期末压轴专题04 矩形、菱形、正方形中最值、折叠、新定义型问题的四类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材人教版八年级下册

**基本信息** 聚焦矩形、菱形、正方形中最值、折叠、新定义综合问题，以“性质应用—问题转化—模型构建”为主线，系统提炼解题方法，强化逻辑推理与转化思想。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |矩形中的最值与折叠|1例+3变式|折叠用轴对称+勾股定理，最值用将军饮马/二次函数|矩形性质→折叠轴对称→直角三角形方程求解；动点轨迹→对称转化→线段最短| |菱形中的最值与折叠|1例+3变式|结合菱形四边相等/对角线垂直，折叠构Rt△，最值化折为直|菱形特性→折叠对应关系→勾股建模；对角线性质→对称点构造→路径最短| |正方形中的最值与折叠|1例+3变式|正方形对称性+勾股定理，最值用将军饮马/函数极值|正方形直角/对称性质→折叠边角转化→方程求解；动点问题→函数建模→极值计算| |新定义型问题|1例+3变式|新定义转化为边/角/对角线关系，分类讨论+性质应用|新定义内涵→特殊四边形性质→方程/不等式求解；定义验证→分类讨论→结论推导|

命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 期末压轴专题04 矩形、菱形、正方形中最值、折 叠、新定义型问题的四类综合题型 目录 典例详解 类型一、矩形中的最值与折叠问题 类型二、菱形中的最值与折叠问题 类型三、正方形中的最值与折叠问题 类型四、矩形、菱形、正方形中的新定义型问题 压轴专练 典例详解 类型一、矩形中的最值与折叠问题 方法总结 1. 折叠问题：利用折叠前后对应边相等、对应角相等及折痕垂直平分性质，在直角三角形中设未知数列 勾股方程求解。 2.最值问题：常用“垂线段最短”、“两点之间线段最短”转化为将军饮马模型，或设变量用二次函数求 最值。 解题技巧 1.转化思想：折痕是对称轴，将分散条件集中；最值常作对称点化折为直。 2.方程模型：折叠设未知数用勾股定理，最值先定自变量范围再求函数极值。 例1.(24-25八年级下·湖南长沙期末)如图，在Rt△ABC中，LBAC=90°，AB=3,BC=5,点P是BC边 上的一个动点，PM⊥AB于点M,PN⊥AC于点N,则MN的最小值为 B 【变式1-1】(25-26八年级上·四川宜宾期末)如图，在长方形ABCD中，AD=3,AB=2,BF=DE,则 CE+DF的最小值是 1/12 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【变式1-2】(25-26九年级上·安微合肥期末)如图，在矩形ABCD中，AB=4,BC=5,动点E从点A出 发，沿边AD,DC向点C运动，A,D关于直线BE的对称点分别为M,N,连接MN· E 0 D D 备用图1 备用图2 (1)如图，当E在边AD上且DE=1时，∠AEM的度数是 (2)当直线MN恰好经过点C时，DE的长是 【变式1-3】(25-26八年级上河北保定期末)综合与实践 如图，在长方形纸片ABCD中，AD=3,DC=4,P为长方形纸片ABCD边BC上的一动点，连接AP,将 △ABP沿AP折叠，点B落在点B处. D B B DE B C(P) 图1 图2 图3 (I)如图1，当点B落在边CD上时，CB的长为 (2)如图2，连接AC,当点B落在AC上时，求PB的长 (3)如图3，当点P与点C重合时，AB与CD交于点E,求△ACE的面积. 类型二、菱形中的最值与折叠问题 方法总结 1.折叠问题：利用折叠轴对称性及菱形四边相等、对角线垂直平分性质，在直角三角形中用勾股定理列 方程求解。 2.最值问题：依据“两点之间线段最短”“垂线段最短”转化为对称模型，或建立二次函数求极值。 解题技巧 1. 转化思想：折叠时关注对应边角，最值时作对称点化折为直，结合菱形对角线特性简化。 2/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 2。方程建模：折叠设未知数用勾股定理，最值先定自变量范围再求函数最值。 例2.(25-26八年级上重庆期末)四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD交于点O,，点E为BC上一动点， 连接AE、OE,若AB=AC=4,则AE+OE的最小值是· D 【变式2-1】(25-26九年级上·山东青岛期末)如图，在菱形纸片ABCD中，∠A=60°，点E在BC边上， 将菱形纸片ABCD沿DE折叠，点C落在AB边的垂直平分线上的点C处，则∠DEC的大小为 【变式2-2】(24-25八年级下·广东广州期末)如图，菱形ABCD中，AB=4,∠ABC=60°，点P为AD边 上任意一点（不包括端点），连结AC,过点P作PQ∥AC边CD点Q,点R线段AC上的一点. A B (I)若点R为菱形ABCD对角线的交点，PO为△ACD的中位线，求PR+QR的值； (②)当PR+QR的值最小时，请确定点R的位置，并求出PR+QR的最小值； (3)当PR+QR+PQ的值最小时，在备用图中作出此时点P,Q的位置，写作法并写出PR+QR+PQ的最小 值. 【变式2-3】(24-25八年级下·陕西渭南期末)【问题背景】 同学们以平行四边形纸片的折叠”为主题开展数学活动.在平行四边形纸片ABCD中，已知AB=10, AD=4V0,口ABCD的面积为I20.点E为BC边上任意一点，将△ABE沿AE折叠，点B的对应点为B. 3/12 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B D B B B E E 图1 图2 图3 【问题探索】 (1)如图1，若点B恰好落在AD上时，求证：四边形ABEB'为菱形； 【拓展延伸】 (2)如图2，若∠BAE=45°时，连接BB',并延长交CD于点G.求线段B'G的长； (3)如图3，改变E点的位置，将△ABE沿AE折叠，连接B'C,当BCB'是以∠BCB'为直角的三角形时， 求B'C的长度， 类型三、正方形中的最值与折叠问题 方法总结 1.折叠问题：利用折叠的轴对称性及正方形四边相等、四角为直角性质，在R△中设未知数列勾股方程 求解。 2.最值问题：依据“两点之间线段最短”作对称点化折为直，或用二次函数模型求极值，常结合对角线 特性。 解题技巧 1.转化思想：折叠时找准对应边角，最值时构造“将军饮马”模型，利用正方形对称简化计算。 2.方程建模：折叠设未知数勾股定理建方程；最值先定自变量范围，再配方求最值。 例3.(25-26九年级上·北京石景山期末)如图，边长为2的正方形ABCD内有一动点E,满足∠AEB=90° ,F为边BC上的动点，连接EF,DF. (1)当F为边BC的中点时，EF长的最小值为 (2)EF+DF的最小值为 【变式3-1】(25-26九年级上·福建厦门期末)如图，在边长为4的正方形ABCD中，点P为边AB上一动 4/12 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 点，将△PBC沿CP折叠得到△PCE,点B的对称点为点E,作射线AE交CD于点F,若点E恰好为AF的 中点，则BP的长为 F B 【变式3-2】(24-25八年级下，吉林白山期末)综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开 展数学活动 【操作判断】操作一： 如图I,正方形纸片ABCD,将∠B沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形ABCD的内部，得到折痕AE ,点B的对应点为M,连接AM;将∠D沿过点A的直线折叠，使AD与AM重合，得到折痕AF,将纸片 展平，连接EF. (1)根据以上操作，易得点E,M,F三点共线，则 ①∠EAF= °； ②线段EF,BE,DF之间的数量关系为 【深入探究】操作二： 如图2，将∠C沿EF所在直线折叠，使点C落在正方形ABCD的内部，点C的对应点为N,将纸片展平， 连接NE,NF. 同学们在折纸的过程中发现，当点E的位置不同时，点N的位置也不同，当点E在BC边上某一位置时（点 E不与点B,C重合)，点N恰好落在折痕AE上，此时AM交NF于点P,如图3所示， (2)小明通过观察图形，测量并猜想，得到结论AP=BE+DF,请判断该结论是否成立，并说明理由. 【拓展应用】 (3)若正方形纸片ABCD的边长为3，当点N落在折痕AE上时，直接写出线段AP的长. D D E E E 图1 图2 图3 5/12 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【变式3-3】(24-25八年级下·山东威海期末)数学研究小组发现，求线段最值问题的解决策略：对两条线 段作某种变换（平移、轴对称、旋转等），最终转化为“两点之间线段最短问题”去解决 E F 图1 图2 图3 (1)如图1，已知菱形ABCD,∠A=60°，AB=2,点E是BC边中点，点F是对角线BD边上的动点.连接 EF,CF,则EF+CF的最小值为 ； (2)如图2，己知矩形ABCD,AB=6,BC=3,点E是BC上的点，且CE=1,点F,G是CD上的动点， 且FG=1,连接AG,则EF+FG+AG的最小值为 (3)如图3，已知正方形ABCD,AB=2,E是AC上的动点，F是BC上的动点，且AE=CF.连接AF, DE,求AF+DE的最小值. 类型四、矩形、菱形、正方形中的新定义型问题 方法总结 1,理解定义：准确理解新定义（如“和谐矩形”“完美菱形”），将其转化为边、角或对角线的数学关系。 2. 性质应用：利用矩形、菱形、正方形的性质（如矩形对角线相等、菱形对角线垂直等），将定义条件转 化为方程或不等式求解。 解题技巧 1.举例验证：用简单数值代入新定义试算，理解本质后再一般化处理。 2.分类讨论：新定义常涉及边长比例、角度关系，需分类讨论不同情况求解。 例4.(25-26九年级上河南郑州期末)定义：若有一组邻边相等，且另一组邻边也相等的凸四边形，我们 把这类四边形叫做筝形.如图，矩形ABCD中，AD=8,AB=9,点M为AD的中点，点N在AB上，且 AN=5,点P,Q,分别为BC,CD上一个动点，连接MN,NP,PQ,MQ,MP,若四边形MNPQ为 筝形，则MP的长为 6/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【变式4-1】(25-26八年级上·四川成都期末)定义：菱形一边的中点与它所在边的对边的两个端点连线所 形成的折线，叫做菱形的折中线，例如，如图I,在菱形ABCD中，E是CD的中点，连接AE,BE,则折 线AEB叫做菱形ABCD的折中线，折线AEB的长叫做折中线的长 己知，在菱形ABCD中，AB=a,E是CD的中点，连接AE,BE. 图1 图2 (I)如图1，已知折中线AEB将菱形的面积分为了三部分，ADE、△AEB、BEC的面积之比为_； (2)如图2，若a=6,∠C=60°，求折中线AEB的长； (3)若a=4,且折中线AEB中的AE或BE与菱形ABCD的一条对角线相等，求折中线的长. 【变式4-2】(24-25八年级下·河南南阳·期末)定义：有一组邻边相等，且它们的夹角是直角的凸四边形叫 做等腰直角四边形， P B 图1 图2 图3 (1)请在你学习过的四边形中，写出一个符合等腰直角四边形定义的特殊四边形； (2)如图1，等腰直角四边形ABCD中，AB=BC=1,LABC=90°.若AD=DC,∠ADC=45°，请利用如 图2的辅助线，求BD的长： (3)如图3，在矩形ABCD中，AB=5,BC=9,点P是对角线BD的中点，过点P作直线分别交边AD、 BC于点E、F.当四边形ABFE是等腰直角四边形时，直接写出四边形DPFC的面积. 【变式4-3】(24-25八年级下·江西宜春·期末)定义引入： 定义：如果一个四边形的两条对角线互相垂直，那么我们称这个四边形为“对垂”四边形 (1)问题1：举例：写一个你学过的特殊四边形是“对垂”四边形的图形的名称： 猜想与验证： (2)①如图1，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD于点O,下列结论正确的是(). A.AB2+BC2=CD2+AD2 B.S边形HBCD=)AC×BDC.ABXCD=BC×AD 2 7/12 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ②证明①中正确的结论： 拓展思考： (3)如图2，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别是3cm和5cm,连接AE,AG,CE,且AE=7cm, △ADG的面积和△DCE的面积会相等吗？如果会，请证明并求△DCE的面积，如果不会，请说明理由. G 图1 图2 压轴专练 一、单选题 1.(25-26九年级上湖北武汉·期末)定义：我们把三角形某边上中线的长度与这边中点到高的距离的比值 称为三角形某边的中高偏度值”.如图，在Rt△ABC中，LACB=90°，AC=4,BC=3,则ABC中AB边的“中 高偏度值”为() C B A. B. D. 5 2.(24-25八年级下·山西大同期末)如图，在菱形ABCD中，AC=6,BD=6√3，E是BC边的中点，P, M分别是AC,AB上的动点，连接PE,PM,则PE+PM的最小值是() D B 8/12 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.6 B.2W5 C.26 D.3V3 3.(24-25八年级下·河南信阳期末)在以“矩形的折叠”为主题的数学活动课上，小亮同学进行了如下操作： 第一步：将矩形纸片的一端，利用图①的方法折叠出一个正方形ABEF,然后把纸片展平；第二步：将图① 中的矩形纸片折叠，使点C恰好落在点F处，得到折痕MN,如图②.请根据以上的操作，己知AB=8, AD=12,则线段BM的长是() 图① 图② A.1 B.2 C.2 D.2 二、填空题 4.(24-25八年级下·福建莆田期末)定义：平面上一点与某个图形所有点相连的线段中最短的线段长度叫 做点与该图形之间的距离，记为d.如图，己知菱形ABCD,∠ABC=60°，AB=3,平面内一动点P(菱形 外部)到菱形ABCD的距离为d=1,则点P运动轨迹的长度为 D B 5.(24-25九年级上陕西咸阳·期末)如图，正方形ABCD的边长为10，点P为BC的中点，连接AC、AP, 点M、N分别为AC、AP上的动点，连接BM、MN,则BM+MN的最小值为 D M B 6.(25-26九年级上河南周口期末)如图，在矩形ABCD中，AB=6,BC=4,点P在边AD上运动，连 接BP,将△ABP沿BP折叠，点A落在点A处，当△ADC为等腰三角形时，AP的长为· 9/12 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.--- B 三、解答题 7.(24-25八年级下山东济南·期末)综合与实践课上，老师给出定义：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美 四边形”.同学们以此开展了以下的数学活动. 图1 图2 (I)如图1构造一个四边形ABCD,使得AB=AD,BC=DC,那么四边形ABCD“垂美四边形”.（填“是” 或“不是”) (2)如图2，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE,连接CE、 BG、GE,BG与CE相交于点H.判断四边形BCGE是否是“垂美四边形”，并请说明理由. (3)在(2)的条件下，正方形ACFG的边长为2，正方形ABDE的边长为3，求GE的长. 8.(24-25八年级下·湖南郴州期末)如图，在平行四边形ABCD中，AC⊥BC,点M是AB边上一动点， 从A出发沿AB边匀速运动，当M运动到点B时停止运动，过M作MN⊥AC,交CD边于点N,连接AN, CM.已知AD=2,AC=3AD. N B M B B M 备用图 (1)求AB的长； (②)试求在运动过程中，AM长为何值时，四边形NMBC是菱形，请说明理由； (3)点M在运动过程中，AN+CM的长是否存在最小值，如果有请求出最小值；如果没有则说明理由. 9.(2025河南周口·二模)【定义阅读】 若两个等腰三角形有公共底边，且满足两个顶角和是180°，则称这两个顶角的顶点关于这条底边互为“和谐 10/12 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 点”. 图1 图2 图3 【定义理解】 (1)如图1，点A与点P都在线段BC的垂直平分线上，且均在直线BC上侧， ①AB与AC的数量关系是； ②若∠BPC=130°，且点A与点P关于BC互为“和谐点”，则∠ACP=; 【性质操作】 (2)如图2，矩形ABCD中，点E为AD边上一点，且BE=BC,BF平分∠CBE,射线BF交CD于点F.点 B与点F是否关于EC互为“和谐点”？说明理由； 【思维拓展】 (3)在矩形ABCD中，AB=2,AD=4,点F是直线CD上的动点，点E是平面内一点，在点F运动过程 中，当点E与点C关于BF互为“和谐点”，且A,B,E三点共线时，请直接写出AF的长。 10.(24-25八年级下·贵州黔西南期末)综合与实践：折纸中的数学 折纸是我国传统的民间艺术，也是同学们喜欢的手工活动之一，幸运星、纸飞机、千纸鹤、密信等折纸活 动在生活中都是广为流传的，通过折纸我们可以得到许多美丽的图形，同时折纸的过程还蕴含着丰富的数 学知识，折纸往往从矩形纸片开始，下面就让我们带着数学的眼光来探究一下有关矩形纸片的折叠问题， 看看折叠矩形纸片蕴含着哪些丰富的数学知识. 图1 图2 图3 图4 备用图 (1)折纸1：如图1，在一张矩形纸片上任意画一条线段AB,将纸片沿线段AB折叠（如图2) 问题1：重叠部分的ABC的形状是 A.等边三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 问题2：若AB=2,BC=3,则点A到BC的距离为 (②)折纸2：如图3，矩形纸片ABCD,点E为边CD上一点，将△BCE沿着直线BE折叠，使点C的对应点F 11/12 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 落在边AD上，请仅用无刻度的尺子和圆规在图3中找出点E的位置（保留作图痕迹，不写作法）。 (3)折纸3：如图4，矩形纸片ABCD,AB=5,BC=6,若点M为射线BC上一点，将△ABM沿着直线AM 折叠，折叠后点B的对应点为B,当点B恰好落在BC的垂直平分线上时，补全图形，求BM的长 12/12 期末压轴专题04 矩形、菱形、正方形中最值、折叠、新定义型问题的四类综合题型 目录 典例详解 类型一、矩形中的最值与折叠问题 类型二、菱形中的最值与折叠问题 类型三、正方形中的最值与折叠问题 类型四、矩形、菱形、正方形中的新定义型问题 压轴专练 类型一、矩形中的最值与折叠问题 方法总结 1. 折叠问题：利用折叠前后对应边相等、对应角相等及折痕垂直平分性质，在直角三角形中设未知数列勾股方程求解。 2. 最值问题：常用“垂线段最短”、“两点之间线段最短”转化为将军饮马模型，或设变量用二次函数求最值。 解题技巧 1. 转化思想：折痕是对称轴，将分散条件集中；最值常作对称点化折为直。 2. 方程模型：折叠设未知数用勾股定理，最值先定自变量范围再求函数极值。 例1．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）如图，在中，，点P是边上的一个动点，于点M，于点N，则的最小值为______． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理，矩形的判定和性质．熟练掌握矩形的对角线相等，垂线段最短，是解题的关键． 连接，易证四边形为矩形，得到，进而得到最小时，最小，根据垂线段最短，得到时，最小，等积法进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵于点M，于点N，， ∴四边形为矩形， 连接，则：， ∴最小时，最小， ∵垂线段最短， ∴时，最小， ∴，即：， ∴， ∴的最小值为； 故答案为：． 【变式1-1】（25-26八年级上·四川宜宾·期末）如图，在长方形中, ，，，则CE+DF的最小值是________． 【答案】 【分析】延长到点M，使得，连接，证明转化得到，当D，F，M三点共线时，取得最小值，勾股定理解答即可． 【详解】解：延长到点M，使得，连接， ∵矩形，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 连接 ∵， ∴， 故当D，F，M三点共线时，取得最小值，且最小值为 故答案为：． 【变式1-2】（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图，在矩形中，，，动点从点出发，沿边，向点运动，，关于直线的对称点分别为，，连接． （1）如图，当在边上且时，的度数是________． （2）当直线恰好经过点时，的长是_______． 【答案】 3或1.5 【分析】（１）画出图形，证明是等腰直角三角形，得到，由对称性知，最后根据即可求解； （２）分类讨论①当在边上时，根据轴对称的性质知，点在上，利用三角形全等求解，②点在边上时，利用勾股定理，列方程即可求解． 【详解】解：（1）∵四边形是矩形， ∴，, ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴． 由对称性知， ∴； （2）①如图2，当在边上时，根据轴对称的性质知，点在上， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ②如图3，点在边上时， ∵，， ∴， ∴， ∵， 在中，设，则， 根据勾股定理，得， ∴， 解得， ∴， ∴， 综上所述，的长为3或1.5． 【变式1-3】（25-26八年级上·河北保定·期末）综合与实践 如图，在长方形纸片中，，P为长方形纸片边上的一动点，连接，将沿折叠，点B落在点处． (1)如图1，当点落在边上时，的长为________． (2)如图2，连接，当点落在上时，求的长． (3)如图3，当点P与点C重合时，与交于点E，求的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了勾股定理，折叠的性质，矩形的性质，等腰三角形的判定，灵活运用勾股定理列方程是解决问题的关键． （1）根据折叠的性质与勾股定理即可求解； （2）根据折叠的性质得，，，再设，则，由勾股定理列方程即可求解； （3）根据折叠的性质得出，再由长方形可得，则可得，设，则，由勾股定理列方程求解出，即可求出的面积． 【详解】（1）解：∵四边形是长方形， ∴，，， 由折叠可得，，， ∴在中，， ∴． 故答案为：． （2）解：∵四边形是长方形， ∴，, 由折叠可得，，，， ∴，， 设，则， 在中，，即， 解得， ∴的长为． （3）解：由折叠可得， ∵四边形是长方形， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，，即， 解得，即， ∴， ∴的面积为． 类型二、菱形中的最值与折叠问题 方法总结 1. 折叠问题：利用折叠轴对称性及菱形四边相等、对角线垂直平分性质，在直角三角形中用勾股定理列方程求解。 2. 最值问题：依据“两点之间线段最短”“垂线段最短”转化为对称模型，或建立二次函数求极值。 解题技巧 1. 转化思想：折叠时关注对应边角，最值时作对称点化折为直，结合菱形对角线特性简化。 2. 方程建模：折叠设未知数用勾股定理，最值先定自变量范围再求函数最值。 例2．（25-26八年级上·重庆·期末）四边形是菱形，对角线、交于点，点为上一动点，连接、，若，则的最小值是_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、含30度直角三角形的性质、轴对称的性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 由菱形的性质可得，易得是等边三角形，可得；如图：作点关于的对称点，过O作交于G，则根据轴对称的性质以及三角形的三边关系可得为的最小值；再根据等边三角形的性质、含30度直角三角形的性质、勾股定理求得的长即可解答． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 如图：作点关于的对称点，过O作交于G，则 ∵点关于的对称点， ∴， ∴，即为的最小值， ∵， ∴， ∴， ， ∵， ∴， ∴，； 同理可得：，即， ∴ ∴． ∴的最小值为． 故答案为：． 【变式2-1】（25-26九年级上·山东青岛·期末）如图，在菱形纸片中，，点在边上，将菱形纸片沿折叠，点落在边的垂直平分线上的点处，则的大小为________． 【答案】/75度 【分析】本题主要考查了翻折变换（折叠问题），菱形的性质，等边三角形的性质，以及三角形的内角和定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 连接，由菱形的性质及，得到为等边三角形，为的中点，利用三线合一得到为角平分线，得到，，，进而求出，由折叠的性质得到，再利用三角形的内角和定理即可求解． 【详解】解：如图，连接，设与交于点， ∵四边形为菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形，，， ∴， ∵垂直平分， ∴平分， ∴， ∴， 由折叠可得，， ∴． 故答案为：． 【变式2-2】（24-25八年级下·广东广州·期末）如图，菱形中，，，点P为边上任意一点（不包括端点），连结，过点P作边点Q，点R线段上的一点．    (1)若点R为菱形对角线的交点，为的中位线，求的值； (2)当的值最小时，请确定点R的位置，并求出 的最小值； (3)当的值最小时，在备用图中作出此时点P，Q的位置，写作法并写出的最小值． 【答案】(1)4 (2)当点为中点，点关于对称的点与点坐在直线垂直于时，有最小值 (3)作图见解析，的最小值为6 【分析】（1）由菱形的性质可得，均为等边三角形，点为的中点，连接，，利用三角形中位线定理即可求解； （2）由题可知，，为等边三角形，由菱形性质可知，与关于对称，在上，取点的对应点，连接，则，，连接，交于点，过点作垂直于的直线交于，交于，可得，可得，则点为中点，利用含的直角三角形可得，，由三角形三边关系及垂线段最短可知，当，，三点在同一直线上，且与重合时取等号， 即当点为中点，点关于对称的点与点坐在直线垂直于时，有最小值； （3）同（2），与关于对称，在上，取点的对应点，连接，则，连接，交于点，由（2）可得点为中点，作关于对称的线段，取点的对应点，连接，则，由对称可知：，则，当，，，在同一条直线上时取等号， 此时点为中点，可知，为等边三角形，进而即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是菱形，，， ∴，，则，均为等边三角形， ∴， ∵点为菱形对角线的交点， ∴点为的中点，    连接，， ∵为的中位线， ∴，也为的中位线， 则，， ∴； （2）由（1）可知，均为等边三角形， 则， ∵， ∴，则为等边三角形， ∴，则， 由菱形性质可知，与关于对称，在上，取点的对应点，连接，则，，连接，交于点，过点作垂直于的直线交于，交于，    ∵，则， 又∵， ∴， ∴，则点为中点， ∵，， ∴， ∴，，由勾股定理可得：，， ∴， ∵， ∴，当，，三点在同一直线上，且与重合时取等号，即：与点重合（点为中点），与重合时取等号， 综上，当点为中点，点关于对称的点与点坐在直线垂直于时，有最小值； （3）同（2），与关于对称，在上，取点的对应点，连接，则，连接，交于点，由（2）可得点为中点， 作关于对称的线段，取点的对应点，连接，则， ∵为等边三角形， ∴，由对称可知：，    则，当，，，在同一条直线上时取等号， 此时点为中点，    ∵，则 ∴过点（点），且， 可知，为等边三角形，，，，即，，，分别为，，的中点， ∴此时， 作图，如下：    作法：取的中点为，作交于； 综上，的最小值为6． 【变式2-3】（24-25八年级下·陕西渭南·期末）【问题背景】 同学们以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展数学活动．在平行四边形纸片中，已知，，的面积为120．点为边上任意一点，将沿折叠，点的对应点为． 【问题探索】 （1）如图1，若点恰好落在上时，求证：四边形为菱形； 【拓展延伸】 （2）如图2，若时，连接，并延长交于点．求线段的长； （3）如图3，改变点的位置，将沿折叠，连接，当是以为直角的三角形时，求的长度． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）或 【分析】（1）由折叠的性质结合平行四边形的性质得到，，，由得到，因此，从而，即可得到，得证结论； （2）延长交于点H，由折叠的性质先证明是等腰三角形，得到，根据平行四边形的性质得到，易证是等腰三角形，用平行四边形的面积公式即可求出，进而得到，利用勾股定理即可解答． （3）分点E不与点C重合，点E与点C重合两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）证明：由折叠的性质可得：，，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． （2）解：如图，延长交于点H， 由折叠的性质可得：， ， ， 是等腰直角三角形， ， 四边形是平行四边形，，， ，， ，， 是等腰直角三角形， ， ∴， ， ， ． （3）解：当点E不与点C重合时，延长交于点， 则， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵由折叠有， ∴在中，， ∴； ②当与点C重合时，记，的交点为， 由①可知，当时，， ∴，而， ∴， ∴当重合时，， 由折叠可得： 综上所述，或． 类型三、正方形中的最值与折叠问题 方法总结 1. 折叠问题：利用折叠的轴对称性及正方形四边相等、四角为直角性质，在Rt△中设未知数列勾股方程求解。 2. 最值问题：依据“两点之间线段最短”作对称点化折为直，或用二次函数模型求极值，常结合对角线特性。 解题技巧 1. 转化思想：折叠时找准对应边角，最值时构造“将军饮马”模型，利用正方形对称简化计算。 2. 方程建模：折叠设未知数勾股定理建方程；最值先定自变量范围，再配方求最值。 例3．（25-26九年级上·北京石景山·期末）如图，边长为2的正方形内有一动点E，满足，F为边上的动点，连接，． （1）当F为边的中点时，长的最小值为____________ ； （2）的最小值为___________ ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质、勾股定理、轴对称的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）由题意推出点在以中点为圆心，为半径的半圆上运动，当且仅当、、三点共线时，有最小值，结合勾股定理解题即可； （2）作点关于的对称点，连接、、，作，垂足为，根据轴对称的性质，，以及，用勾股定理计算即可． 【详解】解：（1）∵， ∴点在以中点为圆心，为半径的半圆上运动， ∵，为的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴当且仅当、、三点共线时，有最小值； （2）如图，作点关于的对称点，连接、、，作，垂足为， 在正方形中，，， 由轴对称的性质可得，，，， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 当点、、、四点共线时，取到最小值， ∵， ∴， ∴ 的最小值为． 【变式3-1】（25-26九年级上·福建厦门·期末）如图，在边长为4的正方形中，点为边上一动点，将沿折叠得到，点的对称点为点，作射线交于点，若点恰好为的中点，则的长为__________． 【答案】 【分析】本题考查正方形的性质、折叠的性质、平行线的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握相关性质定理，数形结合的思想方法的运用是解题的关键． 过点E作于点H，连接，根据正方形的性质得到、、，进而得到，根据平行线分线段成比例得到，进而得到，由折叠的性质可得，进而得到是等边三角形，则，根据勾股定理得到，据此解答即可． 【详解】解：如图，过点E作于点H，连接， 四边形是正方形 、、 点是的中点， 垂直平分 由折叠的性质得 是等边三角形 ， 即 ， 故答案为：． 【变式3-2】（24-25八年级下·吉林白山·期末）综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动． 【操作判断】操作一： 如图1，正方形纸片，将沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形的内部，得到折痕，点B的对应点为M，连接；将沿过点A的直线折叠，使与重合，得到折痕，将纸片展平，连接． （1）根据以上操作，易得点E，M，F三点共线，则 ① ____________°； ②线段之间的数量关系为_______________． 【深入探究】操作二： 如图2，将∠C沿所在直线折叠，使点C落在正方形的内部，点C的对应点为N，将纸片展平，连接． 同学们在折纸的过程中发现，当点E的位置不同时，点N的位置也不同，当点E在边上某一位置时（点E不与点B，C重合），点N恰好落在折痕上，此时交于点P，如图3所示． （2）小明通过观察图形，测量并猜想，得到结论，请判断该结论是否成立，并说明理由． 【拓展应用】 （3）若正方形纸片的边长为3，当点N落在折痕上时，直接写出线段的长． 【答案】（1）①45；②；（2）结论成立，理由见解析；（3） 【分析】（1）①由正方形的性质得出，由折叠的性质可得：，，即可求解； ②由折叠的性质即可求解； （2）根据正方形的性质和折叠的性质得到是等腰直角三角形，再根据全等三角形的判定和性质求解即可； （3）证明是等腰直角三角形，求出，再由含角的性质以及勾股定理求解，然后设，则，在中，，代入数值计算，解得，由（2）得，则． 【详解】解：（1）①∵四边形是正方形， ∴， 由折叠的性质可得：，， ∴，即； ②由折叠的性质可得：，， ∵， ∴； （2）结论：成立，理由如下： 将沿所在直线折叠，使点落在正方形的内部，点的对应点为， ∵四边形是正方形， ∴， 由折叠的性质可得：，，， ∴， ∵， ∴， 由（1）得：， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）∵点落在折痕上， ∴，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 设， 则， 在中，， ∴， 则， ∴， 由（2）得， ∴． 【变式3-3】（24-25八年级下·山东威海·期末）数学研究小组发现，求线段最值问题的解决策略：对两条线段作某种变换（平移、轴对称、旋转等），最终转化为“两点之间线段最短问题”去解决． (1)如图1，已知菱形，，，点E是边中点，点F是对角线边上的动点．连接，，则的最小值为________； (2)如图2，已知矩形，，．点E是上的点，且，点F，G是上的动点，且，连接．则的最小值为________； (3)如图3，已知正方形，，E是上的动点，F是上的动点，且．连接，，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）取中点记作点，连接，，，记与的交点为点，连接，，先根据三角形的中位线性质和菱形性质证明点是点E关于的对称点，则，当点F运动到点时，的最小值，即的长， 证明为等边三角形和为等腰三角形，利用等边三角形的性质和勾股定理求解即可求解； （2）在上取点H，使得，连接，证明四边形是平行四边形，得到，在延长线上取点，使得，连接，则，进而利用两点之间线段最短得到的最小值为，然后利用勾股定理求得即可求解； （3）在下方，过C作，且，连接，，证明得到，由，当A、F、P共线时取等号，可得的最小值为的长；过P作于H，延长线于Q，由等腰直角三角形的判定与性质求得，再证明四边形是矩形，得到，，在中利用勾股定理求得即可． 【详解】（1）解：取中点记作点，连接，，， 记与的交点为点，连接，， ∵点E，点分别是，边中点， ∴，，， 在菱形中，，, ∴，， ∴点是点E关于的对称点， ∴， ∴当点F运动到点时，的最小值，即的长， 在菱形中，，， ∴，则为等边三角形， ∴， ∴，则为等腰三角形， ∵点是边中点， ∴，，即， 又，， ∴，则， 在中，， 又∵，，， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：； （2）解：∵四边形是矩形， ∴，， 在上取点H，使得，连接，则 ∴四边形是平行四边形， ∴， 在延长线上取点，使得，连接，则， ∴，当H、F、共线时取等号， ∴的最小值为， ∵，． ∴中，，， ∴， ∴的最小值为； （3）解：在下方，过C作，且，连接，， ∵四边形是正方形，， ∴，，， ∴，， ∴，又， ∴， ∴， ∴，当A、F、P共线时取等号， ∴的最小值为的长； 过P作于H，延长线于Q，则， 在中，，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， 在中，， ∴， ∴的最小值为． 类型四、矩形、菱形、正方形中的新定义型问题 方法总结 1. 理解定义：准确理解新定义（如“和谐矩形”“完美菱形”），将其转化为边、角或对角线的数学关系。 2. 性质应用：利用矩形、菱形、正方形的性质（如矩形对角线相等、菱形对角线垂直等），将定义条件转化为方程或不等式求解。 解题技巧 1. 举例验证：用简单数值代入新定义试算，理解本质后再一般化处理。 2. 分类讨论：新定义常涉及边长比例、角度关系，需分类讨论不同情况求解。 例4．（25-26九年级上·河南郑州·期末）定义：若有一组邻边相等，且另一组邻边也相等的凸四边形，我们把这类四边形叫做筝形．如图，矩形中，，，点为的中点，点在上，且，点，，分别为，上一个动点，连接，，，，，若四边形为筝形，则的长为____________． 【答案】9或 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理的运用，掌握以上知识是关键，根据筝形的定义，分类讨论，结合矩形，勾股定理列式求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∵四边形为筝形， ∴①当时，，则， 设，则， ∴，即， 整理得，， 解得，， ∴， ∴， ∴此时，符合题意， 如图所示，过点作于点， ∴， ∴， ∴； ②当时，，如图所示， ∴， 设，则， ∴，即， 解得，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴平行四边形是矩形， ∴； 综上所述，四边形为筝形，的长为或， 故答案为：或 ． 【变式4-1】（25-26八年级上·四川成都·期末）定义：菱形一边的中点与它所在边的对边的两个端点连线所形成的折线，叫做菱形的折中线，例如，如图1，在菱形中，E是的中点，连接，，则折线叫做菱形的折中线，折线的长叫做折中线的长． 已知，在菱形中，，E是的中点，连接，． (1)如图1，已知折中线将菱形的面积分为了三部分，、、的面积之比为 ； (2)如图2，若，，求折中线的长； (3)若，且折中线中的或与菱形的一条对角线相等，求折中线的长． 【答案】(1) (2)折中线的长为 (3)或 【分析】（1）根据E是菱形的边的中点，即可解决问题； （2）连接，根据题意证得为等边三角形，利用勾股定理求出，，即可解答； （3）当时，过点E作，交的延长线于点F，过点B作于点G，利用勾股定理即可解答；当时，过点C作，过点E作，交的延长线于点G，过点C作于点H，交的延长线于点F，利用勾股定理即可解答． 【详解】（1）解：在菱形中， ∵E是的中点， ∴， ∴、、的面积之比为， （2）解：如图，连接， 在菱形中，，， ∴为等边三角形， ∵点E为的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在中， ， ∴折中线的长为； （3）解：由已知得折中线中的或只能与菱形中较短的对角线相等， 当时，如图，过点E作，交的延长线于点F，过点B作于点G， 则四边形是矩形， 在菱形中，，E是的中点， ， ∴，， ∴， 在中， ， 在中， ， ∵，， 在中， ， ∴； 当时，如图，过点C作，交的延长线于点F，过点E作，交的延长线于点G，过点C作于点H， ∴四边形是平行四边形，四边形是矩形， ∴，，， ∴是等腰三角形， ∵， ∴H是的中点，即， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 综上，折中线的长为或． 【变式4-2】（24-25八年级下·河南南阳·期末）定义：有一组邻边相等，且它们的夹角是直角的凸四边形叫做等腰直角四边形． (1)请在你学习过的四边形中，写出一个符合等腰直角四边形定义的特殊四边形； (2)如图1，等腰直角四边形中，，．若，，请利用如图2的辅助线，求的长； (3)如图3，在矩形中，，，点P是对角线的中点，过点P作直线分别交边、于点E、F．当四边形是等腰直角四边形时，直接写出四边形的面积． 【答案】(1)正方形 (2) (3)或 【分析】（1）根据等腰直角四边形定义求解即可； （2）如图所示，过点C作交于点D，证明出，得到，，证明出是等腰直角三角形，求出，得到，进而求解即可； （3）分，，，四种情形讨论求解即可． 【详解】（1）解：符合等腰直角四边形定义的特殊四边形可以为正方形； （2）解：如图所示，过点C作交于点D， ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵四边形是矩形， ∴，，，， 如图，连接，当时，四边形是等腰直角四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵是的中点， ∴， ∴四边形的面积； 如图，连接，当时，四边形是等腰直角四边形， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵是的中点， ∴， ∴四边形的面积； 如图，连接，当时， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴此时，四边形不是等腰直角四边形， 同理可得当时，四边形不是等腰直角四边形； 综上可得，四边形的面积为或． 【变式4-3】（24-25八年级下·江西宜春·期末）定义引入： 定义：如果一个四边形的两条对角线互相垂直，那么我们称这个四边形为“对垂”四边形． （1）问题1：举例：写一个你学过的特殊四边形是“对垂”四边形的图形的名称：______； 猜想与验证： （2）①如图1，在四边形中，对角线于点，下列结论正确的是（    ）． A．         B．      C． ②证明①中正确的结论： 拓展思考： （3）如图2，正方形和正方形的边长分别是和，连接，且，的面积和的面积会相等吗？如果会，请证明并求的面积，如果不会，请说明理由． 【答案】（1）菱形或正方形；（2）①B；②证明见解析；（3）会，面积为： 【分析】（1）由“对垂”四边形定义，结合菱形、正方形性质即可得到答案； （2）①由“对垂”四边形定义，根据勾股定理、三角形面积公式求解即可得到答案；②由“对垂”四边形定义，即可证明； （3）连接，连接交于点，过点作于点，过点作交延长线于点，如图所示，由三角形全等的判定与性质得到，进而由三角形面积公式即可得到的面积和的面积相等，代值计算即可得到答案． 【详解】解：（1）菱形的对角线相互垂直， 菱形是“对垂”四边形； 正方形的对角线相互垂直， 正方形是“对垂”四边形； 故答案为：菱形或正方形； （2）①A、， 在中，由勾股定理可得；在中，由勾股定理可得； ； 在中，由勾股定理可得；在中，由勾股定理可得； ； 当时，； 而题中并未明确与是否相等，该选项不一定正确，不符合题意； B、，选项正确，符合题意； C、由题中四边形的任意性，无法保证，选项错误，不符合题意； 故选：B； ②证明如下：， ； （3）的面积和的面积相等， 证明如下： ∵正方形和正方形的边长分别是和， ， 连接，连接交于点，过点作于点，过点作交延长线于点，如图所示： ， ，即， 又， ， ， 又，， 的面积和的面积相等； ， 即， 又， ， ， 又， ， ， ∴四边形AECG是“对垂”四边形， ， 又， ， ， 的面积为． 一、单选题 1．（25-26九年级上·湖北武汉·期末）定义：我们把三角形某边上中线的长度与这边中点到高的距离的比值称为三角形某边的“中高偏度值”．如图，在中，，则中边的“中高偏度值”为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理，直角三角形的性质，等积法求高，根据勾股定理求出的长，等积法求出边上的高线的长，再利用勾股定理和中线的定义求出中点到高的距离，由直角三角形的性质求出，然后根据新定义，进行求解即可． 【详解】解：如图，，为的高，为的中线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴， 故中边的“中高偏度值”为． 故选：B． 2．（24-25八年级下·山西大同·期末）如图，在菱形中，，，E是边的中点，P，M分别是AC，上的动点，连接，则的最小值是（　　） A．6 B． C． D． 【答案】D 【分析】设交于点F，在上截取，连接，作于点H， 由菱形的性质得，从而得到，再由勾股定理求得，然后根据，可求得，再证明，得，根据，可得的最小值，于是得到问题的答案． 此题重点考查菱形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、根据面积等式求线段的长度、垂线段最短、轴对称—最短路线问题的求解等知识与方法，正确地添加辅助线是解题的关键． 【详解】解：设交于点F，在上截取，连接，作于点H， ∵四边形是菱形，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值是， 故选：D． 3．（24-25八年级下·河南信阳·期末）在以“矩形的折叠”为主题的数学活动课上，小亮同学进行了如下操作：第一步：将矩形纸片的一端，利用图①的方法折叠出一个正方形，然后把纸片展平；第二步：将图①中的矩形纸片折叠，使点C恰好落在点F处，得到折痕，如图②．请根据以上的操作，已知，，则线段的长是（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】由矩形的性质得，由折叠得，，所以四边形是正方形，则，而，则，所以，由，且，得，求得，则，于是得到问题的答案． 此题重点考查矩形的判定与性质、正方形的判定与性质、翻折变换的性质、勾股定理等知识，推导出，并且求得是解题的关键． 【详解】解：如图①，四边形是矩形， ， 由折叠得， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， 如图②，，， ， ， 四边形是矩形， ， ， 由折叠得， ， ， ， 解得， ， 故选：C． 二、填空题 4．（24-25八年级下·福建莆田·期末）定义：平面上一点与某个图形所有点相连的线段中最短的线段长度叫做点与该图形之间的距离，记为．如图，已知菱形，，，平面内一动点菱形外部到菱形的距离为，则点运动轨迹的长度为_______ 【答案】/ 【分析】本题考查了菱形的性质，圆的周长公式，根据新定义可得点运动轨迹的长度为菱形的边长加上一个圆的周长，即可求解． 【详解】解：如图所示，依题意点运动轨迹的长度为菱形的边长加上一个圆的周长， 依题意， 点运动轨迹的长度为， 故答案为：． 5．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，正方形的边长为10，点为的中点，连接，点分别为上的动点，连接，则的最小值为______． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，轴对称的性质，线段和最小问题，解题的关键是熟练掌握轴对称的性质和勾股定理． 点与点关于对称，过点作于点，交于点，连接，此时，，值最小，即的值最小，利用勾股定理和等面积法即可求解． 【详解】解：如图所示， 点与点关于对称，过点作于点，交于点，连接， 此时，，值最小，即的值最小， ∵点为的中点， ∴， 由勾股定理得，， 由等面积法得，， 故答案为：． 6．（25-26九年级上·河南周口·期末）如图，在矩形中，，，点在边上运动，连接，将沿折叠，点落在点处，当为等腰三角形时，的长为_____． 【答案】或 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，矩形与折叠问题，勾股定理；根据为等腰三角形，分三种情况进行讨论：，分别求得的长，并判断是否符合题意． 【详解】解：∵将沿折叠，点落在点处， ∴， ∵矩形中，，， ∴ ∴ ①如图，当时， ∵ ∴ 过作，交于，交于，则垂直平分，垂直平分， 在中， ∴， 又∵ ∴ 设，则， 在中， ∴ 解得： ②当时， ∵， 在中，，不合题意， ③当时，如图，过点作于点，交于点，过点作于点，则四边形是矩形， ∴， ∵， 在中， ∴ 设，则，，则 在中，， ∴ 解得： 综上所述，当为等腰三角形时，的长为或 故答案为：或． 三、解答题 7．（24-25八年级下·山东济南·期末）综合与实践课上，老师给出定义：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”．同学们以此开展了以下的数学活动． (1)如图1构造一个四边形，使得，，那么四边形______“垂美四边形”填“是”或“不是” (2)如图2，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接、、，与相交于点判断四边形是否是“垂美四边形”，并请说明理由． (3)在（2）的条件下，正方形的边长为，正方形的边长为，求的长． 【答案】(1)是 (2)四边形是“垂美四边形”，理由见解析 (3) 【分析】本题主要考查了垂直平分线的判定、全等三角形的判定与性质以及勾股定理，通过勾股定理得出“垂美四边形”四边的关系是本题解题的关键． （1）根据垂直平分线的判定得出垂直平分即可得出结论； （2）根据四边形和四边形为正方形，推出和全等，再根据三角形内角和定理得出为直角即可判断； （3）根据勾股定理求出，，，在四边形中，对四个直角三角形列出勾股定理等式，通过变形即可得到的长． 【详解】（1），， 为的垂直平分线， ， 四边形是“垂美四边形”； 故答案为：是； （2）四边形是“垂美四边形”，理由如下： 以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形， ，，，， ， ， ， ， ， 四边形是“垂美四边形”； （3），， ，，， 由勾股定理可得：，，，， ， 8．（24-25八年级下·湖南郴州·期末）如图，在平行四边形中，，点是边上一动点，从出发沿边匀速运动，当运动到点时停止运动，过作，交边于点，连接，．已知，． (1)求的长； (2)试求在运动过程中，长为何值时，四边形是菱形，请说明理由； (3)点在运动过程中，的长是否存在最小值，如果有请求出最小值；如果没有则说明理由． 【答案】(1)； (2)当时，四边形是菱形，理由见解析； (3)的最小值为． 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，勾股定理，菱形的判定，两点之间线段最短，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由，则是直角三角形，根据平行四边形性质得，又则，然后通过勾股定理即可求解； （）先证明四边形是平行四边形，则当时，四边形是菱形，即有； （）延长至，使得，连接，证明四边形是平行四边形，所以，则，当三点共线时，最小，即最小值为最小值，即的长，然后在中，通过勾股定理即可． 【详解】（1）解：∵， ∴是直角三角形， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理知； （2）解：∵，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，即， ∴四边形是平行四边形， 当时， ∴四边形是菱形， 即， ∴当时，四边形是菱形； （3）解：延长至，使得，连接， 由（）知，四边形是平行四边形， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 当三点共线时，最小， 即最小值为最小值，即的长， ∵，， ∴， ∵，， 在中，， ∴的最小值为． 9．（2025·河南周口·二模）【定义阅读】 若两个等腰三角形有公共底边，且满足两个顶角和是180°，则称这两个顶角的顶点关于这条底边互为“和谐点”．      【定义理解】 （1）如图1，点与点都在线段的垂直平分线上，且均在直线上侧， ①与的数量关系是_____； ②若，且点与点关于互为“和谐点”，则_____； 【性质操作】 （2）如图2，矩形中，点为边上一点，且，平分，射线交于点．点与点是否关于互为“和谐点”？说明理由； 【思维拓展】 （3）在矩形中，，，点是直线上的动点，点是平面内一点，在点运动过程中，当点与点关于互为“和谐点”，且，，三点共线时，请直接写出的长． 【答案】（1）①；②；（2）点与点是关于互为“和谐点”，理由见解析；（3）或 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，矩形的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）①利用线段垂直平分线的性质可得答案； ②根据题中定义可得，再根据线段垂直平分线和等腰三角形的性质求得，，进而可求解； （2）证明得到，进而可得，根据题中定义可得结论； （3）分当点F在的延长线上时，当点F在的延长线上时，当点F在线段上时三种情况，根据题中定义，结合勾股定理和矩形性质分别求解即可． 【详解】解：（1）①∵点与点都在线段的垂直平分线上，且均在直线上侧， ∴； ②点与点关于互为“和谐点”，且， ， 又点与点都在线段的垂直平分线上， ，， ∴，， ∴； （2）点与点是关于互为“和谐点”，理由如下： 平分， ， 在和中， ， ， ， ， 又均为等腰三角形，其中， 点与点关于互为“和谐点”； （3）∵四边形是矩形，，， ∴，，， 当点F在的延长线上时，如图， ∵点与点关于互为“和谐点”， ∴，，， ∴， 在中，， ∴； 当点F在的延长线上时，如图， ∵点与点关于互为“和谐点”， ∴，，， ∴， 在中，， ∴； 当点F在线段上时，不存在，故不存在点与点关于互为“和谐点”，综上，满足条件的的长为或． 10．（24-25八年级下·贵州黔西南·期末）综合与实践：折纸中的数学 折纸是我国传统的民间艺术，也是同学们喜欢的手工活动之一，幸运星、纸飞机、千纸鹤、密信等折纸活动在生活中都是广为流传的，通过折纸我们可以得到许多美丽的图形，同时折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识，折纸往往从矩形纸片开始，下面就让我们带着数学的眼光来探究一下有关矩形纸片的折叠问题，看看折叠矩形纸片蕴含着哪些丰富的数学知识． (1)折纸1：如图1，在一张矩形纸片上任意画一条线段AB，将纸片沿线段AB折叠（如图2） 问题1：重叠部分的的形状是______． A．等边三角形                B．直角三角形                C．等腰三角形 问题2：若，则点到的距离为______． (2)折纸2：如图3，矩形纸片，点为边上一点，将沿着直线折叠，使点的对应点落在边上，请仅用无刻度的尺子和圆规在图3中找出点的位置（保留作图痕迹，不写作法）． (3)折纸3：如图4，矩形纸片，若点为射线BC上一点，将沿着直线AM折叠，折叠后点的对应点为，当点恰好落在BC的垂直平分线上时，补全图形，求BM的长． 【答案】(1)C， (2)见解析 (3)见解析，的长为或 【分析】（1）问题1：利用翻折的性质和矩形的性质即可得出等腰三角形；问题2：利用等腰三角形的性质和勾股定理求出高，利用三角形面积公式求解即可； （2）利用角平分线的作法作图，即以点为圆心，以长为半径作弧交于点，作的平分线，交于点； （3）根据题意分两种情况进行讨论，当点落在矩形外部时，利用翻折的性质和线段垂直平分线的性质，表示出相关线段的长度，利用勾股定理得出，可得，然后设，则，在中利用勾股定理列方程，求出，再由即可得出答案；当点落在矩形内部时，同上述思路即可得出答案． 【详解】（1）解：问题1：如图2所示， 由翻折的性质可得，， ， ， ， 是等腰三角形， 故选：C； 问题2：如图所示，过点作交于点， ， 由勾股定理得，， ， 点到的距离为， 故答案为：； （2）解：点的位置如下图所示； （3）解：①如图所示， 当点落在矩形外部时，设的垂直平分线交于点，交于点，则， 由题意，得，，，， ，， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得， 即， ； ②如图所示， 当点落在矩形内部时，设的垂直平分线交于点，交于点，则，， 同①，可得， ， 的长为或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $