第20讲 正多边形和圆（知识点+题型精讲）暑假预习讲义 2026-2027学年人教版九年级数学上册

第20讲 正多边形和圆 目录 知识点1 正多边形的定义 2 知识点2 正多边形与圆的关系 2 知识点3 正多边形四大核心要素（必考） 2 知识点4 全套核心计算公式（秒杀公式） 2 知识点5 正多边形几何性质 3 知识点6 正多边形尺规作图原理 3 题型1 求正多边形的中心角 3 题型2 已知正多边形的中心角求边数 7 题型3 正多边形和圆的综合 10 题型4 尺规作图——正多边形 21 1. 知识目标：掌握正多边形的定义、基本要素（中心、半径、中心角、边心距）；理解正多边形与圆的内在关系，掌握圆内接正多边形的生成原理；熟记正多边形中心角、内角、外角、边数的全套计算公式；掌握正多边形的对称性与几何性质；熟练掌握正多边形尺规作图的原理与标准步骤。 2. 能力目标：能快速求解任意正多边形的中心角，可根据中心角逆向求边数；熟练完成正多边形边长、边心距、半径、周长、面积的综合计算；掌握正多边形与圆结合的几何综合题型解法；能规范完成常见正多边形的尺规作图。 3. 素养目标：建立数形结合、几何建模、对称变换的数学思想，提升正多边形与圆的识图运算、公式变形、几何推理与作图实操能力，完善圆章节几何体系，夯实中考正多边形基础计算与作图题型考点。 知识点1 正多边形的定义 各边相等、各内角相等的多边形叫做正多边形。 易错辨析：仅有各边相等或仅有各角相等的多边形不是正多边形（如矩形、菱形均不是正四边形，正方形是唯一正四边形）。 知识点2 正多边形与圆的关系 1. 把一个圆等分，依次连接各等分点，可得到这个圆的内接正n边形，该圆为正n边形的外接圆。 2. 任意正多边形有且只有一个外接圆和一个内切圆，且两圆同心（圆心重合）。 　　 知识点3 正多边形四大核心要素（必考） 1.中心：正多边形外接圆的圆心； 2. 半径：正多边形外接圆的半径（顶点到中心的距离）； 3. 中心角：正多边形每一条边所对的圆心角； 4. 边心距：正多边形中心到任意一条边的距离，也是内切圆半径。 知识点4 全套核心计算公式（秒杀公式） 设正多边形边数为： 1. 中心角公式： 2. 外角公式：正多边形外角与中心角相等，； 3. 内角公式：； 4. 边数逆求公式：。 知识点5 正多边形几何性质 1. 对称性：所有正多边形都是轴对称图形，对称轴条数=边数； 2. 中心对称性：偶数边正多边形是中心对称图形，奇数边正多边形不是； 3. 直角三角形模型：正多边形的半径、边心距、边长的一半，构成全等直角三角形，所有边长、边心距计算均依托勾股定理完成。 　知识点6 正多边形尺规作图原理 1. 作图核心：等分圆周，等分点依次连线得到正多边形； 2. 可直接尺规作图的正多边形：正四边形、正八边形、正三角形、正六边形、正十二边形； 3. 核心原理：利用垂直平分线、圆半径相等、60°、90°特殊圆心角等分圆周。 　 题型1 求正多边形的中心角 解题技巧（公式直代秒杀法） 1. 固定万能公式：已知边数，直接代入 ； 2. 常见特殊值熟记：正三角形中心角120°、正方形90°、正六边形60°，直接口算； 3. 间接求边数题型：先通过内角、外角求出边数，再套公式求中心角； 4. 核心结论：正多边形中心角与外角度数永远相等。 秒杀口诀：三百六除以边数，直接得中心角。 【典例1】．如图，用单位长度为的数轴测量正十二边形的对角线的长时，顶点，恰好分别与数轴上的和2对齐，则对角线的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据数轴可得，取正十二边形的外接圆圆心O，连接，根据正十二边形的性质证明是等边三角形，，，再解直角三角形即可求解． 【详解】解：∵顶点，恰好分别与数轴上的和2对齐， ∴， 取正十二边形的外接圆圆心O，连接， 正十二边形的外接圆中，每个边对应的中心角为， ∴， ∴，即点共线， ∵， ∴，，是等边三角形， ∴，， ∴． 【变式1】．下列图形是由圆及其内接正多边形组成的，将其绕圆心旋转后，能与原图形完全重合的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正多边形的旋转对称性，正边形绕中心旋转的整数倍能与自身重合，分别计算各选项图形的最小旋转角进行判断即可． 【详解】解：A． 正三角形，，最小旋转角为，不是的整数倍，不能重合； B． 正方形，，最小旋转角为，是的整数倍，能重合； C． 正五边形，，最小旋转角为，不是的整数倍，不能重合； D． 正六边形，，最小旋转角为，不是的整数倍，不能重合． 【变式2】．如图1为传统建筑中的一种窗格，图2为窗框的示意图，多边形为正六边形，连接，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设正六边形的中心为，连接，由正多边形的性质，得到，，则，再根据三角形外角的性质求解即可. 【详解】解：设正六边形的中心为，连接， 则，， ∴， ∴. 【变式3】．如图，是手工课上同学们制作的正五边形卡通贴纸，将正五边形绕着它的中心旋转后，能够与原来的图形完全重合，则的值可以是________（写出个符合题意的数值即可）． 【答案】或（答案不唯一） 【分析】结合正五边形的性质，得出中心角，再根据旋转的性质，即可作答． 【详解】解：如图所示： ∵这是正五边形卡通贴纸 ∴， ∴ 则将正五边形绕着它的中心旋转后，能够与原来的图形完全重合， 或将正五边形绕着它的中心旋转后，能够与原来的图形完全重合． 【变式4】．已知正多边形一个内角的度数是，那么该正多边形中心角的度数是_____． 【答案】 【分析】先利用内角与外角互为邻补角求出外角的度数，再根据多边形外角和定理求出正多边形的边数，最后根据正多边形中心角的性质计算中心角度数． 【详解】解：该正多边形的一个内角为， 该正多边形的一个外角为， 任意多边形的外角和为， 该正多边形的边数， 正多边形的中心角和为， 该正多边形的中心角为． 题型2 已知正多边形的中心角求边数 解题技巧（逆向公式速算法） 1. 逆向核心公式：； 2. 直接带入已知中心角度数，计算结果必为大于等于3的正整数； 3. 核验排除：若计算结果为小数、小于3，说明题干理解错误，重新审题； 4. 拓展通用：已知外角度数，可用完全相同公式求边数。 【典例2】．如图，为弦，若，弦是圆内接正多边形的一边，则该正多边形为（   ） A．正五边形 B．正六边形 C．正七边形 D．正八边形 【答案】B 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴ ∵弦是圆内接正多边形的一边，则该正多边形的边数为， 即该正多边形为正六边形 【变式1】．如图，点为一个正多边形的部分顶点，点为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为（    ） A．6 B．9 C．10 D．12 【答案】B 【分析】如图：连接，根据题意求得，根据周角为，即可求得正多边形的边数． 【详解】解：如图：连接， ∵点为正多边形的中心，， ∴， ∴， ∴这个正多边形的边数为9，即选项B符合题意． 【变式2】．如图，是的内接正边形的一边，点在上，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正多边形和圆，圆周角定理，求出中心角的度数是解题的关键．连接，，由圆周角定理得，再根据正边形的边数中心角，即可得解． 【详解】解：如图，连接，， ， ， 是的内接正边形的一边，   ． 故选：C． 【变式3】．大疆航拍无人机在距地面相同的高空，沿正多边形航线飞行完成拍摄任务，它到达正多边形的每个顶点时需要转动才能继续沿该正多边形的边飞行，则这个正多边形的边数为__________． 【答案】 【分析】根据题意可知无人机在顶点处转动的角度即为正多边形的外角，利用多边形的外角和定理列式计算即可求解． 【详解】解：设这个正多边形的边数为， 根据题意，无人机到达正多边形的每个顶点时需要转动， 即该正多边形的每个外角为， 由多边形的外角和等于， 得． 【变式4】．如图，在中，弦，分别是的内接正三角形和内接正方形的一条边，连接，也是的内接正n边形的一条边，则n的值是________． 【答案】12 【分析】连接、、，如图，利用正多边形与圆，分别计算的内接正四边形与内接正三角形的中心角得到，，则，然后计算即可得到n的值． 【详解】解：连接、、，如图， ∵，分别为的内接正三角形和内接正方形的一条边， ∴，， ∴， ∵也是的内接正n边形的一条边， ∴． 题型3 正多边形和圆的综合 解题技巧（直角三角形建模法） 1. 固定辅助线：连接中心与顶点（得半径），作中心到边的垂线（得边心距）； 2. 构造直角三角形：半径为斜边，边心距、半边长为两条直角边； 3. 勾股定理核心关系：（半径，边心距，边长）； 4. 面积综合：，快速求正多边形面积； 5. 角度综合：结合圆心角、圆周角、内外角公式，联立求解复合角度； 6. 最值与对称：利用奇偶边对称性，判断中心对称、轴对称性质，解决图形变换问题。 【典例3】．风车，是一种不需要燃料、以风作为能源的动力机械．古代的风车是从船帆发展起来的，它具有6—8副像帆船那样的篷，分布在一根垂直轴的四周，风吹时像走马灯似的绕轴转动，叫走马灯式的风车．如图1为一大风车（运转后最外端的轨迹为圆），其直径为，该风车圆心上均匀地安装了8个扇叶，其示意图如图2，立杆垂直于地面，且圆周最低点D距离地面为． (1)若扇叶与立杆夹角，求扇叶最外端P与地面的距离． (2)在风车逆时针旋转的过程中，过点P作线段的垂线，当点P运行到的左侧且该垂线经过点C时，求的长度． 【答案】(1)扇叶最外端P与地面的距离为 (2)点P运行到直线的左侧且该直线经过点C时，的长度为 【分析】（1）过点P作，垂足为F，则，那么，再解即可； （2）解求出，再由弧长公式求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得O，D，C三点共线． 如图，过点P作，垂足为F． 由题意，得， ∴． ∵⊙O的直径为， ∴． 在中，， ∴． ∴扇叶最外端P与地面的距离为． （2）解：依据题意构图如上，此时点P运动到点Q的位置． 在中，，， ∴， ∴， ∴的长度为， 即点P运行到直线的左侧且该直线经过点C时，的长度为． 【变式1】．如图，的内接正五边形的对角线与相交于点M． (1)写出图中所有的等腰三角形（不添加其他线段）； (2)求证：． 【答案】(1)，， (2)证明：∵， ∴， ∴， ∴， 由（1）可知，， ∴． 【分析】（1）根据正五边形的边角关系进行解答即可； （2）证明，则，由即可得到结论． 【详解】（1）解：∵五边形为正五边形， ∴, ∴，都是等腰三角形， ∴，， ∴ ∴， ∴， ∴都是等腰三角形． （2）略 【变式2】．用尺规作图法作正多边形是数学史上很经典的几何问题，在边数小于10的正多边形中，可以用尺规作图法作出的有正三、正四、正五、正六和正八边形，德国数学家高斯已经证明不能用尺规作图法作出正七边形和正九边形，但是我们可以用下列方法近似地作出一个正七边形：如图，已知为的直径． 步骤一：作出半径的垂直平分线，与分别交于E，F两点，垂足为D． 步骤二：以为半径，在上依次截取． 步骤三：顺次连接各分点，即可得到一个近似的正七边形． 动手操作：请用上面方法，用直尺（没有刻度）和圆规在已知中作出正七边形．要求：不写作法，但保留作图痕迹． 【答案】如图所示，七边形即为所求． 【详解】略 【变式3】．阅读与思考 下面是博学小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． 关于“等边半正多边形”的研究报告 博学小组研究对象：等边半正多边形 研究思路：类比三角形、四边形，按“概念－性质－判定”的路径，由一般到特殊进行研究． 研究方法：观察（测量、实验）－猜想－推理证明 研究内容： 【一般概念】对于一个凸多边形（边数为偶数），若其各边都相等，且相间的角相等、相邻的角不相等，我们称这个凸多边形为等边半正多边形．如图1，我们学习过的菱形（正方形除外）就是等边半正四边形，类似的，还有等边半正六边形、等边半正八边形… 【特例研究】根据等边半正多边形的定义，对等边半正六边形研究如下： 概念理解：如图2，如果六边形是等边半正六边形，那么，，，且． 性质探索：根据定义，探索等边半正六边形的性质，得到如下结论： 内角：等边半正六边形相邻两个内角的和为▲°． 对角线：… 任务： (1)直接写出研究报告中“▲”处空缺的内容：_____． (2)如图3，六边形是等边半正六边形．连接对角线，猜想与的数量关系，并说明理由； (3)如图4，已知是正三角形，是它的外接圆．请在图4中作一个等边半正六边形（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】(1)240 (2)解：． 理由如下：连接，，如图， ∵六边形是等边半正六边形． ，． 在与中， ， ∴， ∴． 在与中， ， ∴． ∴； (3)作法一：如图，六边形即为所求， 作法二：如图，六边形即为所求， 【分析】（1）六边形内角和为，由等边半正六边形的定义即可得出相邻两内角和； （ 2）连接，，通过已知条件可证，得到，进一步证明出进而得到； （ 3）作法一：分别连接并延长，，，以点为圆心，以适当长为半径画圆（不要画在三角形内或圆上），交，，的延长线于点，，，连接，即可得到半正六边形； 作法二：分别作、、垂直平分线，注意作三条边的垂直平分线时画弧的半径要相等，且弧的交点不能取圆上或三角形内，交点分别为点，，，连接，即可得到半正六边形． 【详解】（1）解：∵六边形内角和为，且，， ∴， ∴，即 ∴等边半正六边形相邻两个内角的和为； （2）略 （3）解：作法一：∵是正三角形，是它的外接圆， ∴、、分别为、、的垂直平分线，，，， ∴，，， ∴，，， 由作图可知， 在与中， ， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， 同理可得， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴六边形即为等边半正六边形． 作法二同理可证． 【变式4】．如图1，五边形是的内接五边形，，对角线于点． (1)①若，则_______； ②猜想和的数量关系，并证明； (2)如图2，当经过圆心时，若，，求； (3)作于点，求的值． 【答案】(1)①；② (2) (3) 【分析】（1）①连接，由题意可得，根据圆周角定理可得，以此即可求解； ②连接，根据三角形内角和定理可得，由圆周角定理可得，再根据三角形内角和定理得，将代入化简即可； （2）如图，连接、，连接交于点，根据勾股定理求得，设，则，在中，利用勾股定理建立方程解得，于是，，，易得垂直平分，设，则，利用双勾股定理建立方程求得，进而求出，，在中，利用勾股定理即可求解； （3）连接、、、，过点作于点，由圆周角定理可得，易得，由平行线的性质得，由等边对等角得，进而可得，根据等角减等角相等可得，于是可通过证明，得到，根据等腰三角形三线合一性质得，以此即可求解． 【详解】（1）①解：如图，连接， ， ， ， ， ， ； 故答案为：； ②， 证明：如图，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， 即； （2）解：如图，连接、，连接交于点， 在中，， 设，则， 在中，， ， 解得：， ，，， ，， 垂直平分， ，， 设，则， 在中，， 在中，， 解得：， ， ， 为的直径， ， 在中，； （3）解：如图，连接、、、，过点作于点， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ，即， 在和中， ， ， ， ，， ， ， ． 【点睛】本题主要考查正多边形与圆综合，圆周角定理、三角形内角和定理、勾股定理、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线，构造全等三角形是解题关键． 题型4 尺规作图——正多边形 解题技巧（四类标准作图模板） 1. 尺规作正四边形（正方形） ① 作圆的两条互相垂直的直径；② 依次连接四个直径端点，即为圆内接正方形。 2. 尺规作正八边形 ① 先作出正方形；② 平分正方形每一条边对应的弧；③ 连接所有等分点，得到正八边形。 3. 尺规作正六边形 ① 在圆上任取一点，以圆半径为定长，依次在圆上截取6个等分点；② 顺次连接六点，得到正六边形（边长=外接圆半径）。 4. 尺规作正三角形 ① 用正六边形等分圆周；② 间隔选取三个等分点，连接得到正三角形。 通用得分要点：保留全部作图痕迹（圆弧、垂线、等分痕迹），不可擦除，端点必须精准落在圆周上。 【典例4】．如图，已知直线l和l外一点A，请用尺规作图法，求作一个正方形，使得顶点B和顶点D都在直线l上（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】 正方形如图所示： 【分析】此题考查了作图复杂作图，解题的关键是掌握作图的方法． 过点A作于点O，以O为圆心，为半径画弧交直线l于点B，D，交直线于点C，连接，，，，正方形即为所求． 【详解】略 【变式1】．如图，是中互相垂直的两条直径，以点A为圆心，为半径画弧，与交于E、F两点． (1)求证：是正六边形的一边； (2)请在图上继续画出这个正六边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了正多边形和圆，熟悉正六边形的性质、尺规作图是解题的关键． （1）连接，得到是等边三角形，从而得到是正六边形的一边； （2）用以的长为圆规两脚间的距离，分别在圆上截得相等的弧长． 【详解】（1）证明：连接，如图． ∵， ∴是等边三角形， ， ∴是正六边形的一边； （2）解：如图所示， 用圆规截去弧的弧长，然后以E点、点B为圆心，为半径画弧，与交于G、H两点，顺次将点A、E、G、B、H、F连接起来，就得到正六边形． 【变式2】．如图，由小正方形构成的网格中，每个小正方形的顶点叫做格点．仅用无刻度的直尺在给定的网格中按要求作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中过点作的切线； (2)在图1中画出一个圆内接正方形； (3)在图2中的圆上画出线段的中点； (4)在图3中作一个的圆周角． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【分析】（1）先连接，根据切线的性质作图即可； （2）先过圆心作出直径，然后作出的垂直平分线交于、两点，最后顺次连接、、、，即可得到圆内接正方形； （3）取格点，作直线交于点，由等腰直角三角形的性质结合正方形的性质可得符合题意； （4）先作半径的垂直平分线交于，连接，，则为等边三角形，可得，根据圆周角定理即可求解． 【详解】（1）如图所示： （2）如图，正方形即为所求， （3）如图，点即为所求， （4）如图，即为所求 【点睛】本题考查基本几何作图，涉及到圆周角定理、垂径定理的推论，圆的基本性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握网格中的基本作图方法和相关知识是解答的关键． 【变式3】．在下列图中，请仅用圆规和无刻度的直尺分别按要求画出圆的内接正多边形（保留画图痕迹，不写画法）． (1)正三角形 (2)正方形 (3)正六边形 (4)正八边形 【答案】（1）作图见解析;（2）作图见解析;（3）作图见解析;（4）作图见解析 【分析】本题要求使用圆规和无刻度的直尺画出圆的内接正多边形，包括正三角形、正方形、正六边形和正八边 形．作图的思路是：把圆分成等份，顺次连接各顶点，就得到正边形． 【详解】（1）解：选择圆上任意一点作为正三角形的一个顶点，以这个顶点为圆心，以圆的半径为半径画弧，与圆交于 两点，这两点即为正三角形的另外两个顶点，连接这三个点即可得到正三角形．如图所示，（画法不唯一）正三角形为所求． （2）解：画出圆的两条互相垂直的直径，它们的交点即为圆心，这两条直径将圆周分成四等份，连接这四个点 即可得到正方形． 如图所示，正方形为所求． （3）解：选择圆上任意一点作为正六边形的一个顶点，以这个顶点为圆心，以圆的半径为半径画弧，与圆交于 一点，重复这个过程，直到找到六个顶点，连接这 六个点即可得到正六边形．如图所示，正六边形为所求． （4）解：画出圆的两条互相垂直的直径，它们的交点即为圆心，以圆心为圆心，以圆的半径为半径画圆，与这两条直径交于四点，以这四点为圆心，以圆的半径 为半径画弧，与圆交于另外四点，连接这八个点即可得到正八边形． 如图所示，正八边形为所求． 【点睛】本题考查了作圆内接正多边形，解题的关键在于理解正多边形顶点在圆周上均匀分布的特性，并利用圆规和直尺进行作图． 【变式4】．阅读与思考 尺规作图 一把直尺，一副圆规，就能开启奇妙的几何之旅．五种基本尺规作图，是构建万千图形的“钥匙”．不仅能完成严谨的几何证明与图形绘制，还能设计出对称精美的几何图案． 正方形内嵌正八边形，就是其中极具代表性的经典图案．如果一个正方形里面嵌套了一个正八边形，且正八边形至少有四个顶点分别在正方形的四条边上，那么我们称这个正八边形内嵌于这个正方形．你能用尺规作出图1或图2中正方形的内嵌正八边形吗？ 初步分析：从整体特征与元素特征两个角度回顾正八边形的性质． （1）整体特征：具有轴对称性和旋转对称性． （2）元素特征：各边相等，各角相等且都等于． 深入分析：以图2正方形内嵌正八边形为例，如图3，连接，，，，发现的结论如下： （1），，，分别是正方形各边的中点； （2）是顶角为，底角为的等腰三角形； （3）中，； （4）___________________________． 动手作图：利用作垂直平分线和角平分线的方法作图 （1）如图4，作边，的垂直平分线，分别交，，，于点，，，； （2）分别作和的角平分线，交于点；利用旋转对称性作出点，，； （3）顺次连接这八个点． ∴八边形为正方形的内嵌正八边形． 任务： (1)请根据“深入分析”中的条件，写出一条你发现的结论______________． (2)类比研究图2正方形内嵌正八边形的方法，如图5，连接，，交于点．线段是否与线段相等，请说明理由． (3)请根据你发现的几何结论，换一种尺规作图方式，在正方形中作出其内嵌正八边形（不写作图步骤，保留作图痕迹）． 【答案】(1)（答案不唯一，合理即可） (2)． 理由如下： ∵正八边形的内角和是， ∴， ∴，， ∴． ∵四边形是正方形， ∴． ∵八边形是正八边形， ∴． 在与中， ∴， ∴． 设． 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴，． 在中，， ∴， ∴． ∴． (3)如图，八边形即为所作．（答案不唯一，合理即可） 【分析】（1）根据点，由旋转对称性作图得到，得出，即可求解． （2）根据多边形内角和定理求得，进而可得，根据四边形是正方形，得出，根据正八边形得出，证明得出，设，解直角三角形得出，则在中，根据，得出，即可证明． （3）根据正方形的性质和正八边形的定义进行作图即可． 【详解】（1）解：（答案不唯一，合理即可） ∵，且点，由旋转对称性作图得到， ∴对角线经过正方形内嵌正八边形的顶点和， ∴． （2）略 （3）略 1．如图，正五边形内接于，为上的一点（点不与点重合），则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求得中心角，进而根据圆周角定理，即可求解． 【详解】解：∵正五边形内接于， ∴， ∵与分别是所对的圆周角和圆心角， ∴． 2．如图，正六边形的边长为1．扇形（阴影部分）的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据正六边形的内角公式，求得，进而求出、，于是可求出扇形的圆心角，再在中过点作于，利用已知条件先求出，再求出，最后利用扇形的面积公式即可求得结果． 【详解】解：正六边形的边长为1， ，， ， 同理可得：， ， 过点作于， ， ， ， ， ， ， 扇形（阴影部分）的面积． 3．若正六边形的边长为2，则它的外接圆的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题利用正六边形的性质，可得正六边形的边长等于其外接圆的半径，再结合圆的面积公式计算即可得到结果． 【详解】解：∵正六边形的中心角为， ∴外接圆的圆心与正六边形任意两个相邻顶点构成顶角为的等腰三角形，该三角形为等边三角形， ∴外接圆的半径等于正六边形的边长， ∵正六边形边长为， ∴， ∴外接圆的面积． 4．下列命题正确的是（     ） A．各边相等的多边形是正多边形 B．各边相等的圆外切多边形是正多边形 C．各内角相等的圆内接多边形是正多边形 D．各边相等的圆内接多边形是正多边形 【答案】D 【分析】本题考查正多边形的判定，需结合正多边形定义，圆内接、圆外切多边形的性质逐一判断选项. 【详解】正多边形的定义为：各边相等且各内角也相等的多边形. ∵菱形各边相等，但内角不一定相等，不是正多边形，∴A错误； ∵圆外切菱形各边相等，但内角不一定相等，不是正多边形，∴B错误； ∵圆内接矩形各内角相等，但边不一定相等，不是正多边形，∴C错误； ∵圆内接多边形各边相等，∴各边所对的弧相等，可推得各内角相等，同时满足各边相等，各内角相等，符合正多边形定义，∴D正确． 5．如图，把（不完整）分成相等的n段弧，其中，，是其中的三个等分点，连接，．若，依次连接各等分点得到的图形为（     ） A．正十边形 B．正九边形 C．正八边形 D．正六边形 【答案】A 【分析】根据圆周角定理可得，即正多边形的中心角，进而求得边数，即可求解． 【详解】解：如图，连接 ∵ ∴ 依题意，依次连接各等分点得到的图形为正边形，其中，即正十边形 6．如图，圆内接正六边形的边长为6，以其各边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由正六边形的性质得出正六边形可以分成面积相等的6个等边三边形，过点O作，则，根据勾股定理求出，求出，进而可得出正六边形的面积，最后根据正六边形的面积加上六个小半圆的面积，再减去中间大圆的面积即可得到结果． 【详解】解：正六边形如下图： ，又， ∴是等边三角形， 同理可知：正六边形可以分成面积相等的6个等边三角形， 过点O作， 则， ∴， ∴， 正六边形的面积为：， 六个小半圆的面积为：，中间大圆的面积为：， 所以阴影部分的面积为：． 7．如图，正方形内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆（与正方形四边都相切的圆）中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，若正方形的边长为2，则黑色部分的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求解内切圆的面积，容易判断黑色部分的面积是内切圆的一半，从而求出黑色部分的面积． 【详解】解：∵正方形的边长为， ∴内切圆的直径为， ∴内切圆的面积为， 根据题意可知，黑色部分的面积是内切圆的一半， ∴黑色部分的面积为． 8．如图，是正五边形的内切圆，点M，N，F分别是边，，与的切点，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解题的关键是熟练掌握圆的基本知识．连接，，求出，再利用圆周角定理求解即可． 【点睛】 解：如图，连接，． ∵点M，N，F分别是边，，与的切点， ∴，， ∴， ∵正五边形中， ∴， ∴． 9．如图，和分别是某一个圆内接正六边形和圆内接正方形的一边，若，则下列说法不正确的是（     ） A．该圆的半径是1 B．弦的长是 C．的长为 D．是的2倍 【答案】C 【分析】先将图形补充完整，再根据圆的内接正六边形和内接正方形性质，求出半径，利用勾股定理，弧长公式逐项分析即可． 【详解】解：如图，将圆、正方形，正六边形补充完整， 设正方形对角线交点为，连接， 对于A，由图形，正方形四个角都为，圆内接正方形的对角线为圆的直径， 点为圆的圆心，也为圆内接正六边形的中心， ，且，为等边三角形， 该圆的半径，故A选项正确，不符合题意； 对于B，，弦的长是，故B选项正确，不符合题意； 对于C，，的长为，故C选项错误，符合题意； 对于D，，是的2倍，故D选项正确，不符合题意． 10．如图，H，I，J，K，L，M分别为正六边形各边上的动点（不与顶点重合），且六边形也是正六边形，它们的中心都是点O，连接交于点P．当时，给出下面四个结论错误是（   ） A． B．的最小值为 C． D．的最大值为 【答案】C 【分析】先用正六边形的性质以及三角形的外角的性质证明可得，再根据线段的和差可判断A；如图：连接、、，则是等边三角形，由等边三角形的性质可得，，如图：过O作，根据三线合一和勾股定理可得、，再根据垂线段定理可判断B；根据三角形的外角以及三角形内角和可知，，结合可判断C；证明可得，要使最大，则需最小，即最小，由的最小值为，进而求得的最小值，最后求得的最大值，可判断D． 【详解】解： ∵正六边形和正六边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即A正确； 如图：连接、、，则是等边三角形， ∴，， 如图：过O作， ∴， ∴， 由垂线段最短可知：，即的最小值为， ∴的最小值为，即B正确； ∵，， ∵， ∴， ∴，即C错误． 由题意可知：， ∵， ∴， ∴，则， 要使最大，则需最小，即最小， ∵的最小值为， ∴的最小值为， ∴的最大值为，即D正确． 综上，C错误． 11．在正十二边形中，顺次连接某几个顶点恰好构成一个正边形，则可以是____________（写出一个）． 【答案】 （答案不唯一，均正确） 【分析】要在正十二边形中顺次连接顶点构成正边形，必须是的不小于的正约数，据此解答即可． 【详解】解：要使得取出的顶点构成正多边形，顶点个数需要是的正因数且大于等于， 因为的正因数中大于等于的有，，，，所以，任取一个即可，这里取． 12．如图，有一个亭子，它的地基是边长为的正六边形，则这个正六边形地基的面积是_________（计算结果保留根号）． 【答案】 【分析】连接正六边形的中心与各顶点，可将正六边形分割成个全等的等边三角形，求出其中一个等边三角形的面积，再乘以即可得到正六边形的面积． 【详解】解：如图，设正六边形的中心为， 连接、， 过点作于点 多边形是正六边形 ， 是等边三角形 在中，由勾股定理得： 正六边形的面积为： ． 13．如图，正五边形的边长为10，点、在上，则的长是_______． 【答案】 【分析】根据五边形是正五边形可得，的半径为10，即可求解． 【详解】解：∵五边形是正五边形，边长为10， ∴，的半径为10， ∴的长． 14．如图，正七边形，连接对角线，交于点，则的度数为________． 【答案】 【分析】作正七边形的外接圆，证明得出，再证明，求出，然后根据求解即可． 【详解】解：如图，作正七边形的外接圆， ∵正七边形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 15．传统工艺门环，俗称响器，是安装在房屋大门上的拉手，并供叩门之用，中国门环也常被称为铺首或门钹，但严格说来铺首和门钹只是不同形式的门环底座．如图是一边长为的正六边形门环底座示意图，门环与正六边形的一条对角线相切于点M，同时也分别与边和相切于点B和点C，则图中阴影部分的周长为______． 【答案】 【分析】先由正六边形内角和得每个内角为，结合切线性质、，推得；再在中用三角函数求得圆半径，算出弧的圆心角为，弧长为，加上，得阴影周长． 【详解】解：由题意得，正六边形的内角和为， ∴每个内角为， 连接、，过点作于点，如图， ∵与相切于点， ∴，即， 同理可得，，即， ∴，， 在中，， ∵正六边形边长，且， ∴， ∴在中， 解得， ∵， ∴弧对应的圆心角为， ∴， ∴． 16．如图，是边长为4的正方形的外接圆．求图中阴影部分的扇形面积． 【答案】 【分析】本题主要考查了正多边形和圆的性质，扇形面积的计算，熟练掌握正多边形和圆的性质是解题的关键． 先根据正方形性质和勾股定理求出，，再根据扇形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：∵是边长为4的正方形的外接圆 ，，， ∴在中，，即， ． ． 17．如图，正六边形内接于，边长为2． (1)求的直径的长； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查正多边形和圆，圆周角定理： （1）连接，求出的度数，得到是等边三角形，得到，即可得出结果； （2）根据圆周角定理，即可得出结果． 【详解】（1）解：连接． ∵正六边形内接于， ∴， 又， ∴是等边三角形． ∴． ∴． （2）解：∵， ∴． 18．如图（1）是瓦片做成的窗花，可以从中分离出一朵“花”的图案，如图（2），它是由八片相同的瓦片组成，其中间四片“对扣”，外围截面恰好抽象成一个圆，如图（3），点A，B，C，D表示瓦片的交接点． (1)判断四边形的形状，并说明理由． (2)若厘米，求图（3）中阴影部分的面积．（结果保留π） 【答案】(1) 四边形是正方形，理由如下： 如图，连接，，，，则， 由题意可知，， ，， ， ， 四边形是正方形； (2)平方厘米 【分析】本题考查与圆有关的计算，正方形的判定和性质，掌握正方形的性质，圆面积、正方形面积的计算方法是正确解答的关键． （1）根据圆周角定理以及正方形的判定方法进行解答即可； （2）根据圆面积，正方形的面积与阴影部分面积之间的关系进行计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：在中，，， ， 平方厘米． 答：阴影部分面积为平方厘米． 19．【文化欣赏】（圆周率）的估算方法贯穿了数学发展史．其中阿基米德使用正九十六边形，利用（其中C为周长，d为直径），估算出的值． 【应用体验】 (1)如图1，正六边形内接于半径为1的圆内，求这个正六边形的周长并用此值估算的值． (2)如图2，半径为1的圆内切于正八边形，求这个正八边形的周长并用此值估算的值． (3)实际圆的周长介于内接正六边形周长与外切正八边形周长之间，请用这两个近似值的平均数来估算的值．【，（取1.41）】 【答案】(1)正六边形的周长为， (2)正八边形的周长为， (3) 【分析】（1）连接、，得到是等边三角形，得到，进而可求出正六边形的周长，然后根据题意即可估算出； （2）如图，连接，先证，进而可得到，再利用三角函数可求出，进而可求出正八边形的周长，然后根据题意即可估算出； （3）利用（1）（2）估算出的值求平均值即可． 【详解】（1）解：如图，连接、， ∵正六边形， ∴， 又， ∴是等边三角形， ∴， ∴圆的直径为， ∴正六边形的周长为， 根据题意可得到， ∴； （2）解：如图，连接， ∵正八边形， ∴， ∵圆内切于正八边形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴正八边形的周长为：， 圆的直径为， 根据题意可得到， ∴； （3）解：∵这两个近似值为和， 故这两个近似值的平均数为． 20．【项目主题】估计的值 【项目实施】 步骤一：画一个边长为2的正六边形，再画出它的内切圆（正六边形内切圆的直径等于正六边形的对边距离，正六边形对边距离为，即内切圆半径为）．设内切圆与正六边形的面积比值为p，求p的值． 步骤二：随机撒1000粒芝麻到正六边形及其内切圆的纸上，统计落在圆内的芝麻数为900，计算频率（记为q）． 落在正六边形内的芝麻粒数/粒 落在内切圆内的芝麻粒数/粒 频率q 1000 900 步骤三：利用p与q的关系，估计的值． （1）①_____；_____； ②当取1.7时，_____（结果保留整数）； 【项目反思】若想提高估计精度，给出一条合理化建议． （2）建议：_____． 【答案】（1）①，0.9，②3，（2）增加随机撒芝麻的数量 【分析】本题考查了圆和正多边形的面积计算，频率的概念，用频率估计概率及实验精度的影响因素． （1）①先分别计算出正六边形内切圆面积和正六边形面积，从而得出p值，再根据频率定义，用落在圆内芝麻数除以总芝麻数得出q值；②由建立等式，把的值代入等式，通过等式变形求出的近似值； （2）增加随机撒芝麻数量，使频率更接近理论概率，让估计的值更精确． 【详解】解：（1）①如图，连接，，过点O作， ∵正六边形由6个大小相同的等边三角形组成，其边长为2， ∴ 又∵的半径为，为的半径， ∴， ∴，， ∴， 由题意知，， 故答案为：，0.9． ②∵， ∴， 当取1.7时，得，解得， 故答案为：3． （2）建议：增加随机撒芝麻的数量， 因为当随机撒的芝麻数量越多时，落在圆内和正六边形内的芝麻数的频率就越接近理论上的概率，这样根据p与q的关系估计出的值就会更精确， 故答案为：增加随机撒芝麻的数量． 21．如图，正方形内接于，M为上的一点，连接． (1)若，求证：M为的中点． (2)若正方形的面积为4，请直接写出的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查正方形的性质、正多边形与圆等知识，推导出是解题的关键． （1）由正方形得，可得，由得，由得，从而可得结论； （2）由正方形的面积为4得正方形的边长为2，连接得是等腰直角三角形，可求出． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴M为的中点 （2）解：∵正方形的面积为4， ∴正方形的边长为2， 连接， ∴是等腰直角三角形， ∴，即圆的半径为． 22．在菱形中，，，点是边上的动点（不与，重合），过，，三点的圆交菱形的边于点，作于点，交于点． (1)如图1，连接和．求证：是等边三角形． (2)如图2，连接交于点，连接，，． ①求证：． ②设，，求关于的关系式． (3)的最小值为 ． 【答案】(1)见详解 (2)①见详解② (3) 【分析】（1）证明，再根据同弧所对的圆周角相等可知即可求解； （2）①根据中垂线可知，再根据菱形的对角线是菱形的对称轴可知，即可求证；②过点作，过点作,根据三角函数，用来表示，进而构造等量关系化简即可； （3）以为圆心，为半径画圆，当为切点时，取得最小值． 【详解】（1）证明：连接， 在菱形中，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴, ∵四边形是圆的内接四边形， ∴, ∵， ∴, 在和中， ∴, ∴， 在圆内， 则, 是等边三角形； （2）①证明：连接， 在等边三角形中，， ∴是边边上的中垂线， ∴， ∵是菱形的对角线， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴； ②解：过点作垂足为点，过点作垂足为点， 在菱形中，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴, ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵是边边上的中垂线， ∴, 以为圆心，为半径画圆， 当为切点时，取得最小值， ∴ 设， ∴，， ， ∴ ∴的最小值为． 23．在第一阶段质量监测中，我们介绍了“曲柄滑块机构”，它可用于活塞发动机．在另一种转子发动机（图（1）是某汽车转子发动机的截面图）中，有一个可以转动的部件，它的示意图如图（2）所示．图（2）的画法如下：画一个边长为a的正三角形，分别以A，B，C为圆心，以a为半径画，，．这三段弧组成的图形叫作圆弧三角形． (1)圆弧三角形的周长为______，面积为______．（都用含a的代数式表示） (2)圆弧三角形运动时有何特性呢？ ①如图（3），圆弧三角形沿直线向右滚动一周，在滚动过程中，它每时每刻都有一个最高点，最高点形成的图形大致为（     ） A．    B．    C．   D． ②数学家发现：圆弧三角形能在边长为a的正方形中转动，且始终保持与正方形的每一边都有且只有一个公共点．图（4）是转动过程中的一种情形（点B，C分别在边，上，与边有且只有一个公共点M）．求证：与有且只有一个公共点． (3)尝试画一个“圆弧多边形”，使其满足以下要求：①将它放在边长为a的正方形中转动时，也能始终保持与正方形的每一边都有且只有一个公共点；②该图形不能是圆弧三角形或圆．请画出示意图并写出画法． 【答案】(1)； (2)①A； ②证明：过点作，垂足为， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴是的半径， ∴与相切，即与有且只有一个公共点． (3)如图所示，圆弧五边形即为所求作的图形： 【分析】（1）圆弧三角形的周长由，，三段弧长构成，由，，利用弧长公式计算即可；圆弧三角形的面积可通过计算三个扇形的面积，但是中间的等边三角形的面积被多算了两次，只需减两次等边三角形的面积即可求出； （2）①圆弧三角形沿直线向右滚动一周，在滚动过程中，与地面接触的圆弧是与地面相切的，而无论切点的位置在哪段圆弧上，距离切点最远的长度都是相同的，即在滚动过程中的最高点距离地面的高度是保持不变的，所以最高点形成的图形是一条直线；②过点作，垂足为，利用正方形的性质可得，得出是的半径，结论即可得证； （3）先画出使其对角线长为的正五边形，分别以为圆心，以为半径画、、、、，这五段圆弧组成圆弧五边形，再通过圆弧五边形画出正方形． 【详解】（1）解：由题意可得：圆弧三角形是由三段圆弧围成的， ∴圆弧三角形的周长为， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴圆弧三角形的周长为， 过点作，垂足为， ∴， ∴， ∴， ∴圆弧三角形的面积为． （2）解：①圆弧三角形沿直线向右滚动一周，在滚动过程中，与地面接触的圆弧是与地面相切的，如图所示： ∵， ∴无论切点的位置在哪段圆弧上，距离切点最远的长度都是相同的， ∴在滚动过程中的最高点距离地面的高度是保持不变的， ∴最高点形成的图形是一条直线； ②略 （3）解：如图，画正五边形，使其对角线，分别以为圆心，以为半径画、、、、，这五段圆弧组成圆弧五边形， 连接，分别过点、点作的垂线，过点作的平行线，与过点、点作的的垂线分别交于点，过点作的垂线交于点，过点作的平行线，与过点、点作的垂线分别交于点， ∴，，， ∴四边形是边长为的正方形， ∴圆弧五边形可以在正方形中转动，并且始终保持与正方形的每一边都有且只有一个公共点，所作图形符合题意． 24．问题情境： 在学习课本“问题解决策略：特殊化”后，同学们以“正方形的旋转”为主题开展活动． 【探究发现】兴趣小组将足够大的直角三角板的一个顶点放在正方形的中心O处，并如图①绕点O旋转，初步探究：猜想线段与的关系，并加以证明； 【类比探究】如图②，四边形和四边形都是正方形，将顶点A与顶点E重合，正方形绕点A逆时针方向旋转，连接，．试猜想线段与的关系，并加以证明： 【拓展提升】 如图③，将两个大小一样的正六边形按照一个正六边形的顶点与另一个的中心重合的方式摆放．探究重叠部分的面积和一个正六边形面积之间的数量关系，请求出探究结果． 【答案】【探究发现】；证明见解析 【类比探究】；证明见解析 【拓展提升】 【分析】[探究发现]根据余角性质得，结合，，可得，即得； [类比探究]由余角性质得，由，，得，即得； [拓展提升]连接OA，OB，证明，由，，得，即得． 【详解】[探究发现]：证明：∵， ∴， 在正方形中，， ∴， ∴， 在正方形中，，， ∴， ∴． [类比探究]：证明：如图1， ∵四边形和四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴． [拓展提升]：如图，连接OA，OB， 由题意得，，， ∵， ∴， ∴， ∴重叠部分的面积．即． 【点睛】本题主要考查了正多边形旋转，熟练掌握正方形和正六边形性质，旋转性质，余角性质，角的和差性质，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，正确作出辅助线构造全等三角形，是解题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第20讲 正多边形和圆 目录 知识点1 正多边形的定义 2 知识点2 正多边形与圆的关系 2 知识点3 正多边形四大核心要素（必考） 2 知识点4 全套核心计算公式（秒杀公式） 2 知识点5 正多边形几何性质 3 知识点6 正多边形尺规作图原理 3 题型1 求正多边形的中心角 3 题型2 已知正多边形的中心角求边数 7 题型3 正多边形和圆的综合 10 题型4 尺规作图——正多边形 21 1. 知识目标：掌握正多边形的定义、基本要素（中心、半径、中心角、边心距）；理解正多边形与圆的内在关系，掌握圆内接正多边形的生成原理；熟记正多边形中心角、内角、外角、边数的全套计算公式；掌握正多边形的对称性与几何性质；熟练掌握正多边形尺规作图的原理与标准步骤。 2. 能力目标：能快速求解任意正多边形的中心角，可根据中心角逆向求边数；熟练完成正多边形边长、边心距、半径、周长、面积的综合计算；掌握正多边形与圆结合的几何综合题型解法；能规范完成常见正多边形的尺规作图。 3. 素养目标：建立数形结合、几何建模、对称变换的数学思想，提升正多边形与圆的识图运算、公式变形、几何推理与作图实操能力，完善圆章节几何体系，夯实中考正多边形基础计算与作图题型考点。 知识点1 正多边形的定义 各边相等、各内角相等的多边形叫做正多边形。 易错辨析：仅有各边相等或仅有各角相等的多边形不是正多边形（如矩形、菱形均不是正四边形，正方形是唯一正四边形）。 知识点2 正多边形与圆的关系 1. 把一个圆等分，依次连接各等分点，可得到这个圆的内接正n边形，该圆为正n边形的外接圆。 2. 任意正多边形有且只有一个外接圆和一个内切圆，且两圆同心（圆心重合）。 　　 知识点3 正多边形四大核心要素（必考） 1.中心：正多边形外接圆的圆心； 2. 半径：正多边形外接圆的半径（顶点到中心的距离）； 3. 中心角：正多边形每一条边所对的圆心角； 4. 边心距：正多边形中心到任意一条边的距离，也是内切圆半径。 知识点4 全套核心计算公式（秒杀公式） 设正多边形边数为： 1. 中心角公式： 2. 外角公式：正多边形外角与中心角相等，； 3. 内角公式：； 4. 边数逆求公式：。 知识点5 正多边形几何性质 1. 对称性：所有正多边形都是轴对称图形，对称轴条数=边数； 2. 中心对称性：偶数边正多边形是中心对称图形，奇数边正多边形不是； 3. 直角三角形模型：正多边形的半径、边心距、边长的一半，构成全等直角三角形，所有边长、边心距计算均依托勾股定理完成。 　知识点6 正多边形尺规作图原理 1. 作图核心：等分圆周，等分点依次连线得到正多边形； 2. 可直接尺规作图的正多边形：正四边形、正八边形、正三角形、正六边形、正十二边形； 3. 核心原理：利用垂直平分线、圆半径相等、60°、90°特殊圆心角等分圆周。 　 题型1 求正多边形的中心角 解题技巧（公式直代秒杀法） 1. 固定万能公式：已知边数，直接代入 ； 2. 常见特殊值熟记：正三角形中心角120°、正方形90°、正六边形60°，直接口算； 3. 间接求边数题型：先通过内角、外角求出边数，再套公式求中心角； 4. 