辽宁大连市第十二中学2025-2026学年高一下学期期末考试数学试卷

2025-2026学年度下学期高一期末考试 数学试卷 时间：120分钟 满分：150分 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1．一家披萨店的某圆形披萨的半径为15厘米，以圆心为顶点，将该披萨切出一个扇形块，其弧长为10厘米，则这个扇形披萨所对的圆心角是（ ） A． B．3 C． D． 2．设复数z满足则的虚部为（ ） A．- B．1 C．i D．-i 3．已知向量，，满足则在方向上的投影向量是（ ） A． B． C． D． 4．须弥座又名“金刚座”，是一种古建筑的基座形式，通常用来作为宫殿、寺庙、塔、碑等重要建筑的基座，由多层不同形状的构件组成，一般上下宽、中间窄，呈束腰状，具有很高的艺术价值．某古建筑的基座为须弥座，其最下层为正六棱台形状，如图所示，该正六棱台的上底面边长为18m，下底面边长为24m，侧面积为756m²，则该正六棱台的体积为（ ） A．1 B．1 C．2 D．1 5．如图，在正方体中，O是BD的中点，M是BC的中点，N是AD的中点，直线D1M与平面BDC1相交于点P，则下列结论不正确的是（ ） A．C1，P，O三点共线 B．C1，D1，P，N四点共面 C．M，N，P，C1四点共面 D．O，P，D1，D四点共面 6．如图，在正三棱柱中，D为上一点，平面ACD将三棱柱截为两部分，则这两部分几何体的表面积之比为（ ） A． B． C．8 D．9 7．函数的部分图象如图所示，则（ ） A． B．函数f（x）在区间上单调递增 C．f（x）的图象关于点对称 D．若f（x）在区间上恰有一个最大值2和一个最小值-2，则实数a的取值范围为 8．在△ABC中，且△ABC的面积为3，则AC=（ ）． A．3 B．2 C．2 D． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列说法中正确的是（ ） A．若A>B，则sinA>sinB B．若sin2A=sin2B，则A=B C．若A=30°，b=4，a=3，则△ABC有两解 D．在△ABC中，若sinC+sin（B-A）=sin2A，则△ABC为直角三角形或等腰三角形． 10．如图，AC为圆锥SO底面圆O的直径，点B是圆O上异于A，C的动点，SO=2，则下列结论正确的是（ ） A．圆锥SO的侧面积为2 B．三棱锥S-ABC体积的最大值为4 C．三棱锥S-ABC外接球的表面积为9π D．若E为线段AB上的动点，则SE+OE的最小值为2 11．已知△ABC中，点P为边BC上的动点，满足（λ，μ为实数），则下列说法正确的有（ ） A．△ABC的面积的最大值为 B．当P为BC中点时， C．若△ABP的面积为△ABC面积的，则 D．若∠BAC=60°，则的最小值为-1 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．设向量=（cos2θ，-1），=（1，sinθ），若则θ=________． 13．设0<ω<1，若函数f（x）=tan（ωx）在区间[0，]上的最大值为1，则ω=________． 14．设△ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，AD为BC边上的中线；已知c=1且则AD=________． 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15．（13分）已知 （1）求sin（α-β）的值； （2）求cos（α+β）的值． 16．（15分）如图，在圆柱中，底面直径AB等于母线AD，点E在底面的圆周上，点F在线段DE上． （1）求证：AF⊥BE； （2）若点E是弧AB的中点，求直线DE与平面ABD所成角正切值的大小． 17．（15分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知ABC的面积为6 （1）求角A； （2）若c=3， （i）求边a的大小： （ii）求cos（2C+A） 18．（17分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，△PAD是正三角形，E为线段AD的中点． （1）若PB中点为G，求证：EG//平面PCD； （2）若平面PAD⊥平面ABCD，点F为平面PCD上的动点， ①当点F恰为PC中点时，求异面直线PD与BF所成角的余弦值； ②若点H是平面PBE内的动点，求DH+FH的最小值． 19．（17分）已知=，=，，其中n∈N* （1）已知求A（x）的对称中心． （2）已知其中x∈[0，]求函数B（x）的最大值与 最小值． （3）已知求C（x）的对称轴方程；并证明：对任意的正整数n，的图象都关于直线对称． 《2025－2026学年度下学期高一期末考试数学试卷》参考答案 題号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 D A C B D A D D ACD ACD ABC 1．D 【详解】已知半径，弧长，则圆心角．故选：D． 2．A 【详解】因为，则，所以交的虚部为． 3．C 【详解】已知，，， 则，解得， 在方向上的投影向量为：． 4．B 【详解】取上、下底面中心分别为，取一个侧面等腰梯形的上、下中点分别为， 连接，由底面是正六边形性质可得：、， 由上底面边长为18m，下底面边长为24m，可得，， 则，， 再由侧面积为，可得， 根据勾股定理得， 所以正六棱台的体积为，故选：B． 5．D 【详解】连接，，．因为，平面， 所以平面．又因为平面， 所以点在平面与平面的交线上， 即，，三点共线，故A正确： 因为，所以，，，四点共面，又因为，，三点共线， 所以，，，四点共面，，，，四点共面，故B，C正确； 因为，，平面，平面，所以，，，四点不共面，D错误． 6．A 【详解】该几何体被截面截完后，分为两个部分， 其中上部分的面积由一个正三角形、一个等腰三角形、两个直角梯形和一个正方形构成，下部分是由两个直角三角形、一个等腰三角形和一个正三角形组成的． 为了便于计算，设，，， 中，边上的高， 则上部分几何体的面积，下部分几何体的面积，故上下两部分表面积之比为．故选：A 7．D 【详解】由图可得，函数的最小正周期， 又，所以，则，由，得，解得，又，所以，故A错误；由上分析，得，令， 解得，故函数的单调递增区间为；令，解得， 故函数的单调递减区间为， 则函数在区间上单调递减，在上单调递增，故B错误； 因为，故函数的图象不关于点对称，故C错误；当时，则，要使在区间上恰有一个最大值2和一个最小值，需使，解得，故D正确． 8．D 【详解】如图，延长到，使得， 由，可得，即，所以，因为，所以，即，得， 由勾股定理可得，则， 在中，，则， 在中，由余弦定理得，所以． 9．ACD 【详解】对选项A：∵在中，若，由大角对大边性质得，由正弦定理得（为外接圆半径）， ，，代入得， 又，，故A正确． 对选项B：，且，， 或，即或，故B错误． 对选项C：，，， ，满足， 根据三角形解的个数判定规则，此时有两解，故C正确． 对选项D：，， 代入等式得：， 展开左边得：， 右边，移项整理得：，或， ，若，则，为直角三角形； 若，则，为等腰三角形，故D正确． 10．ACD 【详解】对A：，故A正确： 对B：由题意可得点到平面的距离最大值为底面圆半径，即为， 则，故B错误； 对C：三棱锥的外接球即为圆锥的外接球， 设圆锥的外接球球心为，半径为，画出圆锥的轴截 面图如下：则有，解得， 故，故C正确； 对D：由为圆锥底面圆的直径，则， 又，则，， 又，故为等边三角形， 将平面沿折叠，使得共面，如图： 由为等边三角形，则，由，，则，故， 由图可得，当且仅当三点共线时，有最小值， 即，故D正确． 11．ABC 【详解】对于A，由已知条件，得， 由，得， 平方得，得，． ， 由，得，则，所以，故A正确． 对于B，当为中点时，， 则，故B正确． 对于C，由在上，设且，则与面积比等于， 由得，故C正确．对于D，若，则，结合，得，为等边三角形．，， 则 ， 当时，取得最小值-2，故D错误． 12． 【详解】由已知得，，解得或，又，所以，故答案为： 13． 【详解】因为，当时，，且， 所以，函数在区间上单调递增，且， 故，解得．故答案为：． 14．/ 【详解】因为，且， 由正弦定理可得：， 由余弦定理可得：，整理得， 又因为为中点，所以，设，的夹角为， 则，即， 且， 因为，则为锐角，可知，， 可得，解得或（舍去） 所以， 整理得，解得或， 且，即，所以，所以． 15．（1） （2） 【详解】（1）由题知， 由，结合已知，可得， 所以，又，，所以有． 所以，则． （2）由（1）知，所以有， 由（1）可知，所以， 所以．又因为， 所以．所以． 16．（1）证明见解析 （2） 【详解】（1）连接，，则，又平面， 而平面，，又，，平面，平面， 又平面， （2）设是中点，连接，，因为点是的中点，则， 平面平面，平面平面，平面， 平面，是直线与平面所成的角． 设正方形的边长为，则，， ，与平面所成的角正切值为． 17．（1）；（2）（ⅰ）；（ⅱ）．【详解】（1）在中，，所以，故， 所以，即， 因为，，，所以，； （2）（ⅰ）因为，所以， ，； （ⅱ）由正弦定理可得，， ，所以，， ，， ． 18．（1）证明见解析 （2）①；②． 【详解】（1）取中点，连接， 为线段的中点，，，，，，； ∴四边形为平行四边形，， 平面，平面，平面． （2）①取的中点，连接，，为中点，，，就是异面直线和所成的角或所成角的补角平面平面，平面平面，，平面， 平面，，平面，，， ∵菱形的边长为2，，与、是全等的正三角形， 分别为的中点， ，，，平面，平面， ∴在中，，在中，， ，在中，； 异面直线与所成角的余弦值． ②，，．，平面， 平面，又为线段的中点，，， ∴要使最小只需最短即可，即为点到面的距离． 在中，，，. ，， ，的最小值为． 19．（1） （2）最大值为，最小值为2 （3）；证明见解析 【详解】（1）， 令，得， 故的对称中心为； （2）， 令， 则， 因为，所以，则，则， 因为，， 所以函数的最大值为，最小值为2； （3） ，令，得， 故的对称轴方程为； ， 则对任意的正整数，的图象都关于直线对称． 学科网（北京）股份有限公司 $