第08讲 一元一次方程及其解法（知识点+题型+分层强化）讲义-2025-2026学年沪教版（五四制）六年级数学上册满分全攻略备考系列

第08讲 一元一次方程及其解法（知识点+题型+分层强化） 目录 知识梳理 1.方程与列方程 2.等式的性质 3.一元一次方程 4.一元一次方程的解法 题型巩固 一、判断各式是否是方程 二、列方程 三、判断是否是方程的解 四、已知方程的解，求参数 五、判断是否是一元一次方程 六、等式的性质 七、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 八、解一元一次方程（二）——去括号 九、解一元一次方程（三）——去分母 十、已知一元一次方程的解，求参数 十一、一元一次方程解的关系 十二、绝对值方程 分层强化 一、单选题（6） 二、填空题（11） 三、解答题（9） 知识梳理 知识点1.方程与列方程 1. 方程的概念：含有未知数的等式叫作方程 2. 方程的解：如果未知数所取的某个值能使方程左右两边的值相等，那么这个未知数的值叫作方程的解. 知识点2.等式的性质 等式性质1   等式两边加（或减）同一个数，等式仍成立.如果a=b,那么a+c=b+c,a−c=b−c. 等式性质2 等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍成立.如果a=b，那么ac=bc;如果a=c,那么(c≠0). 知识点3.一元一次方程 1. 概念 像2x＋1＝x＋5 ，x＋＝19这样等号两边都是整式，且只含有一个未知数，未知数的次数都是1 的方程，叫作一元一次方程. 2. 一元一次方程的特点 (1)只含有一个未知数；(2)未知数的次数都是1；(3)是由整式组成的，即方程中分母不含未知数. 3. 一元一次方程的标准形式 任何一个一元一次方程变形后总可以化为ax＋b＝0的形式. 其中x是未知数，a，b是已知数，且a ≠ 0. 我们把ax＋b＝0(a ≠ 0)叫作一元一次方程的标准形式. 知识点4.一元一次方程的解法 1.移项： 把等式一边的某项变号后移到另一边，叫作移项. 利用移项解一元一次方程的步骤: （1）移项：把含未知数的项移到等号一边，把常数项移到等号另一边； （2）合并同类项； （3）系数化为 1. 2.去括号 解一元一次方程的步骤： 去括号→移项→合并 同类项→系数化为1. 若括号外的因数是负数，去括号时，原括号内各项的符号要改变. 3.去分母 （1）解一元一次方程的一般步骤： 去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x＝a形式转化． （2）解一元一次方程时先观察方程的形式和特点，若有分母一般先去分母；若既有分母又有括号，且括号外的项在乘括号内各项后能消去分母，就先去括号． （3）在解类似于“ax+bx＝c”的方程时，将方程左边，按合并同类项的方法并为一项即（a+b）x＝c．使方程逐渐转化为ax＝b的最简形式体现化归思想．将ax＝b系数化为1时，要准确计算，一弄清求x时，方程两边除以的是a还是b，尤其a为分数时；二要准确判断符号，a、b同号x为正，a、b异号x为负． 题型巩固 题型一、判断各式是否是方程 1．下列各项是方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断各式是否是方程 【分析】根据方程的定义：含有未知数的等式叫方程可得答案． 【详解】解：A、含有未知数，但不是等式，所以不是方程，故不符合题意； B、不含有未知数，且不是等式，所以不是方程，故不符合题意； C、不是等式，所以不是方程，故不符合题意； D、符合方程的定义，故符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了方程的定义，熟知方程的定义是解题的关键． 2．（24-25六年级上·上海·阶段练习）下列方程中， 是一元一次方程．（写编号） ①；②；③；④． 【答案】②③ 【知识点】判断各式是否是方程 【分析】根据一元一次方程的定义：只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程，据此逐一进行判断即可得到答案． 【详解】解：根据一元一次方程的定义可知： ①，不是一元一次方程，不符合题意； ②，是一元一次方程，符合题意； ③，是一元一次方程，符合题意； ④，不是一元一次方程，不符合题意； 故答案为：②③． 题型二、列方程 3．（24-25六年级上·上海·期末）有一所寄宿制学校，开学安排宿舍，如果每间宿舍住人，将会空出间宿舍；如果每间宿舍住人，就有人没床位，设在学校住宿的学生有人，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】列方程 【分析】本题考查的知识点是列一元一次方程，解题关键是正确找出题目中的等量关系并列出方程． 学校的宿舍数不变，可根据两种安排宿舍的方法分别表示出宿舍数，如果每间宿舍安排人，将会空出间宿舍，则宿舍数可表示为；如果每间宿舍安排人，就会有人没床位，则宿舍数可表示为，从而列出方程． 【详解】解：设在学校住宿的学生有人， 依题得：． 故选：． 4．“的3倍与7的差等于12”可列方程为 ． 【答案】 【知识点】列方程 【分析】根据该数的3倍与7的差等于12，即可得出关于x的一元一次方程，此问得解 【详解】解：根据题意得，3x﹣7＝12 故答案为：3x﹣7＝12． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 题型三、判断是否是方程的解 5．下列方程中，解为的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断是否是方程的解 【分析】本题考查一元一次方程的解，掌握知识点是解题的关键． 将分别代入方程，逐项计算判断，即可解答． 【详解】解：A． 当时，， ∴不是的解，不符合题意； B． 当时，， ∴是的解，符合题意； C． 当时，， ∴不是的解，不符合题意； D． 当时，， ∴不是的解，不符合题意； 故选B． 6．（24-25六年级上·上海·阶段练习）是不是方程和的解？ 【答案】是方程和的解 【知识点】判断是否是方程的解 【分析】本题考查了一元一次方程的解，掌握能使方程左右两边相等的未知数的值是方程的解是解题的关键； 根据题意，把分别代入和，看是否使方程左右两边相等，然后即可求解； 【详解】解：把分别代入方程，左边，右边， ∴左边右边， ∴是方程的解； 把分别代入方程，左边，右边， ∴左边右边， ∴是方程的解； 综上所述：是方程和的解； 题型四、已知方程的解，求参数 7．若方程是关于的一元一次方程，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】已知方程的解，求参数 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，由题意可得且，解之即可求解，掌握一元一次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：∵方程是关于的一元一次方程， ∴且， 解得， 故选：． 8．（24-25六年级上·上海青浦·期末）如果是方程的解，那么的值是 ． 【答案】 【知识点】已知方程的解，求参数 【分析】本题考查了一元一次方程的解，把代入即可求解，掌握一元一次方程的解是解题的关键． 【详解】解：∵是方程的解， ∴， 解得：， 故答案为：． 题型五、判断是否是一元一次方程 9．（24-25六年级上·上海·阶段练习）下列各方程中，属于一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断是否是一元一次方程 【分析】此题主要考查了一元一次方程定义，关键是掌握一元一次方程属于整式方程，即方程两边都是整式．一元指方程仅含有一个未知数，一次指未知数的次数为1，且未知数的系数不为0． 利用一元一次方程的定义进行解答即可． 【详解】解：A、含有分式，不是一元一次方程，故此选项不合题意； B、含有两个未知数，不是一元一次方程，故此选项不合题意； C、是一元一次方程，故此选项符合题意； D、未知数最高次数是2，不是一元一次方程，故此选项不合题意； 故选：C． 10．（24-25六年级上·上海·阶段练习）一元一次方程的一次项是 ． 【答案】 【知识点】判断是否是一元一次方程 【分析】本题考查了一元一次方程的定义．熟练掌握一元一次方程的定义是解题的关键．根据一元一次方程中，一次项为作答即可． 【详解】解：一元一次方程的一次项是． 故答案为：． 11．（24-25六年级上·上海·期末）已知是关于的一元一次方程， (1)求出的值； (2)求出方程的解． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，一元一次方程的定义，即只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程，叫做一元一次方程． （1）根据一元一次方程的定义得，且，再求出a值即可； （2）根据解一元一次方程的步骤，即可求解． 【详解】（1）解：∵是关于x的一元一次方程， ∴，且， ∴； （2）解：由（1）得， ∴方程为， 整理得， 解得． 题型六、等式的性质 12．（24-25六年级上·上海闵行·期末）小胖、小丽、小明、小帅在解方程“”时都得到“”，小胖依据的是“被减数等于差加上减数”，小丽依据的是“等号两边同时加上同一个数”，小明依据的是“等号两边同时乘以或除以同一个数”，小帅依据的是“移项法则”，算理错误的同学是（   ） A．小胖； B．小丽； C．小明； D．小帅． 【答案】C 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、等式的性质1、等式的性质2 【分析】本题考查了解一元一次方程、等式的性质，熟练掌握解一元一次方程的方法和等式的性质是解题的关键． 根据等式的性质和解一元一次方程的方法解答即可． 【详解】解：根据题意可知，等号两边同时乘以一个数或除以同一个不为0的数，无法得到条件中方程的变形结果，所以算理错误的同学是小明． 故选：C ． 13．设x，y，c是实数，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【知识点】等式的性质1、等式的性质2 【分析】本题考查了等式的性质，根据等式的性质逐项判断即可求解． 【详解】解：A. 若，则，故该选项错误，不合题意； B. 若，则，故该选项正确，符合题意； C. 若，则，故该选项错误，不合题意； D. 若，则，即，故该选项错误，不合题意． 故选：B 14．（、、、均为正数），这四个数中最大的是( )，最小的是( )． 【答案】 【知识点】有理数大小比较、等式的性质2 【分析】本题考查了分数的大小比较和等式的性质，正确对所给式子变形是解题的关键．用赋值法解答，令，分别求出、、、的值，再进行比较大小是即可． 【详解】解：令， 则，，，， ，即， 因此这四个数中最大的是，最小的是． 故答案为：． 15．解方程． (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】等式的性质1、等式的性质2 【分析】本题考查了根据等式的性质解方程，解题关键是掌握等式的性质． （1）先合并同类项，然后把系数化为1即可； （2）先根据等式的性质，两边同时除以8，然后两边同时乘5即可； （3）根据等式的性质，两边同时乘即可． 【详解】（1）解： ， 合并同类项，得， 系数化为1，得； （2）， 系数化为1，得； （3）， 两边同时乘，得， ． 题型七、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 16．（24-25六年级上·上海·期末）下列方程中与解相同的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题主要考查了解一元一次方程．先求出的解为，然后再分别求出每个选项中方程的解，即可求解． 【详解】解：， 移项合并同类项得：， 解得：， A、，解得：，与的解不相同，故本选项不符合题意； B、，不存在，与的解不相同，故本选项不符合题意； C、，解得：，与的解不相同，故本选项不符合题意； D、，解得：，与的解相同，故本选项符合题意； 故选：D． 17．（24-25六年级上·上海闵行·期末）方程的解为 ． 【答案】 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，按照移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可得到答案． 【详解】解： 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 故答案为：． 18．（24-25六年级上·上海·期末）解方程． (1) (2) (3) 【答案】(1)； (2)； (3)． 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解法，包括含有分数系数、百分数系数的方程求解．熟练掌握等式的基本性质，即等式两边同时加上或减去同一个整式，等式仍然成立；等式两边同时乘（或除以）相等的非零的数或式子，等式依然成立，是解题的关键． （1）方程左边有分数系数和常数项，需要通过等式性质，先消去常数项，再将系数化为1来求解． （2） 此方程含有百分数系数，可先将百分数化为小数，然后利用等式性质，通过移项、合并同类项，再将系数化为1来求解． （3） 该方程是含有分数系数的一元一次方程，需要先合并同类项，再将系数化为1来求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 题型八、解一元一次方程（二）——去括号 19．（2024六年级上·上海·专题练习）已知关于的方程的解满足，则的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】解一元一次方程（二）——去括号 【分析】本题考查了一元一次方程的解以及解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握方程的解，即为能使方程左右两边相等的未知数的值．先求出方程的解；再把求出的解代入方程，求关于的一元一次方程即可． 【详解】解：， 解得：， 将代入方程得：， 解得：， 故选：B． 20．（24-25六年级上·上海·阶段练习）方程去括号得 ． 【答案】 【知识点】解一元一次方程（二）——去括号 【分析】本题考查解一元一次方程的去括号，根据去括号法则即可解答． 【详解】解：方程， 去括号得， 故答案为：． 21．（24-25六年级上·上海闵行·阶段练习）解方程： 【答案】． 【知识点】解一元一次方程（二）——去括号 【分析】本题考查了解一元一次方程，方程去括号，移项合并，把系数化为1，即可求出，解题的关键是掌握解一元一次方程的基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1． 【详解】解：， ∴， ∴， 解得：． 题型九、解一元一次方程（三）——去分母 22．（24-25六年级上·上海普陀·期末）在解方程时，对该方程变形正确的是．（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查解一元一次方程，分数的基本性质．把方程左边的分子分母分别扩大10倍，的分子分母分别扩大100倍，方程右边的值不变，即可得到答案． 【详解】解：根据分数的基本性质，得：， 故选：B． 23．（24-25六年级上·上海·阶段练习）方程的解为 ． 【答案】 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查解一元一次方程，解一元一次方程的一般步骤是：去分母、去括号、移项、合并同类项、化系数为1，注意移项要变号． 【详解】解： 去分母，得 去括号，得 移项合并同类，得 移项，得 化系数为1，得． 24．（24-25六年级上·上海·阶段练习）解关于的方程 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)或或或 【知识点】绝对值方程、解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题主要考查解一元一次方程，掌握解一元一次方程的步骤是解答本题的关键．解一元一次方程的一般步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，把系数化为1． （1）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1即可； （2）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1即可； （3）先将方程整理，再去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1即可； （4）根据绝对值的性质化简即可求解． 【详解】（1）解： ， ， ， ， ； （2）解： ， ， ， ， ； （3）解： 方程整理得：， ， ， ， ， ， 即方程的解为； （4）解： ∴， 当时，，即， ∴或； 当时，，即， ∴或； 即方程的解为或或或． 题型十、已知一元一次方程的解，求参数 25．（24-25六年级上·上海·阶段练习）已知关于的方程有无数多个解，那么 ， ． 【答案】 【分析】本题主要考查了含有一个未知数的方程有无数个解的条件，正确理解条件是解题的关键． 首先把方程进行化简，方程有无数个解即方程的一次项系数等于0，据此即可求得，的值． 【详解】解：化简得：， 即：， 根据题意得：，且 解得：， 故答案为：，． 26．（24-25六年级上·上海·期末）已知关于x的方程． (1)若，求该方程的解； (2)某同学在解该方程时，误将“”看成了“”，得到方程的解为，求m的值； (3)若该方程有正整数解，求整数m的最小值． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查同解方程、一元一次方程的解法、求代数式的值，解题时要能读懂题意并列出方程是解题的关键． （1）依据题意得，当时，方程为，求解即可； （2）依据题意，由误将“”看成了“”，得到方程的解为，可得，再解关于的方程即可； （3）依据题意，由，可得，再结合取正整数，从而为的正因数，又取最小值，进而得解； 【详解】（1）解：当时，方程为， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵误将“”看成了“”，得到方程的解为， ∴是方程的解， ∴， 解得：， ∴的值为； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵取正整数， ∴为的正整数倍数． 又∵取最小值， ∴， ∴， ∴的值为． 题型十一、一元一次方程解的关系 27．已知关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】一元一次方程解的关系 【分析】本题考查根据已知一元一次方程，求另一个一元一次方程的解，掌握一元一次方程的解的定义是解此题的关键． 已知关于的方程的解为，观察关于的方程的结构，可发现其与原方程形式相同，只需将原方程中的替换为．因此，原方程的解对应新方程中，直接求解即可． 【详解】解：因为原方程的解为． 所以方程满足， 解得， 故选：A． 28．（24-25六年级上·上海·阶段练习）若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为 ． 【答案】 【知识点】一元一次方程解的关系 【分析】本题考查了一元一次方程的解法，将方程变形得，设，可得方程的解即为方程的解，即得，据此即可求解，掌握换元法是解题的关键． 【详解】解：方程变形得，， 设， 则方程的解即为方程的解， ∵方程的解为， ∴， ∴， ∴一元一次方程的解为， 故答案为：． 29．已知：关于x的方程与有相同的解，求以y为未知数的方程的解． 【答案】 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母、一元一次方程解的关系 【分析】本题考查了一元一次方程的同解问题，掌握一元一次方程的解以及解法是解题关键． 先解方程，得到，再根据方程同解，将代入方程，解得，再代入方程，求出的值即可． 【详解】解：， 移项合并得：， 解得：， 关于x的方程与有相同的解， 将代入方程，可得， 解得：， 将代入，可得， 去分母得：， 去括号得：， 移项合并得：， 系数化1得：． 题型十二、绝对值方程 30．（24-25六年级上·上海黄浦·期末）若关于x的方程是一元一次方程，则 ． 【答案】 【知识点】绝对值方程、判断是否是一元一次方程 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义，绝对值方程等知识点，熟练掌握一元一次方程的定义是解题的关键：只含有一个未知数、并且含未知数的项的次数是1次的整式方程叫做一元一次方程． 根据一元一次方程的定义可得关于的绝对值方程，解方程即可求出的值． 【详解】解：关于x的方程是一元一次方程， ，， 解得：， 故答案为：． 31．（24-25六年级上·上海青浦·期中）解方程： 【答案】或 【知识点】绝对值方程、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题考查了解一元一次方程，化简绝对值，分情况讨论，分别解一元一次方程，即可求解． 【详解】解： ∴ ∴或 解得：或 分层强化 一、单选题 1．方程的解是（    ） A． B．1 C．2 D．－2 【答案】C 【分析】解一元一次方程得到解即可． 【详解】解：， ， ， 故选C． 【点睛】熟练得解一元一次方程是解题的关键． 2．已知关于x的方程是一元一次方程，则m的值是（   ） A．3 B．2 C．1 D．1或3 【答案】A 【分析】本题考查一元一次方程的定义，熟记定义并应用解决问题是解题的关键． 只含有一个未知数，且未知数的次数是1的整式方程是一元一次方程，根据定义解答． 【详解】解：∵方程是一元一次方程， ∴且， ∴， 故选：A． 3．下列等式是四位同学解方程过程中去分母的一步，其中正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解一元一次方程，把等式两边分别乘以即可求解． 【详解】解：， 去分母得，， 故选：C． 4．若关于的方程的解是，则的值为（    ） A．-3 B．-5 C．-13 D．5 【答案】A 【分析】把代入方程即可得到一个关于m的方程，解方程即可求解． 【详解】解∶把代入方程得∶ ， 解得m=-3． 故选∶ A． 【点睛】本题考查了方程的解的定义，方程的解就是能使方程左右两边相等的未知数的值，理解定义是解题的关键． 5．已知关于的方程的解是整数，则符合条件的所有整数的和是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先解关于x一元一次方程，求出方程的解，再根据解是整数，得是整数，求出a的整数值即可求解． 【详解】解：去分母，得：， 去括号，得：， 移项、合并同类项，得：， 系数化为，得： 关于的方程的解是整数， 是整数，则可为，，，， 可为、、、， 则符合条件的所有整数的和是：， 故选：A． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解的问题，解题关键在于先求出含有的解和根据解是整数求出的整数值． 6．将四个数，，，排成两行、两列，两边各加一条竖直线记成 若定义 则 中的值为（   ） A．10 B．8 C．6 D．5 【答案】D 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，根据题意得出关于x的方程，再求出解即可． 【详解】解：根据题意，得， 解得． 故选 D． 二、填空题 7．关于的方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤是解题的关键：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为． 先移项，再合并同类项，即可得解． 【详解】解：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 故答案为：． 8．方程，去括号得 ． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次方程的去括号，根据去括号法则即可解答． 【详解】解：方程， 去括号得， 故答案为：． 9．已知方程是关于的一元一次方程，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查了一元一次方程的定义．熟练掌握一元一次方程的定义是解题的关键． 由方程是关于的一元一次方程，可得，计算求解即可． 【详解】解：∵方程是关于的一元一次方程， ∴， 解得，， 故答案为：3． 10．方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解法等知识，先去括号，再移项，合并同类项，最后系数化1即可求解． 【详解】解：， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化1得． 故答案为：． 11．当k为 时，代数式比的值大1． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次方程．根据题意，列出方程，进行求解即可． 【详解】解：根据题意得： 故答案为： ． 12．若关于的方程和的解相同，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了解与一元一次方程，先求出x的值，再把x的值代入求出k的值即可． 【详解】解：， ， ， ， 把代入得：， ， 解得：． 故答案为：． 13．学习卷中有一个方程“”中的“■”没印清晰，老师只是说：“■”是一个有理数．若该方程的解是，则“■”处的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程，将代入原方程求解即可．解题的关键是掌握解一元一次方程的基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1． 【详解】解：依题意，该方程的解是， ∴ ∴ ∴ ∴ 故答案为：． 14．对于两个不相等的有理数a，b，我们规定符号表示a，b两数中较大的数，例如．按照这个规定，方程的解为 ． 【答案】 【分析】根据题意可排除x为非负数的情形，则考虑x正数的情形，然后解一元一次方程即可． 【详解】当x为正数时，则， 即x不可能为正数，故x为负数， 所以， 解得； 故答案为：． 【点睛】本题考查了解一元一次方程，关键是弄懂符号的含义，另外要考虑x的取值情况． 15．某计算程序如图所示．当输入的值为 时，输出． 【答案】或 【分析】本题考查了程序流程图与代数式求值以及解一元一次方程，看懂程序流程图分情况讨论是解答本题的关键． 分两种情况讨论：当时；当时，解答即可． 【详解】解：当时，，即，解得：； 当时，，即，解得：， 综上所述，或， 故答案为：或． 16．利用方程可以将无限循环小数化成分数，例如：将化成分数，可以先设，由可知，，所以，解方程得，于是得．仿此方法，用分数表示为 ． 【答案】 【分析】设，由，可得，进而可列方程，计算求解即可． 【详解】解：设 ∵ ∴ ∴ 合并同类项得： 系数化为1得： 故答案为：． 【点睛】本题考查了解一元一次方程．解题的关键在于根据题意列正确的方程． 17．在解关于的方程时，小明在去分母的过程中，右边的“”漏乘了公分母，因而求得方程的解为，则方程正确的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，按小明的方法去分母得，把代入求出，则原方程为，然后根据解方程的步骤求解即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】按小明的方法去分母得：， 将代入得：， 解得：， ∴原方程为， 去分母得：， 去括号得：， 移项、合并同类项得：， 原方程正确的解是：， 故答案为：． 三、解答题 18．判断和是不是方程的解． 【答案】见解析 【分析】此题考查了一元一次方程的解的概念，解题的关键是熟练掌握一元一次方程的解的概念． 将、分别代入方程，判断等号两边值是否相等即可解答． 【详解】解：将代入方程的左边，得左边， 则左边右边， ∴不是方程的解； 将代入方程的左边，得左边， 则左边右边， ∴是方程的解； 19．若，利用等式的性质，比较a与b的大小． 【答案】 【分析】利用等式的性质将一个字母用另一个字母表示出来，再判断即可． 【详解】解：等式两边同减去，得： ， 等式两边同减去，得： ， 等式两边再同时加上1，得：， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了等式的基本性质．等式性质1：等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立；等式性质2：等式的两边同时乘以或除以同一个不为0数或字母，等式仍成立，熟练运用等式的性质进行变形是解决本题的关键． 20．解方程： (1)5（x﹣1）﹣3＝2﹣2x； (2)． 【答案】(1)x= (2)x= 【分析】（1）从去括号着手，解一元一次方程即可． （2）从去分母着手，解一元一次方程即可． 【详解】（1）∵5（x﹣1）﹣3＝2﹣2x， 去括号，得 5x-5-3=2-2x， 移项，得 5x+2x=2+5+3， 合并同类项，得 7x=10， 系数化为1，得 x=． （2）∵， 去分母，得 3(x+4)+15=15x-5(x-5)， 去括号，得 3x+12+15=15x-5x+25， 移项，得 5x+3x-15x=25-15-12， 合并同类项，得 -7x=-2， 系数化为1，得 x=． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解法，熟练掌握解一元一次方程的五个基本步骤是解题的关键． 21．解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据解一元一次方程的步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化1，求解即可； （2）根据解一元一次方程的步骤：去分母，去括号、移项、合并同类项、系数化1，求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∴． ∴． ∴． （2）解：∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． 【点睛】本题考查了解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的方法和步骤． 22．用方程表示下列语句所表示的相等关系： (1)七年级学生人数为n，其中男生占，女生有人； (2)一种商品每件的进价为a元，售价为进价的倍，现每件又降价元，现售价为每件元． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，男生人数为，也可以表示为，因此列出方程即可； （2）根据题意，售价为，现售价为，因为现售价为每件元，即可列出方程． 【详解】（1）解：根据题意， （2）解：根据题意， ， 【点睛】本题考查了列一元一次方程等知识内容，正确理解并列出等价的方程是解题的关键． 23．一件衬衫先按成本加价元标价，再以折出售，仍可获利元，这件衬衫的成本是多少元？设这件衬衫的成本为元 (1)填写表格（用含的代数式表示）： 成本/元 标价/元 售价/元 (2)根据相等关系列出方程． 【答案】(1)标价：  售价： (2) 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，代数式，理解成本价、标价、销售价，以及利润、成本、售价之间的关系是解本题的关键． （1）设这件衬衫的成本是元，根据题意：标价成本价，售价标价，由此即可解决问题． （2）设这件衬衫的成本是元，根据：利润销售价成本，即可列出方程． 【详解】（1）解：根据题意可得： 标价为：， 售价为：； （2）根据题意可得：． 24．（1）已知|x﹣3|+（y+1）2＝0，代数式的值比y﹣x+t多1，求t的值． （2）m为何值时，关于x的一元一次方程4x﹣2m＝3x﹣1的解是x＝2x﹣3m的解的2倍． 【答案】（1）t=1；（2）m=-． 【分析】（1）先根据|x-3|+（y+1）2=0，求出x，y的值，再根据代数式的值比y-x+t多1列出方程，把x，y的值代入解出x的值； （2）分别表示出两方程的解，根据解的关系确定出m的值即可． 【详解】解：（1）∵|x-3|+（y+1）2=0，而|x-3|≥0，（y+1）2≥0， ∴x-3=0，y+1=0， ∴x=3，y=-1， ∵代数式的值比y-x+t多1， ∴-( y-x+t) =1， 即+1+3-t=1， 解得：t=1； （2）方程4x-2m=3x-1， 解得：x=2m-1， 方程x=2x-3m， 解得：x=3m， 由题意得：2m-1=6m， 解得：m=-． 【点睛】本题考查了解一元一次方程，以及非负数的性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 25．下面是小青同学错题本上的一道题，请仔细阅读并完成相应的问题． 解方程：． 解：．………………第一步 ．………………第二步 ．………………第三步 ．………………第四步 ．………………第五 (1)填空：①以上解题过程中，第一步是依据________进行变形的，第二步去括号时用到的运算律是________； ②第________步开始出错，这一步错误的原因是________； ③请直接写出该方程的正确解为________． (2)除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就解一元一次方程还需要注意的事项给同学们提一条建议． 【答案】(1)①等式的基本性质，乘法对加法的分配律；②三，移项时没有变号；③ (2)去分母时要防止漏乘 【分析】本题考查了一元一次方程的求解，掌握相关求解步骤以及易错点是解题关键． 【详解】（1）解：①第一步是依据等式的基本性质进行变形的，第二步去括号时用到的运算律是乘法对加法的分配律； ②第三步开始出错，这一步错误的原因是移项时没有变号； ③移项： ； 合并同类项：； 化系数为： 故答案为：①等式的基本性质，乘法对加法的分配律；②三，移项时没有变号；③ （2）解：去分母：； 去括号：； 移项： ； 合并同类项：； 化系数为： 去分母时要防止漏乘（答案不唯一） 26．运算能力规定一种新的运算：．例如：．按照这个规定，解决下面的问题： (1)计算的结果为________． (2)当时，的值为________． (3)若，，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）直接利用已知运算法则列式计算即可；（2）直接利用已知运算法则列式计算即可；（3）直接利用已知运算法则列方程解答即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：． （2）解：，， ∵， ∴， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：． 故答案为：． （3）解：由题意可将变形为， 解得， 则可化为， 即， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得． 【点睛】此题主要考查了一元一次方程的解法以及有理数的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第08讲 一元一次方程及其解法（知识点+题型+分层强化） 目录 知识梳理 1.方程与列方程 2.等式的性质 3.一元一次方程 4.一元一次方程的解法 题型巩固 一、判断各式是否是方程 二、列方程 三、判断是否是方程的解 四、已知方程的解，求参数 五、判断是否是一元一次方程 六、等式的性质 七、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 八、解一元一次方程（二）——去括号 九、解一元一次方程（三）——去分母 十、已知一元一次方程的解，求参数 十一、一元一次方程解的关系 十二、绝对值方程 分层强化 一、单选题（6） 二、填空题（11） 三、解答题（9） 知识梳理 知识点1.方程与列方程 1. 方程的概念：含有未知数的等式叫作方程 2. 方程的解：如果未知数所取的某个值能使方程左右两边的值相等，那么这个未知数的值叫作方程的解. 知识点2.等式的性质 等式性质1   等式两边加（或减）同一个数，等式仍成立.如果a=b,那么a+c=b+c,a−c=b−c. 等式性质2 等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍成立.如果a=b，那么ac=bc;如果a=c,那么(c≠0). 知识点3.一元一次方程 1. 概念 像2x＋1＝x＋5 ，x＋＝19这样等号两边都是整式，且只含有一个未知数，未知数的次数都是1 的方程，叫作一元一次方程. 2. 一元一次方程的特点 (1)只含有一个未知数；(2)未知数的次数都是1；(3)是由整式组成的，即方程中分母不含未知数. 3. 一元一次方程的标准形式 任何一个一元一次方程变形后总可以化为ax＋b＝0的形式. 其中x是未知数，a，b是已知数，且a ≠ 0. 我们把ax＋b＝0(a ≠ 0)叫作一元一次方程的标准形式. 知识点4.一元一次方程的解法 1.移项： 把等式一边的某项变号后移到另一边，叫作移项. 利用移项解一元一次方程的步骤: （1）移项：把含未知数的项移到等号一边，把常数项移到等号另一边； （2）合并同类项； （3）系数化为 1. 2.去括号 解一元一次方程的步骤： 去括号→移项→合并 同类项→系数化为1. 若括号外的因数是负数，去括号时，原括号内各项的符号要改变. 3.去分母 （1）解一元一次方程的一般步骤： 去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x＝a形式转化． （2）解一元一次方程时先观察方程的形式和特点，若有分母一般先去分母；若既有分母又有括号，且括号外的项在乘括号内各项后能消去分母，就先去括号． （3）在解类似于“ax+bx＝c”的方程时，将方程左边，按合并同类项的方法并为一项即（a+b）x＝c．使方程逐渐转化为ax＝b的最简形式体现化归思想．将ax＝b系数化为1时，要准确计算，一弄清求x时，方程两边除以的是a还是b，尤其a为分数时；二要准确判断符号，a、b同号x为正，a、b异号x为负． 题型巩固 题型一、判断各式是否是方程 1．下列各项是方程的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25六年级上·上海·阶段练习）下列方程中， 是一元一次方程．（写编号） ①；②；③；④． 题型二、列方程 3．（24-25六年级上·上海·期末）有一所寄宿制学校，开学安排宿舍，如果每间宿舍住人，将会空出间宿舍；如果每间宿舍住人，就有人没床位，设在学校住宿的学生有人，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 4．“的3倍与7的差等于12”可列方程为 ． 题型三、判断是否是方程的解 5．下列方程中，解为的方程是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25六年级上·上海·阶段练习）是不是方程和的解？ 题型四、已知方程的解，求参数 7．若方程是关于的一元一次方程，则的值为（   ） A． B． C． D． 8．（24-25六年级上·上海青浦·期末）如果是方程的解，那么的值是 ． 题型五、判断是否是一元一次方程 9．（24-25六年级上·上海·阶段练习）下列各方程中，属于一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 10．（24-25六年级上·上海·阶段练习）一元一次方程的一次项是 ． 11．（24-25六年级上·上海·期末）已知是关于的一元一次方程， (1)求出的值； (2)求出方程的解． 题型六、等式的性质 12．（24-25六年级上·上海闵行·期末）小胖、小丽、小明、小帅在解方程“”时都得到“”，小胖依据的是“被减数等于差加上减数”，小丽依据的是“等号两边同时加上同一个数”，小明依据的是“等号两边同时乘以或除以同一个数”，小帅依据的是“移项法则”，算理错误的同学是（   ） A．小胖； B．小丽； C．小明； D．小帅． 13．设x，y，c是实数，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 14．（、、、均为正数），这四个数中最大的是( )，最小的是( )． 15．解方程． (1) (2) (3) 题型七、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 16．（24-25六年级上·上海·期末）下列方程中与解相同的是（    ） A． B． C． D． 17．（24-25六年级上·上海闵行·期末）方程的解为 ． 18．（24-25六年级上·上海·期末）解方程． (1) (2) (3) 题型八、解一元一次方程（二）——去括号 19．（2024六年级上·上海·专题练习）已知关于的方程的解满足，则的值是（　　） A． B． C． D． 20．（24-25六年级上·上海·阶段练习）方程去括号得 ． 21．（24-25六年级上·上海闵行·阶段练习）解方程： 题型九、解一元一次方程（三）——去分母 22．（24-25六年级上·上海普陀·期末）在解方程时，对该方程变形正确的是．（   ） A． B． C． D． 23．（24-25六年级上·上海·阶段练习）方程的解为 ． 24．（24-25六年级上·上海·阶段练习）解关于的方程 (1)； (2)； (3)； (4)． 题型十、已知一元一次方程的解，求参数 25．（24-25六年级上·上海·阶段练习）已知关于的方程有无数多个解，那么 ， ． 26．（24-25六年级上·上海·期末）已知关于x的方程． (1)若，求该方程的解； (2)某同学在解该方程时，误将“”看成了“”，得到方程的解为，求m的值； (3)若该方程有正整数解，求整数m的最小值． 题型十一、一元一次方程解的关系 27．已知关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为（   ） A． B． C． D． 28．（24-25六年级上·上海·阶段练习）若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为 ． 29．已知：关于x的方程与有相同的解，求以y为未知数的方程的解． 题型十二、绝对值方程 30．（24-25六年级上·上海黄浦·期末）若关于x的方程是一元一次方程，则 ． 31．（24-25六年级上·上海青浦·期中）解方程： 分层强化 一、单选题 1．方程的解是（    ） A． B．1 C．2 D．－2 2．已知关于x的方程是一元一次方程，则m的值是（   ） A．3 B．2 C．1 D．1或3 3．下列等式是四位同学解方程过程中去分母的一步，其中正确的是（     ） A． B． C． D． 4．若关于的方程的解是，则的值为（    ） A．-3 B．-5 C．-13 D．5 5．已知关于的方程的解是整数，则符合条件的所有整数的和是（ ） A． B． C． D． 6．将四个数，，，排成两行、两列，两边各加一条竖直线记成 若定义 则 中的值为（   ） A．10 B．8 C．6 D．5 二、填空题 7．关于的方程的解为 ． 8．方程，去括号得 ． 9．已知方程是关于的一元一次方程，则 ． 10．方程的解为 ． 11．当k为 时，代数式比的值大1． 12．若关于的方程和的解相同，则的值为 ． 13．学习卷中有一个方程“”中的“■”没印清晰，老师只是说：“■”是一个有理数．若该方程的解是，则“■”处的数是 ． 14．对于两个不相等的有理数a，b，我们规定符号表示a，b两数中较大的数，例如．按照这个规定，方程的解为 ． 15．某计算程序如图所示．当输入的值为 时，输出． 16．利用方程可以将无限循环小数化成分数，例如：将化成分数，可以先设，由可知，，所以，解方程得，于是得．仿此方法，用分数表示为 ． 17．在解关于的方程时，小明在去分母的过程中，右边的“”漏乘了公分母，因而求得方程的解为，则方程正确的解是 ． 三、解答题 18．判断和是不是方程的解． 19．若，利用等式的性质，比较a与b的大小． 20．解方程： (1)5（x﹣1）﹣3＝2﹣2x； (2)． 21．解方程： (1) (2) 22．用方程表示下列语句所表示的相等关系： (1)七年级学生人数为n，其中男生占，女生有人； (2)一种商品每件的进价为a元，售价为进价的倍，现每件又降价元，现售价为每件元． 23．一件衬衫先按成本加价元标价，再以折出售，仍可获利元，这件衬衫的成本是多少元？设这件衬衫的成本为元 (1)填写表格（用含的代数式表示）： 成本/元 标价/元 售价/元 (2)根据相等关系列出方程． 24．（1）已知|x﹣3|+（y+1）2＝0，代数式的值比y﹣x+t多1，求t的值． （2）m为何值时，关于x的一元一次方程4x﹣2m＝3x﹣1的解是x＝2x﹣3m的解的2倍． 25．下面是小青同学错题本上的一道题，请仔细阅读并完成相应的问题． 解方程：． 解：．………………第一步 ．………………第二步 ．………………第三步 ．………………第四步 ．………………第五 (1)填空：①以上解题过程中，第一步是依据________进行变形的，第二步去括号时用到的运算律是________； ②第________步开始出错，这一步错误的原因是________； ③请直接写出该方程的正确解为________． (2)除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就解一元一次方程还需要注意的事项给同学们提一条建议． 26．运算能力规定一种新的运算：．例如：．按照这个规定，解决下面的问题： (1)计算的结果为________． (2)当时，的值为________． (3)若，，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $