第13章 三角形 单元练习 2026-2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 人教版八年级上册第13章三角形单元卷，覆盖三角形分类、性质、面积计算等核心知识，通过生活情境（如工人砌门）与几何应用（如凸透镜折射）融合，适配单元复习巩固，培养抽象能力与几何直观。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题|三角形分类、稳定性、三边关系|第3题以木条固定门框考稳定性，体现应用意识| |填空题|8题|等腰三角形判定、直角三角形存在性|第10题藏宝图找点考直角三角形分类，培养空间观念| |解答题|6题|规律探究、动态问题、角平分线综合|第21题动点P探究线段关系，发展推理能力与创新意识|

（优学优练）第13章三角形-2026-2027学年数学八年级上册人教版（2024） 一、单选题 1．如图是三角形按边分类的关系图，则图中的A表示（　　） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 2．图中共有（   ）个三角形． A．5 B．6 C．7 D．8 3．如图，工人师傅砌门时，常用一根木条固定长方形门框使其不变形，这样做的根据是（     ） A．两点之间线段最短 B．四边形更稳定 C．三角形的稳定性 D．垂线段最短 4．若三角形的两条边长分别为和，则它的第三边长可能为（     ） A． B． C． D． 5．如图，在中，点、、分别为、、的中点，已知阴影部分的面积为，则的面积为（   ） A． B． C． D． 6．中，各角的度数有下列关系：，则一定是（     ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 7．如图，是的外角的平分线，且交的延长线于点E．、与有什么样的关系（     ） A． B． C． D． 8．如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为焦点．若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 9．的三边为，且满足关系，则是___________三角形． 10．如图为一张藏宝图，有一人想出发寻宝，已知秘密宝藏藏在图中的某个黑点标示的位置．经过调查，秘密宝藏的位置P满足条件：为直角三角形，符合条件的P点的个数为______个． 11．三角形的两边长分别是4、7，则周长L的取值范围是 ________________． 12．如图，中，，，，，P为直线上一动点，连接，则线段的最小值是_______． 13．如图，是的中线，E是的中点，连接．如果的面积是16，那么图中阴影部分的面积为____________． 14．如图，在中，、分别是的高且，，，则_____． 15．如图，在中，是边上的高，是的平分线，，，求的度数______ ． 16．如图：已知，则_______． 三、解答题 17．已知a，b，c是一个三角形的三边长，化简． 18．找规律，填空： (1)请按照下列要求数出三角形的个数． ①边上有1个点〔图（1）〕，三角形的个数为________． ②边上有2个点〔图（2）〕，三角形的个数为________． ③边上有3个点〔图（3）〕，三角形的个数为________． (2)当边上有m个点（不含两点）时，图形中三角形的个数为________． 19．如图，中，、边上的高分别是、．已知，，． (1)的面积； (2)的长度． 20．如图，中，，是边上的高，为垂足，平分，交于点，，，求的度数． 21．在中，，为直线上任意一点，连接，于点，于点，于点． (1)如图1，观察、测量、猜想、证明，，之间的数量关系，完善空格内容． 小明是这样证明的：__________． __________． ， __________． (2)如图，当点为中点时，试判断与的数量关系__________． (3)如图2，当点在的延长线上时，请猜想，，之间的数量关系并证明． 22．在中，与的平分线相交于点． (1)如图①，若，则______________；（用的代数式表示，请直接写出结论） (2)如图②，作外角、的角平分线交于点，试探究与之间的数量关系，并说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《（优学优练）第13章三角形-2026-2027学年数学八年级上册人教版（2024）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D B C B A C B B 1．D 【分析】根据三角形的分类可直接得到答案． 【详解】解：三角形按边分类应分为等腰三角形和不等边三角形，等腰三角形又分为腰与底不相等的等腰三角形和等边三角形， 则图中的A表示等腰三角形． 2．B 【分析】本题考查三角形的定义，熟练掌握相关知识是关键． 不在同一直线上的三个点可以确定一个三角形，使用列举法即可． 【详解】解：如图， 图中三角形为、、、、、共个． 故选：B． 3．C 【分析】根据三角形具有稳定性解答即可． 【详解】解：工人师傅砌门时，常用一根木条固定长方形门框使其不变形，这样做的根据是三角形的稳定性． 4．B 【详解】解：设第三边长为， 得，即， 选项中只有符合该范围． 5．A 【分析】根据点、、分别为、、的中点，得到，，，，推出，，根据阴影部分的面积为，得到，即可求解． 【详解】解：点、、分别为、、的中点， ，，，， ，， 阴影部分的面积为， ， ， ． 6．C 【分析】设，利用三角形内角和定理求出三个内角的度数，即可判断三角形类型． 【详解】解：设， ， ，， ， 解得：， ，最大角为钝角， 是钝角三角形． 7．B 【分析】先求出，再根据角平分线的定义求出，最后根据三角形外角的性质，即可解答． 【详解】解：∵，平分， ∴， ∴， 即． 8．B 【分析】由平行线的性质可得，由对顶角相等可得，最后再由三角形外角的定义及性质计算即可得出结果． 【详解】解：如图： 由题意得， ∴， ∵， ∴． 9． 等腰 【分析】题目主要考查乘法的性质，等腰三角形的定义，熟练掌握是解题关键． 根据乘积为零的性质，至少有一个因子为零，从而得到至少有两边相等，因此三角形为等腰三角形． 【详解】解：∵， ∴或或，即或或， ∴至少有两边相等，是等腰三角形， 故答案为：等腰． 10． 【分析】分三种情况，当时，当时，当时，分别找出符合条件的P点的个数，即可解决问题． 本题考查了直角三角形的性质，正确作出图形是解题的关键． 【详解】解：如图，分三种情况： 当时，符合条件的P点的个数有2个； 当时，符合条件的P点的个数有2个； 当时，符合条件的P点的个数有2个； 综上所述，为直角三角形，符合条件的P点的个数为（个）． 故答案为：6． 11． 【分析】先根据三角形三边关系求出第三边的取值范围，再结合周长表达式得到周长的取值范围． 【详解】解：设三角形第三边长为， ∵三角形任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边， ∴， ∴， ∵周长， ∴，即． 12． 【分析】根据当时，的值最小，利用面积法求解即可． 【详解】解：，，，， 当时，的值最小， 此时：的面积， ， ． ∴线段的最小值是． 13．8 【分析】根据三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分的知识进行解答即可． 【详解】解：∵ 是的中线，的面积是16， ∴， ∵E是的中点， ∴，， ∴阴影部分的面积为． 14． 【详解】解：根据三角形面积公式可得：， ∵， ∴， ∴． 15． 【分析】由三角形高的定义得，即得，得到，进而根据角平分线的定义得，最后根据三角形内角和定理解答即可求解． 【详解】解：∵是边上的高， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 16．/40度 【分析】先利用平行线的性质可得，再由垂线的定义得出，然后在三角形中利用内角和定理求出的度数即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ． 17． 【分析】根据三角形三边关系判断每个绝对值内式子的正负，去绝对值后合并同类项即可． 【详解】解：，，是三角形的三边长， ，得；，得；，得， ∴原式 ． 18．(1)3，6，10 (2) 【分析】此题考查了规律型：图形的变化类． （1）由已知条件可得出点、之间有1个点时，即线段共有3个点时，边上线段的总数为：，共有3个三角形；点、之间有2个点时，共有6个三角形；点、之间有3个点时，共有10个三角形； （2）通过观察得知，点、之间有个点时，边上线段的总数为：，推出结论； 【详解】（1）解：通过观察得知： 点、之间有1个点时，即线段共有3个点时，边上线段的总数为：，共有3个三角形； 点、之间有2个点时，即线段共有4个点时，边上线段的总数为：，共有6个三角形； 点、之间有3个点时，即线段共有5个点时，边上线段的总数为：，共有10个三角形； 故答案为：3，6，10 （2）解：由（1）可看出，点、之间有个点时，即线段共有个点时，边上线段的总数为：，共有个三角形； 故答案为：． 19．(1) (2) 【详解】（1）解：的面积为：； （2）解：， ． 20． 【分析】因为，所以在中，可利用直角三角形两锐角互余，求出的度数，因为是边上的高，所以，结合和的度数，可求出和的度数，从而得到的度数，因为平分，所以可得到的度数，再利用三角形内角和为，即可求出的度数． 【详解】解：∵ ， ∴ ， 在中， ， ∵ 是 边上的高，即 ， ∴， 在中， ， 在中，， ∴ ， ∴ ， ∵ 平分 ， ∴ ， 在中， ． 21．(1)；；； (2) (3)；证明见解析 【分析】（1）根据已有的过程结合面积之间的关系列式，即可作答； （2）由点D为中点，得到，结合，推出，然后结合即可作答； （3）同（1）的方法求解． 【详解】（1）解：； 证明：， ， ， ； （2）解：点为中点， ∴ ， ， ； ， ； （3）解：，理由如下： ， ， ， ∴． 22．(1) (2)，理由如下， ∵外角，的角平分线交于点， ， ， 由（1）可知，， ． 【分析】（1）根据角平分线的定义以及三角形内角和定理即可得出答案． （2）根据角平分线的定义，平角的定义，结合三角形内角和定理即可得出，继而得到，继而结合（1）中结论得到． 【详解】（1）解：∵与的平分线相交于点， ∴ ， ∵， ∴， 故答案为：； （2）略． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $