精品解析：甘肃武威市凉州片区部分校2025-2026学年高二下学期期末质量检测数学试卷

2025～2026学年度第二学期期末质量检测 高 二 数 学 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知函数，则 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为，则，所以. 2. 函数的单调递增区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为，二次函数开口向上，对称轴为， 故单调递增区间为. 3. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题意得， 或， 所以. 4. 已知随机变量 服从正态分布 ，若 ，则等于（ ） A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.4 【答案】B 【解析】 【详解】因为，且， 所以. 5. 已知，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为，所以，则，则，故B正确，A错误； 因为，所以，故C错误； 因为，所以，故D错误. 6. 某射手每次射击击中目标的概率为，且各次射击相互独立．若该射手射击3次，则恰好击中2次的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题意知：， 由， ， 恰好击中2次的概率为． 7. 已知函数 ，则  的极大值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】利用导数知识判断单调性，据此可得答案. 【详解】，， 从而在上单调递增，在上单调递减，则的极大值为. 8. 若两个变量与具有线性相关关系，其回归直线方程为．当时，的预测值为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【详解】当时，，故预测值为7 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABCD 【解析】 【详解】A．，正确，符合题意； B．，正确，符合题意； C．，正确，符合题意； D．，正确，符合题意． 10. 已知离散型随机变量的分布列为 ，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【详解】对于A选项，由随机变量的分布列可知，故A正确； 对于B选项，，故B错误； 对于C选项，，故C正确； 对于D选项，，故D正确. 11. 在正方体  中，设棱长为，则下列结论正确的有（ ） A. 向量的模长为2 B. 向量的坐标为 C. 直线与平面垂直 D. 异面直线与所成角为 【答案】CD 【解析】 【详解】对于A，因为正方体的棱长为，则，所以A错误， 对于B，因为题设没有给定确定的空间直角坐标系，建系不一样，的坐标不同， 建立如图所示的空间直角坐标系，易知，所以，故B错误， 对于C，由正方体的性质知平面，所以C正确， 对于D，由正方体的性质知平面，又平面，则， 所以异面直线与所成角为，故D正确. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 函数在区间上的最小值为 _______． 【答案】2 【解析】 【分析】判断在上的单调性，据此可得答案. 【详解】，则在上单调递减，在上单调递增， 从而. 13. 某工厂生产的产品合格率为0.8，现从中随机抽取2件产品，设抽到的合格品件数为，则   _______．（结果用小数表示） 【答案】0.32 【解析】 【详解】依题意，，所以. 14. 已知空间向量，，则 _______． 【答案】3 【解析】 【详解】因为空间向量，， 所以. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知函数 ． （1）求； （2）求函数 的单调区间； （3）求函数 在区间上的最大值和最小值． 【答案】（1） （2）单调递增区间为 和，单调递减区间为 （3）最大值为2，最小值为 【解析】 【分析】（1） 直接根据求导公式求导； （2）利用导数求函数单调区间； （3）根据函数单调性求极值，即可得解. 【小问1详解】 ． 【小问2详解】 令，得或， 当或 时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减． 故函数的单调递增区间为  和，单调递减区间为； 【小问3详解】 根据（2），函数在区间上单调递增，在上单调递减， ，，． 故函数的最大值为2，最小值为． 16. 某学校组织数学竞赛，甲、乙两名同学进入决赛．决赛共有2道题目，答对一题得10分，答错得0分．已知甲同学答对每道题的概率均为  ，乙同学答对每道题的概率均为  ，且各题作答相互独立． （1）求甲同学恰好答对1道题的概率； （2）求乙同学得分的数学期望． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用二项分布的概率公式求解； （2）利用二项分布期望公式和期望的性质求解. 【小问1详解】 设甲答对题数为，则． ． 【小问2详解】 设乙答对题数为，则． ． 乙的得分，故数学期望为． 17. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，． （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离． （3）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）因为底面为正方形，所以， 因为平面，平面，所以平面； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）证明出，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立； （2）由平面可得出点到平面的距离； （3）以点为原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得平面与平面夹角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面，所以点到平面的距离等于线段的长，即为. 【小问3详解】 因为平面，四边形为正方形，且， 所以以点为原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， 则、、、、， ，， 设平面的一个法向量， 则，令，则，所以， 因为平面，所以为平面的一个法向量， 设平面与平面的夹角为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 18. 已知函数 （1）求函数的定义域； （2）讨论函数的单调性； （3）当时，求函数的极值． 【答案】（1） （2）当时，在上单调递增； 当时，在上 单调递增；在上单调递减 （3）极大值，无极小值 【解析】 【分析】（1）根据代数式有意义求定义域； （2）求导，分， 讨论，利用导数的正负，即可求单调性. （3）将代入函数中，根据（2）问的单调性可求出函数的极值. 【小问1详解】 函数的定义域为． 【小问2详解】 ． 当时，，在 上单调递增； 当 时，令 得 ． 时 ， 单调递增； 时 ，， 单调递减． 综上：当时，在上单调递增； 当时，在上 单调递增；在上单调递减 【小问3详解】 时，由（2）可知在上单调递增，在上单调递减， 所以当  时，函数取得极大值  ，无极小值． 19. 某地区对10户家庭的年收入（单位：万元）与年消费支出（单位：万元）进行了调查，得到如下统计数据： . （1）求关于的线性回归方程； （2）若该地区某家庭年收入为40万元，试预测其年消费支出； （3）解释回归直线方程中斜率的实际意义． （注：线性回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为（） 【答案】（1） （2）（万元） （3）斜率表示年收入每增加1万元，年消费支出平均增加0.5万元． 【解析】 【分析】（1）根据给定的数据，利用最小二乘法求出线性回归方程. （2）由（1）的结论估算出目标值. （3）利用回归直线方程的意义求解. 【小问1详解】 依题意，， ，， 所以关于的线性回归方程. 【小问2详解】 由（1）知，当时，， 所以年消费支出约为25万元. 【小问3详解】 斜率表示年收入每增加1万元，年消费支出平均增加0.5万元. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年度第二学期期末质量检测 高 二 数 学 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知函数，则 的值为（ ） A. B. C. D. 2. 函数的单调递增区间为（ ） A. B. C. D. 3. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知随机变量 服从正态分布 ，若 ，则等于（ ） A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.4 5. 已知，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 某射手每次射击击中目标的概率为，且各次射击相互独立．若该射手射击3次，则恰好击中2次的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数 ，则  的极大值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 8. 若两个变量与具有线性相关关系，其回归直线方程为．当时，的预测值为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知离散型随机变量的分布列为 ，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. D. 11. 在正方体  中，设棱长为，则下列结论正确的有（ ） A. 向量的模长为2 B. 向量的坐标为 C. 直线与平面垂直 D. 异面直线与所成角为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 函数在区间上的最小值为 _______． 13. 某工厂生产的产品合格率为0.8，现从中随机抽取2件产品，设抽到的合格品件数为，则   _______．（结果用小数表示） 14. 已知空间向量，，则 _______． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知函数 ． （1）求； （2）求函数 的单调区间； （3）求函数 在区间上的最大值和最小值． 16. 某学校组织数学竞赛，甲、乙两名同学进入决赛．决赛共有2道题目，答对一题得10分，答错得0分．已知甲同学答对每道题的概率均为  ，乙同学答对每道题的概率均为  ，且各题作答相互独立． （1）求甲同学恰好答对1道题的概率； （2）求乙同学得分的数学期望． 17. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，． （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离． （3）求平面与平面夹角的余弦值． 18. 已知函数 （1）求函数的定义域； （2）讨论函数的单调性； （3）当时，求函数的极值． 19. 某地区对10户家庭的年收入（单位：万元）与年消费支出（单位：万元）进行了调查，得到如下统计数据： . （1）求关于的线性回归方程； （2）若该地区某家庭年收入为40万元，试预测其年消费支出； （3）解释回归直线方程中斜率的实际意义． （注：线性回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为（） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $