第04讲 数列的通项公式（专项训练）（全国通用） 2027年高考数学一轮复习讲练测

**基本信息** 该专项系统整合数列通项公式11类核心题型，以“基础方法-重难创新-真题实战”三级递进为框架，突出递推变形的代数运算能力与逻辑推理，培养数学思维与创新意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础演练|11题型全覆盖|累加法、累乘法、构造等差等比、取倒数、因式分解|从Sn与an互化切入，构建递推关系到通项公式的转化链条| |重难创新|9题融合拓展|参数求值、子数列判定、奇偶分段递推|多方法交叉应用，强化分类讨论与逻辑推导| |真题实战|3题高考再现|Sn与an退位作差互化|聚焦高频考点，衔接高考命题趋势|

第04讲 数列的通项公式 目 录 模拟·基础演练 2 题型01 已知或 2 题型02 等式含 3 题型03 等式含与或与 4 题型04 累加法 5 题型05 累乘法 6 题型06 加减常数构造或加减构造 6 题型07 同除法或取倒数法 7 题型08 因式分解法 7 题型09 已知前n项积 8 题型10 形如求通项公式 9 题型11 奇偶数列求通项公式 9 重难·创新演练 10 真题·实战演练 10 模拟·基础演练 考查重点：Sn与an互化、累加累乘基础方法、构造等差等比、取倒数因式分解、奇偶分段通项、前n项积转化，覆盖数列通项全部核心求解思路，侧重递推变形代数运算能力。 题型01 已知或 1．（多选）记数列的前n项和，已知（且），则（   ） A． B．是等比数列 C．是递增数列 D．若，则 2．设数列的前n项和为，且满足． (1)求数列的通项公式； 3．为的前项和，已知． (1)求的通项公式； 4．已知正项数列的前n项和为，且满足． (1)求的通项公式； 5．已知数列的前n项和为，且满足，． (1)求数列的通项公式； 题型02 等式含 6．已知数列满足，则（    ） A． B．的前n项和为 C．的前100项和为50 D．的前30项和为357 7．已知数列满足． (1)求的通项公式； (2)若，求． 8．已知数列满足． (1)求数列的通项公式； 9．已知数列满足. (1)求的通项公式； 题型03 等式含与或与 10．（多选）已知数列的各项均为正数，前项和为，且，则（     ） A． B． C． D． 11．（多选）已知数列各项为正，前项和为，若，则下列结论正确的是（    ） A． B．数列为等差数列 C．数列是单调递增数列 D． 12．已知数列的前项和为，则__________． 13．已知正项数列中，，，． (1)求数列的通项公式； 题型04 累加法 14．在数列中，，则的最小值为__________. 15．（多选）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，将图中的称为六边形数，将六边形数按从小到大的顺序排成数列，则（   ） A． B． C．是等差数列 D． 16．若数列，…是首项为1，公比为3的等比数列，则数列的通项公式是______． 17．在数列中，，，则_______． 18．在数列中，，，且数列是公差为2的等差数列． (1)求数列的通项公式； 19．已知数列为正项数列，且，. (1)求数列的通项公式； 题型05 累乘法 20．已知数列 满足 ，，且 是公比为的等比数列，，则 （    ） A． B． C． D． 21．数列中，，当时，，则数列的通项公式为______. 22．已知数列满足，且 (1)求数列的通项公式； 题型06 加减常数构造或加减构造 23．对任意正整数n有，且为严格增数列的的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．无穷多 24．已知数列满足，，则______． 25．已知数列中，，，，为数列的前项和，则数列的通项公式________；________. 26．在数列中，，. (1)证明：数列是等比数列； (2)求数列的通项公式； 27．已知数列满足. (1)求数列的通项公式； 题型07 同除法或取倒数法 28．已知数列的首项，且满足，则（    ） A． B． C．10 D．12 29．已知数列中，，则（    ） A． B． C． D． 30．已知数列的前项和为，若，且，则______． 31．数列满足，则数列的通项公式为______． 题型08 因式分解法 34．已知数列的各项为正数，且，，则（   ） A． B． C． D． 35．设数列的每一项均为正数，且，且有，则__________． 36．已知正数数列，，且满足，，记数列的前n项和为. (1)求数列的通项公式； 37．设正项数列满足，且. (1)证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式； 题型09 已知前n项积 38．设数列的前n项之积为，且．则数列的前n项和_______． 39．设为数列的前n项积．已知． (1)求的通项公式； 40．设为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知． (1)求，； (2)求证：数列为等差数列； (3)求数列的通项公式． 41．设各项非零的数列的前n项乘积为，即，且满足. (1)求数列的通项公式； 题型10 形如求通项公式 42．已知数列满足，，，则的通项公式为______. 43．已知数列满足（，），且，，则________． 45．（多选）已知数列的前项和为，且满足，，，则下列说法正确的有（    ） A．数列为等比数列 B．数列为等差数列 C． D． 题型11 奇偶数列求通项公式 46．已知数列满足，，记，则（    ） A． B． C． D． 47．（多选）已知数列满足，记数列的前n项和为，则（   ） A． B． C． D． 48．已知数列满足，且．设表示的前项和，则________． 49．若正项整数数列满足，，已知，则的所有可能取值的和为________． 重难·创新演练 设题创新:融合Sn与an互化、取倒数、累加、因式分解等通法，增设参数求值取舍、子数列等差等比判定、奇偶分段递推，多式联立变形转化基础数列，强化分类讨论与递推逻辑推导。 1．记为数列的前项和，已知. (1)求的通项公式； 2．【新角度】已知等差数列的各项均大于零，前n项和为，且． (1)求数列的通项公式和前n项和； (2)若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围． 3．（ 2026·江苏苏州·模拟预测）已知数列的前项和为，若，，. (1)求的通项公式； 4．【新考法】（ 2026·河北邯郸·三模）已知数列中，，（为常数，），且，，是公比不为1的等比数列. (1)求数列的通项公式； 5．已知数列满足，，，．设． (1)证明是公差为2的等差数列，并求数列的通项公式； 6．（ 2026·湖北荆州·模拟预测）已知数列的前n项和为，且，． (1)求数列的通项公式； 7．已知数列满足，，设，的前项和分别为，． (1)试求，的值并探究与的关系； (2)当时，试求的通项公式； 8．【新考法】（ 2026·山东烟台·二模）已知正项数列的前项和为，，且． (1)求数列的通项公式； 9．已知正项数列满足. (1)求的通项公式； 真题·实战演练 高频考点：Sn与an退位作差互化；高考选择填空、解答题第一问高频考查，核心围绕Sn、an混合式变形，侧重定义域辨析与代数化简热点。 1．（2023·天津·高考真题）已知数列的前n项和为，若，则（    ） A．16 B．32 C．54 D．162 2．（2026·全国一卷·高考真题）设实数满足：存在数列，使得对于任意，均有，且中有某连续9项，，，是公比为的等比数列．则的最大值为__________． 3．（2023·全国甲卷·高考真题）设为数列的前n项和，已知． (1)求的通项公式； 19 / 21 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第04讲数列的通项公式 目录 模拟基础演练… 题型01 已知，=f()或s,=f(a)重 2 题型02 1 题型03 等式含0，与5S或a与S,+√S, 题型04 累加法重 .12 题型05 累乘法 .16 题型06 加减常数构造或加减f()构造难 .18 题型07同除法或取倒数法. 20 题型08因式分解法.… 22 题型09 已知前门项积.… 25 题型10 形如a,?=pa,+q,求通项公式难 28 题型11奇偶数列求通项公式难 30 重难创新演练33 真题实战演练 33 1/58 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 模拟•基础演练 考查重，点：Sn与an互化、累加累乘基础方法、构造等差等比、取倒数因式分解、奇偶分段通项、 前项积转化，覆盖数列通项全部核心求解思路，侧重递推变形代数运算能力。 >题型01 已知5，=f)或.=fa,)重 1.《多选)记数列a的前n项和5，已知5=g-9(9>0且9)，则(） A 2=9(9-1) B.a,是等比数列 c.a,}是递增数列 D.若，≥a,则0≤g<1 【答案】BC 【详解】A选项，4=8=g-9S,=g-9 故4=8-8=g-g(g-）=g-=4(g-1),A错误 B选项，9>0且91，当”=1时，4=8=4-9， 当n22时，a,=8-5=g-9-(g-g)=g-q 显然n=1时，满足，=g”-,综上，1≥1时，0=g9-) a=9"2-g1 a.=g-=9,(a,为公比为9的等比数列，B正确 2/58 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C选项，由B知，a,=g(g-) 若g>1,则a,>0,由a, =g>1,故>0a,}是通指数列： 若0<g<1'则a,<0:由a 2=9e(00,故0>a,a,}是递增数列： 综上， {a,}是递增数列，C正确： D选项，若5，≥a,则9-9≥g-9,即9≤9,1-g）0 9>09≠1 且 a9>1 ,解得，D错误 2,设数列a的前”现和为5，且满足25=a-3neN ①求数列a, 的通项公式： (②e么=2n- a,b. ,求数列 的前n项和 【答案】() an=3” (2) Tn=(n-1)3m1+3 【分析】 【详解】当”=时，2=3a-324=3a-3 ，即 4=3 ,解得 当≥2时，由 Sn=3an-32Sn-1=3an-1-3 ,得 所u25-25=8a,-3》-6a.-3》.即2a,-3a-3a ，即 m=3, 所以a,=3a·4=3≠0，所以a,3，n≥2 3/58 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 所以数列a}是以3为首项，3为公比的等比数列，故0，=3x3=”, 62由0)知83”，=2- ，所以6=(2m-)-30 所以2=1x3'+3x3+5x32++(2m-》×3 ， T,=1×32+3×3°++(2n-3)×3”+(2n-1)×3m+ 则 ②， -2T,=3+2×32+2×33+…+2×3"-(2n-1)×31 ①②得 -3+2×30-3-(2m-x3, 1-3 =3-(1-3")×9-(2n-1)×3+ =3-9+3m1-(2n-1)×3+1 。 =-6+(1-2n+1)×3+ =-6+(2-2n)×31 所以7=-0x3+3 3.5为a,的前”项和，已知45，+3a ④)求a,的通项公式 a没4=少1-2m) an,求数列{bn}的前n项和Tn 【答案】a,= 3 (②7=-13+3 【分析】 4/58 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】当”=1时，4+3如，=1，即4和+3a,=1 ,即 当≥2 4Sm1+3an=1 时，有 (Sn-Sn-)+3(an1-an)=0 所以 1 所以3a1+an=0,即a1= 1 由4a,+3a,=1,且4，=34，代入得4a,-4=1,即3a=1,所以4=3 1 1 故{a}从第一项起即为等比数列，公比9=一3，首项4=3 =0少 3” ②0痴知%=1.3 3”,则a,=3” 于是6.=0”0-2m=(-)"1-2)-(10”3”=(-102"-4-2039 因为0=-1 bn=-(1-2n)3”=(2n-103” ，所以 .T,=∑(2k-103 因此”台 设7=1-3+3.32+5-33+…+(2n-g Tn=1.32+3.32+…+(2n-3)3”+(2n-103m+1 则 两式相减得27=3+23+3++3）-(2n-31 其中32+32++3”=931-)_31-9 3-12 5/58 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 所以27.=-20n-13-6 放7=m-3+3 4已知正项数列{a,}的前加项和为5，且满足S,-, 2 (求a,的通项公式 1 ②记4-0(a,+2 ,n为奇数 2,为偶数，求数列，}的前”项和工· 【答案】(00，n 3n-5. 2+1+n+1,8 n为奇数 9 @T= 2(n+2）9 3n-2 2+2 2(n+1)+9n为偶数 n 8 9 【分析】 【弹解10)白8-是，得28=+当=1时，2=4+4，即24=矿+4 X9> 0,所以-1当0≥2时，25.=a+a 所以25.-28=c+a,-a-a1 即2a,=+a,a-a,整理得 a.+a-i)(a。-a-l)=0 因为>0，所以”-81 所以数列a是以1为首项，1为公差的等差数列，所以4=1+1-1=n. 6/58 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 ,n为奇数 n={n(n+2 (2)由(1)得 n:2”,n为偶数· T=6+b2+3+b+++b ①当1为偶数时， s、1 +2×22+ 1 1×3 +4×24+…+ 3×5 a-1(n+)*m-2” 11 1 A=- n 令B=2×22+4×24++n2,所以4B=2×24+4×26++n-2+2, 两式相减得：-3B=8+2×24+2×2++2×2”-n-22, 2(1-2"-2） =8+ 2-n×22=8+2332-x2-83n2×2 1-4 3 33 所8- 2=228 2(n+1)9: ②当为奇数时， 无-。20号a2 g小+g x2+,n+1+8 2(n+2)99 2(n+2）)'9, 3n-5 2*1+n+1,8 9 所g7、 2(n+2)+9m为奇数 3m-222+n+8 9 2(n+1)gn为偶数· 5.已知数列仅的前m项和为5，且满足4=2，m=S+a+) 求数列a的通项公式”， 7/58 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (②)设工为数列2的前”项和，求T, 【答案】(0%=2n (②)7=4n+2 21 【分析】 【详解】(d)已知a1=及，+n(n+1) ∫na1=Sn+n(n+l) 当n≥2时，有(n-l)a=S1+n(n-1), nant (n-1)an an+2n=an-an =2 两式相减得 又0=8+2=0+2→4，-4=2 “对任意”∈N,都有-0，=2，即a}是以2为公差的等差数列， ∴an=a1+(n-1)2=2n an2n n 2,34. 2)由(1)得222，则7=1 222t2++” 2, 1 1,2,3,4,,n-1,n 两边同乘以2得27，=2十+2+2++ 2-2, 两式错位相减得： 1,11.1, 27=1+2+2+2+2++ ”1-1 22 2” 2 Tn=4-n+2 2n-1 修题型02 ah重 等式含 8/58 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 6已知数列a满足4+2a,++2a,=n-2】 ”,则() A, an=n+1 n(n+2) B.{a}的前n项和为2 c.《-1少a)的前100项和为50 D.a-形的前30项和为357 【答案】ACD 41=2 【详解】当”=l时，6 当022时，4+24，++22a4=(n-）-2 2"an=n-2”-(n-1)2=(n+1)21 两式相减可得： 所y只n+1 ,显然当”时。“满足，故，=+ ，故A正确： (2+n+1)_n2+3n 由等差数列求和公式知{a,}的前n项和为 2 2一，故B错误 令6，=（少a,-=(少(a+）,,的前100项和为： -2+3-4+5+-100+101=1×50=50,故C正确： 令=h,-可-n-4,所以a,-}的前30项和为：9+6++c=3+2+1+0+1+2++26 -6+27×0+26)-357,故D正确 2 7已知数列包，}满足4+有0，+京4++ 3n-Tn =3n 四求a}的通项公式； 9/58 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 321-310 (2)若ak+ak41+…+ak+10= 2,求k 【答案】()0，=3” (2)k=10 【分析】 【详解】(1)当”=时，4=3 1 由4+34 32%+…+ 4 3a,=3n 1 可得当n≥2时，a 324+…+1 .1 3 +3-aa=3(0n-l), 两式作差，得3可0，=3，所以a,=3”,m≥2. 又4=满足上式，所以=3” ②)由1)知0，=3” 01=34 因为。-子3，所以数列a,}是等比数列 ,0=3 所以0,4，a0是首项为 ，公比为3的等比数列. 3*(1-3)3*.(3"-1) 所以0+a++a0=1-3=2, 32-3030(3"-1）3(3"-1) 所以2 2 2 所以k=10 8已知数列a满足4+2a+2a,++20= (1)求数列 {a} 的通项公式： 10/58 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ②求数列a的前顶和3 2n-1 【答案】(1)0n= 21 ②S,=6-2n+3 2 【分析】 【详解】（由题意，当”=1时， a-1 a,+2a2+…+2"-an=n2 ①， 当n22时， a+2a+…+2-2a1=(0n-102 ②， 0-②得2a,=2n-1,即a=2” 2-1 当1时211-4，收数列包的通项公式为以， 2n-1 2-1 ②及=aa++a+++ 2n-1③， 13，,2n-3,2n-1 2=2+2++ 2-+ 2”④， @海-1宁…)安 化简得29，=32+3 2”,即S,=6-2n+3 2- 9已知影列a满足2a+12a+2a++中2”背 1 23 2an+13」 ①求a,的通项公式 ∫1 （☒设数对山的前n项和为江，起质：号<子。 11/58 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3n-1 【答案】(1)an= 2 (2) 因为%，÷3n-1 2· 品高 -0g2】 报2 又因为neN,所以032对，所以子Z<号 2 3 【分析】 1 2 3 +…+ 【详解】(1)因为2a+12a+124,+12a,+13, 11 当n=1时，2a+13,所以a=1 12,3 当2时2a2a+2a++”7-/ 2an-1+13, 两武相藏可得2边1了兮5，所以当之2时，8一识， nn n-1 1 2· 综上，4n= 3n-1 2； (2)略 >题型03等式含0，与5或“.与VS。+S 多杰)已数条数，前为，日”2 12/58 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.%-1 B.S+52=2S C.ddm D.552=2% 【答案】ABC 1=2S, a1+ 【详解】令n=1,则4，得4=1（舍负），故A正确： =2S,所以S.-S+ 1 因为0n+ an S-S -=2S,n22,得s2-S2=1,n22 则数列S}是以1为首项，1为公带的等芜数列，故5+S=2S,散B正确 易得=”，则以，-历，则8=8-5=质-n,n≥2 因为符合上式，版“，=-司 因为f)=--G-可+可 1 √x+Vx-1 √x+√x-在[，+∞)上单调递减， 所以2>a,故C正确： 因为=V5.2=4,所以85≠2S,故D错误 11.(多选)已知数列 }各项为正，前”项和为5，若 2anS=an+1 ,则下列结论正确的是() A.4=1 B.数列S为等差数列 111 -≤2Sn-1 C.数列a,}是单调递增数列 D.S S2 S 【答案】ABD 【详解】已知数列 各项为正，满足2a5,=a+1 当”=l时，2a=g+1 13/58 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 即91 ,a1=1 ,故，A正确： 当n≥2时.a=-S,则25.-5)，=（③.-S广+1. 化简整理得-S,=1 S=a2=1 又 一5是首项为1，公差为1的等差数列，即S=”,枚B正确： S=n,数列a各顶为正，则=顺 当n≥2时，a,=S,-1=n-vn-= 1 n+vn-1 当”=l时，a=1=i-v6 满足通项， 1 0n= √n+√n-1 1 随着n增大，n+n增大，故a,n+n可递减，故C错误： 1+1+1s28.-1 已知，=Vn,证明SS,“S 即证明名Es2n- 当n=1时，1≤2-1=1，成立： 2s2R-1 假设n=k时，名 贷1≤2R-1+ n=k+1时，名万 2R+1≤2k+ Vk+1,只需证Vk+1 两边同乘中1得2√(k++1≤2(k+) 即2V+k≤2k+1 14/58 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 平方后化简得4k2+4k≤4k2+4k+1,成立， 故不等式对所有正整数n成立，故D正确. 12.已知数列a的前”项和为，成+a=0a, 则4 1 【答案】-56 S+a=0am=S-S 【详解】已知 ,且 所以3n,+91-3=0 ,两边同除以” 1-1=0,整理得：S1S 则l1+snsi 11 =1 1 由a=1得S,=a=1,故Sn是首项为1，公差为1的等差数列， 因此：1+u-0x1=n05= 1 n 111 an=Sn-S= 当n≥2时， n n-1 n(n-1). g片g名 所以 1B3.已知正项数列a}中，a=,a-+,neN (1)求数 a,} 的通项公式； 1 bn二 1T.<2 1 (2)设”a,若T,=bb+b,h++b,b,证明：3 【答案】(08，=2n-1 15/58 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 11 b= (2)证明：因为”a,2n-1, 11(11 所以b6.n2n-l2m+022n-12n+1》 1 因为2m+1>0,所以72， 1 因为数列{亿，}单调递增，所以7，≥了=3， 所以3≤工.<2： 【分析】 【详解】山因为+反，所以5，=+瓦 所以+S-S)=S+5. 所以S反=1 又=1 所以数列风是首项为1，公差为1的等差数列， 所以V反=引+a-》=n,所以3= 当”≥2时，a,=,-5=n2-m-2=2n-1 a1=S=1 也满足上式， 所以数列a,的通项公式为4，=2m-1 (2)略 16/58 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 >题型04累加法 重 a 14.在数列{an}中，a,=9,an1=an+2n,则n的最小值为 【答案】5 41=9,a1=an+2n 【详解】因为 antl-an 2n ,所以 a。-a1=2(n-1）a-an-2=2(n-2）a-2-a-3=2(n-3) 02-41=2 …, 这n-1个式子相加可得： a-4=2+2+3+…+a--2xa-4a-刃=aa-） 2 所以2，=n(n-1)+9 9 所以n n n 当且仅当n=9 即1=3时取等，所以分的最小值为5 故答案为：5。 15.(多选)传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排 列的形状把数分成许多类，将图中的，6,15,28，称为六边形数，将六边形数按从小到大的顺序排成数列 {a},则(） 17/58 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.445 B.4=122 C.tox-a. 是等差数列D. a+1>an0n+2 【答案】ACD 【详解】在数列a 中，有4-4=5,4-4=90-4，=13 进一步，得0-4=1+1x4.4-4,=1+2×4a-4,=1+3x4 所以可以得到递推关系：a-a,=1+n:4na1-Q,=4n+1 即 设数列a1a bn=an-an =4n+1 b=5 的通项为 则当≥2(aeN时.6-b=4n+1-[4n-)+=4 an-an 所以数列 是首项为5，公差为4的等差数列，故C正确： 当”≥2aeN）时，a=a,-a+a-a)++(a-a)+a=(4m-3+(m-7++5+l n[l+(4n-3】-2-n 显然4=也成立，所以2=2-。 可得%=2x52-5=454,=2×82-8=120 故A正确，B错误： 因为-a,a2=[2(n+-(n+]-(2m2-n)儿2(n+2y-(a+2)=8m2+12n+1>0, 所以>a,a,故D正确 16。若数列4,4-4，，a。-a,…是首项为1，公比为3的等比数列，则数 a}的通项公式是 【答案】a,=3”-1 2 18/58 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】由题意可知a,-a=3,(n≥2，n∈N) 1-(1-3）3”-1 所以a,=4+(42-4)+…+(a,-a,)=1+3+…+31= 1-32， 4 满足上式， 所以0，=3”1 2 3"-1 故答案为：an= 2· 1 1n,在数别a}中，4=2,8=a.+a+可，则4s 6077 【答案】2026 【详解】因为 aand. 11 11 则aa=1-4a23,,0 nn+l +1,所以46=3-、1=6077 n+1,041=3、1 累加可得01-a=1-1 202620261 6077 故答案为：2026 18.在数 a中，a=1,a,=3,且数列a-a,是公差为2的等差数列. ①求数列a的通现公式 1,1,1 1 +++…+<2 (2)求证：aa,aan. 【答案】()9，=n2-n+1 19/58 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)证明见解析 【分析】 【详解】(1)由数列 an-an 是公差为2的等差数列，且8=14=3 则0-a,=4,-a+(n-小x2=2+(n-1)×2=2n 所以8，=a+(a-a)+(a-4)++(a-a,) -1+2+4+20-1）=1+2xa-0+n-=m2-n+1a≥2). 2 又4清足上式，所以2=-+1 111.11 (n22) (2)由(1)得，a。n2-n+1n(n-)n-n =1<2, 当n=1时，a 上+L+L+1<2, 综上，4a2a3an 19.已知数列a,为正项数列，且4=1，a-=2m+1eN） ①求数列a的通项公式： ②今6=（旷a,+3”,求数列}的前2加项和5 【答案】)，=n 2m1-3 (2)S2n=n+ 2 【分析】 20/58 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解1(1)解法-（构造常数列）：由-a=2n+1=(a+-(aeN）,且4=1， 可得0-(n+1=G-m2==a2-1=0 故数列女-m}是恒为0的常数列，所以心=】 又因为数列a}为正项数列，所以，=nm∈N） 解法二（累加法）：由题意得：n≥2且n∈N, 有时-a=3,g-a店=5.…。-a2=20n-1)+1=2n-1 将以上各式相加，得心-a=3+5++(2m-)=-3+2n-=-1, 2 海91 an=n2 代入上式即得 且当”=时也成立，所以= 又因为数列a}为正项数列，所以”，=m咖∈N） ②)由4)可符2=（少：n+3”,令.=(1少n,其前2n项和为， 对在意的keN,6+c4=-(2-)+2k=1,则。=1Ka=n, 又因为3+3++3”=30-）30-)3-3 1-3 2 2, 32m+1-3 所以S2n=n+ 2 题型05累乘法 20、已知数列包}满足4=2,6=。 ”a,，且b}是公比为2的等比数列，6=8，则4，+4，=（） A.22+229 B.221+228 C.222+228 D.221+229 21/58 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】A 【详解】由题意知么}是公比为2的等比数列，么=8。 则5，=么×23=8x203=2” 故当n2时.6=2。 an-1' n(a-1) 则-282香4=222=？ 1(0-1) 当n=1时，a1=2=22也适合上式， n-)4 7-4188-41 故0n=22,则a+as=22 +22 =22+229 故选：A 21.数列a中，4，当n≥2时，4=2a,则数列a的通项公式为一 n2+n-2 【答案】an=22 n=2"an-1n≥2 【详解】因为 所以 4=2=2,21=2,,9=2, aa- a-22,an3 ,a1 0，.01.024=2.2-.2-222 累乘得a,1a-2a-34 n≥2’neN (a+20n-n2+n-2 am=22=22 所以a, ,n≥2，n∈N n2+n-2 由于a,=1,所以a,=22,n≥2，neN 2+n-2 显然当n=1时，a,=1满足an=22, 22/58 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 n2+n-2 所以an=22,neN n2+n-2 故答案为：an=22. dus =2n+3 (neN) 22.己知数列am}满足4=3，且a,2n+1 )求数列a,} 的通项公式： (2☒)设6- 3,求数列{bn}的前n项和Sn· a=2n+1 【答案】(I) (②)Sn=2-n+2 3” 【分析】 an2n+3 【详解】(1)因为4=3，且a,2n+1, 2n+1.2n-1.3=2m+1 4001402m-2m-3写 所以当n≥2时，”am-a-2a1 又93 an =2n+1 n=2n+1 也满足 ，所以 (2由(1)知：6=%=2n+1 3”3” 35,7,,2n+1 -3++罗++ 3”，① 3*1，② 画.3：81+2+安++) 2n+1 3+ 23/58 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 11 =1+2 323*H 2n+142n+4 1- 3H3 31, 3 所以，=2-n+2 3n· ◆题型06 加减常数构造或加减/(“）构造难 23.对任意正整数u有0,1+20，=3训-2 且为严格增数列 a,}的个数是（） A.0 B.1 C.2 D.无穷多 【答案】B 【详解】因为0+24，=3n-2 ，所以2-a++1=-2a,-n+) 所以a,n+1 为等比数列，首项为4-1+1= ,公比为2 所以0。-n+1=4(←2》 ,即0=a(-2+n-1 tan 因为为严格递增数列，所以 VnEN,am-an>0 恒成立， 即meN.a(2y+n+1-1-[a(-2+n-1=-30(←-2+1>0 恒成立， 所以当”为奇数时，-3a2+1> 恒成立，且当”为偶数时， 3a·2"+1>0 恒成立， 1 当n为奇数时，4<3x2恒成立， 因为3x2随n的增大而减小，所似0<，)s号。 3×2可二3，故a≤0， -1 当n为偶数时，a>3x2恒成立， -1 _1<-1 因为3×2随n的增大而增大，所以63x2云<0，故a≥0， 24/58 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 所以90 n=n-1 ，故 所以满足条件的数列'的个数为个 故选：B 24.已知数列a,满足“1=30，-1,41，则0，- 3"-+1 【答案】2 【详解】因为01=3a-1,则 11 且a=1,则4220 1 可知数列( 2是以2为首项，3为公比的等比数列， 11 3-1+1 则am22 31,即a= 2 25.已知数列a中，a=3,a=2a,-2n+3,neN,S为数列a,的前项和，则数列a的通项公 n= S8= 式 【答案】 2"+2n-1574 【i详解】因为0=2a,-2n+3a=3 则04-20a+0+1=2a-2m+,且4-2*1=20。 可知数列a,-2n+1少是以首项为2，公比为2的等比数列。 则0-2n+1=2x2=2” 即%=2”+2n-1 25/58 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 可得5=(2+)+(22+3)++(2+2n-） =(2+22+…+2）+(1+3+…+2n-1） 20-2）n+2n-0-22-1)+m, 1-2 2 所8=2(2-+82=574 故答案为：2”+2n-1:574. 26在数列a中4=，4=2a,+n-1.neN心 Q)证明：数列a,+心是等比数列， (2)求数 a,的通项公式”， )求数列a, 的前”项和公式5 【答案】(1)证明见解析 ②0，=2”-n (3③)Sn=2-2-(n+l) 2 【分析】 【详解】（山a++)=2a,+m-1+m+1=2a+2n=2a,+川），又+1=2， 一数列a,+m叫是以2为首项，2为公比的等比数列 (2)由(1)得：a,+m=2×2=2”0,=2”-n 由2每：及=+2+2++20）0*2+3++a=20-2）.-2-2a+0 1-22 2 26/58 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,{an} 27.已知数列满足 a1=1,an+1=2an+n-1 an} (1)求数列 的通项公式： ②若数列6}满足6，=%，十” 2”一，求数列b}的前n项和Tn 【答案】(0)0，=2"-n (2)n 【分析】 {an} an1+n+1=2(an+m)）a,+1=2 【详解】(1)数列中，由 an =2an+n-1 ,得 ,而 因此数列a,+ 是首项为2，公比为2的等比数列， an+n=2×2"-=2" {an} 所以数列 的通项公式是9，=2”-n b,=1 T=n (2)由(1)知，所以数列”’的前n项和 题型07同除法或取倒数法 1 an 28.已知数列a,}的首项42，且满足 -2a,+1,则a,=（） A.12 1 B.10 C.10 D.12 【答案】A 0,1-1=2 【详解】由题意可得： dns=2d+1 ar da 令bn= =a,则可得：b1=b,+2' 所以，是等差数列，公差为2 27/58 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 又因为4=2→6=2，所以6=么+0m-1d=2+20a-1)=2m, 11 所以双友2 29,已知数列a,中，a=laa=a1-a,n≥2neN. ,则0=（) 1 1 D.8 1 B.10 C. 【答案】B 11=1 【详解】由a,a1=a1-a,’得ana 1 所以数列an是以1为首项，1为公差的等差数列， 1 =n,an= 1 所以an ”,所以。10. 故选：B 4S, 30.已知数列a}的前n项和为S。,若 38.+2，且4=1，则8，= 2” 【答案】3×2-1 4Sn1-3Sn+2_1.143 【详解】由538.+2→S48,2S,4 1_3-11_3 即Sn122S,2,因为S,=a=1, [13 所以数列S。2是首项为2，公比为2的等比数列， 28/58 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 13 1)” 2" 即S,2 2), 所以S,= 3×2-1-1. 2” 故答案为： 3×2-1-1 31,数列a,满足4=24=2a,+2,则数a的通项公式为2， 【答案】n2” 【详解】由题意知=20，+2 将等式两边同时除以2， 可得岩-是+1，因为4=2，所以可知受 =1 an a 则数列2”是以2为首项，1为公差的等差数列， 所以2会=1+-)=八，所以a,=n:2 故答案为：n2” 32.(42简单的递推数列)已知数列{a,}中， 电，4=l01=8- an+3,求am. 【答案】0，=2-n n a+1+1=0,- +1=20,+2 【详解】 0n+ an+3, 1=a,+3-(a.+l)+2_1+1 所以a1+12(an+1)2(a。+1)an+12, 1=1∫11 又a,+12,则a。+1是首项为2公差为2的等差数列， 29/58 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 11 2-n 相a+2”,故2 n. 33.(热点专意7-1求数列的通项公式【14类题型汇总】2)在数列a,}中，已知0+a,=32,4=1 求口的通项公式 【答案】0，=2”+(-1)” 【详解】由01+0。=3 2,得%1-21+0，=3-2”-21=2 整理得%1-21=-(a.-2） 所以a2”)是首项为”-2=-1，公比为-1的等比数列. 故a-2=(x(P=（,则4，=2+（少 题型08 因式分解法 34.已知数 a的各顶为正数，且4=2，a-a,a(+a=0≥2），则4=() A.a,=n+l B.d =2n C.a,=3n-1 D.g=+1 2 【答案】A 【详解】因为数列a的各项为正数，且4=2，心-aa-+)a=0≥2). 故当n≥2时.[ma,-(m+1)a](a,+a)=0 由题意可知.对任意的”eN,a>0,则2，+a>0,所以，a,-(a+1a=0. an 则有品=会，所以，数列 为常数列， 30/58 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 放品号1，所以a,=+1 故选：A 35.设数列 的每一项均为正数，且41，且有4+1)d。m+2aa=0,则4， 1 【答案】192 【详解1因为4r+1)c-m心+2a,a=0.则[2a+1ea-a,](2a+a)-=0 对任意的nN,a,>0,所以，(+1)a=20, 令bn=na,所以b1=2b,故{，}是以首项为1公比为3的等比数列. 1)31 1 所以， 6a6=b,=l 2=32,故=192 1 故答案为：192 G正数数@2一清足g-a心=0a22个女.的 Sn 项和为”. ①求数列a}的通项公式： a东：-e ,并应用该结论求S: n！ Cm=- 1+ 1一十… (③)已知”m(n-m且Cio+C3+…+C8:=2w-1,求d,d,a, asoa51的和. 【答案】0，=1 31/58 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (②证明见解析，S,=1- n! 2100-1 ③101 【分析】 【详解】1)因为-(n-a,01-nd=0a≥2） 所以a-ma.+a)=0,又a.>0 an=n 所以a。-na=0,则a1”, =2,5=3,a2 所以a a4=n-1, 所u2-2x3x,又a=1小所以2=2×3KH=a 11k+11k (2)因为等式右边k！(k+!(k+!(k+)!(k+)!等式左边， 日石k:N b=”-1-”-1-”1=11 又ann!n！n!(n-l)！nl a以-量安-d n! 1 101! 1 1 (3)因为 1k100!2x991+…+ 50x51! 101!,101! 101! 1×100！2x99！ 50x51I =C101+C%01+…+C0=2100-1 32/58 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1+1++1 所以a,a0a,a9 a50a51 1 1 1210-1 1×100!'2x99！ 50×51!101！1 37.设正项数列a,满足a=l,且a-(a+1)a=n+n(neN) a】 (1)证明：数列n)是等差数列，并求数列{an}的通项公式： 1 @设么一2反，求汇：数列收}的n项和< b=- d=n 【答案】(1)证明见解析： (2)证明见解析 【分析】 【详解】(1)因为 a1-(n+1)ai=n2+n=n(n+1) 所以-g=1 、n+ln 又a=1,故1 a 所以n是首项为1，公差为1的等差数列， 放=1+-x1=,则a,=n n 因为数列口 是正项数列，所以，=” 11 b= (2)由1)得2√a2n, 1陈，=A分 33/58 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 11 1=n-n-n-n-_11 当n≥2时，6,2 nm=nCVn+mNn+a-n<nn-司n=a, 成位动是. 综上：S<2 题型09已知前n项积 38。设数列a,}的前项之积为7，且log:工=m,-, 2 n∈N.则数列{a}的前n项和S。= 【答案】2”-1 【详解】因为log2T,=nn-) (-) 2一，所以T=22 则4=7=2°=1 n(n-1) 22 a2可=2"， 时，a。-T) 也适合. n≥2 a=1 所以4=2叫，为等比数列，.三一)=2”- 故答案为：2”-1. antan=2 39.设T为数列{a}的前n项积.己知TT )求a的通项公式： (2)求数列(2n+3的前n项和. 2n-1 【答案】(1)a.=2n+1 34/58 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 n (②6n+9 【分析】 T是以1为首项，2为公差的等差数列，则T =1+(0n-1)-2=2n-1 【详解】(1)依题意， (2n-10a2=am 即(2n-1Z=a,’当n≥2时有(2n-3)7=a1'两式相除得，2n-3=a 2n-1_1 2n-3 显然7，≠0：即a.≠0，因此当n≥2时，2n-3a,即a2n-, 2n-1 所以数列{a,}的通项公式a,= 2n+1 （设时的前n顶和为S,由4有，无治，于现=2中 an 1 111 因此2n+32n+1X2n+3)22n+12m+3, 1,11,11 11、1,11 则5.-25557++2n+12n+3-252n+332n+3 n 所以数列2n十3前n项和为6n+9 1-Sn-1 40.设S,为数列{a}的前n项和，T为数列《S,的前n项积，已知T。S。 S S2 (1)求， 1 (2)求证：数列Sn-1为等差数列： (3)求数列 a.} 的通项公式。 3 【答案19=2：5-2 (2) 35/58 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1_Sn-1 对于元=S。① 1-Sn1-1 当n≥2时，TS1②， T=S,-1x S=1 ①②得T=S。S-S' -X- 即5，-1=8.1S11 ，9-5g+1 1 又g1, 〔1 :数列S,-1是以1为首项，1为公差的等差数列： 2,n=1 39s 1 n(m-n≥2 【分析】 1_Sn-1 【详解】(1)由T,S。,Sn≠0且Sn≠1， 1S-1_1 当n=1时，TSS,得S=2 1_S2-11 当2时。石站得5=： (2)略 1 =1+(n-1)=n (3)由(2)得S。-1 .S=+1, n 当2.a=或-成-. 36/58 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 a=- 又n=1时，4==2，不符合n(n-), 「2，n=1 ∴.an= 1 n(n-n≥2. 41.设各项非零的数列 的前项积为，则.=a4,0,且满 2a Tn an+2Tn (1)求数列 T} 的通项公式： 日老么生，果数}的前项和5 n 【答案】四7，=2+l,neN (②)4、+4 2 【分析】 【详解1（山当a=1时I=4所以2=7+27，解得- 21 T2+2T, 1 当n22时， 0n一T1,得Tn-1 2红=1+2→T--2 T T- 3 “亿，}提以为7=2首项，d=2为公差的等差数列 +-，meN 3 (2)当m=1时，7=a=2: -T,=n+2 当n≥2时，a7六n+i 综上0，-”+2 n+1,nEN' 37/58 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 n+1 n+2 ∴.bn= 20ns 2” 解法心2+++ 34 2” ① ,n+1,n+2 2”+2 ② 由①-②得 1 n+2 2”2* 2 1-1 2n+1 =2-1_n+2 2”2 Sn=4-1_n+2 2-2 4n+4 2 解法二：6，="+2_n+3n+4 2”-2"-12" 45,56 S。=b+b,++b。三202+222++”+3n+4 22” s4n+4 2 广题型10形如：=+9求逼项公式难 1 3 42.已知数列{a.}满足a2=2a1+30,，a=2,4=2,则{a,}的通项公式为一 1 【答案】02×3 am2 =2am+3an 【详解】由 得4t4e30+323a+4g%+02 故数列a.+a是以2为首项，3为公比的等比数列， 故91+0，=2x3m- 38/58 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 所以0n1- x-a-) 2 1 设么，=a,2×3，则b4=b,又么=4-2x3=0, 所以数列{色，}的所有项均为0，即0×3=0， 所以a,=2 1 故答案为：0，=2×3” 43.已知数列a,满足0=3a,-2a(n≥2，neN),且4=0a,=124,则4，= 【答案】4 【详解1由2=3a-2ac”≥2，neN),可得-a=2a-a）,若0a=0 则0=0=4=0 与题中条件矛盾，故8，-010 antdn=2 所以a。-a- a1-an}。 即数列 是以，-“为首项，2为公比的等比数列， 所以80n=421 所以8-a=(a-a)+(a-a)+(a,-a,)+(a,-a)+(a,-a） =a22°+a22+a222+a2·23+a224=31a2=124 所以马4 故答案为：4 44.(第三篇数列、排列与组合专题9发生函数微点1利用发生函数解决数列问题)已知数列 a}满足递 39/58 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 推关系武：a,=5a6a,且4,1,4=-2，求数列a的通项公式 【答案10，=5：2-4-3*(m=01,2） 【详解】已知递推关系式的特征多项式为：1-5x+6x2,且6，=4，=-1么=4-G4,=-2-5=-7 ，且 1-7x 1-7x54 数列{a}的发生函数为： f(0)-1-5x+67-2x)0-3x1-2x1-3x, f2-43r-252-4r, .an=5.2”-4-3"(n=0,l,2,…） 45.《多选)已知数列a,}的前”项和为5，且满足4=1,4=4.0=a,-3a(≥2，n∈N）,测下 列说法正确的有() A.数列a-a为等比数列 B.数列a.1-2a,为等若数列 3”-1 C.an= 2 D.3=3”-2n-3 4 【答案】ACD 【详解】A由条件4u=4a,-3a.(a≥2，neN）,可知，0-a=3a,-a), ant-an=3 且4-a=3,则a。-a1,所以数列{a1-a,}为等比数列，故A正确： B由条件可知， a3=4a2-3a1=13a4=4a3-3a2=40a2-2a1=2a3-2a2=5a4-2a3=14 ,数列 {a-2a,}的前3项2,5.14不能构成等差数列， 所以数列a-2a,}不是等茺数列，故B错误： 40/58 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C由A可知，0-a=3”,所以0≥2时，a=4+(4-a)小+(a-4)++a,-a) 0。=1+3+32++31=1-3”_3”-1 1-3=2,4=1也适合，故C正确： 6南c阿®9h6-3++t产 2 2 31-3 所以s=1=} -n31-2n-3,故D正确， 2 4 故选：ACD 题型11奇偶数列求通项公式 难 an+l,n为奇数 46.已知数列a,}满足4=2，a= an+3,n为偶数，记bn=a2n,则() A.6-2 B.9=6 c.b-6=4 D.6=3n 【答案】C an+l,n为奇数 【详解】因为a,=2, an+1= an+3,n为偶数， 则0=4+1=3.4=4+3=6a,=4,+1=7 =a2=3b2=a4=7 所以 ,所以A、B错误： azk=azk+3 a2k+2=azk+1 kEN" 又因为 则0=a+4,即=么+4.即-6=4 ，即 ,故C正确， .} 可知数列”是以首项为3，公差为4的等差数列， 所以么=3+4(n-1)=4n-1 ，故D错误， 41/58 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 故选：C an+1,n为奇数 47.(多选)已知数列{a,}满足4=儿4=2，a2= 2an,n为偶数，记数列{an}的前n项和为Sn,则 () n+ 2,n=2k-1 kEN A. B.d= a5<a6 22,n=2k, C.S21-1= +'+2-2,teN 2 D.S.=2L-LEN 2 【答案】ABC 【i详解】因为4=4=2,02= an+1,n为奇数 2an,n为偶数， 所以当”为奇数时， 0n+2-an=1 即数列a}的奇数项按先后顺序枸成首项为41，公差为1的等差数列。 记为数列 ,则5=1+6-1= n+2=2」 当n为偶数时，a,≠0：且 即数列a,的偶数项按先后顺序构成首项为”，=2，公比为2的等比数列。 记为数列 ,则9=2×2=24 5=2×3-1,6=2×3 {b} 对于A,因为 3,所以”是数列的第3项， a是数列C的第3项，所以4=6=3，a=6=8,所以4<a,故A正确 对于B,当n=2k-LkeN时，k=", n+1 2,0,=b=k,所以0=2： 42/58 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 当n=2kkeN时，=号：a=6,=2,所以a=2, 综上，4=2，n=2张-1 n+1 keN' 故B正确 22,n=2k, 对于C,S=(a+a++a)+(a,+a,++a） =(b+b2+…+b,)+(G+C2+…+C-)=(1+2+…+t)+(2+22+…+2-） -+业，20-2）++2-21eN 2 1-2 2 故C正确. 对于D,由c知S1-f'+2-21eN. 2 所5-+a-2小2=2m-2eN (2 2 故D错误 2an+1,n为偶数 48.已知数列{a,}满足4=，且，1a.-3,n为奇数.设S.表示{a,}的前n项和，则S= 【答案】78-23（或-8114） 【详解】由题可知，aH=2a,:+1,0:=01-3k∈N 消去s得，a=2a-3)+1=24-5→a1-5=2a-5) 所以a一5}是以2为公比，首项为4-5=4 的等比数列， 所以05=-4-21→a1=-42+5 43/58 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 所以4+a+a,+…+a。= 40-29）+5×10=54-22 1-2 当k≥2时，：=a-3,=2a2+1 消去得，a=0-3=2a+1-3=2a-2 则得0：-2=2(0-2-2) 所以a-2乃是以2为公比，首项为4-2=13-2=4 等比数列， 所拟4-2=-421→4=4-24+2 所以4+a,+a,+…+a0= 40-29）+2x10=24-29 1-2 所以5n=(a+a+a,++ag)+(a,+a+a,++a) =54-22+24-22=78-23 an+1 49,若正项整敛数列口}满足，8， 2,0为奇数 2a,+1,a,为偶数，己知a4=3,则a的所有可能取值的和为 【答案】24 04=3 【详解】因为， a3+1 当时，a= 2 4,为奇数 ，解得 n=3 2a,+1,a为偶数 43=5 42+1 时，4，=2,4为奇数 当 解得或 n=2 2a2+1,a,为偶数 =94=2 44/58 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 a+1 当 时，4=2,4为奇数 解得 或 或 n=1 2a+l,a为偶数 a1=17a,=4a1=3 41 17+4+3=24 则的所有可能取值的和为： 重难·创新演练 设题创新：融合Sn与an互化、取倒数、累加、因式分解等通法，增设参数求值取舍、子数列等差 等比判定、奇偶分段递推，多式联立变形转化基础数列，强化分类讨论与递推泛辑推导。 1.记5为数列a的前”项和，已知，+2a,=+4加-2 ()求a,的通项公式： (2求数列口，（3}的前n项和工。 【答案】(”=2n-1 a-g旷是 【分析】 S+2a n2+4n-2 【详解】(1)因为 所以51+2a1=(n+1y°+4(n+1）-2 两式相减并整理得30,1-24，=(u+-n2+4=2n+5 则3a-21-=2(a,-2n+1)） 当”=时.31+4-2=3，则41 45/58 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 所以9-2+1=0 所以数列a,-2加+为首项为0的等比数列，放各项均为0，则4-2n+1=0 所以=2n1 (2由1)知，a,（-3=(2m-)小(-3y 则7，=1(3)+3(-3++(2m-小(-3). -3江=1-(-3+3(-3}°++(2n-3)(-3”+(2n-1)-(-3)1 两式相减得47，=2[(-3)+(-3)+(-3)++(-3]-(3)-(2m-1)-(-3) -2.3)3+3-2m-1(3 1+3 -G2n(-3+ 支-8旷号 之.【新角度】已知等差数列a的各项均大于零，前项和为5，且4，=SeN,n2） 求数列a的通项公式和前u项和5。 (②若不等式5，+2之(-少：以对任意”∈N,n≥1恒成立，求实数无的取值范围。 【答案】(0=2n-1S,=n 2 【分析】 46/58 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解1等差数列a,}中，=SaeN≥，则5， 故5，-2m-lg+l.2a-)2a=(2n-a,=a. 2 2 :a>0÷a,=2n-及-%+a加=2 2 (2):S,+2≥-少2对任意neN,n21恒成立， :+22(I少：n对任意n∈N,n≥1恒成立。 当n为奇数时，+九2-M”:≥ 一n+1对正奇数恒成立 a==2-leN≥0， 人b.2-b,=n+2）yn22m8n-4<0 n+3n+1(n+3)(n+1)对正奇数n恒成立， 6>么>h≥…>b之…6=4=分22 1 2 当"为偶数时，n2+222:1s、1》 n-1对正偶数n恒成立. 设c=n=2k,k∈N,k≥) :C+2-Cn= (n+2}2n2.2n2-4 n+1n-1+1)n-)>0对正偶数n恒成立， 6<g<c<<<…,:em=6=4,:s4 综上.4 3.〔2026-江苏苏州模拟预测)已知数列a的前”项和为3，若5+5-28-a,a(a≥2neN） 47/58 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 a=1,a=2 ④⑩求a,的通项公式 国记数列a4}的前n项和为，正明：工<星 【果】a-月 (2)证明见解析 【分析】 【详解】（山因为+S.=2,-a,an(n≥2neN)】 所u5-28,+=-aaa≥2neN）,m55-S-S)=-aa(a≥2，neN） L-1=1n≥2，neN), 所以a1一a,=-a,a4由题意知a,≠0，所以a,a, 1 1 11 所以数列口≥2》是以a2为首项，公范为1的等差数列，放d。 +n-2=n 即4-片≥2neN),又因为n=1时，4=1，满足该式，所以a,=aeN) 1 111 a,2Fn+2)2nn+2] (2)因为 所--}目+日 0g44 0,所所u 3 因为n+1n+2 4.【新考法】(2026河北邯郸三模)已知数列a,中，4=4，a,=”(为常数，1eN), 48/58 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 且”，4，“是公比不为1的等比数列 ⑩求数列a,的通项公式 1 (2)求数列an+4(n-1)的前n项和Sn 【答案】0，=2m2-2n+4(meN) n (neN) 【分析】 【详解】()a1-0=n 又94 a2=a+元=4+元a3=a2+22=4+3元 ,故 因为%，4,4成等比数列，所以(4+八=4(4+3），解得=0或元=4 当2 0时，8=4=，不符合愿意，合去：故2=4 当≥2时，由于4-4=1,4-4=21.，0，-a1=(n-1)2 相加可得a,-g=[1+2+…+m-1]2=n-少元 2 又4=4无=4故a4+g4=2na-+4=2m-2n+40a≥2) 2 当n=1时，上式也成立， 所以，=2n2-2n+4(n∈N') 四直4可群4+°20投 1 49/58 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 所以数列an+4(n-1)的前n项和 30Gg》+中】e) an-1 5已数到满e5,2,.≥2，eN,设8. ①证明是公差为2的等差数列，并求数列a} 的通项公式： (②设数列 的前项和为B,求数列8，}的最小明以及该项的序数。 【答案】)证明见解析，a。=2n-17 (2)最小项为-64，相应的序数为8. 【分析】 1=2+1 【详解1（山在8,2a+1两边取倒数，有82+a≥2， 即6-61=2，因为4=1=-15. a 因此么是以么=-15 为首项，以d=2为公差的等差数列 所以。=+n-12=2n-7 1 所以数列{a,}的通项公式为a,2n-17 (2由4)可知6=2n-17.所8，=15+20-17m=ma-16. 令f四）=nn-16 该二次函数开口向上，对称轴为”=8， ，所以 (n)mn=f(8)=-64 新似效别a)的辰个现为4-528。从，相应停装为艾 2 50/58 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 6（2026湖北荆州模拟预测)已知数列{a,}的前n项和为S,且S=2S=12 n+201, -e8). (1)求数列 的通项公式； () ②已知c,=1og,b,求数列c1-c.的前n项和T,: 【答案】0)4=2” (②7，=-1+(-1)”vn+7 【详解】（山)因为5=产20，所以a+2]9,=m 因为0=1-8，所以+2)9，=m(S-S)】 即nSn1=2(n+1)S,所以n+1 S=2.S(neN）,即b4=2h. 又4=S 2,所以数列6是首项为2，公比为2的等比数列，所以么=2 {b} (2)因为b,=2”,则cn=Vn.所以c1-c 少-(y(+i+) 当n为偶数时，T=-(5+小+(5+2)-+(V+1+同)-a+i-1 当n为奇数时， I=-(2+l+(N5+2)-…+(Wn+n-可-(n+1+vn=-n+1-1 综上所述， T,=-1+(-1)°n+1 d =24n=2k-1,kEN 1 7.已知数列{an}满足a=2, a.+2,n=2k,k∈N，设{an},{an}的前n项和分别为S,’Tn 51/58 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ①试求4，“的值并探究5与7的关系 T (2当"≥2。 2m-1 时，试求的通项公式 ⑧)试求5“的值。 【答案】①4=1.4=3S=37 ②1=4- 1012 66072+3× 【分析】 (1 a,n=2k-1,kEN' an+1=2 【详解】(1) an+2,n=2k,k∈N,a,=2: 1 故4-24=1,4，=4，+2=3， 当”为奇数时， an=2an 2m=a1+a2+a3+a4…+a2m-1+a2m=2a2+a2+2a4+a4+…+2a2m+a2n 故 =3(a2+a4+…+a2n)=3Tn (②)当n≥2时，因为01=42+2= 203+2 所以04-44ns+2-4-240, 所以{a,1一4)是以4-4=-2为首项，公比为2的等比数列， 52/58 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4付”-传，mu4目 6)n之2时.图为0方4a+2小-1 所以4-2=a 4+1-2=ag-2). 所以{a。-2}是以4，-2=-1为首项，公比为2的等比数列， 防42-”，2目 的前2026项中偶数项的和为 a=6+a+a+*aw=2-周+2-+2-月+*2-月” =2026 i-ag =206-2-周=2m4-[日 8. 【新考法】《2026山东烟台二模)己知正顶数列a,的前”项和为，4，且 (S+1)a=(S,+1)a (1)求数 a,}的通项公式： 53/58 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 an (2)求数列Sn·Sn1的前n项和Tn. 【答案】(0)0，=2 11 ②7，=222-2 【分析】 Sn1+1_Sn+1 【详解】(1)由(S1+1)a,=(S+)an,得aa, ,n∈N S+1_S+1=2 所以a,a,即Sn=2a,-l,neN. 当≥2时.0或-5=2a-1)(a- an =2an-1 ,整理得 所以a是以4-1为首项，2为公比的等比数列，所以0，=2 a由得8=山 &01 2-1 所以品2品+ 11 整理得T.=222-2 )已知正顶数别a}满足4号2d+30-2d=0. )求a的通项公式： 54/58 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 b (2)记 1og,alog2a1,求数列b}的前n项和S 【案10 ②N= n+1 【分析】 【详解】(1)因 2a+3a,a.-2a=0,所以2a1-a,a+2a,）=0, 1 又{a}为正项数列，所以2a1-a,=0,即a1=2a, 又因为4=2，所以{a,}是首项为2，公比为2的等比数列， (2)由(1)知a 1 1 111 B.-Tog:dlog.d-n)-(+1)n(n+1) 所以 5=A+6++=》经》+日1-4 真题实战演练 高频考点：Sn与an退位作差互化；高考选择填空、解答题第一问高频考查，核心围绕Sn、an混合 式变形，侧重定义域辨析与代数化简热点。 55/58 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1.(2023天津高考真题)已知数列a,的前n项和为5，若8=2a=2S,+2aGN）,则0，=（) A.16 B.32 C.54 D.162 【答案】C 【详解】当n≥2，n∈N 时，0=251 2,所以0-a=2a,即83a, a2=2S1+2=2a1+2=6=3a 时， 所以数列 是首项为2，公比为3的等比数列， a,=a93-54 故选：C 2.(2026全国一卷高考真题)设实数9满足：存在数列a,使得对于任意”∈N,均有 4+a++a=+，且a中有某连续9项，，，是公比为9的等比数列.则9的最大 值为， 【答案】V2 【详解】令 =4+a+a,由题意符7=6+0--广+-切=2n, B 2n 因此每个三项块“的和为。 设这9项为 g,四，四，记C=1+9+寸白了C>0,且完经三项换和均为正 下面按k除以3的余数讨论 若k=3m+1(m之0)，这9项正好包含三个完整三项块， 56/58 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 得*C=2m+),9C=2m+2）)gC=20m+3》 m+1且93=m+3 于是9=m+2 m+2,矛盾，故这种起点不存在 若k=3m+2(m≥0)，其中两个完整三项块为第m+2块，第m+3块， 得gC=2m+2》9C=20m+》,所以9=mt3s号 m+22 若k=3m(m2),其中两个完整三项块为第m+l块，第m+2块， 得qC=20m+:9C=2m+2,所以9-m+2s号 m+12 3 3 综上9≤2，所95号.即9的质大值为 3.(2023全国甲卷高考真题)设5，为数列a,的前n项和，已蜘知4=1,25，=a, 求a的通项公式： an (2)求数列(2” 的前n项和T. 【答案】)”-1 2-* 【分析】 2S,=na 【详解】(1)因为 当n=l时， 2a=4,即9 4=0 20+4）=34,即4=2。 当n=3时， 57/58 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 当≥2时，25.=(-10a,所以25.-5)=m,-(a-加=2a 化简得-2a,=a-a4:当n之3时，名-台-受=1，即a,=n-, 2 当”=l2时都满足上式，所以2，=m-1(aeN） ②因为兰，所u-1-2+份++a =1+2++a-0+ 两式相减得， g旧北.g 1-(+.m2-2-e*n,心. 58/58