第15章 轴对称《最短路径》训练 2025-2026学年人教版数学八年级上册

《最短路径》精选典型题2025-2026人教版八年级上学期数学期末复习 一、单选题 1．如图，在等腰中，，是边上的高，点是高上任意一点，点是边上任意一点，，，，则的最小值是（　　） A．3 B．5 C． D． 2．如图，在中，，，，是的平分线．若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是（　　） A． B．4 C．5 D． 3．如图，在中，，且三点共线，点是线段上任意一点，连接，则的最小值为（　　） A．8 B．10 C．12 D．16 4．如图，在中，，，，直线垂直平分线段，若点为边的中点，点为直线上一动点，则周长的最小值为（　　） A．12 B．13 C．10 D．14 5．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=8cm，D是BC边中点，P是AC边上的一个动点，连接PD，以PD为边在PD的下方作等边△PDQ，连接CQ，则CQ的最小值（　　） A．1cm B．2cm C．4cm D． 6．如图，在等边三角形中，是中线，点P，Q分别在，上，且，动点E在上，则的最小值为（　　） A．2.5 B．3 C． D．3.5 7．已知中，，将沿边进行对折使得点B落在点D处，过点C作垂直于点E，点P是直线CE上一动点，当的值最大时，的度数为（　　） A． B． C． D． 8．如图，△ABC为等边三角形，AB=8，AD⊥BC，点E为线段AD上的动点，连接CE，以CE为边作等边△CEF，连接DF，则线段DF的最小值为（　　） A．2 B．4 C．1.5 D． 9．如图，在四边形中，，，在，上分别找一个点，，使的周长最小，则（　　） A． B． C． D． 二、填空题 10．如图，在中，，，，，是的平分线．若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是　 　． 11．如图，等边三角形的边长是6，高是，E是的中点，P是上一动点，连接，，则的最小值是　 　． 12．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B为x轴上一动点，以为边在直线的右侧作等边三角形．若点P为的中点，连接，则的长的最小值为　 　． 13．如图，中，，，，为的中点，在线段上有动点，，且，在线段上有动点，连接，．则的最小值为　 　． 14．如图，在中，，，点为边上任一点，点是中点，以为边作等边，连接，则当取最小值时，　 　． 15．如图，在中，，点在边上，，，点是边所在直线上的一动点，连接，将绕点顺时针方向旋转得到，连接，则的最小值为　 　． 16．如图，在中，，点，，分别是各边上的动点，若，，，则的最小值是　 　． 17．如图，中，，，若点是直线上一动点，连接，以为边作等边三角形，若，求的最小距离为　 　． 18．如图，在等腰中，，，点D，E分别为边上的动点，且，连接，当的值最小时，的大小是　 　． 19．如图，四边形ABCD中，∠BAD=130°，∠B=∠D=90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN周长最小时，则∠AMN+∠ANM的度数为　 　． 三、解答题 20．如图1，在中，，，平分，交边于点，点为边上的一个动点． （1）如图1，连接，当是四边形的对称轴时，求线段的长； （2）如图2，点是的中点，点为线段上的一个动点，连接、，当最小时，的长为　 　； （3）如图3，若，点是的中点，将沿翻折至，连接．当为等腰三角形时，求的度数． 21．早在古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题：将军每天从军营出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的军营开会，应该怎样走才能使路程最短？这个问题的答案并不难，据说海伦略加思索就解决了它．从此以后，这个被称为“将军饮马”的问题便流传至今． 几何模型：条件：如图1，A、B是直线同旁的两个定点． 问题：在直线上确定一点，使的值最小． 解法：作点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为，且的最小值为线段的长． （1）根据上面的描述，在备用图中画出解决问题的图形； （2）应用： ①如图2，已知，其内部有一点，在的两边分别有C、D两点（不同于点），使的周长最小，请画出草图，并求出周长的最小值； ②如图3，，点M、N分别在边上，且，点P，Q分别在上，则的最小值是________． （3）拓展：如图，在四边形中，，在上分别找一个点M，N，使的周长最小，则________． 答案解析部分 1．【答案】D 2．【答案】A 3．【答案】C 4．【答案】A 5．【答案】B 6．【答案】B 7．【答案】C 8．【答案】A 9．【答案】C 10．【答案】 11．【答案】 12．【答案】6 13．【答案】 14．【答案】 15．【答案】 16．【答案】 17．【答案】 18．【答案】 19．【答案】100° 20．【答案】（1）解：由题意得：，若是四边形的对称轴，则， ∴. （2）1.5 （3）解：连接，由题意得：， ∴， ∴； 由翻折可知：， ∴，； ∴； 设，则； 时， 则， ∵， ∴， 解得：； ∴， ∴， ∴， ∴； 时， ， ∵， ∴， 解得：； ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述：的度数为或. 21．【答案】（1）解：由题意，作图如下： （2）解：①由题意，作图如下： 由作图可知：，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴周长的最小值； ②：3. （3）140 1 学科网（北京）股份有限公司 $