2.1.1 倾斜角与斜率 同步练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 分层清晰，基础巩固与能力提升衔接紧密，从概念辨析到实际应用，培养数学思维与建模能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础练习|倾斜角与斜率概念、斜率公式直接应用|单选、填空为主，结合具体数值计算，巩固基础考点| |能力提升练|倾斜角与斜率综合应用、实际情境问题|多选、应用题结合，如足球射门位置分析，发展逻辑推理与数学建模|

第二章　直线和圆的方程 2.1　直线的倾斜角与斜率 2.1.1　倾斜角与斜率 基础练习 题型一　直线的倾斜角与斜率 1.(2026河北沧州段考)直线l:x=cos 675π+1的倾斜角为(　　) A.　　B.675π　　C.　　D.0 2.(2026天津武清月考)已知直线l经过两点(0,0),(0,1),直线l的倾斜角是直线m的倾斜角的两倍,则直线m的斜率是(　　) A.0　　B.1　　C.-2　　D.不存在 3.(2026安徽亳州蒙城第一中学月考)如图,若直线l1,l2,l3的斜率分别为k1,k2,k3,则(　　) A.k3<k2<k1　　B.k3<k1<k2 C.k1<k2<k3　　D.k1<k3<k2 4.(2026山东菏泽第一中学月考)已知某直线斜率的绝对值等于1,则它的倾斜角为　　　　.  5.(2026广东深圳高级中学月考)直线l:xcos2θ-y+2=0的倾斜角α的取值范围是　　　　.  题型二　直线的斜率公式及其应用 6.(2026江苏淮安第一中学月考)下列三点在同一直线上的是(　　) A.(0,2),(2,5),(3,7)　　 B.(-1,4),(2,1),(-2,-5) C.(1,2),(1,3),(1,-1)　　 D.(-1,3),(2,1),(2,-5) 7.(2026广东佛山阶段测试)若直线l经过两点A(2,m),B(-m,2m-1),且l的倾斜角为45°,则m的值为(　　) A.　　B.2　　C.1　　D.- 8.(2026安徽淮南崇文高级中学月考)经过A(0,2),B(-1,0)两点的直线的方向向量为(1,k),则k的值为(　　) A.1　　B.2　　C.3　　D.4 9.(2026福建漳州一中月考)已知三点A(1,-1),B(a,3),C(4,5)在同一直线上,则实数a的值是　　　　.  10.(2026山东济宁嘉祥第一中学月考)过点P(0,-1)作直线l,若l与连接A(3,-4),B(2,2-1)两点的线段总有公共点,则l的斜率的取值范围为　　　　,l的倾斜角的取值范围为　　　　　　　　.  11.(教材习题改编)已知坐标平面内两点M(m+3,2m+5),N(m-2,1). (1)当m为何值时,直线MN的倾斜角为锐角? (2)当m为何值时,直线MN的倾斜角为钝角? (3)直线MN的倾斜角可能为直角吗? 能力提升练 题型一　直线的倾斜角与斜率 1.(2026江苏苏州实验中学月考)如果直线l先沿x轴正方向平移2个单位长度,再沿y轴正方向平移2个单位长度后,又回到原来的位置,那么直线l的斜率是(　　) A.-2　　B.-1　　C.1　　D.2 2.(多选题)(2026安徽大联考月考)已知直线l1,l2的斜率分别为k1,k2,倾斜角分别为α1,α2,则下列命题正确的是(　　) A.若k1=k2,则α1=α2 B.若k1<k2,则α1<α2 C.若k1>k2>0,则α1>α2 D.若α2>α1>90°,则k2>k1 3.(易错题)(2026河南南阳方城第一高级中学月考)已知直线的倾斜角α的范围是,则此直线的斜率k的取值范围是(　　) A.[-1,1]　　B.[-1,0)∪(0,1] C.[-1,+∞)　　D.(-∞,-1]∪[1,+∞) 4.(2026山东济南实验高级中学月考)设直线l的斜率为k,且-≤k<1,则直线l的倾斜角的取值范围为(　　) A.∪　　B.∪　　 C.　　D.∪ 题型二　直线斜率的综合应用 5.(2026河南TOP二十名校月考)在平面直角坐标系中,已知点(a,b)是线段x-2y=0(-2≤x≤2)上的动点,则的取值范围是(　　) A.[-1,2]　　B.[-2,1] C.(-∞,-1]∪[2,+∞)　　D.(-∞,-2]∪[1,+∞) 6.(2026湖北襄阳一中月考)已知点A(-2,1),若点B为曲线L:|x|+|y|=1上一点,则直线AB的倾斜角α的取值范围是(　　) A.　　B. C.　　D.以上三项都不对 7.(2026河北石家庄期中)已知A(a+2,a),B(1,-a),C(a-4,a-1)三点构成一个三角形,则实数a的取值范围是　　　　　　.  8.足球是一项很受欢迎的体育运动.如图,某标准足球场的底线宽为AB,球门宽为EF,且|AB|=72码,|EF|=8码(码是英制单位,1码≈0.914 4米),球门位于底线的正中位置.在比赛过程中,攻方球员带球运动时,往往需要找到一点P,使得∠EPF最大,这时候点P就是最佳射门位置.当攻方球员甲在边线上的点O处(|OA|=|AB|,OA⊥AB)时,根据场上形势判断,有O→A,O→B两条进攻路线可供选择. (1)若选择路线O→A,则甲带球多少码时,到达最佳射门位置? (2)若选择路线O→B,则甲带球多少码时,到达最佳射门位置? 答案 第二章　直线和圆的方程 2.1　直线的倾斜角与斜率 2.1.1　倾斜角与斜率 基础练习 1.A　因为cos 675π+1为一常数,所以直线l的倾斜角为. 2.B　∵直线l经过两点(0,0),(0,1),∴直线l的倾斜角为90°,又直线l的倾斜角是直线m的倾斜角的两倍,∴直线m的倾斜角为45°,其斜率km=tan 45°=1. 3.D　设直线l1,l2,l3的倾斜角分别为α1,α2,α3,则根据题中图象可得0<α3<α2<<α1,再由正切函数的单调性可知tan α1<0<tan α3<tan α2,即k1<k3<k2. 4.答案　45°或135° 解析　设该直线的斜率为k,倾斜角为α,由题意得|k|=1⇒k=±1, 当k=1时,tan α=1,又0°≤α<180°,所以α=45°; 当k=-1时,tan α=-1,又0°≤α<180°,所以α=135°, 故该直线的倾斜角为45°或135°. 5.答案　 解析　易知直线l:xcos2θ-y+2=0经过点(0,2)和(1,2+cos2θ),∴直线l的斜率k==cos2θ∈[0,1],(实际上l的方程即为y=xcos2θ+2,其中x的系数cos2θ即为斜率) ∵k=tan α,∴tan α∈[0,1],又∵倾斜角α∈[0,π),∴α∈. 6.C　对于选项A,因为=,=2,且≠2, 所以三点不在同一直线上,故A错误; 对于选项B,因为=-1,=,且-1≠, 所以三点不在同一直线上,故B错误; 对于选项C,显然三点在同一直线x=1上,故C正确; 对于选项D,因为=-,=-,且-≠-, 所以三点不在同一直线上,故D错误. 7.D　由题意得=1,解得m=-. 8.B　∵直线AB的方向向量为(1,k),且经过A(0,2),B(-1,0)两点,∴==2,解得k=2. 9.答案　3 解析　∵三点A(1,-1),B(a,3),C(4,5)在同一直线上,且kAC存在, ∴kAB=kAC,即=,解得a=3. 10.答案　[-1,];∪ 解析　由题意得kBP==,kAP==-1,则直线BP的倾斜角为,直线AP的倾斜角为. 如图: 由图可知,l的斜率的取值范围为[-1,],则l的倾斜角的取值范围为∪. 11.解析　(1)若倾斜角为锐角,则斜率大于0,即kMN==>0,解得m>-2. (2)若倾斜角为钝角,则斜率小于0, 即kMN==<0,解得m<-2. (3)当直线MN垂直于x轴时,直线的倾斜角为直角,此时m+3=m-2,此方程无解,故直线MN的倾斜角不可能为直角. 能力提升练 1.C　设点A(x,y)为直线l上任意一点,平移后点A的对应点为A',则A'(x+2,y+2),而直线平移后位置没变,故直线l的斜率k=kAA'===1. 2.ACD　对于A,若k1=k2,则tan α1=tan α2,因为0°≤α1<180°,0°≤α2<180°,所以α1=α2,故A正确; 对于B,当k1<0<k2时,有0°<α2<90°<α1<180°,故B错误; 对于C,若k1>k2>0,则tan α1>tan α2>0,所以0°<α2<α1<90°,故C正确; 对于D,若α2>α1>90°,则0>tan α2>tan α1,即k2>k1,故D正确. 3.D　若α∈,则k=tan α∈[1,+∞);若α=,则k=tan α不存在; 若α∈,则k=tan α∈(-∞,-1]. 综上可得,此直线的斜率k的取值范围是(-∞,-1]∪[1,+∞). 4.B　设直线l的倾斜角为α,则-≤tan α<1,又0≤α<π,所以0≤α<或≤α<π,即直线l的倾斜角的取值范围为∪. 5.C　当x=-2时,y=-1;当x=2时,y=1, 所以线段x-2y=0(-2≤x≤2)的最左端是(-2,-1),最右端是(2,1),记A(-2,-1),B(2,1). 易知=表示点(a,b)与点(0,-3)连线的斜率,记P(a,b),M(0,-3). 由斜率公式k=(x1≠x2)的形式,可知代数式的几何意义是过(x,y)与(a,b)两点的直线的斜率,故可以利用数形结合来求解 当点P(a,b)在点A处时,=-1;当点P(a,b)在点B处时,=2.如图: 结合图形可知,的取值范围是(-∞,-1]∪[2,+∞). 6.D　对于曲线L:|x|+|y|=1, 当x>0,y>0时,曲线L:x+y-1=0; 当x<0,y>0时,曲线L:-x+y-1=0; 当x<0,y<0时,曲线L:x+y+1=0; 当x>0,y<0时,曲线L:x-y-1=0, 在平面直角坐标系内作出其图形如下: 其中C(-1,0),D(0,-1),E(1,0),F(0,1), 当点B位于点F处时,kAB==0,则倾斜角α=0; 当点B在正方形CDEF(不包含点F)的边上运动时,kAB≥kAC==-1, 则倾斜角α满足≤α<π. 综上所述,直线AB的倾斜角α的取值范围为∪{0},故D正确. 7.答案　∪ 解析　由A(a+2,a),C(a-4,a-1),知kAC==.当a+2=1,即a=-1时,A(1,-1),B(1,1),C(-5,-2),则直线AB的斜率不存在,此时A,B,C三点能构成一个三角形;当a+2≠1,即a≠-1时,由A(a+2,a),B(1,-a),知kAB=,要使A,B,C三点能构成一个三角形,则kAB≠kAC,即≠,解得a≠.综上可得,实数a的取值范围为∪. 8.解析　(1)若选择路线O→A,设|AP|=t码,其中0<t≤72,由题意知|AE|=32码,|AF|=32+8=40(码). tan∠APE==,tan∠APF==, 所以tan∠EPF=tan(∠APF-∠APE) = === ≤=, 当且仅当t=,即t=16时,等号成立, 此时|OP|=|OA|-|AP|=(72-16)码. 由题意知∠EPF∈,因为函数y=tan x在上单调递增, 所以tan∠EPF最大时,∠EPF最大, 所以若选择路线O→A,则甲带球(72-16)码时,到达最佳射门位置. (2)若选择路线O→B,设线段EF的中点为N,以N为坐标原点,,的方向分别为x轴,y轴的正方向建立如图所示的平面直角坐标系, 则B(-36,0),O(36,72),F(-4,0),E(4,0), 则kOB==1,则∠OBA=45°, 过P作x轴的垂线,垂足为M, 设点P(x,x+36),其中-36<x≤36. 当x≠±4时,tan∠AFP=kPF=, tan∠AEP=kPE=, 所以tan∠EPF=tan(∠AEP-∠AFP) = == =, 令m=x+36,则m∈(0,72],x=m-36, 所以(x+36)+=m+=2m+-72≥2-72=32-72, 当且仅当2m=,即m=8,即x=8-36时等号成立, 所以tan∠EPF=≤=,当且仅当x=8-36时等号成立, 此时|OP|=×|36-(8-36)|=(72-16)码. 当x=4时,P(4,40),tan∠EPF===; 当x=-4时,P(-4,32),tan∠EPF===. 由题意知∠EPF∈,因为函数y=tan x在上单调递增, 所以tan∠EPF最大时,∠EPF最大, 所以若选择路线O→B,则甲带球(72-16)码时,到达最佳射门位置. 7 学科网（北京）股份有限公司 $