1.3　二次函数的性质作业 2026-2027学年九年级数学上册浙教版

**基本信息** 本同步练习通过基础巩固、能力提升、综合拓展三层设计，覆盖二次函数性质全知识点，梯度递进培养抽象能力、推理意识与模型观念，适配新授课差异化教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|开口方向、顶点坐标、最值等单一性质|选择题直接辨析概念，填空题应用性质求交点与增减性，解答题用配方法巩固运算能力| |提升层|对称轴与增减性综合、坐标比较|通过点坐标比较考查性质综合应用，结合参数讨论对称轴位置，培养推理意识| |拓展层|含参函数、模型应用|解答题结合参数求最值，融入模型观念解决不等式恒成立问题，发展创新意识|

1.3　二次函数的性质 　　　　　　 　　　　　　　　　　　 选择题每小题3分 1.关于二次函数y=－(x－1)2＋2，下列说法正确的是( ) A.图象的开口向上 B.图象与y轴的交点坐标为(0，2) C.图象的顶点坐标是(－1，2) D.当x＞1时，y随x的增大而减小 2.二次函数y=x2＋2x－3的最小值为( ) A.2 B.3 C.－3 D.－4 3.在函数y=2x2＋4x－5的图象上有A1(－2，y1)，A2(－1，y2)，A3(1，y3)三点，则下列判断正确的是( ) A.y1＜y2＜y3 B.y3＜y2＜y1 C.y2＜y1＜y3 D.y3＜y1＜y2 4.抛物线y=ax2＋bx＋c(a≠0)上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表： x －2 －1 0 1 y 0 4 6 6 下列结论错误的是( ) A.抛物线的开口向下 B.抛物线的对称轴为直线x= C.抛物线与x轴的一个交点坐标为(2，0) D.函数y=ax2＋bx＋c的最大值为 5.已知二次函数y=x2－4x＋2，当－1≤x≤3时，下列说法正确的是( ) A.有最大值－1，有最小值－2 B.有最大值2，有最小值－1 C.有最大值7，有最小值－1 D.有最大值7，有最小值－2 6.(4分)已知函数y=2(x＋1)2＋1，当x 时，y随x的增大而减小；当x 时，y随x的增大而增大；当x 时，y最 。  7.(6分)已知二次函数y=－(x－1)2＋4。 (1)(3分)函数图象与x轴的交点坐标为 ，与y轴的交点坐标为 。  (2)(2分)当x≤1时，y随x的增大而 ；当x≥1时，y随x的增大而 。  (3)(1分)当 时，函数y的值小于0(填x的取值范围)。  8.(6分)用配方法求下列二次函数的最大值或最小值。 (1)(3分)y=x2－3x＋2。 (2)(3分)y=－x2－2x＋1。 9.(8分)已知函数y=－x2＋2x＋1。 (1)(3分)写出函数图象的开口方向、顶点坐标及对称轴。 (2)(3分)作出函数图象并观察，写出当x满足什么条件时，y随x的增大而增大；当x满足什么条件时，y随x的增大而减小。 (3)(2分)函数的最大值或最小值是多少？ 10.点A(3，y1)，B(m，y2)都在二次函数y=(x－1)2＋n的图象上。若y1＜y2，则m的取值范围是( ) A.m＞3 B.m＞1 C.－1＜m＜3 D.m＜－1或m＞3 11.已知二次函数y=ax2－2ax＋c(a，c是常数，a≠0)的图象经过点(t，y1)，(t＋1，y2)，下列说法正确的是 ( ) A.若a＞0，t＞2，则y1＜y2 B.若a＞0，t＜2，则y1＞y2 C.若a＜0，t＞2，则y1＜y2 D.若a＜0，t＜2，则y1＞y2 12.(3分)已知 M(x1，y1)，N(x2，y2)是抛物线y=ax2＋bx＋c(a＞0)上任意两点，设抛物线的对称轴为x=t。 (1)(1.5分)若对于x1=1，x2=2，有y1=y2，则t的值为 。  (2)(1.5分)若对于0＜x1＜1，1＜x2＜2，都有y1＜y2，则t的取值范围是 。  13.(8分)已知函数y=ax2＋(2a＋1)x＋1(a为常数)。 (1)(4分)若a=0，当3≤x≤4时，求y的最大值。 (2)(4分)若a＞0，当3≤x≤4时，y有最大值8，求a的值。 14.(10分)[模型观念]已知二次函数y1=x2＋bx－3的图象经过点P(－2，5)。 (1)(2分)求b的值。 (2)(4分)当－2≤x≤m时，y1=x2＋bx－3的最大值与最小值的差为9，求m的取值范围。 (3)(4分)现有函数y2=2x－n(n是常数)，无论x为何值，y1≥y2都成立。若二次函数y1=x2＋bx－3的图象上有两个点(n－10，p)和(n－4，q)，且p＞q，求n的取值范围。 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.3　二次函数的性质 　　　　　　 　　　　　　　　　　　 选择题每小题3分 1.关于二次函数y=－(x－1)2＋2，下列说法正确的是(　D　) A.图象的开口向上 B.图象与y轴的交点坐标为(0，2) C.图象的顶点坐标是(－1，2) D.当x＞1时，y随x的增大而减小 2.二次函数y=x2＋2x－3的最小值为(　D　) A.2 B.3 C.－3 D.－4 3.在函数y=2x2＋4x－5的图象上有A1(－2，y1)，A2(－1，y2)，A3(1，y3)三点，则下列判断正确的是(　C　) A.y1＜y2＜y3 B.y3＜y2＜y1 C.y2＜y1＜y3 D.y3＜y1＜y2 【解析】 ∵y=2x2＋4x－5， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线x=－=－1， ∴图象上的点离对称轴越远，函数值越大。 ∵|－1－(－1)|＜|－2－(－1)|＜|1－(－1)|， ∴y2＜y1＜y3。 4.抛物线y=ax2＋bx＋c(a≠0)上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表： x －2 －1 0 1 y 0 4 6 6 下列结论错误的是(　C　) A.抛物线的开口向下 B.抛物线的对称轴为直线x= C.抛物线与x轴的一个交点坐标为(2，0) D.函数y=ax2＋bx＋c的最大值为 【解析】 由表格可得 解得 ∴y=－x2＋x＋6=－， ∴该抛物线的开口向下，A正确。 该抛物线的对称轴是直线x=，函数最大值是，B，D正确。 ∵当x=－2时，y=0， ∴当x=×2－(－2)=3时，y=0， ∴抛物线与x轴的交点坐标为(－2，0)，(3，0)，C错误。 5.已知二次函数y=x2－4x＋2，当－1≤x≤3时，下列说法正确的是(　D　) A.有最大值－1，有最小值－2 B.有最大值2，有最小值－1 C.有最大值7，有最小值－1 D.有最大值7，有最小值－2 【解析】 二次函数y=x2－4x＋2=(x－2)2－2且－1≤x≤3， ∴当x=2时，y取得最小值－2； 当x=－1时，y取得最大值7。 6.(4分)已知函数y=2(x＋1)2＋1，当x　≤－1　时，y随x的增大而减小；当x　≥－1　时，y随x的增大而增大；当x　=－1　时，y最　小　。  7.(6分)已知二次函数y=－(x－1)2＋4。 (1)(3分)函数图象与x轴的交点坐标为　(－1，0)和(3，0)　，与y轴的交点坐标为　(0，3)　。  (2)(2分)当x≤1时，y随x的增大而　增大　；当x≥1时，y随x的增大而　减小　。  (3)(1分)当　x＜－1或x＞3　时，函数y的值小于0(填x的取值范围)。  【解析】 (3)画函数图象如答图所示。 第7题答图 观察图象可得，当x＜－1或x＞3时，函数y的值小于0。 8.(6分)用配方法求下列二次函数的最大值或最小值。 (1)(3分)y=x2－3x＋2。 (2)(3分)y=－x2－2x＋1。 解：(1)y=x2－3x＋2 =＋2 =。 ∵二次项系数为1＞0， ∴当x=时，y取最小值－。 (2)y=－x2－2x＋1 =－(x2＋6x＋9)＋3＋1 =－(x＋3)2＋4。 ∵二次项系数为－＜0， ∴当x=－3时，y取最大值4。 9.(8分)已知函数y=－x2＋2x＋1。 (1)(3分)写出函数图象的开口方向、顶点坐标及对称轴。 (2)(3分)作出函数图象并观察，写出当x满足什么条件时，y随x的增大而增大；当x满足什么条件时，y随x的增大而减小。 (3)(2分)函数的最大值或最小值是多少？ 解：(1)∵y=－x2＋2x＋1=－(x2－4x＋4)＋2＋1=－(x－2)2＋3， ∴抛物线的开口向下，顶点为(2，3)，对称轴为直线x=2。 (2)画出函数图象如答图。 第9题答图 由图象可得，当x≤2时，y随x的增大而增大；当x≥2时，y随x的增大而减小。 (3)由图象开口向下知，函数有最大值，最大值是3。 10.点A(3，y1)，B(m，y2)都在二次函数y=(x－1)2＋n的图象上。若y1＜y2，则m的取值范围是(　D　) A.m＞3 B.m＞1 C.－1＜m＜3 D.m＜－1或m＞3 【解析】 ∵二次函数图象开口向上，对称轴为直线x=1， ∴当x≥1时，y随着x的增大而增大，当x≤1时，y随着x的增大而减小。 ∵点A(3，y1)，B(m，y2)都在二次函数y=(x－1)2＋n的图象上， ∴当m＞3时，y1＜y2。 又∵点A关于函数图象对称轴的对称点坐标为(－1，y1)， ∴当m＜－1时，y1＜y2。 综上所述，m的取值范围是m＜－1或m＞3。 11.已知二次函数y=ax2－2ax＋c(a，c是常数，a≠0)的图象经过点(t，y1)，(t＋1，y2)，下列说法正确的是 (　A　) A.若a＞0，t＞2，则y1＜y2 B.若a＞0，t＜2，则y1＞y2 C.若a＜0，t＞2，则y1＜y2 D.若a＜0，t＜2，则y1＞y2 【解析】 y=ax2－2ax＋c=a(x－1)2－a＋c， 该二次函数图象的对称轴为直线x=1。 当a＞0时，二次函数图象开口向上，在对称轴右侧，y随x的增大而增大。若t＞2，则点(t，y1)和(t＋1，y2)都在对称轴直线x=1右侧，且t＜t＋1，∴y1＜y2，A正确。 若t＜2，则y1与y2的大小无法确定，B错误。 当a＜0时，二次函数图象开口向下，在对称轴右侧y随x的增大而减小。 若t＞2，则点(t，y1)和(t＋1，y2)都在对称轴直线x=1右侧，且t＜t＋1，∴y1＞y2，C错误。 若t＜2，则y1与y2的大小无法确定，D错误。 12.(3分)已知 M(x1，y1)，N(x2，y2)是抛物线y=ax2＋bx＋c(a＞0)上任意两点，设抛物线的对称轴为x=t。 (1)(1.5分)若对于x1=1，x2=2，有y1=y2，则t的值为 　。  (2)(1.5分)若对于0＜x1＜1，1＜x2＜2，都有y1＜y2，则t的取值范围是　t≤　。  【解析】 (1)∵对于x1=1，x2=2，有y1=y2， ∴对称轴为直线x=， ∴t=。 (2)∵0＜x1＜1，1＜x2＜2， ∴，x1＜x2。 ∵y1＜y2，a＞0， ∴点M(x1，y1)离对称轴更近，则 ＞t， ∴t≤。 13.(8分)已知函数y=ax2＋(2a＋1)x＋1(a为常数)。 (1)(4分)若a=0，当3≤x≤4时，求y的最大值。 (2)(4分)若a＞0，当3≤x≤4时，y有最大值8，求a的值。 解：(1)∵a=0， ∴y=ax2＋(2a＋1)x＋1=x＋1。 又∵k=1＞0， ∴y随x的增大而增大。 又∵3≤x≤4， ∴当x=4时，y有最大值，最大值为4＋1=5。 (2)∵a＞0，抛物线的对称轴为直线x=－， ∴－＜0， ∴当3≤x≤4时，y随x的增大而增大， ∴当x=4时，y有最大值，最大值为16a＋4(2a＋1)＋1=8， 解得a=。 14.(10分)[模型观念]已知二次函数y1=x2＋bx－3的图象经过点P(－2，5)。 (1)(2分)求b的值。 (2)(4分)当－2≤x≤m时，y1=x2＋bx－3的最大值与最小值的差为9，求m的取值范围。 (3)(4分)现有函数y2=2x－n(n是常数)，无论x为何值，y1≥y2都成立。若二次函数y1=x2＋bx－3的图象上有两个点(n－10，p)和(n－4，q)，且p＞q，求n的取值范围。 解：(1)把点P(－2，5)代入函数表达式，得5=(－2)2＋(－2)·b－3， 解得b=－2。 (2)∵y1=x2－2x－3=(x－1)2－4， ∴二次函数图象开口向上，顶点坐标为(1，－4)， ∴当x≤1时，y随x的增大而减小；当x＞1时，y随x的增大而增大，如答图。 第14题答图 若m≤1，则当x=－2时，y1=x2－2x－3取得最大值，∴y1最大值=5， 当x=m时，y1=x2－2x－3取得最小值， ∴y1最小值=m2－2m－3， ∴m2－2m－3=5－9=－4， 解得m1=m2=1。 若m＞1，则当x=1时，y1=x2－2x－3取得最小值，∴y1最小值=－4， ∴y1=x2－2x－3的最大值为5， 令x2－2x－3=5， 解得x1=－2，x2=4， ∴满足的条件为1＜m≤4。 综上所述，m的取值范围是1≤m≤4。 (3)由题意可得x2－2x－3≥2x－n，即x2－4x＋n－3≥0恒成立， ∴Δ=(－4)2－4×(n－3)≤0， 解得n≥7。 把点(n－10，p)和(n－4，q)代入y1=x2－2x－3，得 p=(n－10)2－2(n－10)－3=n2－22n＋117，q=(n－4)2－2(n－4)－3=n2－10n＋21。 ∵p＞q， ∴n2－22n＋117＞n2－10n＋21， 解得n＜8， ∴n的取值范围是7≤n＜8。 学科网（北京）股份有限公司 $