核心结论：正多边形中心角与外角度数永远相等。 秒杀口诀：三百六除以边数，直接得中心角。 【典例1】．如图，用单位长度为的数轴测量正十二边形的对角线的长时，顶点，恰好分别与数轴上的和2对齐，则对角线的长为（    ） A． B． C． D． 【变式1】．下列图形是由圆及其内接正多边形组成的，将其绕圆心旋转后，能与原图形完全重合的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】．如图1为传统建筑中的一种窗格，图2为窗框的示意图，多边形为正六边形，连接，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式3】．如图，是手工课上同学们制作的正五边形卡通贴纸，将正五边形绕着它的中心旋转后，能够与原来的图形完全重合，则的值可以是________（写出个符合题意的数值即可）． 【变式4】．已知正多边形一个内角的度数是，那么该正多边形中心角的度数是_____． 题型2 已知正多边形的中心角求边数 解题技巧（逆向公式速算法） 1. 逆向核心公式：； 2. 直接带入已知中心角度数，计算结果必为大于等于3的正整数； 3. 核验排除：若计算结果为小数、小于3，说明题干理解错误，重新审题； 4. 拓展通用：已知外角度数，可用完全相同公式求边数。 【典例2】．如图，为弦，若，弦是圆内接正多边形的一边，则该正多边形为（   ） A．正五边形 B．正六边形 C．正七边形 D．正八边形 【变式1】．如图，点为一个正多边形的部分顶点，点为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为（    ） A．6 B．9 C．10 D．12 【变式2】．如图，是的内接正边形的一边，点在上，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式3】．大疆航拍无人机在距地面相同的高空，沿正多边形航线飞行完成拍摄任务，它到达正多边形的每个顶点时需要转动才能继续沿该正多边形的边飞行，则这个正多边形的边数为__________． 【变式4】．如图，在中，弦，分别是的内接正三角形和内接正方形的一条边，连接，也是的内接正n边形的一条边，则n的值是________． 题型3 正多边形和圆的综合 解题技巧（直角三角形建模法） 1. 固定辅助线：连接中心与顶点（得半径），作中心到边的垂线（得边心距）； 2. 构造直角三角形：半径为斜边，边心距、半边长为两条直角边； 3. 勾股定理核心关系：（半径，边心距，边长）； 4. 面积综合：，快速求正多边形面积； 5. 角度综合：结合圆心角、圆周角、内外角公式，联立求解复合角度； 6. 最值与对称：利用奇偶边对称性，判断中心对称、轴对称性质，解决图形变换问题。 【典例3】．风车，是一种不需要燃料、以风作为能源的动力机械．古代的风车是从船帆发展起来的，它具有6—8副像帆船那样的篷，分布在一根垂直轴的四周，风吹时像走马灯似的绕轴转动，叫走马灯式的风车．如图1为一大风车（运转后最外端的轨迹为圆），其直径为，该风车圆心上均匀地安装了8个扇叶，其示意图如图2，立杆垂直于地面，且圆周最低点D距离地面为． (1)若扇叶与立杆夹角，求扇叶最外端P与地面的距离． (2)在风车逆时针旋转的过程中，过点P作线段的垂线，当点P运行到的左侧且该垂线经过点C时，求的长度． 【变式1】．如图，的内接正五边形的对角线与相交于点M． (1)写出图中所有的等腰三角形（不添加其他线段）； (2)求证：． 【变式2】．用尺规作图法作正多边形是数学史上很经典的几何问题，在边数小于10的正多边形中，可以用尺规作图法作出的有正三、正四、正五、正六和正八边形，德国数学家高斯已经证明不能用尺规作图法作出正七边形和正九边形，但是我们可以用下列方法近似地作出一个正七边形：如图，已知为的直径． 步骤一：作出半径的垂直平分线，与分别交于E，F两点，垂足为D． 步骤二：以为半径，在上依次截取． 步骤三：顺次连接各分点，即可得到一个近似的正七边形． 动手操作：请用上面方法，用直尺（没有刻度）和圆规在已知中作出正七边形．要求：不写作法，但保留作图痕迹． 【变式3】．阅读与思考 下面是博学小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． 关于“等边半正多边形”的研究报告 博学小组研究对象：等边半正多边形 研究思路：类比三角形、四边形，按“概念－性质－判定”的路径，由一般到特殊进行研究． 研究方法：观察（测量、实验）－猜想－推理证明 研究内容： 【一般概念】对于一个凸多边形（边数为偶数），若其各边都相等，且相间的角相等、相邻的角不相等，我们称这个凸多边形为等边半正多边形．如图1，我们学习过的菱形（正方形除外）就是等边半正四边形，类似的，还有等边半正六边形、等边半正八边形… 【特例研究】根据等边半正多边形的定义，对等边半正六边形研究如下： 概念理解：如图2，如果六边形是等边半正六边形，那么，，，且． 性质探索：根据定义，探索等边半正六边形的性质，得到如下结论： 内角：等边半正六边形相邻两个内角的和为▲°． 对角线：… 任务： (1)直接写出研究报告中“▲”处空缺的内容：_____． (2)如图3，六边形是等边半正六边形．连接对角线，猜想与的数量关系，并说明理由； (3)如图4，已知是正三角形，是它的外接圆．请在图4中作一个等边半正六边形（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． 【变式4】．如图1，五边形是的内接五边形，，对角线于点． (1)①若，则_______； ②猜想和的数量关系，并证明； (2)如图2，当经过圆心时，若，，求； (3)作于点，求的值． 题型4 尺规作图——正多边形 解题技巧（四类标准作图模板） 1. 尺规作正四边形（正方形） ① 作圆的两条互相垂直的直径；② 依次连接四个直径端点，即为圆内接正方形。 2. 尺规作正八边形 ① 先作出正方形；② 平分正方形每一条边对应的弧；③ 连接所有等分点，得到正八边形。 3. 尺规作正六边形 ① 在圆上任取一点，以圆半径为定长，依次在圆上截取6个等分点；② 顺次连接六点，得到正六边形（边长=外接圆半径）。 4. 尺规作正三角形 ① 用正六边形等分圆周；② 间隔选取三个等分点，连接得到正三角形。 通用得分要点：保留全部作图痕迹（圆弧、垂线、等分痕迹），不可擦除，端点必须精准落在圆周上。 【典例4】．如图，已知直线l和l外一点A，请用尺规作图法，求作一个正方形，使得顶点B和顶点D都在直线l上（保留作图痕迹，不写作法）． 【变式1】．如图，是中互相垂直的两条直径，以点A为圆心，为半径画弧，与交于E、F两点． (1)求证：是正六边形的一边； (2)请在图上继续画出这个正六边形． 【变式2】．如图，由小正方形构成的网格中，每个小正方形的顶点叫做格点．仅用无刻度的直尺在给定的网格中按要求作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中过点作的切线； (2)在图1中画出一个圆内接正方形； (3)在图2中的圆上画出线段的中点； (4)在图3中作一个的圆周角． 【变式3】．在下列图中，请仅用圆规和无刻度的直尺分别按要求画出圆的内接正多边形（保留画图痕迹，不写画法）． (1)正三角形 (2)正方形 (3)正六边形 (4)正八边形 【变式4】．阅读与思考 尺规作图 一把直尺，一副圆规，就能开启奇妙的几何之旅．五种基本尺规作图，是构建万千图形的“钥匙”．不仅能完成严谨的几何证明与图形绘制，还能设计出对称精美的几何图案． 正方形内嵌正八边形，就是其中极具代表性的经典图案．如果一个正方形里面嵌套了一个正八边形，且正八边形至少有四个顶点分别在正方形的四条边上，那么我们称这个正八边形内嵌于这个正方形．你能用尺规作出图1或图2中正方形的内嵌正八边形吗？ 初步分析：从整体特征与元素特征两个角度回顾正八边形的性质． （1）整体特征：具有轴对称性和旋转对称性． （2）元素特征：各边相等，各角相等且都等于． 深入分析：以图2正方形内嵌正八边形为例，如图3，连接，，，，发现的结论如下： （1），，，分别是正方形各边的中点； （2）是顶角为，底角为的等腰三角形； （3）中，； （4）___________________________． 动手作图：利用作垂直平分线和角平分线的方法作图 （1）如图4，作边，的垂直平分线，分别交，，，于点，，，； （2）分别作和的角平分线，交于点；利用旋转对称性作出点，，； （3）顺次连接这八个点． ∴八边形为正方形的内嵌正八边形． 任务： (1)请根据“深入分析”中的条件，写出一条你发现的结论______________． (2)类比研究图2正方形内嵌正八边形的方法，如图5，连接，，交于点．线段是否与线段相等，请说明理由． (3)请根据你发现的几何结论，换一种尺规作图方式，在正方形中作出其内嵌正八边形（不写作图步骤，保留作图痕迹）． 1．如图，正五边形内接于，为上的一点（点不与点重合），则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图，正六边形的边长为1．扇形（阴影部分）的面积为（     ） A． B． C． D． 3．若正六边形的边长为2，则它的外接圆的面积为（     ） A． B． C． D． 4．下列命题正确的是（     ） A．各边相等的多边形是正多边形 B．各边相等的圆外切多边形是正多边形 C．各内角相等的圆内接多边形是正多边形 D．各边相等的圆内接多边形是正多边形 5．如图，把（不完整）分成相等的n段弧，其中，，是其中的三个等分点，连接，．若，依次连接各等分点得到的图形为（     ） A．正十边形 B．正九边形 C．正八边形 D．正六边形 6．如图，圆内接正六边形的边长为6，以其各边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积（     ） A． B． C． D． 7．如图，正方形内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆（与正方形四边都相切的圆）中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，若正方形的边长为2，则黑色部分的面积是（     ） A． B． C． D． 8．如图，是正五边形的内切圆，点M，N，F分别是边，，与的切点，则的度数为（     ） A． B． C． D． 9．如图，和分别是某一个圆内接正六边形和圆内接正方形的一边，若，则下列说法不正确的是（     ） A．该圆的半径是1 B．弦的长是 C．的长为 D．是的2倍 10．如图，H，I，J，K，L，M分别为正六边形各边上的动点（不与顶点重合），且六边形也是正六边形，它们的中心都是点O，连接交于点P．当时，给出下面四个结论错误是（   ） A． B．的最小值为 C． D．的最大值为 11．在正十二边形中，顺次连接某几个顶点恰好构成一个正边形，则可以是____________（写出一个）． 12．如图，有一个亭子，它的地基是边长为的正六边形，则这个正六边形地基的面积是_________（计算结果保留根号）． 13．如图，正五边形的边长为10，点、在上，则的长是_______． 14．如图，正七边形，连接对角线，交于点，则的度数为________． 15．传统工艺门环，俗称响器，是安装在房屋大门上的拉手，并供叩门之用，中国门环也常被称为铺首或门钹，但严格说来铺首和门钹只是不同形式的门环底座．如图是一边长为的正六边形门环底座示意图，门环与正六边形的一条对角线相切于点M，同时也分别与边和相切于点B和点C，则图中阴影部分的周长为______． 16．如图，是边长为4的正方形的外接圆．求图中阴影部分的扇形面积． 17．如图，正六边形内接于，边长为2． (1)求的直径的长； (2)求的度数． 18．如图（1）是瓦片做成的窗花，可以从中分离出一朵“花”的图案，如图（2），它是由八片相同的瓦片组成，其中间四片“对扣”，外围截面恰好抽象成一个圆，如图（3），点A，B，C，D表示瓦片的交接点． (1)判断四边形的形状，并说明理由． (2)若厘米，求图（3）中阴影部分的面积．（结果保留π） 19．【文化欣赏】（圆周率）的估算方法贯穿了数学发展史．其中阿基米德使用正九十六边形，利用（其中C为周长，d为直径），估算出的值． 【应用体验】 (1)如图1，正六边形内接于半径为1的圆内，求这个正六边形的周长并用此值估算的值． (2)如图2，半径为1的圆内切于正八边形，求这个正八边形的周长并用此值估算的值． (3)实际圆的周长介于内接正六边形周长与外切正八边形周长之间，请用这两个近似值的平均数来估算的值．【，（取1.41）】 20．【项目主题】估计的值 【项目实施】 步骤一：画一个边长为2的正六边形，再画出它的内切圆（正六边形内切圆的直径等于正六边形的对边距离，正六边形对边距离为，即内切圆半径为）．设内切圆与正六边形的面积比值为p，求p的值． 步骤二：随机撒1000粒芝麻到正六边形及其内切圆的纸上，统计落在圆内的芝麻数为900，计算频率（记为q）． 落在正六边形内的芝麻粒数/粒 落在内切圆内的芝麻粒数/粒 频率q 1000 900 步骤三：利用p与q的关系，估计的值． （1）①_____；_____； ②当取1.7时，_____（结果保留整数）； 【项目反思】若想提高估计精度，给出一条合理化建议． （2）建议：_____． 21．如图，正方形内接于，M为上的一点，连接． (1)若，求证：M为的中点． (2)若正方形的面积为4，请直接写出的半径． 22．在菱形中，，，点是边上的动点（不与，重合），过，，三点的圆交菱形的边于点，作于点，交于点． (1)如图1，连接和．求证：是等边三角形． (2)如图2，连接交于点，连接，，． ①求证：． ②设，，求关于的关系式． (3)的最小值为 ． 23．在第一阶段质量监测中，我们介绍了“曲柄滑块机构”，它可用于活塞发动机．在另一种转子发动机（图（1）是某汽车转子发动机的截面图）中，有一个可以转动的部件，它的示意图如图（2）所示．图（2）的画法如下：画一个边长为a的正三角形，分别以A，B，C为圆心，以a为半径画，，．这三段弧组成的图形叫作圆弧三角形． (1)圆弧三角形的周长为______，面积为______．（都用含a的代数式表示） (2)圆弧三角形运动时有何特性呢？ ①如图（3），圆弧三角形沿直线向右滚动一周，在滚动过程中，它每时每刻都有一个最高点，最高点形成的图形大致为（     ） A．    B．    C．   D． ②数学家发现：圆弧三角形能在边长为a的正方形中转动，且始终保持与正方形的每一边都有且只有一个公共点．图（4）是转动过程中的一种情形（点B，C分别在边，上，与边有且只有一个公共点M）．求证：与有且只有一个公共点． (3)尝试画一个“圆弧多边形”，使其满足以下要求：①将它放在边长为a的正方形中转动时，也能始终保持与正方形的每一边都有且只有一个公共点；②该图形不能是圆弧三角形或圆．请画出示意图并写出画法． 24．问题情境： 在学习课本“问题解决策略：特殊化”后，同学们以“正方形的旋转”为主题开展活动． 【探究发现】兴趣小组将足够大的直角三角板的一个顶点放在正方形的中心O处，并如图①绕点O旋转，初步探究：猜想线段与的关系，并加以证明； 【类比探究】如图②，四边形和四边形都是正方形，将顶点A与顶点E重合，正方形绕点A逆时针方向旋转，连接，．试猜想线段与的关系，并加以证明： 【拓展提升】 如图③，将两个大小一样的正六边形按照一个正六边形的顶点与另一个的中心重合的方式摆放．探究重叠部分的面积和一个正六边形面积之间的数量关系，请求出探究结果． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $