精品解析：辽宁省重点高中沈阳市郊联体2024-2025学年度下学期高一年级期末考试数学试题

辽宁省重点高中沈阳市郊联体 2024-2025学年度下学期高一年级期末考试试题 数学 第一部分 选择题（共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. （ ） A. 大于 B. 大于 C. 小于 D. 小于 【答案】A 【解析】 【分析】根据正弦函数单调性得到，得到答案. 【详解】因为， 故选：A． 2. 已知向量，则（ ） A. 8 B. 9 C. 11 D. 15 【答案】C 【解析】 【分析】利用数量积的坐标形式可求数量积. 【详解】因为，故， 故， 故选：C. 3. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将化为，根据同角三角函数基本关系，切化弦，即可得出结果。 【详解】因为，所以， 因此. 故选：C. 4. 已知的内角的对边分别为，，，，，下面使得有两组解的的值可以为（ ） A. 3 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据得到答案. 【详解】要想有两组解，则， 即，即， 所以的值可以为，其他值均不可 故选：B 5. 下列函数为奇函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用函数奇偶性的定义，以及三角函数的性质，逐项判定，即可求解， 【详解】函数的定义域为关于原点对称，又，所以是偶函数，故A不符合题意； 函数的定义域为关于原点对称，又， 所以且，所以是非奇非偶函数，故B不符合题意， 函数的定义域为关于原点对称， 又，所以是偶函数，故C不符合题意； 函数的定义域为关于原点对称， 又，所以是奇函数，故D符合题意． 故选：D. 6. 由斜二测画法得到的一个水平放置的三角形的直观图是等腰三角形，底角为30°，腰长为2，如图，那么它在原平面图形中，顶点B到x轴的距离是（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过作的平行线交于M点，解三角形计算结合斜二测画法的意义即可得出结果. 【详解】 过作的平行线交于M点，则易知， 由正弦定理可知，则， 由斜二测画法知：在原平面图形中，顶点B到x轴的距离是. 故选：A 7. 所有棱长均为6的正三棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2的正三棱锥，则所得棱台的高为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用小三棱锥和大三棱锥的比例求解即可. 【详解】 如图，根据题意可得所得棱台为正三棱台， 该棱台的高等于大正三棱锥的高的. 设大正三棱锥的高为DH，则： 因为大正三棱锥的高为:， 所以该棱台的高为. 故选：A 8. 如图，将绘有函数部分图象的纸片沿轴折成钝二面角，夹角为，此时，两点之间的距离为，则=（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过分别作轴的垂线，垂足分别为，过分别作轴、轴的垂线相交于点，利用周期求，利用余弦定理求，然后由勾股定理求出． 【详解】过分别作轴的垂线，垂足分别为，过分别作轴、轴的垂线相交于点， 则是钝二面角的平面角，即，连接，则，    由余弦定理得， 由上可知，轴垂直于，又平面， 所以轴垂直于平面，又轴，所以平面， 因为平面，所以， 因为的最小正周期，所以， 由勾股定理得，解得． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知是三条不同的直线，是三个不同的平面，下列命题正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BD 【解析】 【分析】根据线线、面面位置关系等知识确定正确答案. 【详解】A选项，若，则可能异面，A选项错误. B选项，若，则，B选项正确. C选项，若，则可能相交，C选项正确. D选项，若，则，D选项正确. 故选：BD 10. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. 是奇函数 D. 当时，的图象与轴有2个交点 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据图象求出、后可得函数解析式，故可判断AB的正误，求出后可判断C的正误，求出的范围后结合正弦函数的零点可判断D的正误 . 【详解】由图像可得，故，故，故A正确； 故，而，故， 故，而，故，故B正确； 因为，故为偶函数，故C错误； 故，当时，， 因为在上的零点为， 故在上有两个不同的零点，故D正确， 故选：ABD. 11. 设的内角，，满足，面积满足，角，，的对边分别为，，．下列四个结论正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由结合，可得，再利用和差化积与倍角公式化简得，可判断A选项；再结合正弦定理与面积的取值范围，可得三角形外接圆的半径，结合正弦定理即可判断BCD选项. 【详解】因为，由， 可推得 即 所以 化简得 所以 即 所以 所以，故A正确； 设的外接圆半径为，由正弦定理得，即 所以的面积 又，所以，解得 又由正弦定理，有，故B正确； 由正弦定理有 所以，，故C错误； 由三角形的三边关系与，得，即，故D正确. 第二部分 非选择题（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设复数和复数在复平面上分别对应的向量分别是和，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，得到和的坐标，求得，结合向量模的计算公式，即可求解. 【详解】由复数和复数在复平面上分别对应的向量分别是和， 可得，，所以， 所以. 故答案为：. 13. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，且的面积为，则________. 【答案】 【解析】 【分析】利用正弦定理将边化角，即可求出，再由面积公式求出，由余弦定理求出，最后由完全平方公式求出. 【详解】因为，由正弦定理得，即，又，所以． 由的面积为，得，可得． 在中，由余弦定理可得， 又，，代入可得，所以， 所以． 故答案为：. 14. 已知三棱锥中，是以角为直角的直角三角形，，，，为的外接圆的圆心，，那么三棱锥外接球的表面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】设三棱锥外接球的球心为，半径为，连接，在中利用余弦定理可得，从而得到，可证得平面，所以三棱锥外接球的球心在直线上，在中利用勾股定理可求得结果. 【详解】 设三棱锥外接球的球心为，半径为，连接， 如图，因为是以角为直角的直角三角形，所以为圆的直径， 所以. 因为，，， 所以，得， 所以，故. 因为，为的中点，所以， 因为，平面，所以平面， 所以三棱锥外接球的球心在直线上，且. 在中，，所以，解得， 所以三棱锥外接球的表面积为：. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设为虚数单位，，复数，. （1）若是实数，求的值； （2）若是纯虚数，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先利用复数的乘法化简，再根据是实数求解； （2）先利用复数的除法化简，再根据是纯虚数求解. 【小问1详解】 解：， 因为是实数， 则， 解得. 【小问2详解】 ， 因为为纯虚数， 则， 解得. 所以. 16. 如图，是正方形，直线底面，，是的中点. （1）证明：直线平面； （2）求直线与平面所成角的正切值. 【答案】（1）证明见解析；（2）； 【解析】 【分析】（1）连接，由三角形中位线可证得，根据线面平行判定定理可证得结论； （2）根据线面角定义可知所求角为，且，由长度关系可求得结果. 【详解】（1）连接，交于，连接 四边形为正方形 为中点，又为中点 平面，平面 平面 （2）平面 直线与平面所成角即为 设，则 【点睛】本题考查立体几何中线面平行关系的证明、直线与平面所成角的求解；证明线面平行关系常采用两种方法：（1）在平面中找到所证直线的平行线；（2）利用面面平行的性质证得线面平行. 17. 已知向量，，函数． （1）求函数的最小正周期及对称中心； （2）若，且，求的值； 【答案】（1） 最小正周期，对称中心为 （2） 【解析】 【分析】（1）利用平面向量数量积运算、三角恒等变换化简函数解析式再结合对应性质求解；  （2）根据给值求值问题，利用同角三角函数基本关系及两角差的余弦公式化简计算即可. 【小问1详解】 因为 所以 函数最小正周期； 令，解得， 此时，故对称中心为. 【小问2详解】 将代入解析式得： ，  解得， 由得， 又，故，则. . 18. 如图，直角梯形中，，，为上的点，且，，将沿折叠到点，使. （1）求证：平面平面； （2）求四棱锥的体积. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，中点，连接，，，由已知条件推导出平面，所以，，由此能证明平面平面. （2）由已知求出直角梯形的面积，再求出高，代入棱锥体积公式求解. 【小问1详解】 证明：取的中点，中点，连接，，， 又，∴，∵，∴， 又∵，∴， 又，平面，∴平面， 平面，则， ∵，为中点，， 而与不平行，平面，∴平面， ∵平面，∴平面平面； 【小问2详解】 由（1）知，平面，在直角梯形中，过作，垂足为， 则为矩形，∵，，， ，在中，，得到的距离， 则四边形的面积， 在中，，求得，则为等边三角形， 可得，即. ∴. 19. 某烟花厂准备生产一款环保、安全的迷你小烟花，初步设计了一个平面图，如图所示，该平面图由，直角梯形和以为圆心的四分之一圆弧构成，其中，，，且，，，将平面图形以所在直线为轴，旋转一周形成的几何体即为烟花. （1）求该烟花的体积； （2）工厂准备将矩形（该矩形内接于图形，M在弧上，N在线段上，在上）旋转所形成的几何体用来安放燃料，设（）. ①请用表示燃料的体积V； ②若烟花燃烧时间t和燃料体积V满足关系，请计算这个烟花燃烧的最长时间. 【答案】（1） （2）①② 【解析】 【分析】（1）根据球，圆台，圆锥的体积公式运算即可； （2）①利用角度关系结合三角函数表示出矩形的边长，从而求出圆柱体的体积；②将体积代入关系式中并化简，解得：，然后结合复合函数和基本不等式将等式转化求解. 【小问1详解】 该烟花由半球，圆台，圆锥三部分组成， 又，，， 所以该烟花的体积. 【小问2详解】 ①由图可知：，， 在梯形中，由，，易知，故， 则， 所以； ②由①可知：， 即， 令，则，上式即为， 又令，，则， 当时，，当时，， 当时， ， 当且仅当，即，即时，等号成立，满足题意． 该烟花燃烧的最长时间为． 【点睛】关键点点睛：本题第二问题目难度较大，将等式转化成，然后结合基本不等式二次转化成是本题的关键点和突破点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 辽宁省重点高中沈阳市郊联体 2024-2025学年度下学期高一年级期末考试试题 数学 第一部分 选择题（共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. （ ） A. 大于 B. 大于 C. 小于 D. 小于 2. 已知向量，则（ ） A. 8 B. 9 C. 11 D. 15 3. 若，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知的内角的对边分别为，，，，，下面使得有两组解的的值可以为（ ） A. 3 B. C. 2 D. 5. 下列函数为奇函数的是（ ） A. B. C. D. 6. 由斜二测画法得到的一个水平放置的三角形的直观图是等腰三角形，底角为30°，腰长为2，如图，那么它在原平面图形中，顶点B到x轴的距离是（ ） A. B. 2 C. D. 7. 所有棱长均为6的正三棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2的正三棱锥，则所得棱台的高为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，将绘有函数部分图象的纸片沿轴折成钝二面角，夹角为，此时，两点之间的距离为，则=（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知是三条不同的直线，是三个不同的平面，下列命题正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. 是奇函数 D. 当时，的图象与轴有2个交点 11. 设的内角，，满足，面积满足，角，，的对边分别为，，．下列四个结论正确的有（ ） A. B. C. D. 第二部分 非选择题（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设复数和复数在复平面上分别对应的向量分别是和，则______． 13. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，且的面积为，则________. 14. 已知三棱锥中，是以角为直角的直角三角形，，，，为的外接圆的圆心，，那么三棱锥外接球的表面积为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设为虚数单位，，复数，. （1）若是实数，求的值； （2）若是纯虚数，求. 16. 如图，是正方形，直线底面，，是的中点. （1）证明：直线平面； （2）求直线与平面所成角的正切值. 17. 已知向量，，函数． （1）求函数的最小正周期及对称中心； （2）若，且，求的值； 18. 如图，直角梯形中，，，为上的点，且，，将沿折叠到点，使. （1）求证：平面平面； （2）求四棱锥的体积. 19. 某烟花厂准备生产一款环保、安全的迷你小烟花，初步设计了一个平面图，如图所示，该平面图由，直角梯形和以为圆心的四分之一圆弧构成，其中，，，且，，，将平面图形以所在直线为轴，旋转一周形成的几何体即为烟花. （1）求该烟花的体积； （2）工厂准备将矩形（该矩形内接于图形，M在弧上，N在线段上，在上）旋转所形成的几何体用来安放燃料，设（）. ①请用表示燃料的体积V； ②若烟花燃烧时间t和燃料体积V满足关系，请计算这个烟花燃烧的最长时间. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $