精品解析：甘肃兰州市某校2025-2026学年高二下学期期末考试数学试卷

西北师大附中 2025—2026学年第二学期期末考试试题 高二数学 一、单选题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列说法正确的是（ ） A. “对任意一个无理数x， 也是无理数”是真命题 B. “ ”是“ ”的充要条件 C. 命题“ ，使得 ”的否定是“ ， ” D. 若“ ”的一个必要不充分条件是“ ”，则实数m的取值范围是 3. 掷红、蓝两个均匀的骰子，设事件：蓝色骰子的点数是5或6；事件：两骰子的点数之和大于8，则（ ） A. B. C. D. 4. 在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中，研究人员获得了一组样本数据，并制作成如图所示的人体脂肪含量与年龄关系的散点图．根据该图，下列结论中正确的是 A. 人体脂肪含量与年龄正相关，且脂肪含量的中位数等于20% B. 人体脂肪含量与年龄正相关，且脂肪含量的中位数小于20% C. 人体脂肪含量与年龄负相关，且脂肪含量的中位数等于20% D. 人体脂肪含量与年龄负相关，且脂肪含量的中位数小于20% 5. 已知三棱柱中，是的中点，则（ ） A. B. 2 C. D. 2 6. 某学校一同学研究温差x(°C)与本校当天新增感冒人数y (人)的关系，该同学记录了5天的数据： x 5 6 8 9 12 y 17 20 25 28 35 经过拟合，发现基本符合经验回归方程，则下列结论错误的是（ ） A. 样本中心点为 B. C. 时， 残差为 D. 相关系数 7. 已知奇函数在上单调递增，且是可导函数，．若，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用.马尔科夫链因俄国数学家安德烈·马尔科夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第次状态的概率分布只跟第次的状态有关，与第，，，⋯次状态无关.现有，两个盒子，各装有1个黑球和1个红球，现从，两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子，重复进行次这样的操作后，记盒子中红球的个数为，恰有1个红球的概率为.则的值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全都选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 已知，，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 10. 设样本空间，且每个样本点是等可能的，已知事件，，，则（ ） A. 与互斥 B. 与相互独立 C. D. 11. 设函数，则下列结论正确的是（ ） A. 至少有一个零点 B. 若的图象过点的切线恰好有2条，则 C. 若，则有两个零点 D. 若是的极值点，且存在（）使得，则 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 设随机变量X服从正态分布N(2,9)若P(X＞c＋1)＝P(X＜c－1)，则c等于________． 13. 已知平面的一个法向量为，且点在内，则点到的距离为_________． 14. 若曲线与曲线存在2条公共切线，则a的值是_________． 四、解答题：（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15. 为了普及安全教育，某学校随机抽取男生、女生各100名学生进行安全知识测试，根据200名同学的测试成绩得知，该校有的同学成绩超过90分，具体情况如下表格： 性别 了解安全知识的程度 得分不超过90分的人数 得分超过90分的人数 男生 10 女生 t （1）求； （2）根据小概率值的独立性检验，能否推断该校男生和女生了解安全知识的程度与性别有关？ 附： 0.050 0.010 0.005 3.841 6.635 7.879 16. 某课外实验小组通过实验统计了某种子的发芽率y%与土壤的湿度x%的相关数据如下表： x 40 45 50 55 60 y 50 56 64 72 83 （1）求y关于x的相关系数r（精确到0.001），并判断它们是否具有较强的线性相关关系？ （2）求y关于x的回归直线方程，并预测当土壤的湿度为70%时，种子的发芽率y%的值． 参考公式及数据：对于一组数据，，…，，回归直线方程的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，，相关系数，，，． 17. 如图，是块矩形硬纸板，其中，为的中点，将它沿折成直二面角． （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值． 18. 某高校设计了一个实验学科的考查方案：考生从道备选题中一次性随机抽取题，按照题目要求独立完成全部实验操作，规定至少正确完成其中题才可提交通过．已知道备选题中考生甲有道题能正确完成，道题不能完成；考生乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响． （1）求甲考生正确完成实验操作的题数的分布列，并计算均值； （2）试从甲、乙两位考生正确完成实验操作的题数的均值、方差及至少正确完成题的概率方面比较两位考生的实验操作能力． 19. 牛顿迭代法（又称牛顿切线法）是求方程近似根的重要方法.对于方程，若可导，从一个初始近似值出发，构造迭代公式，在适当条件下，随着的增大，会越来越接近于方程的根.已知函数，区间满足上述迭代公式且初值. （参考数据：） （1）证明：方程在区间内有唯一实根； （2）证明：； （3）对，记，证明：数列单调递减. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 西北师大附中 2025—2026学年第二学期期末考试试题 高二数学 一、单选题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出集合，再根据交集运算求解. 【详解】， 因为，所以. 故选:B. 2. 下列说法正确的是（ ） A. “对任意一个无理数x， 也是无理数”是真命题 B. “ ”是“ ”的充要条件 C. 命题“ ，使得 ”的否定是“ ， ” D. 若“ ”的一个必要不充分条件是“ ”，则实数m的取值范围是 【答案】D 【解析】 【分析】对A选项举反例，对B选项举反例，，对C选项，根据存在性命题的否定知其错误，对D选项，根据题意列得不等式组，解得. 【详解】是无理数，是有理数，A错误； ，时，，但，不是充要条件，B错误； 命题“ ，使得 ”的否定是“ ， ” ，C错误； “”的必要不充分条件是“ ”，则 ， 两个等号不同时取得，解得．D正确． 故选：D． 3. 掷红、蓝两个均匀的骰子，设事件：蓝色骰子的点数是5或6；事件：两骰子的点数之和大于8，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】掷一个均匀的骰子，共有6种不同的结果，且事件为蓝色骰子的点数是5或6， . 事件为两骰子的点数之和大于8； 事件表示蓝色骰子的点数是5或6且两骰子的点数之和大于8，则： 当蓝色骰子的点数是5时，红色骰子的点数可以为4，5，6，共3种情况； 当蓝色骰子的点数是6时，红色骰子的点数可以为3，4，5，6，共4种情况. 红、蓝两个均匀的骰子，共有种不同的结果， . . 4. 在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中，研究人员获得了一组样本数据，并制作成如图所示的人体脂肪含量与年龄关系的散点图．根据该图，下列结论中正确的是 A. 人体脂肪含量与年龄正相关，且脂肪含量的中位数等于20% B. 人体脂肪含量与年龄正相关，且脂肪含量的中位数小于20% C. 人体脂肪含量与年龄负相关，且脂肪含量的中位数等于20% D. 人体脂肪含量与年龄负相关，且脂肪含量的中位数小于20% 【答案】B 【解析】 【分析】根据散点图对相关性、中位数进行分析，从而确定正确选项. 【详解】从散点图可以看出，年龄增大，脂肪含量也随之增加，故为正相关. 中间的两个点即第5、6两个点脂肪含量均低于20%，故脂肪含量的中位数小于20%. 故选：B 5. 已知三棱柱中，是的中点，则（ ） A. B. 2 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】结合图形将用基底线性表示，再由模长公式计算即得. 【详解】由于， 所以 ， 故选：C 6. 某学校一同学研究温差x(°C)与本校当天新增感冒人数y (人)的关系，该同学记录了5天的数据： x 5 6 8 9 12 y 17 20 25 28 35 经过拟合，发现基本符合经验回归方程，则下列结论错误的是（ ） A. 样本中心点为 B. C. 时， 残差为 D. 相关系数 【答案】C 【解析】 【分析】由回归直线必过样本中心可判断A项、B项，由残差公式可判断C项，由线性回归方程的斜率即可相关系数正负可判断D项. 【详解】对于A项，因为，， 所以样本中心点为，故A项正确； 对于B项，由回归直线必过样本中心可得：，解得：，故B项正确； 对于C项，由B项知，，令，则， 所以残差为，故C项错误； 对于D项，经验回归方程中，斜率，说明与正相关， 故相关系数，故D项正确. 故选：C 7. 已知奇函数在上单调递增，且是可导函数，．若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件判断函数的奇偶性和单调性，再比较自变量的大小，即可比较函数值的大小. 【详解】因为奇函数在上单调递增，所以时，，且， ，所以是偶函数， 时，，所以在单调递增， ， 所以，即. 故选：C 8. 马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用.马尔科夫链因俄国数学家安德烈·马尔科夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第次状态的概率分布只跟第次的状态有关，与第，，，⋯次状态无关.现有，两个盒子，各装有1个黑球和1个红球，现从，两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子，重复进行次这样的操作后，记盒子中红球的个数为，恰有1个红球的概率为.则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】用古典概型，根据组合数算出第一次操作后盒恰有个红球的概率和恰有个红球的概率. 用全概率公式得到与的递推关系. 对递推式变形，得出数列是等比数列，并确定其首项与公比.依据等比数列通项公式求出的表达式. 把代入表达式，算出的值. 【详解】设第次操作后盒子中恰有2个红球的概率为，则没有红球的概率为. 由题意知，，， 因为，所以. 又因为，所以是以为首项，为公比的等比数列. 所以，. 故选：A. 二、多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全都选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 已知，，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【详解】对于A，由，，得，则，故A正确； 对于B，由，，得，则，故B正确； 对于C，由，，得，则，故C错误； 对于D，由，，得，，则，故D正确. 10. 设样本空间，且每个样本点是等可能的，已知事件，，，则（ ） A. 与互斥 B. 与相互独立 C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】对A，根据条件得，利用互斥事件的定义，即可求解；对于B，利用相互独立事件的判断方法，即可求解；对于C，直接求出，即可求解；对D，结合条件，利用条件概率公式，即可求解. 【详解】对于A，因为，，则，所以A错误， 对于B，因为，所以，又， 则，所以与相互独立，故B正确， 对于C，因为，则，又， 所以，故C错误， 对于D，因为，又，则， 所以，，故D正确. 故选：BD. 11. 设函数，则下列结论正确的是（ ） A. 至少有一个零点 B. 若的图象过点的切线恰好有2条，则 C. 若，则有两个零点 D. 若是的极值点，且存在（）使得，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A：可得，即可分析判断；对于B：设切点坐标为，根据导数的几何意义求切线方程，代入点运算求解即可；对于C：举反例说明即可；对于D：根据极值点可得，结合运算求解即可. 【详解】因为函数的定义域为，且， 对于A：因为，， 则，所以至少有一个零点，故A正确； 对于B：设切点坐标为， 则，，， 可知切线方程为， 代入点可得， 整理可得，解得或， 若的图象过点的切线恰好有2条，则，所以，故B正确； 对于C：例如，则，， 令，解得或；令，解得； 可知在和上单调递增，在上单调递减， 且，，所以函数有三个零点，故C错误， 对于D：若是的极值点，则，即， 因为， 则 又因为，所以，故D正确. 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 设随机变量X服从正态分布N(2,9)若P(X＞c＋1)＝P(X＜c－1)，则c等于________． 【答案】2 【解析】 【详解】∵μ＝2，由正态分布的定义知其图象关于直线x＝2对称，于是＝2，∴c＝2. 13. 已知平面的一个法向量为，且点在内，则点到的距离为_________． 【答案】 【解析】 【分析】由题设得，应用向量法求点面距离即可. 【详解】由题设，则点到的距离为. 故答案为： 14. 若曲线与曲线存在2条公共切线，则a的值是_________． 【答案】 【解析】 【分析】设公切线在上的切点为，在上的切点为，利用导数的几何意义求出对应的切线方程，有，整理得，构造函数，利用导数研究的单调性，结合图像即可得出结果. 【详解】设公切线在上的切点为，在上的切点为， 则曲线在切点的切线方程的斜率分别为，， 对应的切线方程分别为、， 即、， 所以，得，有， 则，整理，得， 设，则，， 令，令或， 所以函数在上单调递减，在和上单调递增， 因为两条曲线有2条公共切线，所以函数与图像有两个交点， 又，且，如图， 所以，解得. 故答案为：. 四、解答题：（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15. 为了普及安全教育，某学校随机抽取男生、女生各100名学生进行安全知识测试，根据200名同学的测试成绩得知，该校有的同学成绩超过90分，具体情况如下表格： 性别 了解安全知识的程度 得分不超过90分的人数 得分超过90分的人数 男生 10 女生 t （1）求； （2）根据小概率值的独立性检验，能否推断该校男生和女生了解安全知识的程度与性别有关？ 附： 0.050 0.010 0.005 3.841 6.635 7.879 【答案】（1） （2）不能，理由如下： 零假设：该校男生和女生了解安全知识的程度与性别无关， 因为 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断零假设不成立， 所以不能推断该校男生和女生了解安全知识的程度与性别有关. 【解析】 【分析】（1）根据总量结合分量的占比进行计算求解即可； （2）根据题中公式，结合附中表格的数据进行计算判断即可. 【小问1详解】 因为200名同学的测试成绩得知，该校有的同学成绩超过90分， 所以该校成绩超过90分的人数为， 成绩没有超过90分的人数为， 因此； 【小问2详解】 不能推断该校男生和女生了解安全知识的程度与性别有关，理由略. 16. 某课外实验小组通过实验统计了某种子的发芽率y%与土壤的湿度x%的相关数据如下表： x 40 45 50 55 60 y 50 56 64 72 83 （1）求y关于x的相关系数r（精确到0.001），并判断它们是否具有较强的线性相关关系？ （2）求y关于x的回归直线方程，并预测当土壤的湿度为70%时，种子的发芽率y%的值． 参考公式及数据：对于一组数据，，…，，回归直线方程的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，，相关系数，，，． 【答案】（1），具有较强的线性相关关系 （2），发芽率的预测值为 【解析】 【分析】（1）由题，计算，由相关系数得公式运算判断； （2）根据题意，求出，得到回归直线方程，得解. 【小问1详解】 由题，，， 所以关于的相关系数， 所以与具有较强的线性相关关系. 【小问2详解】 由（1），，则， 所以关于的回归直线方程为， 当时，， 所以当土壤的湿度为70%时，种子的发芽率y%的预测值为. 17. 如图，是块矩形硬纸板，其中，为的中点，将它沿折成直二面角． （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，，取中点，连接，可得两两垂直，所以以点为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再与比较可得结论； （2）求出平面和平面的法向量，利用向量的夹角公式求解即可. 【小问1详解】 由题设可知，取中点，连接，， 因为，所以， 又二面角为直二面角，所以平面， 因为， 所以，所以， 取中点，连接，则∥，所以， 所以以点为原点，分别为轴建立空间直角坐标系(如图)， 则， 所以， 设是平面的法向量，则 ，令，则， 所以，所以∥， 所以平面； 【小问2详解】 设是平面的一个法向量， 则，令，则， 平面的法向量， 所以， 由图可知二面角为锐角， 所以二面角的余弦值为. 18. 某高校设计了一个实验学科的考查方案：考生从道备选题中一次性随机抽取题，按照题目要求独立完成全部实验操作，规定至少正确完成其中题才可提交通过．已知道备选题中考生甲有道题能正确完成，道题不能完成；考生乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响． （1）求甲考生正确完成实验操作的题数的分布列，并计算均值； （2）试从甲、乙两位考生正确完成实验操作的题数的均值、方差及至少正确完成题的概率方面比较两位考生的实验操作能力． 【答案】（1）分布列见解析；期望为 （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）利用超几何分布直接求解即可得出结果. （2）利用二项分布求出考生乙分布列，比较甲乙操作题数的均值和方差及至少正确完成题的概率即可得出结论. 【小问1详解】 设考生甲正确完成实验操作的题数为， 则的取值范围是． ，，， 所以的分布列为： ． 【小问2详解】 设考生乙正确完成实验操作的题数为，易知， 所以，， ，． 所以的分布列为： ． 则，， ，，． 所以，， 故从正确完成实验操作的题数的均值方面分析，两人水平相当； 从正确完成实验操作的题数的方差方面分析，甲的水平更稳定； 从至少正确完成题的概率方面分析，甲通过的可能性更大． 因此甲的实验操作能力较强． 19. 牛顿迭代法（又称牛顿切线法）是求方程近似根的重要方法.对于方程，若可导，从一个初始近似值出发，构造迭代公式，在适当条件下，随着的增大，会越来越接近于方程的根.已知函数，区间满足上述迭代公式且初值. （参考数据：） （1）证明：方程在区间内有唯一实根； （2）证明：； （3）对，记，证明：数列单调递减. 【答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析； （3）证明见解析； 【解析】 【分析】（1）利用导数判断其单调性，再根据零点存在性定理即可证明； （2）利用二阶求导得到的单调性，再构造整体函数判断其单调性即可； （3）令，求导后得其单调性，再合理赋值即可证明. 【小问1详解】 ． 由零点存在定理，在内至少有一个零点． 又，当时，，故，即严格单调递增． 因此在区间内有唯一零点． 【小问2详解】 . 由于，则. 下证:. 设，， 则，故在区间上单调递增． 令， 则，故在区间上单调递减， 得到，取，得， 由于（否则与矛盾），故，因此． 【小问3详解】 ． 对，令， 则． 由于在区间上单调递增，则在上单调递减，在上单调递增． 得到．由于且，则， 即。 则， 又．由（1）可知严格单调递增，则， 且，所以，所以数列单调递减． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $