3.2 一元一次方程及其解法（讲义，知识点&3大题型&刷好题）数学新教材沪教版五四制六年级上册

本讲义聚焦一元一次方程核心知识点，以等式性质为基础，构建“概念理解-解法步骤-解的应用”学习支架，涵盖一元一次方程定义、解法（去分母、去括号、移项等）及解的应用，形成递进式知识脉络。 资料特色在于分层设计与素养融合，随学随练结合上海期末真题，新定义题型培养创新意识，解题步骤训练推理能力，课中辅助教师高效授课，课后分层练习助学生查漏补缺，提升应用意识。

第三章 一元一次方程 3.2 一元一次方程及其解法 课标要点 1.理解一元一次方程的概念. 2.掌握等式的基本性质. 3.掌握移项、去括号、去分母等解方程的基本步骤. 4.能解标准形式的一元一次方程，并能对方程的解进行检验. 学习重难点 重点： 1.等式的基本性质的准确运用. 2.解一元一次方程的基本步骤:去分母一去括号一移项一合并同类项一系数化为1. 难点： 1.去分母时，各项都要乘以公分母，尤其常数项容易漏乘. 2.移项时要变号，容易出错. 3.去括号时符号的处理，特别是括号前为负号的情况. 知识点 等式性质 等式性质1：等式两边加（或减）同一个数，等式仍成立． 如果 ，那么 ， ． 等式性质 2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为 0 的数，等式仍成立． 如果 ，那么 ； 如果 ，那么 ． 方程是含有未知数的等式． （1）等式性质是解一元一次方程的依据． （2）两同一不变：①＂两同＂一是等式两边要参与同一种运算，二是加、减、乘或除以（除以的数不为 0 ）的一定是同一个数或式子．②＂一不变＂是指等式变形后仍是等式． （3）等式还有其他的一些性质，在解方程中也时常会用到，它们是： ①对称性：如果 ，那么 。即等式的左、右两边交换位置，所得结果仍是等式。 ②传递性：如果 ，且 ，那么 。这条性质也叫作等量代换。 判断等式的变形是否正确的方法 当等式两边加、减或乘同一个数（或式子）时，变形均正确；当等式两边除以同一个数（或式子）时，要先判断这个数（或式子）是否为 0 ，若确定该数（或式子）不为 0，则该变形正确，否则错误． 随学随练 1．（25-26六年级上·上海松江·期末）运用等式性质进行的变形、正确的是（   ）． A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题考查等式的基本性质．熟悉等式的基本性质：等式两边同时加上、减去、乘或除以（除数不为零）同一个数，等式仍然成立，是解题的关键．选项和的变形符号错误；选项忽略除数不能为零的条件；选项中分母隐含，因此变形正确． 【详解】解：∵ 等式性质：等式两边同时乘或除以同一个不为零的数，等式仍成立， ∴对于， ∵ ，且在分母，故， ∴ 两边同乘，得，正确； 对于：由，应得，而非，错误； 对于：由，应得，而非，错误； 对于：若，当时，与不一定相等，错误． 故选：． 2．（25-26七年级上·黑龙江牡丹江·期末）下列说法错误的是（） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】本题考查等式的基本性质，根据等式的性质分别对各个选项进行判断即可． 【详解】解：A、∵，∴两边同乘c得，正确， B、∵，若，则等式恒成立，但a与b不一定相等，因此错误，符合题意 C、∵，∴，∴，正确，不合题意； D、∵，∴两边同除以10得，再两边同加10得，正确，不合题意； 故选：B． 知识点 —元一次方程 1．概念：只含有一个未知数且含有未知数的项是一次项的方程叫作一元一次方程。 2．一元一次方程的一般形式： ． 一元一次方程具有如下特点 （1）是一个方程； （2）只含有一个未知数（元）； （3）含有未知数的项是一次项； （4）含未知数的项的系数不为 0 ； （5）分母不含未知数． 判断一个式子是不是一元一次方程的方法 先看这个式子是不是等式，分母是否含有未知数；再看式子是否只含有一个未知数；最后看式子含有未知数的项是不是一次项． 随学随练 1．（24-25六年级上·上海闵行·阶段检测）下列方程中是一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，根据一元一次方程的定义逐一判断即可，掌握一元一次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：A、中含有两个未知数，故选项不符合题意； B、分母中含有未知数，方程左边不是整式，故选项不符合题意； C、是一元一次方程，故选项符合题意； D、中含有两个未知数，故选项不符合题意； 故选：C． 2．若是关于的一元一次方程，则__________． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，绝对值，根据一元一次方程的定义得出且，即可求出的值． 【详解】解：根据题意得， 解得， ， ， ， 故答案为：． 知识点 利用等式性质解简单的一元一次方程 1．求方程的解的过程叫作解方程。 2．利用等式性质解简单的一元一次方程的一般步骤： 第一步：利用等式性质1，将方程左右两边同时加（或减）同一个数（或式子），使方程逐步转化为 的形式； 第二步：利用等式性质2，将方程左右两边同时除以未知数的系数（或乘未知数系数的倒数），得到方程的解 。 解以 为未知数的方程，就是把方程逐步转化为 （常数）的形式，等式性质是转化的重要依据． 随学随练 利用等式的性质解下列方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了解一元一次方程，以及等式的性质，熟练掌握等式的性质是解本题的关键． （1）方程两边减7就得出x的值； （2）两边同时除以，即可得出x的值； （3）方程两边加5，最后两边同时乘以，即可得出x的值． 【详解】（1）解：方程两边减7，得． 于是． （2）解：方程两边除以，得． 于是． （3）解：方程两边加5，得． 化简，得． 方程两边乘， 得． 知识点 一元一次方程的解法 1．解一元一次方程——移项 （1）移项：将方程中等号一边的某项改变符号后移到另外一边，这种变形的过程称为移项。两变一不变：位置和符号变化，绝对值不变。 （2）移项的依据：等式性质 1 ，即在方程的两边同时加（或减）同一个适当的数或整式，结果仍然相等。 （3）移项的目的：将含有未知数的项移到方程的一边，将常数项移到方程的另一边，使方程更接近 的形式。 （4）通过移项解一元一次方程的步骤： ①移项； ②合并同类项，把方程整理成 的形式； ③两边同除以未知数的系数 （或乘 ），得到方程的解 。 ①移项一定要过＂＝＂，即由＂＝＂的一边移到另一边，且移动后的项与原来的项互为相反数。 ②方程中的每一项都包，括前面的符号． 移项与加法交换律的区别 移项是在等式中，把某些项从等式的一边移到另一边，移动的项要变号；而加法交换律是交换加数的位置，只改变排列的顺序，不改变符号． 2．解一元一次方程——去括号 （1）去括号：解一元一次方程时，按照在第2章所学的去括号方法和数与一次式相乘的方法把方程中的括号去掉，这个过程叫作去括号。 （2）去括号的依据：乘法分配律． （3）解一元一次方程的一般步骤： ①去括号； ②移项； ③合并同类项，把方程整理成 的形式； ④两边同除以未知数的系数 （或同乘 ），得到方程的解 。 解方程中的去括号法则与整式运算中的去括号法则相同，括号外的因数是正数时，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；括号外的因数是负数时，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反。简记为：＂正不变，负全变＂． 3．解一元一次方程—去分母 （1）去分母的依据：等式性质 2，即方程各项都乘所有分母的最小公倍数，从而约去分母，把方程中各项的系数化成整数。 （2）去分母的一般步骤： ①确定各分母的最小公倍数； ②方程两边同乘这个最小公倍数，约去分母。 （3）去分母时的注意事项： ①各项都要乘所有分母的最小公倍数，不要漏乘没有分母的项； ②如果分子是一个多项式，去分母时要将分子作为一个整体加上括号； ③分母含有小数的应先化小数分母为整数分母，再去分母。依据分数的基本性质。 去分母与化小数分母为整数分母的区别 去分母是把方程中的每一项都乘各分母的最小公倍数，与方程中的每一项都有关；化小数分母为整数分母运用的是分数的基本性质，即只是对方程中的某一个分数形式的式子进行变形，将该分数形式的式子的分子、分母同乘一个数，与其他项无关。 4．解一元一次方程——整体思想 把方程中重复出现的相同代数式看成一个整体，先整体合并化简，再求解方程。 解一元一次方程的一般步骤 去分母：在方程两边乘各分母的最小公倍数。当分母是小数时，要先利用分数的基本性质把小数转化为整数，然后再去分母。依据为等式性质2．注意不要漏乘不含分母的项；如果分子是多项式，去分母时应将分子作为一个整体加上括号。 去括号：先去小括号，再去中括号，最后去大括号；也可以先去大括号，再去中括号，最后去小括号。依据为乘法分配律、去括号法则。注意不要漏乘括号里的任何一项；不要弄错符号。 移项：把含有未知数的项都移到方程的一边，常数项都移到方程的另一边。依据为等式性质1。注意移项要变号；不要丢项。 合并同类项：未知数及其指数不变，系数相加，把方程化为 的形式。依据为合并同类项法则，注意不要丢项。 系数化为1：在方程的两边都除以未知数的系数 ，得到方程的解 。依据为等式性质2。注意不要将分子与分母颠倒；如果未知数的系数是含有字母的式子，要保证式子的值不为 0 。 这些步骤不是固定不变的，有时可以省略某个步骤（如没有括号，就可以省略＂去括号＂），要根据方程的特点灵活选用． 随学随练 1．解方程：． 【答案】 【详解】解： 2．解方程：． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的解法，根据去括号、移项、合并同类项和系数化为1的步骤求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ． 3．（25-26六年级上·上海普陀·期末）解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可． 【详解】解： 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得． 4．（24-25六年级上·上海·阶段检测）解方程：． 【答案】． 【分析】本题主要考查了解一元一次方程．去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，据此求出方程的解是多少即可． 【详解】解：去分母，可得：， 去括号，可得：， 移项，可得：， 合并同类项，可得：， 系数化为1，可得：． 5．（25-26六年级上·上海普陀·期末）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程，先移项，得出，即可求解． 【详解】解： ∴ ∴ 解得： 知识点 方程的解的应用 将给出的方程的解代入原方程，求出方程中字母的值，从而得到要求的代数式的值． 方法转化法 如遇到关于未知数 或 等且含有其他字母表示数的方程时，可将关于未知数的方程的解代入方程中，使关于未知数的方程转化为关于字母的方程，进而求出字母或式子的值，这种方法常称为转化法． 随学随练 1．若方程的解与关于的方程的解相同，则的值为_________． 【答案】 【分析】本题考查了方程的同解问题． 先解第一个方程求出的值，再将代入第二个方程求解即可． 【详解】解：解方程， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得， 将代入方程， 得， 即， 移项得， 计算得， 所以． 故答案为：． 2．（25-26六年级上·上海静安·期末）以下方程中，与方程的解相同的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的解法，掌握一元一次方程的解法是关键，先解出的解，然后对选项逐一求解，验证即可． 【详解】解：， ， ， ． A．， ， ， ， ，故不符合题意； B．， ，故不符合题意； C．， ， ， ， ，故不符合题意； D． ， ， ， ，故符合题意； 故选D． 题型1 等式的性质 ▌例1（25-26六年级上·上海金山·期末）下列方程的变形中，正确的是（ ） A．由，得； B．由，得； C．由，得； D．由，得． 【答案】D 【分析】本题考查等式的性质，包括移项和等式两边同乘同除，熟练掌握等式的基本性质，是解题的关键．根据等式基本性质，移项的法则，逐项进行判断即可． 【详解】A．， 移项得， 合并同类项得，故A错误； B．， 两边同乘3得，故B错误； C．， 两边同除以2得，故C错误； D．， 移项得， 合并同类项得，故D正确． 故选：D． ▌对点练1-1（25-26六年级上·上海杨浦·期末）由，得．在此变形中，方程的两边同时加上的代数式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查等式的性质，通过移项变形找出两边同时加上的代数式即可． 【详解】解：， ， ， ∴加上的代数式是， 故选：B． ▌对点练1-2（24-25六年级上·上海杨浦·期末）下列方程变形中，正确的是（    ） A．可变形为 B．可变形为 C．可变形为 D．可变形为 【答案】D 【分析】本题考查了等式的性质，等式的两边加或减同一个数（或式子），结果仍相等；等式两边同乘和（或除以）同一个数（除数不为），结果仍相等．根据等式的性质，逐项判断即可． 【详解】解：A、可变形为， 故该选项不符合题意； B、可变形为， 故该选项不符合题意； C、可变形为， 故该选项不符合题意； D、可变形为， 故该选项符合题意； 故选： D． 题型2 判断是否是一元一次方程（解） ▌例2（25-26六年级上·上海浦东新·期末）下列等式中是一元一次方程的有（     ） ①；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义，只含一个未知数，且未知数的最高次数为1的整式方程叫做一元一次方程，据此可得答案． 【详解】解：①方程是一元一次方程； ②方程中含有两个未知数，不是一元一次方程； ③方程中未知数的最高次数不是1，不是一元一次方程； ④方程是一元一次方程； 故选：B． ▌对点练2-1（25-26六年级上·上海金山·期末）下列方程中，是一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次数为1的整式方程叫做一元一次方程，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、方程不是整式方程，不是一元一次方程，不符合题意； B、方程中未知数的最高次数不是1，不是一元一次方程，不符合题意； C、方程中含有两个未知数，不是一元一次方程，不符合题意； D、方程是一元一次方程，符合题意； 故选：D． ▌对点练2-2（25-26六年级上·上海黄浦·期末）下列方程中，一元一次方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的判断，熟练掌握一元一次方程的定义是解题的关键．由一元一次方程的概念可知：①含有一个未知数，②未知数的次数为1，③整式方程，据此进行判断即可． 【详解】解：∵ 选项A∶ ，简化得 ，即 ，为恒等式，不是一元一次方程； 选项B∶ ，含有两个未知数，不是一元一次方程； 选项C∶ ，未知数的最高次数为2，不是一元一次方程； 选项D∶ ，只含有一个未知数，且未知数的次数为1，是一元一次方程． 故选D． ▌对点练2-3下列方程中，解是的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解的定义，一元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把代入对应的方程中，看方程左右两边是否相等即可得到答案． 【详解】解：A、把代入中，方程左边，此时方程左右两边相等，故原方程的解是，符合题意； B、把代入中，方程左边，此时方程左右两边不相等，故原方程的解不是，不符合题意； C、把代入中，方程左边，此时方程左右两边不相等，故原方程的解不是，不符合题意； D、把代入中，方程左边，此时方程左右两边不相等，故原方程的解不是，不符合题意； 故选：A． ▌对点练2-4写出一个满足下列条件的一元一次方程：①某个未知数的系数是；②方程的解是5；这样的方程是____________________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了列一元一次方程． 根据题意可以列出一个符合要求的一元一次方程即可． 【详解】解：方程的解是5，则， 某个未知数的系数是，则可列方程， 故答案为：（答案不唯一）． 题型3 已知一元一次方程求参数的值 ▌例3（25-26六年级上·上海崇明·期末）若关于x的方程是一元一次方程，则______． 【答案】1 【分析】本题考查一元一次方程的定义，根据一元一次方程的定义，未知数的系数不为零，未知数的指数必须为，因此令指数部分，求解的值． 【详解】解：关于的方程是一元一次方程， ∴未知数的指数， 解得， 故答案为：． ▌对点练3-1（25-26六年级上·上海浦东新·期末）若关于x的方程是一元一次方程，则___________． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，根据一元一次方程的定义，未知数的指数必须为1且系数不为0，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵关于x的方程是一元一次方程， ∴， ∴， 解得， 故答案为：． ▌对点练3-2（25-26六年级上·上海宝山·期末）已知方程是关于的一元一次方程，则的值是_____． 【答案】 3 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义， 根据一元一次方程的定义，未知数的指数必须为1且系数不为零解答即可． 【详解】解：因为方程是关于的一元一次方程， 所以， 解得或， 且系数 ，即， 因此． 故答案为：3． ▌对点练3-3已知关于x的方程是一元一次方程，则m的值是______． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的概念，掌握好一元一次方程的定义是解题关键． 根据一元一次方程的定义，未知数的指数必须为1且系数不为0． 【详解】解：根据一元一次方程的定义，，且， 解得． 故答案为：． 题型4 合并同类项与移项解一元一次方程 ▌例4（25-26六年级上·上海·阶段检测）解方程： 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解法，属于基本题型，熟练掌握一元一次方程的解法是解题的关键． 按移项、合并同类项、系数化为的步骤进行求解即可． 【详解】解：， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为，得． ▌对点练4-1（25-26六年级上·上海闵行·期末）方程的解为_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，通过移项和合并同类项求解一元一次方程． 【详解】解：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：． 故答案为：． ▌对点练4-2（24-25六年级上·上海闵行·期末）方程的解为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，按照移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可得到答案． 【详解】解： 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 故答案为：． 题型5 去括号解一元一次方程 ▌例5（25-26六年级上·上海浦东新·期末）解方程：． 【答案】 【分析】按照去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可． 【详解】解：， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得． ▌对点练5-1（25-26六年级上·上海·期末）解方程： 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程．去括号，移项合并同类项，系数化为1，即可求解． 【详解】解： 去括号得：， 移项合并同类项得：， 解得：． ▌对点练5-2（25-26六年级上·上海·期末）解方程： 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的步骤． 根据解一元一次方程的步骤进行求解． 【详解】解： ． ▌对点练5-3（25-26六年级上·上海普陀·期末）解方程： 【答案】 【分析】本题考查解一元一次方程，掌握等式的性质，解一元一次方程的步骤是正确解答的前提．根据解一元一次方程的解法和步骤进行计算即可． 【详解】解： 题型6 去分母解整数型一元一次方程 ▌例6（25-26六年级上·上海虹口·期末）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程； 按照解一元一次方程的一般步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成1，进行解答即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ． ▌对点练6-1（25-26六年级上·上海静安·期末）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的基本步骤． 方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解． 【详解】解： 去分母得， 去括号得， 移项，合并同类项得，． ▌对点练6-2解方程∶ 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的一般步骤：去分母、取括号，移项、合并同类项，把系数化为1是解题的关键．按照一元一次方程的一般步骤求解即可． 【详解】解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． ▌对点练6-3（25-26六年级上·上海·期末）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次方程，熟练掌握去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤是解题关键．先去分母，去括号，再移项、合并同类项，最后系数化为，即可得答案． 【详解】解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项、合并同类项得：， 系数化为得：． 题型7 去分母解小数型一元一次方程 ▌例7 解方程： 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程，先将分子、分母化为整数，再根据去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，可得方程的解．掌握解一元一次方程的一般步骤是解题的关键．注意：去分母时都乘以分母的最小公倍数，分子要加括号． 【详解】解：整理得：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并得：， 系数化为1得：． ▌对点练7-1（24-25六年级上·上海黄浦·期末）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程；先将系数化整，再通过去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1等过程，求得x的值． 【详解】解：， 整理得， 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项， 解得． ▌对点练7-2（25-26六年级上·上海松江·期末）解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，先把分母化为整数，再按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可． 【详解】解： ． 题型8 方程的解的应用 ▌例8 若关于x的方程与方程的解相同，则m的值为（     ） A．4 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】两个方程解相同，先求解不含参数的第二个方程，再将解代入第一个方程，即可求出的值． 【详解】解：解方程得， ∵两个方程的解相同， ∴将代入方程得， 解得． ▌对点练8-1（24-25六年级上·上海徐汇·期末）已知关于的方程与的解相同，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了同解方程，熟知同解方程的定义是解题的关键． 先求出方程的解，再根据同解方程的定义把代入关于x的方程中，即可求出的值． 【详解】解： ， 由题意，把代入中， ， 答：的值为． ▌对点练8-2若关于x的方程与方程的解互为相反数，则m的值为（    ） A．4 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的解法，以及方程解的关系． 先求出方程的解，根据两方程解互为相反数得到方程的解，再代入该方程计算出的值． 【详解】解： 移项得 合并同类项得 系数化为1得 又∵两个方程的解互为相反数 ∴方程的解为 将代入中 得 即 移项得 ∴ 故选C 题型9 换元法（整体思想）的运用 ▌例9 已知关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题可先将关于的方程变形为与已知方程结构相同的形式，再利用整体代换的思想，结合已知方程的解求解的值． 【详解】解：由，得． 关于的方程的解为， ， ． ▌对点练9-1若关于的方程的解为，则关于的方程的解为________． 【答案】 【分析】利用整体换元思想，将第二个方程中的看作第一个方程中的，结合已知第一个方程的解求解． 【详解】解：设，则方程可化为， ∵方程的解为， ∴方程的解为， 即， 解得． ▌对点练9-2 已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】通过变量代换，将关于的方程转化为关于的方程的形式，利用已知解求解即可． 【详解】解：设， 则方程化为， 此方程与已知方程同解， 已知解为， 故， 即， 解得． ▌对点练9-3若关于x的一元一次方程的解为，则关于t的一元一次方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元一次方程的解，利用换元思想，将待求解的方程变形为与已知方程结构相同的形式，再利用已知方程的解求解． 【详解】解：整理待求解方程， 移项得， 将变形为，代入得： ， 移项整理得：， 设，则该方程与已知方程结构相同， ∵已知方程的解为， ∴， 解得． 题型10 新定义问题 ▌例10（25-26六年级上·上海·期末）我们规定x的一元一次方程的解恰好等于，则称该方程是“差解方程”，例如：，解得，因为，所以方程是“差解方程”，已知关于x的一元一次方程是“差解方程”，它的解为a，则的值______． 【答案】 【分析】此题考查了一元一次方程的解法和解的定义，求代数式的值． 根据差解方程的定义，方程的解等于常数项减去系数，结合方程的解为 ，列出关系式求解 和 ，再计算． 【详解】解：方程是差解方程，且解为 ． 根据差解方程的定义，解得， 所以 ， 整理得 ． 又因为 是方程的解，代入方程得 ， 整理得 ， 由于 ，解得 ． 代入 得 ． 所以 ． 故答案为： ▌对点练10-1定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“和谐方程”．例如：方程和为“和谐方程”．若关于的方程与方程是“和谐方程”，则______． 【答案】22 【详解】解：解方程，得， 又方程与方程是“和谐方程”， ∴方程的解为， 把代入，得， 解得． ▌对点练10-2定义：若两个一元一次方程的解之和为3，我们就称这两个方程互为“方程”，其中一个方程是另一个方程的“方程”．请写出方程的一个“方程”：__________． 【答案】 （答案不唯一） 【分析】先求解已知方程，再根据“方程”的定义得到所求方程的解，即可构造出符合要求的方程． 【详解】解：解方程得， 互为“方程”的两个一元一次方程的解之和为， 方程的“方程”的解为， 满足条件的一个“方程”为（答案不唯一）． ▌对点练10-3定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“和1方程”，例如：方程和为“和1方程”． (1)若关于x的方程与方程是“和1方程”，求m的值； (2)若“和1方程”的两个解的差为1，其中一个解为n，求n的值； 【答案】(1) (2)n的值为0或1 【分析】本题主要考查一元一次方程的解及其解法，熟练掌握一元一次方程的解及其解法是解题的关键； （1）由题意易得方程与方程的解分别为，，然后可得，进而问题可求解； （2）设另一个方程的解为m，由题意得：，则有，进而分类进行求解即可． 【详解】（1）解：解方程得：； 解方程得：； ∴， 解得：； （2）解：设另一个方程的解为m，由题意得：，则有， 当时，则，根据“和1方程”的定义可得：，解得； 当时，则，根据“和1方程”的定义可得：，解得； 综上所述：n的值为0或1． 基础通关 1．（25-26六年级上·上海青浦·期末）下列方程变形正确的是（    ） A．可变形为 B．可变形为 C．可变形为 D．可变形为 【答案】D 【分析】本题考查一元一次方程的变形，包括去分母、去括号、移项和合并同类项等基本操作，需根据等式的性质判断每个选项的正确性． 【详解】解：A: 两边同乘3应得，但变形为，错误； B: 去分母得，即，但变形为，错误； C: 移项应得，但变形为，错误； D: 合并方程左边得，故原方程变形为，正确． 故选：D． 2．（25-26六年级上·上海普陀·期末）在解方程时，对该方程变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次方程，将方程第二项分式的分子和分母同时乘以10，消除小数，得到等价变形，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴该方程变形正确的是， 故选：C． 3．（25-26六年级上·上海闵行·阶段检测）已知是关于x的一元一次方程，则m的值为________． 【答案】0 【分析】本题考查一元一次方程的定义，熟练掌握一元一次方程的定义是解题的关键．根据一元一次方程的定义，未知数的指数必须为1且系数不为0，由此列出条件求解． 【详解】解：∵方程是关于的一元一次方程， ∴且， 由得或， 当时，，不符合系数不为0的条件； 当时，，符合条件． 故． 故答案为：0． 4．整式的值随取值的不同而不同，下表是当取不同值时所对应的整式的值，则关于的一元一次方程的解为_____． 0 1 2 0 2 【答案】 【分析】本题主要考查一元一次方程的解，将一元一次方程化为，根据图表即可得解． 【详解】解：∵， ， 由表可知：， 故答案为：． 5．解下列一元一次方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的基本步骤． （1）方程去括号，移项合并，把x系数化为1求解即可； （2）方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解． 【详解】（1）解： 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得，； （2）解： 去分母得， 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得，． 6．（25-26六年级上·上海普陀·期末）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次方程． 去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1即可． 【详解】解：， 整理得，， 去分母，， 去括号，， 移项、合并同类项，， 系数化为1，． 7．已知关于x的方程与的解互为相反数，求m的值以及两个方程的解． 【答案】，第一个方程的解为，第二个方程的解为 【分析】先解出两个方程的解，再根据两个方程的解互为相反数，列出关于m的一元一次方程，即可得出m的值，进一步即可得出两个方程的解． 【详解】解：解方程，得， 解方程，得． 又两个方程的解互为相反数， ， 两边同时乘得，， ， ， ， 当时，第一个方程的解为，第二个方程的解为． 答：，第一个方程的解为，第二个方程的解为． 素养提升 8．（25-26六年级上·上海·期末）已知关于x的方程，且a为某些正整数时，方程的解为正整数，则正整数a的最小值为______． 【答案】2 【分析】此题考查了一元一次方程的解，使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解，根据方程的解的定义用a表示出x是解题的关键. 将a看作已知数求出方程的解，表示出x，根据方程的解为正整数，确定出正整数a的最小值即可． 【详解】解： 方程移项合并得：， 解得：， ∵x为正整数，a为正整数，必须被9整除．余7， ∴a的最小值为2． 故答案为：2 9．（25-26六年级上·上海金山·期末）定义：如果两个一元一次方程的解的和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为美好方程．若关于x的方程与是“美好方程”，则关于y的方程的解是___________ ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，一元一次方程的解的定义，先求出方程的解，则根据“美好方程”的定义得到方程的解，令，则方程可变形为，则可求出关于t的方程的解，据此可得答案． 【详解】解：解方程得， ∵关于x的方程与是“美好方程”， ∴是关于x的方程的解， 令，则方程可变形为， ∴关于t的方程的解为， ∴， ∴，即关于y的方程的解是， 故答案为：． 10．已知，，，为有理数，现规定一种新的运算，那么当时，的值是________． 【答案】 【分析】本题主要考查新运算下解一元一次方程，根据新运算法则化简后求解一元一次方程即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 11．（25-26六年级上·上海黄浦·期末）已知关于的方程． (1)若，求该方程的解； (2)某同学在解该方程时，误将“”看成了“”，得到方程的解为，求的值； (3)若该方程有负整数解，求整数的最大值． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查同解方程、一元一次方程的解法、求代数式的值，解题时要能读懂题意并列出方程是解题的关键． （1）依据题意得，当时，方程为，求解即可； （2）依据题意，由误将“”看成了“”，得到方程的解为，可得，再解关于的方程即可； （3）依据题意，由，可得，为使m最大，应取最大的、而且是7的倍数的负数，即，进而得解． 【详解】（1）解：当时，方程为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵误将“”看成了“”，得到方程的解为， ∴是方程的解， ∴， 解得：； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵取负整数，取最大值， ∴应取最大的、而且是7的倍数的负数． ∴， ∴， ∴的值为． 12．（25-26六年级上·上海浦东新·期末）若方程的解也是关于的方程的解，则求的值． 【答案】2 【分析】本题考查了已知方程的解，解一元一次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先算出的，结合方程的解也是关于的方程的解，故把代入，进行计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 去分母得， 去括号得， 移项得， ∴， 解得， ∵方程的解也是关于的方程的解， ∴把代入， 得， 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， ∴． 13．（25-26六年级上·上海杨浦·期末）阅读下面解方程的部分解题过程，并完成相应问题． 解方程：． 解：        （第一步）         （第二步） …… (1)上面过程中有一处错误： 错误的是第_____步，错误的原因是_________________________． (2)把正确的解题过程写下来． 【答案】(1)二， 去分母时，方程右边的5没有乘以6 (2)，过程见解析 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，熟知解一元一次方程的方法是解题的关键． （1）第二步去分母时，方程右边的5没有乘以6，据此可得答案； （2）先把分母化为整数，再按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可． 【详解】（1）解：观察可知第二步出现错误，错误原因是去分母时，方程右边的5没有乘以6； （2）解： 把分母化为整数得， 去分母得， 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得． 14．已知关于的一元一次方程的解与关于的一元一次方程的解互为相反数，求代数式的值． 【答案】 【分析】先分别解出两个一元一次方程，用、表示方程的解，根据解互为相反数得到、的关系式，再整体代入代数式计算即可． 【详解】解：， 移项得， 解得， ， 去分母得， 展开整理得， 解得， 两个方程的解互为相反数， ，即， 去分母得， 整理得， 两边同除以得， ． 15．（24-25六年级上·上海·期末）已知关于x的方程． (1)若，求该方程的解； (2)某同学在解该方程时，误将“”看成了“”，得到方程的解为，求m的值； (3)若该方程有正整数解，求整数m的最小值． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查同解方程、一元一次方程的解法、求代数式的值，解题时要能读懂题意并列出方程是解题的关键． （1）依据题意得，当时，方程为，求解即可； （2）依据题意，由误将“”看成了“”，得到方程的解为，可得，再解关于的方程即可； （3）依据题意，由，可得，再结合取正整数，从而为的正因数，又取最小值，进而得解； 【详解】（1）解：当时，方程为， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵误将“”看成了“”，得到方程的解为， ∴是方程的解， ∴， 解得：， ∴的值为； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵取正整数， ∴为的正整数倍数． 又∵取最小值， ∴， ∴， ∴的值为． 迁移创新 16．（25-26六年级上·上海宝山·期末）规定：用表示大于的最小整数，如，，等；用表示小于或者等于的最大整数，如，，等，如果整数x满足，那么为_____． 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算． 根据定义可知，对于整数，，，代入方程求解． 【详解】解：∵是整数，表示大于的最小整数，表示小于或者等于的最大整数， ∴，， ∵， ∴， 即， 解得． 故答案为：． 17．【定义】如果两个一元一次方程的解互为相反数，那么就称这两个方程互为“相反方程”．例如：方程的解为，方程的解为， 所以与互为“相反方程”． 【应用】 (1)若与都是关于的方程，且它们互为“相反方程”，求的值； (2)若与都是关于的方程，且它们互为“相反方程”，则的值为__________． 【答案】(1)15 (2) 【分析】（1）先求出方程的解，再根据“相反方程”的定义得到方程的解，代入即可求出的值； （2）将、看作常数，分别求出方程与的解，再根据“相反方程”的定义得到关于、的方程，即可求解． 【详解】（1）解：方程的解为：， ∵与互为“相反方程”， ∴方程的解为：， ∴，解得． （2）解：方程的解为：， 方程的解为：， ∵与互为“相反方程”， ∴， 化简得：， ∴． 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 一元一次方程 3.2 一元一次方程及其解法 课标要点 1.理解一元一次方程的概念. 2.掌握等式的基本性质. 3.掌握移项、去括号、去分母等解方程的基本步骤. 4.能解标准形式的一元一次方程，并能对方程的解进行检验. 学习重难点 重点： 1.等式的基本性质的准确运用. 2.解一元一次方程的基本步骤:去分母一去括号一移项一合并同类项一系数化为1. 难点： 1.去分母时，各项都要乘以公分母，尤其常数项容易漏乘. 2.移项时要变号，容易出错. 3.去括号时符号的处理，特别是括号前为负号的情况. 知识点 等式性质 等式性质1：等式两边加（或减）同一个数，等式仍成立． 如果 ，那么 ， ． 等式性质 2：等式两边乘同一个数，或除以同一个_________的数，等式仍成立． 如果 ，那么 ； 如果 ，那么 ． 方程是含有未知数的等式． （1）等式性质是解一元一次方程的依据． （2）两同一不变：①＂两同＂一是等式两边要参与同一种运算，二是加、减、乘或除以（除以的数不为 0 ）的一定是同一个数或式子．②＂一不变＂是指等式变形后仍是等式． （3）等式还有其他的一些性质，在解方程中也时常会用到，它们是： ①对称性：如果 ，那么 。即等式的左、右两边交换位置，所得结果仍是等式。 ②传递性：如果 ，且 ，那么 。这条性质也叫作等量代换。 判断等式的变形是否正确的方法 当等式两边加、减或乘同一个数（或式子）时，变形均正确；当等式两边除以同一个数（或式子）时，要先判断这个数（或式子）是否为 0 ，若确定该数（或式子）不为 0，则该变形正确，否则错误． 随学随练 1．（25-26六年级上·上海松江·期末）运用等式性质进行的变形、正确的是（    ）． A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．（25-26七年级上·黑龙江牡丹江·期末）下列说法错误的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 知识点 —元一次方程 1．概念：只含有_________未知数且含有未知数的项是_________的方程叫作一元一次方程。 2．一元一次方程的一般形式： ． 一元一次方程具有如下特点 （1）是一个方程； （2）只含有一个未知数（元）； （3）含有未知数的项是一次项； （4）含未知数的项的系数不为 0 ； （5）分母不含未知数． 判断一个式子是不是一元一次方程的方法 先看这个式子是不是等式，分母是否含有未知数；再看式子是否只含有一个未知数；最后看式子含有未知数的项是不是一次项． 随学随练 1．（24-25六年级上·上海闵行·阶段检测）下列方程中是一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．若是关于的一元一次方程，则__________． 知识点 利用等式性质解简单的一元一次方程 1．求方程的解的过程叫作解方程。 2．利用等式性质解简单的一元一次方程的一般步骤： 第一步：利用等式性质1，将方程左右两边同时加（或减）同一个数（或式子），使方程逐步转化为 的形式； 第二步：利用等式性质2，将方程左右两边同时除以未知数的系数（或乘未知数系数的倒数），得到方程的解 。 解以 为未知数的方程，就是把方程逐步转化为 （常数）的形式，等式性质是转化的重要依据． 随学随练 利用等式的性质解下列方程： (1)； (2)； (3)． 知识点 一元一次方程的解法 1．解一元一次方程——移项 （1）移项：将方程中等号一边的某项改变符号后移到另外一边，这种变形的过程称为移项。两变一不变：位置和符号变化，绝对值不变。 （2）移项的依据：等式性质 1 ，即在方程的两边同时加（或减）同一个适当的数或整式，结果仍然相等。 （3）移项的目的：将含有未知数的项移到方程的一边，将常数项移到方程的另一边，使方程更接近 的形式。 （4）通过移项解一元一次方程的步骤： ①移项； ②合并同类项，把方程整理成 的形式； ③两边同除以未知数的系数 （或乘 ），得到方程的解 。 ①移项一定要过＂＝＂，即由＂＝＂的一边移到另一边，且移动后的项与原来的项互为相反数。 ②方程中的每一项都包，括前面的符号． 移项与加法交换律的区别 移项是在等式中，把某些项从等式的一边移到另一边，移动的项要变号；而加法交换律是交换加数的位置，只改变排列的顺序，不改变符号． 2．解一元一次方程——去括号 （1）去括号：解一元一次方程时，按照在第2章所学的去括号方法和数与一次式相乘的方法把方程中的括号去掉，这个过程叫作去括号。 （2）去括号的依据：乘法分配律． （3）解一元一次方程的一般步骤： ①去括号； ②移项； ③合并同类项，把方程整理成 的形式； ④两边同除以未知数的系数 （或同乘 ），得到方程的解 。 解方程中的去括号法则与整式运算中的去括号法则相同，括号外的因数是正数时，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；括号外的因数是负数时，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反。简记为：＂正不变，负全变＂． 3．解一元一次方程—去分母 （1）去分母的依据：等式性质 2，即方程各项都乘所有分母的最小公倍数，从而约去分母，把方程中各项的系数化成整数。 （2）去分母的一般步骤： ①确定各分母的最小公倍数； ②方程两边同乘这个最小公倍数，约去分母。 （3）去分母时的注意事项： ①各项都要乘所有分母的最小公倍数，不要漏乘没有分母的项； ②如果分子是一个多项式，去分母时要将分子作为一个整体加上括号； ③分母含有小数的应先化小数分母为整数分母，再去分母。依据分数的基本性质。 去分母与化小数分母为整数分母的区别 去分母是把方程中的每一项都乘各分母的最小公倍数，与方程中的每一项都有关；化小数分母为整数分母运用的是分数的基本性质，即只是对方程中的某一个分数形式的式子进行变形，将该分数形式的式子的分子、分母同乘一个数，与其他项无关。 4．解一元一次方程——整体思想 把方程中重复出现的相同代数式看成一个整体，先整体合并化简，再求解方程。 解一元一次方程的一般步骤 去分母：在方程两边乘各分母的最小公倍数。当分母是小数时，要先利用分数的基本性质把小数转化为整数，然后再去分母。依据为等式性质2．注意不要漏乘不含分母的项；如果分子是多项式，去分母时应将分子作为一个整体加上括号。 去括号：先去小括号，再去中括号，最后去大括号；也可以先去大括号，再去中括号，最后去小括号。依据为乘法分配律、去括号法则。注意不要漏乘括号里的任何一项；不要弄错符号。 移项：把含有未知数的项都移到方程的一边，常数项都移到方程的另一边。依据为等式性质1。注意移项要变号；不要丢项。 合并同类项：未知数及其指数不变，系数相加，把方程化为 的形式。依据为合并同类项法则，注意不要丢项。 系数化为1：在方程的两边都除以未知数的系数 ，得到方程的解 。依据为等式性质2。注意不要将分子与分母颠倒；如果未知数的系数是含有字母的式子，要保证式子的值不为 0 。 这些步骤不是固定不变的，有时可以省略某个步骤（如没有括号，就可以省略＂去括号＂），要根据方程的特点灵活选用． 随学随练 1．解方程：． 2．解方程：． 3．（25-26六年级上·上海普陀·期末）解方程：． 4．（24-25六年级上·上海·阶段检测）解方程：． 5．（25-26六年级上·上海普陀·期末）解方程：． 知识点 方程的解的应用 将给出的方程的解代入原方程，求出方程中字母的值，从而得到要求的代数式的值． 方法转化法 如遇到关于未知数 或 等且含有其他字母表示数的方程时，可将关于未知数的方程的解代入方程中，使关于未知数的方程转化为关于字母的方程，进而求出字母或式子的值，这种方法常称为转化法． 随学随练 1．若方程的解与关于的方程的解相同，则的值为_________． 2．（25-26六年级上·上海静安·期末）以下方程中，与方程的解相同的方程是（   ） A． B． C． D． 题型1 等式的性质 ▌例1（25-26六年级上·上海金山·期末）下列方程的变形中，正确的是（ ） A．由，得； B．由，得； C．由，得； D．由，得． ▌对点练1-1（25-26六年级上·上海杨浦·期末）由，得．在此变形中，方程的两边同时加上的代数式是（    ） A． B． C． D． ▌对点练1-2（24-25六年级上·上海杨浦·期末）下列方程变形中，正确的是（    ） A．可变形为 B．可变形为 C．可变形为 D．可变形为 题型2 判断是否是一元一次方程（解） ▌例2（25-26六年级上·上海浦东新·期末）下列等式中是一元一次方程的有（     ） ①；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ▌对点练2-1（25-26六年级上·上海金山·期末）下列方程中，是一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． ▌对点练2-2（25-26六年级上·上海黄浦·期末）下列方程中，一元一次方程是（   ） A． B． C． D． ▌对点练2-3下列方程中，解是的方程是（    ） A． B． C． D． ▌对点练2-4写出一个满足下列条件的一元一次方程：①某个未知数的系数是；②方程的解是5；这样的方程是____________________． 题型3 已知一元一次方程求参数的值 ▌例3（25-26六年级上·上海崇明·期末）若关于x的方程是一元一次方程，则______． ▌对点练3-1（25-26六年级上·上海浦东新·期末）若关于x的方程是一元一次方程，则___________． ▌对点练3-2（25-26六年级上·上海宝山·期末）已知方程是关于的一元一次方程，则的值是_____． ▌对点练3-3已知关于x的方程是一元一次方程，则m的值是______． 题型4 合并同类项与移项解一元一次方程 ▌例4（25-26六年级上·上海·阶段检测）解方程： ▌对点练4-1（25-26六年级上·上海闵行·期末）方程的解为_______． ▌对点练4-2（24-25六年级上·上海闵行·期末）方程的解为______． 题型5 去括号解一元一次方程 ▌例5（25-26六年级上·上海浦东新·期末）解方程：． ▌对点练5-1（25-26六年级上·上海·期末）解方程： ▌对点练5-2（25-26六年级上·上海·期末）解方程： ▌对点练5-3（25-26六年级上·上海普陀·期末）解方程： 题型6 去分母解整数型一元一次方程 ▌例6（25-26六年级上·上海虹口·期末）解方程：． ▌对点练6-1（25-26六年级上·上海静安·期末）解方程：． ▌对点练6-2解方程∶ ▌对点练6-3（25-26六年级上·上海·期末）解方程：． 题型7 去分母解小数型一元一次方程 ▌例7 解方程： ▌对点练7-1（24-25六年级上·上海黄浦·期末）解方程：． ▌对点练7-2（25-26六年级上·上海松江·期末）解方程：． 题型8 方程的解的应用 ▌例8 若关于x的方程与方程的解相同，则m的值为（     ） A．4 B．2 C． D． ▌对点练8-1（24-25六年级上·上海徐汇·期末）已知关于的方程与的解相同，求的值． ▌对点练8-2若关于x的方程与方程的解互为相反数，则m的值为（    ） A．4 B． C．3 D． 题型9 换元法（整体思想）的运用 ▌例9 已知关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为（   ） A． B． C． D． ▌对点练9-1若关于的方程的解为，则关于的方程的解为________． ▌对点练9-2 已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为（   ） A．1 B． C． D． ▌对点练9-3若关于x的一元一次方程的解为，则关于t的一元一次方程的解为（   ） A． B． C． D． 题型10 新定义问题 ▌例10（25-26六年级上·上海·期末）我们规定x的一元一次方程的解恰好等于，则称该方程是“差解方程”，例如：，解得，因为，所以方程是“差解方程”，已知关于x的一元一次方程是“差解方程”，它的解为a，则的值______． ▌对点练10-1定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“和谐方程”．例如：方程和为“和谐方程”．若关于的方程与方程是“和谐方程”，则______． ▌对点练10-2定义：若两个一元一次方程的解之和为3，我们就称这两个方程互为“方程”，其中一个方程是另一个方程的“方程”．请写出方程的一个“方程”：__________． ▌对点练10-3定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“和1方程”，例如：方程和为“和1方程”． (1)若关于x的方程与方程是“和1方程”，求m的值； (2)若“和1方程”的两个解的差为1，其中一个解为n，求n的值； 基础通关 1．（25-26六年级上·上海青浦·期末）下列方程变形正确的是（    ） A．可变形为 B．可变形为 C．可变形为 D．可变形为 2．（25-26六年级上·上海普陀·期末）在解方程时，对该方程变形正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26六年级上·上海闵行·阶段检测）已知是关于x的一元一次方程，则m的值为________． 4．整式的值随取值的不同而不同，下表是当取不同值时所对应的整式的值，则关于的一元一次方程的解为_____． 0 1 2 0 2 5．解下列一元一次方程： (1)； (2)． 6．（25-26六年级上·上海普陀·期末）解方程：． 7．已知关于x的方程与的解互为相反数，求m的值以及两个方程的解． 素养提升 8．（25-26六年级上·上海·期末）已知关于x的方程，且a为某些正整数时，方程的解为正整数，则正整数a的最小值为______． 9．（25-26六年级上·上海金山·期末）定义：如果两个一元一次方程的解的和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为美好方程．若关于x的方程与是“美好方程”，则关于y的方程的解是___________ ． 10．已知，，，为有理数，现规定一种新的运算，那么当时，的值是________． 11．（25-26六年级上·上海黄浦·期末）已知关于的方程． (1)若，求该方程的解； (2)某同学在解该方程时，误将“”看成了“”，得到方程的解为，求的值； (3)若该方程有负整数解，求整数的最大值． 12．（25-26六年级上·上海浦东新·期末）若方程的解也是关于的方程的解，则求的值． 13．（25-26六年级上·上海杨浦·期末）阅读下面解方程的部分解题过程，并完成相应问题． 解方程：． 解：        （第一步）         （第二步） …… (1)上面过程中有一处错误： 错误的是第_____步，错误的原因是_________________________． (2)把正确的解题过程写下来． 14．已知关于的一元一次方程的解与关于的一元一次方程的解互为相反数，求代数式的值． 15．（24-25六年级上·上海·期末）已知关于x的方程． (1)若，求该方程的解； (2)某同学在解该方程时，误将“”看成了“”，得到方程的解为，求m的值； (3)若该方程有正整数解，求整数m的最小值． 迁移创新 16．（25-26六年级上·上海宝山·期末）规定：用表示大于的最小整数，如，，等；用表示小于或者等于的最大整数，如，，等，如果整数x满足，那么为_____． 17．【定义】如果两个一元一次方程的解互为相反数，那么就称这两个方程互为“相反方程”．例如：方程的解为，方程的解为， 所以与互为“相反方程”． 【应用】 (1)若与都是关于的方程，且它们互为“相反方程”，求的值； (2)若与都是关于的方程，且它们互为“相反方程”，则的值为__________． 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $