值，也可以表示5与两个数在数轴上所对应的两点之间的距离．试探究： (1) 表示数轴上 与 所对应的两点之间的距离． (2)表示数轴上有理数x所对应的点与 所对应的两点之间的距离；表示数轴上有理数x所对应的点与 所对应的两点之间的距离． (3)利用绝对值的几何意义，请找出所有符合条件的整数x，使得． 【答案】(1)， (2)， (3)这样的整数x有，，0，1，2 【分析】本题考查数轴上两点间的距离，绝对值的意义等知识，掌握两点间的距离公式，是解题的关键． （1）根据两点间的距离公式，进行作答即可； （2）根据两点间的距离公式，进行作答即可； （3）根据两点间的距离，由可得到x在到2之间，即可得出结论． 【详解】（1）解：表示数轴上与所对应的两点之间的距离； 故答案为：，； （2）解：表示数轴上有理数x所对应的点到3所对应的点之间的距离； 表示数轴上有理数x所对应的点到所对应的点之间的距离； 故答案为：，． （3）解：表示x到之间的距离与x到2之间的距离的和为4， ∵到2之间的距离为4， ∴x在到2之间， ∴这样的整数x有，，0，1，2． 16．（2026·河南周口·二模）数轴上点P表示的数为，则与点P关于原点对称的点表示的数是（    ） A．2028 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据关于原点对称的两点所表示的数互为相反数解答即可． 【详解】解：∵数轴上点P表示的数是， ∴点P关于原点对称的点表示的数是． 17．（26-27七年级·浙江·暑假作业）若m，n为有理数，，，且，那么m，n，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图所示， ∴ ． 18．（25-26七年级上·陕西榆林·期末）已知的绝对值为，的绝对值为，且，则的值为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查绝对值的定义，有理数的大小比较，代数式求值，掌握绝对值的定义是解题关键． 根据绝对值的定义，可能为或，可能为或，再结合条件，筛选出满足条件的和的组合，然后计算的值． 【详解】解：由，则或， 由，则或， 又， 可知当时，，当时，， 当，时，， 当，时，． 故的值为或． 故选：． 19．（25-26七年级上·福建泉州·期中）适合的整数的值有（   ） A．4个 B．3个 C．7个 D．9个 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值的几何意义和数轴上两点间的距离，通过绝对值方程的几何意义，确定a的取值范围，再求整数a的个数． 【详解】解：， 原方程可理解为数轴上表示的点到表示和的点的距离之和为8， 点和之间的距离恰好为， 表示的点必在这两点之间（含端点）， 即， 解得， a为整数， ，共4个， 故选：A． 20．（25-26七年级上·河南郑州·期中）已知，且，则的值是（   ） A．6或 B．6或 C．10或 D．6或10 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值，熟练掌握绝对值的化简是解题的关键． 先根据，得到p与q的值，然后结合，选取满足条件的p，q的值，分别计算的值即可． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴或， ∴当时，； 当时，； ∴的值为10或． 故选：C． 21．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，四个有理数分别在数轴上用点M、N、P、Q表示，若N，Q表示的有理数互为相反数，则图中表示绝对值最小的数是点________． 【答案】P 【分析】本题主要考查了相反数和绝对值的概念．先根据N，Q表示的有理数互为相反数，确定原点的位置，再确定图中表示绝对值最小的数是点P． 【详解】解：∵N，Q表示的有理数互为相反数， ∴原点在的中点处， 此时距离原点最近的点为P， 即图中表示绝对值最小的数是点P． 22．（26-27七年级·江苏·小升初衔接）在数轴上，点A、B分别表示数a、b，且，，若点A在点B的左侧，则的值为______． 【答案】或 【分析】本题考查绝对值与数轴的有关知识，解题的关键是掌握绝对值的定义；根据题意可得，；再根据表示的点在表示的点的左侧，说明比小，这样即可求得的值． 【详解】解：∵，， ∴，， 又∵点A在点B的左侧， ∴， 分情况讨论： ①当时，要满足，则，此时； ②当时，要满足，则，此时（, 时，，不合题意，舍去）， 综上，的值为或． 23．（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）数轴上点A表示的数是x，点B表示的数是2，表示A，B两点间的距离，则的最小值为________． 【答案】 【分析】先将转化为，根据题中对绝对值的定义结合当在点与之间时取得最小值来求解． 【详解】解：， 由题知，表示与之间的距离，表示与之间的距离， 当在和之间时（含端点），与的和最小，最小值为， ∴的最小值． 24．（25-26六年级上·上海普陀·期末）如图，已知线段，，线段在射线上运动（点在点的左侧，点在点的左侧），且；已知点是线段延长线上任意一点，当点与点重合时，，那么的值是_____． 【答案】2 【分析】此题主要考查了线段的计算．先根据非负数的性质求出，，则，．设，根据点D与点B重合，点C在点D的左侧得点C在线段上，再根据点P在线段的延长线上画出图形，结合图形得，，则，据此可得出结论． 【详解】解：∵，，， ， 解得：， ∴． 设， ∵点D与点B重合，点C在点D的左侧， ∴点C在线段上， 又∵点P在线段的延长线上，如图所示： ∴， ∴， ∴． ∴． 故答案为：2． 25．（25-26七年级上·河南安阳·期中）若，则______． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的非负性，有理数的混合运算，求代数式的值，根据绝对值的非负性求出和的值，然后代入代数式，利用裂项相消法求和． 【详解】解：∵， ∴且， ∴，． ∴原式 ． 故答案为． 26．（26-27七年级·浙江·暑假作业）比较下列每组数的大小 (1) (2) (3) (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：∵，， ∵， ∴； （2）解：∵，， ∵， ∴； （3）解：∵，， ∴； （4）解：∵， ∴． 27．（25-26七年级上·黑龙江七台河·期中）（1）数轴上点A，B对应的数分别是a，b，则，若点A在数轴上表示3，点B在数轴上表示1，那么 ； （2）在数轴上表示x的点与的距离是3，那么 ； （3）在数轴上表示a的点位于和3之间（包含两端），求的值； （4）对于任意有理数x，则的最小值是 ． 【答案】（1）2（2）或2；（3）7；（4）3 【分析】本题考查了数轴上两点间距离公式，绝对值的几何意义，理解绝对值的几何意义是解题的关键． （1）根据数轴上两点间距离公式计算即可； （2）根据数轴上两点间距离公式解答即可； （3）由绝对值的几何意义可知式子表示a对应的点分别到、3对应的点的距离之和，进而利用数轴上两点间距离公式解答即可求解； （4）由绝对值的几何意义可知式子表示x对应的点分别到3、6对应的点的距离之和，当表示x的点位于3和6之间（包含两端），距离之和最小，据此解答即可求解． 【详解】解：（1）数轴上点A，B对应的数分别是a，b，则， 由题意得，， 故答案为：2； （2）由题意得，， 即， 解得或， 故答案为：或2； （3）在数轴上表示a的点位于和3之间（包含两端）， ∵， ∴式子表示a对应的点分别到、3对应的点的距离之和， 当表示a的点位于和3之间（包含两端）时，距离之和为， 即的值为7； （4）式子表示x对应的点分别到3、6对应的点的距离之和， 当表示x的点位于3和6之间（包含两端）时，距离之和最小， 此时最小值为， 故答案为：3． 28．（25-26七年级上·陕西咸阳·期中）已知，． (1)若，求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)4或12 (2)4或12 【分析】本题考查了求代数式的值，绝对值，正确求出、的值是解题的关键． （1）根据绝对值的定义求出、的值，再根据进一步确定、的值，然后分别代入计算即可； （2）根据绝对值的定义求出、的值，再根据进一步确定、的值，然后分别代入计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∵， ∴，或，， 当，时，； 当，时，； 综上，的值是4或12； （2）解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，或，， 当，时，； 当，时，； 综上，的值是4或12． 29．（25-26七年级上·内蒙古包头·期末）数轴是初中数学的一个重要工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础． 【定义】 一个点（不是原点）在数轴上运动，第一次跳到的位置（点与点表示的数互为相反数），点称为点的一次跳跃点，紧接着从跳到的位置（点与点位于点的两侧，且），则点称为点关于点的二次跳跃点． 【初步理解】 （1）如图1，若点表示的数是，点表示的数是5，则点的一次跳跃点表示的数是___________________，点关于点的二次跳跃点表示的数是_____________，线段的长度为_______________． 【深入探究】 （2）如图2，若点是数轴正半轴上的一个点，点是数轴负半轴上的一个点，点为点关于点的二次跳跃点．若点，点表示的数分别是，，当变化时，探究线段的值是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由． 【归纳总结】 （3）若在数轴上点分别表示有理数（其中），点为点关于点的二次跳跃点，直接写出线段的长度． 【答案】（1）2；8；10；（2）的值不发生变化，，理由见解析；（3）． 【分析】本题利用数轴上的点表示有理数，数轴上两点之间的距离，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论与数形结合的思想是解此题的关键． （1）由数轴可得点表示的数是2，结合题意并根据数轴上两点之间的距离公式得出，进而即可得出表示的数，最后再由数轴上两点之间的距离公式计算即可得解； （2）由题意可得点表示的数是，再分两种情况：若，若，分别计算即可得解； （3）由题意可得一次跳跃点表示的数是，结合，点与点位于点P的两侧，得出点P是中点，由此计算即可得解． 【详解】解：（1）由数轴可得，点表示的数是2， ∵P表示的数是5， ∴， ∴， ∴表示的数， ∴线段的长度为； 故答案为：2；8；10． （2）的值不发生变化，，理由如下： 由题意可得：点表示的数是， ①若，如图所示： ∵， ∴，即点表示的数是． ∴； ②若，如图所示： ，点与点位于点P的两侧， ． ，即点表示的数是． ； 综上所述，的值不发生变化，． （3）∵点表示有理数， ∴一次跳跃点表示的数是． ，点与点位于点的两侧， ∴点P是的中点． ∵点P表示的数是p， 点表示的数是， ． 30．（25-26七年级上·新疆乌鲁木齐·期末）阅读下面材料： 点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离表示为． 当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图1，； 当A、B两点都不在原点时，如图2，点A、B都在原点的右边， ； 如图3，当点A、B都在原点的左边，； 如图4，当点A、B在原点的两边，． 回答下列问题： (1)数轴上表示1和6的两点之间的距离是_______数轴上表示2和的两点之间的距离是________． (2)数轴上若点A表示的数是，点B表示的数是，则点A和B之间的距离是_____，若，那么x为______． (3)当x是________时，代数式． 【答案】(1)5；5 (2)；或 (3)或3 【分析】本题考查了实数与数轴，学会利用两点间的距离是解题关键． （1）根据两点间的距离，可得答案； （2）根据两点间的距离，可得答案； （3）根据绝对值的性质，可化简为方程，再解方程，即可得答案． 【详解】（1）解：数轴上表示1和6的两点之间的距离是， 数轴上表示2和的两点之间的距离是． 故答案为：5，5； （2）解：数轴上若点A表示的数是，点B表示的数是， 则点A和B之间的距离是，若， 则 解得或， 故答案为：，或； （3）解：当时， ， ∴ 解得； 当时， ， ∴ 解得； 当时， ， 当或3时，代数式， 故答案为：或3． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $