专题08 一次函数综合压轴题（最值定值数量关系新定义4类32道）【暑期培优专题练习】2025-2026学年人教版八年级数学下册

**基本信息** 聚焦一次函数与几何综合，通过4类32道题系统覆盖最值、定值、数量关系及新定义问题，以题载法构建从代数表达到几何推理的逻辑链条。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |最值问题|8题|含将军饮马、动态三角形面积最小化|一次函数图像性质→几何对称转化→代数求解| |定值问题|8题|涉及面积、角度、线段长不变量证明|坐标表示→等量代换→推理验证不变关系| |数量关系|8题|探究线段比、坐标关系等|函数表达式→几何性质→方程思想建立关系| |新定义函数|8题|含等垂点、和谐点等创新概念|理解定义→转化为函数模型→综合应用|

专题08 一次函数综合压轴题 （最值定值数量关系新定义4类32道） 专题目录 【类型1 最值问题】 1 【类型2 定值问题】 33 【类型3 探究数量关系】 58 【类型4 新定义函数】 81 【类型1 最值问题】 1．如图1，已知直线与轴交于点，与轴交于点，以为直角顶点在第一象限内作等腰，其中． (1)求直线的解析式和点的坐标； (2)如图2，点是的中点，点是直线上一动点，连接、，求的最小值，并求出当取最小值时点的坐标； (3)在（2）的条件下，当取最小值时．直线上存在一点，使，求点坐标．（直接写出答案） 【答案】(1)； (2)5； (3)或 【详解】（1）， ， 设直线的解析式为， 将，，代入得， ， 解得：， ， 过点作轴，则， ， ， 又， ， ， ， 则点的坐标为； （2）由（1）可知，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， 点是的中点， 点的坐标为，即：， 延长至，使得，即点为的中点， 点的坐标为，即， ， 垂直平分， 连接，则， ，当点在直线上时取等号， 由勾股定理可得：， 设直线的解析式为：， 则， 解得：， 直线的解析式为：， 当点在直线上时，即直线与直线相交， 得，解得：， 即此时点的坐标为， 综上，的最小值为5，此时点的坐标为； （3）， 则， 过点作轴交直线于， 此时，则，即， ，则， 当点在点右侧时，， ， 解得：， 当时，， 即此时点的坐标为； 当点在点、点之间时，，不符合题意； 当点在点左侧时，， 解得：， 当时，， 即此时点的坐标为； 综上，存在点的坐标为或时，． 【点睛】此题主要考查了一次函数的图象，一次函数的交点坐标，待定系数法求一次函数的表达式，利用轴对称的性质求短路线，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形，理解一次函数的图象，熟练掌握待定系数法求一次函数的表达式，利用轴对称的性质求短路线的方法，全等三角形的判定与性质是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点，也是易错点． 2．阅读以下材料，完成问题： 如图①，在中，，若已知的对边与斜边的比值，则可得到的度数（如：若​，则）． (1)小试牛刀：如图②，在中，，求的度数； (2)问题探究：如图③，在中，，点E是线段上的动点，求的最小值； (3)问题解决：如图④，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴交于点A、B，点，点P为直线上的动点，以为边在其下方作等边，连接，那么是否存在最小值？若存在，直接写出其最小值及此时点P的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)最小值为6，点 【分析】本题主要考查了勾股定理，等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质， 对于（1），根据等腰三角形的性质得，即可得，再根据勾股定理求出，最后根据得出答案； 对于（2），先作，根据等腰三角形的性质及勾股定理得，然后根据三点共线时，且时，有最小值，最后根据勾股定理求出答案； 对于（3），将绕点O逆时针旋转得到，作轴，作，交x轴于点F，先求出，进而说明点H在直线上，然后求出点，根据勾股定理求出，接下来结合平行线的性质说明，再结合等边三角形的性质，根据“边角边”证明，可得，即可得出，最后根据当点O，P，E三点共线时，有最小值为，此时点P与点A重合，可得答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． 根据勾股定理，得， 在中，， ∴； （2）解：过点E作，交于点F，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 根据勾股定理，得， 即， ∴． 当点A，E，F三点共线时，且时，有最小值， ∵， ∴， ∴， ∴． 在中，根据勾股定理，得， ∴的最小值为； （3）解：最小值是6，点． 如图所示，将绕点O逆时针旋转得到，过点P作轴，过点H作于点E，且交x轴于点F， ∴， ∴， ∴． 在中，， ∴点． ∵当时，， ∴点H在直线上． ∵直线分别与x轴，y轴交于点A，B， ∴点， ∴． ∵， ∴． ∵轴，， ∴轴， ∴ ∴． ∵是等边三角形， ∴， ∴， 即． 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 如图，当点O，P，E三点共线时，有最小值为，此时点P与点A重合， ∴的最小值为6，点． 3．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于点，点． (1)如图1，过O作直线于C，求的长； (2)在（1）的条件下，点Q是直线上一动点，连接，将沿着翻折，若点A恰好落在直线上，请求出Q点的坐标； (3)如图2，点E在直线上，且横坐标为4，过点E作直线，使得．过点E作直线轴于点T，点M在射线上（不与点E重合），点N在射线上，若，请问是否存在最小值?若存在，请直接写出最小值及此时N点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在最小值，最小值为， 【分析】（1）根据点，点，由两点间距离公式求解，结合，根据三角形面积不同表示方法，列式计算即可； （2）分点A的对称点落在第一象限和第三象限两种情况，利用折叠的性质，待定系数法求交点的坐标的思想，规范解答即可． （3）过点D作于点D，且使得，连接，利用三角形全等，待定系数法，两点之间线段最短，解方程组，两点间距离公式解答即可． 【详解】（1）解：∵点，点，， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：当对称点落在第一象限时，如图所示， 过点Q作于点G， 根据题意，得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵, ∴， 设直线的函数表达式， ∴， 解得， ∴直线的函数表达式． 当时，， 故； 当对称点在第三象限时，如图所示，记交x轴于点M， 根据折叠的性质，得，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵, ∴， ∴， ∵直线的函数表达式． 当时，， 故， 综上：Q点的坐标或 （3）解：存在最小值，理由如下： ∵直线的函数表达式， ∴时，， ∴点， ∴， 过点D作于点D，且使得，连接，连接交于， ∵直线轴于点T， ∴， ∴； ∵， ∴， ∵直线轴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值就是的最小值， ∵， 故当B，F，N三点共线时，取得最小值，且为的长度， 故当N与点P重合时，取得最小值， ∵， ∴， ∴， ∴； ∴， ∴； 设直线的函数表达式， ∴， 解得， ∴直线的函数表达式． 设直线的函数表达式， ∴， 解得， ∴直线的函数表达式． 根据题意，得， 解得 ∴， 故． 【点睛】本题考查了一次函数与几何综合，两点间距离公式，折叠的性质，等腰三角形的判定与性质，两点之间线段最短，三角形全等的判定和性质，熟练掌握相关知识是解题的关键． 4．如图1，在平面直角坐标系中，直线和直线的图象交于轴上的点，且分别交轴于点和，已知．    (1)求，的值； (2)如图2，点为直线上一点，已知点的横坐标为，点为直线上一动点，点为轴上一动点，连接、、．求周长的最小值和此时点的坐标； (3)如图3，在（2）中的周长取得最小值的条件下，连接，点为平面内任意一点，当是以为边，向右侧作的等腰直角三角形时，直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1)， (2)周长的最小值为，此时点的坐标 (3)符合条件的点的坐标为或或． 【分析】（1）由待定系数法求解即可； （2）由（1）可得入直线，直线，则，由勾股定理逆定理可得，作点关于直线的对称点，则在直线上，则，作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，则，那么，当点在上时，周长取得最小值即为，此时点与点重合，此时，然后求出直线，则； （3）当时，过点作轴的垂线，再分别过点作垂线的垂线，垂足为点，则，证明，则，，即可求解；当时，构造同样辅助线， 同理可求；当时，构造同样辅助线， 同理可求． 【详解】（1）解：对于直线， 当， ∴， ∵， ∴， 即， 将代入直线，则， ∴直线， 当时，则， 解得， ∴， 将代入直线，则， 解得； （2）解：由（1）可得入直线，直线 将代入直线，则， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， 作点关于直线的对称点，则在直线上， ∵， ∴ 作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，    ∴， ∴， 当点在上时，周长取得最小值即为，此时点与点重合，如图：    ∴ 设直线， 则， 解得， ∴直线， 当， ∴， ∴周长的最小值为，此时点的坐标； （3）解：当时， 过点作轴的垂线，再分别过点作垂线的垂线，垂足为点，则，    ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴； 当时，构造同样辅助线，如图：    同理可证明：， ∴， ∴ 当时，构造同样辅助线，如图：    ∴， 设， 则， 解得， ∴， 综上：符合条件的点的坐标为或或． 