暑假预习：一次函数与反比例函数图像问题、一次函数与反比例函数交点问题 专项训练-2026--2027学年八升九暑假数学（人教版八年级数学下册）

**基本信息** 聚焦一次函数与反比例函数图像及交点问题，通过中考真题与期末试题构建从图像识别到交点应用的递进训练，强化几何直观与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |一次函数与反比例函数图像问题|3例+3变式|图像选择判断题，含参数讨论|从函数系数符号到图像分布的推理，建立数与形的对应关系| |一次函数与反比例函数交点问题|6例+6变式|交点坐标求解、不等式解集、面积计算|通过方程组求解交点，结合图像分析函数值大小关系，体现模型意识|

暑假预习：一次函数与反比例函数图像问题、一次函数与反比例函数交点问题专项训练 暑假预习：一次函数与反比例函数图像问题、一次函数与反比例函数交点问题专项训练 考点目录 一次函数与反比例函数图像问题 一次函数与反比例函数交点问题 考点一 一次函数与反比例函数图像问题 例1．（2026·四川巴中·中考真题）函数与（）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据的符号分两种情况讨论，结合函数图象经过的象限进行判断即可． 【详解】解：分两种情况讨论：①当时，则， 反比例函数的图象在第一、三象限，一次函数的图象经过第一、三、四象限； 观察选项A、B，图象均不符合； ②当时，则， 反比例函数的图象在第二、四象限，一次函数的图象经过第一、二、四象限； 观察选项C，直线经过第一、三、四象限，不符合； 观察选项D，双曲线在第二、四象限，直线经过第一、二、四象限，符合． 例2．（25-26八年级下·湖南衡阳·期末）在同一平面直角坐标系中，函数与的图象大致是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分类讨论，当时，故经过第一、二、四象限，经过第一、三象限，或当时，经过第一、二、三象限，且进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：依题意，当时，则， ∴经过第一、二、四象限， 此时得经过第一、三象限， 故A选项符合题意，B、D选项都不符合题意； 当时，则， ∴经过第一、二、三象限， 故C选项不符合题意； 综上，只有选项A符合题意． 例3．（25-26八年级下·山东济南·期末）函数与在同一坐标系内的图象大致为图中的（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一次函数的图象经过的象限判断的取值范围，再根据的取值范围判断反比例函数经过的象限是否符合要求． 【详解】解：A选项：一次函数的图象经过第一、二、三象限， ，即， 一次函数的图象与轴的交点应在轴的负半轴， 故A选项错误； B选项：一次函数的图象经过第一、二、四象限， ，即， 一次函数的图象与轴的交点应在轴的正半轴， 反比例函数应在第一、三象限， 故B选项正确； C选项：一次函数的图象经过第一、二、四象限， 即， 一次函数的图象与轴的交点应在轴的正半轴， 反比例函数应在第一、三象限， 故C选项错误； D选项：一次函数的图象经过第一、三、四象限， 即， 一次函数的图象与轴的交点应在轴的负半轴， 反比例函数应在第二、四象限， 故D选项错误． 变式1．（25-26八年级下·山东东营·期末）已知，则反比例函数和一次函数的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分和两种情况，进行讨论，判断即可. 【详解】解：当时，则，则双曲线过一、三象限， ∵，，则直线过一、二、四象限； 当时，则，则双曲线过二、四象限， ∵，，则直线过一、二、三象限； 观察可知，只有选项C的图象符合题意. 变式2．（25-26八年级下·山东济南·期中）函数和在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题目中的函数解析式，利用分类讨论的方法可以判断各个选项中的函数图象是否正确，从而可得答案． 【详解】解：对于，当时，，观察图象可排除B和D； ∵反比例函数和一次函数 ∴当时，函数在第一、三象限，一次函数经过二、三、四象限； 当时，函数在第二、四象限，一次函数经过一、三、四象限， 观察A、C选项，选项A符合题意． 变式3．（24-25八年级下·四川乐山·阶段检测）在同一直角坐标系内，函数和的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的图象和一次函数的图象，熟悉两函数的性质是解题的关键．根据函数解析式分别讨论正比例函数与反比例函数图象所经过的象限即可解答． 【详解】解：函数中，，则函数图象经过一、三象限， 函数中，，则函数图象经过二、四象限， 可见，符合条件的只有A． 故选：A． 考点二 一次函数与反比例函数交点问题 例1．（25-26八年级下·山东济南·期末）如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，则关于x的不等式的解集是（     ） A．或 B．或 C．或 D． 【答案】A 【分析】根据函数图象得到当或时在上方，即可得到答案． 【详解】解：一次函数与反比例函数的图象交于，两点， 根据函数图象可知当或时在上方， 关于的不等式解集是或． 例2．（25-26八年级下·河南周口·期末）如图，一次函数与函数的图象相交于点，．下列说法错误的是（     ） A．两图象的交点的坐标为 B．若，则的取值范围是或 C．一次函数与反比例函数都随的增大而增大 D．连接，，则的面积是 【答案】C 【分析】由题意易得一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为，然后根据一次函数及反比例函数的图象与性质进行排除选项即可． 【详解】解：由题意可把代入一次函数得：，解得：， ∴一次函数的解析式为， ∵在反比例函数图象上， ∴， ∴反比例函数的解析式为， ∵在一次函数上， ∴， ∴点的坐标为，故A正确； 由图象可知：若，则的取值范围是或，故B正确； ∵， ∴一次函数随的增大而增大，反比例函数在每个象限内，随的增大而减小，故C错误； 由一次函数可知：其函数图象与轴的交点坐标为， ∴，故D正确． 例3．（25-26八年级下·山西长治·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，则关于x的不等式的解集是________． 【答案】或 【分析】找出一次函数图象在反比例函数图象上方的部分即可得出结果． 【详解】解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点， ∴结合函数图象得关于x的不等式的解集是或． 例4．（25-26八年级下·上海·期中）如图，一次函数与反比例函数的图像交于、两点，其横坐标分别为1和3，则关于的不等式的解集是______． 【答案】或 【分析】找到直线在双曲线下方时的自变量的范围，即可得出结果． 【详解】解：由图象可知，关于的不等式的解集是或． 例5．（2026·安徽芜湖·三模）一次函数与反比例函数交于、两点，两点横坐标分别为和． (1)求、的值； (2)求直线与坐标轴围成的的面积． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）联立一次函数与反比例函数，由题意可知，和是方程的两根，代入求解即可 （2）求出点和点的坐标，进而计算出的面积． 【详解】（1）解：联立一次函数与反比例函数，得， ， 整理，得， 由题意可知，和是方程的两根， ∴， 解得； （2）解：由（1）可知，一次函数的解析式为， 将代入，得， ∴点的坐标为， 将代入，得， ∴点的坐标为， ∴， ∴． 例6．（25-26八年级下·辽宁盘锦·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，与y轴交于点C，已知点，点B的横坐标为． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)观察图象，直接写出当时，自变量x的取值范围； (3)若点D是y轴上的一点，且，求出点D坐标． 【答案】(1)一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为 (2)或 (3)点的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法计算即可得出结果； （2）找出一次函数的图象在反比例函数图象上面的部分即可； （3）求出，设，则，再根据三角形的面积公式计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象过点， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为， ∵点B的横坐标为， ∴， ∴， 将，代入一次函数得， 解得， ∴一次函数的解析式为； （2）解：观察图象，当时，自变量x的取值范围为或； （3）解：在中，当时，， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， 解得或， ∴点的坐标为或． 变式1．（25-26八年级下·吉林长春·期末）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数是常数，与反比例函数的图象相交于、两点，轴于点，则的面积为（     ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】设点A坐标为，根据反比例函数图象的中心对称性质得点B坐标为，再根据计算即可． 【详解】解：设点A坐标为， ∵点A与点B关于原点对称， ∴点B坐标为， ∴， 即的面积为1． 变式2．（2026·广西防城港·模拟预测）如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数（，是常数，且）与反比例函数（是常数，且）的图象相交于，两点，则不等式的解集是（     ） A． B．或 C．或 D． 【答案】C 【详解】解：由函数图象可知：不等式的解集为或． 变式3．（25-26八年级下·浙江金华·期末）如图，正比例函数与反比例函数图象交于点A、B，已知点A的横坐标为1，则关于x的不等式的解集是______． 【答案】 或 【分析】先利用正比例函数和反比例函数的对称性，因为两个函数的交点关于原点对称，所以由点A的横坐标为1，可得到点B的横坐标．将不等式变形为，问题转化为找正比例函数图象在反比例函数图象上方时对应的x的取值范围．结合函数图象，分和两个区间，根据两个交点的横坐标，确定满足的x的范围． 【详解】解：正比例函数和反比例函数的图象都关于原点中心对称，因此它们的交点、也关于原点对称． 已知点横坐标为，因此点横坐标为． ，即找正比例函数值大于反比例函数值时的范围． 观察图象可得：当时，正比例函数图象在反比例函数图象上方，满足； 当时，正比例函数图象也在反比例函数图象上方，满足． 因此不等式的解集为 或 ． 变式4．（2026·河北邯郸·三模）如图，直线与反比例函数的图象交于，两点，且，则________． 【答案】 【分析】设点的坐标为，点的坐标为，联立直线与反比例函数可得，由根与系数的关系可得，．由，结合勾股定理可得，即，代入求解即可． 【详解】解：设点的坐标为，点的坐标为， 联立直线与反比例函数可得， ， 整理，得， ∵两个函数有两个交点， ∴， 解得， 由根与系数的关系可得，，， 由勾股定理可得，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得，符合题意． 变式5．（2026·山东泰安·模拟预测）如图，已知反比例函数的图象经过点，一次函数的图象经过点且与反比例函数的图象相交于另一点． (1)试确定反比例函数的解析式及的面积； (2)根据图形直接写出反比例函数值大于一次函数值时自变量的取值范围． 【答案】(1)反比例函数的表达式为，的面积是4； (2)或． 【分析】（1）根据点的坐标，利用待定系数法即可得反比例函数的表达式；先求出点B的坐标，再根据的面积等于的面积与的面积之差即可得； （2）根据点的坐标，利用函数图象法即可得． 【详解】（1）解：将点代入反比例函数得：， 则反比例函数的表达式为． 解方程组，得或， ∴， 对于一次函数， 当时，，即， 则的面积为． （2）解：， 当反比例函数值大于一次函数值时，自变量的取值范围为或． 变式6．（25-26八年级下·吉林长春·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点，与反比例函数的图象交于点，已知点的坐标为． (1)求一次函数的解析式； (2)当时，的值是 ； (3)在（2）的前提下，当时，的取值范围是 ． 【答案】(1) (2)12 (3) 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出点坐标，进而得到点坐标，即可得出结果； （3）直接利用图象法求出不等式的解集即可. 【详解】（1）解：把点代入，得， 解得， ∴； （2）解：∵， ∴当时，， ∴， ∵，， ∴为的中点， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴； （3）解：由图象可知，时，的取值范围为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $暑假预习：一次函数与反比例函数图像问题、一次函数与反比例函数交点问题专项训练 暑假预习：一次函数与反比例函数图像问题、一次函数与反比例函数交点问题专项训练 考点目录 一次函数与反比例函数图像问题 一次函数与反比例函数交点问题 考点一 一次函数与反比例函数图像问题 例1．（2026·四川巴中·中考真题）函数与（）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 例2．（25-26八年级下·湖南衡阳·期末）在同一平面直角坐标系中，函数与的图象大致是（     ） A． B． C． D． 例3．（25-26八年级下·山东济南·期末）函数与在同一坐标系内的图象大致为图中的（     ） A． B． C． D． 变式1．（25-26八年级下·山东东营·期末）已知，则反比例函数和一次函数的图象可能是（     ） A． B． C． D． 变式2．（25-26八年级下·山东济南·期中）函数和在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（　　） A． B． C． D． 变式3．（24-25八年级下·四川乐山·阶段检测）在同一直角坐标系内，函数和的图象大致是（    ） A． B． C． D． 考点二 一次函数与反比例函数交点问题 例1．（25-26八年级下·山东济南·期末）如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，则关于x的不等式的解集是（     ） A．或 B．或 C．或 D． 例2．（25-26八年级下·河南周口·期末）如图，一次函数与函数的图象相交于点，．下列说法错误的是（     ） A．两图象的交点的坐标为 B．若，则的取值范围是或 C．一次函数与反比例函数都随的增大而增大 D．连接，，则的面积是 例3．（25-26八年级下·山西长治·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，则关于x的不等式的解集是________． 例4．（25-26八年级下·上海·期中）如图，一次函数与反比例函数的图像交于、两点，其横坐标分别为1和3，则关于的不等式的解集是______． 例5．（2026·安徽芜湖·三模）一次函数与反比例函数交于、两点，两点横坐标分别为和． (1)求、的值； (2)求直线与坐标轴围成的的面积． 例6．（25-26八年级下·辽宁盘锦·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，与y轴交于点C，已知点，点B的横坐标为． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)观察图象，直接写出当时，自变量x的取值范围； (3)若点D是y轴上的一点，且，求出点D坐标． 变式1．（25-26八年级下·吉林长春·期末）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数是常数，与反比例函数的图象相交于、两点，轴于点，则的面积为（     ） A．1 B．2 C． D． 变式2．（2026·广西防城港·模拟预测）如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数（，是常数，且）与反比例函数（是常数，且）的图象相交于，两点，则不等式的解集是（     ） A． B．或 C．或 D． 变式3．（25-26八年级下·浙江金华·期末）如图，正比例函数与反比例函数图象交于点A、B，已知点A的横坐标为1，则关于x的不等式的解集是______． 变式4．（2026·河北邯郸·三模）如图，直线与反比例函数的图象交于，两点，且，则________． 变式5．（2026·山东泰安·模拟预测）如图，已知反比例函数的图象经过点，一次函数的图象经过点且与反比例函数的图象相交于另一点． (1)试确定反比例函数的解析式及的面积； (2)根据图形直接写出反比例函数值大于一次函数值时自变量的取值范围． 变式6．（25-26八年级下·吉林长春·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点，与反比例函数的图象交于点，已知点的坐标为． (1)求一次函数的解析式； (2)当时，的值是 ； (3)在（2）的前提下，当时，的取值范围是 ． 2 学科网（北京）股份有限公司 $