第15章 轴对称 单元练习 2026-2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 人教版八年级上册第15章轴对称单元卷，覆盖轴对称图形、等腰三角形、坐标变换等核心知识点，梯度设计合理，适配单元复习巩固，体现几何直观与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|10题|轴对称识别、等腰三角形角计算、垂直平分线应用|第8题多结论判断，融合等边三角形性质与全等推理| |填空|6题|坐标对称、折叠性质、线段垂直平分线|第15题矩形折叠问题，考查空间观念与角度转化| |解答|5题|尺规作图、轴对称综合证明、动态几何探究|第21题结合轴对称与等边三角形，体现创新意识与综合应用能力|

（优学优练）第15章轴对称-2026-2027学年数学八年级上册人教版（2024） 一、单选题 1．下列图形中是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 2．等腰三角形的一个角为，则它的另外两个角为（     ） A．和 B．和 C．和 D．和 或和 3．如图，在中，于点，于点，与相交于点，若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 4．已知等腰三角形的周长为，以一腰为边作等边三角形，其周长为，则等腰三角形的底边长是（     ） A． B． C． D． 5．已知点，那么点P关于x轴对称的的坐标是（     ） A． B． C． D． 6．如图，在锐角中，，，分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于两点，作直线．若为边上的一个动点，为直线上的一个动点，则的最小值是（     ） A．7 B．9 C．12 D．14 7．如图，在中，，点关于边的对称点是，点关于边的对称点为，点关于的对称点为，则与的面积之比是（     ） A． B． C． D． 8．如图，C为线段上一动点（不与点A，E重合），在同侧分别作正和正，与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连接．以下五个结论：；；；；．一定成立的结论有（     ） A．①②③ B．①②④ C．①②③④ D．①②③⑤ 9．如图，已知，是内部的一个定点，且，点分别是上的动点，若使周长的最小，则最小周长是（     ） A．1 B．2 C．3 D． 10．下列命题中真命题的个数是（    ） ①关于某直线对称的两个三角形是全等三角形； ②圆的直径是圆的对称轴； ③有两个角是的三角形是等边三角形； ④顶角和底角相等的等腰三角形是等边三角形． A．个 B．个 C．个 D．个 二、填空题 11．若点与点关于轴对称，则的立方根为______． 12．已知点与点关于轴对称，则___________． 13．如图，在中，点在边上，．若，则_______． 14．如图，一棵大树在一次强台风中先倾斜再折断倒下，小智同学测得，树干与地面的夹角，倒下部分与地面的夹角，树尖离树根的水平距离是．原来树高约____． 15．如图，已知长方形纸片，点和点分别在边和上，且，点和点分别是边和上的点，现将点，，，分别沿，折叠至点，，，，若，则的度数为____________． 16．如图，在中，，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点和点，作直线交于点，连接，则________． 三、解答题 17．在中，，平分，平分，过O点作，使， (1)图中又会有几个等腰三角形？ (2)仍然成立吗？ 18．已知，如图，平分，交的垂直平分线于E，于F． (1)点E到的距离___________（填，或） (2)求证：． 19．如图，是等边三角形，以为一边作等腰三角形，使，且点在的左侧，设． (1)求作的对称轴； （要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，连接，分别交，于点E，F． ①求的度数； ②求证：． 20．如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为． (1)画出关于轴对称的图形，点、、的对应点分别为点、、； (2)在（1）的条件下，写出点、、的坐标． 21．已知为轴负半轴上一点，点与点关于轴对称，为轴正半轴上一点． (1)如图1，连接、，若，平分交轴于点，交于点，已知点的坐标为，请直接写出点的坐标 ； (2)如图2，为第一象限内一点，且，连接并延长交轴于点，试探究线段、和之间的数量关系并证明； (3)如图3，若，的坐标为，在直线上取两点、，使得，连接、、，以为底边在的下方构造等腰，且，连接交轴于点，求点坐标（用含的式子表示）． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《（优学优练）第15章轴对称-2026-2027学年数学八年级上册人教版（2024）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D D B B A B D C C 1．B 【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A、C、D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； B选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 2．D 【分析】分两种情况：顶角为和底角为，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：当顶角为时，则底角为，即另外两个角为和， 当底角为时，则顶角为，即另外两个角为和 ， 综上所述，另外两个角为和 或和． 3．D 【分析】根据垂直的定义可知，根据同角的余角相等可得，证明，根据全等三角形的性质可证，根据角之间的关系即可求出的度数． 【详解】解：，， ， ，， ， 在和中，， ， ， ， ． 4．B 【分析】先根据等边三角形的性质求出等腰三角形的腰长，再结合等腰三角形的周长计算底边长，最后验证三角形三边关系即可得到结果． 【详解】解：∵等边三角形周长为，且等边三角形三边相等， ∴等边三角形的边长为，即等腰三角形的腰长为， ∵等腰三角形周长为， ∴等腰三角形的底边长为， 又∵，满足三角形三边关系， 因此等腰三角形底边长为． 5．B 【分析】本题考查平面直角坐标系中点的对称规律，用到关于x轴对称的点的坐标性质：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，直接根据性质求解即可． 【详解】解：∵点坐标为，关于轴对称的点横坐标不变，纵坐标互为相反数， ∴点的横坐标为，纵坐标为， ∴的坐标为． 6．A 【分析】连接、，由作图得垂直平分，则，从而可得，由垂线段最短可得，当时，的值最小，此时的值也最小，再结合三角形面积公式计算即可得出结果． 【详解】解：如图，连接、， 由作图得垂直平分， ∴， ∴， 由垂线段最短可得，当时，的值最小，此时的值也最小， ∵在锐角中，，， ∴， ∴， ∴的最小值是． 7．B 【分析】本题考查了轴对称的性质、三角形全等的判定和性质，先根据对称的性质推出，，，从而证明，进而求出两个三角形面积相等，以及，利用面积相等，底相等推出高相等，结合对称性质推出，利用底相同，高的关系通过等量转换求出与的面积之比． 【详解】解：连接并延长交于点，记与的交点为，连接，， 如图所示， 点关于边的对称点是，点关于边的对称点为，点关于的对称点为， ，，，，， ， ，，， ， ， ， 三点共线， ， ，， ， ， ， ， . 8．D 【分析】①由于和是等边三角形，可知，，，从而证出，可推知；②由得，加之，，得到，再根据推出为等边三角形，又由，根据内错角相等，两直线平行，可知②正确；③同②得：，即可得出结论；④根据，，可知，可知④错误；⑤利用等边三角形的性质，，再根据平行线的性质得到，于是可知⑤正确． 【详解】解：①∵和是等边三角形， ∴，，， ∴， 在和中， ∴， ∴，，，①正确； ②， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，②正确； ③与②的过程同理得：， ∴， ③正确； ④∵，且， ∴，故④错误； ⑤∵， ∴， ∵是等边三角形，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴⑤正确． ∴①②③⑤是正确的． 9．C 【分析】作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接、，，可证明当四点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值，最小值为的长；证明是等边三角形，得到，则的周长的最小值为3． 【详解】解：作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接、，， 由对称性可知，，，， 的周长， ∵点P为定点， ∴点是定点， ∴当四点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值，最小值为的长； ，， ， ， ∴， ， 是等边三角形， ， ， ∴的周长的最小值为3． 10．C 【分析】根据轴对称的性质、对称轴的定义和圆的基本概念、等边三角形的判定，逐一判断每个命题的真假，统计真命题个数即可． 【详解】① 根据轴对称的性质，关于某直线对称的两个图形全等，因此关于某直线对称的两个三角形是全等三角形，故①是真命题； ② 对称轴的定义是直线，圆的直径是线段，正确表述是直径所在的直线是圆的对称轴，故②是假命题； ③ 三角形内角和为，若三角形有两个角是， 第三个角为，三个内角都相等，因此该三角形是等边三角形，故③是真命题； ④ 等腰三角形两个底角相等，且这个等腰三角形顶角与底角相等， 这个三角形三个内角都相等， ∴这个三角形的每个内角都是，因此该三角形是等边三角形，故④是真命题； 综上，真命题共个． 11．1 【分析】本题考查了关于轴对称的点的坐标特征以及立方根的计算，关键是根据关于轴对称的点的坐标规律求出和的值． 【详解】解：∵点与点关于轴对称， ∴，， ∴， ∵的立方根为， 故答案为：1． 12． 【分析】本题考查了关于x轴对称的点的坐标特征． 根据关于x轴对称的点的坐标特征，横坐标相等，纵坐标互为相反数，建立方程求解a和b，再计算它们的和即可． 【详解】解：∵点与点关于轴对称， ∴两点横坐标相等，纵坐标互为相反数， 即，， 解得：，， 因此． 故答案为：． 13． 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，掌握等腰三角形的性质是解题的关键．根据，可得，由三角形外角的性质可得，再由，即可解得． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 14．10 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，求得，即可求得，即可解答． 【详解】解：，， ， ， ， ． 即原来树高约． 故答案为：． 15． 【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的判定与性质，解题的关键是熟练掌握折叠的不变性．延长交于点T，证明，则． 【详解】解：延长交于点T，如图， 由折叠可得：， ∵ ∴， ∴， ， ， ∵ 故答案为：． 16． 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质与三角形外角的性质，灵活运用垂直平分线的性质是解题的关键．根据垂直平分线的性质得到，进而推出，再利用三角形外角性质求出的度数． 【详解】解：由作法得垂直平分， ， ， ． 故答案为：． 17．(1)图中有2个等腰三角形 (2)解：成立，理由如下： ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴． 【分析】（1）根据平行线的性质结合角平分线的定义得出，，得出，，因此和是等腰三角形； （2）由（1）得到，，根据线段的和差即可得到． 【详解】（1）解：∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴和是等腰三角形． 综上所述，图中有2个等腰三角形． （2）略 18．(1) (2)证明：如图，连接， ∵， ∴ 又∵， ∴ ∴ ∴ ∵垂直平分 ∴ ∵， ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴． 【分析】（1）过点E作交的延长线于点H，求出，然后利用角平分线的性质定理求解； （2）连接，，首先证明，得到，推出，然后证明，得到，即证明． 【详解】（1）解：如图，过点E作交的延长线于点H， ∵ ∴ ∴， ∵平分 ∴ ∴ ∵， ∴， ∴点E到的距离； （2）略 19．(1)见解析 (2)①；②见解析 【分析】此题考查了垂直平分线的作图和性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质． （1）作线段的垂直平分线交于点即可； （2）①由（1）得是的对称轴，求出，，根据即可求出答案；②在上截取，连接交于点，证明，则，再证明，根据即可得到结论． 【详解】（1）解：如图1，射线就是所求作的．    （2）①如图2，由（1）得是的对称轴， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ； ②如图2，在上截取，连接交于点， 由（2）得，              由（2）得， ∴在Rt中，         是等边三角形， ，             ， 即 20．(1)见解析 (2)、、 【分析】本题考查了画轴对称的图形、坐标与图形，熟记轴对称的性质并进行画图是解本题的关键； （1）分别确定、、关于轴的对称点、、，再顺次连接即可； （2）根据点的位置写出坐标即可． 【详解】（1）解：如图所示：即为所求； （2）解：由上图可知：、、． 21．(1) (2) ， 证明：如图，作点关于轴的对称点，连接，，，设， ∵，且， ∴是等边三角形， ∴，， ∵点与点关于轴对称， ∴，，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点与点关于轴对称， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； (3) 【分析】（1）容易证明，则，根据含角的直角三角形的性质可得，因此，从而求出点的坐标； （2）作点关于轴的对称点，连接，，，设，根据题意是等边三角形，则，，结合轴对称的性质可得．利用三角形的内角和定理和等腰三角形与等边三角形的性质可得，则，从而证明是等边三角形．容易证明，则，等量代换后得出结论； （3）延长至点，使得，连接，先证明是等边三角形，再通过四边形内角和得出，则．容易证明，则，．通过等量代换可得是顶角为的等腰三角形，则．同理（1）可证明，从而求出点的坐标． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∵点的坐标为， ∴， ∴， ∴点的坐标为； （2）略 （3）解：如图，延长至点，使得，连接， ∵点， 又∵点与点关于轴对称， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵是以为底边的等腰三角形， ∴， ∴， ∴， 在四边形中，， ∴， ∵， ∴， ∵， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴点的坐标为． 【点睛】本题是三角形的综合题，考查等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，轴对称的性质，点关于坐标轴对称问题，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $