2.3.1　两条直线的交点坐标课件2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦“两条直线的交点坐标”，核心内容包括用方程组求交点坐标、根据解的个数判定位置关系及相关应用。通过“AI·思考辨析”衔接直线方程知识，“体验新知”巩固基础，为后续圆与直线位置关系学习搭建知识支架。 其亮点是“重难探究”分层设计，通过例3直线系法求交点直线等实例，培养数学思维（推理、运算能力）和数学语言（模型观念）。规律方法总结助学生结构化认知，学生能提升逻辑推理与应用能力，教师可获得清晰教学路径与分层资源。

第二章　直线和圆的方程 2.3.1　两条直线的交点坐标 学 习 目 标 1.会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标. 2.会根据方程组解的个数判定两条直线的位置关系. 基础落实·必备知识全过关 重难探究·能力素养速提升 学以致用·随堂检测促达标 目 录 索 引 基础落实·必备知识全过关 知识点　两条直线的交点 1.已知两条直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0相交,设这两条直线的交点为P,则点P的坐标是方程组的解. 2. 方程组 的解 一组 无数组 无解 直线l1和l2公共点的个数 1 无数 0 直线l1和l2的位置关系 　 　  　　   　 　  相交 重合 平行 AI·思考辨析 1.方程ax+b=0(a,b∈R)的解有哪些情况? 2.直线l1:A1x+B1y+C1=0与直线l2:A2x+B2y+C2=0满足什么条件相交? 提示 当a≠0时,方程有一解;当a=0,b≠0时,方程无解;当a=0,b=0时,x∈R,方程有无数个解. 体验新知 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)若点M(a,b)在直线l上,则点M的坐标一定满足直线l的方程.(　　) (2)直线2x+y+1=0和直线2x-y=0相交于一点.(　　) (3)若两条直线中有一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率存在,则两条直线相交.(　　) √ √ √ 2.直线2x-y+6=0与直线x+y=3的交点坐标是(　　) A.(3,0) B.(-1,4) C.(-3,6) D.(4,-1) B 解析 联立方程组解得 故两直线的交点坐标为(-1,4).故选B. 3.(人教B版教材习题)判断下列各对直线是否相交,如果相交,求出交点坐标: (1)l1:2x+y=7,l2:4x+2y=1; (2)l1:x-3y+2=0,l2:y=3x+4. 解 (1)不相交;(2)相交,交点为. 重难探究·能力素养速提升 能力提升点一　求相交直线的交点坐标 【例1】 (2026四川高二期中)已知直线l1:mx-3y-3=0与直线l2:x+y-5=0互相垂直且交于点P. (1)求m的值及点P的坐标; (2)若过点P的直线l与直线2x-y+5=0平行,求直线l的方程. 解 (1)因为l1与l2垂直,所以m×1+(-3)×1=0, 解得m=3,则直线l2的方程为3x-3y-3=0. 联立方程组解得所以P(3,2). (2)由题意设l:2x-y+C=0(C≠5), 将P(3,2)代入,可得C=-4, 所以直线l的方程为2x-y-4=0. 变式训练1 (北师大版教材习题)若直线2x-ay+1=0与直线x-y=0的交点在直线2x+y-3=0上,求实数a的值. 因为点(1,1)在直线2x-ay+1=0上,所以2×1-a×1+1=0,所以a=3. 能力提升点二　两直线位置关系的判断 【例2】 判断下列各组直线的位置关系,如果相交,求出交点坐标: (1)l1:y=2x+3,l2:2x-y+5=0; (2)l1:y=2x+1,l2:x-2y=0; (3)l1:x=3,l2:x=10; (4)l1:y=2x+1,l2:2x-y+1=0. 解 (1)设两直线l1,l2的斜率分别为k1,k2,在y轴上的截距分别为b1,b2. 因为k1=k2=2,b1=3,b2=5,b1≠b2,所以l1∥l2. (2)因为k1=2,k2=,k1≠k2,所以l1与l2相交. 联立解得 所以两直线交点坐标为(-,-). (3)由两直线的方程可知,l1∥y轴,l2∥y轴,且两直线在x轴上的截距不相等,所以l1∥l2. (4)因为直线l2的方程为y=2x+1,所以l1与l2重合. 变式训练2　(1)(2026黑龙江高二期中)若直线l1:2x+3y+3=0,下列直线与l1平行的是(　　) A.3x-2y+1=0 B.2x-3y+5=0 C.4x+6y+6=0 D.2x+3y+2=0 D 解析 直线l1:2x+3y+3=0,其中A1=2,B1=3,C1=3, 对于A,A2=3,B2=-2,C2=1,此时. ∵,∴两条直线不平行,故A不正确; 对于B,A2=2,B2=-3,C2=5,此时=1,=-1. ∵,∴两条直线不平行,故B不正确; 对于C,A2=4,B2=6,C2=6,此时. ∵,∴两条直线重合,故C不正确; 对于D,A2=2,B2=3,C2=2,此时=1,=1,. ∵, ∴两条直线平行,故D正确. 故选D. (2)判断下列各对直线的位置关系.如果相交,求出交点坐标. ①直线l1:2x-3y+10=0,l2:3x+4y-2=0; ②直线l1:nx-y=n-1,l2:ny-x=2n. 解 ①解方程组 所以直线l1与l2相交,交点坐标为(-2,2). ②当n=-1时,l1:x+y-2=0,l2:x+y-2=0, 因为l1:x+y-2=0与l2:x+y-2=0表示同一条直线,故直线l1与l2重合. 当n=1时,l1:x-y=0,l2:x-y+2=0,解方程组方程组无解, 所以直线l1与l2无公共点,故l1∥l2. 当n≠±1时,解方程组解得 所以直线l1与l2相交,交点坐标为. 综上所述,当n=-1时,直线l1与l2重合; 当n=1时,l1∥l2; 当n≠±1时,直线l1与l2相交,交点坐标为. 能力提升点三　两直线交点的应用 角度1 过两直线交点的直线系方程 【例3】 求经过点P(1,0)和两直线l1:x+2y-2=0,l2:3x-2y+2=0交点的直线方程. 变式训练3　(2026江苏南京高二期中)已知两直线l1:x-y-1=0,l2:x+y-5=0,求过两直线的交点,且垂直于直线3x+4y-5=0的直线方程. 解 (方法1)联立方程组解得 与直线3x+4y-5=0垂直的直线斜率为, 所以经过l1与l2交点(3,2)且与3x+4y-5=0垂直的直线方程为y-2=(x-3), 即4x-3y-6=0. (方法2)经过直线l1:x-y-1=0,l2:x+y-5=0交点的直线设为x-y-1+λ(x+y-5)=0, 即(λ+1)x+(λ-1)y-5λ-1=0. 因为该直线与直线3x+4y-5=0垂直, 所以3(λ+1)+4(λ-1)=0,解得λ=, 所以所求直线方程为4x-3y-6=0. 角度2 直线过定点问题 【例4—1】 已知点A(1,3),B(-2,-1).若直线l:kx-y-2k+1=0与线段AB恒相交,则k的取值范围是(　　) D ★★【例4—2】 已知直线l:(2a+3)x-(a-1)y +3a+7=0,a∈R. (1)证明直线l过定点A,并求出点A的坐标; (2)在(1)的条件下,若直线l'过点A,且在y轴上的截距是在x轴上的截距的 ,求直线l'的方程; (3)若直线l不经过第四象限,求a的取值范围. (1)证明 由题可得,(2x-y+3)a+3x+y+7=0,所以直线l过直线2x-y+3=0与3x+y+7=0的交点, 所以直线l过定点A,点A的坐标为(-2,-1). 变式训练4　(1)(2026内蒙古高二期中)已知直线l:kx-y-k-1=0,当点B(4,-2)到直线l的距离最大时,直线l的方程为(　　) A.3x+2y+7=0 B.2x+y+1=0 C.3x-y-4=0 D.2x-y-3=0 C 解析 由题可知,直线l:k(x-1)-(y+1)=0过定点A(1,-1),且点B(4,-2)不在直线l上.当且仅当AB⊥l时,点B(4,-2)到直线l的距离最大. 而直线AB的斜率kAB==-, 因此直线l的斜率k=-=3,故直线l的方程为3x-y-4=0.故选C. (2)(2026天津高二期中)若直线l:(2a+1)x-(3a+1)y+(a+2)=0恒过点C,则点C的坐标为　　　　　.  (-5,-3) 解析 由题意知,直线方程为(2a+1)x-(3a+1)y+(a+2)=0, 即a(2x-3y+1)+(x-y+2)=0, 则解得 所以直线l恒过定点C(-5,-3). 本节要点归纳 1.知识清单: (1)两条直线的交点; (2)直线系过定点问题. 2.方法归纳:消元法、直线系法. 3.常见误区:(1)对两直线相交条件理解不清; (2)容易混淆直线交点与对应方程组解的关系. 学以致用·随堂检测促达标 1 2 3 4 5 1.经过直线2x+y-2=0和x-y-1=0的交点,且与直线3x+2y-2=0垂直的直线方程是(　　) A.3x-2y-1=0 B.2x-3y-1=0 C.2x-3y-2=0 D.3x-2y-2=0 C 设与直线3x+2y-2=0垂直的直线方程是2x-3y+m=0,把点(1,0)的坐标代入可得2-0+m=0,解得m=-2. 所以所求的直线方程为2x-3y-2=0.故选C. 1 2 3 4 5 2.直线2x+3y-k=0和直线x-ky+12=0的交点在x轴上,则k的值为(　　) A.-24 B.24 C.6 D.±6 A 解析 ∵直线2x+3y-k=0和直线x-ky+12=0的交点在x轴上, 可设交点坐标为(a,0), 1 2 3 4 5 3.(2026浙江高二期中)直线y-1=k(x+2)过定点(　　) A.(1,2) B.(2,1) C.(-2,1) D.(1,-2) C 解析 直线y-1=k(x+2),即k(x+2)+(1-y)=0, 令解得即直线y-1=k(x+2)过定点(-2,1).故选C. 1 2 3 4 5 4.已知直线l1:ax+y-6=0与l2:x+(a-2)y+a-1=0相交于点P,若l1⊥l2,则点P的坐标为　　　　　　.  (3,3) 解析 ∵直线l1:ax+y-6=0与l2:x+(a-2)y+a-1=0相交于点P,且l1⊥l2, ∴a×1+1×(a-2)=0,解得a=1, ∴点P的坐标为(3,3). 1 2 3 4 5 5.分别判断下列直线是否相交,若相交,求出它们的交点;若不相交,说明它们的位置关系. (1)l1:2x-y=7和l2:3x+2y-7=0; (2)l1:2x-6y+4=0和l2:4x-12y+8=0; (3)l1:4x+2y+4=0和l2:2x+y-3=0. 1 2 3 4 5 解 (1)解方程组 因此直线l1和l2相交,交点坐标为(3,-1). (2)方程组有无数个解,这表明直线l1和l2重合. (3)方程组无解,这表明直线l1和l2没有公共点,故l1∥l2. 本 课 结 束 提示 当方程组有唯一解时, 两直线相交,此时A1B2-A2B1≠0. 解 由 解 设所求直线方程为x+2y-2+λ(3x-2y+2)=0. ∵点P(1,0)在直线上,∴1-2+λ(3+2)=0.∴λ=. ∴所求方程为x+2y-2+(3x-2y+2)=0,即x+y-1=0. A. B.(-∞,-2] C.(-∞,-2]∪ D. 解析 由题得,y=k(x-2)+1,令x=2,得y=1,故直线过定点P(2,1),如图. 则直线PA的斜率kPA==-2,直线PB的斜率kPB=. 因为直线l与线段AB恒相交, 由图可知,k∈.故选D. 解方程组解得 (2)解 当截距为0时,直线l'的方程为y=x,即x-2y=0; 当截距不为0时,设直线l'的方程为=1, 则解得 故直线l'的方程为=1,即x+2y+4=0, 故直线l'的方程为x-2y=0或x+2y+4=0. (3)解 当a=1时,直线l的方程为x=-2,符合题意; 当a=-时,直线l的方程为y=-1,不符合题意; 当a≠1,且a≠-时,y=x+,所以 解得a>1或a≤-. 综上所述,当直线l不经过第四象限时,a的取值范围是∪[1,+∞). 解析 联立可得即交点坐标为(1,0). ∴解得故选A. 联立方程易得x=3,y=3, $