第17章 因式分解 单元练习 2026-2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 人教版八年级上册第17章因式分解单元卷，通过基础巩固、能力提升、创新应用三级梯度设计，融合几何直观与实际应用，适配单元复习，培养运算能力与模型意识。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|10|因式分解定义、公式法、几何应用|第10题以长方形拼图面积关系考查因式分解应用，体现几何直观| |填空题|6|公因式、完全平方公式、整体思想|第13题通过多多项式分解找相同因式，培养推理意识| |解答题|5|综合应用、实际情境|第19题结合密码生成考查因式分解，第21题用整体思想分解，落实创新意识与应用意识|

（优学优练）第17章因式分解-2026-2027学年数学八年级上册人教版（2024） 一、单选题 1．对于任意整数n，多项式都能（   ） A．被6整除 B．被7整除 C．被8整除 D．被12整除 2．多项式中各项的最大公因式是（   ） A． B． C． D．6 3．下列分解因式中错误的是（   ） A． B． C． D． 4．已知的三边长分别是，，，且满足，判断此三角形的形状为（    ） A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 5．已知下列多项式：①；②；③；其中，能用完全平方公式进行因式分解的有（        ） A．②③④ B．②③ C．① D．①②③ 6．下列等式从左到右的变形是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 7．明明和丽丽在因式分解关于x的多项式时，明明获取的其中一个正确的因式为，丽丽获取的另一个正确的因式为，则的值为（   ） A． B． C．11 D．13 8．因式分解，则代数式等于（   ） A． B． C． D． 9．已知为正整数，计算发现代数式能被某些正整数整除，这些正整数中最大的是（   ） A．6 B．12 C．24 D．36 10．如图四张长为，宽为的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为的正方形，图中空白部分的面积为，阴影部分的面积为．若，则，满足（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．因式分解：_____． 12．若多项式能用完全平方公式进行因式分解，则______． 13．下列多项式：①；②；③；④．其中分解因式的结果中含有相同因式的是______（填序号） 14．已知，，那么代数式的值为______． 15．已知：，，都是正整数，且，，的最大值为，最小值为，则的立方根是______． 16．对任意一个正整数，如果，其中是正整数，则称为“矩数”，为的最佳拆分点．例如：，为“矩数”，为的最佳拆分点．把“矩数”与“矩数”的差记为，其中，．若“矩数”的最佳拆分点为，“矩数”的最佳拆分点为．当时，求的最大值为______． 三、解答题 17．因式分解： (1)； (2)． 18．小雅同学计算一道整式除法：，由于她把除号错写成了乘号，得到的结果为． (1)_____，_______； (2)求这道除法计算的正确结果； (3)若，求（2）中代数式的值． 19．在日常生活中，如手机支付、银行取款、手机安全设置等都需要密码．有一种利用因式分解产生的密码，方便记忆，方法如下：对于多项式： ，分解因式的结果是．当，时， ，将 162， 18， 0这三个数值按从大到小的顺序排列，于是就可以把“162180”作为一个六位数的密码． (1)对于多项式 ，当，时，求生成的六位数密码； (2)若将多项式 分解因式，则当，时，求生成的五位数密码． 20．整式乘法与因式分解是相反的变形，如整式乘法，反过来为，恰好是因式分解．基于上述原理，将式子分解因式如下： 一次项，①分解二次项和常数项；②交叉相乘再相加验证一次项；③横向写出两因式：． 请仔细阅读材料，回答下列问题： (1)填空：________； (2)若可分解为（a，b均为整数），求出整数p的所有可能值有哪些？ 21．先阅读材料，再回答问题： 分解因式： 解：令，则原式 再将还原，得到：原式 上述解题中用到的是“整体思想”，它是数学中常用的一种思想，请你用整体思想解决下列问题： (1)分解因式：； (2)若m为正整数，则为整数的平方，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《（优学优练）第17章因式分解-2026-2027学年数学八年级上册人教版（2024）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A D D B B A D C B 1．C 【分析】本题考查了分解因式，将多项式进行因式分解，再根据整除的性质即可得出答案． 【详解】解： ， ∵n是任意整数， ∴都能被8整除， ∴多项式都能被8整除． 故选：C． 2．A 【分析】此题主要考查公因式，解题的关键是熟知公因式的定义． 根据最大公因式的定义即可求解． 【详解】解：∵， ∴多项式中各项的最大公因式是， 故选：A． 3．D 【分析】本题考查平方差公式分解因式，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 根据平方差公式，逐项分析判断即可得出答案． 【详解】解：A、，故此选项分解因式正确，不符合题意； B、，故此选项分解因式正确，不符合题意； C、，故此选项分解因式正确，不符合题意； D、，故此选项分解因式错误，符合题意； 故选：D． 4．D 【分析】本题主要考查因式分解的应用，熟练掌握分解因式的方法是做题的关键．将题目中的式子变形，然后利用完全平方公式和非负数的性质，可以求得三边关系，从而可以判断三角形的形状． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． ∵ ，， ∴ 且 ， ∴ 且 ， ∴ ， ∴是等边三角形． 故选：D． 5．B 【分析】本题考查用完全平方公式进行因式分解，根据完全平方公式，检查每个多项式是否符合该形式． 【详解】解：完全平方公式为， 对于①，它的中间项为，不符合完全平方公式中的形式，故不能用完全平方公式因式分解； 对于②，符合公式； 对于③，符合公式； 对于④，平方项和异号，且不是平方项的正形式，故不能用完全平方公式因式分解； ∴能用完全平方公式进行因式分解的有②③． 故选：B． 6．B 【分析】本题考查了因式分解，掌握因式分解的定义是解题的关键． 把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，据此判断即可求解． 【详解】解：．是单项式的恒等变形，不是因式分解，故该选项不符合题意； ．是因式分解，故该选项符合题意； ．是多项式的恒等变形，不是因式分解，故该选项不符合题意； ．是整式的乘法运算，不是因式分解，故该选项不符合题意； 故选：B． 7．A 【分析】本题主要考查了因式分解与多项式乘法的互逆关系，熟练掌握“多项式因式分解后，展开因式的乘积可通过系数对应求出原多项式的系数”是解题的关键．根据因式分解的性质，多项式等于两个正确因式的乘积，通过展开比较系数求和的值，再计算 【详解】解：∵ 多项式 有两个正确因式 和， ∴ ， 展开右边：， 比较系数得：，， ∴ ，， ∴ ． 故选：A． 8．D 【分析】本题考查平方差公式因式分解，正确运用平方差公式将多项式分解是解题的关键． 将用平方差公式分解得，由等式性质两边除以即可得出． 【详解】解：∵ ，， ∴， ∴ ． 故选：D． 9．C 【分析】本题考查平方差公式，利用平方差公式化简代数式是解题关键． 利用平方差公式化简代数式，观察化简后的式子，判断其中恒定存在的正整数因数，即可判断出结果． 【详解】， 又∵n为正整数， ∴和为连续整数，其中必有一个数为偶数，即必为偶数，恒有因数2， ∴恒能被整除， 当时，原式，不能被36整除，故这些正整数中最大的是24， 故选：C． 10．B 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，解题的关键是正确表示出与． 先根据阴影部分面积为4个底为，高为的三角形面积和表示出，再由大正方形的面积减去表示，然后根据建立等式，再化简、进行因式分解求解即可． 【详解】解：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴或（舍）， 故选：B． 11． 【分析】本题考查了提公因式法因式分解，熟练掌握公因式的确定方法是解题的关键． 先确定公因式，再提取即可． 【详解】解：， 故答案为：． 12．5或 【分析】本题考查了因式分解运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．根据完全平方公式分解因式即可． 【详解】解：， ， 或， 故答案为：5或． 13．①④/④① 【分析】本题考查了因式分解的方法（提公因式法、公式法），解题的关键是熟练运用平方差公式、完全平方公式对多项式进行因式分解． 分别对四个多项式进行因式分解，再观察分解结果中含有的相同因式． 【详解】解：①； ②； ③； ④． 对比分解结果，①和④都含有因式． 故答案为：①④． 14．70 【分析】本题考查因式分解的应用，通过提取公因式将代数式转化为已知条件的形式是解题关键． 对代数式进行提公因式变形，结合已知条件整体代入计算． 【详解】解：，， ， 故答案为：70． 15． 【分析】本题考查因式分解法、二元一次方程组的整数解等知识，掌握相关知识是解题关键； 由已知条件消去，得到关于的方程，通过因式分解转化为，再根据为正整数求解所有可能组合，计算的值，从而得到最大值和最小值，最后计算的立方根． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，都是正整数， ∴， 即：， ∴， ∴或， 即：， ∴， 故答案为：． 16． 【分析】本题考查了因式分解的应用，根据题意，p和q均为矩数，且，，其中t和s为正整数，．由，可得方程，整理得．由于t和s为正整数且，因此和均为正整数，且．枚举8的正整数因子对，满足条件的仅一组，解得，，故．由于只有一组解，最大值即为． 【详解】解：由已知，，，且． 展开得， 即， 因式分解得． 由于t和s是正整数，且，故，． 又，且， 因此可能因子对为或． 当，时，解得，． 当，时，解得，，不满足正整数条件，舍去． 故唯一解为，，此时． 因此，的最大值为． 故答案为：． 17．(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18．(1)6， (2) (3) 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式的运算，多项式除以单项式的运算，代数式求值，分解因式，正确计算是解题的关键． （1）根据单项式乘以多项式的运算法则求出的结果，再根据题意可得，据此可得a、b的值； （2）根据多项式除以单项式的运算法则求解即可； （3）利用提公因式法分解因式得到，据此代入求值即可． 【详解】（1）解： ， 由题意得，， ∴， ∴； （2）解：由（1）可得， ∴ ； （3）解：∵， ∴ 19．(1)生成的六位数密码是130162 (2)生成的五位数密码是26188 【分析】本题主要考查了分解因式及其应用，解题关键是熟练掌握提公因式法和公式法分解因式． （1）先求出当时，的值，再按从大到小的顺序排列，就能求出密码； （2）先分解因式得，再求出当，时，各个式子的值，从而求出密码即可． 【详解】（1）解：∵当时，， ， ∴生成的六位数密码是：130162； （2）解： ， 当时，， 将18，26，8这三个数值按从大到小的顺序排列为26，18，8， ∴生成的五位数密码是26188． 20．(1) (2)7或或2或 【分析】本题考查了十字相乘法因式分解，解题关键是掌握“将二次项、常数项拆分后交叉相乘验证一次项”的十字相乘方法． （1）将的二次项拆为，常数项拆为，交叉相乘再相加得到，据此可得答案． （2）把展开，得出，，把分解成两个整数的乘积形式，即可得到整数的所有可能值． 【详解】（1）解：由题意得，； （2）解：∵可分解为， ∴， ∴，， ∵、为整数，且， ∴或或或或或或或 ∴或或或或或或或 ∴整数p的所有可能值为7或或2或． 21．(1) (2) 解：原式 令， ∵m为正整数， ∴是正整数， 则原式 ， ∵A为正整数， ∴为整数，故原式为整数的平方． ∴若m为正整数，则为整数的平方． 【分析】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是仔细读题，从新定义中整理出进一步解题的有关知识，难度中等． （1）设，则可化为，即，再将代入，即可解答； （2）将原式化为，令，则原式化为，即，由A为正整数，得到为整数的平方，即可解答． 【详解】（1）解：设， 则 ； （2）略 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $