2.3 解直角三角形 课件 2026-2027学年数学湘教版九年级上册

该初中数学课件聚焦“解直角三角形”，从定义出发，通过“逐点导讲练”梳理已知元素（至少1边）求未知元素的过程，衔接勾股定理、三角函数等前置知识，搭建从条件分析到解法应用的学习支架。 其亮点在于结合“活学巧记”口诀（如“有斜求对乘正弦”）培养数学语言表达，通过思路导引和例题分层（基础到综合）发展推理能力，综合应用中“化斜为直”辅助线作法体现数学眼光。助力学生提升运算与探究能力，教师教学更具针对性和高效性。

2.3 解直角三角形 逐点 导讲练 课堂小结 作业提升 学习目标 课时讲解 1 课时流程 2 解直角三角形 知识点 解直角三角形 知1－讲 1 1. 解直角三角形：由直角三角形中已知的元素求其余未知元素的过程叫作解直角三角形. 感悟新知 知1－讲 注意 (1)在直角三角形中，除直角外有5 个元素(即3 条边、2 个锐角)，只要知道其中的2 个元素(至少有1 个是边)，就可以求出其余的3 个未知元素，即“知二求三”. (2)一个直角三角形可解，则其面积可求.但在一个解直角三角形的题中，若无特别说明，则不包括求面积. 感悟新知 知1－讲 特别解读 1. 已知两个角不能解直角三角形. 若只有角的条件，则三角形边的大小不唯一，即有无数个三角形符合条件. 2. 已知一角一边时，角必须为锐角，若已知的角是直角，则不能求解. 感悟新知 知1－讲 2. 直角三角形中的边角关系： 元素 关系 图示 三边之间 a2＋b2＝c2(勾股定理). 两锐角之间 ∠A＋∠B＝90°. 感悟新知 知1－讲 边角之间 sin A＝＝，sin B＝＝, cos A＝＝，cos B＝＝, tan A＝＝，tan B＝＝. 感悟新知 知1－讲 3. 解直角三角形的基本类型和解法 已知条件 示意图 解法 两边 (1)两直角边a，b ①由tan A=，求∠ A； ②∠ B=90° - ∠ A； ③ c= (2)斜边和一直角边(如a，c) ①由sin A=，求∠ A； ②∠ B=90°- ∠ A； ③ b= 感悟新知 知1－讲 一锐角和一边 一锐角和一直角边 (3)一锐角和其对边(如∠A，a) ①∠ B=90° - ∠ A； ② b= ，c= (4)一锐角和其邻边(如∠A，b) ①∠ B=90° - ∠ A； ② a=b·tan A，c= (5)一锐角和斜边(如∠A，c) ①∠ B=90° - ∠ A； ② a=c·sin A，b=c·cos A 感悟新知 知1－讲 注意 解直角三角形时，求某些未知量的方法往往不唯一，选择关系式通常遵循以下原则：(1)尽量选择可以直接应用原始数据的关系式；(2)尽量选择便于计算的关系式；(3)能用乘法计算的要避免使用除法计算. 感悟新知 知1－讲 感悟新知 活学巧记 口诀记忆法： 有斜求对乘正弦， 有斜求邻乘余弦， 无斜求对乘正切. “有斜求对乘正弦”的意思是：在一个直角三角形中，对一个锐角而言，如果已知斜边长，要求该锐角的对边长，那么就用斜边长乘该锐角的正弦值，其他的意思可类推. 知1－练 [母题 教材P76 练习T3]在Rt △ABC中，已知∠C=90 °，∠ A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c. 根据下列条件，解直角三角形： (1)a=20，c=20 2 ； (2)a=2 3 ，b=2. 例2 感悟新知 知1－练 思路导引： 感悟新知 知1－练 解：(1) 在Rt △ABC中，∠C=90°， a=20， c=20 ， 所以sin A=cos B= ==， b= c2-a2 =20. 所以∠A=45°， ∠B=45°. (2) 在Rt △ABC中，∠C=90°， a=2 ， b=2， 所以c= = =4， tan A=== . 所以∠A=60°. 所以∠B=90°- ∠A=90°-60°=30°. 感悟新知 知1－练 感悟新知 1-1. 如图，在Rt △ABC中，∠C=90°，AC=2 ，BC=6，求AB，∠A，∠ B. 知1－练 感悟新知 解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=23，BC=6， 所以AB==4，tan B===. 所以∠B=30°.所以∠A=90°-30°=60°. 知1－练 [母题 教材P76 练习T1，T2]在Rt △ABC中，已知∠C=90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c. 根据下列条件，解直角三角形： (1)∠A=30°，b=12； (2)∠A=60°，c=6. 例2 感悟新知 知1－练 感悟新知 思路导引： 知1－练 解：(1) 在Rt △ABC中，∠C=90°， ∠A=30°， 所以∠B=90°- ∠A=60°. 因为b=12， tan A= ， 所以=， 解得a=4 . 因为cos A= ， 所以=， 解得c=8 . 感悟新知 知1－练 (2) 在Rt △ABC中，∠C=90°， ∠A=60°， 所以∠B=90°- ∠A=30°. 因为c=6， sin A= ， 所以=， 解得a=3. 因为cos A=， 所以=， 解得b=3. 感悟新知 知1－练 感悟新知 2-1. 在Rt △ ABC 中，∠C=90 °，∠ A，∠ B，∠C 的对边分别为a，b，c. 根据下列条件解直角三角形： (1)c=20，∠ A=45°； 解：在Rt△ABC中，∠C=90°，c=20，∠A=45°， 所以∠B=90°-45°=45°，a=c·sin A=20×sin 45°=10， b=c·cos A=20×cos 45°=10 . 知1－练 感悟新知 (2)a=8，∠ A=60°． 解：在Rt△ABC中，∠C=90°，a=8，∠A=60°， 所以∠B=90°-60°=30°，b===，c===． 感悟新知 知1－练 如图2.3-1，在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=6，D是AC上一点.若tan ∠DBA=，则AD的长为________ . 例3 2 知1－练 感悟新知 解题秘方：紧扣“化斜为直法”， 通过作高把斜三角形转化为两个直角三角形求解. 解：如图 2.3-1， 过点D作AB的垂线， 交AB于点E. 设DE=x，由已知易得AE=DE=x，BE= =5x，AB= =6 ， 所以 5x+x=6 ， 解得 x= 2 . 所以AE=DE= ， 所以AD= =2. 知1－练 感悟新知 知1－练 感悟新知 3-1. 如图，在 △ ABC中，AB=1，AC= ，sin B=，求 BC 的长 . 知1－练 感悟新知 解：如图，过点A作AE⊥BC，垂足为点E. 在Rt△ABE中，因为sin B== ，AB=1， 所以AE= .所以BE==.在Rt△ACE中，AC= ，AE= ，所以CE==. 所以BC=BE+CE=. 解直角三角形 解直 角三 角形 依据 三边关系 定义 条件 两锐角关系 边角关系 课堂小结 28 题型 解双直角三角形问题 1 如图 2.3-2，在△ABC中，∠C=90°，AC=8 ，∠BAC的平分线AD的长为，求∠BAC，∠B的度数及AB，BC的长 . 例4 综合应用创新 思路导引： 综合应用创新 解：因为AC= 8 ，AD=，所以在 Rt △ACD中， cos ∠CAD===.所以∠CAD=30°. 因为AD平分∠BAC，所以∠BAC=2 ∠CAD=2×30°=60°. 所以∠B=90°- ∠BAC=90°-60°=30°.所以AB= ===16，BC= ===8 . 综合应用创新 技巧点拨 解双直角三角形的技巧： 在解双直角三角形时，若题中涉及直角三角形的角平分线或者某边上的中线，则一般先在以这条角平分线或中线为一边组成的小直角三角形中求出原直角三角形的一个角或一条边，再用解直角三角形的相关知识去解原直角三角形 . 综合应用创新 题型 利用解直角三角形求图形的面积 2 [新考法 割补法]如图 2.3-3，在四边形ABCD中，AB=2，CD=1，∠A=60°，∠B= ∠ADC=90°，求四边形ABCD的面积 . 例5 综合应用创新 解题秘方：延长AD，BC相交于点E，构造两个直角三角形，分别求出两个直角三角形未知的直角边的 长，然后用大直角三角形的面积减去小直角三角形的面积即可得到四边形的面积 . 综合应用创新 解：如图 2.3-3，延长AD，BC相交于点E. 因为∠B=90°，∠A=60°，AB=2， 所以BE=AB·tan A=2 ，∠E=90°-60°=30°. 因为∠ADC=90°，所以∠CDE=90°. 综合应用创新 在 Rt △CDE中，tan E= =，CD=1，所以DE= . 所 以 S四 边 形ABCD=S△ ABE-S△CDE= AB·BE-CD·DE=×2× 2 - ×1× =. 综合应用创新 另解思路 如图2.3-4，作 BE⊥AD 于点 E，将四边形ABCD 分割成直角梯形DEBC和△ABE.S四边形ABCD=S梯形 DEBC+S△ABE. 综合应用创新 题型 解直角三角形与特殊平行四边形的综合 3 如图 2.3-5，在四边形ABCD中，∠BCD是钝角，AB=AD，BD平分∠ABC. 若CD=3，BD=2 ，sin ∠DBC=，求对角线AC的长 . 例6 综合应用创新 思路导引： 综合应用创新 解：如图2.3-5， 过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于点 E，则∠E=90°，所以 sin ∠DBC= =， 因为BD=2 ， 所以DE=2 ×=2 ， 所以在 Rt △BDE中，BE= BD2-DE2 = (2 )2-(2 )2 =4. 综合应用创新 因为CD=3， 所以在 Rt△CDE中，CE= = =1， 所以BC=BE-CE=4-1=3， 所以BC=CD， 所以∠CBD= ∠CDB. 因为BD平分∠ABC， 所以∠ABD= ∠CBD， 所以∠ABD= ∠CDB， 所以AB//CD. 综合应用创新 同理AD//BC， 所以四边形ABCD是平行四边形. 又因为AB=AD， 所以ABCD是菱形. 设AC与BD交于点O， 则AC⊥BD，AO=CO，BO=DO=BD=×2 = . 所以在Rt △BOC中，OC= = = . 所以AC=2OC=2 . 综合应用创新 技巧点拨 作辅助线的技巧： 解四边形问题时，通常通过作辅助线将问题转化成解直角三角形问题，作辅助线时注意： (1)尽量不破坏题目中原有的已知角，特别是一些特殊角； (2)尽量使已知的边作为构造的直角三角形的边，否则会给解题造成麻烦或不能求解 . 综合应用创新 易错点 当三角形的形状不确定时，没有进行分类讨论而致错 1 在△ ABC 中，AB=4，AC= ，∠B=60°，求BC 的长. 例7 综合应用创新 错解：如图2.3-6，过点A 作AD ⊥ BC，垂足为点D. 在Rt △ ABD 中，∠ B=60°，AB=4， 所以AD=AB·sin B=4×sin 60°=4×=2 ， BD=AB·cos B=4×cos 60°=4×=2. 在Rt △ ACD 中，AC= ，AD=2 ， 所以CD= =1.因此BC=BD+DC=2+1=3. 综合应用创新 正解：当△ ABC 为钝角三角形时，如图2.3-7，过点A 作 AD ⊥ BC，交BC 的延长线于点D. 在Rt △ ABD 中，∠ B=60°，AB=4， 所以AD=AB·sin B=4×sin 60°=4×=2 ， BD=AB·cos B=4×cos 60°=4×=2. 综合应用创新 在Rt △ ACD 中，AC= ，AD=2 ， 所以CD= =1.因此BC=BD-CD=2-1=1. 当△ ABC 为锐角三角形时，同错解中的解题过程. 综上，BC 的长为1 或3. 综合应用创新 诊误区： 在解非直角三角形问题时，若已知两边及一边的对角(锐角)，但题目中没有给出图形，我们要进行分类讨论，有时受思维定式的影响，往往只考虑锐角三角形，而忽略了钝角三角形的情况. 本题中三角形的形状不确定，所以求BC的长时，应该有两种情况.错解只考虑了△ABC为锐角三角形的情况，而忽略了△ABC为钝角三角形的情况. 综合应用创新 $