1.3集合的基本运算（第1课时）（导学案）高一数学人教A版必修第一册

该高中数学导学案聚焦集合的基本运算第一课时，核心内容为并集与交集的概念、符号表示、性质及运算。通过阅读教材问题引入，结合类比实数加法、具体情境实例的探究活动，搭建前后知识联系的学习支架。 资料突出数学抽象、数学运算与直观想象核心素养的培养，采用Venn图和数轴辅助理解，设置基础运算到含参数问题的分层习题，配合知识点拨与总结反思，帮助学生深化概念理解，提升逻辑推理能力与自主学习效率。

1.3 集合的基本运算（第一课时）（导学案） ——并集与交集 1、通过实例理解并集、交集、补集的含义，区分三种集合运算，体会集合语言的简洁性，发展数学抽象素养。 2、掌握并集、交集、补集的符号与Venn图表示，能求解简单集合的交、并、补运算，培育数学运算核心素养。 3、会借助数轴、Venn图分析集合运算问题，能够处理含参数的集合运算基础题型，提升直观想象与逻辑推理素养。 重点：并集与交集的概念、符号表示及运算；用Venn图和数轴表示集合的交并运算。 难点：并集与交集概念中"或"与"且"的理解；含参数集合交并运算的处理。 阅读教材，完成以下问题： 【1】并集的概念 一般地，由___________属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集，记作：___________（读作“A并B”），即．用Venn图表示如图所示： 由上述图形可知，无论集合A，B是何种关系，恒有意义，图中阴影部分表示并集． 注意：并集概念中的“或”指的是只需满足其中一个条件即可，这与生活中的“或”字含义不同．生活中的“或”字是或此或彼，必居其一，而并集中的“或”字可以是兼有的． 【2】并集的性质： ①A∪B________A；②A∪B________B；③A∪A＝________；④A∪＝_______；⑤A∪B________B∪A；⑥如果，则______，反之也成立. 【3】交集 （1）文字语言：由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的______. （2）符号语言：_______________. （3）图形语言：如图所示. 【4】交集的性质： ①A∩B________A；②A∩B________B；③A∩A＝________；   ④A∩＝________；⑤A∩B________B∩A；⑥如果，则______，反之也成立 探究一、并集 问题1：观察下面的集合，类比实数的加法运算，你能说出集合与集合之间的关系吗？如何用数学语言表述这种关系？ (1) (2)是有理数是无理数是实数. 【辨析1】分别下列情况下，求，并画出图，观察思考. （1） （2） （3）. 思考1：下列关系式成立吗？ (1) (2) 探究二、交集 问题2：观察下面的集合，集合与集合之间有什么关系？ (1)； (2)是立德中学今年在校的女同学， 是立德中学今年在校的高一年级同学， 是立德中学今年在校的高一年级女同学 【辨析2】分别下列情况下，求，并画出图，观察思考. （1） （2） （3）. 思考2：A∩B＝A可能成立吗? A∩B＝∅可能成立吗? (1) (2) 【例1】设求. 【例2】设集合求. 【例3】写设立德中学开运动会，设 是立德中学高一年级参加百米赛跑的同学， 是立德中学高一年级参加跳高比赛的同学，求. 【例4】设平面内直线上的点的集合为，直线上点的集合为，试用集合的运算表示，的位置关系. 【题型1：并集】 1、已知集合，则等于( ). . . . . 2、(多选)已知，则中的元素可能在( ). .第一象限 .第二象限 .第三象限 .第四象限 【题型2：交集】 1、已知集合，则等于( ). . . . . 2、设，则等于( ). . . . . 【知识点拨】 求集合交、并集的两种方法： (1)定义法：若集合是用列举法表示的，可以直接利用交、并集的定义求解； (2)数形结合法：若集合是用描述法表示的由实数组成的数集，则可以利用数轴分析法求解，此时要注意集合的端点能否取到. 【题型3：根据并集与交集运算求参数范围】 1、已知集合，且，试求实数的取值范围. 2、已知集合，且，试求实数的取值范围. 【知识点拨】 利用集合交集、并集的性质解决含参问题： (1)依据：A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A； (2)解题方法：利用交并集性质将问题转化为子集含参问题，而后同子集含参问题一样求解； (3)关注点：当集合A⊆B时，若集合A不确定，运算时要考虑A＝∅的情况，否则易漏解. 一、单选题 1．设集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知集合，，则如图所示的阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C． D． 3．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 4．若集合，，且，则（    ） A． B．1 C． D． 5．已知集合，，若，则实数a的值为（     ） A． B．3 C．或3 D．2 6．已知集合，若，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．5 7．已知集合，，则 （     ） A． B． C． D． 8．为了丰富学生的课余生活，促进学生全面发展，某校开设了劳动实践、研学参观、技术培训类拓展课程．高三某班学生共有人报名参加拓展课程，其中有人报名参加劳动实践，有人报名参加研学参观，有人报名参加技术培训，同时报名参加劳动实践和研学参观的有人，同时报名参加研学参观和技术培训的有5人，只参加技术培训的人数为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．设集合，，下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 10．已知集合，，若，则的值可以为（   ） A．3 B． C．2 D．1 11．已知全集，集合，，则（   ） A． B． C． D．中的元素个数为5 三、填空题 12．集合，，则________． 13．已知集合，，若，则实数值的集合为_________． 14．设集合，则的元素个数为_____． 四、解答题 15．已知全集，集合，或．求，； 16．已知集合，，求 ． 17．设集合，非空集合． (1)若，求和； (2)若，求实数的取值范围． 18．已知集合，集合. (1)若集合B为单元素集合，求实数a的值； (2)若AB=A，求实数a的取值范围. 19．已知集合，其中为实数，集合. (1)若，求； (2)若非空集合，求实数的取值范围. 1．本节课核心知识（结合课堂知识总结）：_________________________________________________ 2．今日错题 / 不懂的内容：_______________________________________________________________ 3．出错 / 听不懂的原因：□概念不会 □审题马虎 □思路没掌握 4．我的改进小计划： _________________________________________________________________________________________ 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.3 集合的基本运算（第一课时）（导学案） ——并集与交集 1、通过实例理解并集、交集、补集的含义，区分三种集合运算，体会集合语言的简洁性，发展数学抽象素养。 2、掌握并集、交集、补集的符号与Venn图表示，能求解简单集合的交、并、补运算，培育数学运算核心素养。 3、会借助数轴、Venn图分析集合运算问题，能够处理含参数的集合运算基础题型，提升直观想象与逻辑推理素养。 重点：并集与交集的概念、符号表示及运算；用Venn图和数轴表示集合的交并运算。 难点：并集与交集概念中"或"与"且"的理解；含参数集合交并运算的处理。 阅读教材，完成以下问题： 【1】并集的概念 一般地，由___________属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集，记作：___________（读作“A并B”），即．用Venn图表示如图所示： 由上述图形可知，无论集合A，B是何种关系，恒有意义，图中阴影部分表示并集． 注意：并集概念中的“或”指的是只需满足其中一个条件即可，这与生活中的“或”字含义不同．生活中的“或”字是或此或彼，必居其一，而并集中的“或”字可以是兼有的． 【答案】 所有 【分析】根据并集的概念得解 【详解】根据并集的概念：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集，记作：读作“A并B”），即． 故答案为：所有；. 【2】并集的性质： ①A∪B________A；②A∪B________B；③A∪A＝________；④A∪＝_______；⑤A∪B________B∪A；⑥如果，则______，反之也成立. 【答案】 = B 【3】交集 （1）文字语言：由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的______. （2）符号语言：_______________. （3）图形语言：如图所示. 【答案】 交集 且 【4】交集的性质： ①A∩B________A；②A∩B________B；③A∩A＝________；   ④A∩＝________；⑤A∩B________B∩A；⑥如果，则______，反之也成立 【答案】 = A 探究一、并集 问题1：观察下面的集合，类比实数的加法运算，你能说出集合与集合之间的关系吗？如何用数学语言表述这种关系？ (1) (2)是有理数是无理数是实数. 【答案】集合C是由所有属于集合A或者属于集合B的元素构成的.这时称C是A与B的并集. ⭐并集：一般地，由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合，称为集合与集合的并集，记作（读作"并"），即 ⭐Venn图表示： ⭐注意：并集中的公共元素只出现一次（集合元素的互异性）。 【辨析1】分别下列情况下，求，并画出图，观察思考. （1） （2） （3）. 解：（1） （2） （3） 思考1：下列关系式成立吗？ (1) (2) 【答案】成立，除此以外，并集有如下运算性质， （1）（交换律）； （2）； （3）； （4）若，则； （5）。 探究二、交集 问题2：观察下面的集合，集合与集合之间有什么关系？ (1)； (2)是立德中学今年在校的女同学， 是立德中学今年在校的高一年级同学， 是立德中学今年在校的高一年级女同学 【答案】观察(1)，可以发现，8∈A且8∈B，即元素8既属于集合A又属于集合B.所有这样的元素构成的集合就是C＝{8}.(2)(3)也具有这种特征.这时称C是A与B的交集 ⭐交集：一般地，由所有属于集合且属于集合的元素组成的集合，称为集合与集合的交集，记作（读作"交"），即。 ⭐图表示： ⭐注意：交集是两个集合的"公共部分"，"且"表示同时满足两个条件。 【辨析2】分别下列情况下，求，并画出图，观察思考. （1） （2） （3）. 解：（1） （2） （3） 思考2：A∩B＝A可能成立吗? A∩B＝∅可能成立吗? (1) (2) 【答案】成立，除此以外，交集还有如下运算性质 （1）交换律）； （2）； （3）； （4）若，则； （5。 【例1】设求. 解： 【例2】设集合求. 解： 如图，还可以利用数轴直观表示例中求并集的过程. 【例3】写设立德中学开运动会，设 是立德中学高一年级参加百米赛跑的同学， 是立德中学高一年级参加跳高比赛的同学，求. 解：就是立德中学高一中那些既参加百米赛跑又参加跳高比赛的同学组成的集合.所以，是立德中学高一年级中那些既参加百米赛跑又参加跳高比赛的同学 【例4】设平面内直线上的点的集合为，直线上点的集合为，试用集合的运算表示，的位置关系. 解：平面内直线，可能有三种位置关系， 即相交于一点、平行或重合. (1)直线，相交于一点可表示为点 (2)直线，平行可表示为 (3)直线，重合可表示为. 【题型1：并集】 1、已知集合，则等于( ). . . . . 【答案】： 2、(多选)已知，则中的元素可能在( ). .第一象限 .第二象限 .第三象限 .第四象限 【答案】： 【题型2：交集】 1、已知集合，则等于( ). . . . . 【答案】： 2、设，则等于( ). . . . . 【答案】： 【知识点拨】 求集合交、并集的两种方法： (1)定义法：若集合是用列举法表示的，可以直接利用交、并集的定义求解； (2)数形结合法：若集合是用描述法表示的由实数组成的数集，则可以利用数轴分析法求解，此时要注意集合的端点能否取到. 【题型3：根据并集与交集运算求参数范围】 1、已知集合，且，试求实数的取值范围. 解：∵且， ∴，分两种情况： ①当时，则即 ②当时，则即 解得： 综上可得，实数的取值范围是： 2、已知集合，且，试求实数的取值范围. 解：∵且， ∴，且非空. 得，，解得，，即无解. 所以， 的解集为 【知识点拨】 利用集合交集、并集的性质解决含参问题： (1)依据：A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A； (2)解题方法：利用交并集性质将问题转化为子集含参问题，而后同子集含参问题一样求解； (3)关注点：当集合A⊆B时，若集合A不确定，运算时要考虑A＝∅的情况，否则易漏解. 一、单选题 1．设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以，所以. 2．已知集合，，则如图所示的阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由阴影部分表示的集合为进行求解． 【详解】由题知阴影部分表示的集合为. 3．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据并集定义求解. 【详解】，， 所以． 4．若集合，，且，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【详解】若,则，违反集合的互异性， 因为，所以. 5．已知集合，，若，则实数a的值为（     ） A． B．3 C．或3 D．2 【答案】B 【详解】若，则， 所以或. 当时，. 此时不符合集合中元素的互异性，所以； 当时，， 即. 因为，所以，所以， 即. 当时，. 综上所述，. 6．已知集合，若，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】B 【分析】根据列不等式，由此求得的取值范围，进而求得的最大值. 【详解】依题意，， 由于， 所以，解得， 所以的最大值为. 7．已知集合，，则 （     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，， 所以． 8．为了丰富学生的课余生活，促进学生全面发展，某校开设了劳动实践、研学参观、技术培训类拓展课程．高三某班学生共有人报名参加拓展课程，其中有人报名参加劳动实践，有人报名参加研学参观，有人报名参加技术培训，同时报名参加劳动实践和研学参观的有人，同时报名参加研学参观和技术培训的有5人，只参加技术培训的人数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】使用三集合容斥原理，通过韦恩图划分各部分人数，设三类都参加的人数为、只参加劳动实践和培训的人数为，根据总人数列方程化简得，再结合培训的总人数，算出只参加培训的人数． 【详解】设类课程全参加的有人，同时只参加劳动实践和技术培训的有人， 列出韦恩图，则， 可得，则只参加技术培训的人数为人． 二、多选题 9．设集合，，下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】因为，， 所以，，，． 10．已知集合，，若，则的值可以为（   ） A．3 B． C．2 D．1 【答案】AC 【分析】由题可得，分或讨论，结合集合的互异性求解. 【详解】由，得，所以或， 若，则，此时，，符合题意； 若，解得或， 当时，，，符合题意； 当时，，集合不满足互异性，不合题意； 综上，的值可以为或2. 故选：AC. 11．已知全集，集合，，则（   ） A． B． C． D．中的元素个数为5 【答案】CD 【分析】求出集合，根据集合的运算即可得到结论. 【详解】因为，所以，故A错误； 由，，得，所以，故B错误； ，故C正确； 由，得中的元素个数为5，故D正确. 故选：CD. 三、填空题 12．集合，，则________． 【答案】 【分析】由集合的交集运算即可求解. 【详解】由，， 则. 13．已知集合，，若，则实数值的集合为_________． 【答案】 【详解】∵ ，∴ ，且. 集合，分情况讨论： ① 若，解得， 此时，则，与矛盾，舍去； ② 若， 此时，则，与矛盾，舍去； ③ 若，解得， 此时，，符合题意. 综上，实数值的集合为. 14．设集合，则的元素个数为_____． 【答案】2 【分析】判断集合中的元素有哪些在集合中即可求解. 【详解】在的元素中，都不是平方数，小于2025，所以它们都不属于， 而，所以的元素个数为2． 故答案为：2. 四、解答题 15．已知全集，集合，或．求，； 【答案】或， 【详解】集合，或   则或，. 16．已知集合，，求 ． 【答案】 【分析】根据题意，联立方程组，求得方程组的解，进而得到答案. 【详解】由集合，， 联立方程组，解得或， 所以 . 17．设集合，非空集合． (1)若，求和； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）将代入，再根据交集和并集的定义计算即可； （2）若，，则根据集合的包含关系求出参数的范围即可. 【详解】（1）． 因为，所以， 所以，． （2）由于且， 故，解得， 所以实数的取值范围为. 18．已知集合，集合. (1)若集合B为单元素集合，求实数a的值； (2)若AB=A，求实数a的取值范围. 【答案】(1)-3 (2) 【分析】（1），根据B仅有一个元素，由求解； （2）由得到，分和有一个元素求解. 【详解】（1）仅有一个元素， ， （2），， 当时，，符合题意； 当有一个元素时，，符合题意； 当时，无解. ∴综上，. 19．已知集合，其中为实数，集合. (1)若，求； (2)若非空集合，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解绝对值不等式和分式不等式求得集合，可求； （2）利用集合非空可得，由，可得，求解即可. 【详解】（1）若，由，得，解得，所以. 由，得，即，所以， 解得，，所以； （2）由（1）得， 因为集合为非空集合，所以， 由，得，解得，所以， 又，所以，解得，又，所以， 所以实数的取值范围. 1．本节课核心知识（结合课堂知识总结）：_________________________________________________ 2．今日错题 / 不懂的内容：_______________________________________________________________ 3．出错 / 听不懂的原因：□概念不会 □审题马虎 □思路没掌握 4．我的改进小计划： _________________________________________________________________________________________ 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $