2.2 代数式（讲义，知识点&7大题型&刷好题）数学新教材沪教版五四制六年级上册

本讲义聚焦代数式的概念、识别、规范书写、列代数式及求值等核心知识点，构建“实际问题→数量抽象→代数式表示”的思维支架，衔接从抽象概念到实际应用的知识脉络。 资料通过行程、面积等生活情境培养数学眼光，分层题型（基础到迁移）提升运算能力与推理意识，课中随练助教师互动教学，课后分层练习帮学生查漏补缺，强化模型意识与应用能力。

第二章 简单的代数式 2.2 代数式 课标要点 1.理解代数式的概念 2.掌握代数式的识别方法与规范书写要求 3.能准确将实际问题中的数量关系转化为代数式 4.掌握求代数式的值的基本步骤，能代入具体数值规范计算。 学习重难点 重点： 1.代数式的核心概念与识别方法，列代数式的基本规则与规范书写。 2. 求代数式的值的运算步骤与规范计算。 难点： 1.理解代数式的抽象意义，建立 “实际问题→数量抽象→代数式表示” 的思维模型，区分不同情境下的数量关系表述。 2. 含多层运算、多数量关系的复杂情境下列代数式的分析与书写。 3. 含整体代入、规律探究类的代数式求值与应用的分析思路。 知识点 代数式的概念 1．用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子叫作代数式． 单独的一个数或字母也是代数式，如 等． 这里的运算符号指的是 ＂和乘方以及今后学到的开方。 判断代数式的方法 代数式中只含有运算符号，不含有＂=＂＂＞＂＂＜＂等符号，如 等均不是代数式。 2．列代数式 （1）概念：把问题中与数量有关的词语，用含有数、字母和运算符号的式子表示出来叫作列代数式。 （2）列代数式的步骤： ①分析条件，找出数量关系； 数学术语：抓住关键性词语，如＂大＂＂小＂＂多 ⋯＂少＂＂和＂＂差＂＂积＂＂商＂倍＂等用数学符号表示． 实际问题中常用的关系式 购买、分配类问题：费用 = 单位费用 × 数量；总量 = 单位量 × 数量；总费用 = 甲的单位费用 × 甲的数量 + 乙的单位费用 × 乙的数量；总数量 =甲的数量 + 乙的数量． 打折销售问题：售价＝标价（原价）× 折扣（如打八折，折扣就是 ）；利润 = 售价一进价（成本价）；利润率 = 利润 × 100％． 工程问题：总工作量 = 工作效率 × 工作时间，总工作量未定时，可设总工作量为单位 1. 行程问题：路程 = 速度 × 时间． 航行问题：顺流速度＝静水速度＋水流速度；逆流速度＝静水速度－水流速度． 增长率问题：增长率 = 工作效率 。 利息问题：利息 = 本金 × 利率 × 时间． ②用含有数、字母和运算符号的式子表示数量关系． （1）在同一问题中，不同的数量，必须用不同的字母来表示． （2）对于一些数量关系的运算顺序，一般是先说的运算在前，后说的运算在后． （3）一般地，列代数式时，若先说低级运算，再说高级运算，则必须使用括号。如＂$a, b$ 两数差的平方＂写作 。若先说高级运算，再说低级运算，则不必使用括号，如＂ 的平方与 的平方的和＂写作 ． （4）用语言表达问题的数量关系时，句子中常出现＂的＂与＂与＂两字．＂的＂字一般表示从属关系，＂与＂字一般表示并列关系，它们一般是连接运算的连词，正确把握＂的＂＂与＂两字是正确写出代数式的一个关键。 3．理解代数式的意义 一方面，实际问题中的数量关系可以用代数式表示；另一方面，同一个代数式可以揭示多种不同的实际意义。 在说代数式表示的实际意义时，数与字母的含义必须与实际相符。 随学随练 1．下列式子：①、②③、④、⑤0、⑥，其中代数式的个数是（     ）． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】根据代数式的定义，先排除含等号、不等号的，再判断剩余式子是否符合要求，统计个数． 【详解】解：①是代数式； ②不是代数式； ③不是代数式； ④是代数式； ⑤是单独的数，是代数式； ⑥是代数式； 综上，符合条件的代数式共4个． 2．a的2倍与b的一半的差的平方，列代数式表示是_______ 【答案】 【分析】本题考查了列代数式，读懂题意，根据题中描述的数量关系正确列出代数式是解题的关键． 根据题中描述的数量关系即可直接得出答案． 【详解】解：a的2倍与b的一半的差的平方，列代数式表示是， 故答案为：． 知识点 求代数式的值 1．代数式的值 用具体数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果叫作代数式的值。当字母取不同的数值时，代数式的值一般也不同。 （1）一般地，代数式的值不是固定不变的，它是随着代数式中字母取值的变化而变化的； （2）代数式与代数式的值是两个不同的概念，代数式表述的是问题的一般规律，而代数式的值是这个规律下的特殊情形； （3）代数式的字母取值，必须使要求的代数式有意义，如在代数式 中，当 时，代数式没有意义； （4）当代数式表示实际问题的数量关系时，字母的取值还要保证具有实际意义，如 表示学生人数，则 只能取正整数。 2．求代数式的值的一般步骤 第一步：用数值代替代数式里的字母，简称为＂代入＂； 第二步：按照代数式指明的运算，计算出结果，简称为＂计算＂． 求代数式的值的过程中的几点注意 （1）如果代数式中省略乘号或乘号是一个＂＂，那么代入数值时要对应添上乘号＂×＂； （2）代入负数、分数进行乘法、乘方运算时，要注意添加必要的括号； （3）书写代数式的值时，＂当．．．．．时＂的字样不能丢； （4）代数式里的字母可取不同的值，但所取的值不能使代数式或代数式所表示的数量关系失去实际意义。如代数式 中， 的取值不能为 2 ，否则代数式失去意义；若代数式 表示人数时，它必须为自然数等。 随学随练 1．已知，那么代数式的值是 ___________． 【答案】5 【详解】解：∵， ∴． 2．根据下列条件，求代数式的值 (1)当，，求代数式的值； (2)当，，求代数式的值 【答案】(1)15 (2)17 【分析】本题考查代数式求值，解题的关键是将给定的字母值代入代数式进行准确计算． （1）将代入代数式计算； （2）将代入代数式计算． 【详解】（1）解：当时 原式 ； （2）解：当时 原式 ． 题型 代数式的概念 ▌例1（25-26六年级上·上海静安·期末）下列各式中不是代数式的为（   ） A． B．314 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了代数式的识别，代数式是由运算符号连接数或字母的式子，不能包含等号或不等号，据此逐项分析判断即可． 【详解】解：∵代数式定义为由运算符号连接数或字母的式子，不含等号或不等号， 选项A、B、C均符合代数式定义，故均不符合题意， 选项D含有等号“”，为方程，不是代数式，符合题意． 故选：D． ▌对点练1-1（25-26六年级上·上海·阶段检测）在中，______不是代数式． 【答案】 【分析】本题考查代数式的定义，熟练掌握代数式的定义是解题的关键． 代数式是由数字、字母和运算符号组成的表达式，不含等号或不等号，含有等号，是方程，因此不是代数式． 【详解】代数式是指用运算符号（如加、减、乘、除、乘方）连接数字和字母的表达式，不能包含关系符号（如等号或不等号）， 选项、、均符合代数式定义，而含有等号，表示方程，不是代数式， 故答案为． ▌对点练1-2（24-25六年级上·上海·阶段检测）在，，2，m，，，中，代数式有___________个 【答案】5 【分析】本题考查了代数式的定义，熟练掌握代数式的定义是关键．代数式是由数字、字母和运算符号（加、减、乘、除、乘方）组成的数学表达式，不包含等号或不等号．根据代数式的定义逐一判断即可． 【详解】解：，，2，m， 是代数式，共5个；和不是代数式． 故答案为：5． ▌对点练1-3（25-26六年级上·上海普陀·期末）下列说法中，正确的是（   ） A．表示，，的积的代数式为 B．的意义是减去3的差除以的商 C．1不是代数式 D．、两数平方的和的4倍用代数式表示为 【答案】B 【分析】本题主要考查了代数式的定义，列代数式，解题的关键在于能够熟练掌握代数式的相关知识． 根据代数式的定义，以及代数式的书写，然后进行判断即可． 【详解】解：A，应写为假分数，代数式书写不规范，该选项不符合题意； B，表示除以的商，描述正确，该选项符合题意； C，1是单独的数，属于代数式，该选项不符合题意； D，“平方的和”指，其4倍应为，而非，该选项不符合题意． 故选B． 题型 代数式表示的实际意义 ▌例2（25-26六年级上·上海杨浦·期末）的意义是的平方与的平方的和，那么的意义是_____． 【答案】x与y的差的平方 【分析】本题考查了代数式的意义，根据代数表达式的定义， 表示先计算与 的差，再对该差进行平方运算． 【详解】解：的意义是x与y的差的平方 故答案为：x与y的差的平方． ▌对点练2-1下列说法正确的是（     ） A．x减去y的相反数的差与y的积，用代数式表示为； B．x与y的和的5倍，用代数式表示为； C．x与y的平方差， 用代数式表示为； D．与的差的平方除的商， 用代数式表示为． 【答案】C 【分析】本题考查了列代数式．熟练掌握代数式的定义，数量关系与运算顺序，是解题的关键． 根据数量关系，运算顺序，相反数，理清除与除以的关系，逐一列出代数式，判断即得． 【详解】A、x减去y的相反数的差与y的积，用代数式表示为，∴A不正确； B、x与y的和的5倍，用代数式表示为，∴B不正确； C、x与y的平方差， 用代数式表示为，∴C正确； D、与的差的平方除的商， 用代数式表示为，∴D正确． 故选：C． ▌对点练2-2（24-25六年级上·上海金山·期末）我们知道，用字母表示的代数式是可以具有实际意义的．下列赋予实际意义的例子中，不正确的是（   ） A．若某款笔记本的售价是4元/本，则表示购买a本笔记本所需的钱数 B．若平行四边形的底为，面积为，则它的高为 C．若某校六年级共有4个班，平均每个班有名女生，则表示六年级女生的总人数 D．若表示一个正方形的边长，则表示这个正方形的周长 【答案】B 【分析】本题考查代数式的实际意义，解题的关键是读懂题意，需根据各选项中的情境判断是否合理. 【详解】解：选项A.，赋予实际意义正确，不符合题意； 选项B.∵，已知底，面积，∴，而非，故赋予表示高的意义不正确，符合题意.； 选项C.，赋予实际意义正确，不符合题意； 选项D.，赋予实际意义正确，不符合题意； 故选B． 题型 已知字母的值，求代数式的值 ▌例3（24-25六年级上·上海·阶段检测）当、时，求代数式的值． 【答案】8 【分析】本题考查了代数式求值．把直接代入代数式计算求值即可． 【详解】解：当时， ． ▌对点练3-1（25-26六年级上·上海嘉定·期末）如果，那么________． 【答案】9 【分析】本题考查了非负数的性质，求代数式的值，根据绝对值的非负性，两个绝对值的和为零，则每个绝对值都为零，从而求出和的值，再计算即可，熟练掌握非负数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵，且，， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． ▌对点练3-2（24-25六年级上·上海·阶段检测）若 ， ，且．则的值为____________． 【答案】 【分析】先根据平方根的定义求出的值，再根据绝对值的定义求出的值，结合，得到与异号，分情况计算，即可得到结果． 【详解】解：由 ，可得； 由 ，可得． ， 与 异号，故分两种情况讨论： 当 时， ，； 当 时， ，， 综上，的值为． ▌对点练3-3已知两个有理数，．满足，且，，则的值为________． 【答案】11 【分析】本题主要考查了代数式求值，绝对值，有理数的加法和乘法，正确求出是解题的关键． 先根据绝对值的定义得到，再根据，得到，然后代值计算即可． 