第2章 培优课 活用基本不等式求最值（课件PPT）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教A版）

该高中数学课件聚焦基本不等式求最值，通过常数代换法、分式分离法、消元法等核心方法，结合典型例题导入，衔接基础不等式与参数范围等综合问题，辅以规律总结和训练题构建学习支架。 其亮点是以逻辑推理和数学运算为核心，采用“例题解析-规律方法-针对性训练”模式，如例1用常数代换转化条件，例2通过分式拆分简化函数，同时拓展基本不等式链探究，助力学生提升解题策略，教师可直接用于培优教学。

培优课　活用基本不等式求最值 1 1.会根据题目特征选用常数代换法、分式分离法、消元法求最值（逻辑推理、数学运算）. 2.会利用基本不等式求参数的值（范围）（逻辑推理、数学运算）. 重点解读 一、常数代换法求最值 01 二、分式分离法求最值 02 三、消元法求最值 03 目录 课时作业 04 课时作业 05 3 一、常数代换法求最值 01 PART 目 录 【例1】　（1）已知x＞0，y＞0，且4x＋y＝1，则 ＋ 的最小值为 （　A　） A. 5 B. 4 A 解析：因为x＞0，y＞0，且4x＋y＝1，所以 ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ ＋1≥2 ＋1＝5.当且仅当 即 时等号成立，故 ＋ 的最小值为5.故选A. C. 4 D. 2 数学·必修第一册 目 录 （2）已知正实数a，b满足a＋4b＝ab，则a＋b的最小值为（　B　） A. 4 B. 9 C. 10 D. 20 B 解析：因为a，b为正实数，方程a＋4b＝ab两边同时乘以 得 ＋ ＝ 1，所以a＋b＝（a＋b） ＝ ＋4＋1＋ ≥2 ＋5＝9，当 且仅当 即 时等号成立，故a＋b的最小值为9.故选B. 数学·必修第一册 目 录 【规律方法】 常数代换法的应用技巧 　　常数代换法解题的关键是通过代数式的变形，构造和式或积式为定值 的式子，然后利用基本不等式求解最值.应用此种方法求解最值时，应把 “常数”的表达式与所求最值的表达式相乘求积或相除求商. 数学·必修第一册 目 录 训练1　（1）已知x＞0，y＞0，且 ＋ ＝1，求x＋y的最小值； 解：因为 ＋ ＝1，所以x＋y＝（x＋y） ＝10＋ ＋ . 因为x＞0，y＞0， 所以 ＋ ≥2 ＝6，当且仅当 ＝ ，即y＝3x时，等号成立. 因为 ＋ ＝1， 所以当x＝4，y＝12时，（x＋y）min＝16，所以x＋y的最小值为16. 数学·必修第一册 目 录 （2）已知a＞0，b＞0，若a＋b＝2，求 ＋ 的最小值. 解：因为a＞0，b＞0，且a＋b＝2， 则 ＋ ＝ （a＋b） ＝10＋ ＋ ≥10＋2 ＝18，当且 仅当b＝2a即a＝ ，b＝ 时，等号成立，因此 ＋ 的最小值为18. 数学·必修第一册 目 录 二、分式分离法求最值 02 PART 目 录 【例2】　函数y＝ （x＞－1）的最小值是（　　） A. 10 B. 12 C. 13 D. 14 解析：　法一　y＝ ＝ ＝（x＋1）＋ ＋4≥2 ＋4＝10，当且仅当x＋1＝ ，即x＝2时，等号成立. √ 数学·必修第一册 目 录 法二　令x＋1＝t＞0，所以x＝t－1，所以y＝ ＝ ＝ ＝t＋ ＋4≥2 ＋4＝10，当且仅当t＝ ，t＝3，即x＝2时，等号成立.故选A. 数学·必修第一册 目 录 【规律方法】 　　分式分离法是指对分子的次数不低于分母的次数的分式进行整式分 离——将分式分离为整式与“真分式”的和，再根据分式分母的情况对整 式进行拆项，为应用基本不等式求最值创造条件，进而求出最值. 数学·必修第一册 目 录 训练2　已知x＞1，则 的最大值为（　　） A. B. C. D. 解析：　因为x＞1，所以x－1＞0， ＝ ＝ ≤ ＝ ，当且仅当x－1＝ ，即x＝3时取等 号.故选A. √ 数学·必修第一册 目 录 03 PART 三、消元法求最值 目 录 【例3】　已知x＞0，y＞0，x＋2y＋2xy＝8，求x＋2y的最小值. 解：由x＋2y＋2xy＝8，可知y＝ ， 因为x＞0，y＞0，所以0＜x＜8. 所以x＋2y＝x＋ ＝x＋ ＝x＋ －1＝x＋1＋ －2≥2 －2 ＝4， 当且仅当x＋1＝ ，即x＝2时等号成立. 所以x＋2y的最小值为4. 数学·必修第一册 目 录 【规律方法】 消元法求最值的思路 　　对含有多个变量的最值问题，若无法直接利用基本不等式求解，可尝 试减少变量的个数，即用其中一个变量表示另一个变量，再代入代数式中 转化为只含有一个变量的最值问题. 数学·必修第一册 目 录 训练3　已知a＞0，且a2－b＋4＝0，则 （　　） A. 有最大值 B. 有最大值 C. 有最小值 D. 有最小值 解析：　因为a2－b＋4＝0，所以b＝a2＋4，所以 ＝3－ ＝3 － ＝3－ ≥3－ ＝ ，当且仅当a＝2，b＝8时取等 号，所以 有最小值 ，故选D. √ 数学·必修第一册 目 录 四、利用基本不等式求参数的值（范围） 04 PART 目 录 【例4】　已知a＞0，b＞0，若不等式 ＋ ≥ 恒成立，则m的最大 值为（　　） A. 10 B. 9 C. 8 D. 7 √ 解析：　因为a＞0，b＞0，所以2a＋b＞0，所以要使 ＋ ≥ 恒 成立，只需m≤（2a＋b）· 恒成立，又（2a＋b） ＝4＋ ＋ ＋1≥5＋4＝9，当且仅当a＝b时，等号成立，所以m≤9，故实数 m的最大值为9. 数学·必修第一册 目 录 【规律方法】 求参数的值或取值范围的一般方法 （1）分离参数，转化为求代数式的最值问题； （2）观察题目特点，利用基本不等式确定成立条件，从而求得参数的值 或取值范围； （3）注意等号的取舍，防止失误. 数学·必修第一册 目 录 训练4　若两个正实数x，y满足 ＋ ＝1，并且x＋2y＞4＋2m恒成立， 则实数m的取值范围是 .　 解析：∵x＞0，y＞0，且 ＋ ＝1，∴x＋2y＝（x＋2y） ＝2＋ ＋ ＋2≥4＋2 ＝8，当且仅当 ＝ ，即4y2＝x2时等号成立.由x ＋2y＞4＋2m恒成立，可知4＋2m＜8，解得m＜2. m＜2 数学·必修第一册 目 录 基本不等式链的探究与证明 （链接教材P46练习1题）“已知a，b∈R，求证ab≤ ”是基本不 等式的变形，此变形在求最值中经常用到. 数学·必修第一册 目 录 【问题探究】 基本不等式可进一步变式， ≥ ≥ab（a，b∈R），也可 表示为 ≥ ≥ （a＞0，b＞0），当且仅当a＝b时，等号 成立，即为基本不等式链. 数学·必修第一册 目 录 证明：若a，b为正数，则 ≥ ，当且仅当a＝b时等式成立. 所以 ≥ab，即 ≥ab， 又因为 － ＝ ≥0， 所以 ≥ ≥ab. 数学·必修第一册 目 录 【迁移应用】 〔多选〕设正实数x，y满足x＋y＝2，则下列说法正确的是（　　） A. xy的最小值为1 B. ＋ 的最小值为2 C. ＋ 的最大值为4 D. x2＋y2的最小值为2 √ √ 数学·必修第一册 目 录 解析：xy≤ ＝1，∵x＞0，y＞0，x＋y＝2，当且仅当x＝y＝1时，等号成立，即xy的最大值为1，故选项A错误；∵x＋y＝2，∴ （x＋y）＝1.∴ ＋ ＝ （x＋y） ＝ ＝1＋ （ ＋ ）≥1＋ ×2 ＝2.当且仅当x＝y＝1时等号成立，故选项 B正确；∵ ≤ ＝1.∴ ＋ ≤2，当且仅当x ＝y＝1时等号成立，即 ＋ 的最大值为2，故选项C错误；由 ≤ 得x2＋y2≥ ＝2，当且仅当x＝y＝1时等号成立，即x2＋y2的最小值为2，故选项D正确.故选B、D. 数学·必修第一册 目 录 课时作业 05 PART 目 录 1. 已知a＞0，b＞0，ab＝1，且m＝b＋ ，n＝a＋ ，则m＋n的最小 值是（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 解析：∵a＞0，b＞0，ab＝1，∴m＋n＝b＋ ＋a＋ ＝2a＋2b≥2 ＝4，当且仅当a＝b＝1时，等号成立，故m＋n的最小值为4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 √ 数学·必修第一册 目 录 2. 设m＞0，n＞0，且m＋2n＝1，则 ＋ 的最小值为（　　） A. 4 B. 3＋ C. 3＋2 D. 6 解析：由 ＋ ＝ （m＋2n）＝3＋ ＋ ≥3＋2 ＝3 ＋2 ，当且仅当m＝ n＝ －1时等号成立. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·必修第一册 目 录 3. 若正数x，y满足x2＋xy－2＝0，则3x＋y的最小值是（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 解析：因为x2＋xy－2＝0，所以y＝ ＝ －x，所以3x＋y＝3x＋ －x＝2x＋ ≥4，当且仅当x＝1时，等号成立，所以3x＋y的最小值是4. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·必修第一册 目 录 4. 已知a＞0，b＞0，若 ＋ ≥ 恒成立，则实数λ的取值范围为 （　　） A. λ≥5 B. λ≥9 C. λ≤5 D. λ≤9 解析：　因为a＞0，b＞0，由已知可得λ≤（a＋b）· ，因为 （a＋b）＝ ＋ ＋5≥2 ＋5＝9，当且仅当b＝2a时等号 成立，故实数λ的取值范围为λ≤9.故选D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·必修第一册 目 录 5. 已知x＞0，y＞0，x＋y＝1，则 的最小值为（　　） A. 4 B. C. ＋2 D. 2 ＋1 解析：　因为x＞0，y＞0，x＋y＝1，所以原式＝ ＝ ＝ ＋ ＋1≥2 ＋1＝2 ＋1，当且仅当 ＝ 且x＋y＝1，即x＝ －1，y＝2－ 时取等号， 所以 的最小值为2 ＋1.故选D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·必修第一册 目 录 6. 〔多选〕若a＞0，b＞0，且a＋b＝4，则下列不等式恒成立的是 （　　） A. ≥ B. ＋ ≥1 C. ≥2 D. a2＋b2≥8 解析：∵a＞0，b＞0，a＋b＝4，∴ ≤ ＝2（当且仅当a＝b＝2时取“＝”），∴ab≤4，∴ ≥ ，∴A正确，C错误；由以上分析得 ＋ ＝ ＝ ≥ ＝1，∴B正确；∵2（a2＋b2）≥（a＋b）2＝16，∴a2＋b2≥8，当且仅当a＝b＝2时取等号，∴D正确.故选A、B、D. √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·必修第一册 目 录 7. 〔多选〕已知a＞0，b＞0，且2a＋b＝1，则下列结论正确的是 （　　） A. ab的最小值为 B. ＋ 的最小值为8 C. ＋ 的最大值为 D. （a＋1）（b＋1）的最大值为2 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·必修第一册 目 录 解析：　∵a＞0，b＞0，且2a＋b＝1，∴由基本不等式可得，1＝2a ＋b≥2 ，解得ab≤ ，当且仅当2a＝b＝ ，即a＝ ，b＝ 时等 号成立，故A错误； ＋ ＝ （2a＋b）＝4＋ ＋ ≥4＋2 ＝8，当且仅当 ＝ ，即a＝ ，b＝ 时取等号，故B正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·必修第一册 目 录 ∵a＞0，b＞0，且2a＋b＝1，∴1＝2a＋b≥2 ， ＋ ＞0，∴（ ＋ ）2＝2a＋b＋2 ≤2a＋b＋2a＋b＝2，∴ ＋ ≤ ，当且仅当2a＝b＝ ，即a＝ ，b＝ 时等号成立，∴ ＋ 的最大值为 ，故C正确；（a＋1）（b＋1）＝（a＋2a＋b）（b＋2a＋b）＝2（3a＋b）（a＋b）＝2（3a2＋4ab＋b2）＝2[（2a＋b）2－a2]＝2（1－a2）＜2，故D错误.故选B、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·必修第一册 目 录 8. 已知x＞0，则 的最大值为 　​ 　. 解析：因为 ＝ ，x＋ ≥4，当且仅当x＝2时取等号，所以 的 最大值为 . ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·必修第一册 目 录 9. 若实数a，b满足ab＞0，则a2＋4b2＋ 的最小值为 ⁠. 解析：实数a，b满足ab＞0，则a2＋4b2＋ ≥4ab＋ ≥4，当且仅当a ＝2b且ab＝ 时等号成立. 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·必修第一册 目 录 10. 已知x＞－1，则 的最小值为 ⁠. 解析： ＝ ＝ ＝（x＋1）＋ ＋10，因为x＞－1，所以x＋1 ＞0，所以（x＋1）＋ ＋10≥2 ＋10＝16，当且仅当x＋1＝ ，即 x＝2时，等号成立. 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·必修第一册 目 录 11. 已知x＞0，y＞0，且2x＋8y－xy＝0，求： （1）xy的最小值； 解：由2x＋8y－xy＝0， 得 ＋ ＝1，又x＞0，y＞0， 则1＝ ＋ ≥2 ＝ ，得xy≥64， 当且仅当x＝16，y＝4时，等号成立. 所以xy的最小值为64. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·必修第一册 目 录 （2）x＋y的最小值. 解：由2x＋8y－xy＝0， 得 ＋ ＝1， 则x＋y＝ ·（x＋y）＝10＋ ＋ ≥10＋2 ＝18， 当且仅当x＝12，y＝6时等号成立，所以x＋y的最小值为18. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·必修第一册 目 录 12. 已知x＞0，y＞0，4x2＋y2＋xy＝1，求： （1）4x2＋y2的最小值； 解：∵x＞0，y＞0， ∴4x2＋y2≥2 ＝4xy＝4[1－（4x2＋y2）]， ∴4x2＋y2≥ ，当且仅当x＝ ，y＝ 时等号成立， ∴4x2＋y2的最小值是 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·必修第一册 目 录 （2）2x＋y的最大值. 解：由x＞0，y＞0，且4x2＋y2＋xy＝1，得（2x＋y）2－1＝3xy＝ ·2x·y≤ × ， ∴（2x＋y）2≤ ， ∴2x＋y≤ ， 当且仅当x＝ ，y＝ 时等号成立， ∴2x＋y的最大值是 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·必修第一册 目 录 13. 设x＞0，y＞0. （1）若x＋y＝2，求 ＋ 的最大值； 解：因为（ ＋ ）2＝（x＋1）＋（y＋1）＋ 2 ≤（x＋1）＋（y＋1）＋（x＋1）＋（y＋1）＝2 （x＋y）＋4＝8，所以 ＋ ≤2 ，当且仅当x＋1＝y＋1， 即x＝y＝1时等号成立，所以 ＋ 的最大值为2 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·必修第一册 目 录 （2）若x2＋ ＝1，求x 的最大值. 解：法一　因为x＞0，y＞0，x2＋ ＝1，所以x ＝ ≤ · ＝ ， 当且仅当x2＝ ＋ ，即x＝ ，y＝ 时，等号成立，所以x 的 最大值为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·必修第一册 目 录 法二　因为x2＋ ＝1，所以y2＝2－2x2. 因为x＞0，y＞0，所以 解得0＜x＜1. 故x ＝x ＝x ＝ ≤ × ＝ ， 当且仅当2x2＝3－2x2，即x＝ 时，等号成立， 故x 的最大值为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·必修第一册 目 录 THANKS 演示完毕 感谢观看 $