数学-2026年7月辽宁省高一期末试题

7月高一数学 本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上 无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是 符合题目要求的。 1.点(sin223°，tan(一72)在平面直角坐标系中位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.已知(i一i2)之=1+3i,则复数之= A.2+i B.2-i C.-1+2i D.-1-2i 3.已知a,B为两个不同的平面，a,b,c为三条不同的直线，给出下面四个命题： ①若a⊥c,b⊥c,则ab;②若a⊥a,b⊥a,则ab;③若a∥B,aCa,bCB,a与b不平行，则a,b 为异面直线；④若a二a,b二a,a∥3，b∥3，则a∥B.其中正确命题的个数为 A.0 B.1 C.2 D.3 4.已知向量a=(1,2),b=(3,4),则a在b上投影的数量为 A.- 11√5 B.115 5 5 e号 D. 5 5,不<a<元，则ta 5.已知sina=13'2 2 A号或S R C.5 1 D. 5 6.沈阳万泉公园摩天轮座舱离地高度（单位：米）与摩天轮运行时间t(单位：分钟，t≥0)的关系 H()可近似地看作是由函数f)=44.5一44c0s(否+)的图象向右平移2个单位后得到的， 当座舱高于66.5米时可以观赏到沈阳远景.则某游客乘坐摩天轮一圈可以观看到沈阳远景的分 钟数共计为 0 A.3 B. c. 15 D. 高一·数学第1页（共4页） 7.如图，在三棱锥A1-ABC中，AA1⊥平面ABC,AB⊥BC,AA1=2,AB=BC=A ,则此三棱锥的外接球体积为 W10 9 A.2 B.36π 5√5 C.9π D. 6π 8.如图，在△ABC中，AB=4,AC=3,BC=√13，E,F分别是AB,AC上的点，且 AB=2AE,AC=3FC,连接CE,BF,交点为D,连接AD,则cos∠ADB的值为 A.、43 19 B.、21 7 C.-⑤7 19 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目 要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.下列关于复数的说法正确的是 A.当m=1时，m-1+(m2-1)i是纯虚数 B.若复数之1，之2满足之1之2∈R,则之1=之2 C.当m>1时，复数m一1+(m2一1)i在复平面内对应的点在第一象限 D.若复数1，之2在复平面内对应的点关于x轴对称，则|之1|=|之2 10.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为B1C上的动点，则 D A.AC1与BD1是相交直线 B B.A,C1与BD1互相垂直 D C.A1C1与B1C所成的角为60° D.三棱锥E-ADD1的体积为定值 11.在平面直角坐标系中，以原点O为顶点，x轴正半轴为始边作角α，B,其终边分别交以O为圆心 的圆于P,Q两点，P(4,-3),f()=OP·OQ,则 Aos量-m号=号 B.若∠POQ-2则an(牙-)=-司 C。当f(g)取最大值时，sin9 D.当8e合，)时，59e10-155,108-》 高一·数学第2页（共4页） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知向量a=(1,1),b=(1,5),λa十b与b一2a垂直，则实数λ= 北 13.某军舰获悉，有不明国籍潜艇位于以A为圆心，15，√3km为半径的圆形海 域内.此时该军舰位于A点南偏东15°方向，距离A点30km的海面B处，如 5 图.根据命令，该军舰即刻以每小时40k的速度沿西偏北30°方向搜寻，军舰 行驶进潜艇所处的圆形区域，则需要启用多传感器搜寻，驶离则关闭.则该军 30B(军舰) 舰启用多传感器搜寻的时长为 小时.（参考数据：√2≈1.4) 14.在三棱锥S-ABC中，E,F,G,H分别为所在棱的中点，如图，四边形EFGH 把三棱锥分成两部分，则多面体SEHBGF与多面体AEFCGH的体积之比 为 四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)某沿海观察站实测某日海湾潮汐发现：①以当日零时x=0(x为当日时间，计时方法为 24小时制，单位：小时)为计时起点，一天24小时潮汐周期性涨落，周期为12；②水深值h(x) (单位：米)满足三角函数模型h(x)=8sin(wx-君)oswr十7(a∈R);⑧h(x)≥7时为大潮警 π 戒水位，h(x)≤3时为浅滩搁浅警戒水位. (1)写出当日24小时内退潮的时间段； (2)某作业船需在非警戒水位施工，预估该作业船每天能施工的时间段. 16.(15分)在△ABC中，AB=3,∠C=30°，点D在AC上，且AD=2DC,连接BD,2DB·DA= AB2-(DA|一|DB|)2,试判断△ABD的形状. 高一·数学第3页（共4页） 17.(15分)如图，圆锥SO的母线长为32，四边形ABCD为圆锥底面圆的内接正方形，边长为2， E,F分别为母线SD,SB的中点. (1)求证：SB∥平面AEC; S (2)求AE和平面SBD成角的正切值； (3)求几何体ABCDEF的体积. D 18.(17分)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,从下面三个条件中选取一个解答问 题：①c=2b-a cos Cco8A②bcos A-2cosC=aosA+C:③26十ca7 sin Bsin(B-A c(b2+a2-c2) sinc(a≠2）. (1)求角C的大小； (2)若c=2√7，△ABC的面积为3√3，求△ABC的周长. 19.(17分)图1是边长为2的正方形ABCD,E,F分别为AD,BC的中点，将正方形ABCD沿EF 折成一个直二面角，如图2，连接DF,CE,交于点G,H为AB的中点，连接GH,EH,AD. (1)求证：GH⊥EF; D D G (2)求二面角D-EG-H的余弦值； E (3)设Q为线段AD上的动点，求Q到平面EGH的 距离的取值范围. 图1 图2 高一·数学第4页（共4页） 高 一 数 学 本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上。 2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 $高 数学 参考答案及解析 7月高一数学 一、选择题 1.C【详解】因为sin223°<0，tan(-72°)0，故点(sin223°，tan(-72°)在平面直角坐标系中位于第 三象限 2.A【详解】由(i)车(1+z=1+3i,得zt+30-2+i 1+i2 3.C【详解】①若a⊥c,b⊥c,则a与b相交、平行、异面均有可能，错误.②若a⊥，b⊥a,则a∥b,正确.③若 a∥B,aCu,bCB,a与b不平行，则a,b为异面直线，正确.④若aCa,bCa,a∥B,b∥B,若a与b 不相交，则a与B不一定平行，错误. 4D【详解】由两个向量数量积的几何意义可得，向量a在向量b上投影的数量等于ab! b151 5C【详解】法一：因为siau款，则cosw号 tam22a学号ua5. *2 cos 2cos2 1+cosa 达1ramw子行斯以a5m片即90m片as0 即(5tam1)tan号5)-=0，解得tam域tam与5.又因为5aK,所以号所以tan吟l,故tam5. 6B【详解】由腿意易得0454c0品2由45-40号665，可得0后K宁又1≥0.则2品<誓 解得号因此某游客菜坐摩天轮一图可以寇看到沈阳远景的分钟数共计为？号 7.A【详解】法一：因为AA1⊥平面ABC,ACc平面ABC,所以AA1⊥AC,取A1C的中点为O,连接AO1,BO1,在 Rt△A1AC中，A1O1=AO1=CO1.过O1作O1O2⊥AC,交AC于O2,易知O2为AC的中点且O1O3∥AA1,所以 O1O,⊥平面ABC,连接BO2,因为BO,c平面ABC,所以QO,1BO,在Rt△ABC中，A0O2=BO,-CO2,因此 Rt△AO1O3≌Rt△BO1O2≌Rt△CO1O2,所以AO1=BO1=CO1,因此O1即三棱锥AABC外接球的球心 由题意，AC5,44=2,因此AC马，则外接球的半径为号，则外接球的体积V球)3号元 第1页共9页 高 数学 法二：把三棱锥A1-ABC补成一个长方体，如图，易知外接球直径为A1C,由题意，AC=√5，AA=2,则AC=3, 因此外接球半径为，外接球的体积V()号π A B 8.C【详解】因为AB-4,AC=3,BC=V3, 所以cw∠B4CEa2B所以∠aC-60 2AB·AC 法一：设AB=a,AC=b, 因为点C,D,E共线，故存在实数2，使得CD=CE,即AD-AC=(AE-AC),所以 AD=AE+(1-)AC=a+(1-A)B.D 因为点B,D,F共线，故存在实数u，使得BD=BF,即AD-AB=AF-AB),所以 ADμAF+(1-0ABμi+(1-0a.② 由①②和平面向量的基本定理可知， =1-4 2 解得片 1-元=34， 2 所以ADa+b,BD=AD-AB-a+b-aba.a万-cos.∠B4C=6,所以AD 11 )2 -四 4a+2 2 BD- =4D-BD-+bb-号 所以coS∠ADB=AD·BD=7 AD.BD 19 法二：以C为原点，AC所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，如图， 由题意易得A(3,0),B(1,2V3),因为E为AB中点，所以E(2,V3), F(1,0),易知BF⊥x轴，故BF的方程为x=1①， 设直线CE的方程为=k1x, 把B点坐标代入得直线C8的方程为)9②。 第2页共9页 高 数学 由①②得D的坐标为1，， AD=CD-C4=(1,5-3,0=(29, BD=CD-C8-(1,-1,23)=0,y5 所以D4+ ,BDAD·BD=-号 COS∠ADB= AD:BD -V57 AD.BD 19 二、选择题 9.CD【详解】对于A,=1时，m-1+(0m2-1)i=0,故A错误；取21=1+2i,z2=-1+2i,满足z12∈R,但名≠z2, 故B错误；复数-1+(2-1)i在复平面内对应的点为(-1，m2-1),当>1时，-1>0，m2-1>0,故C 正确：设复数z1在复平面内对应的点为(a,b),则复数z在复平面内对应的点为(a,-b),则z1=tbi,z=-bi, 则z1z2,故D正确. 10.BCD【详解】易知A1C1与BD1是异面直线，A不正确；连接B1D1,在正方形A1B1C1D1中，A1C⊥B1D1, 又因为BB1⊥平面ABCD1,所以BB1LA1C1,BB OBD=B,BB,B,D,C平配B,DD,因此ACL平面 BB1D1D,所以A1C1与BD1互相垂直，B正确：连接A1D,C1D,易知A1D∥B1C,因此∠C1A1D就是A1C1与B1C所 成的角，易知△C1A1D为等边三角形，所以∠CA1D=60°，C正确；易知B1C∥平面A1D1DA,故E点到平 面ADD1的距离等于B1C到平面ADD1的距离，为定值，故三棱锥E-ADD1的体积为定值，D正确. 11BD【详解】由题意，圆的半径为5，因此sinu-cosa 对于A:cos4÷sim4；(cos2号sim29(cos2+sim29-cas0u,A错误； 对于B:因为∠Pog所以B=c士+2km,k∈Z,当f=a++2kmt时，simf=sin(a+-cosa子，cosf-cos(a+9 -sina}，当f-ae+2km时，sinf=sin(a--cosa；,cosf=cos(a-的-=-sind- 因m兰n好器B正瑞。 对于C:设Q点坐标为(x,),由三角函数的定义可得x=5cosf,y-5sin邱， f6)=OP.02=20cos-15simB-25(cosB-2sim60=25sinm(0-),其中sin0-4,cos0-,不妨设0为锐角，故当0-f-2m+号， k∈Z时)取最大值，此时f-0-2km5,simf=sin(0-2m月-cos0=C错误： 对于D因为c号所以子B<-云80-A<0。,因为0为锐角，所以晋<0<0-P<0 3 6 3 亚<元<亚，因此fB)在（后，3上是减函数，所以fB)∈(20cos雪-15sin520cos日-15sin?,即fB)e 6263 第3页共9页 高 数学 三、填空题 12.-7【详解】λa+b=(+1,+5),b-2a=(-1,3),因为a+b与b-2a垂直，所以-2-1+3+15=0， 解得=-7. 13.0.75【详解】设军舰x1小时后到达C点进入潜艇所处的圆形区域， x2小时后到达D点驶出潜艇所处的圆形区域，如图. 则该军舰共需开启多传感器搜寻的时长为x2x1小时， 由题意AD=AC=15V3,∠ABD=75°-30°=45°， 在△ABC中， 15V3_3040x1 si45°sin∠BCA sin.∠BAC 在△MBD中，亦有S 故关于a的方程-品有两个解。 一个为∠BCA的度数，一个为∠BDA的度数， 解该方程得sina则cosa±9即sm∠BCA-.c05∠BCA-sin∠BDA9cos∠BDA9 在△ABC中， 15V540 m45°am∠Ac'sin.∠BAC=sim180-°(45+∠BCA]-sin(45+∠BCA)-sin45cos∠BCA+cos45°sim ∠BCA2VFv6 6 所以40x,15V6x2V55则x1=3D≈0.15， 6 8 在△AD中，S=on∠BAD-in[I0r(45叶∠BDA】=sm(45∠BDA) =sin45°cos∠BDA+cos45°sin∠BDA2V5+y6 6 所以40,156yC则，D0, 8 则该军舰启用多传感器搜寻时长为0.9-0.15=0.75（小时）， 14.1:1【详解】取SB的中点为M,连接EMFM, 则EH∥MB∥FG,EM∥HB,MF∥BG, 从而平面EMF∥平面HBG,故几何体EMF-HBG为三棱柱， 四边形EFGH把几何体分为两部分，其中一部分是三棱柱EMF-HBG与三棱锥S-EMF的组合体 设三棱锥SABC的底面积为4s,高为2h,则三棱柱EMF-HBG的底面积为s,高为h,三棱锥SEMF的底 面积为s,高为h,V三棱锥S-Mg+V三棱柱EMF-HBGsh学h, V三楼锥-ABCX4X2Fh故多面体SEHBGF-与多面体AEFCGH的体积之比为1：1. 第4页共9页 高二 数学 四解答题 15.解：由hx)-8sin(@cOSx+7(o∈R), h(x)=8(sinoxcos"cosoxx-cosoxsin"cosox)+7 =4(V3sinoxcosoxx-cos2@x)+7 =2(W3sin20x-cos20.r-1)+7 -4sin(20x-+5. …5分 又因为函数周期为12，故江-12，即0号 20 因此w)-4sin令.3+5. …7分 (1)退潮的时间段即为函数的递减区间， 7得4<10， …9分 由此及函数周期性可知，当日24小时内退潮的时间段为(4,10U(16,22)(闭区间，半开半闭区间都算正确). …10分 (2)由34sin原.月+5<7得-.六sin· 即经减含 解得0<x<2或<x<8.… …12分 根据题意及函数周期性，得作业船每天能施工的时间段为(0,2)U(6,8U(12,14)U(18,20).(闭区间，半开半闭 区间都算正确) …13分 16解：由2DB.DA=A8-(DA-D得 2DB.Da COs /BDA-ABP-DA-DR+2 DB DA =-2DB,Dcos.∠BDAt2DBDA,… …4分 即4DB.DA cos∠BD4=2D8,DA,即cos∠BDA故∠BD4=60°，… 6分 又因为∠C=30°，所以∠CBD=30°，所以△BCD为等腰三角形，BD=DC.: …10分 设DC=x,则BD=x,AD=2x, 在△ABD中，AB2=AD2+DB2-2 AD.DBcos.∠BDA, 即3=4x2+x2-2x2, 解得=l,… 。。。。。。。。。。。。。。 。。。。。。。。。。。 …14分 故AB=V3,BD=1,AD=2,故AB2+BD=AD2, 故△ABD为直角三角形.… …………15分 17.(1)证明：由题意，O为AC与BD的交点，且O为AC,BD的中点， 连接EO,则EO∥SB, 又因为EOC平面AEC,SB4平面AEC, 所以SB∥平面AEC.…4分 第5页共9页 高 数学 (2)解：连接SO,则SO⊥平面ABCD,所以SO LAC, 由题意BDLAC,BD⌒SO=O所以AC⊥平面SBD,垂足为O,…8分 则∠AEO就是AE和平面SBD所成的角，… …9分 在AM0中，40-AC万，009则an∠AB08 11分 (3)解：几何体ABCDEF是棱锥A-BDEF与棱锥C-BDEF的组合体， 由(2)知，AO,CO分别为棱锥A-BDEF与棱锥C-BDEF的高，且AO=CO=V2…13分 在Rt△SOB中，OB=V2,SB=3V2, 所以SO=4,所以梯形BDEF的高为2， 所以S梯形BD8pV2+2W2)×2=3V2, 所以几何体ABCDEF E的体积为2传锥ABDg-2XX3N2xV2-4.15分 18,解：(1)选①：由=2b2得(2b-c0sC-cc04, cosC cosA 即(2simB-sin4cosC=sinCcosA,… …3分 2sinBcosC-sinAcosC=sinCcosA, 2sinBcosC=sinAcosC+sinCcosA=sin(+C)=sin(-B)=sinB, …6分 因为sinB≠0，所以cosC号 又因为C为三角形内角， 所以C骨 …7分 选②：由bcosA-2 ccosC-=acos(A+C)可得，bcosA-2 ccosC=acos(m-B),即-2 sinCcosC+sinBcosA=-sinAcosB, …3分 即-2 sinCeosc=-sin(A+B)=-sinC,因为sinC≠0，所以cosC …6分 又因为C为三角形内角，所以C… …7分 选③：由ab2+c2-2am2=sinB4tsnC得.22 cb2+a2-c2) =sin(B-A+simC,g即m8sosA-sin(B-A0+sinC.…3分 b2+a2-e2 cosC 2ab 即m5 in(B-A+sin(B+A)--sinBcos4-cosBsin4+sinBco8A+-cosBsinA=2 2sinBcosA,又因为∠A≠， cosC 所以cosA≠0，又sinB≠0，所以cosC …6分 又因为C为三角形内角，所以C胃 …7分 (2)SAABc-absinC-ab-33, 所以ab=12, 10分 coC2e,得a2+b-28b,即a2+b=ab+28, 2ab 13分 (atb)2=a2+b2+2ab-=3ab+28=64, 第6页共9页 高 数学 所以a叶b-8.…。 16分 所以△ABC的周长为a+b+c-=8+2V7.… …………… 17分 19.(1)证明：设EF的中点为M,连接GM,HM 因为G为DF的中点， D G 则GM/川DE,… …1分 因为DE⊥EF, 所以GM⊥EF, 因为H为AB的中点，同理可得HMLEF, …3分 因为GMOM=M,GM,Mc平面GMH,所以EF⊥平面GMH, 所以GH LEE…5分 (2)解：易知二面角D-EG-H与二面角F-EG-H互补， 过M点作MNLEG,垂足为N,连接HN, 因为HM⊥EF,平面CDEF⊥平面ABFE,平面CDEFO平面ABFE=EF, 所以HM⊥平面CDEF, 所以HMLEG,因为MNOM=M,MN,HMc平面MNMH,所以EG⊥平面MNH, 所以EG⊥W,所以∠MNH是二面角F-EG-H的平面角…8分 在Rt△CEF中，CF=1,EF=2,所以CE=5, sin∠CEP- …9分 57 在Rt△EMN中，EE1,所以VN-EMsin.∠CEF5, 10分 在Rt△HN中，M1,HNVM+MN=1+-厘 …11分 55 所以cos∠INME MN-6 HN 6 所以二面角D-BG-H的余弦值为5 12分 6 D (3)解：因为Q为线段AD上的动点， 所以Q到平面EGH的距离介于点A到平面EGH的距离和点D到平面EGH的距离之间.…13分 连接DH,AG,设D到平面EGH的距离为h1,A到平面EGH的距离为h, 第7页共9页 高二 数学 D G H B 由(I)得，GM1,所以GH5,易知GBS, 在Rt△AEH中，EH=V2, 取等腰三角形EGH底边中点为O,连接GO, 则G0=VG-HO9S△GH-EH-Go06, …15分 三棱锥D-EGH的体积V三枝锥D-ECH-V三棱锥H-DGE' 所以g4h11x1,所以-9 三棱锥A-EGH的体积V三棱锥A-EGH一V三棱锥C-AEH' 所以4h,子1×1x好，所以h,， 所以Q到平面GH的距离的取值范围为 63 …17分 第8页共9页 高 数学 7月高一数学细目表 题号 题型 分值 考查的主要内容及知识点 难度 1 单选题 三角函数的符号判断 易 2 单选题 5 复数的混合运算 易 3 单选题 5 直线与平面位置关系的判断 易 4 单选题 5 向量的投影数量 易 J 单选题 5 己知三角函数值求三角函数值 易 6 单选题 5 三角函数的实际应用 中 7 单选题 5 三棱锥外接球的体积 中 8 单选题 5 解三角形与平面向量的综合 中难 9 多选题 6 复数的综合 易 10 多选题 6 异面直线位置关系，异面直线所成角 中 11 多选题 6 向量的数量积与三角函数，三角恒等变换的综合 中难 12 填空题 5 向量的坐标运算 易 13 填空题 5 解三角形的实际应用 易 14 填空题 5 立体图形体积的求解 中 15 解答题 13 三角函数的实际应用 易 16 解答题 15 向量的数量积与解三角形的综合 易 17 解答题 15 线面平行，直线与平面所成角，几何体体积的求解 中 18 解答题 17 解三角形 中难 19 解答题 17 异面直线垂直，二面角的余弦值，点到平面的距离 难 第9页共9页