第29章  圆-2026-2027学年九年级数学上册练培优（人教版）

第29章圆 29.1圆的有关概念 1、[2026安阳联考]如图，A,B,C三点在⊙0上，若AB II OC,LA=34°，则∠C的度数是() A.73° B.74° C.83° D.84° 2、[2026南京月考]已知点P到圆上的最远距离是5cm,最近距离是1cm,则此圆的半径长是 _cm。 3、[2026天津月考]如图，AB是⊙O的弦，C是AB上一点，且OC10A,0C=BC=1,则∠A 的度数为，⊙0的半径长为一。 B 4、[2026广州期中]设⊙0的半径为2，点P到圆心的距离0P=m,且m使关于x的方程2x2- 2V2x+m-1=0有两个不相等的实数根，则点P在⊙0一。（填“内"外”或“上”） 5、[2025遵义期末]如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3,AC=4,点P是AC边上的一 个动点，以点P为圆心，PA长为半径作圆，若点C在⊙P内且点B在⊙P外，则⊙P的半径可以 是 B 46/68 第29章圆 6、教材练习变式、如图，△ABC和△ABD都为直角三角形，且LC=∠D=90°。求证：A,B, C,D四点在同一个圆上。 D 7、「2026顺义期末]图1是一枚中国古代圆形铜钱，中间有一个正方形孔，象征着“天圆地方”。 图2是铜钱的平面结构图，已知圆心和正方形的对称中心都是点0，正方形的边长AB=7V2m, P是⊙0上的动点，若PB的最小值为6mm,则⊙0的面积为mm2。 0 B 图1 图2 47/68 第29章圆 微专题一题多变半径相等的应用 1.连半径构造等腰三角形「2026东莞光明中学期中]如图，AB是⊙O的直径，C是BA延长线 上一点，点D在⊙O上，且CD=OA,CD的延长线交⊙O于点E。若LC=20°，则∠B0E的度数 是 。 E D B 0 2.等圆中连半径构造等腰三角形如图，点D,E分别在△ABC的边BC,AB上，过D,C,A 三点的圆的圆心为点E,过B,F,E三点的圆的圆心为点D。如果∠A=63°，那么LABC=一。 D B 3.结合菱形，连半径得直角三角形[2026温州苍南月考1如图，在菱形ABCD中，过A,B,D 三点的⊙O交对角线AC的延长线于点E,连接BD。若OC=CE=1,则菱形的边长为_。 D E 48/68 第29章圆 29.2过三点的圆 1、用反证法证明时，假设结论“点在圆外”不成立，那么点与圆的位置关系只能是() A.点在圆内 B.点在圆上 C点在圆心上 D点在圆上或圆内 2、[2026扬州期中]在平面直角坐标系中，若A(1,-1),B(3,3),C(5,)三点可以确定一个圆， 则n的取值范围是() A.n≠3 B.n≤5 C.n>6 D.n≠7 3、[2026准安期中]如图，在平面直角坐标系中，A(1,6),B(5,6),C(7,4)。 (1)在网格中画出经过A,B,C三点的圆弧所在圆的圆心M,并写出M的坐标：。 (2)这个圆的半径长为。 (3)直接判断点D(5,-3)与⊙M的位置关系，点D(5,-3)在⊙M。（填“内"“外"“上") 49/68 第29章圆 29.3垂直于弦的直径 1、[2025济宁期中]已知⊙0的半径为2，点P为⊙0内一定点，且P0=1。过点P作⊙0的弦， 其中最短的弦的长度是() A.4 B.V3 C.2W3 D.2 2、教材练习变式如图，在⊙O中，弦AB的长为8，OE1AB于点E,且OE=3,弦CD1AB 于点F。若EF=2,则CD的长为() A.5 B.10 C.2V21 D.2W15 C E FB D 3、[2025金华期中]如图，在⊙O内有折线0ABC,点B,C在⊙0上。若0A=4,BC=10,∠A LB=60°，则AB的长为() A.4 B.5 C.6 D.7 4、如图，在平面直角坐标系中，直径为10的⊙E交x轴于点A,B,交y轴于点C,D,且点A, B的坐标分别为(-2,0)，(4,0)，则圆心E的坐标为一。 .E 0 5、[2025北京期末]在半径为5的圆中，有两条弦的长分别为6和8，这两条弦的中点的距离 x的取值范围是一。 50/68 第29章圆 6、如图，将一个矩形纸片盖在⊙O上，矩形的边与圆交于点A,B,AB=4m,已知⊙O的 顶端到直线AB的距离为4mm,求⊙O半径的长。 4 mm B 7、一题多解如图，在⊙O中，DE是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，AB的中点C在直径DE上， AB=8,CD=2。 (1)求⊙0的面积；（结果保留π) (2)连接AE,过圆心O向AE作垂线，垂足为点F,求OF的长。 E B 8、推理能力如图，将一个球放置在圆柱形玻璃瓶上，测得瓶高AB=20c,底面直径BC= 12cm,球的最高点到瓶底面的距离为32cm,则球的半径为cm。(玻璃瓶厚度忽略不计) 20 cm B升 12 cm 51/68 第29章圆 29.4圆心角 1、如图，AB,CD是⊙O的两段弧，且AB=2CD,则弦AB与CD之间的关系为() A.AB=2CD B.AB 2CD C.AB>2CD D.不能确定 B D 2、[2025北京期中]计算机处理任务时，经常会以圆形进度条的形式显示任务完成的百分比。 如图是同一个任务进行到不同阶段时进度条的示意图，当任务完成的百分比为x时，线段MN 的长度记为d(x)。下列描述正确的是() M M M 20% 30% 50% 75% A.当x1<2时，d(x1)<d(x2) B当d(x1)<d(2)时，1<2 C.当x1=2x2时，d(x1)=2d(&2) D.当x1+2=1时，d(x1)=d(x2) 3、如图，点A,B,C在⊙O上，分别连接AB,BC,OC。若AB=BC,∠B=40°，则∠OCB 的度数为() A.10° B.20° C.30° D.40° B 第3题图B 第4题图 4、[2025武汉中考]如图，四边形ABCD内接于⊙0，AB=2CD。若AB=6,CD=V13,则⊙0 的半径是() 13 7 9 B D.5 52/68 第29章圆 5、如图，A是半圆MN的三等分点，B是AN的中点，P是直径MN上一动点，⊙O的半径为1， 则AP十BP的最小值为。 A B M 6、已知A,C,E为⊙O上的点，且AC=CE,AB为⊙O的直径，CD1AB于点D。 (1)求证：AE=2CD; (2)若BD=1,AE=4,求AC的长。 A D B 7、推理能力如图，在⊙O中，C,D是直径AB上的两点，且AC=BD,MC1AB,ND1AB, 点M,N在⊙O上。 (1)求证：AM=BN; (2)若C,D分别为OA,OB的中点，则AM=MN=NB成立吗？请说明理由。 B 53/68 第29章圆 29.5圆周角 1、[2026邯郸期中]如图，AB是圆的直径，∠1，∠2，∠3，∠4的顶点均在AB上方的圆弧上，∠1， ∠4的一边分别经过点A,B,则∠1+∠2+∠3+L4的度数为() A.45° B.90° C.135° D.180° 2、[2026广州期末]如图，直径为AB的⊙O上有一点C,连接AC,将AC绕点C逆时针旋转一定 角度得到DC,点D恰好落在直径AB上。 (1)若AC=BC,则 BC=i (2)若BC与BD相交于点E,且DE=BE则A BC。 B 3、「2025宿迁期中]如图，以△ABC的一边AB为直径的半圆与其他两边AC,BC分别交于点D, E,且E为BC的中点。若AB=8,BC=4,则BD的长为一。 E 54/68 第29章圆 4、[2026越秀期末]如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD平分LBAC,交BC于点F,交⊙O于点 D,BE平分LABC,交AD于点E,连接BD。 (1)求证：∠BED=LEBD; (2)若点A是DAC的中点，求证：DE=CF。 A E 0 B F D 5、[2026浙江期中]如图，矩形ABCD的四个J顶点均在⊙O上，E是AB上一动点，连接AE,BE, AB=8,AD=6。 (1)求⊙0的半径长； (2)若AE=5V2,求BE的长。 D .0 E B 55/68 第29章圆 6、模型观念如图，已知AB=AC=AD,LCBD=2LBDC,∠BAC=44°，则LCAD的度数为() A.68° B.88° C.90° D.112° 微专题一题练透圆的基本性质的相关计算 7、如图1，BD是⊙O的直径，点A,C在圆上，连接AB,BC,AC,CD,BD与AC交于点E。 B 0 E 图1 D 图2 (1)若LCBD=20°，则LBAC=_°； (2)连接OA,若OAI‖CD,且∠BDC=50°，则∠OBA=°； (3)若CD=OB,则∠BAC= (4)当BD1AC时，如图2。 ①若AC=8,CD=2V5,求直径BD的长； ②若AB=4,CD=2,求直径BD的长； 3将题目中“BD是⊙O的直径"改为“BD是⊙O的弦”，若AB=4,CD=2,求⊙0的直径。 56/68 第29章圆 29.6圆内接四边形 1、[2025滨州中考]如图，四边形ABCD内接于⊙O,若四边形0ABC是菱形，则∠D=·。 B 第1题图 第2题图 2、如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB=AD,∠E=130°，则∠C的度数为 o o 3、「2026湖州期末]某学习小组三位同学在探索“圆内接四边形时，有如下讨论： 甲同学：我发现圆内接平行四边形一定是矩形。 乙同学：我发现圆内接平行四边形一定是正方形。 (1)甲同学的说法，乙同学的说法。（填“正确”或“错误”） (2)如图1，⊙O的半径为3，矩形ABCD内接于⊙O。丙同学发现圆内接矩形有无数个，且当 该矩形为正方形时，其面积最大。请你判断当圆内接矩形的面积最大时，△AOD的形状，并求 出圆内接矩形的最大面积。 (3)如图2，这两个圆是以点O为圆心的同心圆，OA=3,OD=4,矩形ABCD的两边AB和CD 分别为这两个圆的弦。请你求出矩形ABCD面积的最大值。 图1 图2 57/68 第29章圆 29.7弧长和扇形面积 1、如图，在地球上，A,B两地经度相同，纬度分别为15°（即∠A0C=15)和60°（即LB0C=60°）。 已知地球的半径约为6400k,则地球表面两地的距离（即AB的长）约为() A.4500km B.5000km C.5500km D.6000km 北极，‘地轴 B 赤道 0 地心O B 南极 第1题图 第2题图 D 2、[2026河南中考]如图，⊙O是边长为4W3的等边三角形ABC的外接圆，D是BC的中点，连 接BD,CD。以点D为圆心，BD的长为半径在⊙O内画弧，则阴影部分的面积为() 8π 16π B.4π C.3 D.16m 3、[2025德阳中考]等宽曲线是指在任何方向上的直径都相等的一种几何图形，它在我们的日 常生活中应用比较广泛，例如可以利用等宽曲线设计自行车的车轮等。如图，分别以等边三角 形ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形就是等宽曲线（图中阴影部分）， 如果AB=1,那么这个等宽曲线的周长是 第3题图 第4题图 E B 4、「2026无锡期中]如图，已知扇形0AB,在其内部作一个菱形0DCE,其中点D,E分别在OA, OB上，点C在AB上，连接DE。若OA=4,∠AOB=80°，则图中阴影部分面积的和为。 58/68 第29章圆 5、[2025秦皇岛期中]如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=1,AC=V3,将△ABC绕着点 A逆时针旋转90°得到△ADE,则图中阴影部分的面积是 。 B 6、如图，以等边三角形ABC的边AB为直径作半圆⊙O,交BC于点D,交AC于点E,AB=6。 (1)求AD的长； (2)求图中阴影部分的面积。 A B D 7、运算能力如图，在扇形0BC中，LBOC=60°，OD平分LBOC交BC于点D,点E为半径OB 上一动点。若0B=2,则阴影部分周长的最小值为 59/68第29章圆 29.1圆的有关概念 1、[2026安阳联考]如图，A,B,C三点在⊙0上，若ABI0C,LA=34°，则∠C的度数是() A.73° B.74° C.83° D.84° 答案：A 0 解析： 连接0B,:0A=0B,∠A=34°，∠AB0=∠A=34°。 ABI0C,LB0C=LAB0=34°。0C=0B,∠C= 2(180°-∠B0C)=73。 2、[2026南京月考1已知点P到圆上的最远距离是5cm,最近距离是1cm,则此圆的半径长是 cmo 答案：3或2 解析：当点P在圆内时，：点P到圆上的最远距离是5cm,最近距离是1cm, :圆的直径长是5+1=6(cm),半径长是3cm; 当点P在圆外时，'点P到圆上的最远距离是5cm,最近距离是1cm, 圆的直径长是5-1=4(cm),半径长是2cm。 综上，圆的半径长是3cm或2cm。 3、[2026天津月考]如图，AB是⊙O的弦，C是AB上一点，且OC10A,0C=BC=1,则∠A 的度数为一，⊙O的半径长为一。 79/129 第29章圆 B 答案：30；V5 B 解析：连接BO, :OA=OB,·∠A=∠B。BC=CO,·∠B=∠COB,∴∠A=∠B=∠COB。OC⊥OA, ∠A0C=90°。在△0AB中，∠A+∠B+∠A0B=180°， 即LA+LA+∠A+90°=180°，解得LA=30°。在Rt△A0C中，半径长为V3。 4、[2026广州期中]设⊙0的半径为2，点P到圆心的距离0P=m,且m使关于x的方程2x2一 2W2x+m-1=0有两个不相等的实数根，则点P在⊙0一。（填“内"”“外"或“上”） 答案：内 解析：：方程2x2-2V2x+m-1=0有两个不相等的实数根， (-2W2)2-4×2×(m-1)>0,解得m<2。 :⊙O的半径为2，点P在⊙O内。 5、[2025遵义期末]如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3,AC=4,点P是AC边上的一 个动点，以点P为圆心，PA长为半径作圆，若点C在⊙P内且点B在⊙P外，则⊙P的半径可以 是 、 80/129 第29章圆 答案：3（答案不唯一） B 解析： 连接PB,当PB=PA时，设PB=PA=X。 P2=BC2+PC2,x2=32+(4-)},解得x= 当PC=PA时，AC=4,PA=2。 当点C在⊙P内且点B在⊙P外时，2，⊙P的半径可以是3。 6、教材练习变式、如图，△ABC和△ABD都为直角三角形，且∠C=∠D=90°。求证：A,B, C,D四点在同一个圆上。 B 答案： D 证明： 0 取AB的中点O,连接OC,OD。 :△ABC和△ABD都为直角三角形，且∠ACB=∠ADB=90°， ·.DO,CO分别为Rt△ABD和Rt△ABC斜边上的中线， ·OA=OB=OC=OD,·A,B,C,D四点在同一个圆上。 81/129 第29章圆 7、「2026顺义期末]图1是一枚中国古代圆形铜钱，中间有一个正方形孔，象征着“天圆地方”。 图2是铜钱的平面结构图，已知圆心和正方形的对称中心都是点O,正方形的边长AB=7V2, P是⊙0上的动点，若PB的最小值为6mm,则⊙0的面积为mm2。 图1 图2 答案：169π 解析： 连接OA,OB,OP,PB,并延长OB交⊙O于点D。 :AB=7√2mm,OA=0B=7mm。 当点P与点D重合时，PB=OP-OB; 当点P不与点D重合时，在△POB中，由三角形的三边关系，得PB>OP-OB。 故当点P与点D重合时，PB有最小值。 :PB的最小值为6mm, .⊙0的半径0P=0B+6=7+6=13(mm), 则⊙0的面积为132π=169π(mm2)。 82/129 第29章圆 微专题一题多变半径相等的应用 1.连半径构造等腰三角形「2026东莞光明中学期中]如图，AB是⊙O的直径，C是BA延长线 上一点，点D在⊙O上，且CD=OA,CD的延长线交⊙O于点E。若LC=20°，则∠B0E的度数 是。 E D B 0 答案：60° E D B 解析： 连接OD, :CD=OA=0D(同圆的半径相等)，∠C=20°，·∠C0D=20°，.∠0DE=∠C+∠C0D=40°。 :0D=0E,.∠E=∠0DE=40°，∠B0E=∠C+∠E=20°+40°=60°。 2.等圆中连半径构造等腰三角形如图，点D,E分别在△ABC的边BC,AB上，过D,C,A 三点的圆的圆心为点E,过B,F,E三点的圆的圆心为点D。如果∠A=63°，那么LABC=一。 答案：18° 83/129 第29章圆 B E 解析： F 连接DE,CE,设∠ABC=O,·∠ECD=∠EDC。:DE=DB,·∠DEB=∠DBE=O,·∠EDC= ∠DEB+∠DBE=20,.63°+63°+20+0=180°，解得0=18°，即∠ABC=18°。 3.结合菱形，连半径得直角三角形[2026温州苍南月考]如图，在菱形ABCD中，过A,B,D 三点的⊙O交对角线AC的延长线于点E,连接BD。若0C=CE=1,则菱形的边长为一。 答案：6 D 解析： :0C=CE=1, .0A=0E=0C+CE=1+1=2,AC=0A+0C=2+1=3。 设AC与BD交于点G,连接OB。 回边形48GD是菱形，06-24C-会AC1B0,06-cG00-号1子 1 3 1 在△0B6中，n02=082-062-2-(字}-5 .1 4 在t△CG中，Bc2=8G2+cG2-5+(-6,C-V6(负值舍去). 故菱形的边长为V6。 84/129 第29章圆 29.2过三点的圆 1、用反证法证明时，假设结论“点在圆外”不成立，那么点与圆的位置关系只能是() A点在圆内 B.点在圆上 C点在圆心上 D点在圆上或圆内 答案：D 2、[2026扬州期中]在平面直角坐标系中，若A(1,-1),B(3,3),C(5,n)三点可以确定一个圆， 则n的取值范围是() A.n≠3 B.n≤5 C.n>6 D.n≠7 答案：D 解析：设直线AB的解折式为y=x+6,则中。-日解得 …直线AB的解析式为y=2x-3。当x=5时，y=2×5-3=7,点(5,7)在直线AB上。 “A,B,C三点可以确定一个圆时，n≠7。 3、[2026准安期中]如图，在平面直角坐标系中，A(1,6),B(5,6),C(7,4)。 (I)在网格中画出经过A,B,C三点的圆弧所在圆的圆心M,并写出M的坐标：。 (2)这个圆的半径长为。 (3)直接判断点D(5,-3)与⊙M的位置关系，点D(5,-3)在⊙M_。(填“内"“外"上") 答案：(1)(3,2)，(2)2V5,(3)外 解析：(1)连接AB,BC,AB,BC垂直平分线的交点即为圆心M,M(3,2)。 (2)M(3,2),A(1,6),·MA=V(1-3)2+(6-2)2=25,圆的半径长为2√5。 (3)M(3,2),D(5,-3),MD=√(5-3)2+(-3-2)2=V29。 :2V5=V20,V29>√20，∴点D(5,-3)在⊙M外。 85/129 第29章圆 29.3垂直于弦的直径 1、[2025济宁期中]已知⊙0的半径为2，点P为⊙0内一定点，且P0=1。过点P作⊙0的弦， 其中最短的弦的长度是() A.4 B.V3 C.2W3 D.2 答案：C 解析：当过点P的弦与OP垂直时，弦长最短。 连接0A,在Rt△A0P中，0A=2,0P=1,AP=√OA2-0P2=V3,·AB=2V3, 最短的弦的长度是2√3。 2、教材练习变式如图，在⊙O中，弦AB的长为8，OE1AB于点E,且OE=3,弦CD1AB 于点F。若EF=2,则CD的长为() A.5 B.10 C.2√21 D.2v15 E FB D 答案：C E FB 解析：连接AO,CO,过点O作OH1CD于点H。 D :OE⊥AB,CD1AB,OH⊥CD,四边形OEFH是矩形，∴OH=EF=2。 1 AB =8,OE 1 AB,.AE =BE=7AB=4. :0E=3,·A0=VAE2+0E2=V42+32=5,·C0=A0=5, 86/129 第29章圆 .CH=√C02-0H2=V52-22=V21,·.CD=2CH=2V21。 3、[2025金华期中]如图，在⊙0内有折线0ABC,点B,C在⊙0上。若0A=4,BC=10,∠A= ∠B=60°，则AB的长为() A.4 B.5 C.6 D.7 答案：C B 解析： 延长AO交BC于点D,过点O作OE1BC于点E,设AB=X。 :LA=∠B=60°，∠ADB=60°，△ADB为等边三角形，BD=AD=AB=X。 BC=10,OE 1 BC,BE=7BC=5,DE=x-5. 1 :0A=4,0D=x-4.0B1BC,∠ADB=60,÷∠D0E=30,六DE= 20D, -5=c=4),解得x=6,即AB=6 4、如图，在平面直角坐标系中，直径为10的⊙E交x轴于点A,B,交y轴于点C,D,且点A, B的坐标分别为(-2,0)，(4,0)，则圆心E的坐标为一。 E 0 A 答案：(1,4) 87/129 第29章圆 E D M B 解析：过点E作EM1AB于点M,连接EB, 则AM=BM。A(-2,0),B(4,0),AB=6,AM=BM=3,·.0M=1。 ⊙E的直径为10，·BE=5。在Rt△BME中，由勾股定理，得EM=VBE2-BM2=4, 圆心E的坐标为(1,4)。 5、「2025北京期末]在半径为5的圆中，有两条弦的长分别为6和8，这两条弦的中点的距离 x的取值范围是。 答案：1≤x≤7 A C 解析： 设AB=6,CD=8,过点O作0E1AB于点E,OF1CD于点F,连接OB,OD, 1 则AE=BE=AB=3,CP=DP=CD=4。 在Rt△0BE中，0E=V0B2-BE2=V52-32=4, 在Rt△0DF中，OF=√OD2-DF2=√52-42=3。 ∴点E在以点O为圆心，4为半径的圆上；点F在以O点为圆心，3为半径的圆上。 :两圆上两点之间的最小距离为4一3=1；两圆上两点之间的最大距离为4+3=7， x的取值范围为1≤x≤7。 6、如图，将一个矩形纸片盖在⊙O上，矩形的边与圆交于点A,B,AB=4m,已知⊙O的 顶端到直线AB的距离为4mm,求⊙O半径的长。 88/129 第29章圆 0 4 mm 5 答案： 2mm C 4 mm B 解析： 连接OA,过点O作OD1AB于点D,反向延长OD交⊙O于点C,设⊙O的半径长为rmm。 由题意得CD=4mm,AB=4mm,:OD1AB,.AD=BD=2mm,OD=(4-r)mm。 在t△40D中，由勾股定理得0AP=0D2+AD,即72=4-7P+2,解得r》 5 :⊙0的半径长为，mm。 7、一题多解如图，在⊙O中，DE是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，AB的中点C在直径DE上， AB=8,CD=2。 (1)求⊙0的面积；（结果保留π) (2)连接AE,过圆心O向AE作垂线，垂足为点F,求OF的长。 E B D 答案：(1)25π，(2)v5 解析： 89/129 第29章圆 (1) 1 连接OA,:DE是OO的直径，点C为AB的中点，AB=8,DE1AB,AC=2AB=4。 设⊙0的半径为r,在Rt△0AC中，由勾股定理，得(r-2)2+42=r2,解得r=5, .⊙0的面积=πr2=25π。 (2)连接AD,由(1)知DE1AB,AC=4,∴在Rt△ACD中，AD=√AC2+CD2=√42+22=2V5。 0P1AB,AF=EP。又：0E=OD.0E是△ADE的中位线，0F专AD=Vf 8、推理能力如图，将一个球放置在圆柱形玻璃瓶上，测得瓶高AB=20c,底面直径BC= 12cm,球的最高点到瓶底面的距离为32cm,则球的半径为cm。(玻璃瓶厚度忽略不计) m 12 cm 答案：7.5 cm 20 解析： 12 cm 设球心为点O,连接OA,AD,过点O作OM1AD于点M。设球的半径为rCm, 由题意，得AD=12cm,0M=32-20-r=(12-r)cm。 由垂径定理，得AM=DM=AD=6cm。 在Rt△0AM中，由勾股定理，得AM2+0M2=0A2,即62+(12-r)2=r2,解得r=7.5, 即球的半径为7.5cm。 90/129 第29章圆 29.4圆心角 1、如图，AB,CD是⊙O的两段弧，且AB=2CD,则弦AB与CD之间的关系为() A.AB=2CD B.AB 2CD C.AB>2CD D.不能确定 B 0 D 答案：B B C E 解析： 在圆上截取DE=CD,连接DE,CE, 则有CE=2CD,CD=DE。:AB=2CD,·AB=CE,AB=CE。 :2CD=CD+DE>CE(三角形任意两边之和大于第三边)，·AB<2CD。 2、「2025北京期中]计算机处理任务时，经常会以圆形进度条的形式显示任务完成的百分比。 如图是同一个任务进行到不同阶段时进度条的示意图，当任务完成的百分比为x时，线段MN 的长度记为d(x)。下列描述正确的是() M M M 20% 30% 50% 75% A.当x1<2时，d(x1)<d(2) B.当d(x1)<d(2)时，1<2 C.当x1=2x2时，d(x1)=2d(X2) D.当x1+x2=1时，d(x1)=d(x2) 答案：D 解析：当x1=20%,x2=80%时，d(x1)=d(x2),故A项错误； 91/129 第29章圆 当x1=80%,x2=50%时，满足d(x1),但x1>x2,故B项错误；当x1=100%,2= 50%时，满足x1=2x2,但d(x1)=0,d(x2)=直径，d(x1)≠2d(x2),故C项错误；当x1+ x2=1时，此时线段MN的长度是一样的，故d(x1)=d(x2),故D项正确。 3、如图，点A,B,C在⊙O上，分别连接AB,BC,OC。若AB=BC,∠B=40°，则∠OCB 的度数为() A.10° B.20° C.30° D.40° A 0 C B 答案：B 解析：连接0A,OB,B :AB=BC,·∠AOB=∠BOC。OA=OB=OC,·∠OBC=∠0CB,∠ABO=∠BAO。 :LABC=40°，∠0BC=20°，·∠0CB=20°。 4、[2025武汉中考1如图，四边形ABCD内接于⊙0，AB=2CD。若AB=6,CD=√13，则⊙0 的半径是() 9 B吃 D.5 D 0 B 答案：A 92/129 第29章圆 D 解析：过点O作0OE1AB,垂足为点F,交⊙O于点E,连接OA,AE, E 1 则AE=BE,AF=BF=2AB=3。:AB=2CD,AB=2AE,AE=CD,AE=CD=VT3。 在Rt△AEF中，AE=V13,AF=3,EF=VAE2-AF2=2. 设半径为R,在Rt△AOF中，OA=R,OF=R-2,AF=3, 由勾股定理，得0A=0P2+AF,即R2=(R-2+3,解得R=13 49 5、如图，A是半圆MN的三等分点，B是AN的中点，P是直径MN上一动点，⊙O的半径为1， 则AP+BP的最小值为。 答案：2 M 解析： 作点A关于MN的对称点A,根据圆的对称性，得点A'必在圆上， 连接BA交MN于点P',则此时PA+PB的值最小， 连接PA,此时P'A+P'B=PA+P'B=AB。连接OA',OB,OA, 93/129 第29章圆 1一 AW=3MN,“∠AON=∠A0N=60。 :AB=BN,∠B0N=2∠A0N=30,:∠A0B=90。 在Rt△OA'B中，A'B=VOA'?+OB2=V2,即AP+BP的最小值是V2。 6、已知A,C,E为⊙O上的点，且AC=CE,AB为⊙O的直径，CD1AB于点D。 (1)求证：AE=2CD; (2)若BD=1,AE=4,求AC的长。 01 D B E 答案： B 1 (1)证明：连接C0并延长，交AB于点P,:AC=CB,且CF过圆心0，CP1AEAP=EF=2AE。 ∠AOF=∠COD 在△AFO和△CD0中，{LAF0=LCDO,△AFO兰△CDO(AAS),·AF=CD,·AE=2CD。 0A=0C (2)设⊙0的半径为r,BD=1,AE=4,0D=r-1,CD=2。 在Rt△C0D中，(r-1)2+22=r2,解得r=2.5,AB=2r=5, 则AD=AB-BD=4。在Rt△ACD中，AC2=AD2+CD2=42+22=20,·AC=2V5。 94/129 第29章圆 7、推理能力如图，在⊙O中，C,D是直径AB上的两点，且AC=BD,MC1AB,ND⊥AB, 点M,N在⊙O上。 (1)求证：AM=BN; (2)若C,D分别为OA,OB的中点，则AM=MN=NB成立吗？请说明理由。 M M 答案：(1)证明：连接0M,ON, 图1 OA=OB,AC=BD,OA-AC=OB-BD,即OC=OD。 :MC⊥AB,ND1AB,.∠OCM=∠ODN=90°。 又：OM=ON,∴Rt△OCM≈Rt△ODN(HL),·∠AOM=∠BON,·AM=BN。 (2)成立。 M 理由：连接OM,ON,AM,BN, 图2 点C为OA的中点，.AC=OC。MC1OA,·AM=OM, ·AM=0M=OA,△AM0为等边三角形，÷∠A0M=60°。 同理△B0N也为等边三角形，·∠B0N=60°，·∠M0N=180°-∠A0M-∠B0N=60°， .∠AOM=∠MON=∠BON=60°，∴.AM=MN=NB。 95/129 第29章圆 29.5圆周角 1、[2026邯郸期中]如图，AB是圆的直径，∠1，∠2，∠3，∠4的顶点均在AB上方的圆弧上，∠1， ∠4的一边分别经过点A,B,则∠1+∠2+∠3+L4的度数为() A.45° B.90° C.135° D.180° 答案：B 解析： D AB是圆的直径，AB所对的弧是半圆，所对圆心角的度数为180°。 ,22,∠3,24所对的弧的和为半圆，5∠1+∠2+3+24=)×180° 2、[2026广州期末]如图，直径为AB的⊙0上有一点C,连接AC,将AC绕点C逆时针旋转一定 角度得到DC,点D恰好落在直径AB上。 (①)若4C=BC,则8C= AB (②)若BC与BD相交于点E,且DE=BE则A C。 E B 0 96/129 第29章圆 答案：(1)W2 v3 (23 解析：(1)连接AC,AB是⊙O的直径，·∠ACB=90°。：AC=BC,AC=BC, AB (2)由旋转的性质可得AC和DC是等弧，·AC所对的圆周角度数等于DC所对的圆周角度数。 :DE=BE,·∠DBE的度数等于DC所对的圆周角度数的一半。 连接AC,易得LBAC=2LDBE=2LABC。 :AB是⊙O的直径，∠ACB=90°，∠BAC+∠ABC=90°，2LABC+∠ABC=90°， ARG=30,AC-AB."BG-VAB-AC3-13AB AB AB2V3 2AB, “BC 2AB 3 3、[2025宿迁期中]如图，以△ABC的一边AB为直径的半圆与其他两边AC,BC分别交于点D, E,且E为BC的中点。若AB=8,BC=4,则BD的长为一。 答案：√15 解析：A≤ 连接AE,AB是直径，∠ADB=∠AEB=90°，·AE1BC,BD1AC。 :E为BC的中点，AE垂直平分BC,·EB=EC=2,·AC=AB=8。 由面积法得：2AC·BD=2BC·AE,AE=√AB2-B区=V64-4=V6@=2V5, .8·BD=4×2V15,解得BD=√15。 97/129 第29章圆 4、[2026越秀期末]如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD平分LBAC,交BC于点F,交⊙O于点 D,BE平分LABC,交AD于点E,连接BD。 (1)求证：∠BED=LEBD; (2)若点A是DAC的中点，求证：DE=CF。 A E 0 D 答案：(1)证明：AD,BE分别平分LBAC,∠ABC,·∠BAD=∠CAD,∠ABE=∠CBE。 :BD=BD,.∠CAD=∠CBD,·∠BAD=∠CBD。 :∠BED=∠BAD+∠ABE,∠EBD=∠CBD十∠CBE,·.∠BED=∠EBD。 (2)证明：点A是DAC的中点，·AC=AD,AC=AD。 :AD平分∠BAC,·∠CAF=∠DAB。 LCAF=∠DAB 在△ACF和△ADB中，{AC=AD,.△ACF≈△ADB(ASA),CF=BD。 ∠ACF=∠ADB 由(1)知LBED=∠EBD,.DE=BD,.DE=CF。 5、[2026浙江期中]如图，矩形ABCD的四个顶点均在⊙O上，E是AB上一动点，连接AE,BE, AB=8,AD=6。 (1)求⊙0的半径长； (2)若AE=5V2,求BE的长。 A D 。0 E B C 答案：(1)5，(2)V2或7W2 98/129 第29章圆 解析： 40 (1)连接AC, 图1 :四边形ABCD是矩形，.∠D=∠ABC=90°，·AC是⊙O的直径。 AB=8,BC=AD=6,AC=VAB2+BC2=V82+62=10,⊙0的半径长为5。 0 (2)连接CE,AC,过点E作EH1AB于点H, 图2 由(1)知AC是⊙O的直径，·∠AEC=90°。 由勾股定理可得CE=√AC2-AE2= J102-(5V2)2=5V2,AE=CE=5V2, .∠ACE=∠EAC=45°，.LABE=∠ACE=45°，EH=BH。 设EH=BH=x,则AH=AB-BH=8-X。 在Rt△AEH中，由勾股定理，得AH2+EH2=AE2, 即(8-x)2+x2=(5V2)2,解得x=1或x=7,·EH=BH=1或EH=BH=7, ÷BE=√EH2+BH=√12+12=V2或BE=√EH2+BH=√72+72=7V2, BE的长为V2或7√2。 6、模型观念如图，已知AB=AC=AD,∠CBD=2LBDC,∠BAC=44°，则∠CAD的度数为() A.68° B.88° C.90°D.112° 答案：B 99/129 第29章圆 解析： ·AB=AC=AD, ∴点B,C,D在以点A为圆心，AB长为半径的圆上。 '∠CBD=2LBDC,∠BAC=2LBDC,·∠CBD=∠BAC。 又：∠CAD=2LCBD,·∠CAD=2LBAC。∠BAC=44°，∠CAD=88°。 微专题一题练透圆的基本性质的相关计算 7、如图1，BD是⊙O的直径，点A,C在圆上，连接AB,BC,AC,CD,BD与AC交于点E。 B 0 E 图1 D 图2 (1)若LCBD=20°，则∠BAC=_; (2)连接OA,若OA‖CD,且∠BDC=50°，则∠0BA=; (3)若CD=OB,则∠BAC= (4)当BD1AC时，如图2。 ①若AC=8,CD=2V5,求直径BD的长； ②若AB=4,CD=2,求直径BD的长； ③将题目中“BD是⊙O的直径”改为“BD是⊙O的弦”，若AB=4,CD=2,求⊙O的直径。 答案：(1)70，(2)25，(3)60，(4)①10；②2W5;③2W5 解析：(1)：BD是⊙0的直径，∠BCD=90°，·∠BDC=90°-∠CBD=70°， ∴∠BAC=∠BDC=70°。 H0AICD,LA0D=∠BDC=50°，÷∠0BA=5LA0D=2E (3)连接0C,CD=0B=OC=OD,△OCD是等边三角形，.∠BDC=60°， .∠BAC=∠BDC=60°。 100/129 第29章圆 (4)①：BD1AC,AC=8,·CE=AE=4。 在Rt△CDE中，CD=2V5,.DE=√CD2-CE2=2,·OE=0OD-DE=OD-2。 连接0C,则0C=0D。在Rt△C0E中，0C2=OE2+CE2,·.0D2=(0D-2)2+42, .0D=5,.BD=20D=10。 ②BD是⊙O的直径，·∠BCD=90°。：BD1AC,·BD垂直平分AC,·BC=AB=4。 在Rt△BCD中，BD=VBC2+CD2=V42+22=2V5。 ③连接BO并延长交⊙O于点F,连接AF, :BF为⊙O的直径，∠BAF=90°，即LBAC+∠CAF=90°。 :BD1AC,∠DCE+∠CDB=90°。'CF=AD,CD=AF,·AF=CD=2。 :∠BAC=∠CDB,·.∠CAF=∠DCE, 在Rt△ABF中，BF=√AB2+AF2=V42+22=2V√5，即⊙O的直径为2V5。 101/129 第29章圆 29.6圆内接四边形 1、[2025滨州中考]如图，四边形ABCD内接于⊙O,若四边形0ABC是菱形，则∠D=°。 答案：60 解析：四边形ABCD内接于⊙O,∠B十∠D=180°。 :四边形0ABC是菱形，·∠B=∠A0C,·∠A0C+∠D=180°。 又：∠A0C=2∠D,÷3∠D=180°，·.∠D=60°。 2、如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB=AD,∠E=130°，则∠C的度数为一°。 答案：100 B 解析：连接BD, :四边形ABDE是圆内接四边形，∠E=130°，·∠ABD=180°-∠E=50°。 :AB=AD,∠ADB=∠ABD=50°，∠BAD=80°。 :四边形ABCD是圆内接四边形，.∠C=180°-∠BAD=100°。 102/129 第29章圆 3、「2026湖州期末]某学习小组三位同学在探索“圆内接四边形”时，有如下讨论： 甲同学：我发现圆内接平行四边形一定是矩形。 乙同学：我发现圆内接平行四边形一定是正方形。 图1 图2 (1)甲同学的说法 ，乙同学的说法 。（填“正确”或“错误”) (2)如图1，⊙0的半径为3，矩形4BCD内接于⊙0。丙同学发现圆内接矩形有无数个，且当 该矩形为正方形时，其面积最大。请你判断当圆内接矩形的面积最大时，△AOD的形状，并求 出圆内接矩形的最大面积。 (3)如图2，这两个圆是以点0为圆心的同心圆，OA=3,OD=4,矩形ABCD的两边AB和CD 分别为这两个圆的弦。请你求出矩形ABCD面积的最大值。 答案：(1)正确；错误，(2)△A0D是等腰直角三角形，最大面积为18，(3)24 解析：(1)圆内接四边形的对角互补，对角互补的平行四边形是矩形，即甲正确，乙错误。 (2) 图1 已知矩形ABCD内接于⊙O,连接BD,过点A作AE 1 BD于点E,过点C作CF L BD于点F, ∠BAD=90°，BD是直径，.B0=OD, 1 六SAA0B=SaA0D=2 SAABD,六S矩A形BcD=2 SAARD=4SAA0D, 即当△AOD的面积最大时，矩形ABCD的面积最大。 1 1 9 :SaM0D=2×0D×AE,0D=3,AE≤3，△A0D的最大面积=2×3×3=2？ 矩形ABCD的最大面积=4S△A0D=18,此时AE为半径，即AE与A0重合。 :AE1BD,AE=OD=3,∴.△AOD是等腰直角三角形。 103/129 第29章圆 M (3)过点O作OM⊥AD于点M,ON⊥AB于点N, 图2 四边形ABCD是矩形，·∠BAD=90°，四边形0MAN是矩形，OM=AN。 :S矩形ABCD=AD·AB,S矩形ABCD=4S△0AD, 当△OAD的面积最大时，矩形ABCD的面积最大。 :OA,OD为两圆的半径，是定值，以OD为底时，△OAD的高≤OA, 1 1 “当OA1OD时，△OAD的面积最大，此时SAOAD=2×OD×OA=之×3×4=6， S矩形ABCD=4S△0AD=24。 104/129 第29章圆 29.7弧长和扇形面积 1、如图，在地球上，A,B两地经度相同，纬度分别为15°（即∠A0C=15)和60°（即LB0C=60°）。 已知地球的半径约为6400k,则地球表面两地的距离（即AB的长）约为() A.4500km B.5000km C.5500km D.6000km 北极，地轴 B 赤道 地心O A C 南极 答案：B 解析：：∠A0C=15°，∠B0C=60°，LA0B=∠B0C-∠A0C=60°-15°=45°， “地球表面两地的距离（即AB的长)约 45元×6400=1600元≈5000(0km)。 180 2、[2026河南中考]如图，⊙O是边长为4V3的等边三角形ABC的外接圆，D是BC的中点，连 接BD,CD。以点D为圆心，BD的长为半径在⊙O内画弧，则阴影部分的面积为() 8π 16π A- B.4π D.16π 3 答案：C 解析：连接AD, △ABC是等边三角形，·AB=AC,∠BAC=60°，.∠BDC=180°-∠BAC=120°。 105/129 第29章圆 :D为BC的中点，·BD=CD,AD垂直平分线段BC,AD经过点O,∠BAD=30°， ∠ABD=90°，AD=2BD。 :AB=√(2BD)2-BD=4V3,BD=4,S扇形= 120π×4216π 360 3 3、[2025德阳中考]等宽曲线是指在任何方向上的直径都相等的一种几何图形，它在我们的日 常生活中应用比较广泛，例如可以利用等宽曲线设计自行车的车轮等。如图，分别以等边三角 形ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形就是等宽曲线（图中阴影部分）， 如果AB=1,那么这个等宽曲线的周长是 B 答案：π 解析：△ABC是等边三角形，∠ACB=LABC=∠BAC=60°，BC=AC=AB=1, ·AB=BC=AC= 60π×11 1 180=3,这个等宽曲线的周长为π×3=元。 4、[2026无锡期中]如图，已知扇形0AB,在其内部作一个菱形0DCE,其中点D,E分别在0A, OB上，点C在AB上，连接DE。若OA=4,∠AOB=80°，则图中阴影部分面积的和为。 E B 16 答案：gπ 106/129 第29章圆 解析：连接OC, 1 :四边形0ECD是菱形，÷∠D0C=∠COE= ∠A0B=40, 阴影部分面积和为扇形0CD与扇形0CE的面积和，S= 40π×4240π×4216 360 T360=9π。 5、[2025秦皇岛期中]如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=1,AC=V3,将△ABC绕着点 A逆时针旋转90°得到△ADE,则图中阴影部分的面积是。 答案： 解析：由勾股定理，得AB=√AC2+BC2=2。 由旋转的性质可得S△4DE=S△4BC,∠BAD=LCAE=90°， 90π×2290元×(3)2元 ·S阴影=S扇形ABD一S扇形AGB= 360 360 =49 6、如图，以等边三角形ABC的边AB为直径作半圆⊙O,交BC于点D,交AC于点E,AB=6。 (1)求AD的长； (2)求图中阴影部分的面积。 D 答案：(ax,a-9 4 解析： 107/129 第29章圆 0 D (1)连接0D, 图1 :以等边三角形ABC的边AB为直径作半圆⊙O,AB=6,·LABD=60°，OB=OD=3, ∴△0BD是等边三角形，·∠B0D=60°，·∠A0D=180°-∠B0D=120, 120π×3 AD的长为 180 =2π。 0 E D (2)连接OD,过点O作OF1BD于点F, 图2 由(1)知LB0D=60°，△OBD是等边三角形， OF 1 BD,BF=7BD=7 1 3 2 60元×321，。3V33.93 六S阴影=S扇形0BD-SAOBD= 360- 2*3× 2=2π-4 7、运算能力如图，在扇形0BC中，∠BOC=60°，OD平分∠BOC交BC于点D,点E为半径OB 上一动点。若OB=2,则阴影部分周长的最小值为 E 答案：2V2+3 π 108/129 第29章圆 解析： :OD平分∠B0C,∠B0D=∠C0D=30,CD的长为180=3° 30r×2π 作点D关于OB的对称点D',连接CD'交OB于点E,此时CE+DE的值最小，即阴影部分的周长 最小。 连接OD',点D,D'关于0B对称，DE=D'E,∠D'0B=∠D0B=30,OD'=OD=2, ÷∠C0D=60°，·CD=V22+22=2V2,÷CE+DE=CE+D'E=CD=2W2, :阴影部分周长的最小值为21写 109/129