【点睛】本题考查了一次函数与几何综合，涉及勾股定理及其逆定理，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，二次根式的化简等知识点． 5．如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知点，，直线．直线l与坐标轴分别交于点C，D两点，在直线l上从左到右有两个动点M、N（点M在点N的左侧），且． (1)求C、D两点的坐标． (2)将直线l上的任意一点沿l方向平移1个单位，由于l与x轴正方向夹角为，根据勾股定理，平移1个单位时，该点横、纵坐标均增加个单位，如图2，点沿直线l向上平移1个单位得到E点坐标为，如图3，将线段沿直线l的方向平移（平移方向与直线l同向或反向），平移距离为t（），得到线段．若平移后的线段与y轴有交点，求t的取值范围． (3)如图4，当点M、N在直线l上滑动（保持）时，四边形的周长是否存在最小值？若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)存在，最小值为 【分析】（1）分别令和求得对应的y和x的值即可解答； （2）根据题意先判断线段的平移方向，然后写出平移后对应点的横坐标，然后根据平后要与y轴相交，可知平移后的点的横坐标大于等于0，且点的横坐标小于等于0时，满足题意，据此列出不等式解答即可； （3）过点O作，过点N作，交于点，过点E作于点，作轴于点G，延长交y轴于点F，连接，则四边形是平行四边形，然后根据等腰直角三角形的性质推出直线l垂直平分，从而得到，进而可知当F、N、A三点共线时，取得最小值，此时四边形的周长最小，最后利用勾股定理求得，即可解答． 【详解】（1）解：在中， 令，得， ∴； 令，得， ∴； （2）解：由题意可知，直线l与x轴正方向夹角为，平移距离为t（）， ∵点，， ∴当线段沿直线l的反向（左下方）平移时，才可能与y轴相交， ∴此时点A平移后的对应点的横坐标为；点B平移后的对应点的横坐标为， ∵线段与y轴有交点， ∴， 解得； ∴平移后的线段与y轴有交点时，t的取值范围是； （3）解：存在，最小值为； 如图，过点O作，过点N作，交于点，过点E作于点，作轴于点G，延长交y轴于点F，连接， 则四边形是平行四边形，， ∴，，， ∵，l与x轴正方向夹角为，即， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴，即直线l垂直平分， ∴， ∴， ∴四边形的周长， ∵和为定值， ∴当F、N、A三点共线时，取得最小值，此时四边形的周长最小， ∵，， ∴， ∴四边形的周长最小值为． 6．点P、点和点Q为平面直角坐标系中的三个点，给出如下定义：若，且，则称为点P关于点Q的等垂点． (1)已知点Q的坐标为． ①如图1，若点P为原点，直接写出P关于Q的等垂点的坐标 ； ②如图2，P为y轴上一点，且点P关于点Q的等垂点恰好在一次函数的图象上，求点的坐标； (2)如图3，若点Q的坐标为，P为直线上一点，P关于点Q的等垂点位于y轴右侧，连接，，请问是否有最小值？若有，请求出最小值；若无，请说明理由． 【答案】(1)①或；②或 (2) 有最小值，最小值为， 理由：过点作平行于轴的直线，交轴于点，过点作于点，交轴于点，过点作于点，如图， 则，，，， ． ，， ． 在和中， ， ， ， ， 点的横坐标为5，即点在直线上运动， 作点关于直线的对称点，连接，交直线于点， 则，， 当点与点重合时，的值最小，最小值为． 过点作于点，则，， ， ． 有最小值，最小值为． 【分析】（1）①根据新定义，得到轴，且，求解即可；②分点在轴正半轴和在轴负半轴上，两种情况进行求解即可； （2）过点作平行于轴的直线，交轴于点，过点作于点，交轴于点，过点作于点，证明，得到点在直线上运动，作点关于直线的对称点，连接，交直线于点，则，进而得到当点与点重合时，的值最小，最小值为，据此求解即可． 【详解】（1）解：①作出点关于点的等垂点，如图， 则， 点的坐标为，点为原点， ， ∴， ∵，即轴， 关于的等垂点的坐标为或． ②当点在轴的正半轴上时，过点作轴于点，如图， ∵恰好在一次函数的图象上， 设 ∴， 点的坐标为 ． ， ， ， ． 在和中， ， ， ∴ ， ， ∴； 当点在轴的负半轴上时，过点作轴于点，如图， 恰好在一次函数的图象上， 设， ， 同理可得：， ， 综上，点的坐标为或； （2）略 【点睛】本题主要考查了一次函数与几何综合，轴对称最短路径问题，全等三角形的判定和性质，勾股定理等等．解题的关键是掌握新定义，画出图形，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解． 7．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于点，点． (1)如图1，过O作直线于C．求的长； (2)在（1）的条件下，点Q是直线上一动点，连接，将沿着翻折，若点A恰好落在直线上，请求出Q点的坐标； (3)如图2，点E在直线上，且横坐标为2，过点E作直线，使得．过点E作直线轴于点T，点M在射线上（不与点E重合），点N在射线上，若，请问是否存在最小值？若存在，请直接写出最小值及此时N点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)最小值为， 【分析】（1）根据点，点，得到，结合，根据三角形面积不同表示方法，列式计算即可． （2）分点A的对称点落在第一象限和第三象限两种情况，利用折叠的性质，待定系数法求交点的坐标的思想，规范解答即可． （3）过点D作于点D，且使得，连接，利用三角形全等，待定系数法，两点之间线段最短，解方程组，两点间距离公式解答即可． 【详解】（1）解：∵点，点，， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：当对称点落在第一象限时，如图所示， 过点Q作于点G， 根据题意，得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵, ∴， 设直线的函数表达式， ∴， 解得， ∴直线的函数表达式． 当时，， 故． 当对称点N落在第三象限时，如图所示， 连接，交x轴于点M， 根据折叠的性质，得，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵, ∴， ∴， 设直线的函数表达式， ∴， 解得， ∴直线的函数表达式． 当时，， 故． （3）解：∵直线的函数表达式， ∴时，， ∴点， ∴， 过点D作于点D，且使得，连接， ∵直线轴于点T， ∴， ∴； ∵， ∴， ∵直线轴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值就是的最小值， ∵， 故当B，F，N三点共线时，取得最小值，且为的长度， 连接交于点P， 故当N与点P重合时，取得最小值， ∵， ∴， ∴， ∴； ∴， ∴； 设直线的函数表达式， ∴， 解得， ∴直线的函数表达式． 设直线的函数表达式， ∴， 解得， ∴直线的函数表达式． 根据题意，得， 解得 ∴， 故． 【点睛】本题考查了两点间距离公式，待定系数法求解析式，解方程组，等腰三角形的性质，两点之间线段最短，三角形全等的判定和性质，熟练掌握相关知识是解题的关键． 8．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴和轴分别相交于，两点，与直线相交于点．    (1)的面积为______； (2)为直线上一点，连接，若，求点的坐标； (3)，为平面内两点，连接，，是否存在最小值，若存在，请直接写出最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点的坐标为或 (3) 【分析】（1）分别求出、点坐标，再求的面积即可； （2）当点在第二象限时，作于点，根据得出点的纵坐标为，代入解析式，进而可得点的坐标为，当点在第三象限时，如图2，作交于点，作于点，勾股定理求得，设点的坐标为，在中，根据勾股定理得．建立方程，解方程即可求解； （3）作点关于对称，对称点为，，过点作，连接，过点作，则，连接，，在中，利用勾股定理求出，即可得的最小值为． 【详解】（1）解：当时，， ∴， 当时，， ∴， 当时，， ∴， ∴, 故答案为：． （2）解：如图1，当点在第二象限时，作于点．    ∵，， ∴． ∴． ∵， ∴． 令，则，点的坐标为，． ∴． ∴点的坐标为， ∴点的纵坐标为． 令，则，． ∴点的坐标为 当点在第三象限时，如图2，作交于点，作于点．    ∴，． ∵， ∴．由上可知，． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． 令，则，，点的坐标为，． 在中，根据勾股定理得． ∴． ∴． 设点的坐标为，则，． 在中，根据勾股定理得． ∴． 解得(不合题意，舍去)，． 当时，． ∴点的坐标为． 综上所述，点的坐标为或． （3），， 、在直线上， ， 作点关于对称，对称点为，， 如图，过点作，连接，过点作，   四边形是平行四边形， ， ， 连接， ， ， 在中，，， ， 的最小值为． 【类型2 定值问题】 9．如图，已经为轴上的两点，且满足，将线段平移得到线段，其中点的对应点恰好落在轴正半轴上，三角形的面积为4． (1)求D，C两点的坐标； (2)连接与轴交于点，求点的坐标； (3)若点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向上平移运动，同时点从点出发，以每秒2个单位的速度向左平移运动，当点到达点后两点停止运动，若射线交轴于点，设三角形与三角形的面积差为，问：是否为定值？如果是定值，请求出这个定值；如果不是定值，请说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)是定值；3 【分析】本题考查了实数的非负性，平移的性质，待定系数法求解析式，解析式求与坐标轴的交点，分割法求面积，熟练掌握待定系数法，平移性质是解题的关键． （1）根据，确定A，B两点的坐标，根据三角形的面积，确定点D的坐标，继而确定平移方式，解得点C的坐标即可； （2）待定系数法求得的解析式，根据解析式与坐标轴的交点问题解答即可； （3）利用分类思想，结合图形的面积分割法表示，建立等式解答即可． 【详解】（1）解：， ， 解得：， ， ， 点D的坐标为， 由平移性质可知，， 点C的坐标为； （2）解：设直线的解析式为， ∵， ∴， 解得， 故直线的解析式为， ∴． （3）解：结论：S的值是定值3，理由如下： ①如图，当点在线段上时，连接． 设运动时间为t秒， 由题意：， ， ， ， ， ； ②如图，当点在上时，连接． 由①可知， ， 综上所述，S的值是定值3． 10．在平面直角坐标系中，、，四边形是正方形，点是轴正半轴上一动点，，交正方形外角的平分线于点．    (1)如图1，当点是的中点时，求证：； (2)点在轴正半轴上运动，点在轴上．若四边形为菱形，求直线的解析式． (3)连，点是的中点，当点在轴正半轴上运动时，点随之而运动，点到的距离是否为定值？若为定值，求出这个值；若不是定值，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)是定值， 【分析】（1）如图1中，取的中点，连接．只要证明即可； （2）如图2中，作交作于，则，由四边形是正方形，可证，四边形是平行四边形，当点在边上时，点在上，，推出四边形不可能是菱形，推出点在点的右侧，如图3中，利用全等三角形的性质求出，可得当坐标，致力于待定系数法即可解决问题； （3）只要证明点到的距离为定值且等于平行线之间的距离即可． 【详解】（1）证明：如图1中，取的中点，连接．   为正方形的外角平分线， ∴， ∴， ∵分别为的中点， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：如图2中，作交作于，由四边形是正方形，可证，    ∴， 由（1）可知， ∴， ∴四边形是平行四边形，当点在边上时，点在上，， ∴四边形不可能是菱形， ∴点在点的右侧， 如图3中，    ∵四边形是菱形， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设直线的解析式为，则有， 解得， ∴直线的解析式为． （3）解：如图4或5，连接．      ∵， ∴， ∵是中点， ∴， ∴点在的垂直平分线上， ∵垂直平分， ∴点在直线上， ∵， ∴， ∴点到的距离为定值且等于平行线之间的距离， ∴点到的距离． 【点睛】本题考查一次函数综合题、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于压轴题． 11．已知直线：交轴于点，交轴于点，且点的坐标为，点为轴上的一个动点，直线交直线于点． (1)求直线的表达式； (2)若，点为直线上一点，平分，若点为直线上一点，点为轴上一点，四边形为平行四边形，求点，点的坐标； (3)如图2，连接，将线段绕点逆时针旋转至线段，探究的面积是否为定值，若是，请求出定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)是定值， 【分析】（1）根据待定系数法求解析式即可； （2）若，则可证，若平分，则即，关于对称，据此求出坐标，设，，因为四边形为平行四边形，根据平行四边形对角线中点重合列方程求解即可； （3）可求解析式，与解析式联立得，由一线三垂直可得点纵坐标恒为，所以的面积是为定值． 【详解】（1）解：直线交轴于点，交轴于点， 令，得； 令，即，解得， 点的坐标为，点的坐标为； 设直线的表达式为， 将、代入，得： ，解得， 直线的表达式为． （2）解：若，则点的坐标为； 设直线的表达式为， 将、代入，得： ，解得， 直线的表达式为； 直线交直线于点， 联立，解得， 点的坐标为； ，，， ，， ， ， 平分， ， ， ， ， ，关于对称， ， 设，， 四边形为平行四边形， 根据平行四边形对角线中点重合得：，解得， ，； （3）解：设直线解析式为，代入和得： ，解得， 直线解析式为， 联立，解得， ， 线段绕逆时针旋转得， ，， 过作轴交轴于，作交轴于， ，， ， ， ， ， ，在轴上， 面积． 12．如图1，在平面直角坐标系中，直线：的图象与轴正半轴，轴正半轴分别交于，两点，，的面积为． (1)求直线的表达式； (2)点为轴上一点． ①如图2，，点为直线上一点且在第四象限．连接，，，若的面积与的面积相等，且，求的值和点的坐标； ②当且时，过点作直线于点，作线段的垂直平分线交直线于点，连接，，试探究的度数是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)①，； ②是，定值为 【分析】（1）证明，根据的面积为得到点和点的坐标，结合待定系数法解题； （2）①设，分别用含和的式子表示的面积与的面积，列方程可求出，再根据可求出； ②设的垂直平分线交于点，过点作交轴于点，设，根据勾股定理可求出，分别求出直线、直线的解析式，联立得到点的坐标，进而得到直线的解析式，可得到点的坐标，结合和的数量关系即可解题． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴，， 将，代入， 有， 解得， ∴直线的表达式为； （2）解：①设， 由题意知， 解得； ∵，， ∴， ∵， ， ∵， ∴， 解得，即， ∵， ∴， ， ， ∴， ， ， 解得或（舍去）， ∴； ②如图，设的垂直平分线交于点，过点作交轴于点， 由题意知为的中点， ∴，即，； ∵，， ∴，即， 设，则有， ∴， 整理得， ∴； 设，代入，， 有， 解得， ∵， ∴； 设，代入， 有， 解得， ∴； 设，代入，， 则有， 解得， ∴； 联立， 解得，即， 设，代入， 有， 解得， ∴， ∵点在直线上，， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形，即， ∵垂直平分， 由对称性可知， ∴． 13．如图，在平面直角坐标系中，已知点坐标为、点坐标为 (1)求直线的表达式； (2)如图1，若点为线段的中点，分别是线段上的动点，，连接，以为邻边作平行四边形．当其中一条坐标轴将平行四边形的面积分成的两部分时，求点的坐标． (3)如图2，若点的坐标为，点的坐标为连接，连接交轴于点，过作，交y轴于点，试探究的面积是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)； (2)或 (3)的面积是定值，为 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）根据中点坐标公式求出点坐标，设，则，表示出的坐标，平行四边形的性质，推出点坐标，再根据题意，分轴将平行四边形的面积分成的两部分和轴将平行四边形的面积分成的两部分，两种情况进行讨论求解即可； （3）求出直线的解析式，进而求出直线的解析式，再求出直线的解析式，进而求出点的坐标，利用三角形的面积公式进行求解即可. 【详解】（1）解：∵， ∴设直线的解析式为， 把代入，得， ∴， ∴； （2）解：∵点为线段的中点，， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴的中点坐标为， ∵以为邻边作平行四边形， ∴的中点坐标也为， ∴点坐标为， ∵其中一条坐标轴将平行四边形的面积分成的两部分时，分两种情况： ①当轴将平行四边形的面积分成的两部分时，如图：的面积与四边形的面积比为，即的面积为平行四边形的面积的， ∴的面积是的面积的， ∴，即点为的中点， ∵点在轴上，故点的横坐标为0， ∴，解得， ∴点坐标为，即； ②当轴将平行四边形的面积分成的两部分时，如图，则的中点在轴上， ∴，解得， ∴点坐标为，即； 综上：点坐标为或； （3）解：的面积是定值，为； 设直线的解析式为， ∵点的坐标为，点的坐标为， ∴，解得， ∴， ∵， ∴设直线的解析式为，把代入，得， ∴， ∴当时，， ∴， 同法可得直线的解析式为， ∴当时，， ∴， ∴的面积，为定值. 14．如图，在平面直角坐标系中，直线：（）与轴相交于点，与轴相交于点，且与直线：相交于点．点在直线上运动（不与点重合），过点作轴的平行线，与直线相交于点，连接，，记的面积为，的面积为． (1)若点的横坐标为1． ①求的值； ②如图1，当点与点重合时，直接写出的值； (2)在（1）的条件下，如图2，点在线段上运动（不与点，重合）时，试探究：的值是否是定值?若是，求出这个定值；若不是，请说明理由； (3)求的值（用含的代数式表示）． 【答案】(1)①；② (2)是， (3) 【分析】（1）①点的横坐标为，且点是直线与直线的交点，可知点的纵坐标为：，把点的坐标代入求出的值； ②先求出，再由三角形面积公式分别求解两个三角形的面积，即可求解比值； （2）由①可知直线的解析式为，根据解析式求出点的坐标，设点的坐标为，可知点的坐标为，把和用含的代数式表示出来，根据两个图形的面积比可以得到； （3）设点的坐标为，则点的坐标为联立直线表达式求出点的坐标为，再分情况讨论，分别表示出，即可求解比值． 【详解】（1）解：①点的横坐标为，且点是直线与直线的交点， 点的纵坐标为：， 把点的坐标代入， 可得：， 解得：； ②∵直线：（）与轴相交于点， ∴当时， ∴， ∵轴， ∴轴， 当点与点重合时，， 将代入得，， ∴ ∴； （2）解：的值是定值，这个定值为； 理由如下： 由可知直线的解析式为， 当时，可得：， 点的坐标为， ， 设点的坐标为， ∵轴，点在直线：上， ∴点的坐标为， ， ， ， ； 故的值是定值，这个定值为； （3）解：设点的坐标为，则点的坐标为 联立直线表达式可得，， 解得， 点的坐标为， 当点在线段延长线上时， ， ∴ 当点在线段上时， ， ∴同上：； 当点在线段延长线上时， ， ∴． 综上：． 15．已知：在平面直角坐标系中，的顶点在轴上，顶点在轴正半轴上，，且． (1)如图1，当点在轴负半轴上，若，求直线的函数表达式； (2)如图2，在（1）的条件下，过点作轴交轴于点，交于点， ①求点的坐标； ②求线段的长； (3)如图3，当点在轴正半轴上运动，点在轴正半轴上运动，过点作轴交轴于点，猜想是否是定值，若是，请求出定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)； (2)①；②； (3) 解：是定值 过点作轴，垂足为点， ， ∴四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【分析】本题考查了一次函数的表达式求解、坐标与几何图形的综合应用、全等三角形的判定与性质，解题的关键是通过作辅助线构造全等三角形，利用坐标特征和函数性质建立关系． （1）根据已知条件确定点A、C的坐标，设直线的函数表达式为 ，代入坐标求解参数； （2）①过点作轴，垂足为，证明，结合已知条件求点F的坐标；②利用轴的性质确定点E的纵坐标，代入直线解析式求横坐标，进而计算线段长度； （3）过点作轴，垂足为点，证明，通过全等性质推导与的数量关系，得出定值结论． 【详解】（1）解：， ， ， 设直线的函数表达式为， 把分别代入得， 解得：， ∴直线的函数表达式为； （2）解：①过点作轴，垂足为， ， ， ， ， ， ， ， ， ； ②∵轴，， ∴点的纵坐标为1， ∵点在直线上， ∴将代入中得：，解得：， ∴ ∴； （3）略 16．如图1，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，直线与轴，轴分别交于点A，B． (1)求和的值； (2)如图2，点是轴上的动点，过点作垂直于轴的直线，分别与直线和交于D，E两点，过点作轴，交直线于点，以，为边作矩形． ①连接，当时，试判断的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由； ②当动点在轴上运动时，发现顶点始终落在一条直线上，请直接写出该直线的函数解析式． 【答案】(1) (2)①为定值；②点在直线上． 【分析】（1）直接利用待定系数法求解即可； （2）①求解，如图，，求解，，，，再进一步求解即可；②由①得：，可得，再进一步求解即可. 【详解】（1）解：∵直线与直线交于点， ∴，， 解得：，， ∴直线，直线； （2）解：①联立， 解得：， ∴， 如图，∵，矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴，到的距离为：， ∴， 同理：，到的距离为：， ∴， ∴， ∴是定值； ②由①得：， ∴， 由可得：， 由， ∴， ∴， 整理得：. 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数的解析式，求解一次函数的交点坐标，矩形的性质，坐标与图形面积，理解题意是解本题的关键. 【类型3 探究数量关系】 17．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与轴交于点，点在一次函数图象上，垂直轴于点，点为线段上一动点，连接，将沿折叠得到． (1)求，的值； (2)是否存在点，使得为直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)当、、或者、、不共线时，请直接写出，和之间的数量关系． 【答案】(1)， (2)存在，或或 (3)或或 【分析】本题主要考查一次函数，图形折叠以及直角三角形的相关知识． （1）将点代入一次函数解析式可求出的值，再将点的横坐标代入解析式求出的值即可解答； （2）分三种情况讨论为直角三角形时的情况，即，（点在点上方）和（点在点下方），通过构建直角三角形，利用勾股定理求出点的坐标即可解答； （3）分三种情况讨论：点落在直线和直线之间，点落在直线的上方和点落在直线的下方，通过作辅助线，利用平行线的性质和折叠的性质得出，和之间的数量关系． 【详解】（1）解：把点代入函数得：， 解得， 所以一次函数关系式为， 把代入得， 所以； （2）解：由（1）可知， ∴， ①当时，如图1， 轴，， ， ，， ， 设，则，， 在中，，即， 解得， ， ； ②当且点在点上方时，如图2， 由题易知， 在中，，即，解得， ． 设，则，， 在中，，即， 解得， ， ； ③当且点在点下方时，如图3， 同②可得， ， 为的垂直平分线， 点与原点重合， ， 综上可知，或或； （3）解：当、、或者、、不共线时， ，和之间的数量关系为：或或，理由如下： ①当点落在直线和直线之间时，如图4， 过点作平行于轴， 易知， ，． ； ②当点落在直线的上方时，如图5， 过点作平行于轴， 易知， ，， ； ③当点落在直线的下方时，如图6， 过点作平行于轴， 易知， ，， ， 综上所述，当、、或者、、不共线时， ，和之间的数量关系为或或． 18．如图1所示，在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，． (1)若点． ①求点B的坐标； ②如图2，若垂直y轴于点C，轴于D，与交于点E，求点E的坐标（直接写出结果）； (2)如图3，P为第一象限的一动点，Q为x轴上的点，，且，M为的中点，试探究与的数量关系与位置关系． 【答案】(1)①；② (2)，详见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，一次函数的性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． （1）①作轴交x轴于点，作轴交x轴于点，根据得到，，根据等角的余角相等得到，根据证明，得到，，即可求出点B的坐标； ②同①证明，得到，，，求出直线、直线的解析式，联立即可求出点E的坐标； （2）延长，使，连接，，，证明，得到，，，进而得到，，根据等角的余角相等得到，根据多边形内角和得到，进而得到，根据得到，进而得到，证明，得到，，进而得到，可知为等腰直角三角形，根据可知M为等腰直角三角形斜边上的中点，根据三线合一及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得到结论． 【详解】（1）解：①如图，作轴交x轴于点，作轴交x轴于点， ∵， ∴，， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为等腰直角三角形，， ∴， 在和中， ∴， ∴，， 即； ②解：∵， ∴，， ∵垂直y轴于点C，轴于D， ∴ ∵， ∴，， ∴， ∵为等腰直角三角形，， ∴， 在和中， ∴， ∴，， 即，； 设直线解析式为， 将，代入得： ， 解得：， 即直线解析式为， 同理可得直线解析式为， 当时，， 此时， 即； （2）解：，理由如下： 如图，延长，使，连接，，， ∵M为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为等腰直角三角形，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 即为等腰直角三角形， ∵， ∴M为等腰直角三角形斜边上的中点， ∴． 19．综合与探究 如图，平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于点，，点是线段上的一个动点（不与重合），连接，设点的横坐标为． (1)直接写出两点的坐标及的长度； (2)当时，求点的坐标，并判断此时线段与的数量关系（需说明理由）； (3)在（2）的条件下，第一象限内存在一点，使是以为直角边的等腰直角三角形，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)，； (2)；理由见解析 (3)存在，点P的坐标为或 【分析】本题考查一次函数解析式的确定和一次函数的应用，勾股定理，全等三角形的判定和性质； （1）分别令，，求出两点坐标,进而根据勾股定理求得的长度； （2）根据三角形面积列方程求点F的坐标，然后利用勾股定理求得与的长，从而求解； （3）根据全等三角形的判定和性质求解． 【详解】（1）解：， ∴当时，，当时，，解得：， ∴，， ∴，， ∴ （2）∵点F是线段上的一个动点（不与A，B重合）， 设的面积，过点F作轴，    ∵点F的横坐标为x， ∴F点坐标为， ∵，， ， 解得：， ∴F点坐标为， ∴， ∵， ∴； （3）存在，点P的坐标为或． 过点F作轴交x轴于点E，过点作于点，过点作于点，分两种情况： 情况一：∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴点； 情况二：∵是等腰直角三角形， 同理， ∴，， ∴， 综上所述，点P的坐标为或． 20．在平面直角坐标系中，线段的两个端点分别在y轴和x轴上，直线分别交x轴正半轴、y轴负半轴于点C、D，且． (1)如图1，若G是线段延长线上一点，分别作的角平分线与邻补角的角平分线，两线所在直线交于点P． ①若，则的度数为______； ②求的度数． (2)如图2，点A、B、D的坐标分别为、、，是第三象限内一动点，试探究、与之间的数量关系，并求出相应的m的取值范围． 【答案】(1)①；② (2)当时，；当， 【分析】（1）①根据三角形内角和定理可得，根据角平分线的性质可得，根据平行线的性质可得，三角形内角和定理可得，根据邻补角的定义可得，根据角平分线的性质即可求解； ②根据邻补角的定义可得，根据①中结论和四边形内角和即可求解； （2）待定系数法求得直线的解析式为，由题意可知点在的直线上，设直线与轴交于点，直线与交于点，求得，，分两种情况讨论；当点在之间时，即时，过点作，根据平行线的性质可推得，当点在左侧时，即，过点作，根据平行线的性质可推得． 【详解】（1）解：①∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 故答案为：． ②∵， ∴， ∴． （2）解：设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为； ∵， ∴点在的直线上， 设直线与轴交于点， ∴， 设直线与交于点， 故将代入， 解得， ∴， 连接， 当点在之间时，即时， 过点作，如图：      ∵， ∴， ∴，， ∴； 当点在左侧时，即， 点作，如图：      ∵， ∴， ∴，， ∴； 综上所述：当时，；当，． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的性质，平行线的性质，四边形内角和，求一次函数的解析式，一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，平行线的性质是解题的关键． 21．在平面直角坐标系中，直线与坐标轴分别交于A，B两点，点C为线段上动点，过O作交于D，交于E． (1)当C为时，求点E的坐标； (2)若点C关于直线的对称点在直线上，求点C的坐标； (3)如图2，过A作，垂足为Q，P是线段的中点，连接，试判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 解：，理由如下： 连接， ∵在中，，P为中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴． 【分析】（1）过A作x轴垂线，交于F，由题意易得，则有，然后可得，则可求出直线的解析式为，进而问题可求解； （2）在上取一点F为C点对应点，连接，由题意易得为等腰直角三角形，且，由（1）可知，进而可得，然后问题可求解； （3）连接，然后根据题意先证得，则有，进而得出，则根据全等三角形的性质及等腰直角三角形的性质可求解． 【详解】（1）解：过A作x轴垂线，交于F， 由直线可知：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为，则有，解得：， ∴直线的解析式为， 联立， 解得， ∴； （2）解：在上取一点F为C点对应点，连接， ∴根据轴对称的性质可知， 由（1）可知， ∴， ∴为等腰直角三角形，且， 由（1）可知：此时， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）略 【点睛】本题主要考查一次函数与几何的综合，熟练掌握全等三角形的性质与判定、等腰直角三角形的性质及一次函数的图象与性质是解题的关键． 22．如图，点A，B的坐标分别为，，点P是线段上的一个动点，过点P的直线交x轴于点C，交y轴于点D，连接．    (1)求直线的表达式； (2)当是直角三角形时，求m的值； (3)在点P的运动过程中，探索并说明和面积的数量关系． 【答案】(1)直线表达式为 (2)或0 (3)在点P的运动过程中， 【分析】（1）设直线的表达式为，运用待定系数法求解即可； （2）分为当时、时两种情况进行讨论求解即可； （3）分为点D在x轴上方及点D在x轴下方两种情况分类讨论，通过面积法求解即可． 【详解】（1）设直线的表达式为，根据题意，得 解得 ∴直线的表达式为； （2）当是直角三角形时， ∵， ∴或． ①当时，点与点重合，此时． ②当时，点在x轴负半轴上，设． ∵，， ∴，，． 在中，根据勾股定理得， 即，解得． ∴点的坐标是． ∵点在直线上， ∴． 解得． 综上，或0； （3）联立方程解得 ∴点的坐标是，． 当时，， ∴点的坐标是，    由，解得． ∴点的坐标是． 如图2，当点在轴下方时，   ， ∴ 如图3，当点在轴上方时，   ， ∴． 【点睛】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到待定系数法求一次函数关系式、勾股定理等，其中（2）、（3）问要注意分类求解，避免遗漏． 23．如图1，在平面直角坐标系中有一点；将点A向左平移3个单位，再向下平移6个单位得到点B，直线过点A、B，交x轴于点C，交y轴于点D，P是直线上的一个动点，通过研究发现直线上所有点的横坐标x与纵坐标y都是二元一次方程的解． (1)直接写出点B，C，D的坐标； (2)求三角形AOB的面积； (3)如图2，将D点向左平移个单位到E，连接CE，DG平分交CE于点G，已知点F为x轴正半轴上一动点（不与C点重合），射线EF交直线AB交于点M，交直线DG于点N，试探究F点在运动过程中、、之间是否有某种确定的数量关系，若存在，请写出对应关系式并证明；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；； (2) (3)或 【分析】（1）根据点的平移直接写出点的坐标，再根据解析式写出、点坐标即可； （2）的面积等于和面积之和即可求出； （3）分点在上和延长线上两种情况写出几个角的关系即可． 【详解】（1）解：根据平移性质得， 、点横坐标与纵坐标都是二元一次方程的解， ，； （2）解：； （3）解：平分， ， 设， 由题轴，则， ①当点在上时， ，① 在中，，② 联立①②消掉得， 即； ②当点在延长线上时， 由题轴，则， ，① ，② 联立①②消掉得， 即， 综上，、、之间存在或的关系． 【点睛】本题考查了一次函数，三角形面积，平行线的性质、三角形的内角和，分类讨论问题是解答此题的关键． 24．如图，已知点，过点作轴于点，点是轴正半轴上的一个动点，连接，以为斜边在的上方构造等腰，连接． (1)当的坐标为时，点的坐标是______ ； (2)当点在轴正半轴上运动的时候，点是否在一直线上运动，如果是，请求出点所在直线的解析式；如果不是，请说明理由； (3)在点的运动过程中，猜想与有怎样的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1) (2)点在一直线上运动，理由见解析 (3) 【分析】（1） 设点，点，过点作轴的平行线交过点于轴的平行线于点，交的延长线于点，证明≌，运用线段相等，构建等式求解． （2）根据（1）的解答回答即可． （3）把点、、的坐标都用x表示，后用两点间的距离公式计算证明即可． 【详解】（1）设点，点， 过点作轴的平行线交过点于轴的平行线于点，交的延长线于点， ，， ， ，， ≌， ，， 因为，点，点，四边形MNBD是矩形， 所以AD=2，DO=3，BO=m，NB=DM=y， 所以，， 所以且，即点的坐标为， 当点时，即，则， 解得，， 故答案为． （2）点在一直线上运动，理由： 由知，，即点所在直线的解析式为； （3）由、知，点、、的坐标分别为、、，则， 而， 故， 即与的数量关系是：． 【类型4 新定义函数】 25．在平面直角坐标系中，已知点和点，对于实数，定义：点和是线段的两个“k-加权点”，线段（含端点）是线段的“k-加权线段”． 已知点，． (1)线段的“-加权点”是________； (2)若线段是线段的“k-加权线段”，则当线段与x轴有交点时，k的取值范围是________； (3)记直线和直线组成的图形为X．对于点，，线段和分别是线段和的“k-加权线段”，满足以线段和为对角线的四边形与图形X恰有3个不同的交点，则k的值是________． 【答案】(1)和 (2) (3)或 【详解】（1）解：由题可知，点，，， ∴，，，， ∴， 即； ， 即， ∴线段的“-加权点”是和． （2）解：由题意知，点，的“k-加权点”为，， ∵线段与x轴有交点， ∴P，Q两点在x轴两侧（含落在x轴上）， ∴或， 解得：， ∴k的取值范围是． （3）解：由题意知，点，的“k-加权点”为，， 由（2）知，，， 令，则，，， ∴，，，， 由图可知，点C与点R重合，点D与点S重合，点P与点A重合，点Q与点B重合， ∴，为对角线的四边形顶点是中心为的平行四边形， 设直线的解析式为， 将点P代入得：， ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为， 将点R代入得：， ∴直线的解析式为， 要使以线段和为对角线的四边形与图形X恰有3个不同的交点， 情况一：如图，P点在上， 把代入得， 解得． 情况二：如图，过O点． 设直线的表达式为， 则， 解得， ∴直线的表达式为， ∵，且过O点， ∴直线的表达式为， 把代入得， 解得． 综上k的值是或． 26．在平面直角坐标系中，对于点给出如下定义：若点在直线上，称点是点的“和谐点”． 已知，点． (1)在，，中，点的“和谐点”有__________； (2)点在直线上，若点的“和谐点”也是点的“和谐点”，求点的坐标； (3)已知点和线段，点在以，，，为顶点的四边形上，且，若线段上总存在线段上任意一个点的“和谐点”，直接写出线段的最小值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据“和谐点”的定义判断即可； （2）设点的坐标为，则点A的“和谐点”在直线上．设点的一个“和谐点”为，根据“和谐点”的定义得到，根据点的“和谐点”也是点的“和谐点”得到点在直线上，从而可求出a的值，即可解答； （3）点的“和谐点”在直线上，通过分析得到点C的“和谐点”在直线和直线之间的区域，因此线段的最小值为直线和直线的距离，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵点， ∴， 即点的“和谐点”在直线上， 当时，， ∴点在直线上， ∴点是点的“和谐点”； 当时，， ∴点在直线上， ∴是点的“和谐点”； 当时，， ∴点不在直线上， ∴不是点的“和谐点”； 综上所述，点的“和谐点”有，． （2）解：∵在直线上， ∴设点的坐标为， ∴点A的“和谐点”在直线上． 设点的一个“和谐点”为， 则点在直线上， ∴， ∴ ∵点的“和谐点”也是点的“和谐点”， ∴点在直线上， ∴， ∴， ∴点A的坐标为． （3）解：∵点， ∴点的“和谐点”在直线上． ∵， ∴， 设以，，，为顶点的四边形为四边形． ①当点在边上时，设点，其中，即， ∴点C的“和谐点”在直线上， 即点C的“和谐点”在直线和直线之间的区域． ②当点在边上时，设点，其中， ∴点C的“和谐点”在直线上， ∵， ∴ 即点C的“和谐点”在直线和直线之间的区域． ③当点在边上时，设点，其中，即， ∴点C的“和谐点”在直线上， ∵， ∴ 即点C的“和谐点”在直线和直线之间的区域． ④当点在边上时，设点，其中， ∴点C的“和谐点”在直线上， ∵， ∴ 即点C的“和谐点”在直线和直线之间的区域． 综上所述，点C的“和谐点”在直线和直线之间的区域． ∵线段上总存在线段上任意一个点的“和谐点”， ∴线段的最小值为直线和直线的距离． 如图，设直线交x轴于点J，交y轴于点I． 令，则，解得， 令，则， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设直线与x轴的交点为Q， 令，则，解得， ∴， ∴， 过点Q作垂直于直线，垂足为点K， 则， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴直线和直线的距离为， 即线段的最小值为． 27．在平面直角坐标系中，对于线段和点，给出如下定义：若在直线上存在点，使得四边形为平行四边形，则称点为线段的“相随点”． (1)已知，点，点． ①在点，，，中，线段的“相随点”是__________； ②若点为线段的“相随点”，连接，，直接写出的最小值及此时点的坐标； (2)已知，点，点，正方形边长为，且以点为中心，各边与坐标轴垂直或平行，若对于正方形上的任意一点，都存在线段上的两点，，使得该点为线段的“相随点”，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)①；②的最小值为，此时 (2)或 【分析】（1）①首先求出，然后根据平行四边形的性质得到，然后设，然后分别验证求解即可； ②首先判断出点Q在直线上运动，连接，，作点O关于直线的对称点，连接，得到，当点，Q，B三点共线时，有最小值，即的长度，然后求出，最后问题可求解； （2）首先得出正方形左上角的顶点坐标，右上角的顶点坐标，左下角的顶点坐标，右下角的顶点坐标，设，然后分情况讨论，分别根据平行四边形的性质求解即可． 【详解】（1）解：①∵点，， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∵点P在直线上， ∴设， ∴若，且， ∴， ∴， ∴符合题意， ∴是线段的“相随点”； ∴若，且， ∴， ∴， ∴， ∴是线段的“相随点”； ∴若，且， ∴，此时方程无解， ∴不是线段的“相随点”； ∴若，且， ∴，此时方程无解； ∴不是线段的“相随点”； 综上所述，线段的“相随点”是，； ②∵点Q为线段的“相随点”， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴设，， ∴， ∴， ∴点Q在直线上运动， 如图，连接，，作点O关于直线的对称点，连接， ∴， ∴， ∴当点，Q，B三点共线时，有最小值，即的长度， 分别将和代入直线得：， ∴， ∴， ∵点O和点关于直线对称， ∴，平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴根据两点间距离公式可得：， ∴的最小值为， 设直线的解析式为，则有， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立，解得：， ∴； （2）解：∵正方形边长为2，且以点为中心，各边与坐标轴垂直或平行， ∴正方形左上角的顶点坐标，右上角的顶点坐标，左下角的顶点坐标，右下角的顶点坐标， ∵点，点，设， 设所在直线表达式为， ∴， 解得， ∴所在直线表达式为， 若与等长，如图，当正方形左上角的顶点为线段的“相随点”时， ∴四边形是平行四边形， ∴根据平行四边形的对角线互相平分及中点坐标公式可得：， 解得， 当点F在上时，则有，解得：， ∴，此方程组无解， ∴不存在线段上的两点M，N，使得该点为线段的“相随点”， ∴； 若与等长，如图，当正方形右下角的顶点为线段的“相随点”时， ∴同理可得， 解得， 当点C在上时，则有，解得：， ∴，此方程组无解， ∴不存在线段上的两点M，N，使得该点为线段的“相随点”， ∴； 综上所述，t的取值范围或． 【点睛】本题属于一次函数综合题，主要考查了一次函数与四边形综合题，新定义问题，平行四边形的性质，正方形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确分析题目，掌握一次函数的性质． 28．在平面直角坐标系中，对于点和长为的线段作如下定义：过点作于点，若点在线段上，且点到线段的距离满足（其中），则称点是线段的“倍垂点”．已知点． (1)点，在点中，线段的“倍垂点”是_______________； (2)点，若点是线段的“倍垂点”，则点的横坐标的取值范围是______________； (3)点，若直线上存在线段的“倍垂点”，直接写出的取值范围． 【答案】(1)， (2)或 (3)或或 【分析】（1）根据“倍垂点”的定义求解即可； （2）由题意得在直线上，并求出长度，设垂足，，点在过垂直的直线上，根据长度可以求出点与点的水平距离的范围，即可得到的取值范围； （3）存在最小值，即直线时，此时为，则，作基本模型，恰与有一个交点，则符合条件． 【详解】（1）解：∵，， ∴，轴， 且由题意得，，垂线与轴平行， ∴点到线段的距离满足， ∴， ：垂足在上，，满足条件； ：垂足，不在线段上，不满足； ：垂足在上，，满足，符合条件； ∴“​倍垂点”是． （2）解：∵，， 设直线为， 得， 解得， ， ∴在直线上，长度​，且， ∴， 设垂足，，点在过垂直的直线上， ∴点与点的水平距离的范围为， 即， 当时，得，即， 结合， 得， ​； 当时，得，即， 结合，得， ； ∴的范围是或． （3）解：分类讨论： ①当向的右方向移动时，基本模型以为旋转中心顺时针旋转，并且不断变大． 当开始与相交时如图绿色模型， 延长，作交延长线于点， ， ， ， 又， ， ， 的坐标为， ， ， 的坐标为，继续旋转（逆时针）， 模型与相交，并不断变大， ； ②当向的左方向移动时，基本模型以为旋转中心逆时针旋转并不断变大，且与有相交． 当到达时，如图紫色模型，恰好满足， 此时，该过程中； 当移到左侧时，发现，此时模型已不再与相交，继续旋转， 当模型旋转到如蓝色模型位置时，此时又开始与相交，继续旋转并变大的过程中一直相交，如蓝色模型所示． 的坐标为，， 如图，延长，作交延长线于点， ， 延长，作交延长线于点， ， ， ， 又， ， ， 取中点，连接， 又是的中点， 是的中位线， ， ， 作于点， ， 四边形是矩形， ， 设， 则，，， 又， ， ， ． 综上，或或． 29．在平面直角坐标系中，对于线段和不在直线上的点，给出如下定义：作点关于直线的对称点，若线段上存在点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，则称点是线段的“关联点”． (1)如图，点，，在点，，中，线段的“关联点”是________； (2)已知点，，，．若线段上的任意一点都是线段的“关联点”，直接写出的取值范围； (3)已知点，点在x轴上方且．若点是线段的“关联点”，直接写出的值． 【答案】(1)， (2)或 (3)或 【分析】（1）分别作、、关于直线的对称点、、，通过题意可得轴，结合平行四边形的性质得出垂直且平分，分别求出点关于、、的对称点的坐标，即可求解； （2）结合定义得出，结合平行四边形的性质推得垂直且平分，垂直且平分，当点与点重合时，点与点重合，此时有最大值，根据垂直平分线的性质和勾股定理列出方程求出的最大值为；当点在线段上时，不存在以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，得出或；当点与点重合时，点与点重合，此时有最小值，根据垂直平分线的性质和勾股定理列出方程求出的最小值为，即可求解； （3）先根据待定系数法求出线段所在直线的解析式为（且），令点关于线段的对称点为点，点为与线段的交点；设的坐标为，则的中点的坐标为，根据一次函数的性质求出点的坐标为，分、、是以点，，，为顶点的四边形的对角线三种情况，结合平行四边形的性质和平移的特征确定出点的坐标，根据一次函数的性质求出的值，即可． 【详解】（1）解：分别作、、关于直线的对称点、、，如图： 则点、在轴上， ∵点、关于直线对称， 故； ∵点，，，为顶点的四边形是平行四边形，点、均在轴上， 故， ∵对角线、互相平分， ∴垂直且平分． 故点关于的对称点的坐标为， 点关于的对称点的坐标为， 点关于的对称点的坐标为， ∵点的坐标为，的坐标为， 故点、在线段上， ∴在点，，中，线段的“关联点”是，． （2）解：∵，， 故线段在轴上， ∵线段上的任意一点都是线段的“关联点”， 若点是线段上的一点，则令点关于线段的对称点为点，点是对角线和的交点， 故； 结合定义可得，点，，，为顶点的四边形是平行四边形， 故，， 即垂直且平分，垂直且平分， 如图：当点与点重合时，点与点重合，此时有最大值， 则， ∵垂直且平分，垂直且平分， ∴，， ∴， ∵点在轴上， 即轴， 故轴， ∴点的横坐标为，纵坐标为， ∴， 故， 解得． 当点在线段上时，不存在以点，，，为顶点的四边形是平行四边形， 此时，即， 故符合要求的满足或． 如图：当点与点重合时，点与点重合，此时有最小值， 则， ∵垂直且平分，垂直且平分， ∴，， ∴， ∵点在轴上， 即轴， 故轴， ∴点的横坐标为，纵坐标为， ∴， 故， 解得． 综上，的取值范围为或． （3）解：∵点在x轴上方且， 故且． 设线段所在直线的解析式为， 将，代入，得， 解得， 故线段所在直线的解析式为（且）， 令点关于线段的对称点为点，点为与线段的交点； 设的坐标为，则的中点的坐标为； ∵点在线段上， 故将代入，得， 整理得， 故点的坐标可以表示为， 当是以点，，，为顶点的四边形的对角线时，如图： 根据题意可得四边形为平行四边形，， 故，， ∴点的坐标为， 因为点在线段上， 故将代入，得， 整理得， 解得． 当是以点，，，为顶点的四边形的对角线时，如图： 根据题意可得四边形为平行四边形，， 故，， ∴点的坐标为， 因为点在线段上， 故将代入，得， 整理得， 解得（不符合题意，舍去）． 当是以点，，，为顶点的四边形的对角线时，如图： 根据题意可得四边形为平行四边形，， 故，， 将点向左平移个单位，向下平移个单位可以得到点， ∴将点向左平移个单位，向下平移个单位可以得到点， 故点的横坐标为，纵坐标为 ∴点的坐标为， 因为点在线段上， 故将代入，得， 整理得， 解得． 综上，或． 30．在平面直角坐标系中，对于菱形和直线（直线不与轴垂直），过菱形的四个顶点，分别存在与直线平行或重合的直线，它们与轴交点的纵坐标的最大值与最小值之差，称为菱形关于直线的“纵影长”，记作．当等于菱形的对角线的长时，称直线为菱形的“等影线”． (1)如图，若菱形的顶点分别为，，，，直线，则菱形关于直线l的“纵影长”为 ，此时直线 （填“是”或“不是”）该菱形的“等影线”； (2)若菱形的顶点分别为，，，，其中，且存在直线是该菱形的“等影线”，求m的取值范围； (3)已知菱形的边长为，点，，，点D在x轴上方．若存在直线l：（）是菱形的“等影线”，且直线与菱形有公共点，直接写出的取值范围（用含的式子表示）． 【答案】(1)；不是 (2) (3)或 【分析】（1）先由、坐标求出对角线的长度；再过四个顶点作直线的平行线，分别求出各平行线与轴交点的纵坐标，用纵坐标最大值减去最小值得到纵影长；最后比较与的长度，即可判断直线是否为等影线； （2）先由、坐标求出对角线，明确等影线需满足，设直线解析式为，将四个顶点分别代入，得到各平行线与轴交点的纵坐标，分、两种情况计算纵影长，结合的条件，分析存在符合条件的时的取值范围即可； （3）先由菱形边长相等与证为等边三角形，得到的长度，作高利用勾股定理求出、两点坐标，设直线解析式为，代入四个顶点得到各平行线与轴交点的纵坐标，消去公共项后分、两种情况表示纵影长，令解出的两个取值，再根据直线与菱形有公共点时介于纵坐标最值之间，代入化简即可得到的取值范围． 【详解】（1）解： ∵、， ∴， 如图，过四个顶点作与平行的直线（为），设直线为， 当时，， ∴直线与轴交于， 即为直线与轴交点的纵坐标， 将四个顶点分别代入，可得各平行线与轴交点的纵坐标： ：，解得； ：，解得； ：，解得； ：，解得； ∵与轴交点纵坐标的最大值为，最小值为， ∴纵影长， ∵， ∴直线不是该菱形的“等影线”； （2）解：∵、， ∴， ∵直线是该菱形的“等影线” ∴纵影长， 设直线的解析式为，过菱形各顶点且与平行的直线解析式可设为，则该直线与轴交点的纵坐标为， 将四个顶点分别代入，可得各平行线与轴交点的纵坐标： ：，解得； ：，解得； ：，解得； ：，解得； 纵影长为四个纵坐标的最大值减去最小值，分两种情况讨论： ①当时， ∵最大值为，最小值为 ∴， ∵， ∴，解得， 此时取即可满足，存在符合条件的直线，故成立； ②当时 ∵最大值为，最小值为， ∴， ∵， ∴，解得， ∴， ∴， 又， ∴，存在符合条件的直线； 综上，的取值范围是； （3）解：如图，过点作轴，垂足为，连接， ∵四边形是菱形，边长为， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵直线是该菱形的“等影线”， ∴纵影长， ∵是等边三角形，， ∴是的中点，， 中，由勾股定理得 ， ∵点，， ∴点坐标为，点坐标为， 设直线的解析式为，过菱形各顶点且与平行的直线解析式可设为，则该直线与轴交点的纵坐标为， 将四个顶点分别代入，可得各平行线与轴交点的纵坐标： ：，解得； ：，解得； ：，解得； ：，解得； ∵四个纵坐标都含有公共项， ∴最大值与最小值的差（纵影长）与无关，仅由决定，分两种情况讨论： ①当时 ∵越大，的值越小，对应的越小， ∴四个纵坐标中，最小值对应点，最大值对应点， ∴， ∵， ∴，解得（满足）， ∵直线与菱形有公共点时，的取值在四个顶点对应纵坐标的最小值与最大值之间， ∴，即， 把代入化简，得 ； ②当时， ∵越大，的值越大，对应的越大， ∴四个纵坐标中，最小值对应点，最大值对应点， ∴ ∵， ∴，解得（满足）， ∵直线与菱形有公共点时，的取值在四个顶点对应纵坐标的最小值与最大值之间， ∴，即， 把代入化简，得 ； 综上，的取值范围为或． 31．在平面直角坐标系中，记点关于 轴的对称点为（时 与重合），若线段 上存在两点，，满足，且，则称 为线段 的“衡角点” (1)已知点 ①在点，，中，线段 的“衡角点”是 ； ②若点是线段 的“衡角点”，则的取值范围是 ； (2)已知点，点，点，，若线段上至少存在一个点是的“衡角点”，则的取值范围是 ． 【答案】(1)① ② 或 (2) 【分析】（1）①由“衡角点”定义，点关于轴的对称点与线段上两点 构成等腰直角三角形，直角顶点为，底边在轴上，过作轴垂线，垂足为 中点，且，故，，要求均在线段上，即且，分别求出各点关于轴的对称点，代入验证即可． ②由①的结论，对称点与线段上两点构成等腰直角三角形时，需满足且，分，和三种情况讨论，分别得到的坐标，代入不等式求解即可． （2）先求得，根据题意，所有满足条件的 点构成以 为公共边的两个等边三角形围成的菱形区域内（不包括线段），可求得其四个顶点为、、、，设线段关于轴的对称线段为，问题转化为该菱形与线段有交点，从而通过边界位置确定的范围． 【详解】（1）解：①由题意，点，， ∵点是线段的“衡角点”， ∴点关于轴的对称点，满足，且， ∴为等腰直角三角形， 令点在点的左侧，设点，过点作的垂线，垂足为， ∴点为线段的中点， 又， ∴， 的坐标为，的坐标为， 须在线段上， 且． 关于轴的对称点为，则点横坐标，不符合题意； 关于轴的对称点为，则点横坐标，点横坐标，符合题意； 关于轴的对称点为，则点横坐标，点横坐标，符合题意； 综上，线段 的“衡角点”是． ②关于轴的对称点为， 由①得，点，， 当在轴上方，即，时， ，， 须满足，解得，此时； 当在轴下方，即，时， ，， 须满足，解得，此时； 当时，在轴上，不符合题意； 综上，或． （2）解： ， ， 由题意可知，“衡角点”对应为等边三角形（ 在线段 上）， 如图，所有满足条件的 点构成以 为公共边的两个等边三角形围成的菱形区域内（不包括线段）， 过点作轴，则，设的中点为， ∴，， ∴， 为等边三角形，， 三点共线，即在轴上，轴， 四个顶点为：， 菱形沿着轴方向上下平移， 如图，线段关于轴的对称线段为， 在线段上， 在线段上， 线段上至少存在一个点是的“衡角点”， 线段与上述菱形有交点， ， ∴， 为等腰直角三角形， ， 和不可能重合， 设直线：，代入，可得，解得， ， 如图，当在上时，将代入， 可得，解得， 当平移至位置时，此时在上时，将代入， 可得，解得， 综上，的取值范围是． 32．在平面直角坐标系中，对于任意两点，，定义如下：点与点的“直角距离”为，记作． 例如：点与的“直角距离”． (1)已知点、，中，与原点的“直角距离”等于的点是________． (2)如图，已知点，，根据定义可知线段上的任意一点与原点的“直角距离”都等于．若点与原点的“直角距离”，即． ①若，则点的坐标为________． ②请你在图中将所有满足条件的点组成的图形补全； (3)已知直线和点，若直线上存在点，满足，直接写出的取值范围________． 【答案】(1) (2)①或②见解析 (3) 【分析】（1）根据“直角距离”分别计算四个点到原点的距离，即可判断； （2）①由得，把代入，求出的值即可； ②的图形是以为顶点的正方形，补全图形即可； （3）根据，并由（2）可得：点D在正方形边上，如图，通过观察图可得：k的最大值是过点E，Ｎ的直线，k的最小值是过F的直线，代入可得结论． 【详解】（1）解：∵点、， ∴，，， ∴与原点的“直角距离”等于的点是； （2）解：∵，即， ∴， 把代入，得：， ∴， 解得或， ∴点的坐标为或； ②补全图形如下： （3）解：∵，则点D在正方形边上，如图2， ∴，，， 又∵点D在直线，又直线过点， 由图2可知：当直线过点E，Ｎ时，通过观察图可得：k的最大值是过点E，Ｎ的直线，k的最小值是过F的直线， 把点代入中，，， 把点F的坐标代入中，，， 故k的取值范围是：． 第 1 页 共 112 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 一次函数综合压轴题 （最值定值数量关系新定义4类32道） 专题目录 【类型1 最值问题】 1 【类型2 定值问题】 5 【类型3 探究数量关系】 9 【类型4 新定义函数】 13 【类型1 最值问题】 1．如图1，已知直线与轴交于点，与轴交于点，以为直角顶点在第一象限内作等腰，其中． (1)求直线的解析式和点的坐标； (2)如图2，点是的中点，点是直线上一动点，连接、，求的最小值，并求出当取最小值时点的坐标； (3)在（2）的条件下，当取最小值时．直线上存在一点，使，求点坐标．（直接写出答案） 2．阅读以下材料，完成问题： 如图①，在中，，若已知的对边与斜边的比值，则可得到的度数（如：若​，则）． (1)小试牛刀：如图②，在中，，求的度数； (2)问题探究：如图③，在中，，点E是线段上的动点，求的最小值； (3)问题解决：如图④，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴交于点A、B，点，点P为直线上的动点，以为边在其下方作等边，连接，那么是否存在最小值？若存在，直接写出其最小值及此时点P的坐标；若不存在，说明理由． 3．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于点，点． (1)如图1，过O作直线于C，求的长； (2)在（1）的条件下，点Q是直线上一动点，连接，将沿着翻折，若点A恰好落在直线上，请求出Q点的坐标； (3)如图2，点E在直线上，且横坐标为4，过点E作直线，使得．过点E作直线轴于点T，点M在射线上（不与点E重合），点N在射线上，若，请问是否存在最小值?若存在，请直接写出最小值及此时N点的坐标；若不存在，请说明理由． 4．如图1，在平面直角坐标系中，直线和直线的图象交于轴上的点，且分别交轴于点和，已知．    (1)求，的值； (2)如图2，点为直线上一点，已知点的横坐标为，点为直线上一动点，点为轴上一动点，连接、、．求周长的最小值和此时点的坐标； (3)如图3，在（2）中的周长取得最小值的条件下，连接，点为平面内任意一点，当是以为边，向右侧作的等腰直角三角形时，直接写出所有符合条件的点的坐标． 5．如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知点，，直线．直线l与坐标轴分别交于点C，D两点，在直线l上从左到右有两个动点M、N（点M在点N的左侧），且． (1)求C、D两点的坐标． (2)将直线l上的任意一点沿l方向平移1个单位，由于l与x轴正方向夹角为，根据勾股定理，平移1个单位时，该点横、纵坐标均增加个单位，如图2，点沿直线l向上平移1个单位得到E点坐标为，如图3，将线段沿直线l的方向平移（平移方向与直线l同向或反向），平移距离为t（），得到线段．若平移后的线段与y轴有交点，求t的取值范围． (3)如图4，当点M、N在直线l上滑动（保持）时，四边形的周长是否存在最小值？若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由． 6．点P、点和点Q为平面直角坐标系中的三个点，给出如下定义：若，且，则称为点P关于点Q的等垂点． (1)已知点Q的坐标为． ①如图1，若点P为原点，直接写出P关于Q的等垂点的坐标 ； ②如图2，P为y轴上一点，且点P关于点Q的等垂点恰好在一次函数的图象上，求点的坐标； (2)如图3，若点Q的坐标为，P为直线上一点，P关于点Q的等垂点位于y轴右侧，连接，，请问是否有最小值？若有，请求出最小值；若无，请说明理由． 7．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于点，点． (1)如图1，过O作直线于C．求的长； (2)在（1）的条件下，点Q是直线上一动点，连接，将沿着翻折，若点A恰好落在直线上，请求出Q点的坐标； (3)如图2，点E在直线上，且横坐标为2，过点E作直线，使得．过点E作直线轴于点T，点M在射线上（不与点E重合），点N在射线上，若，请问是否存在最小值？若存在，请直接写出最小值及此时N点的坐标；若不存在，请说明理由． 8．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴和轴分别相交于，两点，与直线相交于点．    (1)的面积为______； (2)为直线上一点，连接，若，求点的坐标； (3)，为平面内两点，连接，，是否存在最小值，若存在，请直接写出最小值；若不存在，请说明理由． 【类型2 定值问题】 9．如图，已经为轴上的两点，且满足，将线段平移得到线段，其中点的对应点恰好落在轴正半轴上，三角形的面积为4． (1)求D，C两点的坐标； (2)连接与轴交于点，求点的坐标； (3)若点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向上平移运动，同时点从点出发，以每秒2个单位的速度向左平移运动，当点到达点后两点停止运动，若射线交轴于点，设三角形与三角形的面积差为，问：是否为定值？如果是定值，请求出这个定值；如果不是定值，请说明理由． 10．在平面直角坐标系中，、，四边形是正方形，点是轴正半轴上一动点，，交正方形外角的平分线于点．    (1)如图1，当点是的中点时，求证：； (2)点在轴正半轴上运动，点在轴上．若四边形为菱形，求直线的解析式． (3)连，点是的中点，当点在轴正半轴上运动时，点随之而运动，点到的距离是否为定值？若为定值，求出这个值；若不是定值，请说明理由． 11．已知直线：交轴于点，交轴于点，且点的坐标为，点为轴上的一个动点，直线交直线于点． (1)求直线的表达式； (2)若，点为直线上一点，平分，若点为直线上一点，点为轴上一点，四边形为平行四边形，求点，点的坐标； (3)如图2，连接，将线段绕点逆时针旋转至线段，探究的面积是否为定值，若是，请求出定值；若不是，请说明理由． 12．如图1，在平面直角坐标系中，直线：的图象与轴正半轴，轴正半轴分别交于，两点，，的面积为． (1)求直线的表达式； (2)点为轴上一点． ①如图2，，点为直线上一点且在第四象限．连接，，，若的面积与的面积相等，且，求的值和点的坐标； ②当且时，过点作直线于点，作线段的垂直平分线交直线于点，连接，，试探究的度数是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 13．如图，在平面直角坐标系中，已知点坐标为、点坐标为 (1)求直线的表达式； (2)如图1，若点为线段的中点，分别是线段上的动点，，连接，以为邻边作平行四边形．当其中一条坐标轴将平行四边形的面积分成的两部分时，求点的坐标． (3)如图2，若点的坐标为，点的坐标为连接，连接交轴于点，过作，交y轴于点，试探究的面积是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 14．如图，在平面直角坐标系中，直线：（）与轴相交于点，与轴相交于点，且与直线：相交于点．点在直线上运动（不与点重合），过点作轴的平行线，与直线相交于点，连接，，记的面积为，的面积为． (1)若点的横坐标为1． ①求的值； ②如图1，当点与点重合时，直接写出的值； (2)在（1）的条件下，如图2，点在线段上运动（不与点，重合）时，试探究：的值是否是定值?若是，求出这个定值；若不是，请说明理由； (3)求的值（用含的代数式表示）． 15．已知：在平面直角坐标系中，的顶点在轴上，顶点在轴正半轴上，，且． (1)如图1，当点在轴负半轴上，若，求直线的函数表达式； (2)如图2，在（1）的条件下，过点作轴交轴于点，交于点， ①求点的坐标； ②求线段的长； (3)如图3，当点在轴正半轴上运动，点在轴正半轴上运动，过点作轴交轴于点，猜想是否是定值，若是，请求出定值；若不是，请说明理由． 16．如图1，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，直线与轴，轴分别交于点A，B． (1)求和的值； (2)如图2，点是轴上的动点，过点作垂直于轴的直线，分别与直线和交于D，E两点，过点作轴，交直线于点，以，为边作矩形． ①连接，当时，试判断的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由； ②当动点在轴上运动时，发现顶点始终落在一条直线上，请直接写出该直线的函数解析式． 【类型3 探究数量关系】 17．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与轴交于点，点在一次函数图象上，垂直轴于点，点为线段上一动点，连接，将沿折叠得到． (1)求，的值； (2)是否存在点，使得为直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)当、、或者、、不共线时，请直接写出，和之间的数量关系． 18．如图1所示，在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，． (1)若点． ①求点B的坐标； ②如图2，若垂直y轴于点C，轴于D，与交于点E，求点E的坐标（直接写出结果）； (2)如图3，P为第一象限的一动点，Q为x轴上的点，，且，M为的中点，试探究与的数量关系与位置关系． 19．综合与探究 如图，平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于点，，点是线段上的一个动点（不与重合），连接，设点的横坐标为． (1)直接写出两点的坐标及的长度； (2)当时，求点的坐标，并判断此时线段与的数量关系（需说明理由）； (3)在（2）的条件下，第一象限内存在一点，使是以为直角边的等腰直角三角形，请直接写出点的坐标． 20．在平面直角坐标系中，线段的两个端点分别在y轴和x轴上，直线分别交x轴正半轴、y轴负半轴于点C、D，且． (1)如图1，若G是线段延长线上一点，分别作的角平分线与邻补角的角平分线，两线所在直线交于点P． ①若，则的度数为______； ②求的度数． (2)如图2，点A、B、D的坐标分别为、、，是第三象限内一动点，试探究、与之间的数量关系，并求出相应的m的取值范围． 21．在平面直角坐标系中，直线与坐标轴分别交于A，B两点，点C为线段上动点，过O作交于D，交于E． (1)当C为时，求点E的坐标； (2)若点C关于直线的对称点在直线上，求点C的坐标； (3)如图2，过A作，垂足为Q，P是线段的中点，连接，试判断与的数量关系，并说明理由． 22．如图，点A，B的坐标分别为，，点P是线段上的一个动点，过点P的直线交x轴于点C，交y轴于点D，连接．    (1)求直线的表达式； (2)当是直角三角形时，求m的值； (3)在点P的运动过程中，探索并说明和面积的数量关系． 23．如图1，在平面直角坐标系中有一点；将点A向左平移3个单位，再向下平移6个单位得到点B，直线过点A、B，交x轴于点C，交y轴于点D，P是直线上的一个动点，通过研究发现直线上所有点的横坐标x与纵坐标y都是二元一次方程的解． (1)直接写出点B，C，D的坐标； (2)求三角形AOB的面积； (3)如图2，将D点向左平移个单位到E，连接CE，DG平分交CE于点G，已知点F为x轴正半轴上一动点（不与C点重合），射线EF交直线AB交于点M，交直线DG于点N，试探究F点在运动过程中、、之间是否有某种确定的数量关系，若存在，请写出对应关系式并证明；若不存在，请说明理由． 24．如图，已知点，过点作轴于点，点是轴正半轴上的一个动点，连接，以为斜边在的上方构造等腰，连接． (1)当的坐标为时，点的坐标是______ ； (2)当点在轴正半轴上运动的时候，点是否在一直线上运动，如果是，请求出点所在直线的解析式；如果不是，请说明理由； (3)在点的运动过程中，猜想与有怎样的数量关系，并证明你的结论． 【类型4 新定义函数】 25．在平面直角坐标系中，已知点和点，对于实数，定义：点和是线段的两个“k-加权点”，线段（含端点）是线段的“k-加权线段”． 已知点，． (1)线段的“-加权点”是________； (2)若线段是线段的“k-加权线段”，则当线段与x轴有交点时，k的取值范围是________； (3)记直线和直线组成的图形为X．对于点，，线段和分别是线段和的“k-加权线段”，满足以线段和为对角线的四边形与图形X恰有3个不同的交点，则k的值是________． 26．在平面直角坐标系中，对于点给出如下定义：若点在直线上，称点是点的“和谐点”． 已知，点． (1)在，，中，点的“和谐点”有__________； (2)点在直线上，若点的“和谐点”也是点的“和谐点”，求点的坐标； (3)已知点和线段，点在以，，，为顶点的四边形上，且，若线段上总存在线段上任意一个点的“和谐点”，直接写出线段的最小值． 27．在平面直角坐标系中，对于线段和点，给出如下定义：若在直线上存在点，使得四边形为平行四边形，则称点为线段的“相随点”． (1)已知，点，点． ①在点，，，中，线段的“相随点”是__________； ②若点为线段的“相随点”，连接，，直接写出的最小值及此时点的坐标； (2)已知，点，点，正方形边长为，且以点为中心，各边与坐标轴垂直或平行，若对于正方形上的任意一点，都存在线段上的两点，，使得该点为线段的“相随点”，请直接写出的取值范围． 28．在平面直角坐标系中，对于点和长为的线段作如下定义：过点作于点，若点在线段上，且点到线段的距离满足（其中），则称点是线段的“倍垂点”．已知点． (1)点，在点中，线段的“倍垂点”是_______________； (2)点，若点是线段的“倍垂点”，则点的横坐标的取值范围是______________； (3)点，若直线上存在线段的“倍垂点”，直接写出的取值范围． 29．在平面直角坐标系中，对于线段和不在直线上的点，给出如下定义：作点关于直线的对称点，若线段上存在点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，则称点是线段的“关联点”． (1)如图，点，，在点，，中，线段的“关联点”是________； (2)已知点，，，．若线段上的任意一点都是线段的“关联点”，直接写出的取值范围； (3)已知点，点在x轴上方且．若点是线段的“关联点”，直接写出的值． 30．在平面直角坐标系中，对于菱形和直线（直线不与轴垂直），过菱形的四个顶点，分别存在与直线平行或重合的直线，它们与轴交点的纵坐标的最大值与最小值之差，称为菱形关于直线的“纵影长”，记作．当等于菱形的对角线的长时，称直线为菱形的“等影线”． (1)如图，若菱形的顶点分别为，，，，直线，则菱形关于直线l的“纵影长”为 ，此时直线 （填“是”或“不是”）该菱形的“等影线”； (2)若菱形的顶点分别为，，，，其中，且存在直线是该菱形的“等影线”，求m的取值范围； (3)已知菱形的边长为，点，，，点D在x轴上方．若存在直线l：（）是菱形的“等影线”，且直线与菱形有公共点，直接写出的取值范围（用含的式子表示）． 31．在平面直角坐标系中，记点关于 轴的对称点为（时 与重合），若线段 上存在两点，，满足，且，则称 为线段 的“衡角点” (1)已知点 ①在点，，中，线段 的“衡角点”是 ； ②若点是线段 的“衡角点”，则的取值范围是 ； (2)已知点，点，点，，若线段上至少存在一个点是的“衡角点”，则的取值范围是 ． 32．在平面直角坐标系中，对于任意两点，，定义如下：点与点的“直角距离”为，记作． 例如：点与的“直角距离”． (1)已知点、，中，与原点的“直角距离”等于的点是________． (2)如图，已知点，，根据定义可知线段上的任意一点与原点的“直角距离”都等于．若点与原点的“直角距离”，即． ①若，则点的坐标为________． ②请你在图中将所有满足条件的点组成的图形补全； (3)已知直线和点，若直线上存在点，满足，直接写出的取值范围________． 第 1 页 共 112 页 学科网（北京）股份有限公司 $