必刷小题11数列专项训练-2027届高考数学一轮复习

**基本信息** 聚焦数列核心考点，通过高考真题与模拟题系统整合等差等比性质、递推转化及新定义问题，以题载法构建“定义-性质-应用”逻辑链，培养数学抽象与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础计算|3题（如第1、2、12题）|基本量法、等比中项公式|从定义出发，通过通项与前n项和公式建立方程求解| |性质应用|4题（如第3、5、9、10题）|等差中项性质、等比片段和性质|利用数列“项与和”的内在联系，简化运算过程| |递推转化|4题（如第6、7、8、13题）|累乘法、构造等比数列、Sn与an关系|通过代数变形将递推式转化为可求和或求通项的基本数列| |新定义问题|3题（如第4、11、14题）|信息提取与模型转化|结合数学抽象，将新定义转化为已知数列问题求解|

必刷小题11　数　列 (分值：73分) 一、单项选择题(每小题5分，共40分) 1.(2024·全国甲卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S5=S10，a5=1，则a1等于(　　) A. B. C.- D.- 2.已知数列{an}是等比数列，且a2+a5=7，a4+a7=21，则a8+a11等于(　　) A.28 B.63 C.189 D.289 3.(2025·广州模拟)现有一根七节的竹子，最下面两节可装米四升，最上面两节可装米二升，如果竹子自下而上装米量逐节等量减少，以此计算，这根竹子的装米量为(　　) A.9升 B.10.5升 C.12升 D.13.5升 4.已知数列{an}的前n项和Sn=n3-2n+sin π，则a6等于(　　) A.66 B.77 C.88 D.99 5.设数列{xn}满足log2xn+1=1+log2xn，且x1+x2+…+x5=8，则x21+x22+…+x25等于(　　) A.220 B.1620 C.223 D.224 6.若数列{an}的前n项和为Sn，且a1=a2=1，+anSn+1=SnSn+1(n≥2)，则S7等于(　　) A.64 B.32 C.8 D.1 7.已知数列{an}满足=，其中a1=1，则a8等于(　　) A.28 B.220 C.225 D.228 8.已知数列{an}满足an+2=3an+1-2an，a1=λ，a2=2，{an}为递增数列，则λ的取值范围为(　　) A.(-∞，1) B.(-∞，1] C.(-∞，1)∪(1，2) D.(-∞，2) 二、多项选择题(每小题6分，共18分) 9.(2025·湖北联考)在等比数列{an}中，a1a2=2，a3=4，则(　　) A.数列{an}的公比为 B.数列{an}的公比为2 C.a3+a5=20 D.数列为递增数列 10.已知等差数列{an}是递减数列，且a6=-2a3，前n项和为Sn，公差为d，则下列结论正确的有(　　) A.d<0 B.a1>0 C.当n=5时，Sn最小 D.当Sn<0时，n的最小值为8 11.(2024·四平模拟)数列{an}的前n项的和Sn满足Sn+1+Sn=n(n∈N*)，则下列选项中错误的是(　　) A.数列{an+1+an}是常数列 B.若a1<，则{an}是递增数列 C.若a1=-1，则S2 025=1 012 D.若a1=1，则{an}的最小项的值为-1 三、填空题(每小题5分，共15分) 12.(2025·苏州模拟)在2和8之间插入3个实数a，x，b使得2，a，x，b，8成等比数列，则x=　　　　.  13.(2024·长春统考)已知数列{an}是正项数列，且++…+=n2+3n(n∈N*)，则++…+=　　　　　.  14.若在数列{an}中，对任意正整数n，都有+=p(常数)，则称数列{an}为“等方和数列”，称p为“公方和”.若数列{an}为“等方和数列”，其前n项和为Sn，且“公方和”为1，首项a1=1，则S2 024的最大值与最小值之和为　　　　　　.  参考答案 (分值：73分) 一、单项选择题(每小题5分，共40分) 1.(2024·全国甲卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S5=S10，a5=1，则a1等于(　　) A. B. C.- D.- 答案　B 解析　由S10-S5=a6+a7+a8+a9+a10=5a8=0，则a8=0， 则等差数列{an}的公差 d==-， 故a1=a5-4d=1-4×=. 2.已知数列{an}是等比数列，且a2+a5=7，a4+a7=21，则a8+a11等于(　　) A.28 B.63 C.189 D.289 答案　C 解析　设等比数列{an}的公比为q， 由a2+a5=7，a4+a7=21， 则a4+a7=q2(a2+a5)=21，解得q2=3， 故a8+a11=q4(a4+a7)=32×21=189. 3.(2025·广州模拟)现有一根七节的竹子，最下面两节可装米四升，最上面两节可装米二升，如果竹子自下而上装米量逐节等量减少，以此计算，这根竹子的装米量为(　　) A.9升 B.10.5升 C.12升 D.13.5升 答案　B 解析　依题意，竹子自下而上的各节装米量构成等差数列{an}，n∈N*，n≤7， 则a1+a2=4，a6+a7=2，a1+a7=a2+a6=3， 所以这根竹子的装米量为S7==10.5(升). 4.已知数列{an}的前n项和Sn=n3-2n+sin π，则a6等于(　　) A.66 B.77 C.88 D.99 答案　C 解析　由Sn=n3-2n+sin π可得S6=63-12+sin 3π=216-12=204， S5=53-10+sin π=125-10+1=116， 故a6=S6-S5=204-116=88. 5.设数列{xn}满足log2xn+1=1+log2xn，且x1+x2+…+x5=8，则x21+x22+…+x25等于(　　) A.220 B.1620 C.223 D.224 答案　C 解析　因为log2xn+1=1+log2xn， 所以log2xn+1-log2xn=1， 即=2， 所以数列{xn}是以2为公比的等比数列， 记数列{xn}的前n项和为Sn，则S5，S10-S5，S15-S10，…成等比数列，其公比为25， 所以x21+x22+…+x25=S25-S20=8×=223. 6.若数列{an}的前n项和为Sn，且a1=a2=1，+anSn+1=SnSn+1(n≥2)，则S7等于(　　) A.64 B.32 C.8 D.1 答案　A 解析　∵+an=Sn， ∴=SnSn+1-anSn+1=Sn+1(Sn-an)=Sn+1·Sn-1(n≥2)， ∴数列{Sn}为等比数列， 又S1=1，S2=a1+a2=2，∴{Sn}的公比为=2， ∴Sn=2n-1，∴S7=26=64. 7.已知数列{an}满足=，其中a1=1，则a8等于(　　) A.28 B.220 C.225 D.228 答案　C 解析　由题意，得=×21，=×22，…，=×27. 由累乘法，得××…×=×21××22×…××27， 即=×21×22×…×27===225， 又a1=1，所以a8=225. 8.已知数列{an}满足an+2=3an+1-2an，a1=λ，a2=2，{an}为递增数列，则λ的取值范围为(　　) A.(-∞，1) B.(-∞，1] C.(-∞，1)∪(1，2) D.(-∞，2) 答案　D 解析　由an+2=3an+1-2an得 an+2-an+1=2(an+1-an)， 又{an}为递增数列，故an+1-an>0， 所以数列{an+1-an}是以a2-a1=2-λ为首项，2为公比的等比数列， 所以an+1-an=(2-λ)·2n-1， 又{an}为递增数列， 所以(2-λ)·2n-1>0对任意正整数n恒成立， 所以2-λ>0，得λ<2. 二、多项选择题(每小题6分，共18分) 9.(2025·湖北联考)在等比数列{an}中，a1a2=2，a3=4，则(　　) A.数列{an}的公比为 B.数列{an}的公比为2 C.a3+a5=20 D.数列为递增数列 答案　BC 解析　设等比数列的公比为q， 依题意得 解得 所以an=2n-1， 故a3+a5=22+24=20，故B，C正确，A错误； log2=1-n， 则数列为递减数列，故D错误. 10.已知等差数列{an}是递减数列，且a6=-2a3，前n项和为Sn，公差为d，则下列结论正确的有(　　) A.d<0 B.a1>0 C.当n=5时，Sn最小 D.当Sn<0时，n的最小值为8 答案　ABD 解析　由a6=-2a3， 得a1+5d=-2(a1+2d)，即a1=-3d， 由等差数列{an}是递减数列，知d<0，则a1>0，故A，B正确； 而Sn=na1+d=n2-n， 当n=3或n=4时，Sn最大， 令Sn=n2-n<0， 解得n>7，即当Sn<0时，n的最小值为8，故C错误，D正确. 11.(2024·四平模拟)数列{an}的前n项的和Sn满足Sn+1+Sn=n(n∈N*)，则下列选项中错误的是(　　) A.数列{an+1+an}是常数列 B.若a1<，则{an}是递增数列 C.若a1=-1，则S2 025=1 012 D.若a1=1，则{an}的最小项的值为-1 答案　ABC 解析　对于A，当n=1时，Sn+1+Sn=a1+a2+a1=2a1+a2=1， ① 当n≥2时，Sn+Sn-1=n-1， 作差可得an+1+an=1，代入n=1可得a2+a1=1，与①可能矛盾， 故数列{an+1+an}不一定是常数列，故A错误； 对于B，由an+1+an=an+an-1=…=a3+a2=1可得an+1=an-1=an-3=…且an=an-2=an-4=…， 所以数列{an}不是单调数列，故B错误； 对于C，若a1=-1，则由以上选项可知a2=3，a3=-2，a4=3，…， 所以当n≥2时，{an}的偶数项为3，奇数项为-2， 而S2 025=a1+(a2+a3)+(a4+a5)+…+(a2 022+a2 023)+(a2 024+a2 025)=-1+1 012=1 011，故C错误； 对于D，若a1=1，则a2=-1，a3=2， 故当n≥2时，{an}的偶数项为-1，奇数项为2， 则{an}的最小项的值为-1，故D正确. 三、填空题(每小题5分，共15分) 12.(2025·苏州模拟)在2和8之间插入3个实数a，x，b使得2，a，x，b，8成等比数列，则x=　　　　.  答案　4 解析　由x为等比中项可知，x2=2×8=16， 又a2=2x，可知x>0，所以x=4. 13.(2024·长春统考)已知数列{an}是正项数列，且++…+=n2+3n(n∈N*)，则++…+=　　　　　.  答案　216 解析　令n=1，得=4，∴a1=16. 当n≥2时，++…+=(n-1)2+3(n-1)， 已知式与此式相减，得=n2+3n-(n-1)2-3(n-1)=2n+2. ∴an=4(n+1)2，又当n=1时，a1=16满足该式， ∴an=4(n+1)2(n∈N*). ∴=4n+4， ∴++…+==216. 14.若在数列{an}中，对任意正整数n，都有+=p(常数)，则称数列{an}为“等方和数列”，称p为“公方和”.若数列{an}为“等方和数列”，其前n项和为Sn，且“公方和”为1，首项a1=1，则S2 024的最大值与最小值之和为　　　　　　.  答案　2 解析　由+=p得+=p， 两等式相减得=. 又“公方和”为1，首项a1=1， 所以==…==1， ==…==0. 所以S2 024的最大值为1 012，最小值为-1 010，其和为2. 1 学科网（北京）股份有限公司 $