第一章 集合与常用逻辑用语、不等式（综合训练）（北京专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

**基本信息** 聚焦集合、常用逻辑用语与不等式的跨模块整合，以北京模拟题构建“概念辨析-性质应用-综合创新”的递进训练体系，渗透数学抽象与逻辑推理素养。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |集合与逻辑|7题（如选择1-3、10，解答16）|集合运算、充要条件判断|以集合为基础，逻辑用语连接概念与性质，形成“定义-关系-判断”链条| |不等式应用|7题（如选择4-7，解答17-18）|性质判断、最值求解、证明|从不等式性质到基本不等式，结合函数思想实现“性质-应用-拓展”迁移| |综合创新|5题（如填空15，解答19-21）|新定义（等比源数列、M序列）、跨知识整合|融合数列、函数与集合，通过数学语言表达复杂关系，发展创新意识|

第一章 集合与常用逻辑用语、不等式（综合训练） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题:本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A C B A D C B B C A 第二部分（非选择题 共110分） 2、 填空题:本题共5小题，每小题5分，共25分. 11.（答案不唯一） 12.4 13.3 14. 3（答案不唯一，） 15. ①②③ 三．解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 16.（本小题满分13分） 【解】（1）当时，， …………………………………………2分 ，所以， ………………………………………4分 所以． …………………………………………6分 （2）， 选①：“”是“”的充分条件．． 只需， 解得， 所以实数a的取值范围是．     …………………………………………16分 选②：“”是“”的必要条件．． 只需， 解得， 所以实数a的取值范围是．     …………………………………………16分 选③：对，，使得成立．． 只需， 解得， 所以实数a的取值范围是．     …………………………………………16分 17．（本小题满分13分） 【解】（1）∵ ∴又， …………………………………………2分 ∴当且仅当时等号 ∴有，即 …………………………………………4分 当且仅当时取等号……7分 （2）∵，，且由(1)中 …………………………………………9分 ∴ …………………………………………11分 ∴不存在，使得的值为 …………………………………………13分 18．（本小题满分14分） 【解】（1）因为，， ……………………………2分 所以,即， …………………………………………5分 当且仅当时等号成立，此时取得最小值3． ……………………………7分 （2） ……………………………9分 …………………………………………12分 ．当且仅当时等号成立， …………………………………………14分 18.（本小题满分14分） 【解】（1）是“等比源数列”， 不是“等比源数列”． 中“1，2，4”构成等比数列，所以是“等比源数列”； 中“1，2，6”，“1，2，24”，“1，6，24”，“2，6，24”均不能构成等比数列， 且这四者的其他次序也不构成等比数列， 所以不是“等比源数列”． …………………………………………4分 （2）不是“等比源数列”． 假设是“等比源数列”，因为是单调递增数列， 即中存在的，，三项成等比数列， 也就是，即， ，两边时除以得， 等式左边为偶数， 等式右边为奇数． 所以数列中不存在三项按一定次序排列构成等比数列． 综上可得不是“等比源数列”． …………………………………………9分 （3）证明：因为等差数列单调递增，所以． 因为则，且，所以数列中必有一项． 为了使得为“等比源数列”，只需要中存在第项，第项， 使得成立，即， 即成立． 当，时，上式成立． 所以中存在，，成等比数列． 所以，数列为“等比源数列“． …………………………………………14分 20.（本小题满分15分） 【解】（1）当时，，所以 . 由题意，相邻两项对应点的横坐标差的绝对值与纵坐标差的绝对值之和为1. 第一项为，第二项为，所以 . 即 .解得. 所以第二项为. 第二项为，第三项为，所以 . 即 .解得. 所以第三项为. 中共有4个不同元素，前三项已经是，，，剩下的一个元素为， 所以第四项为.因此 . ………………………………………4分 （2）以序列中的项为坐标的点记作， 连接这9个点共形成8条单位线段． 每条单位线段水平或者竖直． 因此8条单位线段中至少有4条同为水平或同为竖直． 不妨设至少有4条水平单位线段． 由于9个点排成3行，而每一行至多含2条水平单位线段，故至少有一行含2条水平单位线段． 这样该行3个点必被依次经过，于是中间那个点的前后两个相邻点都与它在同一行， 因此该点对应的项具有性质．故中存在具有性质的项． …………………………9分 （3）将序列中相邻两项连接，得到120条单位线段.把连续同为水平方向的若干条单位线段合并为一个水平线段，把连续同为竖直方向的若干条单位线段合并为一个竖直线段. 在序列对应的线段中，水平线段与竖直线段交替出现． 设水平线段数为，竖直线段数为，因为单位线段总数为120， 所以序列中具有性质的项的个数为． 要证． 只需证明． 因为每一行有11个点，每个水平段至少包含两个点，因此第行的水平线段数满足，即．所以． 同理．所以， 故序列中具有性质的项的个数不少于10． …………………………………………15分 21.（本小题满分16分） 【解】（1）由题意可得； …………………………………………2分 （2）经变换后得， …………………………………………4分 故． …………………………………………5分 （3）若，在的所有非空子集中，含有且不含的子集共， 经过变换后第一行均变为；含有且不含的子集共个 …………………………7分 ，经过变换后第一行均变为； 同时含有和的子集共，经过变换后第一行仍为； 不含也不含的子集共个，经过变换后第一行仍为． 所以经过变换后所有的第一行的所有数的和为 ………………………9分 若，则的所有非空子集中，含有的子集共个， 经过变换后第一行均变为；不含有的子集共个，经过变换后第一行仍为． 所以经过变换后所有的第一行的所有数的和为……12分 同理，经过变换后所有的第二行的所有数的和为． 所以对所有非空子集，的值的总和为， ………………………14分 又因为， 所以的值的总和不超过． …………………………………………16分 7 / 10学 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 集合与常用逻辑用语、不等式（综合训练） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题:本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（2026·北京大兴·三模）设全集，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，，所以． 2．（2026·北京顺义·三模）集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，，则. 3．（2020·北京东城·一模）在中，“”是“是锐角三角形”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】若，即， 整理可得，可知， 且，可知角为锐角， 所以，等价于角为锐角， 因为角为锐角不能推出是锐角三角形，但是锐角三角形可以推出角为锐角， 所以“”是“是锐角三角形”的必要不充分条件. 4．（2026·北京石景山·二模）已知实数a，b，c，d满足：，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对于A，由，两式相加得，故A正确； 对于B，令，满足， 此时，，故B错误； 对于C，令，满足， 此时，，故C错误； 对于D，令，满足， 此时，，故D错误. 5．（2026·北京昌平·二模）设，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】选项A：，取特殊值，，则，，原不等式不成立，故A错误. 选项B：指数函数在上单调递减，由，得，即，故B错误. 选项C：.取特殊值，，则，，，不等式不成立，故C错误. 选项D：正弦函数在上单调递增，由，得，即，不等式恒成立，故D正确. 6．（2026·北京海淀·二模）函数的最小值为（   ） A．2 B．4 C．3 D．6 【答案】C 【解析】，， ， 当且仅当时，即时等号成立， 因此函数最小值为. 7．（2022·北京石景山·一模）“”是“在上恒成立”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】在上恒成立， 即在上恒成立，故 “”是“”的必要不充分条件故选：B 8．（2026·北京·三模）设全集，，，则图中阴影部分表示的集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以，由韦恩图可得阴影部分为集合与集合的补集的交集， 所以集合的补集为或，所以集合与集合的补集的交集为. 9．（2026·北京朝阳·一模）已知函数，，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【解析】当时，，，所以，，故A错误； 时，令，则， 令，则，所以在上递增， 又，，所以，有， 即，当时，，递减；当时，，递增； 又，则，即，，故C正确；B错误； 时，令，则，易知在上递增，则，则在上递增，所以，即恒成立，故D错误. 10．（2026·北京·三模）在中，“”是“B为钝角”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】化简条件，， 合并同类项得：， 易得，所以. 充分性： 由可知，与必然异号， 此时分类讨论： 若，则，此时，则， 因为，所以，由于在上单调递增，可得， 将代入上式得：，显然不成立. 若，则，此时，则， 因为，所以，由于在上单调递增，可得， 将代入上式得：，成立. 所以可以推出为钝角，即充分性成立. 必要性： 举反例即可，若为钝角，取，时，此时是钝角，且， ，，此时，即不满足已知条件. 因此，由为钝角不能推出已知条件，即必要性不成立. 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题:本题共5小题，每小题5分，共25分. 11．（2024·北京昌平·二模）已知：设函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，若，则在区间内无零点．能说明为假命题的一个函数的解析式是______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】解析式为. 函数的定义域为，所以函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线， 因为，，所以， 又，在区间内有零点，所以为假命题. 12．（2023·北京·模拟预测）已知，则的最大值为__________． 【答案】4 【解析】， ， 当且仅当， 即时等号成立. 13．（19-20高三上·天津静海·期末）已知，若，则的最小值为_______． 【答案】 【解析】令，则， 所以， 所以， 当且仅当时取等号，故的最小值为3. 14．（2026·北京·模拟预测）设数列的前项和，则__________；使得命题“，都有”为真命题的一个的值为__________. 【答案】 3（答案不唯一，） 【解析】数列的前项和，当时，， 当时，，显然不满足上式， 所以； 当时，，不等式不成立， 当时，， 不等式，而，解得， 因此对，不等式恒成立， 所以“，都有”为真命题的，取的一个值为3. 15．（2026·北京·二模）在平面直角坐标系中，已知集合，给出下列四个结论： ①当时，则是一条直线； ②当时，点到原点的距离存在最小值，不存在最大值； ③当时，则所有满足的点所构成的区域面积为； ④当时，已知集合，则集合； 其中所有正确的结论是_______． 【答案】①②③ 【解析】，故点坐标满足； 对①：若，则， 即点坐标满足， 此时点的轨迹是直线，故①正确； 对②：由点坐标满足， 点到直线的距离， 则点到原点的距离的范围为，有最小值，无最大值，故②正确； 对③：由点到直线的距离，且， 故集合表示平面内以为圆心，为半径的圆外的所有区域（包括圆）， 若，则点所表示的区域为该圆内部，即其面积为，故③正确； 对④：由③可得，则，故④错误. 三．解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 16.（本小题满分13分）（25-26高三上·北京·期中）已知集合，． (1)当时，求； (2)从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知，补充在横线上，并解答：若________，求实数a的取值范围． 条件①：“”是“”的充分条件； 条件②：“”是“”的必要条件； 条件③：对，，使得成立． 注：如果选择多个条件分别作答，则按第一个条件的解答计分． 【解】（1）当时，， …………………………………………2分 ，所以， ………………………………………4分 所以． …………………………………………6分 （2）， 选①：“”是“”的充分条件．． 只需， 解得， 所以实数a的取值范围是．     …………………………………………16分 选②：“”是“”的必要条件．． 只需， 解得， 所以实数a的取值范围是．     …………………………………………16分 选③：对，，使得成立．． 只需， 解得， 所以实数a的取值范围是．     …………………………………………16分 17．（本小题满分13分）若，，且. （1）求的最小值； （2）是否存在，使得的值为? 并说明理由. 【解】（1）∵ ∴又， …………………………………………2分 ∴当且仅当时等号 ∴有，即 …………………………………………4分 当且仅当时取等号……7分 （2）∵，，且由(1)中 …………………………………………9分 ∴ …………………………………………11分 ∴不存在，使得的值为 …………………………………………13分 18．（本小题满分14分）已知，，，． （1）求的最小值 （2）证明：． 【解】（1）因为，， ……………………………2分 所以,即， …………………………………………5分 当且仅当时等号成立，此时取得最小值3． ……………………………7分 （2） ……………………………9分 …………………………………………12分 ．当且仅当时等号成立， …………………………………………14分 18.（本小题满分14分）（2026·北京石景山·一模）若数列中存在三项，按一定次序排列构成等比数列，则称为“等比源数列”． (1)已知数列为4，3，1，2，数列为1，2，6，24，分别判断，是否为“等比源数列”，并说明理由； (2)已知数列的通项公式为，判断是否为“等比源数列”，并说明理由； (3)已知数列为单调递增的等差数列，且，，求证：为“等比源数列”． 【解】（1）是“等比源数列”， 不是“等比源数列”． 中“1，2，4”构成等比数列，所以是“等比源数列”； 中“1，2，6”，“1，2，24”，“1，6，24”，“2，6，24”均不能构成等比数列， 且这四者的其他次序也不构成等比数列， 所以不是“等比源数列”． …………………………………………4分 （2）不是“等比源数列”． 假设是“等比源数列”，因为是单调递增数列， 即中存在的，，三项成等比数列， 也就是，即， ，两边时除以得， 等式左边为偶数， 等式右边为奇数． 所以数列中不存在三项按一定次序排列构成等比数列． 综上可得不是“等比源数列”． …………………………………………9分 （3）证明：因为等差数列单调递增，所以． 因为则，且，所以数列中必有一项． 为了使得为“等比源数列”，只需要中存在第项，第项， 使得成立，即， 即成立． 当，时，上式成立． 所以中存在，，成等比数列． 所以，数列为“等比源数列“． …………………………………………14分 20.（本小题满分15分）（2026·北京东城·二模）已知集合，.将M中的个不同元素排成一列，得到序列：，其中称为该序列的第项，若该序列的相邻项满足，则称该序列为序列.若序列中的项满足或，则称该项具有性质. (1)已知，，，为序列，写出x，y，z，w的值； (2)求证：序列中存在具有性质的项； (3)求证：序列中具有性质的项的个数不少于10. 【解】（1）当时，，所以 . 由题意，相邻两项对应点的横坐标差的绝对值与纵坐标差的绝对值之和为1. 第一项为，第二项为，所以 . 即 .解得. 所以第二项为. 第二项为，第三项为，所以 . 即 .解得. 所以第三项为. 中共有4个不同元素，前三项已经是，，，剩下的一个元素为， 所以第四项为.因此 . ………………………………………4分 （2）以序列中的项为坐标的点记作， 连接这9个点共形成8条单位线段． 每条单位线段水平或者竖直． 因此8条单位线段中至少有4条同为水平或同为竖直． 不妨设至少有4条水平单位线段． 由于9个点排成3行，而每一行至多含2条水平单位线段，故至少有一行含2条水平单位线段． 这样该行3个点必被依次经过，于是中间那个点的前后两个相邻点都与它在同一行， 因此该点对应的项具有性质．故中存在具有性质的项． …………………………9分 （3）将序列中相邻两项连接，得到120条单位线段.把连续同为水平方向的若干条单位线段合并为一个水平线段，把连续同为竖直方向的若干条单位线段合并为一个竖直线段. 在序列对应的线段中，水平线段与竖直线段交替出现． 设水平线段数为，竖直线段数为，因为单位线段总数为120， 所以序列中具有性质的项的个数为． 要证． 只需证明． 因为每一行有11个点，每个水平段至少包含两个点，因此第行的水平线段数满足，即．所以． 同理．所以， 故序列中具有性质的项的个数不少于10． …………………………………………15分 21.（本小题满分16分）（2026·北京平谷·一模）设数阵，其中．设，其中且．定义变换为“对于数阵的每一行，若其中有或，则将这一行中每个数都乘以；若其中没有且没有，则这一行中所有数均保持不变．表示“将经过变换得到，再将经过变换得到，…，以此类推，最后将经过变换得到”，记数阵中四个数的和为． (1)若，写出经过变换后得到的数阵； (2)若，求的值； (3)对任意确定的一个数阵，证明：对所有可能的非空子集，对应的的值的总和不超过． 【解】（1）由题意可得； …………………………………………2分 （2）经变换后得， …………………………………………4分 故． …………………………………………5分 （3）若，在的所有非空子集中，含有且不含的子集共， 经过变换后第一行均变为；含有且不含的子集共个 …………………………7分 ，经过变换后第一行均变为； 同时含有和的子集共，经过变换后第一行仍为； 不含也不含的子集共个，经过变换后第一行仍为． 所以经过变换后所有的第一行的所有数的和为 ………………………9分 若，则的所有非空子集中，含有的子集共个， 经过变换后第一行均变为；不含有的子集共个，经过变换后第一行仍为． 所以经过变换后所有的第一行的所有数的和为……12分 同理，经过变换后所有的第二行的所有数的和为． 所以对所有非空子集，的值的总和为， ………………………14分 又因为， 所以的值的总和不超过． …………………………………………16分 7 / 10学 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 集合与常用逻辑用语、不等式（综合训练） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题:本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（2026·北京大兴·三模）设全集，，则（    ） A． B． C． D． 2．（2026·北京顺义·三模）集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．（2020·北京东城·一模）在中，“”是“是锐角三角形”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（2026·北京石景山·二模）已知实数a，b，c，d满足：，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 5．（2026·北京昌平·二模）设，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 6．（2026·北京海淀·二模）函数的最小值为（   ） A．2 B．4 C．3 D．6 7．（2022·北京石景山·一模）“”是“在上恒成立”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．（2026·北京·三模）设全集，，，则图中阴影部分表示的集合为（   ） A． B． C． D． 9．（2026·北京朝阳·一模）已知函数，，则（   ） A．， B．， C．， D．， 10．（2026·北京·三模）在中，“”是“B为钝角”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题:本题共5小题，每小题5分，共25分. 11．（2024·北京昌平·二模）已知：设函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，若，则在区间内无零点．能说明为假命题的一个函数的解析式是______． 12．（2023·北京·模拟预测）已知，则的最大值为__________． 13．（19-20高三上·天津静海·期末）已知，若，则的最小值为_______． 14．（2023·北京·模拟预测）设数列的前项和，则__________；使得命题“，都有”为真命题的一个的值为__________. 15．（2026·北京·二模）在平面直角坐标系中，已知集合，给出下列四个结论： ①当时，则是一条直线； ②当时，点到原点的距离存在最小值，不存在最大值； ③当时，则所有满足的点所构成的区域面积为； ④当时，已知集合，则集合； 其中所有正确的结论是_______． 三．解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 16.（本小题满分13分）（25-26高三上·北京·期中）已知集合，． (1)当时，求； (2)从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知，补充在横线上，并解答：若________，求实数a的取值范围． 条件①：“”是“”的充分条件； 条件②：“”是“”的必要条件； 条件③：对，，使得成立． 注：如果选择多个条件分别作答，则按第一个条件的解答计分． 17．（本小题满分13分）若，，且. （1）求的最小值； （2）是否存在，使得的值为? 并说明理由. 18．（本小题满分14分）已知，，，． （1）求的最小值 （2）证明：． 18.（本小题满分14分）（2026·北京石景山·一模）若数列中存在三项，按一定次序排列构成等比数列，则称为“等比源数列”． (1)已知数列为4，3，1，2，数列为1，2，6，24，分别判断，是否为“等比源数列”，并说明理由； (2)已知数列的通项公式为，判断是否为“等比源数列”，并说明理由； (3)已知数列为单调递增的等差数列，且，，求证：为“等比源数列”． 20.（本小题满分15分）（2026·北京东城·二模）已知集合，.将M中的个不同元素排成一列，得到序列：，其中称为该序列的第项，若该序列的相邻项满足，则称该序列为序列.若序列中的项满足或，则称该项具有性质. (1)已知，，，为序列，写出x，y，z，w的值； (2)求证：序列中存在具有性质的项； (3)求证：序列中具有性质的项的个数不少于10. 21.（本小题满分16分）（2026·北京平谷·一模）设数阵，其中．设，其中且．定义变换为“对于数阵的每一行，若其中有或，则将这一行中每个数都乘以；若其中没有且没有，则这一行中所有数均保持不变．表示“将经过变换得到，再将经过变换得到，…，以此类推，最后将经过变换得到”，记数阵中四个数的和为． (1)若，写出经过变换后得到的数阵； (2)若，求的值； (3)对任意确定的一个数阵，证明：对所有可能的非空子集，对应的的值的总和不超过． 7 / 10学 学科网（北京）股份有限公司 $