2.3 一次式（讲义，知识点&9大题型&刷好题）数学新教材沪教版五四制六年级上册

本讲义聚焦一次式核心知识点，系统梳理概念（系数、次数、项数、常数项）、同类项、去括号、加减运算及数与一次式相乘，构建“概念识别-运算规则-实际应用”的递进学习支架。 资料通过分层设计，概念辨析结合随学随练培养抽象能力，运算步骤强调推理意识，题型融入上海地区检测题提升应用能力。课中例题与练习结合助力教学，课后基础与素养练习帮助学生查漏补缺，发展模型意识和创新意识。

第二章 简单的代数式 2.3 一次式 课标要点 1.认识一次式的概念 2.掌握一次式的系数、次数，项数、常数项等相关概念 3.能准确识别一次单项式与一次多项式，规范书写一次式。 4.能根据一次式的概念表示实际问题中的数量关系，解决生活中的实际问题 学习重难点 重点： 1.一次式的核心概念，单项式的系数与次数、多项式的项与次数、常数项的识别方法。 2. 一次单项式、一次多项式的辨析，列一次式表示实际数量关系的方法。 难点： 1.区分单项式次数与多项式次数的判定差异，厘清概念间的层级关系，建立 “结构识别→概念对应→特征应用” 的思维模型。 2. 含多个字母的一次式的概念辨析，以及含参数的一次式次数类问题的处理。 3. 复杂实际情境中数量关系的梳理与一次式的准确列式。 知识点 —次式的概念 如代数式 中，我们把 称作代数式 的项。如 只含有一个字母，且字母的指数是 1 的项叫作一次项，不含字母的项叫作常数项． 一次项中的数字因数叫作项的数字系数，简称系数。如5x的系数是5， 的系数是－3；由一次项与常数项组成，或仅含一次项的代数式叫作一次式． （1）一次项或常数项是包括它们前面的符号的； （2）如果一个一次项只有字母因数，它的一次项系数是 1 或 -1 ； （3）单独的一个字母是一次式，但单独的一个常数项不是一次式，如字母 是一次式， 4 不是一次式； （4）一次式的各项的分母中不含字母， 是常数， 也是常数。 判断一次式的方法 （1）代数式是一个单独的数字； （2）代数式某一项中含有两个及以上的字母； （3）代数式中某一项字母的指数是否大于 1 ，只要符合上面一项，则不是一次式。 随学随练 1．（25-26六年级上·上海普陀·阶段检测）下列代数式中是一次式的是（    ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次式的定义，核心是两个条件：一是整式，二是变量的最高次数为． 根据一次式的定义，即代数式中变量的最高次数为1，分析各选项的次数． 【详解】解：一次式是指变量的最高次数为1的整式， A．3是常数，无变量，是次数为0的整式，故不是一次式； B．是分式，不是整式，故不是一次式； C．中和的次数均为1，最高次数为1，故是一次式； D．中的最高次数为2，故不是一次式． 故选：． 2．（24-25六年级上·上海·阶段检测）下列说法中，错误的是（   ） A．常数项都是同类项 B．是一次式 C．是一次式 D．的系数是 【答案】B 【分析】本题考查代数式的基本概念，包括同类项、一次式的定义以及系数的概念．正确理解同类项（字母相同且指数相同）、一次式（次数最高项为1）和系数（数字因子）的定义是解题关键． 根据同类项、一次式的定义以及系数的概念求解即可． 【详解】A：常数项不含字母，都是同类项，正确； ∵一次式是指次数为1的整式，而常数项（如）的次数为0， ∴不是一次式，故B错误． C：多项式中各项次数均为1，故为一次式，正确； D：的系数为，正确． 故选：B． 知识点 —次式的同类项 1．在一次式中，字母相同的项叫作一次式的同类项。所有常数项都是同类项。 （1）同类项与一次项的系数无关；（2）同类项至少为两项。 2．合并同类项 一般地，把同类项合并成一项，称为合并同类项。 合并一次式同类项的法则：把含字母的同类项的系数相加所得的结果作为系数，字母不变；常数项直接相加。 合并一次式同类项的步骤 1．找同类项：将含相同字母的同类项用记号标记； 2．同类项结合：利用加法交换律、结合律，将同类项放在一起； 3．合并同类项：根据法则进行合并； 4．写出合并后的结果． 随学随练 1．指出下列一次式的同类项 (1)； (2)． 【答案】(1)和是同类项； (2)与是同类项，与是同类项，与是同类项． 【分析】本题考查了同类项的定义. 直接根据同类项的定义判断即可. 【详解】（1）解：根据同类项的定义可知：和是同类项； （2）解：根据同类项的定义可知：与是同类项，与是同类项，与是同类项． 2．合并同类项：_________． 【答案】 【分析】本题考查合并同类项，解题的关键是掌握合并同类项的法则． 合并同类项的法则：把同类项的系数相加减，字母与字母的指数不变，再进行计算即可得到答案． 【详解】解：， 故答案为：． 知识点 去括号 1．去括号的意义 在有理数运算中，有括号时，通常是先算括号内的，然后算括号外的，而在代数式的运算中遇到有括号时，却往往无法先进行括号内的运算，或先算括号内的相对复杂，因而要先去掉括号，才能使运算得以顺利进行。如在代数式 中，括号内的 5 a 与 不是同类项，不能合并，而 8 a 和 5 a, 2 b 和 是同类项，但不去掉括号无法合并，所以必须先去掉括号才能合并同类项，从而使代数式化简。 2．去括号法则 （1）括号前面是＂＋＂号，去掉括号后，括号内各项都不改变； ②括号前面是＂—＂号，去掉括号后，括号内各项都变号。 注意：（1）去括号时，括号与前面的＂＋＂或＂—＂号一起去掉。 ②法则中的＂都＂字，该变号时，各项都变号；不该变号时，各项都不变号。尤其括号前面是＂—＂号，去括号时，要改变括号内每一项的符号。 （1）去括号时，要将括号连同它前面的符号一起去掉； （2）去括号只是改变式子的形式，不改变式子的值。 ： 添括号法则：添括号后，括号前面是＂＋＂号，括到括号内的各项都不变号；添括号后，括号前面是＂—＂号，括到括号内的各项都要改变符号。添括号与去括号是互逆的。 随学随练 1．（24-25七年级上·上海黄浦·阶段检测）去括号：________． 【答案】 【分析】本题考查去括号，括号前是负号，去括号时括号内各项要变号，进而求解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 2．去括号的结果是______． 【答案】 【分析】本题考查去括号：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反．根据去括号的方法进行解题即可． 【详解】解： 故答案为：． 知识点 一次式的加减 1．法则 几个一次式相加减，通常用括号把每个一次式括起来，再用加减号连接，然后去括号，再合并同类项． 2．实质 一次式加减的实质就是去括号，合并同类项． 注意：（1）一次式加减的结果要最简，即不能有同类项； （2）含字母项的系数如果是带分数，要化成假分数． （3）计算结果一般不含括号． 求几个一次式的和或差时，要分别把每个一次式看作一个整体，用括号括起来用加减号连接，再去括号计算． 随学随练 1．（1）求一次式的和； （2）求减去的差． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了整式的加减应用，根据题意分别正确列式是解题的关键． （1）因为求的和，所以列式，再合并同类项，即可作答． （2）因为求减去的差，所以列式，然后去括号合并同类项，即可作答． 【详解】解：（1） （2） 2．（25-26六年级上·上海·期末）求一次式减去一次式的差，并求当，时该差的值． 【答案】， 【分析】本题考查了列代数式，代数式化简求值等相关内容，根据题意列出代数式，化简再代入求值即可. 【详解】解：由题意得： 当，时，原式. 知识点 数与一次式相乘 一般地，数与一次式相乘，就是用这个数去乘一次式的每一项，再把所得的积相加． 在含有字母的项与数相乘时，把这个数与项的系数相乘的积作为字母的系数，字母不变． 运算时要注意这个数与项的系数相乘的积的符号． 随学随练 1．（24-25六年级上·上海·阶段检测）计算：； 【答案】 【分析】先去括号，然后再合并同类项即可． 【详解】解： ． 题型 一次式的判定 ▌例1（24-25六年级上·上海·期末）下列代数式是一次式的是（    ） A．4 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了代数式，熟练掌握单项式、多项式的次数的定义是解题的关键． 根据单项式、多项式的次数的定义判断即可． 【详解】解：A、4的次数是0，故此选项不符合题意； B、的次数是1，故此选项符合题意； C、的次数是2，故此选项不符合题意； D、不是整式，故此选项不符合题意． 故选：B． ▌对点练1-1（25-26六年级上·上海黄浦·期末）下列代数式是一次式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一次式的定义，一次式是指代数式中变量的最高次数为1的整式，常数项不影响次数判断，核心是两个条件：一是整式，二是变量的最高次数为1． 【详解】解：∵ 一次式需满足变量的最高次数为1， A． π是常数，代数式的次数为0，不符合题意； B． 是分式，不符合题意； C． 的次数为2，不符合题意； D．中y的次数为1，符合题意． 故选：D． ▌对点练1-2（24-25六年级上·上海青浦·期末）下列代数式是一次式的是（   ） A．8 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了单项式和多项式的次数，根据单项式和多项式的次数判断即可． 【详解】解：因为8是0次单项式，所以A不符合题意； 因为是一次二项式，所以B符合题意； 因为是二次单项式，所以C不符合题意； 因为不是单项式，不是多项式，所以D不符合题意． 故选：B． 题型 一次式中的一次项、常数项和一次项的系数 ▌例2指出下列一次式的一次项、常数项和一次项的系数： 、、、、 【答案】答案见详解 【分析】本题主要考查整式的知识，掌握单项式的系数，次数，多项式的项的定义是解题的关键，根据一次项，常数项，一次项系数的定义“只含有一个字母，且字母的指数是1，叫作一次项；不含字母的项叫作常数项，一次项中的数字因数叫作项的数字系数，简称系数”即可求解． 【详解】解：的一次项为，常数项为，一次项的系数为； 的一次项为，常数项为，一次项的系数为； 的一次项为，常数项为，一次项的系数为； 的一次项为，常数项为，一次项的系数为； 的一次项为，常数项为，一次项的系数为． ▌对点练2-1（25-26六年级上·上海普陀·期末）一次式中的一次项是_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式的定义，将多项式分式拆分为两项，识别出一次项即可． 【详解】解：表达式可以写成，其中是变量的一次项，系数为． 故答案为：． ▌对点练2-2（24-25六年级上·上海杨浦·期末）一次式中的一次项的系数是______． 【答案】 【分析】本题考查了多项式的定义，几个单项式的和（或者差）叫做多项式，多项式中每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高项项次数，就是这个多项式的次数．一次项中的数字因数就是一次项的系数． 根据多项式的概念即可得到答案． 【详解】解：中的一次项是，系数是， 故答案为： ． ▌对点练2-3（24-25六年级上·上海黄浦·期末）在一次式中，常数项是______． 【答案】/ 【分析】本题考查了多项式的概念，根据多项式的定义，可得常数项为不含字母的项，即可求解． 【详解】解：在一次式中，常数项是 故答案为：． ▌对点练2-4 一次式的第二项是_________，第三项的系数是_______． 【答案】 2 【分析】本题考查了多项式的相关概念，解题的关键是掌握多项式的每一项都有次数，次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数；多项式的项数就是多项式中包含的单项式的个数． 根据多项式的项及单项式的系数的定义求解． 【详解】解：一次式是1，，2x这三个单项式的和， ∴第二项是，第三项的系数是2． 故答案为：，2． ▌对点练2-5（25-26六年级上·上海宝山·阶段检测）一次式的一次项系数与常数项的和是________． 【答案】 【分析】题目主要考查多项式的化简，将给定式子化简为一般形式，识别一次项系数和常数项，并计算它们的和即可． 【详解】解：，其中一次项系数为，常数项为 ， ∴它们的和为 ， 故答案为 ． 题型 根据要求写一次式 ▌例3（25-26六年级上·上海松江·期末）一个一次式满足：①只含有一个字母；②常数项为正数；③当字母的值取1时，这个一次式的值等于．写出满足要求的一次式________．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查一次式的概念．熟悉一次式的概念，根据一次式的值，推导并写出符合要求的一次式，是解题的关键。 设一次式为，其中和为常数，为字母。根据条件常数项，且当时，值为，代入得．由此关系选择合适常数即可． 【详解】解：设一次式形式为，常数项， 当时，，即， ∵， ∴， ∴取，则，得一次式为， 验证：常数项，当时，，满足条件． 故答案为：（答案不唯一）． ▌对点练3-1（25-26六年级上·上海虹口·期末）已知一次式A、B、C满足，其中，，用含x的式子表示________ ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据等式，得到，再代入A和C的代数式进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴． 故答案为：． ▌对点练3-2将方程变形成用含y的一次式表示x，则_________． 【答案】 【分析】将y看做已知数求出x即可． 【详解】解：方程3x-2y=7， ∴3x=7+2y， 解得：x=， 故答案为：． 【点睛】此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将y看做已知数求出x． 题型 已知一次式求字母的值 ▌例4 已知是关于x的一次式，则a，b的值分别是（    ） A．0，3 B．0，1 C．1，2 D．1，1 【答案】C 【分析】本题考查了一次式的定义，解题的关键是掌握含未知数的项最高次数为1的代数式是一次式． 根据一次式的定义得出，进行解题即可． 【详解】解：∵是关于x的一次式， ∴， 则， 故选：C． ▌对点练4-1（24-25六年级上·上海·阶段检测）如果是关于的一次式，那么_______． 【答案】 【分析】本题考查多项式的定义，熟练掌握多项式的相关定义是解题的关键．利用关于的多项式的次数为，得，且，求解即可． 【详解】解：∵是关于的一次式， ∴，且， 解得：， 故答案为：． ▌对点练4-2（25-26六年级上·上海普陀·期末）若是关于的一次式，则______． 【答案】 【分析】本题考查了已知字母的值，求代数式的值，多项式的项、项数或次数，多项式系数、指数中字母求值等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 根据一次式的定义，多项式最高次数为1，因此项系数为零，且的指数为1． 【详解】解：因为式子是关于的一次式， 所以项的系数， 解得：； 同时必须是一次项， 故， 解得：． 因此． 故答案为：． ▌对点练4-3（24-25六年级上·上海·阶段检测）若是关于x的一次式，则的值是______． 【答案】1 【分析】根据题意得出，，求出a和b的值，再代入 求值即可．本题考查了一次式的定义，解题的关键是掌握含未知数的项的最高次数为1的整式是一次式． 【详解】解：∵是关于x的一次式， ∴，， ∴，， ∴ ． 故答案为：1． 题型 一次式的同类项 ▌例5 指出一元一次式中的同类项． 【答案】和是同类项，和是同类项，和5是同类项 【分析】本题考查了同类项．熟练掌握同类项定义是解题关键．根据同类项的定义判断是否是同类项即可． 【详解】解：由题意知，中， 和是同类项，和是同类项，和5是同类项． ▌对点练5-1（24-25六年级上·上海长宁·阶段检测）一次式中是一次同类项是______. 【答案】和 【分析】此题考查了同类项的定义：含有相同的字母，且相同字母的指数也相同．据此求解即可． 【详解】解：一次式中是一次同类项是和． 故答案为：和． ▌对点练5-2化简下列一次式： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了合并同类项，解题的关键是掌握合并同类项法则：字母和字母指数不变，只把系数相加减． （1）直接合并同类项即可； （2）直接合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型 一次式的加减 ▌例6 （24-25六年级上·上海杨浦·期末）如果一个一次式与的和是，那么这个一次式是______． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减，熟练掌握整式的加减运算法则是解题的关键． 根据整式的加减运算法则计算即可． 【详解】解：根据题意得， ， 故答案为： ． ▌对点练6-1（25-26六年级上·上海·期末）如果一个一次式减去的差等于，则这个一次式是______． 【答案】 【分析】本题考查了整式加减混合运算，设这个一次式是，由题意得，求出表示的式子即可解答． 【详解】解：设这个一次式是， 由题意得，， ， 这个一次式是． 故答案为：． ▌对点练6-2一次式M与的和是，则M等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查整式的加减运算，解答时合并同类项即可．根据已知条件可设此多项式为M建立等式解得即可． 【详解】解： 故选：C ▌对点练6-3（24-25六年级上·上海青浦·期末）一次式和的值互为相反数，则的值是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了相反数，解一元一次方程， 先根据相反数的定义得，再求出解即可． 【详解】解：根据题意，得， 解得． 故答案为：． 题型 一次式去括号 ▌例7 （24-25六年级上·上海·期末）化简：______． 【答案】 【分析】本题考查去括号．根据去括号法则如果括号前是“”，去括号后，括号里的各项都变号，即可得出答案． 【详解】解：． 故答案为：． ▌对点练7-1（25-26六年级上·上海普陀·阶段检测）下列去括号正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查去括号的规则：括号前为“”号，去括号后括号内各项符号不变；括号前为“”号，去括号后括号内各项符号改变．根据此规则检查各选项即可求解． 【详解】解：选项A：，但选项写为，错误，不符合题意； 选项B：，但选项写为，错误，不符合题意； 选项C：，但选项写为，错误，不符合题意； 选项D：先内层括号（括号前“”号，改变符号）， 然后（括号前“”号，改变符号），正确，符合题意； 故选：D． ▌对点练7-2（24-25六年级上·上海·期末）去括号： （1）_____； （2）_____； （3）_____． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减去括号，根据去括号法则计算即可得解，熟练掌握去括号法则是解此题的关键． 【详解】解：（1）， 故答案为：； （2）， 故答案为：； （3）， 故答案为：． ▌对点练7-3当时，求一次式的值． 【答案】， 【分析】本题考查了整式加减的化简求值，先去括号，再合并同类项将整式化简，最后将x的值代入进行计算即可． 【详解】解： ； 当时，原式． 题型 数与一次式相乘 ▌例8（24-25六年级上·上海·阶段检测）计算：___________ 【答案】/ 【分析】本题考查了整式的加减、去括号，熟练掌握去括号是关键．运用乘法分配律去括号即可． 【详解】解：． 故答案为：． ▌对点练8-1（25-26六年级上·上海青浦·期中）化简一次式：． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的加减计算，先去括号，然后合并同类项即可得到答案． 【详解】解： ． ▌对点练8-2计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了去括号，解题的关键是掌握去括号法则：将括号前的因式分别乘以括号内的每一项． （1）根据去括号法则将括号展开即可； （2）根据去括号法则将括号展开即可； （3）根据去括号法则将括号展开即可； （4）根据去括号法则将括号展开即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 题型 遮挡与错解问题 ▌例9 王老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随 后用手掌捂住了一个一次式，如图所示．王老师捂住的一次式是 （     ）         A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了整式的加减，解答此题的关键是要明确：整式的加减的实质就是去括号、合并同类项．一般步骤是：先去括号，然后合并同类项． 根据整式减法的运算方法，用减去，求出所捂的一次二项式即可． 【详解】解：∵所捂的一次二项式与的和是 ∴所捂的一次二项式 ， 故选：A． ▌对点练9-1王老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个一次式，如图所示．王老师捂住的一次式是____． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了整式的加减计算，根据题意只需要计算出的结果即可得到答案． 【详解】解： ， ∴王老师捂住的一次式是． 故答案为：． ▌对点练9-2（24-25六年级上·上海·阶段检测）小马虎在计算一次式与另一个一次式的差时，把差当成了和，求出的答案是，则正确的答案是__________． 【答案】/ 【分析】本题考查了整式的加减运算，设另一个一次式为，根据题意求得，再计算与的差，即可求解． 【详解】解：设另一个一次式为， 依题意， ∴正确的答案是 故答案为：． 基础通关 1．（25-26六年级上·上海闵行·阶段检测）下列说法中，正确的有（    ）个． ①是代数式；②是一次式，其系数是；③不是代数式；④不是一次式． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了代数式和单项式的系数次数的识别．根据代数式的定义，单项式的次数和系数和多项式的定义逐个判断即可． 【详解】解：①是代数式，故正确； ②分母中含有字母，不是一次式，故错误； ③是代数式，故错误； ④是一次式，故错误． ∴①说法正确． 故选：A． 2．（24-25六年级上·上海·期末）下列说法中正确的是 （   ） A．在一次式中，常数项没有同类项 B．在一次式中，与是同类项 C．一次式与一次式的和一定是一次式 D．在一次式中，与 是同类项 【答案】D 【分析】本题考查多项式加减，同类项，解题关键是熟练掌握所含字母相同，且相同字母指数也相同的项叫同类项． 根据同类项的定义与整式加法逐项判定即可． 【详解】解：A、在一次式中，常数项与常数项是同类项，故此选项不符合题意， B、在一次式中，与所含字母不同，不是同类项，故此选项不符合题意； C、一次式与一次式的和不一定是一次式，如与的和就不是一次式，故此选项不符合题意； D、在一次式中，与所含字母相同，相同字母x的指数也相同，是同类项，故此选项符合题意； 故选：D． 3．指出一次式中的一次项、常数项及一次项的系数 【答案】见解析 【分析】本题主要考查单项式，多项式的知识，掌握其概念是解题的关键． 根据定义“只含有一个字母，且字母的指数是1，叫作一次项；不含字母的项叫作常数项，一次项中的数字因数叫作项的数字系数，简称系数”即可求解． 【详解】解：一次式中的一次项是和，常数项是，其中，一次项的系数分别是、． 4．（25-26六年级上·上海浦东新·阶段检测）一次式的一次项系数为________． 【答案】 【分析】本题考查多项式：根据一次项系数的概念，识别一次式中的一次项并确定其系数即可． 【详解】解：在表达式中，是一次项，其系数为，因此一次项系数是． 故答案为：． 5．（24-25六年级上·上海徐汇·期末）计算：______． 【答案】 【分析】本题考查去括号的方法：去括号时，运用乘法的分配律，先把括号前的数字与括号里各项相乘，再运用括号前是“+”，去括号后，括号里的各项都不改变符号；括号前是“”，去括号后，括号里的各项都改变符号．运用这一法则去掉括号． 【详解】解：， 故答案为：． 6．（24-25六年级上·上海嘉定·阶段检测）老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个一次式，如图所示．老师捂住的一次式是______． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了整式的加减计算，根据题意只需要计算出的结果即可得到答案． 【详解】解： ， ∴老师捂住的一次式是， 故答案为：． 7．（25-26六年级上·上海普陀·期末）已知一个一次式与的和是，那么这个一次式是_____． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减，掌握整式加减的运算法则是解题关键．根据和与加数的关系，所求一次式等于和减去已知加数，即可得解． 【详解】解： ， 故答案为：． 8．当时，一次式的值为_______． 【答案】15 【分析】本题主要考查了代数式求值，解题的关键是熟练掌握整体思想．先合并同类项，得出，然后再将整体代入求值即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 故答案为：15． 9．（24-25六年级上·上海杨浦·期末）现有两个一次式，它们同时满足下述三个条件：①一次式中的字母均只含一个，为字母；②一次项的系数互为相反数；③这两个一次式的和为，这两个一次式可以是______．（写出满足条件的一组即可） 【答案】和（答案不唯一） 【分析】本题考查了一次式的定义，相反数，一次式的加减运算，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据一次式的定义，一次式的加减运算，即可得到答案． 【详解】解：设两个一次式分别是， ∴， ∴， ∴这两个一次式为和， 故答案为：和（答案不唯一） ． 10．已知两个一次式分别是和． (1)求与的和； (2)当m和n为正整数时，减去的差能否被6整除？请说明理由． 【答案】(1) (2)能，见解析 【分析】本题考查了整式的加减运算，熟练掌握整式的加减运算法则是解题的关键． （1）根据题意，把两多项式相加，即可得到结果； （2）两多项式相减，得到，可得到结果． 【详解】（1）解： ； （2）解：能被6整除，理由如下： ， 为正整数， 是正整数， 能被6整除， 即减去的差能被6整除． 素养提升 11．已知一次式的一次项的系数为，常数项为，则与的差为____________． 【答案】 【分析】本题考查一次式的项、项的系数及代数式求值，解题的关键在于熟练掌握相关概念．先化简一次式，得到与的值，再根据题意列式计算求解，即可解题． 【详解】解： ， 一次式的一次项的系数为，常数项为， ，， 则与的差为， 故答案为：． 12．（24-25六年级上·上海·阶段检测）当 ， 为何值时，关于 的代数式 为一次式？ 【答案】，且 【分析】根据题意，令二次项的系数为，且一次项的系数不为，得出，且，解答即可． 【详解】解：由题意得，，且， 解得，，且． 答：当，且时，关于 的代数式 为一次式． 13．已知，，，则________． 【答案】 【分析】此题考查了代数式求值．利用已知得出，，的值，代入即可求解． 【详解】解：由，相加得， ， 由，相加得， ， 由，，相加得， ， ∴， 故答案为：． 14．对于任意的有理数a，b，如果满足，那么我们称这一对数a，b为“相随数对”，记为．若是“相随数对”，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了整式加减中的化简求值，熟练掌握整式的加减运算法则是解题关键．先根据“相随数对”的定义可得，则可得，再去括号，计算整式的加减，代入计算即可得． 【详解】解：因为是“相随数对”， 所以， 所以，即， 所以 ． 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 简单的代数式 2.3 一次式 课标要点 1.认识一次式的概念 2.掌握一次式的系数、次数，项数、常数项等相关概念 3.能准确识别一次单项式与一次多项式，规范书写一次式。 4.能根据一次式的概念表示实际问题中的数量关系，解决生活中的实际问题 学习重难点 重点： 1.一次式的核心概念，单项式的系数与次数、多项式的项与次数、常数项的识别方法。 2. 一次单项式、一次多项式的辨析，列一次式表示实际数量关系的方法。 难点： 1.区分单项式次数与多项式次数的判定差异，厘清概念间的层级关系，建立 “结构识别→概念对应→特征应用” 的思维模型。 2. 含多个字母的一次式的概念辨析，以及含参数的一次式次数类问题的处理。 3. 复杂实际情境中数量关系的梳理与一次式的准确列式。 知识点 —次式的概念 如代数式 中，我们把 称作代数式 的项。如 只含有一个字母，且字母的指数是 1 的项叫作一次项，不含字母的项叫作常数项． 一次项中的数字因数叫作项的数字系数，简称系数。如5x的系数是5， 的系数是－3；由一次项与常数项组成，或仅含一次项的代数式叫作一次式． （1）一次项或常数项是包括它们前面的符号的； （2）如果一个一次项只有字母因数，它的一次项系数是 1 或 -1 ； （3）单独的一个字母是一次式，但单独的一个常数项不是一次式，如字母 是一次式， 4 不是一次式； （4）一次式的各项的分母中不含字母， 是常数， 也是常数。 判断一次式的方法 （1）代数式是一个单独的数字； （2）代数式某一项中含有两个及以上的字母； （3）代数式中某一项字母的指数是否大于 1 ，只要符合上面一项，则不是一次式。 随学随练 1．（25-26六年级上·上海普陀·阶段检测）下列代数式中是一次式的是（    ） A．3 B． C． D． 2．（24-25六年级上·上海·阶段检测）下列说法中，错误的是（   ） A．常数项都是同类项 B．是一次式 C．是一次式 D．的系数是 知识点 —次式的同类项 1．在一次式中，字母相同的项叫作一次式的同类项。所有常数项都是同类项。 （1）同类项与一次项的系数无关；（2）同类项至少为两项。 2．合并同类项 一般地，把同类项合并成一项，称为合并同类项。 合并一次式同类项的法则：把含字母的同类项的系数相加所得的结果作为系数，字母不变；常数项直接相加。 合并一次式同类项的步骤 1．找同类项：将含相同字母的同类项用记号标记； 2．同类项结合：利用加法交换律、结合律，将同类项放在一起； 3．合并同类项：根据法则进行合并； 4．写出合并后的结果． 随学随练 1．指出下列一次式的同类项 (1)； (2)． 2．合并同类项：_________． 知识点 去括号 1．去括号的意义 在有理数运算中，有括号时，通常是先算括号内的，然后算括号外的，而在代数式的运算中遇到有括号时，却往往无法先进行括号内的运算，或先算括号内的相对复杂，因而要先去掉括号，才能使运算得以顺利进行。如在代数式 中，括号内的 5 a 与 不是同类项，不能合并，而 8 a 和 5 a, 2 b 和 是同类项，但不去掉括号无法合并，所以必须先去掉括号才能合并同类项，从而使代数式化简。 2．去括号法则 （1）括号前面是＂＋＂号，去掉括号后，括号内各项都不改变； ②括号前面是＂—＂号，去掉括号后，括号内各项都变号。 注意：（1）去括号时，括号与前面的＂＋＂或＂—＂号一起去掉。 ②法则中的＂都＂字，该变号时，各项都变号；不该变号时，各项都不变号。尤其括号前面是＂—＂号，去括号时，要改变括号内每一项的符号。 （1）去括号时，要将括号连同它前面的符号一起去掉； （2）去括号只是改变式子的形式，不改变式子的值。 ： 添括号法则：添括号后，括号前面是＂＋＂号，括到括号内的各项都不变号；添括号后，括号前面是＂—＂号，括到括号内的各项都要改变符号。添括号与去括号是互逆的。 随学随练 1．（24-25七年级上·上海黄浦·阶段检测）去括号：________． 2．去括号的结果是______． 知识点 一次式的加减 1．法则 几个一次式相加减，通常用括号把每个一次式括起来，再用加减号连接，然后去括号，再合并同类项． 2．实质 一次式加减的实质就是去括号，合并同类项． 注意：（1）一次式加减的结果要最简，即不能有同类项； （2）含字母项的系数如果是带分数，要化成假分数． （3）计算结果一般不含括号． 求几个一次式的和或差时，要分别把每个一次式看作一个整体，用括号括起来用加减号连接，再去括号计算． 随学随练 1．（1）求一次式的和； （2）求减去的差． 2．（25-26六年级上·上海·期末）求一次式减去一次式的差，并求当，时该差的值． 知识点 数与一次式相乘 一般地，数与一次式相乘，就是用这个数去乘一次式的每一项，再把所得的积相加． 在含有字母的项与数相乘时，把这个数与项的系数相乘的积作为字母的系数，字母不变． 运算时要注意这个数与项的系数相乘的积的符号． 随学随练 1．（24-25六年级上·上海·阶段检测）计算：； 题型 一次式的判定 ▌例1（24-25六年级上·上海·期末）下列代数式是一次式的是（    ） A．4 B． C． D． ▌对点练1-1（25-26六年级上·上海黄浦·期末）下列代数式是一次式的是（   ） A． B． C． D． ▌对点练1-2（24-25六年级上·上海青浦·期末）下列代数式是一次式的是（   ） A．8 B． C． D． 题型 一次式中的一次项、常数项和一次项的系数 ▌例2指出下列一次式的一次项、常数项和一次项的系数： 、、、、 ▌对点练2-1（25-26六年级上·上海普陀·期末）一次式中的一次项是_____． ▌对点练2-2（24-25六年级上·上海杨浦·期末）一次式中的一次项的系数是______． ▌对点练2-3（24-25六年级上·上海黄浦·期末）在一次式中，常数项是______． ▌对点练2-4 一次式的第二项是_________，第三项的系数是_______． ▌对点练2-5（25-26六年级上·上海宝山·阶段检测）一次式的一次项系数与常数项的和是________． 题型 根据要求写一次式 ▌例3（25-26六年级上·上海松江·期末）一个一次式满足：①只含有一个字母；②常数项为正数；③当字母的值取1时，这个一次式的值等于．写出满足要求的一次式________．（写出一个即可） ▌对点练3-1（25-26六年级上·上海虹口·期末）已知一次式A、B、C满足，其中，，用含x的式子表示________ ． ▌对点练3-2将方程变形成用含y的一次式表示x，则_________． 题型 已知一次式求字母的值 ▌例4 已知是关于x的一次式，则a，b的值分别是（    ） A．0，3 B．0，1 C．1，2 D．1，1 ▌对点练4-1（24-25六年级上·上海·阶段检测）如果是关于的一次式，那么_______． ▌对点练4-2（25-26六年级上·上海普陀·期末）若是关于的一次式，则______． ▌对点练4-3（24-25六年级上·上海·阶段检测）若是关于x的一次式，则的值是______． 题型 一次式的同类项 ▌例5 指出一元一次式中的同类项． ▌对点练5-1（24-25六年级上·上海长宁·阶段检测）一次式中是一次同类项是______. ▌对点练5-2化简下列一次式： (1)； (2) 题型 一次式的加减 ▌例6 （24-25六年级上·上海杨浦·期末）如果一个一次式与的和是，那么这个一次式是______． ▌对点练6-1（25-26六年级上·上海·期末）如果一个一次式减去的差等于，则这个一次式是______． ▌对点练6-2一次式M与的和是，则M等于（    ） A． B． C． D． ▌对点练6-3（24-25六年级上·上海青浦·期末）一次式和的值互为相反数，则的值是______． 题型 一次式去括号 ▌例7 （24-25六年级上·上海·期末）化简：______． ▌对点练7-1（25-26六年级上·上海普陀·阶段检测）下列去括号正确的是（    ） A． B． C． D． ▌对点练7-2（24-25六年级上·上海·期末）去括号： （1）_____； （2）_____； （3）_____． ▌对点练7-3当时，求一次式的值． 题型 数与一次式相乘 ▌例8（24-25六年级上·上海·阶段检测）计算：___________ ▌对点练8-1（25-26六年级上·上海青浦·期中）化简一次式：． ▌对点练8-2计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型 遮挡与错解问题 ▌例9 王老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随 后用手掌捂住了一个一次式，如图所示．王老师捂住的一次式是 （     ）         A． B． C． D． ▌对点练9-1王老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个一次式，如图所示．王老师捂住的一次式是____． ▌对点练9-2（24-25六年级上·上海·阶段检测）小马虎在计算一次式与另一个一次式的差时，把差当成了和，求出的答案是，则正确的答案是__________． 基础通关 1．（25-26六年级上·上海闵行·阶段检测）下列说法中，正确的有（    ）个． ①是代数式；②是一次式，其系数是；③不是代数式；④不是一次式． A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25六年级上·上海·期末）下列说法中正确的是 （   ） A．在一次式中，常数项没有同类项 B．在一次式中，与是同类项 C．一次式与一次式的和一定是一次式 D．在一次式中，与 是同类项 3．指出一次式中的一次项、常数项及一次项的系数 4．（25-26六年级上·上海浦东新·阶段检测）一次式的一次项系数为________． 5．（24-25六年级上·上海徐汇·期末）计算：______． 6．（24-25六年级上·上海嘉定·阶段检测）老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个一次式，如图所示．老师捂住的一次式是______． 7．（25-26六年级上·上海普陀·期末）已知一个一次式与的和是，那么这个一次式是_____． 8．当时，一次式的值为_______． 9．（24-25六年级上·上海杨浦·期末）现有两个一次式，它们同时满足下述三个条件：①一次式中的字母均只含一个，为字母；②一次项的系数互为相反数；③这两个一次式的和为，这两个一次式可以是______．（写出满足条件的一组即可） 10．已知两个一次式分别是和． (1)求与的和； (2)当m和n为正整数时，减去的差能否被6整除？请说明理由． 素养提升 11．已知一次式的一次项的系数为，常数项为，则与的差为____________． 12．（24-25六年级上·上海·阶段检测）当 ， 为何值时，关于 的代数式 为一次式？ 13．已知，，，则________． 14．对于任意的有理数a，b，如果满足，那么我们称这一对数a，b为“相随数对”，记为．若是“相随数对”，求的值． 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $