集合新定义问题专训(基础版) 专项训练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 聚焦集合新定义问题，通过多题型训练抽象理解与逻辑推理能力，夯实基础应用 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |单选|8题|考查新运算、子集厚度、和谐集等定义|从集合基本概念到新定义生成，结合元素关系推理| |多选|3题|涉及伙伴关系集、类集等复合型定义|通过性质判断强化概念间内在联系| |填空|3题|孤星集、影子关系集等应用型定义|依托集合运算规则构建新集合关系| |解答|5题|含证明、运算及参数讨论的综合定义|从具体实例到一般化推理，深化定义应用逻辑|

集合新定义问题专训(基础版) 一、单选题 1．定义一种运算：.设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先计算，再计算，然后根据的定义求解. 【详解】， ， 根据，所以. 2．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得a可能取1，3，5，23，b可能取1，3，5，23， 则可能取2，4，6，24，4，6，8，26，6，8，10，28，24，26，28，46， 由集合的互异性去掉重复的元素，则，则． 3．定义集合运算：，设集合，，则集合的所有元素之和为（   ） A．0 B．2 C．3 D．5 【答案】D 【分析】根据定义先求，进而求解. 【详解】由题意得：，所以. 4．当集合是的子集且的元素个数有限，称的所有元素之和为的“厚度”.集合 的全部非空子集的厚度之和为（    ） A．3200 B．1600 C．1550 D．800 【答案】B 【分析】对于集合中每个元素，计算它在所有非空子集中出现的次数，再乘以该元素的值，最后求和即可. 【详解】根据题意,任意一个元素在非空子集中的出现次数为:. 集合的元素之和为. 所以集合的全部非空子集的厚度之和为:. 5．定义集合且，已知集合，，若，则下列一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为集合，集合，集合，， 所以，，， 选项A：因为，所以或者（且满足集合元素的互异性）； 选项B：因为，所以一定成立； 选项C：当时，集合，集合，，C错误； 选项D：当，时，集合，集合，，D错误. 6．对于数集，，定义，，若集合，则集合中所有元素之和为（ ） A．5 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合的新定义求出 和 ，即可求出元素之和. 【详解】根据新定义，集合，则， 则 ，则可知所有元素之和为. 故选：D 7．若对任意，都有，则称非空集合为“和谐集”，已知集合，则集合的子集中“和谐集”的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据集合的新定义及元素与集合的关系判断求解. 【详解】由且可得： 若，则， 所以“和谐集”不含元素； 若，不存在，所以“和谐集”不含元素； 若，则，要求也属于该集合，产生矛盾， 所以“和谐集”不含元素； 若，则， 若，则， 若，则； 所以集合的子集中“和谐集”只有. 故选：B． 8．如图所示的Venn图中，是非空集合，定义集合为阴影部分表示的集合．若的子集个数为（    ）    A．7 B．8 C．15 D．16 【答案】B 【分析】先求出集合的元素，根据Venn图求，进而求得子集个数. 【详解】，， 则，， 所以，其子集个数为个. 故选：B. 二、多选题 9．定义：若且则称为伙伴关系集合.集合的非空子集中，具有伙伴关系的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】由伙伴关系集合定义结合题设可得答案. 【详解】对于A，注意到不在集合中，故不是伙伴关系集合，A错误； 对于B，均在集合中，故是伙伴关系集合，B正确； 对于C，在集合中，故为伙伴关系集合，C正确； 对于D，均在集合中，故为伙伴关系集合，D正确. 10．已知非空数集满足：①若，则；②若，则.下列说法正确的有（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】BC 【详解】若，则无意义，与是一个非空数集矛盾，A错误； 若，则无意义，与是一个非空数集矛盾，故，B正确； 若，则，即，C正确； 根据题目可知若，则，， 代入条件①，则有，， 代入条件②，则有，， 可知. 故若，则，由条件无法确定，D错误. 11．整数集合中，被3除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记作，其中，即，以下判断正确的是（    ） A． B． C．若，则 D．若，则整数属于同一个类 【答案】ABD 【分析】根据题干的定义，通过计算可判断A，通过推理判断B和D，通过举特殊值可判断C. 【详解】对于A，，即，故A正确； 对于B，因任意一个整数除以3，所得余数只能为0或1或2，即， 反之，集合中任一数都是整数，即，所以，故B正确； 对于C，当时，，但，故C错误； 对于D，，不妨令，，，， 则，因，于是得，即，因此整数属于同一个类，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题 12．当时，若且，则称为的一个“孤立元素”，所有孤立元素组成的集合称为“孤星集”，则集合中“孤立元素”组成的“孤星集”为_________． 【答案】 【详解】由“孤立元素”的定义知，对任意，要成为的孤立元素， 必须是集合中既没有，也没有． 因此只需逐一排查中的元素即可． 而0有1“相伴”，1，2则是前后的元素都有，3有2“相伴”，只有5是“孤立的”， 从而集合中“孤立元素”组成的“孤星集”为． 13．定义且，若集合，，的子集的个数是______. 【答案】8 【分析】根据题中定义，运用列举法、集合子集个数公式进行求解即可. 【详解】由题知且，且，， 所以， 所以的子集的个数是， 故答案为：8 14．若，则，就称为“影子关系”集合，在集合的所有非空子集中，“影子关系”集合的个数为__________. 【答案】7 【分析】结合“影子关系”集合定义直接列举即可. 【详解】由“影子关系”集合定义可知，集合的所有非空子集中， 为影子关系的集合有 . 故答案为：7 四、解答题 15．根据要求完成下列问题：集合满足：，又若实数是数集中的一个元素，则一定也是数集中的一个元素，求证： (1)若，则集合中还有其他两个元素； (2)集合不可能是单元素集合． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由，根据题意，结合，准确运算，即可求解； （2）假设集合C中只有个元素，结合题意，得到方程，结合一元二次方程的性质，即可得证. 【详解】（1）若，则，若，则， 若，则， 当时，集合中必含有另两个元素、； （2）假设集合中只有一个元素，由题意可知， 集合为单元素集合， ， 即，而，则此方程无实数解， 假设不成立，集合不可能是单元素集合． 16．已知集合 (1)求 (2)定义且，求． 【答案】(1)或； (2) 【分析】（1）解不等式，得到，利用并集概念进行求解； （2）根据定义，转化为交集和补集的运算进行求解. 【详解】（1）由题意知， 或， 所以或； （2）因为且，，， 故. 17．对于非空数集，定义的运算结果为图中的阴影部分表示的集合，定义    (1)结合Venn图，请用集合的描述法表示； (2)若，，求； (3)若，，且，求实数的取值集合． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）根据Venn图可知：集合表示在集合内去掉集合的元素，结合集合描述法即可得结果； （2）分析可知，根据题意结合集合间的运算求解即可； （3）分析可知，且，结合题意即可得结果. 【详解】（1）由Venn图可知：集合表示在集合内去掉集合的元素， 所以. （2）由题意可知：， 因为，， 则，， 所以或. （3）因为，，可知， 则，且， 又因为，可得， 所以实数的取值集合为. 18．设集合是至少含有两个元素的数集，若中存在两个元素，满足它们的积，则称为可积数集. (1)设集合，试判断是否为可积数集？并说明理由； (2)设集合，若为可积数集，求实数的取值集合； (3)设集合，若不是可积数集，求实数的取值范围. 【答案】(1)不是可积数集，理由如下： 因为，，， 所以中任意两个元素的积都不是中的元素，即不是可积数集. (2) (3)或 【分析】（1）根据可积数集得定义判断； （2）由新定义可得，或，或，或，或，或，讨论求解； （3）由题意可得，，分，，讨论求解. 【详解】（1）略 （2）若为可积数集，则，或，或， 或，或，或. 若，则；若，则；若，则； 若，则，或，或，或， 解得，或，或（舍），或； 若，则，或，或，或， 解得，或，或，或； 若，则，或，或，或， 解得，或，或，或， 综上，实数的取值集合为. （3）若不是可积数集，则，. 当，即时，，此时，满足题意； 当时，，因为，所以若，则， 即，解得，或，此时满足题意； 当，即时，，，不满足题意，舍去. 综上，所求实数的取值范围为或. 19．由正数组成的集合具有如下性质:若且，则. (1)若且，试分别判断与是否在集合内并说明理由； (2)试问集合能否恰有两个元素且？若能，求出所有满足条件的集合，若不能，请说明理由. 【答案】(1) (2)能，所有满足条件的集合为： 【分析】（1）从已知元素和出发，利用集合性质逐步推导即可求解； （2）设，则由性质有，分和两种情况讨论，又由，进而求解. 【详解】（1）由题意有：，且，所以， 又，所以， 由，所以， 由，所以， 所以； （2）设，由性质有， 所以或， 当时，所以， 因为，若，则，即， 若时，解得，与矛盾，不满足题意， 当时，则，由， 若时，所以，即，解得（舍去负根）， 即； 若时，，即, 综上所述，集合能有两个元素且， 所有满足条件的集合为：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $集合新定义问题专训（基础版） 一、单选题 1.定义-种运算：A·B=xx∈AUB,x&AnBl设集合A=x-2≤x≤2川 B={x-3<x<0则A·B=() A.{x|-2≤x<0} B.{x|-3<x<-2}U{x|0≤x≤2) C.{x|-3<x≤2} D.{x|-3<x≤-2}U{x0<x≤2} 2.已知集合A=L3,523'B=a+bla∈A,b∈A则AnB=（） A.0 B.{1,3,5,7} c.{3,7} D.{1,3} 3.定义集合运算：A⑧B=2l2=y,X∈A,y∈B,设集合A=0,1'B=2,3则集 合A⑧B的所有元素之和为() A.0 B.2 C.3 D.5 4.当集合S是R的子集且S的元素个数有限，称S的所有元素之和为S的“厚度”.集合 {-1,0,2,3,5,7,9}的全部非空子集的厚度之和为() A.3200 B.1600 C.1550 D.800 5.定义集合A-B={xx∈A且xEB,已知集合A={1,Q,B={2,b,若A-B={1, 则下列一定成立的是() A.a=2 B.b≠1 C.AnB=2) D.B-A=2) 6.对于数集A'B定义A+B=Xx=a+b,a∈A,beB 若集合A=1,2水则集合(A+A÷A中所有元素之和 为() A.5 B.5 c.21 D. 23 2 2 2 7.若对任意x∈A,都有1- 1 一∈A,则称非空集合A为“和谐集”，已知集合 试卷第1页，共3页 M=2,1,号3 则集合M的子集中“和谐集”的个数为（) A.0 B.1 C.2 D.3 8.如图所示的Venn图中，A,B是非空集合，定义集合A*B为阴影部分表示的集合.若 A=x∈Nx≤3，B=x∈Zxs2,A·B的子集个数为() A.7 B.8 C.15 D.16 二、多选题 9.定义：若x∈A且时∈A,则称A为伙件关系集合集合M=1,-1,223}的非空子 集中，具有伙伴关系的是() A.{1,3} B.22》 c.{-1} D.{1,-1} 10.已知非空数集S满足：①若x∈S,则，1∈S,②若x∈S,则1-1∈S.下列说法 1-x 正确的有() A.1∈S B.0S C.若2∈S,则-1∈SD.若3∈S,则 11.整数集合Z中，被3除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记作k,其中 k∈{0,1,2即1k=xx=3n+k,n∈z以下判断正确的是() A.2025∈lo B.Z=0 U1 U2) 试卷第2页，共3页 C.若2∈2r则n=2m,m∈N D.若m-n∈0，则整数m,n属于同一个类 三、填空题 12.当x∈A时，若x-1庄A且x+1庄A,则称x为A的一个“孤立元素”，所有孤立元 素组成的集合称为“孤星集”，则集合A={0,1,2,3,5中“孤立元素”组成的“孤星集”为 13.定义M-N={xx∈M且xEN},若集合A=1,3,5,6,8,B={2,3,4,6,A-B的 子集的个数是 14.若xA则1EA就称A为“彩千关系”来合，在集合M0,3》123,4丽 X 所有非空子集中，“影子关系”集合的个数为 四、解答题 15.根据要求完成下列问题：集合C满足：1庄C,又若实数m是数集C中的一个元素，则 1 一定也是数集C中的一个元素，求证： 1-m (1)若2∈C,则集合C中还有其他两个元素： (2)集合C不可能是单元素集合. 16.已知集合A={x|2x-1≥3，B= (1)求AUB (2)定义M-N={x|x∈M且x在N},求A-B. 17.对于非空数集M,N,定义M-N的运算结果为图中的阴影部分表示的集合，定义 M⊙N=M-NUN-M. 试卷第3页，共3页 U M (I)结合Venn图，请用集合的描述法表示M-N; (2)若A=xx≥-3，B={xx<1,求A⊙B: (3)若C={xx>a,D={x|-2<x≤1，且C⊙D=xx>-2,求实数a的取值集合. 18.设集合M是至少含有两个元素的数集，若M中存在两个元素x,y满足它们的积 y∈M,则称M为可积数集 (1)设集合A=2,3,5,试判断A是否为可积数集？并说明理由： (2)设集合B={2,3,4,Q,若B为可积数集，求实数a的取值集合： (3)设集合D={x|t<x<t+2},若D不是可积数集，求实数t的取值范围， 19,由正数组成的集合A具有如下性质若a∈A,b∈A且a<b,则1+号∈A ①)若1∈A且2∈A,试分别判乙与是否在集合A内并说明理由； 4 ②试间架合A能否恰有两个元素且吕∈A?若能，求所有满足条件的集合A,若不能。 请说明理由 试卷第4页，共3页