【详解】解：， ， 又， ， ， 故答案为：11． ▌对点练3-4（24-25六年级上·上海闵行·期末）设是最小的正整数，是最大的负整数，是绝对值最小的有理数，则__________． 【答案】2 【分析】本题主要考查了有理数的定义，根据定义；；．代入表达式计算即可． 【详解】解：∵a是最小的正整数， ∴； ∵b是最大的负整数， ∴； ∵ c是绝对值最小的有理数， ∴． 则， 故答案为：2． 题型 已知式子的值，求代数式的值 ▌例4（25-26六年级上·上海·期末）若，则的值为______． 【答案】 2026 【分析】本题考查代数式的求值，将代数式变形为含已知条件的形式，整体代入进行计算． 【详解】解：∵， ∴ ． 故答案为：2026． ▌对点练4-1（25-26六年级上·上海长宁·期末）已知，那么代数式的值是___________． 【答案】 【分析】本题考查代数式的整体代换求值，核心是通过对已知等式变形，得到与目标代数式相关的表达式，再进行整体代入计算． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即． 故答案为：． ▌对点练4-2（25-26六年级上·上海·阶段检测）已知，则______． 【答案】 【分析】本题考查代数式求值，由题意求得是解题的关键． 由题意可得，则，将其代入中计算即可． 【详解】解：由题意可得， 则， 故答案为：． 题型 程序流程图与代数式求值 ▌例5（24-25六年级上·上海·期末）在下列流程图中，输入19，则输出（    ） A． B． C． D．7 【答案】A 【分析】本题考查流程图与代数式求值．根据流程图，列式计算，再取相反数进行求解即可． 【详解】解：由题意得：， 7的相反数为：； 故选：A． ▌对点练5-1（25-26六年级上·上海浦东新·期中）根据如图所示的流程图计算，若，则的值为___． 【答案】4 【分析】本题主要考查了规律探索，代数式求值，解题的关键是根据题意找出规律． 先求出，，，，得出规律，然后再求出结果即可． 【详解】解：由题知， 因为， 所以，，，，……， 由此可见，这列数从开始按，，4循环． 因为， 所以． 故答案为：4． ▌对点练5-2（24-25六年级上·上海嘉定·期末）如图是一个运算程序，若先后输入和，则输出的结果是__． 【答案】 【分析】本题考查有理数的混合运算，代数式求值，根据题意列式计算即可． 【详解】解：若先后输入和， ∵， ∴， 即输出结果为， 故答案为：． 题型 列代数式表示行程问题 ▌例6某船在相距的A、B两个码头之间航行，若该船在静水中的速度是，水流速度是，则该船从A到B顺水行驶的时间比从B到A逆水行驶的时间少（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别求出船从A到B顺水行驶的时间和从B到A逆水行驶的时间，即可求解． 【详解】解：根据题意得：船从A到B顺水行驶的时间为，船从B到A逆水行驶的时间为， ∴该船从A到B顺水行驶的时间比从B到A逆水行驶的时间少． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了列代数式，明确题意，准确得到数量关系是解题的关键． ▌对点练6-1甲、乙两地之间公路全长，一辆汽车从甲地开往乙地，原计划行驶速度为，因为临时有新任务，现将汽车的行驶速度增加，那么汽车加快速度后从甲地到乙地可以早到__________小时． 【答案】 【分析】本题主要考查了用代数式表示， 先分别表示出汽车加速前后所用时间，再求差即可． 【详解】原计划所用时间为，汽车加速后所用时间为， 所以汽车加快速度后从甲地到乙地早到． 故答案为：． ▌对点练6-2已知A，B两地相距150千米，李明驾驶汽车以v千米/小时的速度从A地驶往B地，请你用代数式表示： （1）李明从A地到B地需要的时间； （2）如果汽车每小时多行驶10千米，李明从A地到B地需要多长时间？ （3）在（2）的情况下，李明从A地到B地比原计划少用的时间是多少？ 【答案】（1）时；（2）时；（3）时 【详解】【分析】（1）时间＝路程÷速度，代入列式即可； （2）将题（1）中的v换成（v+10）列式即可； （3）用题（1）的时间减去题（2）的时间即可． （1）150÷v（时）， 答：李明从A地到B地需要时． （2）150÷（v+10）时， 答：李明从A地到B地需要时． （3）李明从A地到B地比原计划少用的时间为时， 答：李明从A地到B地比原计划少用的时间为时． 题型 列代数式表示面积问题 ▌例7将一个长为、宽为b（）的长方形，沿虚线用剪刀裁成四个完全相同的小长方形（如图1），则每个小长方形的宽为______；然后用四个小长方形拼成一个正方形（如图2），则图2中阴影正方形的面积为_______． 【答案】 / 【分析】本题主要考查了列代数式，小长方形的宽为图1长方形长的四分之一，则每个小长方形的宽为，图2阴影部分是边长为的正方形，则图2中阴影正方形的面积为． 【详解】解：由题意得，小长方形的宽为图1中大长方形长的四分之一， ∴每个小长方形的宽为， ∵图2中阴影部分是边长为的正方形， ∴图2中阴影正方形的面积为 故答案为：，． ▌对点练7-1如图所示，在一个长方形休闲广场的四角都设计一块半径相同的四分之一圆形的花坛，若圆形的半径为米，广场的长为米，宽为米． (1)请列式表示广场空地的面积； (2)若休闲广场的长为40米，宽为20米，圆形花坛的半径为3米，求广场空地的面积．（计算结果保留） 【答案】(1) (2)平方米 【分析】本题考查了列代数式及代数式求值，理清题意，根据数量关系列出式子是解题的关键． （1）利用长方形的面积减去一个圆的面积即为广场空地的面积即可求解； （2）由题意得米，米，米，将其代入即可求解； 【详解】（1）解：由图得： 广场空地的面积为：平方米． （2）解：由题意得：米，米，米， 平方米， 答：广场空地的面积为平方米． ▌对点练7-2某校举办了主题为“畅想十四五共筑新征程”的2021年元旦晚会，七年级一班同学利用彩纸条自己制作彩带．将一些长30厘米，宽10厘米的长方形纸条，按图所示方法粘合起来，粘合部分的宽为3厘米． （1）求8张彩纸条粘合后的彩带总长度为多少厘米？ （2）设x张彩纸条粘合后的彩带总长度为y厘米，请写出y与x之间的表达式？ （3）求当时，彩带一面的面积． 【答案】（1）219厘米；（2）y=27x+3；（3）8130平方厘米 【分析】（1）根据8张粘合后的长度=8张不粘合的总长度-粘合的长度就可以求出结论； （2）根据等量关系：粘合后的长度=总长度-粘合的长度，就可以求出解析式； （3）再把x的值代入解析式就可以求出函数值． 【详解】解：（1）由题意，得 30×8-3×（8-1）=219． 所以8张白纸粘合后的长度为219厘米． （2）y=30x-3（x-1）=27x+3． 所以y与x的关系式为y=27x+3． （3）当x=30时，y=27×30+3=813． ∴此时彩带一面的面积为：10×813=8130平方厘米． 【点睛】本题考查列代数式及代数式求值，准确识图，找准关系正确列式是解题关键． ▌对点练7-3如图所示，琼海市某中学为了美化校园环境打算将一长方形空地美化，并在左右两边各修一个半圆形的花坛，其余部分（图中阴影部分）种草，已知长方形的长为，宽为， (1)用含、的式子表示图中阴影部分的面积． (2)当，时，求阴影部分面积的值．（其中取） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了列代数式和代数式求值，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想列出代数式． （1）由图可得：阴影部分的面积是长方形的面积与两个直径为的半圆的面积之差，由长方形的长为a，宽为，从而可以表示出阴影部分的面积； （2）将，，代入第（1）问中求得的代数式即可求得阴影部分的面积． 【详解】（1）解：∵长方形的长为a，宽为， ∴； （2）解：当，时， ． 即． 基础通关 1．代数式中，当取值分别为，0，1，2时，对应代数式的值如表： … 0 1 2 … … 1 3 5 … 则的值为（   ） A． B．1 C．3 D．5 【答案】D 【分析】本题考查了求代数式的值，解题的关键是利用表格中的数据建立等式，求解出的值即可求解． 【详解】解：由时，，得， 由时，，得， 故， 故选：D． 2．小明在计算时，误将“”看成“”，结果得13，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了代数式求值，根据错误算法求出的值是解题的关键．先根据错误算法求出的值，然后再代入进行正确计算． 【详解】解：小明误将“”看成“”，得到错误等式： 解得： ∴ 故选：C． 3．无论x取什么值，代数式的值一定是正数的是（  ） A．(x＋2)2 B．|x＋2| C．x2＋2 D．x2－2 【答案】C 【分析】分别求出每个选项中数的范围即可求解. 【详解】A.(x+2)2≥0； B.|x+2|≥0； C.x2+2≥2； D.x2﹣2≥﹣2. 故选：C. 【点睛】本题考查了正数与负数、绝对值和平方数的取值范围；掌握平方数和绝对值的意义是解题的关键. 4．若与值互为相反数，下列代数式的值最大的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值非负性，已知字母的值，求代数式的值等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 先利用绝对值的非负性求得，，再分别求出四个代数式的值，比较后作出判断． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ， ， ， ∵， ∴代数式的值最大的是， 故选：D． 5．如图，正方形的边长均是a，以图①、②、③呈现的规律类推，图⑩中所有圆的周长的和是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了与图形有关的规律题，根据题意得，图①中所有圆的周长和：，图②中所有圆的周长和：，图③中所有圆的周长和：，则图n中所有圆的周长和：，即可得；掌握圆的周长，根据题意找出规律是解题的关键． 【详解】解：图①中所有圆的周长和：， 图②中所有圆的周长和：， 图③中所有圆的周长和：， … 则图n中所有圆的周长和：， 即图⑩中所有圆的周长和：， 故选：C． 6．若与互为相反数，与互为倒数，则的值是__________． 【答案】0 【分析】本题考查了相反数，倒数的定义，代数式求值，由a与b互为相反数，得，由c与d互为倒数，得．代入表达式计算即可． 【详解】解：与b互为相反数， ． 与d互为倒数， ． ． 故答案为：0 7．一种笔记本的价格表如下图，某班组织活动，购买了本笔记本作为奖品，则该班花费了______元．（用含的式子表示） 购买数量 售价 一次购买不超过100本 元/本 一次购买超过100本，超过100本的部分 2元/本 【答案】/ 【分析】本题主要考查列代数，熟练掌握列代数式是解题的关键．根据题意列出代数式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 8．如图，在一块长方形土地上修建两个如图所示的四分之一圆水池，其余面积（阴影部分）进行绿化处理，两个四分之一圆的半径分别为、．    (1)用含，的代数式表示长方形的长； (2)用含，的代数式表示绿化土地（阴影部分）的面积； (3)当，时，求绿化土地（阴影部分）的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意表示求解即可； （2）用长方形的面积减去两个四分之一圆水池求解即可； （3）将，代入（2）表示的代数式求解即可． 本题考查了列代数式，已知式子的值求代数式的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键．． 【详解】（1）解：∵两个四分之一圆的半径分别为、 ∴长方形的长为； （2）解：根据题意可得， （3）解：∵，， ∴ ， ∴绿化土地（阴影部分）的面积为． 9．学校有一块长为，宽为的长方形空地，现在打算利用这块空地打造一个“生命的园子”（学生自主花园）．如图，空地有两面是墙，在不靠墙的两面均需留出宽为xm的小路，余下的长方形部分做为“生命的园子”，种植各种瓜果蔬菜． (1)“生命的园子”的长a＝_____m，“生命的园子”的宽b＝_____m；（用含x的式子表示） (2)如果要给“生命的园子”周围围上护栏（靠墙的地边不用围）： ①求所围护栏的总长度l（用含x的式子表示）； ②当时，求护栏的总长度l为多少米？ 【答案】(1) (2)① ②25 【分析】本题主要考查了用代数式表示，求代数式的值， 对于（1），根据长和宽分别减去小路的宽，可得答案； 对于（2），先根据（1）中的答案，求出“生命的园子”的周长的一半，再代入计算即可． 【详解】（1）根据题意，可知，． 故答案为：； （2）①围护栏的总长度为； ②当时，原式（米）． 护栏的总长度为25米． 素养提升 10. 设，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】 观察的形式，它等于时去掉常数项的结果，因此可以令先求出，再单独求出，两者相减就能得到；也可以先展开多项式确定系数再计算. 【详解】 方法一：赋值法 令，代入等式： 再令，得，即. 把代入上式： 移项： 所以， 方法二：展开求系数 对比，得 所以，答案选C. 11. 当时，代数式的值为，则 (1)则的值为. (2)当时，代数式的值为. 【答案】(1)2026；(2)-2025 【分析】采用整体代入法，先将代入代数式求出整体的值，再将代入，变形构造出整体进行计算. 【详解】(1)把代入，得，整理得 (2)把代入： 将整体代入，得. 12．若任意有理数有这样的运算规律：， (1)______，______； (2)试用字母表示其规律． 【答案】(1)15，10 (2) 【分析】本题考查新定义运算，解答本题需理解题意，掌握新定义的运算方法； （1）根据新定义代入计算即可． （2）用字母表示出计算规律． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：15，10． （2）用字母表示其规律为： 13．十八世纪伟大的数学家欧拉最先用记号的形式来表示关于的多项式，把等于某数时的多项式的值用来表示.例如时，多项式的值可以记为，即．如果定义，则_________． 【答案】3 【分析】本题主要考查了实数的运算．解题的关键在于理解新运算的形式，并正确的进行计算． 将，代入中计算求解即可． 【详解】∵， ∴时，． 故答案为：3． 14．红星商店有甲、乙两种商品，基本信息如下表： 商品 成本（元/件） 数量（件） 售价（元/件） 甲商品 乙商品 (1)商家决定将甲种商品按成本价提高后标价出售；乙种商品按成本价的七折出售，则______（用含的代数式表示），______（用含的代数式表示）； (2)在（1）的条件下，将甲、乙商品全部售出，用含、的代数式表示商家的利润； (3)若商家将两种商品都以元的平均价格一次打包全部出售，请判断商家这次买卖是赚钱还是亏本，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)用含、的代数式表示商家的利润为元； (3)若，则赚钱；若，则不赚不亏；若，则亏本．理由见解析． 【分析】（1）依题意可知，分别列出甲、乙商品的销售价格即可； （2）由（1）可知，用售价减去成本即可求出利润； （3）求出商家将两种商品都以元的平均价格售出的售价，然后减去成本即可． 【详解】（1）解：依题意可知， 甲种商品按成本价提高后标价出售，售价为： 乙种商品按成本价的七折出售，售价为： （2）将甲、乙商品全部售出利润为： （元） （3）将两种商品都以元的平均价格一次打包全部出售，利润为： 当时，则赚钱； 当时，则不赚不亏； 当时，则亏本； 即：若，则赚钱；若，则不赚不亏；若，则亏本． 【点睛】本题考查了销售问题、列代数式，代数式加减的应用；解题的关键是理解题意，正确列代数式． 15．（25-26六年级上·上海·阶段检测）定义：对于一个数x，我们把称作x的相伴数；若，则，若，则．例： (1)求______， ______； (2)当，时，有，试求：的值； 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了新定义，代数式求值，有理数的加减，读懂定义，正确列式，是解题的关键． （1）按照定义式计算即可； （2）先由，，根据定义式将，化简，再根据题意得方程，得出，再将要求的式子变形，使得能将整体代入，则问题得解． 【详解】（1）解：，． 故答案为：，； （2）解：当，时，有，． ， ，即． ． 16．如图，学校劳动实践基地的开发能让学生体验劳动的艰辛，品味劳动成果的喜悦，满足学生劳动教育实践需要．某校劳动实践基地有两块边长分别为，的正方形土地，，其中不能使用的面积为． (1)用含，的代数式表示中能使用的面积________． (2)若，，求比多出的使用面积．（已知：） 【答案】(1) (2)比多出的使用面积为75 【分析】本题主要考查了列代数式，整式的化简求值，正确表示出A中和B中能使用的面积是解题的关键． （1）用正方形B的面积减去不能使用的面积M即可得到答案； （2）同理求出A中能使用的面积为，再用A中的能使用的面积减去B中能使用的面积得到A比B多出的使用面积为，再根据题意进行求解即可． 【详解】（1）解：正方形土地的边长是， ， 中能使用的面积正方形的面积不能使用的面积， 中能使用的面积为：， 故答案为：； （2）解：同理可证，A中能使用的面积为， ，， 比多出的使用面积为： ， ∴比多出的使用面积为75． 17．在数学解题过程中，有时可以利用取特殊值法进行计算或解答． 例如：在等式中，把代入，得． 请利用这种方法解答下列问题：设． （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值． 【答案】（1）64；（2）-63；（3）-665 【分析】（1）模仿例题，把代入，得； （2）把代入原式得，=1，结合（1）可得； （3）把代入原式得，，结合（1）可得，再求相反数可得； 【详解】解：（1）若，把代入，得； （2）把代入原式得，=1 由（1）可得：=1-g=1-64=-63； （3）把代入原式得， 所以由（1）可得 所以=-665 迁移创新 18．历史上的数学巨人欧拉最先把关于的代数式用记号的形式来表示，把等于某数时的代数式的值用来表示．例如时，代数式的值记为，则．根据上述材料，解答下面问题： 已知，且． (1)_____； (2)若，求的值； (3)若，求的值． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算、求代数式的值．解决本题的关键是把的值代入代数式中进行计算求值． 把代入，可得，计算求出的值即可； 把代入，可得，整理可得； 把代入，可得，把代入，可得：原式，然后再把代入计算可得结果． 【详解】（1）解：， ， ， 故答案为：； （2）解：， ， 整理得：， ， 解得：； （3）解：， ， 解得：， ． 19．有一长为240米的圆形跑道，小明和他的小狗同时从跑道的点P处出发沿顺时针方向跑步．已知小明的速度为4米/秒，小狗的速度为12米/秒．跑步的时间记为秒．在跑步过程中，小明和他的小狗之间相距（取两者之间较短一段圆弧跑道的长度）为米． （1）当秒和秒时，分别求的值？ （2）当时，请用含的代数式表示． （3）当时，请用含的代数式表示．（可直接写出结果） 【答案】（1）0；（2）见解析；（3） 【详解】试题分析：（1）根据题意可用小狗跑t=15秒的距离减去小明跑t=15秒的距离，可求得W的值； 然后由30×12=360米，30×4=120，可知这时小狗跑的超过一圈，然后用小狗的路程减去小明的路程，再减去一周即可； （2）根据题意可知当；；；时，分别求出t秒时的距离； （3）根据（2）的方式每隔15秒一个分段，可得结果. 试题解析：解：（1）时，． 时，． （2）时，； 时，； 时，； 时，． （3）时，； 时，． 考点：规律探索，列代数式，分段函数的应用 20．（25-26六年级上·上海普陀·期末）【阅读材料】已知，求代数式的值． 小普同学在做作业时采用的方法如下： 由题意，所以代数式的值为5． 【学以致用】 (1)当，求代数式的值是______； (2)当时，求代数式的值是______； (3)当，时，求代数式的值． 【答案】(1)5 (2)4 (3)2 【分析】此题考查了求代数式的值． （1）把原式变形后整体代入即可； （2）由得到，把原式变形后整体代入即可； （3）把已知条件整体代入即可求出答案． 【详解】（1）解：， ； （2）解：， ， ； （3）解：，， ． 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 简单的代数式 2.2 代数式 课标要点 1.理解代数式的概念 2.掌握代数式的识别方法与规范书写要求 3.能准确将实际问题中的数量关系转化为代数式 4.掌握求代数式的值的基本步骤，能代入具体数值规范计算。 学习重难点 重点： 1.代数式的核心概念与识别方法，列代数式的基本规则与规范书写。 2. 求代数式的值的运算步骤与规范计算。 难点： 1.理解代数式的抽象意义，建立 “实际问题→数量抽象→代数式表示” 的思维模型，区分不同情境下的数量关系表述。 2. 含多层运算、多数量关系的复杂情境下列代数式的分析与书写。 3. 含整体代入、规律探究类的代数式求值与应用的分析思路。 知识点 代数式的概念 1．用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子叫作代数式． 单独的一个数或字母也是代数式，如 等． 这里的运算符号指的是 ＂和乘方以及今后学到的开方。 判断代数式的方法 代数式中只含有运算符号，不含有＂=＂＂＞＂＂＜＂等符号，如 等均不是代数式。 2．列代数式 （1）概念：把问题中与数量有关的词语，用含有数、字母和运算符号的式子表示出来叫作列代数式。 （2）列代数式的步骤： ①分析条件，找出数量关系； 数学术语：抓住关键性词语，如＂大＂＂小＂＂多 ⋯＂少＂＂和＂＂差＂＂积＂＂商＂倍＂等用数学符号表示． 实际问题中常用的关系式 购买、分配类问题：费用 = 单位费用 × 数量；总量 = 单位量 × 数量；总费用 = 甲的单位费用 × 甲的数量 + 乙的单位费用 × 乙的数量；总数量 =甲的数量 + 乙的数量． 打折销售问题：售价＝标价（原价）× 折扣（如打八折，折扣就是 ）；利润 = 售价一进价（成本价）；利润率 = 利润 × 100％． 工程问题：总工作量 = 工作效率 × 工作时间，总工作量未定时，可设总工作量为单位 1. 行程问题：路程 = 速度 × 时间． 航行问题：顺流速度＝静水速度＋水流速度；逆流速度＝静水速度－水流速度． 增长率问题：增长率 = 工作效率 。 利息问题：利息 = 本金 × 利率 × 时间． ②用含有数、字母和运算符号的式子表示数量关系． （1）在同一问题中，不同的数量，必须用不同的字母来表示． （2）对于一些数量关系的运算顺序，一般是先说的运算在前，后说的运算在后． （3）一般地，列代数式时，若先说低级运算，再说高级运算，则必须使用括号。如＂$a, b$ 两数差的平方＂写作 。若先说高级运算，再说低级运算，则不必使用括号，如＂ 的平方与 的平方的和＂写作 ． （4）用语言表达问题的数量关系时，句子中常出现＂的＂与＂与＂两字．＂的＂字一般表示从属关系，＂与＂字一般表示并列关系，它们一般是连接运算的连词，正确把握＂的＂＂与＂两字是正确写出代数式的一个关键。 3．理解代数式的意义 一方面，实际问题中的数量关系可以用代数式表示；另一方面，同一个代数式可以揭示多种不同的实际意义。 在说代数式表示的实际意义时，数与字母的含义必须与实际相符。 随学随练 1．下列式子：①、②③、④、⑤0、⑥，其中代数式的个数是（     ）． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．a的2倍与b的一半的差的平方，列代数式表示是_______ 知识点 求代数式的值 1．代数式的值 用具体数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果叫作代数式的值。当字母取不同的数值时，代数式的值一般也不同。 （1）一般地，代数式的值不是固定不变的，它是随着代数式中字母取值的变化而变化的； （2）代数式与代数式的值是两个不同的概念，代数式表述的是问题的一般规律，而代数式的值是这个规律下的特殊情形； （3）代数式的字母取值，必须使要求的代数式有意义，如在代数式 中，当 时，代数式没有意义； （4）当代数式表示实际问题的数量关系时，字母的取值还要保证具有实际意义，如 表示学生人数，则 只能取正整数。 2．求代数式的值的一般步骤 第一步：用数值代替代数式里的字母，简称为＂代入＂； 第二步：按照代数式指明的运算，计算出结果，简称为＂计算＂． 求代数式的值的过程中的几点注意 （1）如果代数式中省略乘号或乘号是一个＂＂，那么代入数值时要对应添上乘号＂×＂； （2）代入负数、分数进行乘法、乘方运算时，要注意添加必要的括号； （3）书写代数式的值时，＂当...时＂的字样不能丢； （4）代数式里的字母可取不同的值，但所取的值不能使代数式或代数式所表示的数量关系失去实际意义。如代数式 中， 的取值不能为 2 ，否则代数式失去意义；若代数式 表示人数时，它必须为自然数等。 随学随练 1．已知，那么代数式的值是 ___________． 2．根据下列条件，求代数式的值 (1)当，，求代数式的值； (2)当，，求代数式的值 题型 代数式的概念 ▌例1（25-26六年级上·上海静安·期末）下列各式中不是代数式的为（   ） A． B．314 C． D． ▌对点练1-1（25-26六年级上·上海·阶段检测）在中，______不是代数式． ▌对点练1-2（24-25六年级上·上海·阶段检测）在，，2，m，，，中，代数式有___________个 ▌对点练1-3（25-26六年级上·上海普陀·期末）下列说法中，正确的是（   ） A．表示，，的积的代数式为 B．的意义是减去3的差除以的商 C．1不是代数式 D．、两数平方的和的4倍用代数式表示为 题型 代数式表示的实际意义 ▌例2（25-26六年级上·上海杨浦·期末）的意义是的平方与的平方的和，那么的意义是_____． ▌对点练2-1下列说法正确的是（     ） A．x减去y的相反数的差与y的积，用代数式表示为； B．x与y的和的5倍，用代数式表示为； C．x与y的平方差， 用代数式表示为； D．与的差的平方除的商， 用代数式表示为． ▌对点练2-2（24-25六年级上·上海金山·期末）我们知道，用字母表示的代数式是可以具有实际意义的．下列赋予实际意义的例子中，不正确的是（   ） A．若某款笔记本的售价是4元/本，则表示购买a本笔记本所需的钱数 B．若平行四边形的底为，面积为，则它的高为 C．若某校六年级共有4个班，平均每个班有名女生，则表示六年级女生的总人数 D．若表示一个正方形的边长，则表示这个正方形的周长 题型 已知字母的值，求代数式的值 ▌例3（24-25六年级上·上海·阶段检测）当、时，求代数式的值． ▌对点练3-1（25-26六年级上·上海嘉定·期末）如果，那么________． ▌对点练3-2（24-25六年级上·上海·阶段检测）若 ， ，且．则的值为____________． ▌对点练3-3已知两个有理数，．满足，且，，则的值为________． ▌对点练3-4（24-25六年级上·上海闵行·期末）设是最小的正整数，是最大的负整数，是绝对值最小的有理数，则__________． 题型 已知式子的值，求代数式的值 ▌例4（25-26六年级上·上海·期末）若，则的值为______． ▌对点练4-1（25-26六年级上·上海长宁·期末）已知，那么代数式的值是___________． ▌对点练4-2（25-26六年级上·上海·阶段检测）已知，则______． 题型 程序流程图与代数式求值 ▌例5（24-25六年级上·上海·期末）在下列流程图中，输入19，则输出（    ） A． B． C． D．7 ▌对点练5-1（25-26六年级上·上海浦东新·期中）根据如图所示的流程图计算，若，则的值为___． ▌对点练5-2（24-25六年级上·上海嘉定·期末）如图是一个运算程序，若先后输入和，则输出的结果是__． 题型 列代数式表示行程问题 ▌例6某船在相距的A、B两个码头之间航行，若该船在静水中的速度是，水流速度是，则该船从A到B顺水行驶的时间比从B到A逆水行驶的时间少（    ） A． B． C． D． ▌对点练6-1甲、乙两地之间公路全长，一辆汽车从甲地开往乙地，原计划行驶速度为，因为临时有新任务，现将汽车的行驶速度增加，那么汽车加快速度后从甲地到乙地可以早到__________小时． ▌对点练6-2已知A，B两地相距150千米，李明驾驶汽车以v千米/小时的速度从A地驶往B地，请你用代数式表示： （1）李明从A地到B地需要的时间； （2）如果汽车每小时多行驶10千米，李明从A地到B地需要多长时间？ （3）在（2）的情况下，李明从A地到B地比原计划少用的时间是多少？ 题型 列代数式表示面积问题 ▌例7将一个长为、宽为b（）的长方形，沿虚线用剪刀裁成四个完全相同的小长方形（如图1），则每个小长方形的宽为______；然后用四个小长方形拼成一个正方形（如图2），则图2中阴影正方形的面积为_______． ▌对点练7-1如图所示，在一个长方形休闲广场的四角都设计一块半径相同的四分之一圆形的花坛，若圆形的半径为米，广场的长为米，宽为米． (1)请列式表示广场空地的面积； (2)若休闲广场的长为40米，宽为20米，圆形花坛的半径为3米，求广场空地的面积．（计算结果保留） ▌对点练7-2某校举办了主题为“畅想十四五共筑新征程”的2021年元旦晚会，七年级一班同学利用彩纸条自己制作彩带．将一些长30厘米，宽10厘米的长方形纸条，按图所示方法粘合起来，粘合部分的宽为3厘米． （1）求8张彩纸条粘合后的彩带总长度为多少厘米？ （2）设x张彩纸条粘合后的彩带总长度为y厘米，请写出y与x之间的表达式？ （3）求当时，彩带一面的面积． ▌对点练7-3如图所示，琼海市某中学为了美化校园环境打算将一长方形空地美化，并在左右两边各修一个半圆形的花坛，其余部分（图中阴影部分）种草，已知长方形的长为，宽为， (1)用含、的式子表示图中阴影部分的面积． (2)当，时，求阴影部分面积的值．（其中取） 基础通关 1．代数式中，当取值分别为，0，1，2时，对应代数式的值如表： … 0 1 2 … … 1 3 5 … 则的值为（   ） A． B．1 C．3 D．5 2．小明在计算时，误将“”看成“”，结果得13，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．无论x取什么值，代数式的值一定是正数的是（  ） A．(x＋2)2 B．|x＋2| C．x2＋2 D．x2－2 4．若与值互为相反数，下列代数式的值最大的是（    ）． A． B． C． D． 5．如图，正方形的边长均是a，以图①、②、③呈现的规律类推，图⑩中所有圆的周长的和是（    ） A． B． C． D． 6．若与互为相反数，与互为倒数，则的值是__________． 7．一种笔记本的价格表如下图，某班组织活动，购买了本笔记本作为奖品，则该班花费了______元．（用含的式子表示） 购买数量 售价 一次购买不超过100本 元/本 一次购买超过100本，超过100本的部分 2元/本 8．如图，在一块长方形土地上修建两个如图所示的四分之一圆水池，其余面积（阴影部分）进行绿化处理，两个四分之一圆的半径分别为、．    (1)用含，的代数式表示长方形的长； (2)用含，的代数式表示绿化土地（阴影部分）的面积； (3)当，时，求绿化土地（阴影部分）的面积． 9．学校有一块长为，宽为的长方形空地，现在打算利用这块空地打造一个“生命的园子”（学生自主花园）．如图，空地有两面是墙，在不靠墙的两面均需留出宽为xm的小路，余下的长方形部分做为“生命的园子”，种植各种瓜果蔬菜． (1)“生命的园子”的长a＝_____m，“生命的园子”的宽b＝_____m；（用含x的式子表示） (2)如果要给“生命的园子”周围围上护栏（靠墙的地边不用围）： ①求所围护栏的总长度l（用含x的式子表示）； ②当时，求护栏的总长度l为多少米？ 素养提升 10. 设，则的值为（ ） A. B. C. D. 11. 当时，代数式的值为，则 (1)则的值为. (2)当时，代数式的值为. 12．若任意有理数有这样的运算规律：， (1)______，______； (2)试用字母表示其规律． 13．十八世纪伟大的数学家欧拉最先用记号的形式来表示关于的多项式，把等于某数时的多项式的值用来表示.例如时，多项式的值可以记为，即．如果定义，则_________． 14．红星商店有甲、乙两种商品，基本信息如下表： 商品 成本（元/件） 数量（件） 售价（元/件） 甲商品 乙商品 (1)商家决定将甲种商品按成本价提高后标价出售；乙种商品按成本价的七折出售，则______（用含的代数式表示），______（用含的代数式表示）； (2)在（1）的条件下，将甲、乙商品全部售出，用含、的代数式表示商家的利润； (3)若商家将两种商品都以元的平均价格一次打包全部出售，请判断商家这次买卖是赚钱还是亏本，请说明理由． 15．（25-26六年级上·上海·阶段检测）定义：对于一个数x，我们把称作x的相伴数；若，则，若，则．例： (1)求______， ______； (2)当，时，有，试求：的值； 16．如图，学校劳动实践基地的开发能让学生体验劳动的艰辛，品味劳动成果的喜悦，满足学生劳动教育实践需要．某校劳动实践基地有两块边长分别为，的正方形土地，，其中不能使用的面积为． (1)用含，的代数式表示中能使用的面积________． (2)若，，求比多出的使用面积．（已知：） 17．在数学解题过程中，有时可以利用取特殊值法进行计算或解答． 例如：在等式中，把代入，得． 请利用这种方法解答下列问题：设． （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值． 迁移创新 18．历史上的数学巨人欧拉最先把关于的代数式用记号的形式来表示，把等于某数时的代数式的值用来表示．例如时，代数式的值记为，则．根据上述材料，解答下面问题： 已知，且． (1)_____； (2)若，求的值； (3)若，求的值． 19．有一长为240米的圆形跑道，小明和他的小狗同时从跑道的点P处出发沿顺时针方向跑步．已知小明的速度为4米/秒，小狗的速度为12米/秒．跑步的时间记为秒．在跑步过程中，小明和他的小狗之间相距（取两者之间较短一段圆弧跑道的长度）为米． （1）当秒和秒时，分别求的值？ （2）当时，请用含的代数式表示． （3）当时，请用含的代数式表示．（可直接写出结果） 20．（25-26六年级上·上海普陀·期末）【阅读材料】已知，求代数式的值． 小普同学在做作业时采用的方法如下： 由题意，所以代数式的值为5． 【学以致用】 (1)当，求代数式的值是______； (2)当时，求代数式的值是______； (3)当，时，求代数式的值． 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $