1.3二次函数的性质课堂小练 2026-2027学年浙教版九年级上册数学

**基本信息** 聚焦二次函数性质，通过基础选择、中档填空、提升综合题三层设计，实现从概念理解到综合应用的巩固路径，培养抽象能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|二次函数开口方向、对称轴等单一性质|选择题1-2题直接考查性质判断，夯实概念理解| |中档|性质综合辨析与简单应用|填空题9-12题结合图像分析取值范围、顶点坐标，提升几何直观| |提升|含参数函数、方程与函数综合|综合题13-15题涉及参数范围讨论、图像与不等式结合，发展推理能力|

1.3二次函数的性质 课堂小练 一、选择题 1．已知二次函数y=-x2+2bx+c，当x＞1时，y的值随x值的增大而减小，则实数b的取值范围是（　　） A．b≥-1 B．b≤-1 C．b≥1 D．b≤1 2．对于二次函数的图象，下列说法错误的是（　　） A．开口向上 B．与轴有两个交点 C．抛物线的对称轴为直线 D．当时，随的增大而减小 3． 已知二次函数的图象如图所示，给出下列结论： ； ； 为任意实数； ； 其中正确的结论有（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 4． 若点，，在抛物线的图象上，则，，的大小关系是（　　） A． B． C． D． 5．已知点、是二次函数图象上的两个点，若当时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 6．已知二次函数y＝x2－2x＋2在m≤x≤m＋1时有最小值m，则整数m的值是（　　） A．1 B．2 C．1或2 D．±1或2 7．若三个方程的正根分别记为，则下列判断正确的是（　　） A． B． C． D． 8．已知点A(x1， y1)，B(x2， y2)，C(x3， y3)， 均在抛物线y=ax2-6ax+c，其中y2=-9a+c.下列说法正确的是（　　）. A． B． C． D． 二、填空题 9．已知二次函数，当时，的取值范围是　 　． 10．已知二次函数当时，的取值范围是，该二次函数的对称轴为，则的取值范围是　 　 ． 11．已知抛物线经过，两点，若，分别位于抛物线对称轴的两侧，且，则的取值范围是　 　． 12．已知一个二次函数的图象如图所示，根据图象可得： （1）函数图象的顶点坐标为　 　； （2）图象的对称轴为直线　 　； （3）当x＝　 　时，y有最大值，是　 　； （4）当　 　时，y随x的增大而增大； （5）当　 　时，y＞0． 三、综合题 13．在直角坐标系中，设函数y1＝ax2+bx-a（a，b是常数，a≠0）. （1）已知函数y1的图象经过点（1，2）和（-2，-1），求函数y1的表达式. （2）若函数y1图象的顶点在函数y2＝2ax的图象上，求证：b＝2a. （3）若b＝a+3，当x＞-1时，函数y1随x的增大而增大，求a的取值范围. 14．设二次函数（是常数，） （1）若，求该函数图象的顶点坐标. （2）若该二次函数图象经过，，三个点中的一个点，求该二次函数的表达式. （3）若二次函数图象经过，两点，当，时，，求证： 15．已知二次函数的部分图象如图所示． （1）求该函数图象与x轴的另一个交点坐标； （2）求这个二次函数的解析式； （3）直接写出满足时x的取值范围． （4）求不等式的解． 答案解析部分 1．【答案】D 【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质 【解析】【解答】解：∵抛物线y=-x2+2bx+c的对称轴为直线x=-=b， 而a＜0， ∴当x＞b时，y随x的增大而减小， ∵当x＞1时，y的值随x值的增大而减小， ∴b≤1. 故答案为：D. 【分析】首先由抛物线的对称轴直线公式求出其对称轴直线是x=b，再由二次项系数a=-1＜0，抛物线开口向下，故在对称轴左侧，y随x的增大而增大，在对称轴右侧，y随x的增大而减小，进而结合当x＞1时，y的值随x值的增大而减小，即可得出b的取值范围. 2．【答案】D 【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质 【解析】【解答】解：由题意得， 二次函数， 其中a=1，b=-4，c=-1， a=1＞0，所以抛物线开口向上，故A正确，不符合题意； ，所以抛物线与x轴由两个交点，故B正确，不符合题意； 抛物线的对称轴为x=2，故C正确，不符合题意； 当时，随的增大而增大，故D错误，符合题意； 故答案为：D. 【分析】①根据a判断抛物线的开口方向，，抛物线开口向上，，抛物线开口向下； ②根据判定抛物线与x轴的交点，当时，抛物线与x轴由2个交点，当时，抛物线与x轴由1个交点，当时，抛物线与x轴无交点； ③抛物线的对称轴为：； ④增减性：，则当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小； 根据以上4点逐一判断即可. 3．【答案】B 【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；二次函数y=ax^2+bx+c的性质 【解析】【解答】解：由图象可知， ，，， 所以． 故错误． 因为抛物线的对称轴是直线， 所以时与时的函数值相等． 又由图象可知， 时，函数值大于． 所以时，函数值也大于． 即． 故正确． 因为抛物线开口向下，且对称轴为直线， 所以当时，函数有最大值． 则当为任意实数时，总有， 即． 故错误． 因为抛物线与轴有两个交点， 所以， 即． 故正确． 故选：． 【分析】 根据二次函数中系数与图像的关系，二次函数图象的对称性，二次函数的最值，结合根的判别式进行分析判断。 4．【答案】C 【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质 【解析】【解答】解：∵抛物线，a=-2＜0， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∵点的对称点为，5＞3＞2， ∴， 故答案为：C. 【分析】根据二次函数的性质先求出抛物线开口向下，对称轴为直线x=2，再比较大小求解即可。 5．【答案】B 【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质 【解析】【解答】解：∵点A（m，n）、B（m+1，n）为二次函数图象上的两点， ∴对称轴为直线x=，开口向上. ∵x≤2时，y随x的增大而减小， ∴≥2， 解得m≥. 故答案为：B. 【分析】由点A、B的纵坐标相等可得对称轴为直线x=，由a=1>0可得开口向上，结合x≤2时，y随x的增大而减小可得≥2，求解即可. 6．【答案】C 【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质 【解析】【解答】解：y=x2-2x+2=（x-1）2+1， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线x=1，函数有最小值为1， 分类讨论： ①若顶点横坐标在范围m≤x≤m+1右侧时， 当x=m+1时，函数取得最小值，y最小值=m=（m+1）2-2（m+1）+2， 方程无解； ②若顶点横坐标在范围m≤x≤m+1内时，即有m≤1≤m+1， 解这个不等式，即 0≤m≤1，此时当x=1时，函数取得最小值，y最小值=1， ∴m=1； ③若顶点横坐标在范围m≤x≤m+1左侧时，即m＞1时，y随x的增大而增大， ∵当x=m时，函数取得最小值，y最小值=m=m2-2m+2，解得m=2或1（舍弃） ∴m=1或2. 故答案为：C. 【分析】首先将抛物线的解析式配成顶点式，可得抛物线开口向上，对称轴为直线x=1，函数有最小值为1，分类讨论：①若顶点横坐标在范围m≤x≤m+1右侧时，当x=m+1时，函数取得最小值；②若顶点横坐标在范围m≤x≤m+1内时，x=m=1时，函数取得最小值1；③若顶点横坐标在范围m≤x≤m+1左侧时，x=m=1时，函数取得最小值1，从而分别得到关于字母m的方程，求解即可. 7．【答案】A 【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质 【解析】【解答】解：设函数表达式为，该函数为开口向上的抛物线， 当时分别对应方程； ∵这三个y值依次增大，函数为开口向上的抛物线， ∴其对应的正跟也依次增大，即， 故答案为：A. 【分析】设函数表达式为y=(x+3)(x-2)，该函数为开口向上的抛物线，y=-4、、-2分别对应题目中的三个方程，然后结合二次函数的性质进行判断. 8．【答案】D 【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax^2+bx+c的性质 【解析】【解答】解：∵y=ax2-6ax+c， ∴抛物线的对称轴为直线， 当x=3时，y2=-9a+c， ∴点B为抛物线的顶点，x2=3， ∵当a＞0时，抛物线的开口向上，y2为函数的最小值， ∴A、B不符合题意； 若y1＞y3≥y2时，抛物线的开口向上，距离对称轴的距离越近的点的纵坐标越小， ∴|x1-x2|＞|x2-x3|，故C不符合题意，D符合题意； 故答案为：D 【分析】利用函数解析式可求出抛物线的对称轴，由此可知点B为抛物线的顶点，当a＞0时，抛物线的开口向上，y2为函数的最小值，可对A，B作出判断；若y1＞y3≥y2时，抛物线的开口向上，距离对称轴的距离越近的点的纵坐标越小，据此可得到|x1-x2|＞|x2-x3|，可对C、D作出判断. 9．【答案】 【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax^2+bx+c的性质 【解析】【解答】解：二次函数可化为， ∴二次函数的对称轴为x=2，且开口向上，顶点坐标为（2，-3）， 在 中， 当x=-1时，二次函数有最大值：y=6， 当x=2时，二次函数有最小值：y=-3， ∴当 时，y的取值范围是：； 故答案为：. 【分析】将二次函数解析式化为顶点式，然后根据二次函数的增减性求出最大值与最小值，即可得解. 10．【答案】 【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质 【解析】【解答】解：∵二次函数y=x2+bx+c的对称轴为直线x=，当-1≤x≤1时，-1≤y≤1. ∴当抛物线过点（1，1）时，有1+b+c=1，则c=-b， 此时-1≤<0， ∴0<b≤2， ∴y=x2+bx-b=(x+)2-b-，此时函数的最小值必为-1， ∴-b-=-1， 解得b=-2+或-2-（舍去）， ∴m==1-. 当抛物线过点（-1，1）时，有1-b+c=1，则b=c， 此时0<≤1， ∴-2≤b<0， ∴y=x2+bx+b=(x+)2+b-，此时函数的最小值必为-1， ∴b-=-1， 解得b=2-或2+（舍去）， ∴m==-1， ∴1-≤m≤-1. 故答案为：1-≤m≤-1. 【分析】根据函数解析式可得对称轴为直线x=，当抛物线过点（1，1）时，有1+b+c=1，则c=-b，此时-1≤<0，求出b的范围，将抛物线解析式化为顶点式，结合函数的最小值为-1可得b的值；同理可求出抛物线过点（-1，1）时，对应的m的值，进而可得m的范围. 11．【答案】 【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质 【解析】【解答】解：∵a＜0， ∴抛物线的开口向下， ∵抛物线的对称轴为：直线x=， 且y1＜y2， 若点A在对称轴x=1的左侧，点B在对称轴x=1的右侧， 则可得不等式组：， 解得：，不等式组无解； 若点A在对称轴x=1的右侧，点B在对称轴x=1的左侧， 则可得不等式组：， 解得：0＜n＜2， ∴n的取值范围是：0＜n＜2. 故答案为：0＜n＜2. 【分析】根据二次函数的a的值可判断抛物线的开口向下，由抛物线的对称轴x=可求得抛物线的对称轴，根据已知条件y1＜y2，分两种情况讨论： 若点A在对称轴x=1的左侧，点B在对称轴x=1的右侧，若点A在对称轴x=1的右侧，点B在对称轴x=1的左侧，可分别得关于n的不等式组，解之可求解. 12．【答案】（1）（-3，2） （2）x＝-3 （3）-3；2 （4）＜-3 （5）-5＜x＜-1 【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质 【解析】【解答】解：（1）∵抛物线与x轴交于点（-5，0），（-1，0）， ∴顶点横坐标为， 由图可知顶点纵坐标为2， ∴顶点坐标为（-3，2）； 故答案为：（-3，2）； （2）对称轴为x=-3； 故答案为：x=-3； （3）当x=-3时，y有最大值是2； 故答案为：-3；2； （4）当x＜-3时，y随着x得增大而增大； 故答案为：＜-3； （5）当-5＜x＜-1时，y＞0． 故答案为：-5＜x＜-1． 【分析】（1）由抛物线与x轴两个交点的坐标，根据二次函数的对称性可得顶点坐标； （2）根据二次函数的性质可得对称轴； （3）根据抛物线的顶点坐标即可求解； （4）根据二次函数的性质即可求解； （5）抛物线在x轴上方的部分对应的x的取值即为所求. 13．【答案】（1）解：函数y1的图象经过点（1，2）和（-2，-1）， ∴. ∴a＝1，b＝2. ∴y1＝x2+2x-1 （2）解：y1＝ax2+bx-a＝a. ∴顶点坐标为（-，-）. ∵抛物线的顶点在y2＝2ax的图象上， ∴-＝-2a×， ∴b2+4a2＝4ab. ∴（b-2a）2＝0. ∴b＝2a. （3）解：∵b＝a+3， ∴-＝- ∵当x＞-1时，函数y随x的增大而增大 ∴图象开口向上，对称轴在直线x＝-1的左侧， 即a＞0，-≤-1 ∴a的取值范围是0＜a≤3. 【知识点】正比例函数的图象和性质；待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质 【解析】【分析】（1）将（1，2）、（-2，-1）代入y1＝ax2+bx-a中可求出a、b的值，进而可得函数y1的表达式； （2）根据函数y1的表达式可得顶点坐标为（-，-）.，代入y2＝2ax中并化简可得b2+4a2＝4ab，即(b-2a)2＝0，据此证明； （3）根据 b＝a+3可得-＝-，结合题意可得图象开口向上，对称轴在直线x＝-1的左侧，则当a＞0，-≤-1，求解就可得到a的取值范围. 14．【答案】（1）解：当时，二次函数 顶点坐标为； （2）解：当时，，因此不过点， 当时，，因此不过点， 故抛物线过点，代入得， ， ， 抛物线的关系式为 （3）解：二次函数是常数，的图象与轴交于点，，， 函数图象的对称轴为直线， 当时，函数图象开口向上， 当，时，， ， ， 解得，舍去； 当时，函数图象开口向下， 时，， ， ，， ， ， 故. 【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=a（x-h）^2+k的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质 【解析】【分析】（1）将a=1代入可得y=(x+1)(x+4)，将解析式化为顶点式，据此可得顶点坐标； （2）当x=-1时，y=0≠1；当x=-2时，y=-2≠3，则抛物线过点（0，-2），代入求解可得a的值，据此可得抛物线的解析式； （3） 根据二次函数的解析式可得对称轴为直线x=，当a>0时，函数图象开口向上，根据距离对称轴越远的点对应的函数值越大结合题意可得，代入求解可得a的范围；当a<0时，同理可得，求解即可. 15．【答案】（1）解：由图象可知抛物线的顶点， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线与x轴交于一点为， ∴抛物线与x轴交于另一点为； （2）解：由图象可知抛物线的顶点，与x轴交于， ∴设抛物线的解析式为， 把代入得，， 解得， 所以二次函数解析式为． （3） （4）解：当时，， 解得：，， ∴根据图象得：的解为． 【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质 【解析】【解答】解：（3）由图象可知：满足的x的取值范围是． 【分析】(1)利用抛物线的对称性即可求解； (2)设出顶点式解析式y=a-4，然后把点(1，0)代入求出a的值，从而得到抛物线的解析式； (3)结合函数图象，写出抛物线在x轴下方所对应的自变量的范围即可； (4)二次函数解析式中令y=0，即可求得抛物线与x轴交点的横坐标，然后结合图像即可得出不等式的解。 1 学科网（北京）股份有限公司 $