第04讲 二次函数的概念和y=ax²的图象和性质 2026-2027学年人教版九年级数学上册暑假预习讲义（知识点+题型精讲）

第04讲 二次函数的概念和y=ax2的图象和性质 目录 知识点1 二次函数的概念 2 知识点2 二次函数解析式列写规则 2 知识点3 描点法画函数图象步骤 2 知识点4 二次函数y=ax²的图象基本特征 2 知识点5 y=ax²的开口规律 3 知识点6 y=ax²的增减性与最值 3 题型1 列二次函数关系式 4 题型2 二次函数的识别 5 题型3 根据二次函数的定义求参数 5 题型4 利用描点法作函数图 6 题型5 二次函数y=ax2的图象 8 题型6 二次函数y=ax2的性质 10 1. 知识目标：理解二次函数的定义、一般形式及判定条件；掌握最简二次函数的图象特征、开口规律、对称轴、顶点、增减性与最值核心性质。 2. 能力目标：能准确识别二次函数、根据定义求解参数；会根据实际问题列二次函数关系式；熟练使用描点法画抛物线，能灵活运用函数图象和性质解决基础题型。 3. 素养目标：建立数形结合的函数思维，掌握分类讨论思想（），夯实二次函数学习基础，为后续复杂二次函数题型铺垫。 知识点1 二次函数的概念 一般地，形如 （是常数，）的函数，叫做二次函数。其中是自变量，是的函数。 三大核心判定条件（缺一不可）： 1. 整式函数：解析式必须是关于自变量的整式，分母、根号内不含自变量； 2. 最高次数：自变量的最高次数为2； 3. 系数限制：二次项系数，一次项系数、常数项可为0。 特殊形式：当时，二次函数为最简形式 。 知识点2 二次函数解析式列写规则 分析实际问题中两个变量的等量关系，用含自变量的整式式子表示因变量，整理为标准形式，同时结合实际场景标注自变量的取值范围（长度、面积、数量等均为正数）。 知识点3 描点法画函数图象步骤 1. 列表：以原点为中心，对称选取若干正负自变量的值，精准计算对应函数值； 2. 描点：在平面直角坐标系中，精准标出每组对应坐标的点； 3. 连线：用平滑曲线顺次连接各点，两端适当延伸，呈现抛物线完整形态，禁止用折线、直线连接。 知识点4 二次函数y=ax²的图象基本特征 1. 图象形状：抛物线，是轴对称图形； 2. 对称轴：y轴（直线）； 3. 顶点坐标：原点，是抛物线的唯一顶点； 4. 对称性：若点在抛物线上，则对称点也在抛物线上。 知识点5 y=ax²的开口规律 1. 开口方向：，抛物线开口向上；，抛物线开口向下； 2. 开口宽窄：越大，抛物线开口越窄、越靠近y轴；越小，抛物线开口越宽。 知识点6 y=ax²的增减性与最值 1. 当（开口向上）： 对称轴左侧（）：随的增大而减小； 对称轴右侧（）：随的增大而增大； 顶点处取最小值：时，，无最大值。 2. 当（开口向下）： 对称轴左侧（）：随的增大而增大； 对称轴右侧（）：随的增大而减小； 顶点处取最大值：时，，无最小值。 二次函数y=ax2（a≠0）的图象的性质，见下表： 函数 　 图象 开口方向 顶点坐标 对称轴 函数变化 最大（小）值 y=ax2 a>0 向上 （0，0） y轴 　　x>0时，y随x增大而增大； 　　x<0时，y随x增大而减小. 　当x=0时，y最小=0 y=ax2 a<0 向下 （0，0） y轴 　　x>0时，y随x增大而减小； 　　x<0时，y随x增大而增大. 　当x=0时，y最大=0 注意： 顶点决定抛物线的位置；几个不同的二次函数，如果二次项系数相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同； │a│相同，抛物线的开口大小、形状相同；│a│越大，开口越小，图象两边越靠近y轴，│a│越小，开口越大，�图象两边越靠近x轴. 题型1 列二次函数关系式 解题技巧：1. 审题定元：区分自变量、因变量，梳理题目中的数量关系；2. 找核心等量：重点抓取面积公式、动态几何、增长率、乘积类平方关系，此类场景多为二次函数模型；3. 列式整理：根据等量关系列等式，展开化简后整理为标准形式；4. 限定范围：结合实际意义，标注自变量取值范围（正数、整数、合理区间）。 高频易错：遗漏自变量取值范围、误将平方关系列成一次函数关系式。 【典例1】．公安部门提醒市民，骑车出门必须严格遵守“一盔一带”的规定．经销商统计某品牌头盔，7月份售出1500个，若每月的销售量比上一月份增加相同的百分率，请问9月份的销售量关于每月增加的百分率的函数解析式是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．某种药品售价为每盒300元，经过医保局连续两次“灵魂砍价”，药品企业同意降价若干进入国家医保用药目录．如果每次降价的百分率都是，则两次降价后的价格（元）与每次降价的百分率之间的函数关系式是（  ） A． B． C． D． 【变式2】．一个正方形的边长为，它的边长增加后，得到新的正方形的面积为，则y关于x的函数解析式为________． 【变式3】．某二次函数图像经过点，且开口向上，请写出一个符合上述条件的函数表达式：___________． 题型2 二次函数的识别 解题技巧（三要素秒杀判定法）：1. 判整式：解析式必须是整式，分母、根号含自变量直接排除；2. 判次数：化简后自变量最高次数严格为2；3. 判系数：二次项系数不为0；4. 区分函数类型：最高次1次为一次函数、含分式为反比例函数、最高次2次且符合条件为二次函数。 核心禁忌：未化简直接判定，部分式子化简后二次项抵消，不再是二次函数。 【典例2】．下列各式中，是的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．下列函数中，属于二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】．二次函数中，二次项系数为_______，一次项系数为_______，常数项为_______． 【变式3】．已知二次函数，它的二次项系数为，一次项系数为，常数项为，则为______． 题型3 根据二次函数的定义求参数 解题技巧（双重条件法）：1. 列等式：根据二次函数定义，令自变量最高次数等于2，列出方程；2. 列不等式：保证二次项系数，列出限制条件；3. 求解筛选：先解次数方程，求出所有候选参数值，再代入系数验证，舍去使二次项系数为0的无效值；4. 回代核验：最终参数需完全满足二次函数三要素。 必考陷阱：只关注次数条件，遗漏二次项系数不为0的核心限制，导致参数取值错误。 【典例3】．已知是二次函数，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【变式1】．若函数是关于的二次函数，则为（    ） A． B． C． D． 【变式2】．函数是关于的二次函数，则______． 【变式3】．若函数图象上存在点与点（其中 ，则称该函数为“关联函数”，如函数 的图象上，存在点和，所以函数 称作“关联函数”． （1）已知关于x的一次函数是“关联函数”，则k的值为_____． （2）若关于x的二次函数 是“关联函数”，则m的取值范围为_____． 题型4 利用描点法作函数图 解题技巧（标准三步法）：1. 科学列表：以为中心，对称选取正负整数（如-3、-2、-1、0、1、2、3），精准计算对应值，保证数据对称；2. 精准描点：严格根据坐标在坐标系描点，不偏移、不错位；3. 规范连线：用平滑曲线顺次连接各点，体现抛物线弧形特征，两端无限延伸，严禁折线、直线连接、断点绘制。 得分要点：图象左右对称、线条平滑、延伸自然是评分核心标准。 【典例4】．画出下列函数的图象： (1)； (2) 【变式1】．如图为二次函数的图象，请在同一坐标系中画出二次函数和的图象，并回答下列问题． x … 0 1 2 … … 4 1 0 1 4 … … … … … (1)二次函数和图象的形状是 ．开口向 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ．在对称轴的左侧，y随x的增大而 ；在对称轴的右侧，y随x的增大而 ．当x＝ 时，y有最 值为 ． (2)如果，a越大，即越大．抛物线的开口越 （填“大”或“小”）． 【变式2】．有一桥孔的形状是一条开口向下的抛物线的一部分． (1)在如图的平面直角坐标系中画出这条抛物线； (2)当水面与抛物线顶点的距离为时，利用图象求水面的宽； (3)当水面宽为时，水面与抛物线顶点的距离是多少？ 【变式3】．在同一平面直角坐标系中，画出函数与的图象． (1)列表： x … 0 1 3 … … … … … (2)描点并连线． (3)写出这两个图象的位置关系：______________． 题型5 二次函数y=ax2的图象 解题技巧：1. 速判基础特征：所有图象恒过原点、对称轴为y轴，无需额外计算；2. 快速定形态：看正负定开口方向，看大小定开口宽窄；3. 对称巧用：利用y轴对称性，已知一侧点坐标可直接写出另一侧对称点坐标；4. 图象对比：同一坐标系中，越大，抛物线越陡峭、开口越窄。 秒杀结论：a正上开、a负下开，绝对值大开口窄。 【典例5】．在平面直角坐标系中，点，，的图象如下图所示，则的值可以为（    ） A．3 B．2 C． D． 【变式1】．关于二次函数和的图象，下列结论不正确的是（   ） A．开口方向相同 B．形状相同 C．顶点坐标相同 D．当时，随着的增大而减小 【变式2】．根据函数图象填空： （1）抛物线的对称轴是________，顶点坐标是________，当x________时，抛物线上的点都在x轴的上方； （2）抛物线的开口向________，除顶点外，抛物线上的点都在x轴的________方，它的顶点是抛物线上的最________点． 【变式3】．如图，分别对应与的函数图象，则，的大小关系______． 题型6 二次函数y=ax2的性质 解题技巧（分类讨论法）：1. 先定分类：优先判断的正负，分开口向上、向下两类分析，不混淆性质；2. 分界判断：以y轴（）为增减性分界点，左右增减规律完全相反；3. 函数值比较：同侧点直接用增减性比较大小，异侧点利用对称性转化为同侧点再比较；4. 最值判定：顶点原点为唯一最值点，开口向上有最小值、开口向下有最大值，最值恒为0。 易错提醒：不分类讨论a的正负，直接判断增减性，极易出现解题错误。 【典例6】．给出下列函数： ①， ②， ③， ④，其中符合条件“当时，函数值随自变量增大而增大”的是（     ） A．①③ B．②④ C．①④ D．②③ 【变式1】．二次函数的图象上有三个点，，，则、、的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【变式2】．已知，是抛物线上的点，则，的大小关系是____． 【变式3】．已知抛物线的顶点为坐标原点，过作两条互相垂直的直线分别与抛物线交于点、，连接．求边上的高的最大值为___________． 1．若函数（为常数）的图象与轴有交点，则的取值范围是（     ） A． B．且 C． D．且 2．某工厂生产一种金属板，其总硬度是基础硬度与强化硬度之和，其中基础硬度与厚度x成正比，强化硬度与厚度x的平方成正比．已知时，，．当时，则其总硬度是（   ） A．65 B．75 C．85 D．95 3．下列各式中，是关于的二次函数的是（   ） A． B． C． D． 4．已知二次函数的图象和x轴有交点，则k的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 5．若关于的函数是二次函数，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 6．下列各点在函数的图象上的是（    ） A． B． C． D． 7．下列函数中，当时，的值随值的增大而减小的是（   ） A． B． C． D． 8．二次函数的图像x如图所示，点位于坐标原点，点，，，…在y轴的正半轴上，点，，，…在二次函数位于第一象限的图像上，若，，，…都为等边三角形，则的边长为（   ） A．2006 B．2007 C．2008 D．2009 9．已知长方形的长是，宽是长的一半，面积是，那么关于的解析式是___________．（不要求写定义域）． 10．把变成一般式，它的常数项为_____． 11．二次函数的定义：一般地，形如（a、b、c是常数，）的函数，叫作 ___________．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是 ___________，b是 ___________，c是 ___________．（a、b、c是常数，）也叫作二次函数的一般形式．判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数 ___________这个关键条件． 12．若是关于x的二次函数，则m的值为______． 13．如图，点在平面直角坐标系的原点上，点，，…在轴上，点，，，…，点，，，…都在抛物线上，四边形，，…都是菱形．若，则菱形的周长是________． 14．已知二次函数，当时，求函数的值． 15．已知二次函数． (1)求m的值． (2)当x为何值时，此二次函数有最小值？求出这个最小值，并指出当x如何取值时，y随x的增大而减小？ (3)若将此二次函数的图象向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，直接写出平移后新抛物线的顶点坐标．在新抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使以点Q与原抛物线的顶点P及原点O为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 16．已知二次函数的图象经过点． (1)求证：； (2)若该二次函数的最小值为． ①求二次函数的表达式； ②若，为二次函数图象上的不同的两点，且，求证：． 17．已知函数，和． (1)在同一个平面直角坐标系中画出这三个函数的图象； (2)分别说出这三个函数的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标； (3)试讨论函数的性质． 18．如图，已知二次函数的图像和直线相交于、两点，且点的坐标是，点的坐标是． (1)________，并直接写出将二次函数的图像向左平移个单位长度所得的图像的函数表达式__________． (2)求的面积． (3)在二次函数的图像上是否存在点，使得的面积等于的面积，若存在，请求出所有符合题意的点的坐标；若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第04讲 二次函数的概念和y=ax2的图象和性质 目录 知识点1 二次函数的概念 2 知识点2 二次函数解析式列写规则 2 知识点3 描点法画函数图象步骤 2 知识点4 二次函数y=ax²的图象基本特征 2 知识点5 y=ax²的开口规律 3 知识点6 y=ax²的增减性与最值 3 题型1 列二次函数关系式 3 题型2 二次函数的识别 5 题型3 根据二次函数的定义求参数 7 题型4 利用描点法作函数图 10 题型5 二次函数y=ax2的图象 16 题型6 二次函数y=ax2的性质 19 1. 知识目标：理解二次函数的定义、一般形式及判定条件；掌握最简二次函数的图象特征、开口规律、对称轴、顶点、增减性与最值核心性质。 2. 能力目标：能准确识别二次函数、根据定义求解参数；会根据实际问题列二次函数关系式；熟练使用描点法画抛物线，能灵活运用函数图象和性质解决基础题型。 3. 素养目标：建立数形结合的函数思维，掌握分类讨论思想（），夯实二次函数学习基础，为后续复杂二次函数题型铺垫。 知识点1 二次函数的概念 一般地，形如 （是常数，）的函数，叫做二次函数。其中是自变量，是的函数。 三大核心判定条件（缺一不可）： 1. 整式函数：解析式必须是关于自变量的整式，分母、根号内不含自变量； 2. 最高次数：自变量的最高次数为2； 3. 系数限制：二次项系数，一次项系数、常数项可为0。 特殊形式：当时，二次函数为最简形式 。 知识点2 二次函数解析式列写规则 分析实际问题中两个变量的等量关系，用含自变量的整式式子表示因变量，整理为标准形式，同时结合实际场景标注自变量的取值范围（长度、面积、数量等均为正数）。 知识点3 描点法画函数图象步骤 1. 列表：以原点为中心，对称选取若干正负自变量的值，精准计算对应函数值； 2. 描点：在平面直角坐标系中，精准标出每组对应坐标的点； 3. 连线：用平滑曲线顺次连接各点，两端适当延伸，呈现抛物线完整形态，禁止用折线、直线连接。 知识点4 二次函数y=ax²的图象基本特征 1. 图象形状：抛物线，是轴对称图形； 2. 对称轴：y轴（直线）； 3. 顶点坐标：原点，是抛物线的唯一顶点； 4. 对称性：若点在抛物线上，则对称点也在抛物线上。 知识点5 y=ax²的开口规律 1. 开口方向：，抛物线开口向上；，抛物线开口向下； 2. 开口宽窄：越大，抛物线开口越窄、越靠近y轴；越小，抛物线开口越宽。 知识点6 y=ax²的增减性与最值 1. 当（开口向上）： 对称轴左侧（）：随的增大而减小； 对称轴右侧（）：随的增大而增大； 顶点处取最小值：时，，无最大值。 2. 当（开口向下）： 对称轴左侧（）：随的增大而增大； 对称轴右侧（）：随的增大而减小； 顶点处取最大值：时，，无最小值。 二次函数y=ax2（a≠0）的图象的性质，见下表： 函数 　 图象 开口方向 顶点坐标 对称轴 函数变化 最大（小）值 y=ax2 a>0 向上 （0，0） y轴 　　x>0时，y随x增大而增大； 　　x<0时，y随x增大而减小. 　当x=0时，y最小=0 y=ax2 a<0 向下 （0，0） y轴 　　x>0时，y随x增大而减小； 　　x<0时，y随x增大而增大. 　当x=0时，y最大=0 注意： 顶点决定抛物线的位置；几个不同的二次函数，如果二次项系数相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同； │a│相同，抛物线的开口大小、形状相同；│a│越大，开口越小，图象两边越靠近y轴，│a│越小，开口越大，�图象两边越靠近x轴. 题型1 列二次函数关系式 解题技巧：1. 审题定元：区分自变量、因变量，梳理题目中的数量关系；2. 找核心等量：重点抓取面积公式、动态几何、增长率、乘积类平方关系，此类场景多为二次函数模型；3. 列式整理：根据等量关系列等式，展开化简后整理为标准形式；4. 限定范围：结合实际意义，标注自变量取值范围（正数、整数、合理区间）。 高频易错：遗漏自变量取值范围、误将平方关系列成一次函数关系式。 【典例1】．公安部门提醒市民，骑车出门必须严格遵守“一盔一带”的规定．经销商统计某品牌头盔，7月份售出1500个，若每月的销售量比上一月份增加相同的百分率，请问9月份的销售量关于每月增加的百分率的函数解析式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查根据题意列函数关系式． 根据每月的增长百分率，依次推导8月、9月的销售量，从而得到9月销售量关于x的函数解析式． 【详解】解：∵7月份销售量为1500个，每月销售量的增长百分率为x， ∴8月份的销售量为个， ∴9月份的销售量． 故选：A． 【变式1】．某种药品售价为每盒300元，经过医保局连续两次“灵魂砍价”，药品企业同意降价若干进入国家医保用药目录．如果每次降价的百分率都是，则两次降价后的价格（元）与每次降价的百分率之间的函数关系式是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键； 根据连续两次降价，每次降价的百分率为，则两次降价后的价格等于原价乘以的平方． 【详解】解：∵每次降价的百分率都是， ∴第一次降价后价格为， 第二次降价后价格为， ∴， 故选：B． 【变式2】．一个正方形的边长为，它的边长增加后，得到新的正方形的面积为，则y关于x的函数解析式为________． 【答案】 【分析】先根据题意得到新正方形的边长. 再利用正方形面积公式列出与的关系式. 整理后即可得到函数解析式． 【详解】由题意可知，原正方形边长为，边长增加后，新正方形的边长为 根据正方形面积公式，可得： 展开整理得： 由的实际意义可知， ∴． 【变式3】．某二次函数图像经过点，且开口向上，请写出一个符合上述条件的函数表达式：___________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了写二次函数解析式，根据二次函数开口向上可知二次项系数为正，经过点可知常数项为1，可设函数表达式． 【详解】解：设二次函数解析式为， ∵图像经过点， ∴代入得， 又∵开口向上， ∴． 取，，得． 故答案为：（答案不唯一）． 题型2 二次函数的识别 解题技巧（三要素秒杀判定法）：1. 判整式：解析式必须是整式，分母、根号含自变量直接排除；2. 判次数：化简后自变量最高次数严格为2；3. 判系数：二次项系数不为0；4. 区分函数类型：最高次1次为一次函数、含分式为反比例函数、最高次2次且符合条件为二次函数。 核心禁忌：未化简直接判定，部分式子化简后二次项抵消，不再是二次函数。 【典例2】．下列各式中，是的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数定义逐一判断选项即可. 【详解】解：二次函数的定义为：一般地，形如（，，是常数，）的函数，叫做二次函数. ∵选项A中是一次函数， ∴A不符合题意； ∵选项B中 ，符合二次函数的定义， ∴B符合题意； ∵选项C中，未说明，当时不是二次函数， ∴C不符合题意； ∵选项D中 里，是分式，不是整式，不符合二次函数定义， ∴D不符合题意. 【变式1】．下列函数中，属于二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的定义判断，二次函数是形如（，，是常数，）的整式函数，据此逐一分析选项即可． 【详解】解：A. 不是整式函数，不符合二次函数的定义，故不符合题意； B. ，该函数是一次函数，不是二次函数，故不符合题意； C. 符合（，，）的形式，是二次函数，故符合题意； D. ，不是整式函数，不符合二次函数的定义，故不符合题意， 综上，选C． 【变式2】．二次函数中，二次项系数为_______，一次项系数为_______，常数项为_______． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的定义，关键是熟练应用定义解题； 二次函数的一般形式为 （其中 ，， 是常数且），称为二次项系数，称为一次项系数，称为常数项． 【详解】解：对于二次函数 ，其一般形式中，，， 因此二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 故答案为：，，． 【变式3】．已知二次函数，它的二次项系数为，一次项系数为，常数项为，则为______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的概念，正确理解二次函数的概念即可解答． 根据二次函数的解析式得出，，的值，再代入即可． 【详解】解：由题意知，， ∴， 故答案为： ． 题型3 根据二次函数的定义求参数 解题技巧（双重条件法）：1. 列等式：根据二次函数定义，令自变量最高次数等于2，列出方程；2. 列不等式：保证二次项系数，列出限制条件；3. 求解筛选：先解次数方程，求出所有候选参数值，再代入系数验证，舍去使二次项系数为0的无效值；4. 回代核验：最终参数需完全满足二次函数三要素。 必考陷阱：只关注次数条件，遗漏二次项系数不为0的核心限制，导致参数取值错误。 【典例3】．已知是二次函数，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数二次项系数不为的要求，列不等式求解即可． 【详解】解：∵二次函数的二次项系数不能为，是二次函数， ∴， 解得． 【变式1】．若函数是关于的二次函数，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的定义求解，二次函数要求的最高次数为，且二次项系数不为，据此列出关系式即可求出的值． 【详解】解：函数是关于的二次函数， ，且， 解方程，即， 解得或， 又∵， ， ． 【变式2】．函数是关于的二次函数，则______． 【答案】 【分析】根据二次函数的定义，二次函数需满足自变量的最高次数为，且二次项系数不为，据此列出关系式解答即可求解． 【详解】解：∵函数是关于的二次函数， ∴且， 解得． 【变式3】．若函数图象上存在点与点（其中 ，则称该函数为“关联函数”，如函数 的图象上，存在点和，所以函数 称作“关联函数”． （1）已知关于x的一次函数是“关联函数”，则k的值为_____． （2）若关于x的二次函数 是“关联函数”，则m的取值范围为_____． 【答案】 1 或 【分析】（1）根据“关联函数”的定义求解即可； （2）方法同（1）得，进而得m的取值范围． 【详解】解：（1）把点与点代入得 由得 ∵， ∴, ∴； （2） 把点与点代入 得： ， 由得， ， 即， 把③代入①得： ， 整理得： ， 由得， ∴ ∴ ∵， ∴， 又，代入可知： ， ∴ ∴m的取值范围为或． 题型4 利用描点法作函数图 解题技巧（标准三步法）：1. 科学列表：以为中心，对称选取正负整数（如-3、-2、-1、0、1、2、3），精准计算对应值，保证数据对称；2. 精准描点：严格根据坐标在坐标系描点，不偏移、不错位；3. 规范连线：用平滑曲线顺次连接各点，体现抛物线弧形特征，两端无限延伸，严禁折线、直线连接、断点绘制。 得分要点：图象左右对称、线条平滑、延伸自然是评分核心标准。 【典例4】．画出下列函数的图象： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：列表： x … 0 1 2 3 … y … 27 12 3 0 3 12 27 … 在平面直角坐标系中描点，然后用光滑的曲线顺次连接各点，得到函数的图象，如图所示． （2）解：列表： x … 0 1 2 3 … y … 0 … 在平面直角坐标系中描点，然后用光滑的曲线顺次连接各点，得到函数的图象，如图所示． 【变式1】．如图为二次函数的图象，请在同一坐标系中画出二次函数和的图象，并回答下列问题． x … 0 1 2 … … 4 1 0 1 4 … … … … … (1)二次函数和图象的形状是 ．开口向 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ．在对称轴的左侧，y随x的增大而 ；在对称轴的右侧，y随x的增大而 ．当x＝ 时，y有最 值为 ． (2)如果，a越大，即越大．抛物线的开口越 （填“大”或“小”）． 【答案】(1)抛物线，上，y轴，，减小，增大，0，小，0； (2)小 【分析】本题结合图象考查了二次函数的性质，重点是注意函数的开口方向、顶点坐标、对称轴及单调性与最值的问题． 先列表，描点、连线作出函数的图象． （1）根据画出的函数图象并结合其性质即可求解； （2）根据图象即可得到结论． 【详解】（1）列表： x … 0 1 2 … … 4 1 0 1 4 … … 8 2 0 2 8 … … 2 0 2 … 描点、连线画出函数的图象如图： 二次函数和图象的形状是抛物线．开口向上，对称轴是y轴，顶点坐标是．在对称轴的左侧，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，y随x的增大而增大．当时，y有最小值为0． （2）解：由图象可知，如果，a越大，即越大．抛物线的开口越小． 【变式2】．有一桥孔的形状是一条开口向下的抛物线的一部分． (1)在如图的平面直角坐标系中画出这条抛物线； (2)当水面与抛物线顶点的距离为时，利用图象求水面的宽； (3)当水面宽为时，水面与抛物线顶点的距离是多少？ 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． （1）利用描点法画出函数的图象即可得； （2）求出当时，的值，由此即可得； （3）先求出抛物线的顶点坐标为，其对称轴为轴，再求出当时，的值，由此即可得． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，． 利用描点法，在平面直角坐标系中画出这条抛物线如下： ． （2）解：当水面与抛物线顶点的距离为时，则， 如图，将代入抛物线得：， 解得或， 则水面的宽为， 答：水面的宽为． （3）解：抛物线的顶点坐标为，其对称轴为轴， 当水面宽为时，将代入得：， 则， 答：水面与抛物线顶点的距离是． 【变式3】．在同一平面直角坐标系中，画出函数与的图象． (1)列表： x … 0 1 3 … … … … … (2)描点并连线． (3)写出这两个图象的位置关系：______________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)关于x轴对称 【分析】本题主要考查二次函数图象的绘制及性质．本题先通过代入计算得到函数值完成列表，再根据函数性质判断图象位置关系． （1）根据函数表达式，将给定的值代入计算和的值； （2）直接根据（1）的表格数据描点并连线即可； （3）通过观察所绘制的图象得出两个图象的位置关系． 【详解】（1）解：列表如下： x … 0 1 3 … … 3 0 3 … … 0 … （2）解：如图所示． （3）解：观察图像可知：关于x轴对称． 题型5 二次函数y=ax2的图象 解题技巧：1. 速判基础特征：所有图象恒过原点、对称轴为y轴，无需额外计算；2. 快速定形态：看正负定开口方向，看大小定开口宽窄；3. 对称巧用：利用y轴对称性，已知一侧点坐标可直接写出另一侧对称点坐标；4. 图象对比：同一坐标系中，越大，抛物线越陡峭、开口越窄。 秒杀结论：a正上开、a负下开，绝对值大开口窄。 【典例5】．在平面直角坐标系中，点，，的图象如下图所示，则的值可以为（    ） A．3 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数，一元一次不等式组，熟练掌握二次函数的图像性质即可顺利解题． 分别将，两点的横坐标代入，由图像知，时，，当时，，列出不等式组，即可求解． 【详解】解：将代入中时，得 ， 将代入中时，得 ， 根据图像可知，时，，当时，， 则有： ， 解得：， ∴只有满足， 故选D． 【变式1】．关于二次函数和的图象，下列结论不正确的是（   ） A．开口方向相同 B．形状相同 C．顶点坐标相同 D．当时，随着的增大而减小 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，需根据二次函数的开口方向、形状、顶点坐标及增减性的相关知识逐一分析选项． 【详解】∵二次函数（）中，决定开口方向和形状，两个函数的相同 ∴开口方向相同，形状相同，故A、B选项结论正确． ∵的顶点坐标为，的顶点坐标为， ∴两个函数顶点坐标不同，故C选项结论不正确． ∵两个函数的对称轴均为轴，且开口向上 ∴当时，随着的增大而减小，故D选项结论正确． 故选：C． 【变式2】．根据函数图象填空： （1）抛物线的对称轴是________，顶点坐标是________，当x________时，抛物线上的点都在x轴的上方； （2）抛物线的开口向________，除顶点外，抛物线上的点都在x轴的________方，它的顶点是抛物线上的最________点． 【答案】 轴（或直线） 下 下 高 【分析】本题考查形如的二次函数的图象性质．根据二次项系数的符号判断开口方向．结合函数性质即可求解各空． 【详解】（1）抛物线属于型二次函数． 根据二次函数性质，其对称轴是轴，即直线．顶点坐标是． ．则抛物线开口向上．且． 仅当时． 当时．．抛物线上的点都在轴上方． （2）抛物线中． ．根据二次函数性质，抛物线开口向下． ． 仅当，即顶点处时． 除顶点外，抛物线上的点都满足，都在轴的下方．开口向下的抛物线，顶点是抛物线上的最高点． 【变式3】．如图，分别对应与的函数图象，则，的大小关系______． 【答案】 【分析】根据二次函数的性质即可求解． 【详解】解：如图： 因为直线与两条抛物线的交点从上到下依次为，， 所以． 题型6 二次函数y=ax2的性质 解题技巧（分类讨论法）：1. 先定分类：优先判断的正负，分开口向上、向下两类分析，不混淆性质；2. 分界判断：以y轴（）为增减性分界点，左右增减规律完全相反；3. 函数值比较：同侧点直接用增减性比较大小，异侧点利用对称性转化为同侧点再比较；4. 最值判定：顶点原点为唯一最值点，开口向上有最小值、开口向下有最大值，最值恒为0。 易错提醒：不分类讨论a的正负，直接判断增减性，极易出现解题错误。 【典例6】．给出下列函数： ①， ②， ③， ④，其中符合条件“当时，函数值随自变量增大而增大”的是（     ） A．①③ B．②④ C．①④ D．②③ 【答案】C 【分析】本题根据一次函数、反比例函数、二次函数的增减性，逐个判断各函数在时的增减性即可得到答案. 【详解】解：①对于，是一次函数，，随增大而增大，当时符合条件； ②对于，是一次函数，，随增大而减小，不符合条件； ③对于，是反比例函数，，时随增大而减小，当时不符合条件； ④对于，是二次函数，开口向上，对称轴为，时随增大而增大，故当时符合条件； 因此符合条件的是①④，故选C. 【变式1】．二次函数的图象上有三个点，，，则、、的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵二次函数中，， ∴抛物线开口向上，对称轴为轴， ∴当时，随的增大而增大， ∵点、、的横坐标满足，都在对称轴右侧， ∴． 【变式2】．已知，是抛物线上的点，则，的大小关系是____． 【答案】 【分析】求出，的值，比较即可得出结果． 【详解】解：∵，是抛物线上的点， ∴，， ∵， ∴． 【变式3】．已知抛物线的顶点为坐标原点，过作两条互相垂直的直线分别与抛物线交于点、，连接．求边上的高的最大值为___________． 【答案】4 【分析】设出、两点的坐标，并表示出三条直线的表达式，可以得出直线过定点，可知当与轴平行时，边上的高有最大值． 【详解】解：如图： 设点，， 则：直线的表达式为：， 直线的表达式为：， 直线的表达式为：， ， 过点分别作轴垂线，交轴于点， ∴， ∴， ∴， ， ， 则直线的表达式为：， 直线必过点， 当与轴平行时，边上的高有最大值，为． 1．若函数（为常数）的图象与轴有交点，则的取值范围是（     ） A． B．且 C． D．且 【答案】C 【分析】分两种情况分析：①当时，②当时，分别利用一次函数与二次函数与坐标轴的交点问题求解即可． 【详解】解：①当时，直线与轴有交点， ∴符合题意． ②当时，抛物线与轴有交点，即关于的方程有实数根， ∴，解得． ∴当且时，符合题意． 综上所述，的取值范围是． 2．某工厂生产一种金属板，其总硬度是基础硬度与强化硬度之和，其中基础硬度与厚度x成正比，强化硬度与厚度x的平方成正比．已知时，，．当时，则其总硬度是（   ） A．65 B．75 C．85 D．95 【答案】D 【分析】先根据正比例函数和二次函数的性质，结合已知条件求出基础硬度和强化硬度关于厚度x的表达式，再求出总硬度y关于x的表达式，最后将代入表达式求出总硬度． 【详解】解：∵基础硬度与厚度x成正比，强化硬度与厚度x的平方成正比，总硬度， ∴设，，其中，均不为0， 将，，分别代入得，， 解得，， ∴， 当时，， ∴总硬度是95． 3．下列各式中，是关于的二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数的定义判断，二次函数是形如（，为常数）的整式函数，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、是分式，不是整式，不符合定义，该选项不符合题意； B、整理得，符合，符合二次函数定义，该选项符合题意； C、中x的最高次数为1，是一次函数，该选项不符合题意； D、中，一个x对应两个不同的y值，y不是x的函数，该选项不符合题意． 4．已知二次函数的图象和x轴有交点，则k的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】根据二次函数要求二次项系数不为0，二次函数图象与x轴有交点时对应一元二次方程的判别式，据此列不等式求解即可． 【详解】解：∵二次函数， ∴二次项系数， 又∵该函数图象和轴有交点，即方程有实根， ∴， 化简得，解得， 综上的取值范围是且． 5．若关于的函数是二次函数，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵关于的函数是二次函数，二次函数要求二次项系数不为0， ∴， 解得． 6．下列各点在函数的图象上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】函数图象上的点的坐标一定满足函数解析式，将各选项点的横坐标代入解析式，计算得到的y值与点的纵坐标相等，该点就在函数图象上，由此判断选项即可． 【详解】解：A选项，当时，， ∴不在该函数图象上，不符合题意； B选项，当时，， ∴不在该函数图象上，不符合题意； C选项，当时，，与点的纵坐标相等， ∴在该函数图象上，符合题意； D选项，当时，， ∴不在该函数图象上，不符合题意． 7．下列函数中，当时，的值随值的增大而减小的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据反比例函数，一次函数，二次函数的性质，逐项判断，即可求解． 【详解】解：A、因为，则当时，的值随值的增大而增大，故本选项不符合题意； B、因为，则当时，的值随值的增大而增大，故本选项不符合题意； C、因为，且对称轴为y轴，则当时，的值随值的增大而增大，故本选项不符合题意； D、因为，则当时，的值随值的增大而减小，故本选项符合题意； 8．二次函数的图像x如图所示，点位于坐标原点，点，，，…在y轴的正半轴上，点，，，…在二次函数位于第一象限的图像上，若，，，…都为等边三角形，则的边长为（   ） A．2006 B．2007 C．2008 D．2009 【答案】C 【分析】先计算出；；的边长，推理出等边的边长为n的规律，依据规律得到的边长． 【详解】解：作轴于，轴于，轴于． 设，，． ∵等边， ∴， ∴， ∴点坐标为，代入解析式得， 解得（舍去）或，于是等边的边长为； ∵等边， ∴， 所以，点坐标为，代入解析式得， 解得（舍去）或， 于是等边的边长为； ∵等边， ∴， 所以，点坐标为，代入解析式得， 解得（舍去）或， 于是等边的边长为． … 等边的边长为n， 于是的边长为2008． 9．已知长方形的长是，宽是长的一半，面积是，那么关于的解析式是___________．（不要求写定义域）． 【答案】 【分析】本题考查了列二次函数的解析式，根据长方形面积公式，将宽表示为长的一半，代入公式求解． 【详解】解：∵长方形的长是 ，宽是长的一半， 因此宽为．长方形的面积等于长乘以宽， 即． 故答案为． 10．把变成一般式，它的常数项为_____． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的一般形式，二次函数的一般形式为（为常数且）. 根据整式的乘法法则将右边展开，再合并同类项，即可将其化为一般形式，即可得到答案. 【详解】解：， 把变成一般式，它的常数项为， 故答案为：. 11．二次函数的定义：一般地，形如（a、b、c是常数，）的函数，叫作 ___________．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是 ___________，b是 ___________，c是 ___________．（a、b、c是常数，）也叫作二次函数的一般形式．判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数 ___________这个关键条件． 【答案】 二次函数 二次项系数 一次项系数 常数项 不等于0 【分析】此题考查的是二次函数，掌握其定义是解决此题的关键．直接根据二次函数的定义解答即可． 【详解】解：二次函数的定义：一般地，形如（a、b、c是常数，）的函数，叫作二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．（a、b、c是常数，）也叫作二次函数的一般形式． 判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不等于0这个关键条件． 故答案为：二次函数，二次项系数，一次项系数，常数项，不等于0． 12．若是关于x的二次函数，则m的值为______． 【答案】2 【分析】本题主要考查了根据二次函数的定义求参数，解题的关键是掌握二次函数的定义． 根据二次函数的定义，最高次项为二次，且二次项系数不为零，因此需满足指数条件 且系数条件． 【详解】解：因为函数是关于的二次函数，所以的最高次项为二次，即， 解方程得， 所以或 ， 又因为二次项系数，当时，，不符合条件，故舍去， 因此．当时，函数为，满足二次函数定义． 故答案为：2． 13．如图，点在平面直角坐标系的原点上，点，，…在轴上，点，，，…，点，，，…都在抛物线上，四边形，，…都是菱形．若，则菱形的周长是________． 【答案】 【分析】设菱形的边长为，根据题意求出，代入抛物线的解析式求出，同法求出，推出，进而得到菱形的边长为，即可得出结果. 【详解】解：∵四边形，，…都是菱形，点，，…在轴上， ∴轴，轴，…， 设菱形的边长为， ∵， ∴， ∴，即， ∵点，，，…都在抛物线上， ∴， 解得（舍去）或； ∴， ∴，即， ∴， 解得或（舍去） 同法可得：，， ∴， ∴菱形的边长为， ∴菱形的周长是. 14．已知二次函数，当时，求函数的值． 【答案】 【详解】解：将代入，得． 15．已知二次函数． (1)求m的值． (2)当x为何值时，此二次函数有最小值？求出这个最小值，并指出当x如何取值时，y随x的增大而减小？ (3)若将此二次函数的图象向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，直接写出平移后新抛物线的顶点坐标．在新抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使以点Q与原抛物线的顶点P及原点O为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)m的值为2 (2)当x为0时，此二次函数有最小值5，当时，y随x的增大而减小 (3)新抛物线的顶点坐标为，存在，点的坐标为或或或或 【分析】（1）由二次函数定义可知，的指数必须等于 2，且二次项系数 ，由此解出 的值． （2）将代入函数解析式得，根据二次函数的顶点坐标公式和开口方向，可确定其顶点坐标、最小值及增减性． （3）由平移规律“左加右减、上加下减”得新抛物线顶点为，设，分别讨论、、三种情况，利用两点间距离公式列方程求解 值，即可得到所有满足条件的点的坐标． 【详解】（1）解：根据题意得，且， 解得， 所以的值为 2； （2）解：∵的值为 2， ∴， ∴二次函数的顶点坐标为， ∵， ∴当 时，此二次函数有最小值 5，当时，随的增大而减小； （3）解：∵，顶点坐标为， ∴将此二次函数的图象向左平移 3个单位长度，再向下平移1个单位长度， 平移后新抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线， 设， 则 ① 当时， ，解得 或 9， ∴ 点的坐标为或； ②当时， ，解得， ∴点的坐标为； ③ 当时， ，解得或， ∴点的坐标为或． 综上，点的坐标为或或或或． 16．已知二次函数的图象经过点． (1)求证：； (2)若该二次函数的最小值为． ①求二次函数的表达式； ②若，为二次函数图象上的不同的两点，且，求证：． 【答案】(1) 证明：二次函数的图象经过点， ， ； (2)①； ②证明：点在二次函数的图象上， ，， ， ， ， 由题意可知，点，关于直线对称， ，， ． 【分析】（1）把点代入解析式，求出即可； （2）①利用配方法得到顶点，再列式求解即可； ②根据题意可得，利用二次函数的对称性得到，再代入计算即可证明． 【详解】（1）略 （2）①解：， ， 该二次函数的最小值为， ，且， 解得，（舍去）， 该二次函数的表达式为； ②略 17．已知函数，和． (1)在同一个平面直角坐标系中画出这三个函数的图象； (2)分别说出这三个函数的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标； (3)试讨论函数的性质． 【答案】(1) 解：列表： x … 0 1 2 … … … 列表： x … … … … 列表： x … … … … 如图所示为所求： (2) ：开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为； ：开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为； ：开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为. (3) 函数开口向上，对称轴为直线，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大.函数有最小值，最小值为． 【分析】（1）利用描点法画出函数图象即可； （2）利用顶点式二次函数的特征，可直接得到开口方向、对称轴和顶点坐标； （3）观察图象即可解决问题． 【详解】（1）略 （2）解：对于顶点形式的二次函数，决定开口方向，对称轴为直线，顶点坐标为． 对于，，，，因此开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为． 对于，，，，因此开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为． 对于，，，，因此开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为． （3）解：函数开口向上，对称轴为直线， 因此当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，当时，有最小值． 18．如图，已知二次函数的图像和直线相交于、两点，且点的坐标是，点的坐标是． (1)________，并直接写出将二次函数的图像向左平移个单位长度所得的图像的函数表达式__________． (2)求的面积． (3)在二次函数的图像上是否存在点，使得的面积等于的面积，若存在，请求出所有符合题意的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)； (3)或． 【分析】本题主要考查二次函数的图像与性质、三角形面积的计算，掌握相关知识是解题的关键． （1）将代入二次函数即可求出，根据二次函数的图像性质即可得出平移后的图像的函数表达式； （2）设直线的解析式为，将和代入即可求出解析式，再求出交点C坐标，根据即可求解； （3）设，根据面积等于的面积为求出，再代入抛物线求解即可． 【详解】（1）解：代入二次函数得， 解得， 向左平移个单位长度所得的图像的函数表达式为：； （2）设直线的解析式为， 将和代入直线的解析式得， 解得， 直线的解析式为， 联立直线与抛物线得， 解得， 交点C坐标为， ； （3）设，要求面积等于的面积为， 得， 解得：，， 代入抛物线得， 点的坐标为或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $