1.3 二次函数的性质 同步训练 2026-2027学年浙教版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦二次函数性质，以基础巩固为核心，通过三级梯度设计实现从概念理解到综合应用的进阶，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|与坐标轴交点、对称轴等单一性质|选择1直接考查抛物线与y轴交点，强化概念记忆| |中档|图像与方程关系、参数范围分析|填空12结合图像判断多结论，提升推理能力| |提升|新定义应用、综合证明|解答14“邻交函数”新情境问题，培养模型意识与创新思维|

1.3二次函数的性质同步训练浙教版2026—2027学年九年级数学上册 一、选择题 1．抛物线与轴的交点为（     ） A． B． C． D． 2．如图，二次函数的图象经过点、，下列说法正确的是（     ） A． B． C． D．图象的对称轴是直线 3．已知点，，在二次函数的图象上，则方程的解为（     ） A．x1=-，x2= B．x1=，x2= C．x1=2-，x2= D．x1=，x2= 4．对于二次函数（），下列说法错误的是（     ） A．若，则 B．若，则一元二次方程有两个不相等的实数根 C．若，则二次函数的图象与坐标轴的交点个数是2或3 D．若，则一元二次方程有两个不相等的实数根 5．在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于负半轴，则下列关于该函数的结论正确的是（     ） A．图象的开口向下 B．当时，的值随值的增大而增大 C．该函数有最大值 D．当时， 6．二次函数的图象如图所示，则方程的根的情况为（     ）．    A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．可能只有一个实数根 7．已知二次函数（a为常数）的图象与x轴有交点，当时，y随x的增大而增大，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．已知抛物线的对称轴为直线，当时，抛物线与轴有且只有一个交点，则的取值范围为（     ） A． B． C． D．或 二、填空题 9．如图，二次函数的部分图象与轴交于点，对称轴为直线，则当函数值时，自变量的取值范围是___________； 10．已知抛物线过两点，，且，则_____． 11．函数的图像与轴交于点、，将函数的图像向上平移，平移后的图像与轴交于点、．若，则平移后的图像对应的函数表达式为______． 12．如图，二次函数的图象与x轴交于，，其中．结合图象给出下列结论： ①； ②； ③关于x的一元二次方程的另一个根是； ④b的取值范围为，其中正确结论的有______． 三、解答题 13．在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点． (1)求的值； (2)已知二次函数的最大值为，求该二次函数的表达式． 14．如果二次函数与轴的两个交点的距离为1，那么称这样的函数为“邻交函数”．例如，二次函数与轴的两个交点分别是，，两点的距离为1，则此函数是“邻交函数” (1)判断二次函数是不是“邻交函数” (2)若二次函数是“邻交函数”，求的值． (3)若二次函数是“邻交函数”，令，求的最大值． 15．在平面直角坐标系中，抛物线经过点，当时，函数有最小值． (1)求抛物线的解析式； (2)记抛物线与x轴的一个交点的横坐标为r，求的值． 16．如图，二次函数的图象经过点，且与正比例函数的图象交于点和点． (1)求二次函数的解析式和另一交点的坐标； (2)根据函数图象，直接写出不等式的解集． 17．若抛物线（）经过点，． (1)求与之间的关系式． (2)若将此抛物线向下平移1个单位长度，该抛物线与轴没有交点，求的取值范围． (3)已知点，在抛物线上，满足．当对于任意的，满足时，都有．求证：． 18．已知二次函数（为常数）． (1)当二次函数的顶点的纵坐标为3，对称轴在轴的右侧时，求的值； (2)在（1）的条件下，已知，在该二次函数的图象上，若对于，都有，求的取值范围； (3)已知对于任意实数，都有，此时二次函数的图象与直线交于，（点在点的左侧）两点，且，求的值． 参考答案 1．D 2．B 3．D 4．D 5．D 6．A 7．C 8．D 9． 10．2 11． 12．②③④ 13．【详解】（1）解：二次函数的图象过点， ∴，， ∴， ∴， 解得， ∴． （2）解：由（1）知， 故二次函数转化为， 则， ∵函数的最大值为， ∴二次函数图象开口向下，即，且， 整理，得， 解得或（舍去）， 故． 故抛物线的解析式为． 14．【详解】（1）解：在中，当时，， 解得， ∴二次函数与x轴的两个交点的坐标分别为， ∵， ∴二次函数与x轴的两个交点的距离为1， ∴二次函数是“邻交函数”； （2）解：∵二次函数是“邻交函数”， ∴关于x的一元二次方程有两个不相同的实数根，且两根之差为1， 设关于x的一元二次方程的两个实数根分别为， ∴， ∴， ∴， 解得或， 当时，，则，解得， 当时，，则，解得， 综上所述，； （3）解：∵二次函数是“邻交函数”， ∴二次函数与x轴有两个交点，且这两个交点的距离为1， 在中，当时，， 解得， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，t有最大值，最大值为9． 15．【详解】（1）解：在抛物线中，， 故函数最小值在顶点处取得， 由题意得顶点横坐标为， ∴，即， 解得； 把点代入解析式得； 故抛物线解析式为； （2）解：∵是抛物线与轴交点的横坐标， ∴，显然， 等式两边同时除以得：， ∴， ∴，即， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴. 16．【详解】（1）解：将点，点代入得： ， 解得：， ∴二次函数的解析式为， 将点代入得：， ∴正比例函数的解析式为， 令， 解得：或， 当时，；当时，； ∵为点的坐标， ∴的坐标为． （2）解：由（1）可得：， ∴，即， ∵，在图象上为二次函数图象在正比例函数图象下方的部分， ∴． 17．【详解】（1）解：∵抛物线（）经过点和， ∴对称轴， ∴； （2）解：将代入抛物线解析式得， 又由（1）知， ∴， ∴， 将该抛物线向下平移1个单位，得， ∵此时与轴没有交点， ∴开口向下，即，， ∴， ∴， ∴， ∴； (3)证明：∵， ∴， ∴， ∴，即 ∵ ∴ ∴， ∵对于任意的，满足时，都有 ∴ 18．【详解】（1）解：，且二次函数的顶点的纵坐标为3， ，解得或． 二次函数图象的对称轴在轴的右侧， ∴对称轴，即， 的值为4． （2）解：由（1）知：， 抛物线的解析式为． 当时，，即． 又， 抛物线的对称轴为直线． 若对于，都有， 则，解得． （3）解：对于任意实数，都有， 整理，得． 该不等式对任意实数恒成立，即抛物线与轴最多只有一个交点， 判别式，即． ． 此时二次函数为，且与轴的交点分别为，． 由题意知轴，且， 设点，点， 解得 当时，，即． 学科网（北京）股份有限公司 $